Apunte Estabilidad IV Mod 1 (2015)(Desbloqueado)

8/16/2019 Apunte Estabilidad IV Mod 1 (2015)(Desbloqueado)

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I

APUNTE ESTABILIDAD IV

T T e e o o r r í í a a ..

E E j j e e m m p p l l o o s s r r e e s s u u e e l l t t o o s s y y p p r r o o p p u u e e s s t t o o s s

H H .. AA.. D D i i R R a a d d o o

P P .. AA.. B B e e n n e e y y t t o o

M M .. F F .. AAg g u u i i r r r r e e

F F a a c c u u l l t t a a d d d d e e I I n n g g e e n n i i e e r r í í a a .. U U n n i i v v e e r r s s i i d d a a d d n n a a c c i i o o n n a a l l d d e e l l n n o o r r d d e e s s t t e e ..

2 2 0 0 115 5


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Elasticidad Ampliada Capítulo 1: Tensiones

Di Rado-Beneyto-AguirreII

A nuestros Profesores A nuestros Alu mnos


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III

Prólogo

No se constr uye coraje siendo f eli z en el día a día. Se constr uye sobreviviendo tiempos dif ícil es y desafi ando la adversidad.

Epicúreo.

Este trabajo, destinado a estudiantes de graduación en el área de ingeniería civil, ha

sido realizado a lo largo de muchos años frente a alumnos y en diferentes etapas. Es de

esperar que en algunos casos, algunos temas puedan aparecer en secciones determinadas

cuando es usual que en otros libros aparezcan diferentes. La experiencia en el dictado de laasignatura en la Facultad de ingeniería de la U.N.N.E. (Chaco-Argentina) nos permite confiar

en la correcta distribución. Sin embargo, siempre la misma es sujeta a evaluación y podrá ser

modificada en ediciones posteriores.

Puede resultar atípico el título pero solo intenta marcar que, si bien todo el desarrollo

se centra en la teoría de la elasticidad, la palabra “ampliada” indica que tópicos como grandes

deformaciones y plasticidad son enfocados apenas como complementarios.

El presente solo aborda el caso más simple de mecánica de medios continuos, o sea el

elástico, pero el tratamiento de los campos de tensiones y deformaciones se ha hecho de

manera rigurosa incorporando lenguaje moderno. Notación indicial, cálculo avanzado ycampos no simétricos se han incluido a los efectos de preparar al lector para avanzar de la

manera más fluida hacia una mecánica de medios continuos no lineal. El seguimiento del

presente solo requiere conocimiento de materias básicas como mecánica técnica, resistencia

de materiales, matemática avanzada y termodinámica.

Los autores desean agradecer al Ing. Jorge D. Guinea por los trabajos preliminares en

la elaboración del presente, al Ing. Mario P. Favretto por su ejemplo de docencia y trabajo y a

los Alumnos que nos han honrado con su revisión y crítica constructiva permanente.

Ariel Di Rado


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Di Rado-Beneyto-Aguirreiv

TABLA DE CONTENIDOS

1 Capítulo 1 ................................................................. ................................................................ ...................... 1Tensiones .......................................................... ................................................................. ................................ 1

1.1 : INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................2

1.1.1 CONCEPTO DE TENSIÓN.............................................................................................................. 31.2 ECUACIONES DE EQUILIBRIO:......................................................................................................... 4

1.2.1 RECIPROCIDAD DE TENSIONES TANGENCIALES: ................................................................51.2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DEL EQUILIBRIO:................................................................. 5

1.3 ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO ......................................................................................... 71.3.1 MATRIZ DE TENSIONES...............................................................................................................71.3.2 LAS COMPONENTES DEL VECTOR. CAMBIAR PARA QUE NADA CAMBIE. ....................9

1.3.2.1 Componentes contra variantes:.................................................................................................91.3.3 EL TENSOR.................................................................................................................................... 111.3.4 EL TENSOR DE TENSIONES.......................................................................................................131.3.5 EL PRODUCTO T.n: "n" VECTOR O CO-VECTOR?..................................................................13

1.4 CONDICIONES DE BORDE EN TENSIONES: ................................................................................. 151.5 DIRECCIONES Y TENSIONES PRINCIPALES:............................................................................... 16

1.5.1 EL TENSOR DE TENSIONES REFERIDO A EJES PRINCIPALES:.......................................... 181.6 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS Y MÍNIMAS: .............................................................. 201.7 FORMA BILINEAL DEL TENSOR DE TENSIONES Y CUÁDRICA INDICA-TRIZ (DECAUCHY)..................................... ................................................................. ................................................... 231.8 ELIPSOIDE DE TENSIONES (O DE LAMÉ).....................................................................................251.9 TENSOR ESFÉRICO Y DESVIADOR................................................................................................ 271.10 TENSIONES OCTAÉDRICAS: ............................................................... ............................................ 291.11 PROBLEMAS DE TENSIONES: .........................................................................................................30

2 Capítulo 2 ................................................................. ................................................................ .................... 41Deformaciones........................................................... ................................................................. .................... 41

2.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 422.1.1 DEFORMACIONES UNIDIMENSIONALES...............................................................................42

2.2 DEFORMACIONES EN TORNO DE UN PUNTO.............................................................................44

2.3 INTERPRETACIÓN DE LA EXPRESIÓN r d.Dr d.R r d.I'r d ....................................... 472.4 INTERPRETACIÓN DEL TENSOR DE DEFORMACIÓN LINEAL (D).......................................... 482.5 INTERPRETACIÓN DEL TENSOR DE ROTACIÓN LINEAL......................................................... 522.6 VECTOR ROTACIÓN.......................................................................................................................... 532.7 DEFORMACIONES PRINCIPALES. INVARIANTES. DILATACIÓN CÚBICA. ........................... 552.8 DEFORMACIÓN ESPECÍFICA EN UNA DIRECCIÓN n CUALQUIERA ......................................582.9 TENSOR ESFÉRICO, TENSOR DESVIADOR Y OCTAEDRICO.................................................... 602.10 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD .......................................................... .................................. 62

2.10.1 Deducción intuitiva: .................................................................................................................... 622.10.2 Deducción formal:....................................................................................................................... 632.10.3 Comparación entre ambos enfoques: .......................................................................................... 652.10.4 ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD. UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN ............................... 65

2.11 TENSOR DE DEFORMACIONES FINITAS (problema no lineal)..................................................... 682.11.1 Ecuaciones principales: ...............................................................................................................702.11.1.1 Equilibrio: Son idénticas pero debe usar el Primer tensor de Piola Kirchhoff........................ 702.11.1.2 Compatibilidad: ................................................................ ...................................................... 70

2.12 PROBLEMAS DE DEFORMACIONES .............................................................................................. 743 Capítulo 3 ................................................................. ................................................................ .................... 86Relación tensión - deformación .......................................................... ............................................. 86

3.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 873.2 FUNDAMENTOS TERMODINÁMICOS............................................................................................88

3.2.1 Primer Principio:..............................................................................................................................883.2.2 Segundo principio y termodinámica del equilibrio.......................................................................... 89

3.2.2.1 Entropía: ................................................................................................................................. 893.2.2.2 Segundo Principio:.................................................................................................................. 90


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. Di Rado-Beneyto-Aguirrev

3.2.3 Tercer principio: .............................................................................................................................. 913.2.4 Termodinámica del equilibrio. Ecuación de estado. ........................................................................913.2.5 El problema de la Entropía. ............................................................................................................. 923.2.6 El problema de la Energía Interna. ..................................................................................................93

3.2.6.1 Demostración matemática del principio de energía mínima:..................................................933.2.7 Uno más: Entropía, información y reversión del tiempo. ................................................................ 94

3.3 MATERIAL HIPERELASTICO........................................................................................................... 963.3.1 Ley de Hooke generalizada. Potencial Elástico. ..............................................................................96

3.3.2 Isotropía........................................................................................................................................... 973.3.2.1 Aplicación de simetría menor. ................................................................................................ 973.3.2.2 Aplicación de simetría mayor (y menor). ...............................................................................983.3.2.3 Aplicación de la condición de isotropía.................................................................................. 98

3.3.3 Restricciones a las constantes conocidas. ........................................................................................ 993.3.4 Consideraciones sobre < 0................................ ................................................................ ........... 100

3.4 NOTACIÓN DE VOIGT. RELACIÓN ENTRE EJES PRINCIPALES.............................................1013.4.1 Relación entre ejes principales: ..................................................................................................... 1013.4.2 Ortotropía: ..................................................................................................................................... 102

3.5 Campo no elástico. Materiales reales. ................................................................................................. 1033.5.1 Campo de pequeñas deformaciones:.............................................................................................. 1033.5.2 Campo de deformaciones finitas: .................................................................................................. 1043.5.3 Materiales reales y su modelado:................................................................................................... 105

