Apunte Electricidad - Desconocido.pdf
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Complemento de la Asignatura Dispositivos Electrónicos
Elementos de Teoría de los Circuitos
1 - Fuentes de tensión y de corriente
Todo circuito eléctrico necesita para su operación de la presencia de fuentes de energía
eléctrica. Estas fuentes pueden ser generadores de tensión o de corriente.
1.1 - Generadores de tensión ideales
Una fuente de tensión ideal es un elemento que produce
entre sus dos terminales una diferencia de tensión constante e
independiente de la corriente que por ellos circule. En electrónica
estos generadores de tensión se suelen representar mediante los
símbolos que muestra la figura 1:
a) corresponde a una fuente de tensión continua de valor V volts,
el terminal de trazo corto y grueso representa al terminal
negativo y el largo y fino al positivo.
b) es el símbolo de una fuente de tensión variable en el tiempo de
valor v(t) que mantiene en todo momento su polaridad.
c) es otro símbolo diferente para expresar lo mismo que (b).
1.2 - Generadores de tensión reales
Un generador de tensión ideal entrega en sus terminales un valor de tensión que es
independiente de la corriente que deba entregar. Pero un generador de tensión real no se comporta de la
misma manera, sino que solamente mantiene entre sus terminales el valor nominal de tensión cuando
no debe entregar corriente, es decir a circuito abierto, en
cambio, cuando debe suministrar corriente, la tensión sobre sus
terminales decrece. Como esta caída resulta ser proporcional a la
corriente que suministra el generador, la misma puede
explicarse como debida a una cierta resistencia interna del
mismo. Es así que un generador de tensión real puede
concebirse como un generador de tensión ideal que tiene en
serie con él una resistencia interna. Siendo que la resistencia
interna de los generadores de tensión ideales es nula, cuanto más
pequeña sea la resistencia interna de un generador de tensión
real tanto más próximo será su comportamiento al de un
generador de tensión ideal. Así, por ejemplo, una pila puede tener una resistencia interna del orden del
ohm, mientras que en un circuito electrónico en el que se ha buscado una muy baja resistencia interna
pueden lograrse valores muy inferiores. Con estas consideraciones acerca de los generadores de tensión
reales, los símbolos que emplearemos para los mismos se aprecian en la Figura 2. Los tipos de
generador que se ven en (a), (b) ó (c) corresponden a la misma descripción dada en correspondencia
con la Figura 1.
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1.3 - Generadores de corriente ideales
Una fuente de corriente ideal es un elemento que hace circular
entre sus dos terminales una corriente de valor independiente de la
tensión aplicada entre ellos. En electrónica estos generadores de
corriente se suelen representar mediante los símbolos que muestra la
figura 3:
a) representa indistintamente a una fuente de corriente constante de
valor I o variable en el tiempo de valor i(t). La flecha indica el
sentido de circulación de la corriente. Hemos indicado con i(t) a la
corriente, pues corresponde a una expresión genérica en la cual la
corriente puede ser constante para cualquier valor de tiempo.
b) corresponde a otro símbolo que indica lo mismo que (a).
1.4 - Generadores de corrientes reales
Un generador de corriente ideal hace circular por su circuito externo siempre una corriente
constante de valor nominal que es independiente de la
tensión que se desarrolle entre sus terminales. Pero un
generador de corriente real no se comporta de la manera
indicada, sino que solamente entrega la corriente nominal
cuando su circuito externo es un corto circuito, es decir,
que no aparece tensión entre sus terminales, pero cuando
entre sus terminales aparece una cierta tensión, la corriente
que entrega es menor que su valor nominal. Como esta
pérdida de corriente resulta ser proporcional a la tensión
entre sus terminales, puede explicarse como debida a una
cierta resistencia interna en paralelo con el generador, y el
comportamiento de un generador de corriente real puede describirse como el de un generador de
corriente ideal que tiene en paralelo con él una resistencia interna. Siendo que la resistencia interna de
los generadores de corriente ideales es infinita, cuanto más grande sea la resistencia interna de un
generador de corriente real, tanto más próximo será su comportamiento al de un generador de corriente
ideal. Con estas consideraciones acerca de los generadores de corriente reales, los símbolos que
emplearemos para los mismas son los que muestra la figura 4.
1.5 - Equivalencia entre generadores de tensión y de corriente reales
Una fuente de energía eléctrica real, que posee una
resistencia interna, puede representarse indistintamente como un
generador de tensión real o un generador de corriente real ya que el
comportamiento de ambos generadores reales, como puede
demostrarse, es equivalente.
Demostremos ese comportamiento equivalente. Sea una
fuente de tensión real de resistencia interna Riv
conectada a un
determinado circuito. Lo dicho se muestra en la figura 5.
