Aprendizagem do Conceito Números Fraccionários por Augusto Rasga
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Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
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Introdução
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
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0- Introdução
A educação de um indivíduo é vista como um processo contínuo de construção
de conhecimentos e valores, apresenta-se através da leitura e intervenção que
o mesmo realiza no mundo que o cerca e nesse sentido a educação deve
possibilitar ao indivíduo uma completa inserção social e uso pleno de seus
direitos (Silva, 2004). A vida moderna exige, cada vez mais, o desenvolvimento
de habilidades como: lógica de raciocínio; saber transferir conhecimentos de
uma área para outra; saber se comunicar e entender o que lhe é comunicado;
trabalhar em equipa; interpretar a realidade; buscar, analisar, tratar e organizar
a informação; adoptar uma postura crítica, sendo consciente de que o
conhecimento não é algo terminado e deve ser construído; tomar decisões,
ganhar autonomia e criatividade. Logo aprender Matemática é mais do que
aprender técnicas de utilização imediata; é interpretar, construir ferramentas
conceituais, criar significados, perceber problemas, preparar-se para
equacioná-los ou resolvê-los, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de
compreender e imaginar (Lombardi, 1998).
Segundo Micotti (1999) educar é a principal função da escola, mas as
variações do modo de ensinar determinam diferenças nos resultados obtidos.
Até bem pouco tempo ensinar era sinónimo de transmitir informações, porém,
as ideias pedagógicas mudaram e busca-se uma aprendizagem que extrapole
a sala de aula, que o aluno consiga aplicar seus conhecimentos vida afora, em
benefício próprio e da sociedade. As possibilidades de aplicar o aprendido,
tanto na solução de problemas da vida prática, como em novas aprendizagens,
dependem do tipo de ensino desenvolvido.
O campo da didáctica em geral e da Educação Matemática em particular, vem
desenvolvendo um conjunto muito importante de concepções de ensino e
aprendizagem, que afectam directamente todas as áreas do conhecimento
científico, as quais encontraram uma grande receptividade nos educadores
matemáticos. Polya e Fredenthal citados por Silva (2004) deram um grande
impulso às discussões e ao desenvolvimento de novas concepções no campo
do processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Entre as mais
salientadas, pode-se mencionar: o ensino da Matemática pela sua própria
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génese, a Educação Matemática orientada pela resolução de problemas, o
ensino da Matemática orientado por objectivos formativos, Educação
Matemática do ponto de vista das aplicações e da modelagem, ensino baseado
em projectos, a aprendizagem livre e as novas tecnologias.
Essas concepções estão muitas vezes relacionadas umas com as outras e
podem ser aplicadas indistintamente pelos professores durante o
desenvolvimento de actividades de ensino e aprendizagem ao longo do ano
escolar. Autores como Guzmán (2002) incorporam outras estratégias como os
jogos, a história e a experimentação Matemática.
As tendências mais significativas, nesse momento, no Mundo, cuja aplicação
em sala de aula já apresentam resultados em diferentes artigos e relatos são:
resolução de problemas, modelagem Matemática, história da Matemática,
jogos e curiosidades e novas tecnologias. Os pontos comuns observados nas
tendências referidas são:
• Um ensino comprometido com as transformações sociais e a construção da
cidadania;
• Desenvolvimento contando com a participação activa do aluno no processo
de ensino e aprendizagem em um contexto de trabalho em grupo e individual;
• A busca de uma Matemática significativa para o aluno, vinculando-a à
realidade;
• Utilização de recursos específicos e um ambiente que propicie o
desenvolvimento de sequências metodológicas que levem o aluno a construir
seu próprio conhecimento.
Dentro dessas concepções de Educação Matemática a actuação do professor
adquire uma nova postura, o professor é um mediador do processo, tal como
apontam os estudos de Vygotsky (1991).
Assim pretende-se apresentar actividades metodológicas práticas, aplicáveis
em sala de aula do Ensino Básico, essas actividades incorporam elementos
das tendências em Educação Matemática. Cujo tema é:
“Uma Alternativa Metodológica para o Processo de Ensino-Aprendizagem do
Conceito Número Fraccionário na 6ª Classe do Ensino Primário.”
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
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0.1- Importância Social e Actualidade da Investigação
Esta dissertação visa elevar o grau de conhecimentos dos professores e
contribuir para identificação, diagnóstico dos problemas relacionados com o
ensino do conceito de números fraccionário que o ensino angolano enfrenta,
bem como na procura de solução dos mesmos com vista a elevar a qualidade
de ensino-aprendizagem. O tema escolhido incide sobre uma problemática
actual que está inserido nas linhas directrizes “Construção de domínios
numéricos” e “Conceitos e definições” que no ensino da Matemática ocupam
um lugar fulcral e, que não tem sido eficaz quanto se exige no Programa da 6ª
Classe.
0.2-Antecedentes
Estudando algumas investigações que confirmam o mau desempenho do aluno
nos aspectos relacionados com o ensino-aprendizagem dos números
fraccionários, encontra-se Silva (1997), discutindo uma pesquisa onde crianças
entre os 11 e 16 anos foram questionadas sobre vários tópicos de interpretação
das fracções, entre elas a leitura, a comparação e as diferentes operações com
fracções, concluiu que a maioria das crianças são incapazes de lidar com o tipo
de matemática que se ensina e que nessa situação parece inútil ensinar todas
as crianças como se elas tivessem a mesma base de conhecimentos e fossem
capazes de aprender os mesmos tópicos na mesma extensão.
No Brasil, Lima (2006), discute o critério histórico de iniciar o ensino das
fracções a partir do modelo parte/todo no contínuo, baseando-se em pesquisas
sobre génese das fracções e em Piaget, que indicam o conceito de fracção
como uma aquisição do estágio das operações concretas. Concluiu que as
crianças por volta dos 8 anos recusam-se a dividir as figuras geométricas em
partes e fazem uma fragmentação do todo, confundindo o número de partes e
o número de cortes para obter as partes.
Campos e outros (2004) trabalhando com 55 crianças da quinta Série (Brasil -
São Paulo) de 10 a 12 anos, mostraram que o ensino das fracções pela
apresentação de “todo” dividido em “ partes” onde algumas destas são
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diferenciadas das demais, encoraja os alunos a empregar um tipo de
procedimentos de dupla contagem (total de partes e as partes pintadas) sem
entenderem o significado deste novo tipo de número, confirmando que as
crianças podem usar a linguagem das fracções sem compreenderem a sua
natureza.
Em Angola encontramos Lopes (2007), que criou uma proposta para o ensino
dos números fraccionários na 5ª Classe do I Ciclo. Experimentou a mesma
proposta e concluiu que houve um “incremento de atitude positiva” pelo grupo
experimental em relação ao grupo de controlo, justificando tal afirmação com
base nas médias obtidas por cada grupo. Contudo, salienta que os alunos
continuaram a mostrar dificuldades na resolução de problemas que envolvem
fracções, propondo como solução o aumento dos tempos lectivos e a aplicação
de mais e diversificados exercícios.
Através dos resultados apresentados, pode-se observar que os alunos
apresentam diversas dificuldades em trabalhar com tal conceito. E mais, que
depois de anos de estudos não conseguem perceber a fracção nem como uma
quantidade, pois não a percebem como número; nem como quociente, pois não
a associam ao resultado de uma divisão, ao contrário, continuam trabalhando
simbolicamente com números naturais, só que escritos de uma forma
diferentes.
Assim acreditamos que essa aprendizagem é de facto importante e que
depende do ensino, pois não se concretiza espontaneamente.
0.3- Identificação do Problema
A proposta curricular cessante e a da Reforma educativa, o primeiro contacto
com os números fraccionários dá-se na 5 ª classe com o conceito de fracção,
embora já na 4ª classe apareçam exercícios onde se aplicam números
fraccionários na forma de fracção e outros na forma decimal.
Segundo Martini (2006), o termo fracções nunca foi visto com bons olhos pelos
alunos e também por professores. A complexidade com que se trabalha não
faz com que o aluno conceitue, represente, compare e opere com fracções.
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Tanto o aluno, quanto o professor enfrentam obstáculos no ensino e
aprendizagem deste conceito.
Para Ciscar (1998) o facto de os professores considerarem as fracções como
um dos tópicos do currículo mais difíceis de ensinar deve compreender-se pela
elevada abstracção que geralmente é exigida aos alunos nas actividades de
ensino – aprendizagem.
Castelnuovo (2006) afirma que o conceito de Fracção é dos mais difíceis para
o aluno, as dificuldades dos alunos resultam um ensino excessivamente formal,
desligado do concreto. Para vencer esta barreira propõe que as noções
fundamentais de fracção e de número fraccionário sejam introduzidas seguindo
a mesma necessidade histórica da sua criação, privilegiando a compreensão
do aluno da necessidade de ampliação do conjunto dos números naturais e
proporcionando uma visão de conjunto aos números fraccionários.
A importância do Conceito “número fraccionário” para Silva (1997), pode ser
vista como para melhorar a capacidade de lidar com problemas do dia-a-dia,
desenvolvendo e expandindo as estruturas mentais necessárias ao
desenvolvimento intelectual e facilitando o estudo das operações algébricas.
Em nossa constatação enquanto professor de Matemática da 6ªclasse do
ensino geral II nível do Lubango e em conversas formais com professores e
alunos, levou-nos a pensar que existem dificuldades (obstáculos) no ensino e
aprendizagem do tema relacionado com fracções.
Para podermos identificar tais obstáculos fizemos uma sondagem preliminar
com professores que leccionam a 6 ª classe e alunos em que colhemos as
seguintes opiniões:
a) Junto dos professores.
- Estrutura do conteúdo no manual é pouco clara quanto ao conceito em
estudo, a sua apresentação é pouco “ atraente” o que faz com que os alunos
não gostem de fracções, e tenham dificuldades em compreender o que se
ensina na aula.
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- A extensão do programa leva a que os professores debitem a matéria
porque preocupam – se com o maior cumprimento dos programas, em
consequência os alunos não fazem trabalhos práticos para a assimilação dos
mesmos.
b) Junto dos alunos.
Relativamente à aprendizagem de números fraccionários os alunos são da
seguinte opinião:
- Quanto à interpretação, uns dizem que, as fracções são difíceis de
interpretar e de trabalhar, outros têm a mesma ideia, dizendo, que é difícil
trabalhar com números fraccionários e encontrar a sua aplicação na prática.
- O livro como material didáctico. Segundo os alunos a noção de número
fraccionário no livro é muito complicada. Não se compreende bem a explicação
do mesmo.
- Relativamente ao professor como guia, os alunos dizem que alguns
professores não explicam bem esta matéria, as aulas cansam por se fazerem
muitos cálculos.
Fazendo uma análise interligada entre as dificuldades dos professores e
alunos, podemos fazer um agrupamento dos mesmos da seguinte forma:
- Factores de índole curricular.
- Factores internos aos alunos.
- Factores inerentes à metodologia usada pelos professores
Das opiniões referidas, pode-se verificar que existem inquietações, tanto para
os professores como para os alunos, contudo os alunos desta classe já têm um
domínio em trabalhar com números naturais nas quatro operações
fundamentais, mas apresentam dificuldades em compreender e trabalhar com
números fraccionários. Assim podemos formular o seguinte problema de
investigação:
Existem obstáculos relacionados com o ensino - aprendizagem do
conceito número fraccionário que levam os alunos a terem debilidade no
trabalho com o mesmo conceito.
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Este problema remete a algumas questões:
- Quais serão os obstáculos que os alunos e professores encontram no
processo de ensino - aprendizagem deste conceito?