3.6 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO........................................................................1063.6.1 Ecuaciones de Navier. Problema elástico en términos de deformaciones ..................................... 108

3.6.1.1 Enfoque con notación indicial .............................................................................................. 1083.6.1.2 Enfoque TRADICIONAL..................................................................................................... 109

3.6.2 Ecuaciones de Beltrami - Michell. Problema elástico en términos de tensiones. ..........................1103.6.2.1 Enfoque con notación indicial (se estudia) ........................................................................... 1103.6.2.2 Enfoque tradicional (NO se estudia)..................................................................................... 112

3.6.3 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ELÁSTICO. ..............................................................................1153.6.3.1 Solución de la ecuación de Beltrami-Michell. ...................................................................... 115

3.6.3.1.1 Función de Airy:...............................................................................................................1153.6.3.1.2 Otras funciones potenciales: ............................................................................................. 115

3.6.3.2 Solución de la ecuación de Navier........................................................................................ 1163.6.4 LA ECUACIÓN DE LA ONDA ELÁSTICA. ..............................................................................117

3.6.5 TRATAMIENTO DE LA ONDA .................................................................................................1173.6.5.1 ONDAS P .............................................................................................................................1183.6.5.2 ONDAS S .............................................................................................................................1193.6.5.3 LA ONDA ACÚSTICA. RELACIÓN CON LA PROPAGACIÓN DEL SONIDO. ........... 1203.6.5.4 LA SOLUCIÓN EN INGENIERÍA CIVIL. .........................................................................1213.6.5.5 EL TENSOR ACÚSTICO. APLICACIÓN DE ONDA EN DISCONTINUIDADES. ........ 122

3.6.5.5.1 Discontinuidades de segundo orden. ................................................................................1233.7 PROBLEMAS DE RELACIÓN TENSIÓN - DEFORMACIÓN ....................................................... 125

4 REFERENCIAS y DESCARGAS DE INTERNET........................................................ ........................ 133


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. Di Rado-Beneyto-Aguirre1

1 Capítulo 1Tensiones

La utopía está en el horizonte. Camino dos pasos, ella se aleja dos pasos y el

horizonte se corre diez pasos más allá. ¿Entonces para qué sirve la utopía?

Para eso, sirve para caminar.

Eduar do Galeano (1940-?) Escritor y periodista uruguayo ___________________________________________________________________________


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Di Rado-Beneyto-Aguirre2

1.1 : INTRODUCCIÓN

En el curso desarrollaremos la Teoría de la Elasticidad, y para ello nada mejor queencuadrarla en el campo de la Física Mecánica a la cual pertenece:

Mecánica

- Mecánica de los puntos materiales- Mecánica de los Cuerpos Rígidos

- Resistencia de Materiales (comportamiento bajo hipótesis simplificativas)- Teoría de la Elasticidad (Comportamientoelástico)

- Mecánica delsólido

- Teoría de la plasticidad

- Mecánica delcontinuo

- Teoría de la visco-elasticidad y visco- plasticidad

- Mecánica de

los fluidosDe alguna manera en Ingeniería, en sus distintas especialidades y asignaturas, serecorre todo el campo de la Mecánica, ya sea en forma teórica como práctica. Respecto a laMecánica del Sólido es innecesario referirnos a los temas de Resistencia de Materiales, yatratados en los cursos de Estabilidad II y III. La Geotecnia y Mecánica de Suelos necesitanconocimientos de Elasticidad, Plasticidad y Viscosidad en sólidos, así como también elestudio de construcciones o elementos donde intervengan acero, hormigón, materiales

plásticos, asfaltos, etc.En la Ingeniería Civil y desde una perspectiva macroscópica, podemos considerar que

el Material o Sólido cumple con las siguientes Hipótesis simplificativas, que pueden ser, deacuerdo a la experiencia, asumidas como propiedades del sólido en el tratamiento de

diferentes problemas:a) HOMOGENEIDAD: Esto implica que el material que constituye el cuerpo tiene las

mismas características físicas y mecánicas en cualquier punto del medio. Si bien esto noes exactamente cierto, si consideramos la estructura molecular, es aceptable considerar que macroscópicamente los materiales se comportan como homogéneos. Aún elhormigón simple puede ser considerado así, aunque es evidente que no tiene las mismas

propiedades en un punto coincidente con el agregado grueso que en otro que esté sobreel mortero aglomerante.

b) ISOTROPIA: Esta propiedad considera igualdad de características elásticas cualquierasea la dirección estudiada. Un ejemplo clásico de falta de isotropía (anisotropía) es lamadera, en la cual las características físico-mecánicas dependen de la dirección que se

considere respecto a las fibras. Ciertos procesos, como el laminado de metales, pueden producir anisotropía.

c) CONTINUIDAD: El sólido se comporta como un continuo, aunque no lo sea en suestructura microscópica. Esta hipótesis nos permite plantear ecuaciones de equilibrio ydeformaciones, planteando soluciones de funciones continuas a las cuales es aplicable elcálculo diferencial.

d) ELASTICIDAD: Implica que al aplicar una carga los cuerpos sufren una deformaciónque desaparece totalmente al retirarse las cargas. Con referencia a la Elasticidad Lineal,o sea cuando los efectos son linealmente proporcionales a las cargas, será aplicable elPrincipio de superposición.


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z=x3

y=x2

x=x1

o

1.1.1 CONCEPTO DE TENSIÓN

Nuestros sentidos nos permiten percibir sólo una pequeña porción del mundo exterior.

Nikola Tesla (1856-1943) Físico, matemático e ingeniero eléctrico croata

___________________________________________________________________________ Al solo efecto de refrescar algunosconocimientos recordemos que entendemos por tensión en un medio continuo.

Para ello supongamos un sólido como elde la figura, cargado con fuerzas en equilibrio alcual mediante una sección a-a dividimos en dossectores A y B.

Aislado el sector A, existirán sobre el lasfuerzas P exteriores y una distribución continuade car gas sobre la sección a-a y que en su

conjunto deben equilibrar al cuerpo.Estas cargas o fuerzas distribuidas sobrela sección a-a no son mas que la acción del sector B sobre el A actuando en la sección d una

fuerza df.Definimos como tensión en el punto O sobre

una superficie definida por el versor n.

f lim

d

df t

0

n

siendo su dimensión Fuerza/longitud2.Sea n el versor normal a la superficie d,

podemos descomponer el vector tensión en un punto ensus componentes en las direcciones coincidente y normal an.

Tensión normal: n (paralelo a n)Tensión tangencial n (normal a n)

Sus características y manejo son conocidas a travésde problemas de Estabilidad II y Estabilidad III, entre otrasasignaturas de la carrera.

Debemos mencionar que las tensiones no secomportan exactamente como vectores fuerza, aunquetienen alguna de sus características, ya que en realidad las

tensiones tienen carácter tensorial (de 2 orden) y sonrepresentadas por tensores .

Explicitemos también el sistema de ejes coordenadosque utilizaremos, que si bien supone un cambio respecto a losejes x, y, z, tiene la ventaja de permitir, para aquellos que así lodeseen, la aplicación de la notación indicial. Por estoutilizaremos los ejes x1, x2, x3, equivaliendo con esta

nomenclatura: xx1 yx2 zx3

a

a

A

B

P

a

aA

P

df

n

d

tn

n

do

n

tn=df/d

n

d

n


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1.2 ECUACIONES DE EQUILIBRIO:

¿Qué es el hombre dentro de la naturaleza? Nada con respecto al infinito. Todo con

respecto a la nada. Un intermedio entre la nada y el todo.

Bl aise Pascal (1623-1662) Científico, filósofo y escritor francés. ___________________________________________________________________________

Estudiemos el equilibrio de un hexaedro diferencial extraído de un sólido en equilibrio

para ver como varían las tensiones internas. Sobre dicho hexaedro actuarán las tensionesinternas ij (que luego veremos componen una matriz T) y que están en la figura acompañadas

de las componentes incrementadas. Ademásactúan las fuerzas de masa por unidad de

volumen Xi = (X1, X2, X3) que se señalan enla figura siguiente por simplicidad, y dondeel diferencial de volumen es:

dv = dx1.dx2.dx3

Veamos ahora de plantear las condicionesde equilibrio del elemento

0M3

1i

x i

0F3

1i

x i

x3

X .dv2

o

x1

x2

X .dv3

X .dv1

x3

x2

o

x1

12

13

22

21

231

1

1212 dx.

x

31

32

33

1

1

1111 dx.

x

1

1

1313 dx.

x

2

2

2121 dx.

x

2

2

2222 dx.

x

2

2

2323 dx.

x

3

3

3131 dx.

x

3

3

3232 dx.

x

3

3

3333 dx.

x

d x 3

dx2

d x 1

11


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1.2.1 RECIPROCIDAD DE TENSIONES TANGENCIALES:Conocido como Teorema de Cauchy, solo deseamos recordar un conocimiento ya

adquirido que se obtiene planteando equilibrio de momento respecto a ejes paralelos a loscoordenados. Se debe cumplir que:

0M 1x 0M 2x 0M 3x Planteemos el equilibrio de momento respecto a un eje paralelo a x3 y dibujemos solo las

tensiones que producen momentos.

