Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos
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Modelagem de Sistemas DinâmicosAula 4
Prof. Daniel [email protected]
Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Automacao e Sistemas
Universidade Federal de Santa Catarina
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.1/29
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Sumário
• Modelagem Analítica de Sistemas Mecânicos
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.2/29
![Page 3: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/3.jpg)
Sumário
• Modelagem Analítica de Sistemas Mecânicos
1. Introdução
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.2/29
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Sumário
• Modelagem Analítica de Sistemas Mecânicos
1. Introdução
2. Mecânica Newtoniana - Parte 1
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.2/29
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Sumário
• Modelagem Analítica de Sistemas Mecânicos
1. Introdução
2. Mecânica Newtoniana - Parte 1
3. Translação
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.2/29
![Page 6: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/6.jpg)
Sumário
• Modelagem Analítica de Sistemas Mecânicos
1. Introdução
2. Mecânica Newtoniana - Parte 1
3. Translação
4. Elementos Ideais
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.2/29
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Sumário
• Modelagem Analítica de Sistemas Mecânicos
1. Introdução
2. Mecânica Newtoniana - Parte 1
3. Translação
4. Elementos Ideais
5. Exemplos
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.2/29
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Introdução - I
• A modelagem mecânica consiste na obtenção de modelos
matemáticos abstratos que descrevem a dinâmica de
sistemas mecânicos.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.3/29
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Introdução - I
• A modelagem mecânica consiste na obtenção de modelos
matemáticos abstratos que descrevem a dinâmica de
sistemas mecânicos.
• Os modelos de sistemas mecânicos podem ser divididos em
dois grandes grupos:
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.3/29
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Introdução - I
• A modelagem mecânica consiste na obtenção de modelos
matemáticos abstratos que descrevem a dinâmica de
sistemas mecânicos.
• Os modelos de sistemas mecânicos podem ser divididos em
dois grandes grupos:
1. Modelos cinemáticos: movimento sem levar em conta
massa e forças.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.3/29
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Introdução - I
• A modelagem mecânica consiste na obtenção de modelos
matemáticos abstratos que descrevem a dinâmica de
sistemas mecânicos.
• Os modelos de sistemas mecânicos podem ser divididos em
dois grandes grupos:
1. Modelos cinemáticos: movimento sem levar em conta
massa e forças.
2. Modelos dinâmicos: movimento levando em conta as
massas e forças envolvidas.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.3/29
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Introdução - II
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.4/29
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Introdução - III
• As três principais formulações da mecânica clássica:
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.5/29
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Introdução - III
• As três principais formulações da mecânica clássica:
1. Mecânica Newtoniana: baseia-se na determinação das
forças envolvidas em um sistema para determinar o
movimento das partículas do sistema.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.5/29
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Introdução - III
• As três principais formulações da mecânica clássica:
1. Mecânica Newtoniana: baseia-se na determinação das
forças envolvidas em um sistema para determinar o
movimento das partículas do sistema.
2. Mecânica Lagrangeana: a trajetória de um sistema de
partículas é obtido resolvendo as equações de Lagrange
utilizando um formalismo escalar.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.5/29
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Introdução - III
• As três principais formulações da mecânica clássica:
1. Mecânica Newtoniana: baseia-se na determinação das
forças envolvidas em um sistema para determinar o
movimento das partículas do sistema.
2. Mecânica Lagrangeana: a trajetória de um sistema de
partículas é obtido resolvendo as equações de Lagrange
utilizando um formalismo escalar.
3. Mecânica Hamiltoniana: é uma reformulação da
mecânica Lagrangeana e difere-se por não utilizar
restrições diferenciais de segunda ordem no modelo.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.5/29
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Mecânica Newtoniana• A mecânica Newtoniana variáveis vetoriais para descrever
o movimento de partículas.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.6/29
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Mecânica Newtoniana• A mecânica Newtoniana variáveis vetoriais para descrever
o movimento de partículas.