- De que natureza são os obstáculos que os alunos e professores encontram
no ensino-aprendizagem deste conceito?
- Como podem ser minimizados os obstáculos que dificultam o ensino e a
aprendizagem dos números fraccionários de forma a elevar a qualidade de
ensino aprendizagem deste conceito?
0.4- Justificação da Investigação
O presente estudo visa identificar os obstáculos que os professores e alunos
encontram no ensino e aprendizagem dos números fraccionários e propor uma
solução para minimizar os efeitos dos mesmos de forma que os alunos sejam
capazes de compreender a necessidade de utilização e aplicação das fracções
em diversas situações do quotidiano e da prática escolar.
0.5- Objecto de Estudo
O Processo de ensino aprendizagem do Conceito números fraccionários.
0.6- Objectivos do Estudo
O objectivo deste trabalho é o de propor uma alternativa metodológica para
melhorar o processo de ensino-aprendizagem do conceito números fraccionário
nos alunos da 6ª classe do ensino primário e, contribuir para minimizar os
obstáculos que os alunos e professores enfrentam durante o processo de
ensino-aprendizagem do referido conceito.
0.7- Campo de Acção
A aprendizagem do conceito número fraccionário na 6ª classe das Escolas
(pública e privadas) do Ensino Primário do Ensino Geral da cidade do Lubango.
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0.8- Hipótese de Investigação
Tendo em conta as considerações feitas levantou-se a seguinte hipótese:
A criação de proposta didáctica – metodológica apoiada no modelo didáctico
Construtivista pode contribuir para melhorar o processo de ensino-
aprendizagem e minimizar os efeitos negativos dos obstáculos do conceito
números fraccionários na 6ª classe do ensino geral das escolas do Lubango.
0.8.1- Variáveis
Independente: A abordagem metodológica do conceito número fraccionário na
6ª classe do ensino primário, apoiada no modelo didáctico construtivista
assente na estrutura metodológica de Jungk (1979).
Dependente: O melhoramento do processo de ensino-aprendizagem e
minimização dos efeitos negativos dos obstáculos presentes no ensino-
aprendizagem do conceito número fraccionário.
0.9- Amostras
As amostras foram constituídas por 27 professores da 6ª Classe de diversas
escolas da cidade do Lubango e 293 alunos escolhidos aleatoriamente em
duas escolas públicas (Escola Mandume e 1º de Dezembro) e uma privada
(colégio O Sol), inseridos nas suas turmas naturais num total de dez (10).
0.10- Tarefas de Investigação
1- Estudar desde o ponto de vista epistemológico, pedagógico e psicológico o
processo de ensino - aprendizagem do conceito números fraccionários.
2- Apresentar os pressupostos teóricos para o aperfeiçoamento da Matemática
da 6ª Classe e em particular do processo de ensino do conceito número
fraccionário.
3- Diagnosticar o estado actual do processo de ensino – aprendizagem do
conceito número fraccionário.
4- Elaborar um modelo didáctico para o aperfeiçoamento do processo de
ensino aprendizagem do conceito número fraccionário.
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5- Elaborar uma estratégia metodológica sustentada no modelo didáctico com o
propósito de alcançar uma aprendizagem significativa do conceito número
fraccionário, nos alunos da 6ª classe do Ensino primário.
6- Submeter o modelo didáctico e a proposta de estratégia metodológica ao
critério de espertos com vista a sua avaliação e validação.
7- Propor recomendações com o propósito de minimizar as dificuldades que os
alunos e professores encontram no processo de ensino-aprendizagem do
conceito de número fraccionário.
0.11- Procedimentos da Investigação
0.11.1- Definição da Opção Metodológica
Do ponto de vista a investigação é considerado um design descritivo - analítico,
a mesma descreve e analisa os obstáculos que os professores e alunos
encontram, quais as suas particularidades e/ou como se manifestam.
0.11.2- Métodos
Para alcançar os objectivos propostos, utilizaram-se os seguintes métodos:
Métodos Empíricos:
- Análise Documental, do manual de Matemática relativamente à estrutura do
conteúdo sobre o modelo metodológico sugerido. Se se apresenta de forma
adequada para o nível em causa, se a estrutura apresentada nos manuais é a
mais indicada para a criação do conceito e seu entendimento por parte dos
alunos. E ainda do programa da 6ª classe, para estudar o escalonamento do
conteúdo e quais os seus objectivos.
- Consulta de Bibliografia referente ao assunto em estudo para:
a) Aumentar o conhecimento sobre a matéria;
b) Clarificar o problema investigado;
c) Mostrar o posicionamento dos cientistas relativamente ao problema a
investigar;
d) Encontrar a base teórica que servirá de fundamento ao nosso estudo;
- Técnica de Campo (teste) - avaliação do nível dos conhecimentos dos alunos
sobre a matéria em estudo (Aplicação de um teste de conhecimento);
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- Inquérito aos professores de Matemática da 6ª classe de várias escolas do
Lubango, acerca das forma de ensino que utilizam e quais os obstáculos que
encontram ao leccionarem o conceito de número fraccionário e sobre os seus
dados.
Métodos Teóricos:
Histórico – Lógico: utilizado na análise dos programas (vigente e da reforma
educativa), do currículo do ensino primário, dos manuais de apoio e de outra
bibliografia relacionada com o tema;
Análise e Síntese: Na determinação das características psico-pedagógicas dos
alunos e professores, bem como na caracterização do estado actual do
processo de ensino-aprendizagem do conceito de número fraccionário.
Métodos Estatísticos:
Análise Descritiva (frequências e percentagens) dos resultados da investigação
do Teste e Inquérito aplicado aos alunos e professores respectivamente;
O método de DELPHI utilizado na validação da proposta metodológica pelos
peritos.
0.12- Estrutura do trabalho
O trabalho é constituído por três capítulos, conclusões e recomendações.
Capitulo I- Caracterização do Processo de Ensino Aprendizagem do Conceito
Números Fraccionários, está subdividido em quatro partes:
A primeira parte onde se faz uma resenha histórica do surgimento dos
números fraccionários, das definições mais importantes que suportam o
conceito e analisa-se a abordagem didáctico-metodológico do conceito número
fraccionário proposto no programa e manuais utilizados como recurso didáctico
pelos professores que leccionam a 6ª classe.
Na segunda parte, caracterizam-se os diferentes obstáculos passíveis de
serem identificados no processo de ensino aprendizagem do conceito em
estudo.
A terceira parte caracteriza epistemológica, pedagógicas e psicologicamente o
processo de ensino aprendizagem do conceito número fraccionário.
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Finalmente, na quarta parte, apresenta-se a situação actual do ensino
aprendizagem do conceito número fraccionário.
Capitulo II- Proposta Metodológica para o Ensino-Aprendizagem do Conceito
de Número Fraccionário. Exemplificação da Proposta
Apresenta-se neste capítulo a proposta metodológica e a estratégia de
aplicação de forma exemplificada.
Capitulo III- Apresentação e Análise de Dados. Validação da Proposta
Metodológica.
Caracteriza-se a amostra dos alunos participantes e apresentam-se os
resultados obtidos por questão no teste de conhecimentos. Também
caracteriza-se os professores da 6ª classe e os Peritos, inquiridos e
apresentam-se as respostas obtidas no Inquérito e na validação da proposta
metodológica.
Finalmente, apresentam-se algumas conclusões e recomendação deduzidas
dos resultados obtidos pela investigação realizada e recomendações cuja
aplicação contribuirá para a minimização dos efeitos dos obstáculos de ensino-
aprendizagem deste conceito contribuindo para a elevação da qualidade de
ensino.
Além disso, o trabalho tem as referências bibliográficas e os anexos.
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Capitulo I – Caracterização do Processo de Ensino
Aprendizagem do Conceito Números Fraccionários.
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Capitulo I - Caracterização do Processo de Ensino - Aprendizagem do
Conceito Números Fraccionário
Neste capítulo faz-se uma abordagem dos conceitos matemáticos relacionados
com os números fraccionários e sua história, faz-se uma análise e
caracterização do processo de ensino dos números fraccionários com base nos
programas do Ministério da Educação, bem como o fundamento teórico que
sustenta a abordagem do tema.
1.1-Breve Historia dos Números Fraccionários
No antigo Egipto, por volta do ano 1000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu
algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O
privilégio em possuir essas terras era porque todo o ano, no mês de Julho, as
águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os
campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.
Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em Setembro,
quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os
agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois
mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava
marcada.
Essas cordas eram esticadas e verificava-se quantas vezes a tal unidade de
medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados
do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo
número: o número fraccionário. Ele era representado com o uso de fracções,
porém os egípcios só entendiam a fracção como uma unidade (ou seja,
fracções cujo numerador é igual a 1).
Eles escreviam essas fracções com uma espécie de sinal oval escrito em cima
do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de
numeração que usavam no antigo Egipto os símbolos se repetiam muitas
vezes.
Só ficou mais fácil trabalhar com as fracções quando os hindus criaram o
Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas
pela razão de dois números naturais.
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Desde então, as fracções foram usadas para a resolução de diversos tipos de
problemas matemáticos. (www. Wikipedia.org- História da Fracções, 2009).
1.1.1-Definições
De modo simples, pode-se dizer que uma fracção de um número, representada
de modo genérico como b
a, designa este número a dividido em b partes iguais.
Neste caso, a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao
denominador, que não pode ser igual a zero.
O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e
o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas.
Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel entre quatro alunos,
como ela pode fazer isso?
Cada aluno ficara com 3:4=4
3 da folha, ou seja vai dividir cada folha em 4
partes e distribuir 3 para cada aluno.
Por exemplo, a fracção 8
56 designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7,
pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.
Os números expressos em fracções são chamados de números racionais. O
conjunto dos racionais é representado por A Fracção é a representação da
parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim podemos considerá-la como
sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação
numérica, com ela pode-se efectuar todas as operações como: adição,
subtracção, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação. (Wikipedia.org
2009)
Dessa forma, toda a fracção pode ser representada em uma recta numerada
(numérica), por exemplo, 2
1 (um meio) significa que de um inteiro foi
considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma recta
numérica a fracção 2
1 estará entre os números inteiros 0 e 1.
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0 1 2 3 4 5
fig.1: Recta numérica e representação de fracções
1.1.2-Tipos de Fracções
Própria: o numerador é menor que o denominador. Ex. 2
1;35
12;…
imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: 3
4;
8
15;…
mista: constituída por uma parte inteira e uma fraccionária. Ex.: 3
12 . Pode-se
encontrar uma fracção imprópria a partir do número misto: 3
7
3
132
3
12
(7=numerador e 3=denominador)
Aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.: 4
4;
3
12
Equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fracção. Ex.:
2
2
4
4 ;
25
15
5
3
Irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo
a simplificação. Ex.: 5
2;
7
12 (não existe um divisor comum entre o numerador e
o denominador)
Unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:
3
1;
9
1;…
Decimal: o denominador é uma potência base de 10. Ex.: 10
437;100
23 1000
5
Composta: fracção cujo numerador e denominador são fracções:
12
65
19
;
8
23
3;…
2
1
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Egípcia: fracção que é a soma de fracções unitárias, distintas entre si. Ex:
5
3
15
1
5
1
3
1 (www.Wikipedia.org- 2009)
1.1.3- O Conceito de Número fraccionário
As diferentes interpretações de número fraccionário têm sido referidas por
vários autores, Mourão (2005) diz que Castelnuovo considera três
interpretações: A fracção como operador sobre grandeza, a fracção como o
quociente de uma divisão e a sua estrutura decimal, Behr (1993) consideram
seis subconstrutos: comparação de uma parte com um todo (contexto contínuo
e contexto discreto), decimal, razão, quociente, operador e medida. Dickson e
Gibson (1984) distinguem sete interpretações de fracção: fracção como
subárea de uma área unidade, fracção como subconjunto de um conjunto
discreto de objectos, fracção como ponto sobre uma linha recta, fracção como
resultado da operação divisão, fracção como métodos de comparação de dois
conjuntos ou de duas medidas (operador), decimal e percentagem.