02

dxdxdxdx

x

2

dxdxdxdx

x

2

dxdxdx

2

dxdxdx

1321

1

1212

2312

2

2121

13212

23121

).. ).( (

).. ).( (

)...( )...(

0dx.dx.dx.dxx2

1dx.dx.dx.

dx.dx.dx.dxx2

1dx.dx.dx.

13211

1232112

23212

2132121

Despreciando el 2° y 4° término por ser infinitésimos de orden superior obtenemos:12 = 21

Análogamente podemos expresar:23 = 3213 = 31

o en forma indicial:ij = ji

que es la expresión del Teorema de Cauchy o Ley de reciprocidad de la Tensiones

Tangenciales.Esta ley indica que la matriz del Tensor de Tensiones es simétrica respecto de su diagonal principal.

1.2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DEL EQUILIBRIO:

Si ahora planteamos el equilibrio de fuerzas según los ejes xi (nosotros lo plantearemosrespecto a x1 y en la figura colocaremos solo las fuerzas que tienen esa dirección), vemos queestas componentes no pueden ser arbitrarias, debiendo cumplir ciertas condiciones, en todos ycada uno de los puntos del sólido continuo.

+

x2o

x1

12

21

1

1

1212 dx

x.

2

2

2121 dx

x.

dx2

d x 1

x3


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Del equilibrio 0F 1x

0dx.dx.dx.Xdx.dx.dx.dx).dxx

(

dx.dx.dx.dx).dxx

(dx.dx.dx.dx).dxx

(

321121312133

3131

31213122

21213211321

1

1111

Sumando y simplificando términos obtenemos la 1ra. de las tres siguientes ecuacionesdiferenciales, obteniéndose las otras dos en forma análoga:

0.X

xxx

1

3

31

2

21

1

11

0.Xxxx 23

32

2

22

1

12

0.Xxxx 33

33

2

23

1

13

Que son las “Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio” que deben ser en general integradaso resueltas cumpliendo además con las “Condiciones de Borde o de Contorno” y asociadas a“Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciones”.

Con notación indicial las mismas se expresan:

0Xx ji

ij

o bien: 0.X ji,ij

Podemos además decir que las componentes ij de las tensiones sobre los planoscoordenados deben cumplir las tres ecuaciones o condiciones diferenciales que sonconsecuencia de la continuidad de las distintas tensiones internas a que está sometido elsólido, o sea las ij son funciones continuas de las coordenadas xi = (x1, x2, x3).

1

1

(Tema con agregado: Concepto sobre la divergencia de T.n.pdf

x3

x2o

x1

11

21

311

1

1111

dx.x

2

2

2121 dx.

x

3

3

3131 dx.

x

d x 3

dx2

d x 1

X1


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1.3 ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO

” … Una mañana, en torno a julio de 1925, de repente vi la luz: la multiplicación

simbólica de Heisenberg no era otra cosa que “cálculo matricial”, el que conocía desde mis

días de estudiante a partir de las clases de Rosanes, en Breslau’.

(Con motivo de la descripción de Heisenberg de la “condición cuántica”)

Max Born (1882-1970) Científico Alemán. ___________________________________________________________________________

1.3.1 MATRIZ DE TENSIONESSupongamos un sólido sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, el cual produce un

estado de tensiones internas que estará asociado a la geometría del cuerpo, a las característicaselásticas y al estado de car gas entre otras cosas.

En cada punto del cuerpo definido por sus coordenadas X1, X2, X3tendremos un estado de tensiones yestudiaremos que pasa en un puntogenérico O(X1, X2, X3) en el cualaplico un sistema local de ejes (x1; x2;x3). Aíslo alrededor del punto O, una

porción infinitesimal de materiaformada por un tetraedro OABCaplicando sobre cada una de las caras latensión correspondiente a que estásometida: 2

t1 (sobre plano normal a x1)t2 (sobre plano normal a x2)t3 (sobre plano normal a x3)

tn

(sobre plano ABC, plano normal al versor n)

El versor n tiene ángulos (1, 2, 3) y cosenosdirectores (n1,n2,n3) respecto de los ejes coordenados(x1,x2,x3)

2

Tema con agregado: Valor medio.pdf

x3

x2O

x1

P

X3

X2O

X1

x3

x2O

t1

tn

t2

t3

n

x1

B

A

C


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n = (n1,n2,n3) =

3

2

1

n

n

n

con

33

22

11

ncos

ncos

ncos

Si descomponemos las tensiones según los tres ejes coordenados (x1,x2,x3) se obtendrá elsiguiente estado de tensiones cuya representación y significado se indica en las figurassiguientes:

t1 =

13

12

11

t2 =

23

22

21

t3 =

33

32

31

tn =

n3

n2

n1

t

t

t

Donde podemos apreciar que la ii es una tensión normal equivalente en otra nomenclaturaa

i, y las

ij con i j representan tensiones tangenciales. Con las nueve

ij actuando sobre los

planos coordenados se forma la Matriz de Tensiones.

T = (ij) =

333231

232221

131211

que como hemos visto en 1-2.1 por ser jiij una matriz simétrica y por lo tanto TTT

Denominando con:d = superficie ABCd1 = superficie OBC d1 = n1.d d1 / d = n1d2 = superficie OAC d2 = n2.d d2 / d = n2d3 = superficie OAB d3 = n3.d d3 / d = n3

Planteando equilibrio de fuerzas según los 3 ejes coordenados:

333223113n33

332222112n22

331221111n11

ddddt0Fx

ddddt0Fx

ddddt0Fx

....

....

....

De donde reemplazando di / d por ni :

A

C

O

n

B

t3n

t2n

t1

11

32

13

12

33

22

21

23

x3

x2O

31

x1

B

A

C


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333223113n3

332222112n2

331221111n1

n.n.n.t

n.n.n.t

n.n.n.t

en Notación Indicial: jij j jin

i nnt ..

o, en Notación Matricial: nTnTt Tn .. 3

También podemos señalar (como módulos):

sen.tt

cos.tn.tnnnn

nnn

Lo cual nos indica que dadas las nueve componentes ij de la matriz T (Tensiones normalesy tangenciales sobre los 3 planos coordenados) quedan perfectamente definidas lascomponentes del vector tensión en un punto tn para cualquier dirección genérica “n” del planod (que no es más que la tercera ley de Newton o segundo postulado de Cauchy).

1.3.2 LAS COMPONENTES DEL VECTOR. CAMBIAR PARA QUE NADA CAMBIE.Está claro que tanto un vector es una magnitud que representa una cierta entidad, para esta

materia será la tensión en un plano o, como se verá más adelante, la deformación de una fibra.Está también claro que su representatividad requiere de un sistema de referencia pero que deninguna manera un cambio de este sistema puede “cambiar” el efecto de esa magnitud sobreun cierto objeto. Veamos el ejemplo de la tensión: tn = T.n referenciado a una cierto sistema.Ahora se cambia el sistema mediante una rotación, representada por la matriz ortogonal A. El

vector tensión, en el nuevo sistema, es: t

n

’= T’.n’. La aparición de t

n

’, parecería indicar que, alcambiar el sistema de referencia, “cambiamos” nuestras entidades. Nada más erróneo. Lamagnitud del vector nt

en sí es INVARIANTE, pues, el vector tensión asociado al plano “n”

sigue siendo el mismo. Entonces? Qué pasó? Por qué los "prima"?Bueno, lo que ha cambiado son las COMPONENTES del vector. Las tn’, simplemente

indican que las componentes tn, han variado para dejar constante e INVARIANTE el efectodel vector nt

.

Cuál es la relación entre las componentes de ambas "versiones" del vector tensión?tn’ = A.tn .Estas componentes pueden cambiar de muy diversos modos, según el sistema de ejes que

se elija. Hasta acá se ha hablado solamente de ejes cartesianos ortogonales y será lo que se use

en mayor medida durante la materia. Pero en ocasiones estos ejes pueden no serlo y esto abreun sinnúmero de complicaciones y “variantes”. Brevemente mencionaremos algunas:

1.3.2.1 Componentes contra variantes4:Cuando los ejes dejan de ser ortogonales, aparecen dos modalidades de proyección del

vector sobre esos ejes para obtener las componentes, con dos pares de sistemas de referencia posible: Cuando se proyecta paralelo a los ejes (es el modo usual de hacerlo) las componentesse llaman contravariantes. Cuando la magnitud se proyecta paralela a ejes ortogonales a los

3 (Tema con agregado: Postulados de cauchy.pdf 4

(Tema con agregado: co y contra.pdf

n

n

n

tn


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elegidos como referencia inicial (esto tomarlo con pinzas) las componentes se llamancovariantes. Veamos la gráfica a continuación (gentileza de wikipedia):

Las componentes amarillas son contravariantes y las verdes covariantes. Las bases sobrelas que se obtienen las componentes amarillas son covariantes y las otras contravariantes. Es

posible demostrar que las bases mencionadas se denominan recíprocas y se cumple que:

ji ji e.e

. Observar que toda magnitud covariante lleva subíndice abajo (sea en componenteso base) y las magnitudes contravariantes llevas subíndices arriba.