Para obtener el valor de vo
debemos recorrer la rama donde
está el generador en el sentido supuesto para vo, es decir, de abajo
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hacia arriba en la figura, y allí observar que primeramente encontramos una elevación de tensión
debido a la presencia del generador, y finalmente una caída de tensión al recorrer una resistencia en el
mismo sentido que la corriente propuesta. De esta manera, resulta que los valores de vo e i
oestán
ligados por la siguiente expresión:
ivoo R.ivv (1)
De tratarse de un generador de corriente real de resistencia
interna Rii conectado de manera similar, el circuito queda como
muestra la figura 6.
Para obtener el valor de vodebemos ver que parte de la
corriente i del generador circula por la resistencia Rii, según
podemos apreciar, una parte io circula por el resto del circuitoy el
remanente, es decir i-io, circula de arriba hacia abajo por la
resistencia interna dando lugar a una caída de tensión, que es el
valor de vo que deseamos obtener. De esta manera, resulta que los
valores de vo e i
o están ligados por la siguiente expresión:
iioiiiioo R.iR.iR).ii(v (2)
Si observamos las expresiones (1) y (2), se observa que si Riv
=Rii
=R , para que ambas sean
iguales tendrá que verificarse que v=i.R de donde i=v/R. En ese caso, ambas expresiones resultan
idénticas, y por lo tanto el comportamiento del generador de tensión y el de corriente resultan
equivalentes. En conclusión:
Un generador de tensión con su resistencia interna en serie es equivalente a un generador de
corriente con la misma resistencia interna en paralelo, si el valor del generador de corriente es
igual al valor del generador de tensión dividido la resistencia interna.
Esto permite que cualquier generador real pueda ser considerado un generador de tensión o de
corriente según más convenga en cada caso.
Sin perjuicio de la afirmación anterior que permite el uso de cualquiera de los dos modelos para
representar un generador eléctrico real, cabe preguntarse cuál es el más recomendable. En general, si el
generador tiene una resistencia interna baja, lo que lo aproxima al generador de tensión ideal,
convendrá utilizar el modelo basado en un generador de tensión ideal con una resistencia interna en
serie. Por el contrario, de tener una resistencia elevada, probablemente convenga emplear el modelo
basado en un generador de corriente ideal con una resistencia interna en paralelo.
1.6 - Divisores de Tensión
Un circuito relativamente simple pero que aparece
reiteradamente en los sistemas eléctricos y electrónicos es el
formado por un generador de tensión ideal al que se hallan
conectadas dos resistencias R1 y R
2 en serie, tal como muestra la
figura 7.
De acuerdo a lo que viéramos recientemente en
correspondencia con los generadores de tensión reales, la resistencia
R1
puede corresponder a la interna del generador y R2 ser la carga
del mismo.
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Un circuito como el descripto es denominado divisor de tensión porque la tensión del generador
queda distribuida entre ambas resistencias, según una proporción que veremos a continuación.
Por el circuito circulará una corriente que de acuerdo con la ley de Ohm será:
21 RR
VI
(3)
La tensión V2
sobre la resistencia R2
por la misma ley, será el producto de dicha resistencia por
la corriente que circula por ella, luego:
21
222
RR
RVR.IV
(4)
Si quisiéramos conocer la caída de tensión V1 sobre la resistencia R
1, aplicaríamos la misma ley,
luego:
21
111
RR
RVR.IV
(5)
Observando las expresiones (4) y (5), podemos extraer la siguiente regla:
En un divisor de tensión, la caída de tensión en cada una de las resistencias es igual al valor de
la tensión del generador multiplicado por la resistencia sobre la cual se desea conocer la caída
de tensión y dividido por la resistencia total, es decir, la suma de ambas resistencias. Si
sumamos las expresiones (4)y (5), veremos que se verifica que V=V1+V
2, es decir, que la
tensión aplicada por la fuente es igual a la suma de las caídas sobre las resistencias que se
hallan alimentadas en serie por dicha fuente..
La reiterada aparición de divisores de tensión en los circuitos eléctricos hace aconsejable
efectuar su análisis en particular como acá se ha hecho. Pero convendrá ahora estudiar el análisis de los
circuitos eléctricos de una manera más general, como se hace a continuación.
2 - Resolución de circuitos
2.1 - Leyes de Kirchhoff
Antes de ver las leyes de Kirchhoff que nos permitirán resolver las circuitos eléctricos, conviene
clarificar la nomenclatura que utilizaremos:
rama: tramo de circuito de dos terminales donde hay uno o más elementos circuitales en serie
nodo: punto donde concurren 2 o más ramas
malla: circuito cerrado, es decir, que se puede recorrer a partir de un nodo y, atravesando
distintas ramas, se puede retornar al nodo incial.
Con estas definiciones las leyes de Kirchoff se pueden expresar de la siguiente manera.