O interesse de uma abordagem multifacetada do conceito de número
fraccionário (racional) reside numa melhor aprendizagem do conceito e numa
maior generalização do mesmo, A National Council of Teachers of Mathematics
(NTCM, 2007) destaca a importância da compreensão da representação e das
vantagens e desvantagens de cada uma delas. Aceitando as vantagens
pedagógicas de uma abordagem multifacetada do conceito de número
fraccionário, apresentaremos tal diversidade de interpretações.
1.1.3.1- Noção de fracção
A forma de Interpretar uma fracção como “ uma ou mais partes iguais da
unidade” está, segundo Oliveira (1996), directamente ligada ao significado real
que a palavra fracção possui. Fracção tem derivação latina “Frangere” e
significa quebrar.
1.1.3.2- Fracção como parte de um todo
A interpretação de uma fracção como parte de um todo baseia-se na partição
de uma quantidade em partes iguais (contínuo) ou de um conjunto de objectos
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em subconjuntos equicardinais (discreto). A interpretação de uma fracção como
parte de um todo num contínuo e num contexto discreto estão relacionadas.
5
2
5
2
5
2
Contexto Contínuo Contexto discreto
fig. 2: Relacionamento entre a representação no modelo contínuo e discreto de fracções.
Nesta interpretação, recorre-se frequentemente a região geométrica do plano e
a conjuntos discretos de objectos para representar fracções. Este modelo para
a interpretação do conceito apresenta, contudo, uma limitação em relação às
fracções impróprias, parece existir alguma inconsistência entre o modelo e a
própria fracção como representação de um número maior do que a unidade, a
parte seria maior que o todo.
3
5
3
5
Contexto Contínuo Contexto discreto
fig. 3: Representação no modelo contínuo e discreto de fracções impróprias.
1.1.3.3- Fracção como quociente decimal
Nesta interpretação do significado de fracção, associa-se a uma fracção à
operação de divisão entre dois números inteiros, p q , é usado para referir
uma operação, assim a fracção 2
5 pode ser interpretada como 2 5 ou 0,4 .
A representação de uma fracção sob a forma de quociente é útil na passagem
para a escrita na forma decimal e apresenta vantagens no que respeita a
ordenação dos números, também é o sistema usado pelas calculadoras e
computadores, em grande uso nos dias de hoje. (Mourão, 2005)
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19
1.1.3.4- Fracção como operador
O significado de uma fracção como operador baseia-se numa interpretação
algébrica da fracção. A fracção p
q é pensada como a função que transforma
um conjunto de n elementos num conjunto com ).(q
pn elementos.
Ex:. Tem-se 10 elementos (objectos) e pretende-se determinar 5
2 dos mesmos:
10 5
2de 10 são 4
Conjunto A de 10 Elementos Conjunto B que tem5
2 de 10
fig. 4: fracções como operador
Passando a forma operatória tem-se: 45
20
5
10210
5
2
Observe-se que n pode ser uma fracção.
Exemplo: Determinar 3
2 de
5
4:
3
2
5
4
15
8
fig. 5: A fracção como operador de uma fracção designado por Dickson (1984) como
operador/área.
Assim temos que 3
2 de
5
4 é
15
8
5
4
3
2
A B
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
20
A interpretação da fracção como operador é particularmente útil no estudo da
equivalência de fracções, trata-se de determinar que função realiza a mesma
transformação. (Mourão 2005)
1.1.3.5- Fracção como ponto sobre um eixo
Esta interpretação associa o número por ela representado a um ponto de um
eixo numérico. Segundo Mourão (2005), pode estabelecer-se uma forte ligação
entre a representação de fracção como subárea de uma área unidade e a
representação da mesma fracção como um sub-comprimento de um
comprimento unidade.
4
3
0 1
fig.6: Analogia entre a situação a duas dimensões (subárea de uma área) e a situação
unidimensional (sub-comprimento)
O modelo da recta numérica é apresentado algumas vezes como sendo
significativamente mais difícil relativamente ao modelo parte/todo. A
representação a duas dimensões (área) é mais acessível para os alunos na
medida em que é mais objectivável, perceptível e manipulável. O modelo da
recta numérica envolve experiências de representação e abstracção. Por isso,
no ensino aprendizagem defende-se a sua sequencialidade. (Mourão 2005)
A recta numérica apresenta facilidade de relacionar de imediato as fracções
(comparação), fracções equivalentes, classes de fracções e com as escalas
usadas em instrumentos de medida, as quais podem funcionar como ajudas
didácticas (réguas, esquadros graduados, etc.).
1.1.3.6- Noção de número fraccionário
Associada à noção de fracção, aparece o conceito número fraccionário, um
conceito superior, que é a classe (conjunto) de fracções equivalentes que
envolve também os números decimais.
4
3
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21
representada por
constituem
fig.7:- Interpretação da noção de número fraccionário, criado pelo autor com base na
Interpretação de Vergnoud.
As diferentes interpretações do conceito de fracção para além de potenciar
uma melhor compreensão do conceito, também são usadas para introduzir e
desenvolver o conceito de número fraccionário como conjunto de fracções
equivalentes, que representam a mesma parte no todo, que têm o mesmo
quociente decimal e representam o mesmo ponto na recta numérica.
A compreensão de noção de número fraccionário possibilita a compreensão
dos processos aplicados nas operações com os mesmos nas suas diversas
formas de representação.
1.2- Abordagem Didáctico - Metodológico do Conceito de Número
Fraccionário Proposta no Programa e Manuais Utilizados como Recurso
Didáctico
1.2.1- A proposta curricular
Cabe ao Ministério da Educação, através do Instituto de Investigação e
Desenvolvimento da Educação (INIDE) a elaboração e supervisão dos
documentos reitores da actividade Docente - Educativa com base nas
orientações do Governo e de acordo com o desenvolvimento Científico -
Técnico da Sociedade.
Número Fraccionário
Parte /Todo Operador Quociente
decimal
Ponto sobre a
recta numérica
Fracção
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22
1.2.1.1- Estrutura do Programa da Classe
O programa vigente, data de 1996 e o mesmo surgiu da necessidade de
realizar alguns reajustes ao programa anterior de 1984, a fim de possibilitar aos
professores maiores possibilidades de realizarem o processo de ensino com
êxito, segundo as explicações que o mesmo contém na introdução.
O presente programa está estruturado da seguinte forma:
1.Explicação Necessária; I. Fundamentação; II. Objectivos gerais do ensino da
Matemática; III. Objectivos do II Nível; IV. Considerações Gerais; V. Objectivos
Específicos da 6ª Classe; VI. Esquema Programático; VII. Distribuição das
Aulas por Trimestre; VIII. Indicações por Unidade.
1.2.1.2- Objectivos de Ensino/Aprendizagem do Conceito “Número
Fraccionário” na 6ª Classe
Todo o programa deve ter definido as metas a atingir com ele, ela são as suas
justificativas. Do programa de Matemática da 6ªclasse, deduzimos os seguintes
objectivos para o ensino do conceito de número fraccionário:
a) Objectivos Gerais:
- Compreender a estrutura do sistema numérico e desenvolver
habilidade de cálculo com as diferentes classes de número, de modo que
sejam capazes de aplicá-las à resolução de problemas.
- Desenvolver a capacidade de raciocínio dos alunos através da
aplicação da análise e síntese, a realização de processos indutivos e dedutivos
de pensamento, abstracções e generalizações.
- Aprender os conceitos matemáticos, compreender o sistema de
ciências.
- Desenvolver as formas de pensamento lógico e a capacidade de
utilizar correctamente os métodos dedutivos da lógica. Com isso contribui-se
para o desenvolvimento de importantes capacidades mentais, argumentação
correcta, lógica exacta, crítica de argumentação e decisão de proposições
falsas.
- Utilizar a terminologia e notação matemática correctas, explicar as suas
actividades e fundamentar oralmente o seu trabalho.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
23
- Contribuir para o desenvolvimento da capacidade de expressão,
exprimindo-se com clareza, precisão e exactidão.
b) Objectivos Específicos:
- Dominar a definição e o conceito de “Número fraccionário” como
classe, indicar representantes de números fraccionários comuns ou como
fracções em notação decimal e compreender as considerações de isomorfismo
fundamentadas nas definições das operações de cálculo.
- Adquirir habilidades seguras no ordenamento: a adição, a subtracção,
a multiplicação e a divisão de números fraccionários.
Depois de descrever os objectivos gerais e específicos definidos pelo programa
da 6ª classe, segundo Jungk (1979) no ensino da Matemática os objectivos
estão enquadrados em três campos, estritamente relacionados:
- Campo da Instrução (Saber e poder específicos da Matemática);
- Campo do desenvolvimento das capacidades mentais;
- Campo da Educação;
1.2.2 - A Dosificação do Conteúdo no Programa da 6ª Classe
O Programa prevê duas aulas para revisão de todos estes temas: conceitos
fracção, simplificação e ampliação de fracções, o conceito de número
fraccionário como classe de fracções. A representação na recta numérica de
números fraccionários e da revisão das dízimas como representação de
números fraccionários sob a forma a,n 0, NnNa .
Seis aulas para a relação de ordem no Conjunto Q’, para introdução do símbolo
Q’ para o conjunto dos números fraccionários; Definição das relações “igual a”
(=), “menor que” (<) e “maior que (>) no conjunto Q’; Definição de noção de
“menor denominador comum” de duas fracções; Determinação do menor
denominador comum de duas ou mais fracções; Determinação do menor
denominador comum de duas fracções comuns; Comparação de números
fraccionários sob a forma de dízima (quociente decimal); Comparação de
números fraccionários dados sobre duas formas sobreditas; Utilizar a relação “
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
24
situada entre”; Estudo da Isomorfia entre o conjunto N dos números naturais e
o conjunto dos Números fraccionários, sob a forma 1
a N em relação a ordem
dos números.
Seguidamente propõe treze aulas para o ensino da Adição e Subtracção de
números fraccionários.
1.2.3– O Manual da 6ª Classe
O manual de Matemática da classe está estruturado da seguinte forma: Noção
de fracção; Noção de número fraccionário que inclui a ampliação, simplificação
de fracções e a representação na recta numérica de números fraccionários;
Fracções decimais e comparação dos números fraccionários.
Segundo, Jungk (1979), o manual da classe ocupa uma posição especial entre
toda a bibliografia a disposição do professor e alunos, pois apresenta o
conteúdo completo, estruturado metodologicamente e orientado estreitamente
pelo programa e é dele que o professor toma os valiosos detalhes sobre os
distintos passos no ensino do conteúdo mediante as explicações, os exemplos
e reconhece melhor as exigências do programa.
Verificando o programa e o manual facilmente chega-se a conclusão que os
mesmos não estão em consonância:
- O tempo indicado pelo programa não é suficiente para tratar tais
conteúdos.
- O manual inclui as noções de ampliação e simplificação como parte do
conceito número fraccionário, mas que o programa separa.
- O Manual não precisa o sistema de conhecimentos e habilidades.