• Baseia-se nas três leis de Newton que foram obtidas com
base em experimentos:
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.6/29
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Mecânica Newtoniana• A mecânica Newtoniana variáveis vetoriais para descrever
o movimento de partículas.
• Baseia-se nas três leis de Newton que foram obtidas com
base em experimentos:
1. Inércia
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.6/29
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Mecânica Newtoniana• A mecânica Newtoniana variáveis vetoriais para descrever
o movimento de partículas.
• Baseia-se nas três leis de Newton que foram obtidas com
base em experimentos:
1. Inércia
2. Momento linear
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.6/29
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Mecânica Newtoniana• A mecânica Newtoniana variáveis vetoriais para descrever
o movimento de partículas.
• Baseia-se nas três leis de Newton que foram obtidas com
base em experimentos:
1. Inércia
2. Momento linear
3. Ação e reação
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.6/29
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Mecânica Newtoniana• A mecânica Newtoniana variáveis vetoriais para descrever
o movimento de partículas.
• Baseia-se nas três leis de Newton que foram obtidas com
base em experimentos:
1. Inércia
2. Momento linear
3. Ação e reação
• Quando a geometria de um corpo não influência o
movimento de um corpo, assume-se que toda a massa é
concentrada em uma coordenada geométrica (ponto de
massa).PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.6/29
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Conceitos Básicos - I
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.7/29
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Conceitos Básicos - II• Movimento de uma partícula entre dois pontos:
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.8/29
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Conceitos Básicos - II• Movimento de uma partícula entre dois pontos:
1. xr1: posição de referência (fixa)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.8/29
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Conceitos Básicos - II• Movimento de uma partícula entre dois pontos:
1. xr1: posição de referência (fixa)
2. x(t): deslocamento entreP1 eP2, x(t) = xr2(t)− xr1
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.8/29
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Conceitos Básicos - II• Movimento de uma partícula entre dois pontos:
1. xr1: posição de referência (fixa)
2. x(t): deslocamento entreP1 eP2, x(t) = xr2(t)− xr1
3. v2(t): velocidade emP2
v2(t) =dxr2(t)
dt=
dxr1
dt+
dx(t)
dt=
dx(t)
dt
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.8/29
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Conceitos Básicos - II• Movimento de uma partícula entre dois pontos:
1. xr1: posição de referência (fixa)
2. x(t): deslocamento entreP1 eP2, x(t) = xr2(t)− xr1
3. v2(t): velocidade emP2
v2(t) =dxr2(t)
dt=
dxr1
dt+
dx(t)
dt=
dx(t)
dt
4. a2(t): aceleração emP2:
a2(t) =dv2(t)
dt=
dx2(t)
dt2
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.8/29
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Conceitos Básicos - III
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.9/29
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Conceitos Básicos - IV• Conceito de Força: (considerando que o pontoP não está
em movimento)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.10/29
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Conceitos Básicos - IV• Conceito de Força: (considerando que o pontoP não está
em movimento)
1. Somatório de forças sobre o pontoP é igual a zero,
pois caso contrário o ponto estaria em movimento.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.10/29
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Conceitos Básicos - IV• Conceito de Força: (considerando que o pontoP não está
em movimento)
1. Somatório de forças sobre o pontoP é igual a zero,
pois caso contrário o ponto estaria em movimento.
2. A força exercida deA emB é igual em módulo a força
deB emA com direção oposta (ação e reação).
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.10/29
![Page 33: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/33.jpg)
Conceitos Básicos - IV• Conceito de Força: (considerando que o pontoP não está
em movimento)
1. Somatório de forças sobre o pontoP é igual a zero,
pois caso contrário o ponto estaria em movimento.
2. A força exercida deA emB é igual em módulo a força
deB emA com direção oposta (ação e reação).