Ley de las tensiones: al recorrer una malla eléctrica, la suma de las subidas de tensión es igual a
la suma de las caídas.
Dicho en otras palabras, si al circular por una fuente de tensión entramos por el polo negativo de
la misma, tendremos una subida y por el contrario será una caída, si entramos por el polo positivo. En
cuanto a las resistencias que encontramos en nuestro camino, tendremos una caída de tensión si la
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circulación coincide con el sentido de la corriente sobre la misma y será una subida si circulamos en
sentido contrario a dicha corriente. En todos los casos la suma de las tensiones tendrá que ser nula.
Ley de las corrientes: la suma de las corrientes que ingresan a un nodo es igual a la suma de las
corrientes que salen del mismo.
Dicho de otra manera, si consideramos positivas a las corrientes entrantes a un nodo y negativas
a las salientes, la suma de las corrientes que concurren a un nodo deberá ser nula.
El empleo de dichas leyes para la resolución de los circuitos eléctricos puede hacerse mediante el
llamado método de las ramas, que consiste en lo siguiente:
1) Se le da un nombre y se supone un sentido a las corrientes en cada una de las ramas. El sentido
asignado es arbitrario, porque si del cálculo resulta posteriormente un valor negativo para esa
corriente, significa que el sentido real es el contrario al supuesto.
2) Se aplica la ley de las corrientes en todos los nodos del circuito excepto en uno de ellos, porque
puede demostrarse que la ecuación que resulta en ese nodo no es independiente de las ecuaciones
que se obtienen en los otros.
3) Se aplica la ley de las tensiones recorriendo las diferentes mallas independientes del circuito. Valen
las siguientes observaciones.
a) el número de mallas independientes de un circuito es igual al número de ramas menos el
número de nodos independientes (es decir, el número total de nodos menos uno). En un circuito
que puede ser representado en un plano, las mallas independientes son aquellas que no pueden
descomponerse en mallas más simples.
b) es práctica recomendada recorrer todas las mallas independientes siempre en el mismo sentido,
siendo lo más frecuente el empleo del sentido dextrógiro, es decir, en el sentido del movimiento
de las agujas de un reloj.
c) al recorrer una malla se debe tener presente que hay una subida de tensión cada vez que se
atraviesa un generador de tensión ingresando por su terminal negativo, y una caída de tensión
cada vez que se recorre una resistencia en el sentido asignado a la corriente que la atraviesa. Por
el contrario será una caída de tensión si se atraviesa un generador ingresando por su polo
positivo y una subida si se recorre una resistencia en sentido contrario a la corriente que por ella
circula.
d) Las ecuaciones obtenidas en los pasos 2) y 3) forman un sistema de ecuaciones independientes
cuyo número iguala al número de incógnitas (las corrientes en cada una de las ramas), el que se
resuelve con los métodos comunes del álgebra.
Ejemplo: Resolveremos el circuito eléctrico que muestra la figura 8(a) por el método de las
ramas. Dicho circuito consta de 3 ramas y para aplicar el método, tendremos que adjudicar una
corriente en cada una de ellas. Dichas corrientes las llamaremos I1
, I2
e I3
y se las indica en la figura
8(b). Las incógnitas son 3 por lo tanto necesitaremos plantear 3 ecuaciones, una por cada malla, o sea 2
y una para un nodo. Como podemos apreciar en dicho circuito existen dos nodos, pero un simple
análisis nos permite observar que concurren a los dos las mismas corrientes, por lo cual no son
independientes y basta con considerar solamente uno de ellos.
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Haciendo la circulación en el sentido de las agujas del reloj en cada malla, obtenemos las
ecuaciones siguientes:
32211 I.0I.RI.RV reemplazando valores: 321 I.0I.K3I.K6V (5a)
33221 I.RI.RI.00 reemplazando valores: 321 I.K4I.K3I.00 (5b)
y por último, planteando la ecuación de corriente en uno de los nodos.
321 III0 (5c)
tenemos pues un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que se resuelve empleando cualquiera de los
mecanismos habituales del Álgebra. Aplicando por ejemplo la regla de Cramer, podemos hallar el valor
de las 3 corrientes.
mA33,2K54
VK126
111
K4K30
0K3K6
110
K4k30
0K3V18
I221
mA33,1K54
VK72
111
K4K30
0K3K6
101
K400
0V18k6
I222
mA1K54
VK54
111
K4K30
0K3K6
011
0K30
V18K3K6
I223
Con la obtención de la corriente en cada rama, queda resuelto el problema.
