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Apresentação do Cálculo
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
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Apresentação do Cálculo
1.Introdução
2.O problema da área
3.O problema da tangente
4.Velocidade
5.O limite de uma sequência
6.A soma de uma série
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1. Introdução
O cálculo é fundamentalmente diferente damatemática estudada até aqui.
O cálculo é menos estático e mais dinâmico.
Ele trata de variação e de movimento, bemcomo de quantidades que tendem a outrasquantidades.
Vamos dar uma visão geral do assunto,apresentando algumas das principais idéias docálculo, mostrando como surgem os limites quandotentamos resolver uma variedade de problemas.
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2. O problema da área
As origens do cálculo remontam à Gréciaantiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quando foramencontradas as áreas segundo o chamado “métododa exaustão”.
Naquela época os gregos já sabiamencontrar a área de qualquer polígono dividindo-oem triângulos, como na Figura 1 e, em seguida,somando-se as áreas obtidas.
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2. O problema da área
Figura 1
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2. O problema da área
É muito mais difícil achar a área de umafigura curva. O método da exaustão dos antigosgregos consistia em inscrever e circunscrever afigura com polígonos e então aumentando o númerode lados deles. A Figura 2 ilustra esseprocedimento no caso especial de um círculo compolígonos regulares inscritos.
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2. O problema da área
Figura 2
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2. O problema da área
Seja An a área do polígono inscrito com nlados. À medida que aumentamos n, fica evidenteque An ficará cada vez mais próxima da área docírculo. Dizemos então que a área do círculo é olimite das áreas dos polígonos inscritos, eescrevemos
lim nnA A
→∞=
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2. O problema da área
Os gregos, porém, não usavam explicita-mente os limites. Todavia, por um raciocínioindireto, Eudoxo (século V a.C.) usou a exaustãopara provar a conhecida fórmula da área docírculo:
2A rπ=
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2. O problema da área
No Cálculo Integral será usada uma idéiasimilar para encontrar a área de regiões do tipomostrado na Figura 3.
Figura 3
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2. O problema da área
Vamos aproximar a área desejada A poráreas de retângulos (como na Figura 4), fazendodecrescer a largura dos retângulos, e entãocalculando A como o limite dessas somas de áreasde retângulos.
Figura 4
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2. O problema da área
O problema da área é central no ramo docálculo chamado Cálculo Integral. As técnicas queserão desenvolvidas para encontrar áreas tambémpossibilitarão o cálculo de volumes de um sólido, ocomprimento de um arco, a força da água sobre umdique, a massa e o centro de gravidade de umabarra, e o trabalho realizado ao se bombear a águapara fora de um tanque.
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3. O problema da tangente
Considere o problema de tentar determinara reta tangente t a uma curva com equação y = f(x)em um dado ponto P. (Veja a Figura 5).
Uma vez que sabemos ser P um ponto sobrea reta tangente, podemos encontrar a equação de tse conhecermos sua inclinação m.
O problema está no fato de que paracomputar a inclinação é necessário o conhecimentode dois pontos e sobre t temos somente o ponto P.
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3. O problema da tangente
Figura 5. Uma reta tangente em P.
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3. O problema da tangente
Para contornar esse problema determinamosprimeiro uma aproximação para m, tomando sobre acurva um ponto próximo Q e computando ainclinação mPQ da reta secante PQ. Da Figura 6vemos que
Equação 1
( ) ( )PQ
f x f am
x a−=−
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3. O problema da tangente
Figura 6. Uma reta da secante PQ.
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3. O problema da tangente
Imagine agora o ponto Q movendo-se aolongo da curva em direção a P, como na Figura 7.Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como sua posição-limite. Istosignifica que a inclinação mPQ da reta secante ficacada vez mais próxima da inclinação m da retatangente. Isso é denotado por
lim PQQ Pm m
→=
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3. O problema da tangente
Figura 7. Uma reta secante aproximando-se de uma reta tangente.
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3. O problema da tangente
e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tendeao ponto P ao longo da curva. Uma vez que x tendea a quando P tende a Q, também podemos usar aEquação 1 para escrever
Equação 2
( ) ( )limx a
f x f am
x a→
−=−
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3. O problema da tangente
O problema da tangente deu origem ao ramodo cálculo chamado Cálculo Diferencial, que foiinventado mais de 2 mil anos após o CálculoIntegral.
As principais idéias subjacentes ao CálculoDiferencial devem-se ao matemático francêsPierre Fermat (1601-1665) e foram desenvolvidaspelos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton(1642-1727) e pelo matemático alemão GottfriedLeibniz (1646-1716).
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4. Velocidade
Quando olhamos no velocímetro de um carroe vemos que está a 48 mi/h, o que essa informaçãoindica?
Sabemos que, se a velocidade permanecerconstante, após uma hora o carro terá percorrido48 milhas.