-O Manual não referencia o sistema de tarefas com o propósito de
desenvolver habilidades de trabalho com números fraccionários.
1.2.4- O Ensino de Fracções nos Manuais Didácticos
Uma boa sequência de ensino deve proporcionar ao aluno a aquisição de um
novo conhecimento, que lhe dê competência para utilizá-lo sempre que estiver
diante de uma situação que solicite tal conhecimento (Sungo, 2007).
A partir dos livros didácticos, pode-se constatar que o primeiro contacto com o
conjunto dos números fraccionários dá-se na 5ª classe do ensino geral, através
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25
do conceito de fracção. Muito embora encontremos no manual da 4ª classe
alguns exercícios com texto (Problemas) onde se utilizam palavras de leitura
fraccionária (vigésima parte, trigésima parte – página 159) para indicar a
divisão de um número por outro.
Na 5ª classe, as fracções aparecem como sendo representações de algumas
partes de um inteiro, simbolizados através de fracções e figuras divididas em
partes iguais. Aparecem neste momento do ensino a comparação de fracções
com igual denominador, a adição e subtracção de fracções de igual
denominador, os múltiplos de fracções, as fracções decimais, a noção de
fracções equivalentes deduzida da simplificação e ampliação de fracções e a
representação de fracções na recta numérica identificada como número
fraccionário.
Na 6ª classe, as fracções reaparecem a partir do conceito de fracção e
imediatamente o conceito de número fraccionário, fracções decimais,
comparação de números fraccionários, o mínimo denominador comum e a
relação entre os fraccionários e os números naturais. Em seguida aparecem as
operações com os números fraccionários.
1.2.5- Crítica aos Manuais sobre a Apresentação das Fracções
Feita a abordagem aos conteúdos que são leccionados nas classes onde é
introduzido e diga-se, onde é desenvolvido o conteúdo, agora far-se-á uma
observação aos dois manuais utilizados nessas classes quanto a forma como é
apresentado o conceito fracção e número fraccionário, para tal adoptou-se os
seguintes critérios:
I) Que situação é utilizada na apresentação das fracções,
II) Se as situações variam nas apresentações,
III) Que modelo é utilizado,
IV) Se os alunos são colocados frente a situações vividas no decorrer
da história para o desenvolvimento desse conceito,
Da observação feita aos manuais da 5ª e 6ª Classes pode-se inferir que:
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26
1- São apresentadas algumas ilustrações, corte do abacaxi em quatro
partes (5ª classe – pág. 24), para a formação do conceito de fracção
seguida de outras representações como ilustração da forma
geométrica das fracções, contudo estas situações são simplesmente
ilustrações para mostrar o que se quer ensinar pois os alunos não
participam delas.
2- Não há variação de situação que permite ao aluno dar um significado
ao que está aprendendo, o modelo é estático, as ilustrações já estão
divididas em partes e com indicação da fracção correspondente, ao
aluno não é colocada outra situação de dividir objectos em partes
iguais e tomar algumas de modo a formar as fracções
correspondentes.
3- O modelo usado é o parte/todo no contínuo como ponto de partida
para o ensino, o modelo discreto não aparece, impedindo que se
perceba esse modelo.
4- Não se faz nenhuma referência à história do surgimento desta
importante forma de numeração, o aluno não é colocado frente a
uma situação de divisão, de medição de objectos em partes iguais
modelo que permitiu o surgimento das fracções.
5- Em nenhum dos manuais se faz referência à leitura das fracções o
que dificulta a aquisição de uma linguagem aceitável levando a um
desenvolvimento precário da linguagem e reconhecimento das
fracções
Tal como referido na introdução, quando se levantou o problema, deduziu-se a
existência de obstáculos que têm dificultado o ensino e aprendizagem do
conceito número fraccionário e assim, passa-se a abordagem de tais
obstáculos.
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27
1.3 – Noção de Obstáculos no Processo de Ensino Aprendizagem
Os obstáculos são conhecimentos, em geral, satisfatórios durante um tempo
para a resolução de certos problemas, e que por esta razão se fixam na mente
dos alunos, como ideais úteis. Mas, posteriormente, quando o aluno enfrenta
problemas novos, este conhecimento resulta inadequado e de difícil adaptação
aos novos contextos (Silva, 1997).
O obstáculo está constituído por um conhecimento das relações, dos métodos
de aprendizagem, das previsões, das evidências, das ramificações
imprevisíveis, que resistirão a desaparecer, tenderão a estabilizar-se e
adaptam-se localmente na medida que tenham sido úteis (Brousseau, 1983).
Brousseau (1983) introduziu a noção de obstáculo como uma nova forma de
ver os erros dos alunos:
Para Perrin-Glorian (1986), os erros provocados por obstáculos podem ser
resistentes e reaparecem mesmo depois do sujeito rejeitar esse modelo do seu
sistema cognitivo consciente, pois o obstáculo tenta adaptar-se localmente
modificando-se com o mínimo de desgaste. Isto explica por que “transpor” um
obstáculo exige um trabalho da mesma natureza que a implantação de um
conhecimento, isto é, inteirações repetidas e dialécticas do aluno com o objecto
do seu conhecimento.
Um obstáculo tem as seguintes características:
- É um conhecimento, uma concepção, mesmo que seja falsa ou incompleta,
não é uma ausência de conhecimento.
- Tem um domínio de validade que produz respostas adaptadas a certos
problemas ou classes de problemas, mas que conduz a respostas erradas em
outros tipos de problemas.
“Um obstáculo manifesta-se pelos erros, mas estes não são devidos
ao acaso, não são transitórios, nem irregulares, eles são
reprodutíveis e persistentes. Além disso, esses erros, em um mesmo
sujeito, estão ligados entre si por uma causa comum; Uma maneira
de conhecer, uma concepção característica, um conhecimento antigo
e que tem êxito em todo um domínio de acções”.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
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- É resistente à modificação ou transformação e torna-se predominante em
certas situações, mesmo após ter sido substituído aparentemente por um novo
conhecimento.
- A rejeição desse conhecimento conduz a um novo conhecimento.
Segundo Brosseau (1993), eles podem ser classificados em:
Obstáculos Epistemológicos: São inerentes ao próprio saber, constitutivos
do próprio conhecimento. Podem ser percebidos nas dificuldades que os
próprios matemáticos encontram na História e por isso “não podemos nem
escapar deles nem deixá-los escapar”. Compreendemos estes obstáculos a
partir de pesquisas em Epistemologia e História da Matemática, percebendo
que as grandes questões da Matemática são igualmente obstáculos
epistemológicos para os alunos.
Obstáculos Didácticos: São os que dependem da escolha de um projecto do
sistema educacional, ou seja, são as dificuldades criadas pela escola, através
da estratégia de ensino escolhida que provoca posteriormente obstáculos ao
desenvolvimento da conceituação. Estes obstáculos são muitas vezes
inevitáveis e inerentes à necessidade da transposição didáctica, porém a
percepção de um obstáculo didáctico pelo professor, permite-lhe retomar a
apresentação original do conceito, para melhor explicitar a dificuldade vivida
pelo aluno.
Obstáculos Ontogénicos: São os que procedem a limitação do sujeito em
dado momento de seu desenvolvimento mental, normalmente aparecem
quando a aprendizagem está muito deslocada em relação à maturidade do
sujeito.
1.3.1- Obstáculos Epistemológicos no Processo de Ensino Aprendizagem
dos Números Fraccionários
A partir do estudo histórico e da análise epistemológica encontram-se os
seguintes obstáculos:
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29
1) Representação Simbólica: A representação usada hoje foi
conquistada depois de séculos e a partir das representações individuais de
cada povo. Chegar a uma única representação, que não fosse ambígua, não foi
uma conquista simples. Os Egípcios firmaram-se nas fracções unitárias,
colocando um ponto sobre o símbolo do denominador; Os Babilónicos, mesmo
com um sistema de escrita numérica e posicional, não conseguiram resolver a
ambiguidade desse sistema; Os Gregos, por sua vez, com o seu sistema
alfabético tinham dificuldades de operar com as fracções representadas dessa
forma (Silva, 1997).
Campos e Outros (2006) observaram que existe mais facilidades de os alunos
trabalharem com as fracções unitárias. Outras pesquisas mostram que os
alunos reproduzem o símbolo sem entender o seu significado, o que
caracterizou-se como um obstáculo epistemológico, pelo facto de o aluno não
ser requisitado a obter efectivamente a representação da situação a que está
submetida, através da linguagem natural e da exploração de processos que
possam dar significado à representação de fracções.
2) Negação da Necessidade das Quantidades Fraccionárias: Umas das
situações que levou o homem a sentir necessidade dos números fraccionários
foi a questão da medida. No entanto, percebe-se a procura incessante de
unidades de medida que permitissem medir qualquer coisa e obter como
resultados números inteiros (unidades de medida como o Pé, a Polegada, a
Jarda, etc.) pois o conhecimento dos números naturais através da contagem
induzia a essa procura.
Os alunos, também, em algumas situações se negam a aceitar os números
fraccionários como resultado, porque não são colocados frente a situação em
que realmente percebam a necessidade desse tipo de número.
3) Dificuldade em aceitar as fracções como Números: Uma das grandes
dificuldades dos matemáticos foi aceitar as fracções como sendo números.
Euler, já no século XVII, era um deles e por isso apresentava duas vezes as
mesmas propriedades numéricas, uma para os números naturais e outra para
as fracções. Kronecker que já trabalhava com o corpo numérico formado pelo
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
30
conjunto dos números da forma 2a b , insistia que a aritmética e análise
deveria basear-se nos números inteiros e chegou a afirmar que: “ Deus fez os
inteiros e todo o resto é obra do homem”. (Silva, 1997)
Essa grande dificuldade é essencialmente devida ao facto de o número
fraccionário ser de natureza diferente da dos números naturais. Eles não
surgem de um processo de contagem, mas sim de um acto de partição de algo
que se toma como um inteiro. Facto que leva os alunos a interpretar as
fracções como um par de números naturais e não como um único número que
representa uma quantidade.
4) O Conhecimento dos números Naturais: O conhecimento dos
números naturais em si constitui um obstáculo ao aprendizado dos números
fraccionários. A maioria das crianças passa pelo mesmo processo dos
matemáticos da História, pois também para elas só os números naturais são
números. Os alunos ao iniciarem o trabalho com fracções tentam aplicar os
conhecimentos que já possuem, tratando as fracções como dois números
naturais, escritos uns em cima do outro.
À medida que os estudos se aprofundam permanece a dificuldade em aceitar
situações em que o dividendo seja menor que o divisor, sendo comum ao aluno
que não dá para dividir 2 por 6, sem nenhuma relação com o conhecimento
anterior que aconteceu (Campos, 2006).
5) O modelo de referência: O aluno, quando começa a trabalhar as
fracções, tem como modelo de referência os números naturais que tem um
modelo discreto. No entanto as fracções são introduzidas a partir de um
modelo contínuo com a concepção parte/todo, com a intenção de apresentar
ao aluno um novo conjunto numérico, que resolve algumas situações que os
números naturais não resolvem.
Na História, a origem dos fraccionários deu-se no modelo preferido pelo
Ensino, mas o aluno é levado a contar as partes, num movimento de
discretização da área envolvida em partes contáveis, fazendo com que volte ao
modelo original e perca o sentido do inteiro inicialmente considerado. Esse
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31
processo provoca a concepção de que a fracção é o número de parte da
unidade. (Silva 1997)
1.3.2- Obstáculos Didácticos no Processo de Ensino-Aprendizagem dos
Números Fraccionários
Da análise e do estudo realizado relacionado com o ensino-aprendizagem do
conceito número fraccionário, podemos identificar os seguintes:
1- Ponto de vista único: - a concepção parte/todo no contínuo é
praticamente a única com que os alunos se deparam na introdução do conceito
de fracção e de número decimal. As outras concepções (razão, medida,
operador, quociente) não são apresentadas aos alunos, são apresentadas
formalmente desvinculadas de qualquer relação com a realidade.