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2.2 - Principio de superposición
El principio de superposición establece que:
En un circuito "lineal" donde existen varios generadores independientes, las tensiones y
corrientes en los distintos nodos y ramas es la misma que resulta de sumar las contribuciones
de cada uno de esos generadores por separado, estando los restantes desactivados. La
desactivación de un generador consiste en anular su valor, es decir reemplazando una fuente
de tensión ideal por un cortocircuito y una fuente de corriente por un circuito abierto, pero
reteniendo en el circuito, las resistencias internas de los generadores de tratarse estos de
generadores reales.
La aplicación de este principio simplifica la resolución de los circuitos complejos que incluyen
varios generadores independientes, razón por la que es muy recomendable su empleo en esas
circunstancias, porque si bien se debe resolver un circuito por cada uno de ellos, al desactivar todos los
otros generadores cada circuito puede resolverse muy fácilmente. La corriente en cada rama será la
suma de las originadas por cada generador en forma independiente.
2.3 - Teorema y circuito equivalente de Thevenin
Cuando en un circuito eléctrico de cierta complejidad sólo se tenga un interés particular en
conocer la tensión y/o corriente en una de sus ramas (situación que en electrónica suele presentarse con
frecuencia) puede resultar simple el reemplazar todo el circuito exterior a la rama en que se tiene
interés por un circuito que se comporte (visto desde sus dos terminales de conexión con dicha rama) de
idéntica manera que el circuito real.
El Teorema de Thévenin provee la herramienta que estamos buscando. Dicho Teorema
establece que:
Visto desde sus 2 terminales, un dipolo activo (es decir, una red de 2 terminales que contiene
generadores independientes en su circuito) puede ser reemplazado por otro dipolo constituido
por un generador de tensión en serie con una resistencia, si dicho generador tiene un valor
igual a la tensión entre los terminales del dipolo cuando no existe conexión externa alguna
conectado entre sus dos terminales (la llamada tensión a circuito abierto o tensión de Thévenin,
que simbolizaremos VT) y la resistencia (llamada resistencia de Thévenin, que simbolizaremos
RT) es igual a la resistencia vista desde los dos terminales del dipolo cuando se desactivan
todos los generadores independientes que contiene.
La figura 9 simboliza lo que expresa este teorema. Desde el punto de vista de la resistencia R,
los circuitos (a) y (b) se comportan de la misma manera, por lo que se dice que el de la derecha es el
circuito equivalente de Thévenin.
La demostración de este teorema, se verá en el curso de Teoría de los Circuitos en tercer año.
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2.4 - Teorema y circuito equivalente de Norton
Dada la equivalencia entre un generador de tensión en serie con una resistencia y un generador
de corriente con la misma resistencia en paralelo, parafraseando el Teorema de Thévenin se puede decir
que:
visto desde sus 2 terminales, un dipolo activo puede ser reemplazado por otro dipolo
constituido por un generador de corriente en paralelo con la resistencia de Thévenin, si dicho
generador tiene un valor igual a la tensión de Thévenin dividida por la resistencia de
Thévenin.
Así expresado esto se conoce con el nombre de Teorema de Norton, y el valor del generador de
corriente (cociente entre la tensión y la resistencia de Thévenin) se conoce como corriente de Norton y
se suele representar como IN
Así como la tensión de Thévenin es la tensión entre los terminales del dipolo a circuito externo
abierto, la corriente de Norton es la corriente por los terminales del dipolo con el circuito externo en
cortocircuito. Compruébese, efectivamente en el dibujo de la derecha, que cuando R=0 circula por ella
la corriente IN.
2.5 - Ejemplo de aplicación
Para comprender mejor la aplicación de los teoremas de Thévenin y Norton, y las ventajas de la
mayor simplicidad que pueden aportar, supongamos que en el circuito de la figura 8(a), en el cual
hemos determinado las corrientes en sus ramas, quisiéramos, por ejemplo, cambiar la resistencia R3
de
4K a 2K y conocer la corriente que circularía por la nueva resistencia utilizando las leyes de
Kirchhoff, tendríamos que rehacer totalmente el cálculo para el circuito completo.
Veamos el procedimiento aplicando el Teorema de Thevenin. Lo aplicaremos a la izquierda de
los puntos marcados a y b en la figura 11(a). Elminamos la rama sobre la cual queremos calcular la
corriente, es decir I3 , y el circuito queda como indica la figura 11(b).
Vamos a calcular la tensión de Thévenin VT
sobre el circuito de la figura 11(b), para lo cual
eliminamos la carga y calculamos la caída de tensión entre los puntos a y b.
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V6K3.K3K6
V18VT
(6)
y la resistencia de Thevenin RT
la calcularemos cortocircuitando la fuente en el circuito de la figura
11(b) y calculando la resistencia que se ve entre los puntos a y b la misma será:
K2
K3K6
K3.K6RT (7)
Con lo que el circuito equivalente queda como muestra la figura 11(c), y la corriente por la
resistencia de 4K puede ahora ser calculada como 6V/6K=1mA.