Y porque esos nombres raros? Bueno, en forma breve: El vector A

sería:

Sistema amarillo: iieAA

, mientras que en el sistema verde: iieAA

.

Si los ejes 1e

y 2e

(que son los equivalentes a los cartesianos) dejan de ser unitarios y

crecen, las componentes amarillas se “achican” para mantener constante a A

( iieAA

). Por

esto se llaman contravariantes (ya a los ejes 1e

y 2e

; covariantes). Las componentes verdes se

comportan diferentes, se “agrandan” al agrandarse 1e

y 2e

(no se demuestra acá) recibiendo,

justificadamente, el nombre covariante (y a los ejes 1e

y 2e

, contravariantes.).Podemos analizar otro tipo de cambio en la base: si los ejes ahora varían girando en

determinado sentido, las componentes contravariantes “giran” (en verdad no giranliteralmente, pero pueden imaginárselo así) anulando la rotación para que el vector NOCAMBIE SU POSICIÓN. Veamos un ejemplito muy sencillo. Tomemos al vector P

referenciado a un sistema de ejes cartesianos (para más facilidad) puede tener componentes bo b’ según los vectores base sean x

ó x

.

b.A bó.ba b jiji

Como P

no puede cambiar

x.Axx. bx. bx. bPx. bP -1iiii

Claramente, si las bases rotaron con -1

A , las componentes lo hicieron con A. Netamente“contravariantes”. Este ejemplo es sencillo pero impide demostrar cómo serían lascomponentes “covariantes” porque los ejes deberían dejar de ser ortogonales (en la figura dearriba se ve que para que existan ejes co y contra variantes no pueden formar 90 grados). Paramayor profundidad sobre el tema ver la referencia adicional.El Problema 3trata el tema de diferentes sistemas de referencia donde se ha incluido un caso de ejes no

constantes, otro no ortogonal y otro no positivo.En el próximo apartado se extenderá el concepto de vector y para hacerlo debemos tener en

mente los conceptos co y contravariantes vistos en este apartado.


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1.3.3 EL TENSORProbablemente la introducción del concepto de tensor sea uno de los desafíos más intensos

por el que pase el estudiante en esta etapa de su carrera. Quizás la manera más natural (y lamás usada en muchos libros) de introducir este concepto es a través de la extensión del propiode vector. Pero para seguir este camino se requiere de mantener cierto rigor matemático paraluego comprender qué tipo de entidades surgen cuando se realizan operaciones en las que untensor interviene. De todos modos, esta breve introducción supone que el estudiante tieneclaros el concepto de vector, componentes del vector (vi). y bases ( ie

). Los tensores son

aplicaciones lineales en las que intervienen vectores, escalares y otras entidades que

introduciremos brevemente acá: los co-vectores. Básicamente, son representados así:m

n

,

donde "m" indica los vectores y "n" los co-vectores que requiere el tensor para, a través deuna cierta operación matemática lineal (aplicaciones lineales), mapear ambas entidades en el

campo escalar (“transformar” los co-vectores y los vectores en un número). El orden deltensor es "n+m". También suele aparecer en la bibliografía como "m" índices co-variantes(subíndices) y "n" índices contra-variantes (superíndices), refiriéndose al carácter de lascomponentes del tensor.

Es bueno en esta instancia, revisar algunos ejemplos concretos para entender la definición:

1) Un tensor 1

0

requiere de un vector para mapear linealmente sobre el campo escalar:

Esta operación se indica )P(P~

y da como resultado un número. El elemento ()P~

sedenomina, tensor de primer orden, forma-1 o co-vector . Ahora, como se “transforman” laforma-1 y el vector en un escalar? Simple, multiplicando las componentes mutuas de ambos!

Podemos escribir explícitamente que iiPP)P(P~

5 que es indudablemente un escalar. Estostensores también tiene una base ie~ : ii e

~P()P~

, y se puede demostrar que esta base es

recíproca a la de los vectores ( i j ji δe.e~

)6.Y como se sacan las componentes de la forma-1?

A plicando el operador a la base de los vectores ii P)e(P~

7, de lo que se deduce que las

componentes de la forma-1 son covariantes (de acuerdo a la segunda definición del iniciode1.3.3, un índice co-variante pues m=1). Un ejemplo típico de forma-1 es el gradiente de

una función escalar: ii, e~.φφd

~

2) Un tensor

0

1

requiere de una forma-1 o co-vector para mapear sobre los escalares. La

operación es una especia de espejo de la anterior: iiPP)P

~(P

. Las componentes de este tensor

serán ii P)e~(P~

. Claramente, iieP()P

es un vector. Este tensor de primer orden es lo que se

conoce como vector .Un ejemplo de esta operación, es decir, una aplicación de una forma-1 a un vector es la

derivada direccional, donde al vector tangente a la curva se le provee la forma-1 gradiente

5 Se parece pero no es un producto escalar de vectores.6 Esta operación es clave, dada la base de vectores se puede calcular la base de las formas-1.7

Realmente no se calculan con esta fórmula. La compo. son simplemente escalares que multiplican a la base.


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para dar el escalar: ii,s, VφVφ.d~

φds

dφ

. Como corolario de esta operación, si φ es

sustituido por una coordenada del sistema, digamos ix (de una base co-variante), la operación

da las componentes del propio vector tangente: i ji j ji

j,ii

s,

i

VVVxV).(xd~

xds

dx

.

3) Un tensor 20

es un tensor de segundo orden que requiere de dos vectores para mapear

sobre los escalares, por lo que se dice que es una aplicación bi-lineal. Se indica )V,P(

T y da

como resultado un número. Las componentes se obtienen: ij ji T)e,e(

T . Sin entrar en

demostraciones (aunque son simples), la base de este tipo de tensores se obtiene: jiij e~e~~ (donde es producto exterior o tensorial), quedando jiij

ijij e

~e~T~T)(, T .

Finalmente, jiij VPT)V,P(

T .

Cuando a un tensor de este tipo se lo provee de un solo vector, su resultado es un co-

vector, forma-1 o tensor de orden 1: ()P~

),P(

T . Esto se debe a que debo proveer otro vector para obtener un escalar, lo que coincide con la definición de (1). En componentes :

j j

jiij e

~Pe~PT),P(

T .

Un tensor particularmente importante que cae en esta categoría es el tensor métrico:

ij ji ji ge.e)e,e(

g . Lo especial es que se aplica sobre la base de vectores y el escalar surge

de un producto escalar 8 de vectores base. Para casos cartesianos este tensor es el delta dekronecker. Ver el Problema 4:donde se muestra el manejo de métricas para diferentes bases.

5) Un tensor 0

2

es un tensor de segundo orden que requiere de dos formas-1 para mapear

sobre los escalares, siendo también bi-lineal. Se indica )V~

,P~

(T y las componentes se

obtienen: ij ji T)e~,e~( T . La base de este tipo de tensores se obtiene: jiij ee

, quedando

jiij

ijij eeTT)(,

T . Finalmente, ji

ij VPT)Q~

,P~

( T . Veremos más adelante que esta

expresión tiene un significado especial para nosotros: se llama forma bilineal (de tensiones odeformaciones). En 1.3.4 ampliamos sobre ejemplos de este tensor.

5) Un tensor 2

1

es una aplicación que requiere de dos vectores y un co-vector para

mapear al campo escalar. Sigue todas las reglas mencionadas arriba. En especial, usaremos untensor de este tipo, se llama tensor de Levi-Civita y se usa para representar el productovectorial de vectores. Sus componentes son i jk k ji )e,e,e

~(~

y siguen una regla que se verá

oportunamente. En general, durante la materia se usará ijk por razones que se comentarán al

final de 1.3.5.

8 El Problema 4:

presenta la versión completa del producto escalar de vectores con intervención de este tensor.


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6) Un tensor 1

1

es un tensor de segundo orden que requiere de un vector y un co-vector

para mapear al campo escalar. Durante el curso, este tensor se presentará en el problema decompatibilidad en grandes deformaciones y se denomina derivada co-variante, concomponentes )Γx(xFF ikj

k i j, j;

ii j , siendo

ikjΓ el símbolo de Christoffel. Cuando el sistema

de referencia es cartesiano, esta derivada se transforma en i j, j,i xF .