• Potência mecânica:
p(t) = Fmv(t) = ‖F‖ cos(θ)‖v‖ =<F,v>
(notação: em negrito são variáveis vetoriais)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.10/29
![Page 34: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/34.jpg)
Conceitos Básicos - V
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.11/29
![Page 35: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/35.jpg)
Conceitos Básicos - V
• Trabalho: (trabalho realizado entreta e tb comtb > ta)
Wab =
∫ tb
t1
p(t)dt =
∫ tb
t1
Fmv(t)dt
• Energia: a energia mecânica é a soma de todos os trabalhos
realizados pelas forças atuantes entre os instantesta e tb.
Por exemplo, energia cinéticaEc = mv2/2.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.11/29
![Page 36: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/36.jpg)
1a Lei de Newton• Momento (quantidade de movimento)
I = mv
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.12/29
![Page 37: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/37.jpg)
1a Lei de Newton• Momento (quantidade de movimento)
I = mv
• O momento de um ponto de massa permanece constante se
e somente se a soma de todas as forças que atuam nesse
ponto for zero.
I = mv = cte ⇔∑
F = 0
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.12/29
![Page 38: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/38.jpg)
1a Lei de Newton• Momento (quantidade de movimento)
I = mv
• O momento de um ponto de massa permanece constante se
e somente se a soma de todas as forças que atuam nesse
ponto for zero.
I = mv = cte ⇔∑
F = 0
• A 1a lei de Newton é equivalente ao princípio da inércia de
de Galilei.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.12/29
![Page 39: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/39.jpg)
2a Lei de Newton• A derivada do momento com relação ao tempo é igual a
força atuando no ponto de massa.
dI
dt=
d(mv)
dt= F
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.13/29
![Page 40: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/40.jpg)
2a Lei de Newton• A derivada do momento com relação ao tempo é igual a
força atuando no ponto de massa.
dI
dt=
d(mv)
dt= F
• Quandom for constante:
mdv
dt= ma = F
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.13/29
![Page 41: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/41.jpg)
2a Lei de Newton• A derivada do momento com relação ao tempo é igual a
força atuando no ponto de massa.
dI
dt=
d(mv)
dt= F
• Quandom for constante:
mdv
dt= ma = F
• As leis de Newton são aplicáveis a sistemas inerciais
(sistema de referência com velocidade zero ou constante).
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.13/29
![Page 42: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/42.jpg)
3a Lei de Newton• Se um corpo exerce uma força sobre outro, então o outro
corpo também exerce uma força sobre o primeiro que é
igual em magnitude e com direção oposta.(princípio da
ação e reação)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.14/29
![Page 43: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/43.jpg)
3a Lei de Newton• Se um corpo exerce uma força sobre outro, então o outro
corpo também exerce uma força sobre o primeiro que é
igual em magnitude e com direção oposta.(princípio da
ação e reação)
• Se um determinado ponto de massa não tem restrições no
seu movimento, diz-se que o ponto de massa tem 3 graus de
liberdade (3dof)⇒ F(e) =
∑F = ma.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.14/29
![Page 44: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/44.jpg)
3a Lei de Newton• Se um corpo exerce uma força sobre outro, então o outro
corpo também exerce uma força sobre o primeiro que é
igual em magnitude e com direção oposta.(princípio da
ação e reação)
• Se um determinado ponto de massa não tem restrições no
seu movimento, diz-se que o ponto de massa tem 3 graus de
liberdade (3dof)⇒ F(e) =
∑F = ma.
• Caso existam restrições no movimento (1dof ou 2dof)
ma = F(e)
︸︷︷︸
forças aplicadas
+ F(z)
︸︷︷︸
restrições
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.14/29
![Page 45: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/45.jpg)
Massa - I
• Massa: é um elemento cujas partículas são rigidamente
conectadas (ponto de massa) que se deslocam com
velocidade e aceleração constantes.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.15/29
![Page 46: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/46.jpg)
Massa - I
• Massa: é um elemento cujas partículas são rigidamente
conectadas (ponto de massa) que se deslocam com
velocidade e aceleração constantes.