Pero si la resistencia de 4k cambiase ahora de valor, y fuese de 2k, simplemente el nuevo
cálculo daría para la corriente por ella 6V/4k=1,5mA.
3 - Introducción a los circuitos de corriente alterna
Se denominan circuitos de corriente alterna a aquellos en los cuales las tensiones y corrientes
pueden variar con el tiempo.
En electrónica, es de interés analizar la respuesta permanente de un circuito ante una excitación
periódica determinada. Una forma de encarar este problema es partir de la ecuación diferencial y
considerando nulas las condiciones iniciales, obtener la solución particular de la ecuación completa, es
decir, la llamada respuesta forzada. Esta forma de encarar el problema indicado se denomina análisis
en el dominio del tiempo.
Dado que toda señal periódica puede representarse por una serie de Fourier donde sólo aparece
un término constante más señales senoidales de la misma frecuencia de la señal periódica y sus
múltiplos (armónicas), es posible analizar el desempeño del circuito analizando su comportamiento
frente a señales senoidales de variada frecuencia. Un estudio como el indicado se denomina análisis en
el dominio de la frecuencia, y justifica nuestro interés en estudiar el comportamiento de los circuitos
electrónicos frente a la excitación de señales senoidales.
3.1 - Valores instantáneo, pico y eficaz de una tensión alterna senoidal
Una tensión senoidal puede ser expresado por su valor instantáneo que es una función senoidal
del tipo:
)tsen(.V)t(v m (8)
en donde:
Vm es el valor máximo de la tensión, también llamado valor de cresta, valor de pico, o, más
simplemente, amplitud de la señal senoidal.
es la pulsación (también llamada frecuencia angular) cuya unidad es radianes por segundo.
es la fase que corresponde al instante inicial
La pulsación está relacionada con otros dos parámetros importantes de una señal senoidal:
la frecuencia f (medida en c/s ó Hertz) que es el número de ciclos de la señal senoidal por
unidad de tiempo. Dado que un ciclo corresponde a 2 radianes, =2f de donde f=/2.
el período T, que es la duración de un ciclo de la señal senoidal, e igual a la inversa de la
frecuencia, es decir, T=1/f y, por lo tanto, igual a 2/.
Otro valor de una señal senoidal que resulta de interés definir es el valor eficaz. El interés en este
valor surge de la observación de que la energía que suministra una fuente senoidal de amplitud Vm
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sobre una resistencia R es menor que la que le suministraría una tensión continua de valor Vm, ya que
en la onda senoidal la mayor parte del tiempo la tensión es menor que su valor máximo. Interesa
determinar, entonces, la capacidad de suministrar energía de una onda senoidal.
La potencia que una cierta tensión v(t) aplicada sobre una resistencia R entrega a dicha
resistencia vale:
R
)t(v)t(i).t(v)t(p
2
(9)
Calculemos ahora la potencia promedio p entregada al cabo de un período T, es decir, a lo largo
de un ciclo, por una onda senoidal definida como )tsen(.V)t(v m . Nótese que hemos de hacer
el cálculo a lo largo de un período, por lo que la fase inicial bien podemos considerarla nula para
nuestro cálculo, sin perder por ello generalidad.
T
0
22m
T
0
2
dt.tsenVTR
1dt
R
)t(v
T
1p
y recordando de trigonometría que 2
t2cos1tsen2
, podemos escribir:
0TTR2
Vt2cosdt
TR2
Vdt
2
t2cos1
TR
Vp
2m
T
0
T
0
T
0
2m
2m
de donde finalmente:
R2
Vp
2m (10)
Se define como valor eficaz (o raíz del valor cuadrático medio) de una tensión senoidal al valor
de la tensión continua que aplicada sobre una resistencia R produce en ella la misma disipación de
potencia promedio que dicha onda senoidal. El valor eficaz se simboliza con el subíndice rms (por las
iniciales de su denominación inglesa root mean square), vemos que su valor debe satisfacer la relación:
R2
V
R
V2
m2
rms de donde 2
VV m
rms (11)
Es decir que el valor eficaz de una onda senoidal es de sólo el 70,7% de su amplitud.
3.2 - Repaso de los números complejos
En el estudio de las señales senoidales aparece reiteradamente la referencia a los números
complejos, en el siguiente cuadro se presentan algunas de las expresiones más útiles con este tipo de
números.
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Expresión Comentario
1j la unidad imaginaria
)db(j)ca()jdc()jba( regla del paralelogramo
senjcose j relación de Euler.