1.3.4 EL TENSOR DE TENSIONES

Especial atención se presta a los tensores0

2

. Las componentes de esta entidad se han

simbolizado con ijT . Es oportuno analizar qué pasa con estas componentes cuando se produce

una rotación del sistema de ejes. Habíamos visto que por definición j jij VPT)V

~,P

~( T siendo

V~

yP~

dos formas-1. La ley de transformación de vectores dice que si i jA es la matriz de

rotación, será: lk klll jk k iij j jij VPTVAPATVPT)V~,P~( T . De lo anterior, podríamos inferir

que las componentes del tensor entre los dos sistemas se relacionan: kll jk i

ij TAAT , que

usando la nomenclatura del apartado (1.3.2): T’=A.T.AT.Si se considera ahora la matriz T que define el estado de tensiones en el punto estudiado,

podemos analizar cómo se transformaría ante un cambio de sistemas como el considerado(con i jA ):

El vector tensión es tn = T.nEn el nuevo sistema: tn’= T’.n’La relación entre componentes de ambos sistemas para la normal al plano es:

n’ = A.n y su inversa sería n = AT.n’, pues: A

T

=A

-1

por ser A ortogonal.La relación entre componentes de ambos sistemas para la tensión es : tn’ = A.tn.Realizando las sustituciones pertinentes: tn’ = A.T.n = A.T.AT.n’ = T’.n’ dedonde se deduce que las componentes de la matriz de tensiones cumple: T’ =A.T.AT

Claramente, estas componentes de la matriz T, se transforman igual que un tensor

0

2

ante una rotación del sistema de referencia. Esta situación, per se, no la transforma en un

tensor, pero más adelante veremos que también cumple con la condición de bilinealidad conrelación a la normal a un plano dado (tema 1.7). Con estas dos condiciones, podemos concluir

que la matriz de tensiones es además, el conjunto de componentes de un tensor de segundoorden o bien, la tensión de un punto tiene carácter Tensorial.Así, el tensor de tensiones, cumple con : ji

i jij

ij eeTT)(,

T . Esta característica se

hace extensiva estado de deformación de un punto como veremos en el Capítulo 2.Consideraciones semejantes a vectores con relación a las componentes covariantes y

contravariantes, se pueden hacer con tensores. Vale todo lo dicho anteriormente. Claro, estoes más difícil de ver, por ello nos remitimos a la sola mención.9

9

(Tema con agregado: Cauchy_stress_tensor.pdf


19/138



1.3.5 EL PRODUCTO T.n: "n" VECTOR O CO-VECTOR?Siguiendo el concepto de tensor recientemente introducido, el producto tn = T.n convertiría

al estado de tensión sobre un plano, tn, en un vector. Ahora, este tipo de tensores debe ser provisto de formas-1 o co-vectores, entonces: porque nos referimos a "n" como si fuera unvector?.

Aquí se necesitaría introducir un nuevo concepto: la dualidad vector - co-vector :Ambos conjuntos se pueden relacionar mutuamente a través del tensor métrico, mencionado en (1.3.3). La relación es bastante simple: El tensor métrico aplicado a un solo vector V

daría como resultado un co-vector:

()V~

),V(

g . Si ahora aplicamos este nuevo co-vector a la base de

vectores, obtenemos las componentes de esta entidad: ii V)e(V~

(a). Pero

si volvemos a la primer expresión: jijVg),V(

g (b). Igualando (a) y (b): j

iji VgV . Esta expresión es fundamental, pues teniendo una métrica, un

co-vector siempre se puede vincular a un vector, lo que se suele

expresar V,V~)V~(V)V(V~

, permite decir que hay una dualidad entreambos tensores.

La forma-1 o co-vector es una entidad óptima para representar normales a curvas o planos(de hecho, el gradiente es un co-vector y el normal a curvas constantes!) aunque la

justificación de esto escape a esta breve introducción. Por ello, en realidad, "n" es un co-vector normal a un plano dado y la forma correcta de escribir el producto tn = T.n es

i jijn~ enT()t),n~(

T . Pero como existe dualidad, aceptaremos escribir en

componentes jijni nTt , donde se omitirá toda referencia a co-vectores y los índices se

escribirán siempre abajo.10

10

Referencia: A first course in general relativity. Bernard F. Schutz. Cambridge University Press.


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1.4 CONDICIONES DE BORDE EN TENSIONES:

Ser o no ser, esa es la cuestión...

Hamlet ( William Shakespeare1564-1616) Escritor británico). ___________________________________________________________________________

Hemos mencionado que el estado de tensiones debe cumplir con las condiciones oEcuaciones de Equilibrio pero que en los bordes deben también cumplir con ciertascondiciones (nuevamente, la tercer ley de Newton, o sea, acción y reacción).

Una de las cuales es que las partículas de la superficie también deben estar en equilibrio.

Como en la superficie exterior actúan cargas por unidad de superficie, actuará

3

2

1

X

X

X

t sobre

la superficie diferencial d de la figura, pues pertenecea la superficie exterior o borde del cuerpo.

Sobre los planos coordenados están actuando las ij,componentes del Tensor de Tensiones T.

Del equilibrio planteado en forma similar a (1-2.2),donde en lugar de la tensión interna tn actúa la cargaexterna t , obtenemos:

3332321313

3322221212

3312211111

nnnX

nnnX

nnnX

...

...

...

Estas son las Condiciones de Borde y deben ser cumplidas necesariamente por las ij en los bordes deaquellas soluciones que se obtengan de las EcuacionesDiferenciales del Equilibrio.

Alguien podría preguntarse:Por qué, para integrar la ecuación del equilibrio, establecemos condiciones de borde en lasuperficie? La respuesta nuevamente esta en el corazón de la matemática: el teorema deGauss!!

P

x3

21

o

.d

X3 .d

3

2

1

n

n

n

n

3

x1

x2X1 .dX2 .d

t.d


21/138



1.5 DIRECCIONES Y TENSIONES PRINCIPALES:

No es sabio el que sabe dónde está el tesoro, sino el que trabaja y lo saca.

F ran cisco de Quevedo (1580-1645) Escritor español ___________________________________________________________________________

Definiremos como Direcciones Principales a lasdirecciones tales que la tensión tn coincide con el versor ni, y por lo tanto con la tensión normal ni , y por lo

tanto 0ni .Es posible demostrar que para las direcciones

principales las tensiones normales n pasan por losvalores máximos o mínimos, denominándose a dichastensiones con el nombre de Tensiones Principales.Sea un estado de tensiones representado por

T

333231

232221

131211

TT

Donde tenemos una dirección principal ni para la cual tn = ni .

Será entonces tn = ni .ni n

i = escalar

Y además tn = T.ni iTn n.Tt De donde T.ni = ni .n

i

Donde recordando la Matriz Unidad

100

010

001

Iij

se puede escribir: 0n).I.T( ini que desarrollada es:

0n).(n.n.0n.n).(n.

0n.n.n).(

i3

ni33

i223

i113

i332

i2

ni22

i112

i331

i221

i1

ni11

(1)

Notación indicial:En notación inicial: j jii

nni n.n.t (acá, eliminemos el subíndice en σ para evitar

confusión). Tomando el segundo y el último término en la anterior:

j ji jijn

in n.n..n.

Pasando de miembro: 0n..n. jijn

j ji .

Finalmente, sacando factor común: 0n)..( jijn

ji exactamente igual a (1).

x3

x2O

x1

tni

n

ni


22/138



Solución de la ecuación generada:

Si tomamos como incógnita la dirección principal ni=

i3

i2

i1

n

n

n

, este es un sistema de 3

ecuaciones homogéneas donde la solución trivial es 0nnn i3i2i1 que es una soluciónextraña ya que por ser cosenos directores 1)n()n()n( 2i3

2i2

2i1 .

Para que exista otra solución se debe cumplir con la condición de que el determinantede los coeficientes sea nulo (Roche-Frobenius).

)(

)(

)(

ni332313

32ni2212

3121ni11

= 0

Determinante que desarrollado es una ecuación de tercer grado en la tensión principal ni

que se denomina “Ecuación Característica o Secular”11 con ni las raíces de dicha ecuación:

( ni )3 - I1.(

ni )

2 + I2.( n

i ) – I3 = 0

Donde al ser constante el coeficiente que multiplica a ( ni )3 y siendo el valor de las

tensiones principales ni independientes del sistema de ejes adoptados, serán también

constantes los coeficientes I1, I2, I3 denominándose “Invariantes”.

ii I 3322111 invariante lineal o de 1er. Grado

1131

1333

3323

3222

2212

2111231

223

2121133332222112I ...