2- Dupla contagem das partes: - o modelo parte/todo no contínuo, dado
a partir da contagem das partes, desenvolve a linguagem de fracção sobre um
modelo estático em que as figuras são apresentadas com todos os traços de
divisão aparentes, este padrão leva alguns alunos ao sucesso. Uma simples
alteração na representação induz ao erro, pois o aluno aplica sempre a
contagem para identificar as fracções. Isso mostra que a conceituação de
fracção desse aluno já está comprometida, por um procedimento mecânico de
identificação. (Silva 1997)
Além disso, este procedimento fortalece o obstáculo epistemológico dos
naturais sobre os fraccionários, pois, a medida que está sempre contando, o
aluno acaba interpretando a fracção como um par de números naturais
separados por um traço, o que faz que os alunos generalizem os conceitos
operatórios que tem os naturais para os fraccionários.
3- Discretização do Contínuo: - O modelo de referência que o aluno tem
é o de quantidade discreta representada pelos números naturais, o que cria
dificuldades para ele trabalhar com o modelo parte/todo no contínuo usado na
nos livros das classes (5ª e 6ª) e pelos professores na introdução de fracção.
Tal modelo, naturalmente, provoca esse obstáculo, pois o aluno é levado a
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32
contar as partes de uma figura já dividida e pintada, permanecendo então o
processo de contagem, que induz a estar trabalhando com o discreto.
4- Visão deturpada no trabalho com quantidades discretas: - o uso de
quantidades discretas só aparece para trabalhar a fracção de quantidade
(operador sobre os naturais) e visto somente sob a concepção parte/todo. Este
tipo de trabalho leva o aluno a não perceber as características inerentes a cada
(o contínuo e o discreto) e a fracção de quantidade fica directamente atrelada
ao trabalho com números naturais, não se desenvolvendo a concepção de
transformação que o operador pode exercer sobre quantidades discretas
quanto contínuas.
1.3.3- Obstáculos Ontogénicos no Processo de Ensino Aprendizagem dos
Números Fraccionários
Existem dois pontos que provocam esse tipo de obstáculo no ensino do
conceito de número fraccionário:
1- O Formalismo abusivo com que é apresentado o conceito, que
embora esteja enquadrado na faixa etária (9 a 12 anos de idade), onde
predominam as operações concretas, em que os conhecimentos transmitidos
somente através de algoritmos não têm significado, os alunos precisam
experimentar e verificar o processo antes de chegar a generalizações.
2- O Modelo utilizado geralmente no ensino (Parte/todo) é apresentado
através da contagem sem que se verifique os pré-requisitos necessários como
a conservação do todo, área ou medida.
1.4- Caracterização Epistemológica, Pedagógica e Psicológica do
Processo de Ensino-Aprendizagem do Conceito Número Fraccionário
A matemática é uma disciplina que possui linguagem própria, facto que permite
a expressão clara e precisa de ideias, endossadas nos conhecimentos do
mundo que é o sujeito da educação apresenta e têm relação à interpretação de
problemas, símbolos, expressões, gráficos que permitem a estruturação do
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pensamento e da linguagem, levando ao raciocínio do educando como do
educador, efectivando de modo significativo a construção do saberes (Dal
Medico, 2008).
Ao professor cabe exercer o papel de mediador do conhecimento, pois é ele
que vai estimular a aprendizagem, proporcionar questionamentos,
comparações e partilha de ideias e de saberes, como a criação de ambientes
favoráveis para o ensino por meio de diferentes caminhos que levam ao
mesmo resultado na resolução de situações e actividades matemáticas,
utilizando sempre um discurso coerente, uma linguagem adequada ao nível
dos alunos, respeitando a aprendizagem individual de cada um.
Para tanto, torna-se necessário estudar o processo de ensino-aprendizagem,
focalizando a atenção tanto no professor como no aluno, pois é o professor que
promove e organiza situações de ensino-aprendizagem e no aluno, porque é o
responsável pela construção ou ampliação do seu saber e, é nesta relação que
se dá a passagem do conhecimento pela comunicação e acção. Os
conhecimentos matemáticos requerem estimulação e orientação por parte do
professor. Pois para que haja aprendizagem é necessário que cada um crie
seus conceitos. Conceitos estes que por sua vez, se inter-relacionam e criam
esquemas mentais; Cada esquema mental é responsável pela aprendizagem
de conhecimentos, segundo Dal Medico (2008).
Cada novo conhecimento que o aluno possui, ou irá aprender, depende dos
esquemas mentais que ele já possui e da interacção entre o conhecimento
prévio e o novo saber, segundo Ausubel citado por Moreira (2005 pág. 38):
É essa interacção entre o novo conhecimento e o conhecimento prévio,
no qual o conhecimento novo adquire significado e o já adquirido se
torna mais diferenciado, mais rico e mais elaborado – que caracteriza a
aprendizagem significativa e, tais significados sejam correctos do ponto
de vista científico.
A aprendizagem mecânica baseia-se na mera repetição, treinamento,
resolução de séries de exercícios parecidos, citação de definições textuais sem
a devida compreensão conceitual, e ela precisa dar lugar aos avanços
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34
cognitivos da aprendizagem que têm como princípio a interacção como objecto
de conhecimento e assim os saberes matemáticos serão aprendidos a partir de
falas, da observação de factos e actos, da experimentação, da classificação, da
resolução de exercícios diferenciados, do estabelecimento de relações e para a
elaboração de conclusões, mesmo que essas sejam temporárias, até que os
alunos, orientados pelo professor, busquem bases teóricas e explicações em
recursos materiais variados.
Assim, o conhecimento deixará de ter um acumulado de saberes decorados e
passará a ser aprendizagem construída activamente, com sentido e significado
a partir das condições criadas pela mediação intencional do educador. Dessa
forma, o educador (professor) precisa mudar a sua forma de agir, como sendo
o detentor do saber e permitir que ocorra a manifestação de ideias,
conhecimentos e saberes de forma bilateral, de modo que aconteçam
realmente trocas de conhecimentos o que se dará pela expressão dos
pensamentos, de raciocínio e compreensão matemática do mundo, (Martini
2006).
Com esse pensamento, Dal Medico (2008, p.20) afirma que “[…] O trabalho
docente não ocorre de modo arbitrário, mas pela interacção do professor
(marcada pela sua subjectividade - objectividade) que antevê e projecta
conscientemente sua acção pedagógica.”
1.4.1- Aprendizagem
Aprendizagem é, por excelência, construção; acção e tomada de consciência
da coordenação das acções. Na prática pedagógica é importante o professor
conhecer como ocorre a aprendizagem. No ensino existe um consenso de que
as actividades experimentais são essenciais para a aprendizagem, mas essas
actividades devem levar o aluno a ter acções eficazes, modificando suas
estruturas e, talvez até criando uma nova estrutura, sempre a partir de um
processo de desenvolvimento (Bordenave, 2006).
1.4.1.1- Conceito de Aprendizagem
Jesus (2001) afirma que a aprendizagem é uma modificação na disposição ou
na capacidade do homem, modificação que pode ser retirada e não pode ser
simplesmente atribuída ao processo de crescimento. O tipo de modificação a
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35
que se dá o nome de aprendizagem manifesta-se como uma alteração no
comportamento, e infere-se que a aprendizagem ocorreu comparando-se o
comportamento possível antes de o indivíduo ser posto em uma situação de
aprendizagem, e o comportamento apresentado após essa circunstância.
Numa outra perspectiva, Alarcão (2006) afirmam que as condutas humanas
desde as mais simples às mais elaboradas são possíveis porque o homem
dispõe de mecanismos fisiológicos e psicológicos, que lhe permitem adquirir e
conservar modos de responder adequada e eficazmente ao que o rodeia,
acrescentam ainda, que uma vez adquiridos e conservados, o homem dispõem
deles, evocando-os ao longo do tempo e nas mais variadas situações. Isto
leva-nos a afirmar que a aprendizagem constitui um processo, sem o qual seria
difícil o homem adaptar-se as mudanças do meio; ou seja é uma actividade que
modifica as possibilidades de um ser vivo de maneira duradoura, esta ideia se
aproxima a evocada por Alarcão (2006), quando dizia que sem aprendizagem o
homem estaria ainda no seu ponto de partida eterna e infrutiferamente
tentando desprender-se das amarras que o impedem de ascender ao estatuto
superior próprio da espécie humana.
Na perspectiva de Pozo (1994), a aprendizagem é um processo de aquisição
de qualquer modificação relativa permanentemente no comportamento, como
resultado da prática ou da experiência, por outro lado é um processo de
aquisição de respostas como resultado da prática social.
Segundo Vygotsky (1991), com quem o autor concorda inteiramente, a
aprendizagem é uma mudança relativamente estável e duradoura do
comportamento e do conhecimento. Esta mudança do comportamento está
relacionada com o exercício e a experiência, com a descoberta, podendo
ocorrer de forma consciente ou inconsciente, num processo individual ou
interpessoal. Pois tudo o que o homem aprende ocorre no contexto da sua
cultura.
1.4.2- A Aprendizagem Cognitiva e sua Dimensão
Ausubel (1982) desenvolveu uma teoria de aprendizagem, segundo a qual a
aprendizagem é significativa à medida que o novo conteúdo é incorporado às
estruturas de conhecimento de um aluno e adquire significado para ele a partir
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da relação com seu conhecimento prévio. Ao contrário, ela se torna mecânica
ou repetitiva, uma vez que não se produziu essa incorporação e atribuição de
significado e o novo conteúdo passa a ser armazenado isoladamente ou por
meio de associações arbitrárias na estrutura cognitiva. Para esclarecer como é
produzida a aprendizagem escolar, Ausubel propõe distinguir dois eixos ou
dimensões diferentes:
• Aprendizagem significativa
• Aprendizagem Mecânica
fig.8: Dimensões fundamentais do processo de aprendizagem atribuídas por Ausubel. Extraído
de Monteiro (2006)
O primeiro é o eixo relativo à maneira de organizar o processo de
aprendizagem e a estrutura em torno da dimensão aprendizagem por
descoberta/aprendizagem receptiva. Essa dimensão refere-se à maneira
como o aluno recebe os conteúdos que deve aprender: quanto mais se
aproxima do pólo de aprendizagem por descoberta, mais esses conteúdos são
recebidos de modo não completamente acabado e o aluno deve defini-los ou
“descobri-los” antes de assimila-los; inversamente, quanto mais se aproxima do
pólo da aprendizagem receptiva, mais os conteúdos a serem aprendidos são
dados ao aluno em forma final, já acabada.
Ao contrário, o segundo eixo remete ao tipo de processo que intervém na
aprendizagem e origina um continuum delimitado pela aprendizagem
significativa, por um lado, e pela aprendizagem mecânica ou repetitiva, por
outro. Nesse caso, a distinção estabelece a relações substanciais entre os
conceitos que estão presentes na sua estrutura cognitiva e o novo conteúdo
que é preciso aprender. Quanto mais se relaciona o novo conteúdo de maneira
substancial e não arbitrária com algum aspecto da estrutura cognitiva prévia
que lhe for relevante, mais próximo se está da aprendizagem significativa.