• Principais relações envolvendo a massa:
F =dI
dt⇔ I =
∫ t
0
Fdt+ I0
(Força e momento são vetores noR3)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.15/29
![Page 47: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/47.jpg)
Massa - II• Principais relações envolvendo a massa (continuação)
F = ma = mdv
dt⇒ I =
∫ t
0
mdv
dtdt+ I0 = mv + I0
ondeI0 é o momento inicial emv = I− I0 é a variação do
momento.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.16/29
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Massa - II• Principais relações envolvendo a massa (continuação)
F = ma = mdv
dt⇒ I =
∫ t
0
mdv
dtdt+ I0 = mv + I0
ondeI0 é o momento inicial emv = I− I0 é a variação do
momento.
• Trabalho e Energia: (considerandoI = mv edI = mdv)
Wab =
∫ ta
tb
Fvdt =
∫ ta
tb
mdv
dtvdt =
∫ p(tb)
0
vdI
Ec = Eab = Wab = m
∫ tb
ta
vdv =m
2
(v(ta)
2 − v(tb)2)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.16/29
![Page 49: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/49.jpg)
Mola - I
• Força gerada pela compressão ou extensão da mola
F = f(x) ∼= kx
ondex é o deslocamento da mola em relação a posição de
equilíbrio.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.17/29
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Mola - I
• Força gerada pela compressão ou extensão da mola
F = f(x) ∼= kx
ondex é o deslocamento da mola em relação a posição de
equilíbrio.
• Força× velocidade (supondo movimento em uma direção)
x =F
k∴ v =
1
k
dF
dt∴ F = k
∫ t
0
v(t)dt+ F0
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.17/29
![Page 51: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/51.jpg)
Mola - II
• O trabalho realizado pela forçaF da mola:
Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.18/29
![Page 52: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/52.jpg)
Mola - II
• O trabalho realizado pela forçaF da mola:
Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
• Energia armazenada na mola (energia potencial)
Ep = Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.18/29
![Page 53: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/53.jpg)
Mola - II
• O trabalho realizado pela forçaF da mola:
Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
• Energia armazenada na mola (energia potencial)
Ep = Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
• Algumas definições:
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.18/29
![Page 54: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/54.jpg)
Mola - II
• O trabalho realizado pela forçaF da mola:
Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
• Energia armazenada na mola (energia potencial)
Ep = Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
• Algumas definições:
1. Energia cinética é a capacidade de realizar trabalho
devido ao movimento.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.18/29
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Mola - II
• O trabalho realizado pela forçaF da mola:
Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
• Energia armazenada na mola (energia potencial)
Ep = Wab =
∫ tb
ta
Fmvdt =1
2kx2
• Algumas definições:
1. Energia cinética é a capacidade de realizar trabalho
devido ao movimento.
2. Energia potencial é o trabalho que pode se realizar
pela posição relativa do ponto de massa.PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.18/29
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Amortecedor
• O amortecedor representa uma resistência ao movimento.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.19/29
![Page 57: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/57.jpg)
Amortecedor
• O amortecedor representa uma resistência ao movimento.
• O amortecedor é um elemento que apenas dissipa energia.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.19/29
![Page 58: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/58.jpg)
Amortecedor
• O amortecedor representa uma resistência ao movimento.
• O amortecedor é um elemento que apenas dissipa energia.