Nótese que el módulo del complejo ej
es 1, por
aplicación de la propiedad siguiente.
j)a/barctg(.j22 ee.bajba
senjcose j
conversión entre las formas cartesiana y polar.
y son, respectivamente, el módulo y la fase
de la forma polar
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc)
)21(j21
2j2
1j1 eee
producto de complejos
22 ba)jba)(jba(
2jj e.e
producto de complejos conjugados
22 dc
)adbc(j)bdac(
jdc
jba
)21(j
2
1
2j2
1j1 e
e.
e.
cociente entre complejos
4 - Inductores, capacitores, ecuaciones diferenciales
Una de las características de los circuitos excitados con generadores de onda senoidal, es que si
en los circuitos eléctricos de corriente continua los únicos elementos que limitan la circulación de
corriente son las resistencias, en los circuitos de corriente alterna intervienen además los inductores y
los capacitores. Las resistencias son elementos disipativos y la vinculación entre la tensión aplicada a
ellas y las corrientes que las atraviesan es una simple expresión algebraica, la ley de ohm, en el caso de
inductores y capacitores, elementos capaces de almacenar energía (el primero de naturaleza
electromagnética, y el segundo electrostática) la relación entre tensión y corriente no es una expresión
algebraica sino una diferencial.
Así, en un inductor, la tensión sobre el mismo es proporcional a la derivada de la corriente que
lo atraviesa con respecto al tiempo, mientras que en un capacitor la corriente por el mismo es
proporcional a la derivada de la tensión sobre él aplicada. Es decir, valen respectivamente las
expresiones:
dt
idLv (12a)
e
dt
dvCi (12b)
En los circuitos de corriente continua estos elementos circuitales no fueron considerados por lo
siguiente:
en el caso de los inductores, al ser las corrientes constantes (es decir de derivadas nulas) la tensión
sobre los mismos es cero y su comportamiento corresponde a un cortocircuito
en el caso de los capacitores, al ser las tensiones constantes (es decir de derivadas nulas) la
corriente a través de los mismos es cero y su comportamiento corresponde a un circuito abierto.
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Otra de las características de los circuitos de corriente alterna que merece destacarse es que,
siendo la excitación de tipo senoidal, todas las tensiones entre los diferentes nodos y todas las
corrientes por las diferentes ramas son también funciones senoidales, de la misma frecuencia que la
excitación, aunque de amplitud y fase particulares de cada caso. Este carácter universal de las ondas
senoidales, ha llevado a desarrollar una transformación específica para ellas con el fin de simplificar y
sistematizar el tratamiento de estos circuitos de corriente alterna. Se trata de la transformación fasorial
que se detalla a continuación.
4.1 - Transformación fasorial
Para realizar el análisis de los circuitos en corriente alterna se ha encontrado muy útil efectuar
una transformación de las tensiones y corrientes senoidales en fasores armónicos. Para introducir el
concepto de "fasor armónico" convendrá destacar que el mismo tiene su base teórica en la fórmula de
Euler para los números complejos, que indica que:
senjcose j (13)
Teniendo esto en consideración, si tuviéramos que expresar la función coseno, la podemos escribir
)e(cos j (14)
en donde el símbolo significa "parte real" de un complejo. De igual forma, la función seno puede
escribirse:
)e(sen j (15)
en donde significa “parte imaginaria” de un complejo.
Con estas consideraciones, una función senoidal de amplitud A, puede escribirse de la siguiente
forma:
A.sen(t+)=[A.ej (t+)
] (16)
Al vector rotante, cuya proyección sobre el eje "imaginario" da lugar a la expresión (16), se lo
denomina "fasor armónico", o simplemente "fasor", y puede
ser representado en el plano complejo - de la forma que
indica la figura 12. Esa forma de representación, se llama
"diagrama fasorial":
El fasor está representado por su valor en el instante
inicial, Aej
. Sin embargo el fasor incluye un factor adicional
que es ejt
, cuya interpretación es el de un número complejo
de módulo unitario pero de fase linealmente creciente con el
tiempo que hace que el fasor, a partir de ese estado inicial,
gire manteniendo su módulo en sentido contrario a las agujas
del reloj (es decir, incrementando su fase) con una velocidad
angular . Y mientras el fasor armónico realiza sus giros, su
proyección sobre el eje imaginario es la función senoidal de la que hemos partido. El desplazamiengo
angular del fasor está simbolizado en la figura por el arco punteado y la flecha, pero lo habitual es que
no suele representarse el giro en los diagramas fasoriales, quedando el mismo implícito.
Según la fórmula de Euler dada por la expresión (16), el fasor de la figura 12 tendríamos que
escribirlo:
)j(A]e.A[ )t(j (17)
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En donde el primer término de la expresión (17) representa el "fasor" en su representación
estricta y el segundo término corresponde a una representación simplificada, denominada "equivalente
fasorial". Así, si v(t) es una tensión senoidal, su equivalente fasorial será simbolizado V(j) y si i(t) es
una corriente senoidal, su equivalente fasorial será simbolizado I(j).