Aprendizagem
por Percepção
Aprendizagem Significativa
Aprendizagem
por Descoberta
Aprendizagem Mecânica
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Quanto menos se estabelece esse tipo de relação, mais próxima se está da
aprendizagem mecânica.
Ausubel (1982) enfatiza a aprendizagem de significados (conceitos) como
aquela mais relevante para seres humanos. Ele ressalta que a maior parte da
aprendizagem acontece de forma receptiva, e desse modo a humanidade tem
se valido para transmitir as informações ao longo das gerações. Uma de suas
contribuições foi de marcar claramente a distinção entre aprendizagem
significativa e a aprendizagem mecânica.
Existem três requisitos essenciais para a aprendizagem significativa:
- A oferta de um novo conhecimento estruturado de maneira lógica;
- A existência de conhecimentos na estrutura cognitiva que possibilite a sua
conexão com o novo conhecimento;
- A atitude explícita de apreender e conectar o seu conhecimento com aquele
que pretende absorver.
Esses conhecimentos prévios são também chamados de conceitos sub -
sessores ou conceitos âncora. Quando se dá a aprendizagem significativa, o
aluno transforma o significado lógico do material pedagógico em significado
psicológico, na medida que esse conteúdo se insere de modo peculiar na sua
estrutura cognitiva, e cada pessoa tem um modo específico de fazer essa
inserção, Ausubel (1982).
Quando duas pessoas aprendem significativamente o mesmo conteúdo, elas
partilham significados comuns sobre a essência deste conteúdo. No entanto
têm opiniões pessoais sobre outros aspectos deste material, tendo em vista a
construção peculiar deste conhecimento.
A aprendizagem significativa requer um esforço do aluno em conectar de
maneira não arbitrária e não literal o novo conhecimento com a estrutura
cognitiva existente. É necessária uma atitude proactiva, pois numa conexão,
uma determinada informação liga-se a um conhecimento de teor
correspondente na estrutura cognitiva do aprendiz; Desse modo pode-se ter
uma aprendizagem receptiva significativa em uma sala de aula convencional,
onde se usam recursos tradicionais tais como giz e quadro negro, quando
existir condições do aluno transformar significados lógicos de determinado
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38
conteúdo potencialmente significativo, em significados psicológicos, em
conhecimento construído e estruturado. (Silva 1997)
A aprendizagem mecânica ou memorística dá-se com a absorção literal e não
substantiva do novo material. O esforço necessário para esse tipo de
aprendizagem é muito menor, que não exige do aluno uma capacidade de
articulação entre os tópicos do conteúdo em questão. A aprendizagem
memorística é volátil, com um grau de retenção baixíssimo na aprendizagem
de médio e longo prazo. (Dal Medico, 2008).
envolve a aquisição de um
contribuem para envolve
através da sua
por meio da
à
fig.9: Aprendizagem significativa e Aprendizagem Mecânica, adaptado de esquema de Dal
Medico (2008).
Para Dal Medico (2008), o resultado da interacção que acontece na
aprendizagem significativa com o novo material a ser aprendido e a estrutura
cognitiva existente é uma assimilação dos antigos e dos novos significados que
contribui para diferenciar essa estrutura.
Sob esse enfoque o ensino de fracções e números fraccionários a partir de uso
de material concreto em sala de aula é realmente significativo, visto que os
Aprendizagem
Significativa
Produção
criativa
Estrutura Cognitiva
Incorporação à Estrutura
Cognitiva
Ligação a conceitos de
ordem superior Relação a conhecimentos prévios
Novo conhecimento
Aprendizagem
Significativa
Incorporação
não substantiva
Não há interligação de
conhecimentos
Nenhum esforço para
integrar
conhecimentos
A maior parte da
aprendizagem se dá
na Escola
Prática,
exercícios e
réplicas
reflexivas
Aprendizagem
Mecânica
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mesmos são muito utilizados na resolução de problemas em várias esferas da
ciência e da vida em si.
1.4.3- O Construtivismo e a Aprendizagem
Segundo Jesus (2005), construtivismo é uma teoria de aprendizagem que parte
do pressuposto de que todos construímos a nossa própria concepção do
mundo a partir de reflexões sobre as nossas próprias experiências, cada um,
utiliza regras e modelos mentais próprios, onde a aprendizagem consiste no
ajustamento desses “modelos” a fim de poder acomodar as novas
experiências.
O construtivismo como teoria de aprendizagem está fundamentado em vários
princípios (Jesus, 2005):
- A aprendizagem é uma constante procura de significados das coisas,
isto é, deve começar pelos acontecimentos em que os alunos estão envolvidos
e cujo significado procuram construir.
- Aprender é construir o seu próprio significado.
- Para se ensinar bem é necessário conhecer os modelos mentais que
os alunos utilizam na apreensão do conhecimento e os pressupostos que
suportam esses modelos.
- A construção do significado não requer só a compreensão da
globalidade, mas também das partes que o constituem. O processo de
aprendizagem deve centrar-se nos “ conceitos Primários” e não nos factos
isolados.
Desta perspectiva construtivista, a aprendizagem constitui o superar de
modelos cognitivos e sublinha o papel essencialmente activo de quem aprende,
este papel está baseado nas seguintes características:
- A importância dos conhecimentos prévios e das motivações dos
alunos.
- O estabelecimento de relações entre os conhecimentos para a
construção de conceitos e a ordenação semântica dos conteúdos de memória.
- A capacidade de construir significados à base de reestruturação dos
conhecimentos que se adquirem de acordo com as concepções básicas do
sujeito; os alunos auto-aprendem dirigindo as suas capacidades para certos
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
40
conteúdos, construindo eles mesmos os significados que vão aprendendo do
professor.
Estas características assentam na teoria de aprendizagem de Vygotsky
(1991) as quais o autor deste trabalho assume como pressupostos teóricos
para a mudança do modelo tradicional do ensino-aprendizagem para uma
ensino inovador e significativo para o aluno.
1.4.4- O Papel do Conceito na Aprendizagem
Os conceitos jogam um papel importante na construção e uso do conhecimento
na aprendizagem da matemática. No quotidiano o homem é caracterizado pela
sua capacidade de classificar e categorizar os diferentes estímulos do meio e
sistemas conscritos e designá-los em categorias.
Os investigadores e teóricos colocam os conceitos como a fonte do
conhecimento humano (Ausubel 1982, Novak 1998).
Segundo Jesus (2005) citando Piaget, o desenvolvimento da capacidade
humana de raciocínio em termos de progresso da criança é feito através de
uma série de estágios de desenvolvimento. Os estágios são hierárquicos,
estruturas características do conhecimento de cada estágio sucessivos se
subordinam a uma síntese mais elevada do comportamento cognitivo no
estágio seguinte e nele se incorporam. Todos os indivíduos evoluem passando
pelos mesmos estágios e pela mesma ordem, mas podem atingi-los e sair
deles em tempo diferente. O modelo postula que indivíduos operando a níveis
concretos são incapazes de desenvolver o conhecimento de conceitos
abstractos e concretos. Assim, pelo mesmo facto da hierarquização, não é
possível passar de um estádio de desenvolvimento sensório – motor para um
estádio de operações formais, sem passar pelo estádio de operações
concretas. Os estádios são cumulativos, a medida que a adaptação tem lugar,
cada tipo de pensamento da fase anterior é incorporado e integrado na etapa
seguinte (Piaget e Inhelder, 1982).
Desta perspectiva, o conceito número fraccionário torna – se acessível quando
abordado a partir da representação em objectos (figuras) divididas em partes
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
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iguais e onde diferentes objectos divididos em números diferentes de partes
tenham valores iguais.
A aprendizagem de conceitos definidos é mais complexa do que a de conceitos
concretos, Alarcão (2006) quando afirmou que no ensino de conceitos é vulgar
os professores ditarem as definições para os alunos e estes simplesmente as
memorizarem. É um processo possível, mas os alunos simplesmente limitam a
repetir as palavras, desprovidas de significado. Opinião corroborada por Silva
(1997) quando afirmou que não há utilidade em definir se não se sabe
reconhecer, aplicar em certos conteúdos a noção definida ou expressa.
Piaget (1982) chamou a este processo de aprendizagem de memorizada ou
mecânica, onde o aluno tem como função repetir da mesma forma como o
professor ensinou.
As condições para a aprendizagem de conceitos precisam ser dispostas com
cuidado para se tornarem partes realmente significativas da estrutura cognitiva,
porque a aprendizagem de conceitos depende muito da instrução verbal e,
como o seu significado deriva de relações entre conceitos (parte, numerador,
denominador), é indispensável que os conceitos subordinados tenham sido
aprendidos significativamente.
A utilidade dos conceitos é definida por vários autores, Jungk (1979), Silva
(1997) e Magina (2005), para quem a categorização confere ao aluno a
capacidade de organizar uma vasta quantidade de informações que se
encontram em unidades de significado, de agrupar os objectos que possuem
diferenças, mas que ficam classificados conjuntamente em virtude das suas
propriedades.
1.4.5- A Construção do Significado Como Base da Aprendizagem de
Conceitos
Em matemática, cada termo tem um significado preciso, que se deve conhecer.
As experiências que proporcionam em relação a um objecto (Estimulo), devem
ser tão variadas que o aluno seja capaz de determinar se outros objectos estão
logicamente ligados, associados a ele. Tal experiência deve proporcionar
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
42
bases significativas para determinar se certo objecto difere de algum modo de
outro ou se representa uma classe de objectos, Martini (2006).
A aquisição de significado é o que normalmente se subentende quando se diz
que um conceito foi aprendido. Aprende-se o conceito quando o aluno
demonstra que pode identificar um objecto pelas suas características gerais e
quando pode definir as características ou propriedades importantes do objecto
e suas relações recíprocas, Jungk (1979)
1.5- O Ensino de Conceitos em Matemática
O Ensino pressupõe organizar as condições exteriores próprias à
aprendizagem. Tais condições devem ser organizadas por níveis, tendo em
conta, em cada etapa, as habilidades previamente adquiridas, a necessidade
de retenção dessas habilidades e a situação estimuladora específica exigida
pela etapa seguinte. Assim, ensinar implicará consequentemente uma
frequente comunicação verbal com o sujeito da aprendizagem.
Vergnaud (1985) explanou os mecanismos da construção de conceitos
propriamente matemáticos em um contexto escolar, baseado em uma
concepção interactiva da formação de um conceito, concentrou-se não só nos
aspectos práticos como nos teóricos e afirma que o conhecimento emerge de
problemas a serem resolvidos e de situações a serem dominadas, as situações
de ensino devem levar os alunos a descobrir relações.
Dentro da concepção interactiva, Vergnaud (1985) considera um conceito como
um agrupamento (S, I, @) onde S é o conjunto de relações que tornam o
conceito significativo, I é o conjunto de invariantes operatórios que são
subjacentes aos procedimentos dos sujeitos frente a uma situação e @ é o
conjunto de representações simbólicas usadas para representar o conceito,
suas propriedades e situações as quais se refere. Os invariantes operatórios
são os meios psicológicos ou operações do pensamento que permitem ao
sujeito trabalhar com as situações; os significantes são o conjunto de símbolos
usados para representar os invariantes e os procedimentos de ensino.