• Principais relações: (supondo movimento em uma direção)
F = f(v) ∼= b v︸︷︷︸
modelo ideal
Potência dissipada
p = Fv
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.19/29
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Exemplo 1 - I
• Acoplamento de molas
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.20/29
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Exemplo 1 - I
• Acoplamento de molas
• Molas em Série (forçar variável tipo T)
F = k1x1 = k2x2 = kEQx , x = x1 + x2
Levando em conta quex1 = F/k2 ex2 = F/k2, obtém-se:
F
kEQ
=F
k1+
F
k2⇒
1
kEQ
=1
k1+
1
k2
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.20/29
![Page 61: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/61.jpg)
Exemplo 1 - II
• Molas em paralelo:
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.21/29
![Page 62: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/62.jpg)
Exemplo 1 - II
• Molas em paralelo:
• A força resultante é a soma da força gerada pelas duas
molas:
F = F1 + F2 = k1x+ k2x
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.21/29
![Page 63: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/63.jpg)
Exemplo 1 - II
• Molas em paralelo:
• A força resultante é a soma da força gerada pelas duas
molas:
F = F1 + F2 = k1x+ k2x
• Busca-se determinar uma constante de mola equivalente
kEQ tal queF = kEQx.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.21/29
![Page 64: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/64.jpg)
Exemplo 1 - II
• Molas em paralelo:
• A força resultante é a soma da força gerada pelas duas
molas:
F = F1 + F2 = k1x+ k2x
• Busca-se determinar uma constante de mola equivalente
kEQ tal queF = kEQx.
• Portanto:
kEQx = k1x+ k2x ⇒ kEQ = k1 + k2
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.21/29
![Page 65: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/65.jpg)
Exemplo 2 - I
• Diagrama do corpo livre:
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.22/29
![Page 66: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/66.jpg)
Exemplo 2 - I
• Diagrama do corpo livre:
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.22/29
![Page 67: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/67.jpg)
Exemplo 2 - II• Relações do Sistema (balanço de forças)
Fi + Fk2 = Fk1 + Fb
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.23/29
![Page 68: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/68.jpg)
Exemplo 2 - II• Relações do Sistema (balanço de forças)
Fi + Fk2 = Fk1 + Fb
• Relações constitutivas:
Fk1 = k1(u− y) , Fk2 = k2y , Fb = b(u− y
), Fi = my
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.23/29
![Page 69: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/69.jpg)
Exemplo 2 - II• Relações do Sistema (balanço de forças)
Fi + Fk2 = Fk1 + Fb
• Relações constitutivas:
Fk1 = k1(u− y) , Fk2 = k2y , Fb = b(u− y
), Fi = my
• Equação do movimento:
m+k2y = k1(u− y) + b(u− y)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.23/29
![Page 70: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/70.jpg)
Exemplo 2 - II• Relações do Sistema (balanço de forças)
Fi + Fk2 = Fk1 + Fb
• Relações constitutivas:
Fk1 = k1(u− y) , Fk2 = k2y , Fb = b(u− y
), Fi = my
• Equação do movimento:
m+k2y = k1(u− y) + b(u− y)
• Modelo matemático:
my + by + (k1 + k2)y = bu+ k1u
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.23/29
![Page 71: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/71.jpg)
Exemplo 3 - I
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.24/29
![Page 72: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/72.jpg)
Exemplo 3 - I
• Diagrama do corpo livre
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.24/29
![Page 73: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/73.jpg)
Exemplo 3 - II
• Relação do Sistema: (balanceamento de forças)
Fb2 + Fk = Fi + Fb1 + FP
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.25/29
![Page 74: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/74.jpg)
Exemplo 3 - II
• Relação do Sistema: (balanceamento de forças)
Fb2 + Fk = Fi + Fb1 + FP
• Relações constitutivas:
Fb2 = b2(x−y) , Fk = k(x−y) , Fi = my , FP = mg , Fb1 ≈ b1y
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.25/29
![Page 75: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/75.jpg)
Exemplo 3 - II
• Relação do Sistema: (balanceamento de forças)