La transformación fasorial tiene las siguientes reglas, enunciadas para tensiones senoidales pero
igualmente válidas para corrientes:
v(t) V(j) (18)
que muestra la simbología que hemos de emplear.
k.v(t) k.V(j (19)
que es una propiedad que señala que multiplicar a la función senoidal por una constante es equivalente
a multiplicar por la misma constante el fasor correspondiente.
v1(t)+v2(t) V1(j) + V2(j) (20)
esta regla establece que la transformación fasorial de la suma de dos funciones senoidales es igual a la
suma vectorial de los fasores de cada una de
ellas. Para demostrar esta propiedad, nos
referiremos al diagrama de la figura 13. En
ella vemos dos fasores )j(V1 y
)j(V2 que representan, en su proyección
sobre el eje imaginario, dos funciones
senoidales. El diagrama demuestra que si
sumamos los dos fasores empleando la
conocida regla del paralelogramo, la
proyección del fasor resultante sobre el eje
imaginario, es decir, su antitransformación
fasorial, es igual a la suma de las funciones
senoidales correspondientes a cada uno de los fasores individuales.
)j(Vjdt
dv (21)
esta regla establece que la transformación fasorial de la derivada de una variable senoidal es un fasor
cuyo módulo es veces mayor que el módulo del fasor de la variable senoidal, y su fase está
adelantada 90 grados respecto a la de dicho fasor. De allí el factor j que se observa en el fasor
correspondiente a la derivada. La demostración de esta aseveración es como sigue:
)tcos(Vdt
))tsen(.V(d
dt
dv
y recordando que º90sencos
)j(Vj)90tsen(Vdt
dv (22)
4.2 - Cociente entre fasores
Si se realiza el cociente entre dos fasores, como se muestra a continuación, se observa que el
resultado es un número complejo y no un nuevo fasor, porque desaparece el carácter de giratorio:
)(j
2
1
)tj(2
)tj(1
2
1 21
2
1
eA
A
eA
eA
)j(A
)j(A
(23)
1
V1(j) V1(j)+V2(j)
V2(j)
2
V2.sen(t+2)
V1.sen(t+1)
V2(j)
Figura 13
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Así, este número complejo indica, con su módulo, la relación entre las amplitudes de ambas
señales senoidales, y con su fase, el desfasaje entre las mismas.
4.3 - Impedancia
Si los fasores entre los cuales realizamos el cociente representa la tensión aplicada a una rama
de un circuito, y la corriente que circula por la misma, su resultado se expresa en y se denomina
impedancia de esa rama.
La impedancia de una rama, es decir el cociente entre el fasor de la tensión sobre esa rama
dividido por el fasor de la corriente que la atraviesa, se simboliza universalmente con la letra Z. Su
parte real se denomina resistencia y se simboliza R y su parte imaginaria se llama reactancia y se
simboliza X.
jXR)j(I
)(jVZ
(24)
En efecto, la impedancia es una generalización de la ley de Ohm que permite extenderla, en
términos fasoriales, a otros elementos circuitales como son los inductores y capacitores.
4.3.1 - Resistencia.
Analizando por medio de la ley de Ohm el caso conocido de la resistencia, se verifica que:
)t(i.R)t(v
transformando:
)j(I.R)j(V
de donde la impedancia, de acuerdo con la (23), queda:
R)j(I
)j(Vz
(25)
en donde vemos que la resistencia es un caso particular de impedancia.
4.3.2 - Inductancia.
En este caso, la relación entre tensión y corriente, queda expresada por la (12a), es decir:
dt
idLv
transformando:
)j(I.Lj)j(V
de donde la impedancia será:
Lj)j(I
)j(VZ
(26)
que indica que una inductancia se comporta como una reactancia de módulo L cuyo fasor adelanta 90º
con respecto del fasor de la corriente.
4.3.3 - Capacitor.
En este caso, la relación entre tensión y corriente, queda expresada por la (12b), es decir:
dt
dvCi
transformando: )j(V.Cj)j(I
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de donde:
C
1j
Cj
1
)j(I
)j(VZ
(27)
en este caso, la capacidad se comporta como una reactancia negativa de módulo 1/C. El "-j" indica
que el fasor tensión atrasa 90º respecto del fasor corriente.
En el siguiente cuadro haremos un resumen de lo recientemente expuesto:
Resistencia R
La ley de Ohm establece que:
)t(.R)t(v
Transformando
)j(I.R)j(V
De donde la impedancia resulta
R)j(I
)j(VZ
Lo que demuestra que la resis-
tencia es un caso particular de
impedancia, y que esta última es
un concepto de mayor grado de
generalidad.
Inductancia L
La ecuación diferencial
establece que:
dt
)t(dL)t(v
Transformando
)j(I.Lj)j(V
De donde la impedancia resulta
Lj)j(I
)j(VZ
Lo que demuestra que una in-
ductancia se comporta como
una reactancia de módulo L.