A representação é fundamental para a formação de um conceito. Por
representação entende-se a estreita ligação entre significante e significado,
entre aquilo que sustente a linguagem natural (fala, símbolos, desenho) e
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
43
aquilo que compõe o próprio significado (invariantes de diferentes níveis,
inferências)
Vergnaud estabelece uma ligação directa entre o sistema de representação e a
acção sobre o meio ou o real, pois a representação só pode ser funcional a
medida que regula a acção, a representação tem função adaptativa ao real. A
formação de um conceito é de carácter operatório porque este mesmo conceito
é o resultado da estruturação do real e da acção do sujeito sobre o real. Dando
ênfase ao papel das representações, Vergnaud faz algumas colocações que
podem nortear os métodos de ensino:
1) O desenvolvimento de um conceito é lento e todo o currículo,
baseado na construção de conceitos deve prever estudos com
aperfeiçoamentos sucessivos;
2) A colecta e classificação de situações - problema que tornem um
conceito matemático funcional e significativo deve ser ampla;
3) As ideias dos alunos só podem mudar frente a situações - problema
e, portanto, o ensino não parte de definições, por melhores que elas sejam;
4) As generalizações de propriedades relevantes de situações simples
das variáveis só devem acontecer depois que estas se tornem óbvias;
5) O ensino de algoritmos não deve ser independente dos problemas;
6) Os professores devem conhecer os conceitos prévios dos alunos e
também os erros e prováveis dificuldades na resolução de problemas, dominar
o conjunto de situações que propiciem a acomodação das ideias e dos
procedimentos a novas relações e, também descobrir os processos através dos
quais conceitos prévios podem tornar-se desenvolvidos.
Com base nestes pressupostos, o autor assume esta opinião de formação e
desenvolvimento de conceitos. Pois há um encaminhamento das acções dos
alunos para a obtenção de novos conhecimentos sustentados pelos
conhecimentos anteriores até a sua generalização, pressuposto básico da
teoria construtivista.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
44
1.5.1 – Construção do Conceito de Número Fraccionário
O número fraccionário, para Piaget (1982), apresenta o problema das relações
entre a acção operatória e a representação perceptual. Este problema acaba
por desencadear a discussão sobre a origem dos números fraccionários, isto é,
se os mesmos derivam a partir da acção (abstracção reflexionante) ou a partir
do objecto (Abstracção empírica). O facto do número fraccionário ter surgido da
necessidade de expressar numericamente a medição de terras propiciou a
acreditar que a origem do número fraccionário seja mais espacial que
aritmética e mais perceptual que operatória, assim o número fraccionário teria
sua origem na experiência física do fraccionamento de objectos contínuos.
No processo de desenvolvimento de conceito de fracção, o aluno quantifica as
partes em relação ao todo, compreendendo que o todo é a soma das partes,
deste modo, a construção do conceito depende de duas relações
fundamentais: A relação parte com o inteiro, onde se reconhece que a parte
está contida no todo que tem de ser dividido e a relação parte – parte onde os
tamanhos das partes de um único inteiro são comparados ao daquela primeira
parte.
Segundo Piaget e Inhelder (1982) a noção de fracção quer seja relativa à
quantidade contínua (área, comprimento, …) ou à quantidade discreta
(bolinhas, grão, …) constrói-se no nível das operações concretas e decorre na
articulação entre os seguintes elementos: Existência de uma totalidade
divisível, existência de um número determinado de partes, esgotamento da
divisão do todo, relação entre o número de partes e o número de cortes,
igualdade das partes, compreensão de que cada fracção pode também ser um
todo sujeita a novas divisões.
Para Vergnuad (1985)” “O conceito de número fraccionário é definido como
sendo uma classe de equivalência”.
O entendimento pelas crianças de fracções e razões como números que
podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados e divididos deve ser
precedido pelo entendimento das fracções como quantidade e relação. A
divisão de um bolo ou um conjunto de figurinhas é envolvida em seu início por
uma operação (partir de uma quantidade inicial e chegar a um conjunto de
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45
quantidades finais que acabam sendo as partes). Assim, partir um inteiro em
partes é uma primeira experiência com fracções e essa acção envolve uma
proporção directa entre as partes e a quantidade ou grandeza a ser dividida.
Uma importante diferença entre grandeza discreta e contínua é que dificilmente
a medida desta última é conhecida, enquanto no caso discreto tal medida pode
ser contada. Consequentemente no caso contínuo, o valor da unidade é
necessariamente expresso como uma quantidade fraccionária (meio, um terço,
quinto, …) no caso discreto, esta mesma quantidade pode ser expressa como
um número de elementos (1
4ou 3 bolas para um todo de 12 bolas).
Para Vergnaud (1985), quando se toma um conjunto discreto como 1 (um)
inteiro, a criança que tem intenção de parti-lo em 4 (quatro) partes, tem que
reconhecer que é necessário dividir a unidade por 4. Este é um problema para
a escola, pois os números inteiros podem ser directamente associados a
quantidade através de um procedimento de contagem, as fracções não podem
ser directamente associadas a quantidade porque estas expressam relações
entre duas quantidades. Outro problema conceitual principal para os alunos é
que as fracções podem ser quantidades, operadores ou razão.
Em relação à formação de conceito número fraccionário, o autor coloca a
necessidade de síntese entre fracções como um número (quantidade) e
fracção com razão, mas deixa claro que esta síntese é, por si mesma, difícil e
esta dificuldade é aumentada por dificuldades próprias do conceito, tais como a
equivalência de fracções e dos diferentes significados das fracções.
Oliveira (1996) afirma que a ideia de número fraccionário é um conceito
sofisticado, pois necessita de maturidade e base matemática bem maior que á
necessárias aos números Naturais, pois o número natural é propriedade de um
determinado conjunto, o número fraccionário é associado à partilha de um
conjunto determinado, um número associado à partilha de um conjunto
contínuo e/ou um número que representa o quociente de dois números
naturais, sendo o divisor diferente de zero.
Castelnuovo (2006) e outros examinaram as causas das dificuldades
encontradas para o Ensino-Aprendizagem do conceito número fraccionário,
entre outras causas, apontaram a inadequação da metodologia utilizada pelos
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46
professores, pois os mesmos se atêm à definição dos conceitos e aos
mecanismos de cálculo, levando os alunos a perder o significado dos símbolos
e o porquê das operações.
Oliveira (1996) destaca a necessidade da apresentação de experiências nas
quais a ideia de fracção e de relação entre fracções sejam construídas pelas
crianças com uso de material didáctico concreto, levando o aluno a tomar
aleatoriamente as quantidades utilizadas como unidades.
Referindo-se ao ensino dos números fraccionários, Bezuk (2007) enfatiza que a
aprendizagem destes números é uma das tarefas mais difíceis para os alunos
e, por isso:
Esta interferência do conhecimento de números inteiros (positivos) aparece
bem na questão de ordenação, comparação e da representação matemática.
Devido à complexidade dos números fraccionários, esta autora, propõe maior
tempo nos programas para o desenvolvimento do conceito de número
fraccionário e que este desenvolvimento deveria ser repetido em classes
sucessivas para um entendimento quantitativo, que consiste em conhecer o
tamanho relativo, comparar e ordenar os números fraccionários baseada nas
experiências com modelos concretos.
Bezuk (2007) sugere que as operações com fracções só deveriam ser
introduzidas depois que os alunos tivessem o entendimento conceptual, bem
como as questões de ordem e equivalência dos mesmos e deixa algumas
recomendações quanto ao ensino dos números fraccionários:
1) O Uso manipulativo (materiais concretos) é fundamental para o
entendimento das ideias fraccionárias por parte dos alunos, pois que os
manipulativos ajudam na construção de referências mentais que capacitam os
alunos a desempenhar significantemente as suas tarefas com números
fraccionários.
“…não deveria haver surpresa quanto a esta dificuldade já que além
da existência dos diversos conceitos envolvidos no conceito número
fraccionário, os alunos têm que conciliar as novas regras estabelecidas
para os números fraccionários com os seus bem estabelecidos
conhecimentos para números naturais”.
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2) O desenvolvimento de conceito e relação entre fracções, dízimas e razão é
essencial com vista às operações sobre as mesmas.
3) As operações com os fraccionários deveriam ser adiadas até que os
conceitos e as ideias sobre equivalência, ordem e comparação estivessem
solidamente estabelecidos.
Como no início do estudo das fracções, o aluno está na faixa etária entre os 9 a
12 anos, está na idade onde a sua experiência pessoal e concreta prevalece
em relação à experiência alheia no que diz respeito à aprendizagem. Como as
variações que levam a familiarização das propriedades de fracções não se
encontram em seu ambiente natural, o autor propõe que o ensino de fracções
nas suas diversas interpretações deve ser da responsabilidade da escola, cabe
ao ambiente escolar apresentar tais variações, partindo de acções com
apresentação de modelos (material concreto em sala de aula).
1.6 – Modelo de Ensino de Conceitos em Matemática
Para perceber qualquer ciência em geral, a Matemática em particular, é
necessário que se perceba antes de tudo os seus conceitos, sobretudo os
básicos, essenciais, porque sem a percepção dos conceitos não há
fundamento do pensamento.
No ensino da Matemática, o ensino de conceitos constitui um problema
fundamental. No ensino geral, a Matemática é apresentada num sistema de
conceitos necessários a fim de apetrechar o aluno com bases para o
pensamento matemático. Assim, pode-se notar o quão importante é a
elaboração e consolidação dos conceitos para o ensino e a necessidade da
sua estruturação cuidadosa.
Segundo Jungk (1979), as razões pelas quais deve se estruturar
cuidadosamente o ensino dos conceitos são:
- O entendimento das relações matemáticas tem como fundamento a
compreensão dos conceitos e definições, que é uma condição importante para
desenvolver a capacidade de aplicação do aprendido de forma segura e
criadora.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
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- A elaboração de conceitos e definições constitui um aspecto essencial
para o adestramento lógico - verbal dos alunos.
- Através do ensino dos conceitos, familiariza-se o aluno com
importantes noções da teoria do conhecimento.
Para que os alunos entendam, para que o ensino seja significativo, os
professores devem conhecer a metodologia de ensino, em particular do ensino
de conceitos, ou seja:
- Como se elabora e se consolida um conceito na escola.
- Quais são os seus passos.
- Se o conceito deve ser introduzido ou definido.
Muitas são as sugestões metodológicas que aparecem nas bibliografias
propostas por eminentes teóricos, Zilmer, citados por Augusto (1996). Jungk
(1979) Ausubel (1982). Estes metodólogos revelam importantes ideias que na
sua maioria são convergentes. Contudo, existem diferenças que residem no
facto de que, segundo Zilmer, o ensino de conceitos se baseia na elaboração e
consolidação. Enquanto para Jungk e Ausubel baseia-se na obtenção do
conceito (considerações e exercícios preparatórios), formação e assimilação,
modelo com o qual o autor deste trabalho corrobora.
A obtenção do conceito, muita das vezes começa antes da introdução do
conceito, quando em classes (aulas) anteriores o aluno é colocado frente a
exercícios de divisão com resto, quando o aluno tem de dividir um objecto em n
partes iguais, mediante estas actividades os alunos familiarizam-se com as
formas de trabalho.
A elaboração dum conceito, Jungk (1979), é o realce das suas propriedades
essenciais, separação das características comuns e não comuns e até chegar
a definição da explicação do conceito. Existem duas vias para a elaboração de
conceitos: A via dedutiva e a via indutiva.
Na via Indutiva, o ponto de partida são os exemplos. Recorre-se à
determinação das características comuns dos objectos, reconhece-se as
características essenciais e a definição é elaborada paulatinamente. Por esta
via se elaboram os conceitos do particular ao geral.
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Na via Dedutiva, parte-se da definição do conceito. Mediante a investigação de
uma série de exemplos, descobre-se o conteúdo e a extensão do conceito, o
conceito elabora-se do geral ao particular.