Porém, se a velocidade do carro variar, qualo significado de a velocidade ser, em um dadomomento, 48 mi/h?
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4. Velocidade
Para analisar essa questão, vamos examinaro movimento de um carro percorrendo uma estradareta e supondo que possamos medir a distânciacoberta por ele (em pés) em intervalos de 1segundo, como na tabela a seguir:
t = Tempo decorrido (s) 0 1 2 3 4 5
d = Distância (pés) 0 2 10 25 43 78
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4. Velocidade
Como primeiro passo para encontrar avelocidade após 2 segundos de movimento vamoscalcular qual a velocidade média no intervalo detempo 2 ≤ t ≤ 4:
distância percorridavelocidade média
tempo decorrido=
43 10velocidade média 16,5 pés/s
4 2−= =−
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4. Velocidade
Analogamente, a velocidade média nointervalo 2 ≤ t ≤ 3 é
25 10velocidade média 15,0 pés/s
3 2−= =−
Nosso pressentimento é de que a velocidadeno instante t = 2 não pode ser muito diferente davelocidade média durante um pequeno intervalo detempo que começa em t = 2.
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4. Velocidade
Assim, vamos imaginar que a distânciapercorrida foi medida em intervalos de 0,1segundo, como na tabela a seguir:
t 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
d 10,00 11,02 12,16 13,45 14,96 16,80
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4. Velocidade
Computando então a velocidade média nointervalo de tempo [2, 2,5]:
16,80 10,00velocidade média 13,6 pés/s
2,5 2,0−= =−
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4. Velocidade
Os resultados desses cálculos estãomostrados na tabela:
Intervalo de tempo [2, 3] [2, 2,5] [2, 2,4] [2, 2,3] [2 , 2,2] [2, 2,1]
Velocidade média (pés/s) 15,0 13,6 12,4 11,5 10,8 10,2
As velocidades médias em intervalos cadavez menores parecem ficar cada vez mais próximasde 10; dessa forma, esperamos que exatamente emt = 2 a velocidade seja de cerca de 10 pés/s.
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4. Velocidade
Nesse semestre definiremos a velocidadeinstantânea de um objeto em movimento como olimite das velocidades médias em intervalos detempo cada vez menores.
Na Figura 8 mostramos uma representaçãográfica do movimento de um carro redesenhando adistância percorrida como uma função do tempo.Se escrevermos d = f(t), então f(t) é o número depés percorridos após t segundos.
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4. Velocidade
Figura 8
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4. Velocidade
Então, a velocidade média no intervalo detempo [2, t] é
( ) (2)velocidade média
2f t f
t−=−
distância percorridavelocidade média
tempo decorrido=
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4. Velocidade
É a mesma coisa que a inclinação da retasecante PQ da Figura 8. A velocidade v quandot = 2 é o valor limite da velocidade média quando taproxima-se de 2; isto é:
2
( ) (2)lim
2t
f t fv
t→
−=−
Pela Equação 2 vemos que isso é igual àinclinação da reta tangente à curva em P.
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4. Velocidade
Dessa forma, ao resolver o problema datangente em Cálculo Diferencial, também estamosresolvendo os problemas relativos à velocidade. Amesma técnica se aplica a problemas relativos àtaxa de variação nas ciências naturais e sociais.
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5. O limite de uma sequência
No século V a.C., o filósofo grego Zenonpropôs quatro problemas, hoje conhecidos comoParadoxos de Zenon, com o intuito de desafiaralgumas das idéias correntes em sua época sobreespaço e tempo.
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5. O limite de uma sequência
O segundo paradoxo de Zenon diz respeito auma corrida entre o herói grego Aquiles e umatartaruga para a qual foi dada uma vantageminicial.
Zenon argumentava que Aquiles jamaisultrapassaria a tartaruga, pois se ele começasseem uma posição a1 e a tartaruga em t1 (veja aFigura 9), quando ele atingisse o ponto a2 = t1 atartaruga estaria adiante, em uma posição t2.
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5. O limite de uma sequência
Figura 9
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5. O limite de uma sequência
No momento em que Aquiles atingissea3 = t2, a tartaruga estaria em t3. Esse processocontinuaria indefinidamente, e, dessa forma,parece que a tartaruga estaria sempre à frente!Todavia, isso desafia o senso comum.
Uma forma de explicar esse paradoxo usa aidéia de sequência. As posições sucessivas deAquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2,a3, … ) e (t1, t2, t3, …), conhecidas como sequências.
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5. O limite de uma sequência
Em geral, uma sequência {an} é um conjuntode números escritos em uma ordem definida. Porexemplo, a sequência
pode ser descrita como sendo dada pela seguintefórmula para o n-ésimo termo:
1 1 1 11, , , , ,
2 3 4 5
…
1na
n=
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38
5. O limite de uma sequência
Podemos visualizar essa sequência redese-nhando seus termos sobre uma reta na qual estãodeterminados um ponto zero, uma unidade demedida e um sentido crescente, como na Figura10(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura10(b).