)...( jiij jjii21 invariante cuadrático de 2do. grado

)det(TI ij

332313

232212

312111

3

invariante de 3er, grado

La ecuación secular tiene 3 raíces en general ni (i=1, 2, 3) que se puede demostrar que

son reales y que representan los valores de las tensiones principales (Tensiones normales en planos con tensiones tangenciales nulas).

A dichas tensiones principales las denominaremos con: n1

, n2

, n3

, o t(1)

, t(2)

, t(3)

.

Cálculo de direccionesReemplazada ni en el sistema 0n).I.T(

ini al cual si se le adiciona

1)n()n()n( 2i32i

22i

1 obtendremos la dirección principal

n1 =

13

12

11

n

n

n

= )n,n,n( 1312

11 . Lo mismo para

n2 => n

2, y para n3 => n3

11Lo de secular viene de “siglo”, porque se usaba para calcular las perturbaciones de órbitas planetarias de

siglo en siglo


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El Problema 5:¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. muestra como se debe resolver elsistema de ecuaciones que resulta de este reemplazo.

Es posible demostrar que las tres direcciones ni son normales entre sí, y por lo tanto secumplirá:

jisi0

jisi1n.nn.nn.n ij

j3

i3

j2

i2

j1

i1

En general, y a fin de dar un orden a las tensiones principales, las mismas se ordenarán:n1

n2

n3

cumpliéndose, salvo casos especiales, que:n1

n2

n3

1.5.1 EL TENSOR DE TENSIONES REFERIDO A EJES PRINCIPALES:

El secreto del éxito en la vida de un hombre está en prepararse para aprovechar la ocasión

cuando se presente.

Benj amín Disraeli (1766-1848) Estadista ingles ___________________________________________________________________________

Referenciemos la Matriz de Tensiones respecto de ejes x1; x2; x3 coincidentes con lasdirecciones principales. Denominaremos también a estos ejes con x(1); x(2); x(3)

La matriz de Tensiones referida a los ejes principales será:

)3(

)2(

)1(

n3

n2

n1

t00

0t0

00t

00

00

00

T

3)3(

2)2(

1)1(

3n3

2n2

1n1

n3

n2

n1

n

n.t

n.t

n.t

n.

n.

n.

t

t

t

n.Tt

n.t nn

y 23)3(22)2(

21)1(

23

n3

22

n2

21

n1

n n.tn.tn.tn.n.n.

23

2)3(

22

2)2(

21

2)1(

23

2n3

22

2n2

21

2n1

2n n.tn.tn.tn.n.n.t

Mientras los invariantes valdrán:

n3

n2

n13

)1()3()3()2()2()1(n

)1(n

)3(n

)3(n

)2(n

)2(n

)1(2

)3()2()1(n3

n2

n11

..I

t.tt.tt.t...I

tttI

Por último calcularemos el valor de n, o (n )2, referido a ejes principales x(i)

O

x1

=x(1)

n

n

x2=x(2)

x3=x(3)

1nt(1)

n

tn

2nt(2)

3nt(3)


24/138



223)3(

22)2(

21)1(

23

2)3(

22

2)2(

21

2)1(

2n2nn )n.tn.tn.t()n.tn.tn.t(t

Donde:

)nn.t.t.2nn.t.t.2nn.t.t.2

n.tn.tn.t()n.tn.tn.t(

21

23)1()3(

23

22)3()2(

22

21)2()1(

43

2)3(

42

2)2(

41

2)1(

23

2)3(

22

2)2(

21

2)1(

2n

23

21)1()3(

23

2)3(

2)3(

22

23)3()2(

22

2)2(

2)2(

21

22)2()1(

21

2)1(

2)1(

2n

n).n.t.t.2n.tt(

n).n.t.t.2n.tt(n).n.t.t.2n.tt(

Como: 1nnn 2322

21

Será 2322

21 nn)n1( ;

21

23

22 nn)n1( ;

22

21

23 nn)n1(

23

21)1()3(

22

21

2)3(

22

23)3()2(

21

23

2)2(

21

22)2()1(

23

22

2)1(

2n

n].n.t.t.2)nn.(t[

n].n.t.t.2)nn.(t[n].n.t.t.2)nn.(t[

Resolviendo los productos indicados, reagrupando con factores comunes y recordando que

2)2()1(

2)2()2()1(

2)1( )tt()tt.t.2.t( (ídem con los otros pares)

se tiene:

21232)1()3(23222)3()2(22212)2()1(2n n.n.)tt(n.n.)tt(n.n.)tt(

21

23

2)1()3(

23

22

2)3()2(

22

21

2)2()1(

n n.n.)tt(n.n.)tt(n.n.)tt(

que nos da la tensión tangencial para un plano de dirección (n1, n2, n3) cuando los ejes dereferencia son principales.


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1.6 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS Y MÍNIMAS:

Abrigamos una multitud de prejuicios si no nos decidimos a dudar, alguna vez, de todas las

cosas en que encontremos la menor sospecha de incertidumbre.

Renato Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés ___________________________________________________________________________

En las tensiones tangenciales en general el signo no tiene un significado físico especial,sino que surge de una convención, por lo cual nos interesarán los valores absolutos Máximosy Mínimos. Sabiendo entonces que serán Máximos y/o Mínimos los valores absolutos de n

cuando también lo sea (n)2. Estudiaremos esta última partiendo de22

3)3(22)2(

21)1(

23

2)3(

22

2)2(

21

2)1(

2n )n.tn.tn.t(n.tn.tn.t)(

donde teniendo en cuenta que: 2221

23 1 nnn

será:22

221)3(

22)2(

21)1(

22

21)3(

22)2(

21)1(

2n )]nn1.(tn.tn.t[)nn1.(tn.tn.t)( 2

)3(22)3()2(

21)3()1(

2)3(

2)3(

2)2(

22

2)3(

2)1(

21

2n ]tn).tt(n).tt[(t)tt.(n)tt.(n)(

Donde para que sea Máximo o Mínimo (n)2 se debe cumplir:

0n

)(

1

2n

0n

)(

2

2n

y asumiendo que t(1)

t(2)

t(3)

, con t(1)

t(3)

y t(2)

t(3)

, será:

0)tt.(n.2].tn).tt(n).tt.[(2)tt.(n.2n

)()3()1(1)3(

22)3()2(

21)3()1(

2)3(

2)1(1

1

2n

0]t.2n).tt.(2n).tt.(2)tt.[(n )3(22)3()2(

21)3()1()3()1(1

(a) 0)]tt.(2

1n).tt(n).tt.[(n )3()1(

22)3()2(

21)3()1(1

Análogamente para 0n

)(

2

2n

:

(b) 0)]tt.(

2

1n).tt(n).tt.[(n )3()2(

22)3()2(

21)3()1(2

Par de ecuaciones en n1 y n2 que al adicionarle:(c) 22

21

23 nn1n

nos permite calcular la dirección del plano (n1, n2, n3) sobre el cual actúan los (n) Máximos o

Mínimos en valor absoluto.

Analicemos las distintas soluciones:


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x(1)

x(2)

x(3)

1ra Solución:

De (a) y (b) n1 = 0 n2 = 0

de (c) n3 = 1

=> 1 = 90° 2 = 90° 3 = 0°

Dirección coincidente con el eje x(3) coordenado (o con -x(3)) y por lo tanto en el planocoordenado “x(1) x(2)” principal y por lo tanto (n) = 0 (Mínimo).

Esto puede verificarse en la expresión:21

23

2)1()3(

23

22

2)3()2(

22

21

2)2()1(

n n.n.)tt(n.n.)tt(n.n.)tt(

al reemplazar: n1 = 0, n2 = 0, n3 = 1

2da Solución:

En (a) n1 = 0 1 = 90°

En (b) n2 0

0)tt.(2

1n).tt( )3()2(

22)3()2(

21n 2 => 2 = 45°; 2 = 135°

De (c)2

13 n =>3 = 45°; 3 = 135°

2

)()( )3()2(

t t n

(Máximo)

O

x(1)

x(2)

x(3)

n=0


27/138



3ra Solución:En (b) n2 = 0 2 = 90°

En (a) n1 0

0)tt.(21n).tt( )3()1(21)3()1(

2

1n1 => 1 = 45°; 1 = 135°

De (c)2

1n 3 =>3 = 45°; 3 = 135°

2

)tt()(

)1()3(n

(Máximo)

Variando las soluciones con + o – se van dando los otros planos normales.Con planteos similares pero partiendo de : 23

21

22 nn1n o de:

23

22

21 nn1n

obtendríamos otras soluciones que se podrían analizar como ejercitación y donde en definitivaaparecerán: (n) = 0 Mínimo sobre los planos principales, y a 45° de los ejes (n) Máximos.

2)()( )1()3( tt n

2

)tt()( )3()2(n

2

)tt()(

)2()1(n

x(1)

x(2)

x(3)


28/138



1.7 FORMA BILINEAL DEL TENSOR DE TENSIONES Y CUÁDRICA INDICA- TRIZ (DE CAUCHY).

Dicen que soy héroe, yo débil, tímido, casi insignificante, si siendo como soy hice lo que hice,

imagínense lo que pueden hacer todos ustedes juntos.