Fb2 + Fk = Fi + Fb1 + FP
• Relações constitutivas:
Fb2 = b2(x−y) , Fk = k(x−y) , Fi = my , FP = mg , Fb1 ≈ b1y
• Equilíbrio: kδ = mg (δ é o deslocamento em equilíbrio)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.25/29
![Page 76: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/76.jpg)
Exemplo 3 - II
• Relação do Sistema: (balanceamento de forças)
Fb2 + Fk = Fi + Fb1 + FP
• Relações constitutivas:
Fb2 = b2(x−y) , Fk = k(x−y) , Fi = my , FP = mg , Fb1 ≈ b1y
• Equilíbrio: kδ = mg (δ é o deslocamento em equilíbrio)
• Equação do movimento:
b2(x−y)+k(x+δ−y) = my+b1y+mg ⇒ my+(b1+b2)y+ky = b2x+kx
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.25/29
![Page 77: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/77.jpg)
Exemplo 4 - I
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.26/29
![Page 78: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemplo 4 - I
• Diagrama do corpo livre (1/4 suspensão considerando o
pneu)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.26/29
![Page 79: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/79.jpg)
Exemplo 4 - II
• Equações do Sistema:
Fi + FP = Fk1 + Fb1 (massa m),
Fb1 + Fk1 = Fb2 + Fk2 (barra A – pneu)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.27/29
![Page 80: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/80.jpg)
Exemplo 4 - II
• Equações do Sistema:
Fi + FP = Fk1 + Fb1 (massa m),
Fb1 + Fk1 = Fb2 + Fk2 (barra A – pneu)
• Relações constitutivas:
Fi = my , Fk1 = k1(x− y) , Fb1 = b1(x− y)
FP = mg , Fk2 = k2(u− x) , Fb2 = b2(u− x)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.27/29
![Page 81: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/81.jpg)
Exemplo 4 - III
• Equilíbrio: kδ = mg (δ deslocamento inicial da mola 1).
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.28/29
![Page 82: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/82.jpg)
Exemplo 4 - III
• Equilíbrio: kδ = mg (δ deslocamento inicial da mola 1).
• Equações do movimento
my = k1(x− y) + b1(x− y)
k2(u− x) + b2(u− x) = k1(x− y) + b1(x− y)
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.28/29
![Page 83: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/83.jpg)
Exemplo 4 - III
• Equilíbrio: kδ = mg (δ deslocamento inicial da mola 1).
• Equações do movimento
my = k1(x− y) + b1(x− y)
k2(u− x) + b2(u− x) = k1(x− y) + b1(x− y)
• Modelo matemático
my + b1y + k1y = b1x+ k1x
b1y + k1y − (b1 + b2)x− (k1 + k2)x = −b2u− k2u
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.28/29
![Page 84: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/84.jpg)
Exemplo 4 - III
• Equilíbrio: kδ = mg (δ deslocamento inicial da mola 1).
• Equações do movimento
my = k1(x− y) + b1(x− y)
k2(u− x) + b2(u− x) = k1(x− y) + b1(x− y)
• Modelo matemático
my + b1y + k1y = b1x+ k1x
b1y + k1y − (b1 + b2)x− (k1 + k2)x = −b2u− k2u
• Um diagrama do corpo livre para elemento armazenador
de energia (mola e massa).
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.28/29
![Page 85: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/85.jpg)
Exercício Proposto
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.29/29
![Page 86: Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051121/5695d34b1a28ab9b029d6ef9/html5/thumbnails/86.jpg)
Exercício Proposto
1. Obter um modelo para o sistema da figura acima supondo
uma aproximação linear para o atrito. Obs.:Fa(t) é uma
força externa aplicada a massam.
2. Pesquisar modelos de atrito mais realistícos e obter um
modelo não linear para o sistema.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.29/29
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Exercício Proposto
1. Obter um modelo para o sistema da figura acima supondo
uma aproximação linear para o atrito. Obs.:Fa(t) é uma
força externa aplicada a massam.
2. Pesquisar modelos de atrito mais realistícos e obter um
modelo não linear para o sistema.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.29/29
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Exercício Proposto
1. Obter um modelo para o sistema da figura acima supondo
uma aproximação linear para o atrito. Obs.:Fa(t) é uma
força externa aplicada a massam.
2. Pesquisar modelos de atrito mais realistícos e obter um
modelo não linear para o sistema.
PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.29/29