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39
5. O limite de uma sequência
Figura 10
(a)
(b)
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40
5. O limite de uma sequência
Observe em ambas as figuras que os termosda sequência an = 1/n tornam-se cada vez maispróximos de 0 à medida que n cresce. De fato,podemos encontrar termos tão pequenos quantodesejarmos, bastando para isso tomarmos nsuficientemente grande.
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41
5. O limite de uma sequência
Dizemos então que o limite da sequência ézero, e indicamos isso por
1lim 0n n→∞
=
Em geral, a notação
lim nna L
→∞=
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5. O limite de uma sequência
será usada se os termos an tendem a um número Lquando n torna-se grande. Isso significa quepodemos tornar os números an tão próximos de Lquanto quisermos escolhendo n suficientementegrande.
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43
5. O limite de uma sequência
O conceito de limite de uma sequênciaocorre sempre que usamos a representaçãodecimal de um número real. Por exemplo, se
1
2
3
4
5
6
7
3,1
3,14
3,141
3,1415
3,14159
3,141592
3,1415926
a
a
a
a
a
a
a
===
==
==⋮
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5. O limite de uma sequência
então
lim nna π
→∞=
Os termos dessa sequência sãoaproximações racionais de π.
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45
5. O limite de uma sequência
Vamos voltar ao paradoxo de Zenon. Asposições sucessivas de Aquiles e da tartarugaformam as sequências {an} e {tn}, onde an < tn paratodo n. Podemos mostrar que ambas as sequênciastêm o mesmo limite:
lim limn nn na p t
→∞ →∞= =
É precisamente nesse ponto p que Aquilesultrapassa a tartaruga.
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6. A soma de uma série
Outro paradoxo de Zenon, conforme nos foipassado por Aristóteles, é o seguinte: “Uma pessoaem um certo ponto de uma sala não pode caminharaté a parede. Para tanto ela deveria percorrermetade da distância, depois a metade da distânciarestante, e então novamente a metade da distânciaque restou e assim por diante, de forma que oprocesso pode ser sempre continuado e não teráum fim”. (Veja a Figura 11).
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6. A soma de uma série
Figura 11
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48
6. A soma de uma série
Como, naturalmente, sabemos que de fato apessoa pode chegar até a parede, isso sugere que adistância total possa ser expressa como a soma deinfinitas distâncias cada vez menores, como aseguir:
Equação 3
1 1 1 1 11
2 4 8 16 2n= + + + + + +… …
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49
6. A soma de uma série
Zenon argumentava que não fazia sentidosomar um número infinito de números. Porém hásituações em que fazemos implicitamente somasinfinitas. Por exemplo, na notação decimal,0,3333… significa:
3 3 3 310 100 1.000 10.000
+ + + +…
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50
6. A soma de uma série
Dessa forma, de algum jeito, deve serverdade que:
3 3 3 3 110 100 1.000 10.000 3
+ + + + =…
Mais genericamente, se dn denotar o n-ésimodígito na representação decimal de um número,então
31 2 41 2 3 40,
10 100 1.000 10.000 10nn
dd d d dd d d d = + + + + + +… … …
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51
6. A soma de uma série
Portanto, algumas somas infinitas, ou, comosão chamadas, séries infinitas, têm um significado.Todavia, é necessário definir cuidadosamente oque é a soma de uma série.
Retornando à série da Equação 3, denotamospor Sn a soma dos n primeiros termos da série.Assim
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6. A soma de uma série1
2
3
4
5
6
7
10
16
10,5
21 1
0,752 4
1 1 10,875
2 4 81 1 1 1
0,93752 4 8 16
1 1 1 1 10,96875
2 4 8 16 321 1 1 1 1 1
0,9843752 4 8 16 32 64
1 1 1 1 1 1 10,9921875
2 4 8 16 32 64 128
1 1 10,99902344
2 4 1024
1 12 4
S
S
S
S
S
S
S
S
S
= =
= + =
= + + =
= + + + =
= + + + + =
= + + + + + =
= + + + + + + =
= + + + ≅
= + + +
⋮
⋯
⋮
⋯ 16
10,99998474
2≅
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6. A soma de uma série
Observe que à medida que somamos mais emais termos, as somas parciais ficam cada vez maispróximas de 1. De fato, pode ser mostrado quetomando n suficientemente grande (isto é,adicionando um número grande de termos dasérie), podemos tornar a soma parcial Sn tãopróxima de 1 quanto quisermos. Parece entãorazoável dizer que a soma da série infinita é 1 eescrever:
1 1 1 11
2 4 8 2n+ + + + + =… …
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6. A soma de uma série
Em outras palavras, a razão de a soma dasérie ser 1 é que
lim 1nnS
→∞=