M ahatmas K. Gandhi (1869-1948) Político y pensador indio ___________________________________________________________________________

Con anterioridad sobre la superficie d habíamos hallado tn = T.n

Donde será: cos.t nn2n2nnn )()t(sen.t

Si trabajamos en forma vectorial:

3n32

n21

n1

nn n.tn.tn.tn.t

que desarrollada nos da:

1331322321122333

2222

2111

n n.n..2n.n..2n.n..2n.n.n.

expresión denominada “forma bilineal del Tensor de Tensiones”. Es inmediato que el valor dela tensión normal n de esta expresión puede ser expresada matricialmente por:

n.T.nn.T.nn.t TTTTnn

Debemos hacer notar que tanto n, n y tn varían al variar n que define la dirección del plano d, pero que una vez fijada en el espacio la dirección del plano n, los referidos valoresno varían al variar los ejes coordenados que se toman como base.

Volviendo a la expresión:

133132232112

2

333

2

222

2

111

n

n.n..2n.n..2n.n..2n.n.n. que en notación indicial se escribe:

jiijn n.n.

Trataremos de representar de alguna manera la variación del valor de n al variar ladirección del plano n.

Fijemos los ejes coordenados x1 x2 x3 y definamos sobre la dirección n un punto Q tal quese cumpla:

O

x1

n

n

x2

x3

n

tn


29/138



n

k r OQ

k = constante

positivaLas coordenadas de Q, extremo de r, serán:

11 .nr x 22 .nr x 33 .nr x

r

xn 11 r

xn 22 r

xn 33 y

comon

22 k r

; 22n k r . 22n k r .

Reemplazando n1, n2, n3 en la forma bilineal y simplificando:

2133132232112

2333

2222

2111 k x.x..2x.x..2x.x..2x.x.x.

Expresión cuadrática, lugar geométrico de los extremos Q(x1,x2,x3) que representa una“Cuádrica” en el espacio referido a losejes x1 x2 x3 que no es mas que unasuperficie de 2° grado, así como en elespacio de dos dimensiones (x1 x2) o seaen el plano, la expresión cuadráticarepresenta una cónica.Si referimos esto a las direcciones

principales la ecuación de la cuádrica

estaría dada por: 223)3(

22)2(

21)1( k x.tx.tx.t

donde t(i) son las tensiones principales.

Se cumplirá que:n

k r OQ

es inversamente proporcional a la raízcuadrada del valor absoluto de n y además como r es normal al plano d, la dirección de n

coincide con la de r.Es también posible demostrar que el tn coincide con la dirección que define al plano

tangente en Q (plano ) y por lo tanto será:tn

Aclaremos que el plano (n) define la dirección conjugada de n para la cuádricacaracterística y que la misma tendrá direcciones principales que coincidirán con lasdirecciones principales de tensiones.

La bibliografía de la especialidad muestra el tipo de cuádrica que se da para los distintoscasos de tensiones, señalando aquí que pueden ser elipsoides e hiperboloides de revolución ono, esferas, etc.12

12

(Tema con agregado: Brook_Le quadric.pdf)

x3

x2x1

x3

x2

x1

Q(x )1,x ,x2 3

3

2

1

n

n

n

n

r

dso

Q

cuádrica

r

n

tn

n

x3=x(3)

x1=x(1)

ox2=x(2)

n


30/138



1.8 ELIPSOIDE DE TENSIONES (O DE LAMÉ)

Referimos a ejes ordinarios:

333223113n3

332222112n2

331221111

n

1n

n.n.n.t

n.n.n.tn.n.n.t

n.Tt y con 1nnn 2322

21

Se puede construir una gráfica que, luego de bastante álgebra será:

Será:0AttAttAttAtA

tAtA)t(A)t(A)t(A

)0(n2

n3)9(

n1

n2)8(

n1

n3)7(

n3)6(

n2)5(

n1)4(

2n3)3(

2n2)2(

2n1)1(

Que en el espacio de tensiones: n11 tx n

22 tx n

33 tx

0Ax.xAx.xAx.xAxA

xA.xAxAxAxA

)0(23)9(12)8(13)7(3)6(

2)5(1)4(2

3)3(2

2)2(2

1)1(

donde, )T(AA )i()i(

Propiedades:ntOP

Los ejes principales del elipsoide son lasdirecciones principales.

Referido a los ejes principales:

Las constantes antes vistas se transforman:

0isi1

4,..,9isi0

1,2,3isit

1

A

2(i)

)i(

t

P

)3(X)2(X

3X

2X

1X )1(X

O


31/138



Pero, podemos deducir todo de cero:

3)3(

n

3

2)2(n2

1)1(n1

n

n.tt

n.tt

n.tt

n.Tt

)1(

n1

1 t

tn

)2(

n2

2 t

tn

)3(

n3

3 t

tn y con

1nnn 2322

21

Será: 1)t(

)t(

)t(

)t(

)t(

)t(2

)3(

2n3

2)2(

2n2

2)1(

2n1

Que en el espacio de tensiones: n11 tx n

22 tx n

33 tx

1txtxtx 2)3(

2

32

)2(

2

22

)1(

2

1

Representa un Elipsoide de Tensiones o de Lame cuyos ejes principales son

)1(t )2(t )3(t

Siendo:

2n3

2n2

2n1

23

22

21

n

)t()t()t(xxx

tOP

El Elipsoide de Tensiones nos da el

valor absoluto de nt y su dirección.

O

x(1)

n

x(2)

x(3)

t(1)t

n

t(2)

t(3)

t1n

t3n

t2n

P d i r e

c c i ó n

d e t n

x3

x1

ox2

|t(1)|

|t(2)|t1

|t(3)|

t2

t3


32/138



1.9 TENSOR ESFÉRICO Y DESVIADOR

La individualidad es un carácter impregnante de las cosas, pero también puede decirse que

no hay nada individual que no tenga carácter reconocible mediante el pensamiento universal.

Samuel Al exander (1859-1938) Filósofo británico ___________________________________________________________________________

Analicemos un estado de tensiones definido por:

T =

333231

232221

131211

Y el valor de

ii1

)3()2()1(3322110 .31

3I)ttt.(

31).(

31

Dadas las propiedades de los tensores y de las matrices que los representan, es posible pensar a T como la suma de dos tensores que denominaremos:a) Tensor esférico o hidrostático de tensiones:

0

0

0

ij000

00

00

00

.I.T

b) Tensor desviador de tensiones:

)(

)(

)(

SSS

SSS

SSS

].[]S[T

0333231

23022211312011

333231

232221131211

0ijijijd

Es inmediato que se cumple: T = T0 + Td

El tensor esférico tiene una tensión constante sobre las direcciones principales y representaa un estado con una tensión normal uniforme en todas sus direcciones no existiendo tensionestangenciales en ninguna dirección.

La cuádrica de Cauchy asociada es una esfera donde cualquier dirección es principal.

Sus invariantes son:

332211001 .3I

2332211

2002 )(3

1.3I

3332211

3003 )(27

1I

El tensor desviador [Sij] tiene sus direcciones principales coinciden con las de T = [ij].Para las direcciones principales se cumplirá que las tensiones principales serán:

0)i()i( tS


33/138



siendo sus invariantes:)t()t()t(0)()()(I 0)3(0)2(0)1(0330220111d

quedando definida sus tensiones y direcciones principales por:0IS.IS 3d)i(2d

3)i(

)]()2).(2(

)2).(2()2).(2[(9

1

)()).(()).(()).((

)SSS(S.SS.SS.SI

231

223

212332211221133

221133113322113322332211

231

223

212011033033022022011

231

223

2121133332222112d

)(]...[

6

2

)(].3.3.3333[9

1

231

223

212113333222211

233

222

211

231

223

212113333222211

233

222

211

Metiendo el “2” en el paréntesis y separando en dos términos iguales a las tensiones normales:

)(])()()[(6

1I

)(].2.2.2[6

1

231

223

212

21133

23322

222112d

231

223

2121133

211

2333322

233

2222211

222

211

212033

231022

223011

3123120330220113d

).().().(

...2)).().((I

Referido a direcciones principales:

0I 1d

])tt()tt()tt[(6

1I 2)1()3(

2)3()2(

2)2()1(2d

)).().((I 0330220113d

Respecto de las Cuádricas de Cauchy que analizamos referida a los ejes principales podemos decir:

a) Tensor esférico:22

322

210 k )xxx( que representa una esfera.

b) Tensor desviador:Siendo

0SSS)t()t()t(I )3()2()1(0)3(0)2(0)1(1d

Los 3 )i(S no son del mismo signo pues su suma es igual a cero, lo cual nos indica una

cuádrica22

3)3(22)2(

21)1( k x.Sx.Sx.S

en la cual se cumple que al no ser los tres S (i) del mismo signo representa un hiperboloidecuyos ejes principales coinciden con los del tensor original T.