La presencia del factor j refleja
que el fasor tensión adelanta 90
grados respecto del fasor co-
rriente.
Capacidad C
La ecuación diferencial
establece que:
dt
)t(dvC)t(
Transformando
)j(V.Cj)j(I
De donde la impedancia resulta
C
1j
Cj
1
)j(I
)j(VZ
Lo que demuestra que una capa-
cidad se comporta como una
reactancia negativa de módulo
1/C. La presencia del factor
1/j (o, lo que es equivalente, –j)
refleja que el fasor tensión atra-
sa 90 grados respecto del fasor
corriente.
4.3.4 - Combinaciones de impedancias.
Las impedancias se pueden combinar entre sí en serie y/o en paralelo, y las fórmulas a aplicar
para calcular la impedancia resultante son similares a las empleadas para las conexiones serie y paralelo
de resistencias.
4.3.4.1 - Circuitos R-L
La impedancia de una conexión serie de una resistencia con un inductor es la suma de las
impedancias individuales, y de acuerdo a la expresión (27) resulta:
Z = R+jL (28)
si la combinación fuera en paralelo, tendríamos que aplicar la regla del producto sobre la suma, luego:.
L
Rj1
R
LjR
Lj.RZ
(29)
4.3.4.2 - Circuitos R-C
La impedancia de una conexión serie de una resistencia con un capacitor es la suma de las
impedancias individuales, teniendo en cuenta la expresión (27) resulta:
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C
1jRZ
(30)
y la impedancia de la conexión paralelo entre una resistencia y un condensador serí en este caso:
CRj1
R
Cj
1R
Cj
1R
Z
(31)
4.3.5 - Análisis de un circuito R-L.
Sea el circuito de la figura 14 constituido por una
inductancia L y una resistencia R conectadas en serie y
alimentadas por una fuente v(t), queremos hallar la caida de
tensión vo(t) sobre la resistencia.
Este circuito no es más que un divisor de tensión entre una
inductancia y una resistencia y lo utilizaremos como ejemplo para
ilustrar la aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de
corriente alterna.
La impedancia del circuito, según la expresión (28) resulta:
Z = R+jL (28)
La ecuación de la malla, en términos fasoriales, es:
)j(I.Z)j(V
Y teniendo en cuenta la (28), la corriente que circula por el circuito será:
LjR
)j(V)j(I
de donde la tensión sobre la resistencia vale:
LjR
R)j(V)j(I.R)j(Vo
La función transferenia, definida como el cociente entre la tensión de salida y la de entrada será:
Lj1
1
R
Lj1
1
LjR
R
)j(V
)j(Vo
(31)
En donde el cociente L/R tiene dimensión de la inversa de , es decir de tiempo; se lo denomina
constante de tiempo del circuito inductivo y se lo suele representar con la letra griega L
.
Observando la expresión (31), vemos que la misma para =0 será igual a la unidad, o sea que
vo=v. Esto es asi puesto que en esas condiciones, L representa un corto circuito; si en cambio , la
(31) tiende a cero, es decir que la tensión de salida vo=0. Esto es asi porque en este caso X
L y toda
la caida se produce sobre la inductancia.
4.3.6 - Análisis de un circuito R-C.
Sea el circuito de la figura 13 constituido por un capacitor C y una resistencia R conectadas en
serie y alimentadas por una fuente v(t), queremos hallar la caida de tensión vo(t) sobre la resistencia.
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Este circuito, al igual que el R-L analizado recientemente,
constituye un divisor de tensión, en este caso entre un capacitor y
una resistencia. Vamos a aplicar también aquí fasores para resolver
este circuito de corriente alterna.
La impedancia del circuito, de acuerdo con la (29), resulta:
C
1jRZ
(29)
La ecuación de la malla, en términos fasoriales, es también:
)j(I.Z)j(V
luego, teniendo en cuenta la (29), la corriente que circula por el circuito será:
C
1jR
)j(V)j(I
de donde la tensión sobre la resistencia vale:
C
1jR
R)j(V)j(I.R)j(Vo
La función transferencia, definida recientemente, será:
c
1j1
1
CR
1j1
1
C
1jR
R
)j(V
)j(Vo
(32)
En donde el cociente CR tiene también en este caso dimensión de la inversa de , es decir de
tiempo; se lo denomina constante de tiempo del circuito capacitivo y se lo suele representar con la letra
griega c.
Observando la expresión (32), vemos que la misma para =0 será igual a cero, no hay
circulación de corriente puesto que el capacitor constituye un circuito abierto para la continua; si en
cambio , la (32) se hace igual a la unidad puesto que para frecuencia infinita, el capacitor
constituye un cortocircuito y toda la caida se produce sobre la resistencia R.