34/138



1.10 TENSIONES OCTA ÉDRICA S:

Analicemos un plano ni referido a sus ejes principales con:

321 nnn

1nnn 2322

21

3

1

3

1nnn 321

0)3()2()1(23)3(

22)2(

21)1(

no )ttt(3

1n.tn.tn.t

21

23

2)1()3(

23

22

2)3()2(

22

21

2)2()1(

n n.n.)tt(n.n.)tt(n.n.)tt(o

2)1()3(

2)3()2(

2)2()1(

n )tt()tt()tt(3

1o

Las ocho caras del octaedro tienen iguales valores absolutos de las tensiones octaédricas.Es común en el tratamiento de suelos y materiales similares, introducir invariantes detensiones y deformaciones directamente relacionadas con tensiones octaédricas:

3

I)ttt(

3

1 p 10)3()2()1(

no

21

2d)2(2

)2()1(n )I(3......t()tt(

2

1

2

3q o

Es bueno aprovechar la relación con los invariantes para poder “ver” a “p” y “q”, en ejesordinarios

21

231

223

212

21133

23322

22211

2

1

2d

ii332211

)(6])()()[(2

1)I(-3q

3

1)(

3

1 p

o

x(1)ni

x(2)

x(3)

t0n

x(3)

x(1)

x(2)

0n

0n


35/138



1.11 PROBLEMA S DE TENSIONES:

Problemas resueltos

Problema 1

Dado el tensor de tensiones en el punto P.

3507

0217

7714

T

Calcular la tensión sobre el plano de la figura:

Resolución:La ecuación del plano es C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 =1 , usando los puntos por los que pasa el

plano sale que para el plano de la figura:6 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 12

Para el cálculo de n , usando 2 vectores cualesquiera del plano

321

321

e4e0e2vGBVector

e4e6e0uEBVector

Aplicando producto vectorial, obtendremos un vector normal al plano formado por ambosvectores pertenecientes al plano en estudio.

28'ne12e8e24

402

460

eee

'n'nvxu 321

321

Haciéndolo versor: 321 e7

3e

7

2e

7

6

'n

'nn

Obteniendo de esta manera el versor que representa al plano EGB, pudiendo ahora obtener elvector tensión actuante sobre dicho plano:

n.Tt n

9

12

11

73

72

76

3507

0217

7714

x 321n e9e12e11t

Problema 2:Determinar las componentes de la tensión tangencial sobre el plano del ejercicio

anterior.


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t

1x

0e

1e

0e

1e

2e

11 ee

2e 2e31B

2e

1e

e

r e

a) Tensión normal7

117n*T*nTn

b) 16.87117346t 22n2nn

Problema 3

Se dan a continuación distintas transformaciones, algunas ficticias y otras usadas enfísica e ingeniería.a) Las coordenadas polares en el plano cumplen con :

21

21r

e).cos(.r e).(sen.r e

e).(sene).cos(e

Calcular las derivadas de r e y e con relación a r y θ.

b) Dada la trasformación de coordenadas planas donde eye 21 soncoordenadas cartesianas.

212

11

eee

ee

Calcular: las componentes de los vectores 21 ee.51A y

2e.31B en el sistema nuevo

c) Dada la transformación espacial indicada en la figura, conocida como transformaciónde Minkowski (no se grafican 32 x,x ), donde el eje 1x se mueve a velocidad v en

dirección a 1x ( 2v11 ). En este espacio, c=1 (vel. luz), t (tiempo) se mide en

metros y xi (distancias) se miden en metros también respetando que 1s=3*108m y

1m=1/(3*108)s. En este espacio especial, c es una línea a 45° y es adimensional. Como

en el anterior, 321 eye,e son coordenadas cartesianas y e0 representa al tiempo y se

cumple que 1e.e 00 (conservación de intervalo).

eeee00e.e..ve

00e..ve.e

3322101

100

Calcular las componentes del vector

31 e.2e.5A en el sistema nuevo


37/138



Resolución:

a) La solución será, teniendo en cuanta que 1e y 2e son constantes e igual a 1:

r 2121

21r r

er e).(sen.r e).cos(.r e

er

1e).cos(e).(sen

r

e

er

1e).cos(e).(sen

e0

r

e

Con lo que notamos algo muy importante, las componentes polares no sonindependientes entre sí.

b) La solución es elemental pero su consecuencia no tanto: tras breve algebra:

21 ee56A y 21 e31e31B . Notablemente, a pesar de que los ejes 1e y 1e

coinciden, el vector B , normal a 1e , permanece normal a 1e (verificar esto) pero tiene

componente en 2e !!. Podría decir por qué?

c) También, elemental, 20e..v5e.5A 10 .

Problema 4:

a) Para el espacio de las coordenadas polares en el plano, determinar la métrica y verificar que los vectores base ser ortogonales.

b) Para el caso mostrado en el punto (b) Problema 3

c) , calcular la métrica. Luego verificar que B y 1e permanecen normales.d) Para el espacio conocido como de Minkowski, calcular la métrica y verificar la

normalidad entre los ejes x .

Resolución:a) Debemos realizar el producto de los vectores base del sistema cuya métrica se

desconoce. Ambos vectores están referidos al sistema cartesiano ortogonal, cuyamétrica es el tensor unidad. Un punto importante aquí: el producto escalar de vectores,en su definición completa, viene definido por:

ij ji ji ji g.B.Ae.eB.AB.A

En la anterior, ijg , es el tensor métrico definido en 1.3.3. Vemos que todo producto

escalar de vectores se ve afectado por la métrica. No suele aparecer porque es trivial esejes cartesianos.Entonces:

0e.e

r e.e

1e.e

r

2

r r


38/138



La métrica será2r r 0

01g . Vemos que a pesar de que los vectores base se mantienen

ortogonales, sus derivadas mutuas no son nulas. La razón es que son coordenadasortogonales que varían con la posición que ocupa el origen de estas coordenadas (las

polares) según los ejes cartesianos.

b) El tensor métrico debe ser calculado multiplicando los vectores de la base del sistema.Usando los datos del Problema 3

2)ee).(ee(e.e

1)ee.(ee.ee.e

1e.ee.e

212122

2111221

1111

Por lo tanto las componentes de tensor serán:21

11g ij . Nótese la diferencia con el

tensor en la métrica cartesiana:10

01g ij . Para probar la normalidad entre B y 1e

solo tenemos que hacer el producto escalar, pero respetando la métrica del espacionuevo:

02.0).31(1.1).31(1.0.311.1.31g.e.Be.B ij j

1i

1

c) La métrica se debe evaluar por producto de los vectores de la base en movimiento.Invirtiendo la relación conocida, es decir, tomando un movimiento -v:

eeee00ee..ve

00e..ve.e

3322101

100

1e.ee

1e.ee

1.ve.e

1.ve.e

333

222

22211

22200

Por lo tanto las componentes de tensor serán:

11

1

1

g . Interesante,

porque si formulamos la métrica en coordenadas cartesianas y agregamos él 0e ,

obtenemos el mismo tensor. Esto es porque la métrica de Minkowski es una

ampliación de la métrica cartesiana. Obviamente0

e y1

e son normales.

Problema 5:


39/138



Dado el tensor de tensiones:

27300

30010

0103

T

Calcular:

a) Tensor esférico y desviador. b) Tensiones principales del tensor desviador.c) Direcciones principales del tensor desviador, sabiendo que para este sistema de

ecuaciones no lineales, las incógnitas n1, n2 y n3 se obtienen:

i

ii1 D

An ;

i

ii2 D

Bn ;

i

ii3 D

Cn , con

212

ni22

ni11i

213

ni33

ni11i

223

ni33

ni22i

*C

*B

*A

iiii CBAD

Resolución de a): ijijoij S 832703

3kk

0

19300

30810

01011

8

8

8

T

Resolución de b): aplicamos ecuación Secular: Id1 = 0; Id2 = -1273; Id3 = -9672Rta: S1 = 31 ; S2 = 8 ; S3 = -39

Resolución de c):

473,0

788,0

394,0

n1

;

304,0

274,0

912,0

n 2 ;

827,0

551,0

11,0

n 3

Problema 5:En un medio de continuo, el campo de tensiones está dado por el tensor:

232

3

21

2

2

12

222

1

x200

03/x3xxx1

0xx1xx

T

Determinar:a) La distribución de fuerzas másicas si a través de todo el campo se satisfacen las

ecuaciones de equilibrio.

b) Las tensiones principales en el punto a20,a,Pc) El corte máximo en P.d) Las tensiones desviadoras principales en P.

Resolución

principalensiónT:ni


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