Antes de ensinar um novo conceito aos alunos, deve-se responder a duas
questões de grande significado didáctico, pois é importante que o contacto com
o novo conceito tenha uma influência decisiva na assimilação, estas questões
são:
- Necessita este conceito de ser definido ou introduzido?
- Qual das vias se deve utilizar para introduzir o novo conceito?
A decisão quanto à definição ou introdução do conceito, não é tomada pelo
professor, visto que já foi tomada na elaboração do programo de ensino.
Quanto à segunda questão, no ensino dos conceitos pode-se utilizar tanto a via
Indutiva como a via dedutiva. A aplicação de uma ou outra a criação do
conceito e definição do conceito depende de uma série de condições, tais
como a estrutura da matéria, o objectivo da assimilação, o nível de
desenvolvimento mental dos alunos e as particularidades da sua idade.
Recomenda-se a utilização da via indutiva, se a elaboração do conceito
favorece aos alunos a compreensão da definição, por outro lado, a via dedutiva
torna-se vantajosa quando estão reunidos os seguintes requisitos:
- Os alunos conhecem os conceitos prévios para a definição do novo
conceito.
- O conteúdo da formulação corresponde à definição do conceito e deve
ser compreensível para os alunos.
- A capacidade de pensamento dos alunos deve ser desenvolvida de tal
forma que os alunos vão passando das formas de pensamento concreto para
os níveis de abstracção.
É necessário considerar que os alunos não devem memorizar os conceitos de
uma maneira formal, deve-se, faze-los compreender, mostrar as propriedades
ou características do conceito.
Dal Medico (2008) diz que terminada a elaboração do conceito, é importante
que os alunos o classifiquem num sistema de conceitos que já possuem, esta
fase é alcançada através da sistematização que deve ser a primeira acção da
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consolidação. Na sistematização visualizam-se as relações entre os diferentes
componentes do saber adquirido.
A consolidação de um conceito é entendida como o processo que tem como
objectivo a fixação do conteúdo do conceito mediante actividades práticas e
intelectuais orientadas para o aluno.
Além da sistematização, a consolidação de um conceito envolve outras acções
como: identificação do conceito, realização do conceito e aplicação do
conceito.
A identificação do conceito consiste em estabelecer, a partir da definição, se os
objectos, relações e as operações pertencem ou não ao conceito elaborado. As
possíveis formas de identificação do conceito estão indicadas no quadro
seguinte:
Exercícios Simples Exercícios Compostos
Dados - Um exemplo
- Um Conceito
- Um exemplo
- Vários conceitos
- Vários Exemplos
- Um conceito
- Vários exemplos
- Vários conceitos
Questão
Decidir se o conceito se refere
ao exemplo (representante) ou
não.
Decidir a que conceito
se refere o
representante.
Decidir a que
exemplos se
refere o conceito.
Decidir a que
conceitos se
referem os
exemplos e vice-
versa.
Fundamentar estas decisões
Tabela 1: Formas de fixação de conceitos, extraído de Jungk (1987)
A realização do conceito consiste em produzir, completar, relacionar ou
transformar objectos para que surjam representantes do conceito dado.
A aplicação do conceito, em geral, encontra-se relacionada com situações de
ensino, aplicar um conceito significa ter a capacidade de utilizá-lo na resolução
de problemas de ensino ou do quotidiano.
1.7 – Situação Actual do Problema de Investigação
A fim de dar maior consistência à investigação e conhecer qual é a situação
actual do problema objecto de estudo, realizou-se um inquérito aos professores
que leccionam a 6ª classe e uma prova diagnóstico aos alunos de duas escolas
públicas e um colégio do Lubango.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
51
1.7.1- Concepções Espontâneas dos Professores
O inquérito foi aplicado a 27 professores de Matemática da 6ª classe de várias
escolas situadas na cidade do Lubango, os mesmos têm uma experiência de
trabalho na docência de Matemática que vai de 3 a 26 anos e uma grande
parte deles frequenta o Ensino superior.
O inquérito foi formado por Quinze (15) questões com questões abertas com
espaço para opinião ou fundamentação da resposta. Tal como mostrado no
anexo 1.
Analisadas as opiniões dos professores nos inquéritos, elaboraram-se as
seguintes conclusões:
Aspectos Negativos:
1- Não existe um guia metodológico que sirva de apoio e
orientação dos professores na preparação das suas aulas,
somente a realização de reuniões onde é distribuído conteúdo
a leccionar num determinado intervalo de tempo e que alguns
professores confundem tal reunião com guia metodológico.
2- Falta de preparação metodológica dos professores que se
reflecte em não utilizar meios ou matérias concretos nas aulas
de introdução do conceito de fracção, na explicação da
necessidade de introdução do conceito números fraccionários
pois limitaram-se em indicar o mínimo múltiplo comum (m.d.c)
como causa dos erros cometidos pelos alunos na
soma/subtracção de fracções.
3- O livro didáctico da 6ª classe não apresenta claramente os
conceitos de fracção e número fraccionário, dá mais ênfase a
resolução de exercícios com base em teoremas e exercícios
variados.
4- O modelo de ensino em que o professor debita a matéria
ainda é o mais utilizado, cabendo ao aluno a reprodução do
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52
conhecimento e resolução de exercícios como forma de
assimilação do conteúdo.
5- Existência de professores que não tem uma formação
adequada para o ensino, pois existem professores vindos da
Escolas médias de Economia, agronomia, pescas e da
faculdade de economia como docentes de matemática.
Aspectos Positivos
1- O grau de sinceridade com que muitos professores responderam ao
inquérito e deram sugestões muito valiosas permitiu um melhor
enquadramento do problema de investigação.
2- O reconhecimento da existência de dificuldades (obstáculos) no ensino
das fracções e de suas aplicações.
1.7.2- Resultados do Teste aplicado aos alunos
A prova teve como objectivo comprovar os conhecimentos dos alunos sobre
fracções e o conceito de número fraccionário. Constituída por 13 questões
(questões de identificação, realização e de aplicação do conceito) apresentada
no Anexo 2.
A prova foi aplicada a 293 alunos das escolas do I ciclo Mandume (4 turmas
com 120 alunos), 1º de Dezembro (4 turmas com 134 alunos) e do Colégio O
Sol (2 turmas com 39 alunos), numa amostra aleatória seleccionada por sorteio
onde o critério foi de ter duas turmas do período da manhã e outras duas do
período da tarde, exceptuando-se no colégio onde foram utilizadas todas as
turmas (duas).
a) Questão relacionada com divisão de objectos (1ª): 87% dos alunos
respondeu acertadamente o que mostra que os alunos já têm a
capacidade de reconhecer a operação de divisão.
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53
b) Questões de Identificação em diferentes formas (perguntas 2;3;4:5;6;7 e
8) de forma global obtiveram-se os seguintes resultados:
fig.10: Nível de acertos dos alunos nas questões de identificação das fracções em diferentes
formas.
Grande parte dos alunos tem dificuldades de identificar os números
fraccionários representados na forma de fracção e como número decimal.
Questões de definição do conceito (realização), perguntas 9 e 10: somente
1,7% acertou e 25% deixou em branco a mesma.
fig. 11: Respostas dos alunos nas questões de definição do conceito.
c) Questões de Aplicação do conceito (perguntas 11; 12 e 13),
Comparação, aplicação na resolução de problemas e soma/subtracção
de fracções.
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54
Neste item verifica-se um nível de erros na ordem de 69% do total dos
alunos que responderam e apenas 7% de acerto.
Um dado que chama atenção nestas questões é o grau de acertos estar
concentrado na questão de soma e subtracção de fracções, o que indica haver
maior empenho nas questões de cálculo puro do que, da ordenação ou
aplicação a problemas do quotidiano dos números fraccionários.
1.7.3-Conclusões retiradas do Teste
Os alunos reconhecem a necessidade de aplicação dos números fraccionários
pois já os conhecem, contudo não têm domínio para os identificar a partir de
questões relacionadas com situações do dia-a-dia e da sua interpretação. Por
outro lado, coexiste a dificuldade de definir o que é o número fraccionário,
confundido - o com o conceito de fracção e a sua aplicação a exercício. Assim
podemos concluir que, embora os alunos tenham dado os conteúdos referentes
ao tema, não o dominam quando apresentado em outros contextos ou formas.
Acreditamos que este facto deve-se ao ensino meramente formal onde o
professor apresenta os conteúdos e as formas de resolução já de forma
acabada (ensino tradicional) não levando os alunos a ultrapassar as
dificuldades que têm em compreender os novos mecanismo de actuação e
interpretação das fracções e números decimais (números fraccionários), um
pouco diferentes dos já conhecidos e trabalhos, números naturais, reforçando
os obstáculos na sua aprendizagem.
Desta forma, a pesquisa busca o entendimento dessa realidade e procura
buscar uma estratégia que ajuda a melhorar e minimizar os efeitos de tais
obstáculos.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
55
Conclusões do Capitulo I
• Neste capítulo se expôs os principais fundamentos que se tiveram em
conta para desenvolver a direcção do processo de ensino aprendizagem
da Matemática, em particular a formação do conceito de número
fraccionário.
• Os referentes teóricos que o autor assume estão apoiados nos
princípios, leis e categorias da Didáctica Geral e da Matemática e
assume como pressuposto psico-pedagógico o enfoque histórico-cultural
no contexto de um ensino-aprendizagem desenvolvedor como base para
estudar o processo de ensino aprendizagem do conceito de número
fraccionário.
• O teste de conhecimentos aos alunos prova que os alunos têm
dificuldades em trabalhar com os números fraccionários, como mostram
os seguintes resultados: 57% das respostas ao teste estavam erradas e
apenas 13% correctas.
• Mediante o teste e o inquérito aplicados no levantamento do problema,
verifica-se que existe a acção dos obstáculos de ensino-aprendizagem o
que aumenta o grau de dificuldades de ensino-aprendizagem do
conceito de número fraccionário.
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56
Capítulo II- Alternativa Metodológica para o Ensino-
Aprendizagem do Conceito de Número Fraccionário.
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57
Capítulo II- Alternativa Metodológica para o Ensino do Conceito de
Número Fraccionário.
2.0-Introdução
Para a solução do problema identificado nesta investigação, como referenciado
na introdução deste trabalho, que consiste na existência de Obstáculos
relacionados com o ensino - aprendizagem do conceito número fraccionário
que levam os alunos a terem debilidade no trabalho com os números
fraccionários e com base nos objectivos propostos, o autor propõe uma
alternativa metodológica que considera a combinação de métodos e
procedimentos da Matemática usados no ensino construtivista. Na actualidade
e no contexto da investigação, os professores utilizam predominantemente o
método expositivo como forma de transmissão dos conteúdos, que consiste em
apresentar as definições, os teoremas, os exemplos e as formas de resolução
dos exercícios. Os alunos limitam-se a interiorizar o conteúdo sem entenderem
como surge, o porquê da forma de resolução ou seja, os alunos são elementos
passivos no processo de ensino-aprendizagem, fazendo com que os
obstáculos de compreensão dos números fraccionários e seu conceito
perdurem.
Com a alternativa metodológica pretende-se uma transformação do modelo
tradicional de ensino-aprendizagem ao modelo Construtivista de ensino, onde
os alunos são elementos activos do processo prestando atenção à obtenção e
elaboração do conceito de fracção quer no contexto contínuo, como no
discreto, na representação de fracções na recta, nas equivalências de fracções
e na elaboração do conceito número fraccionário como classe de números.
Os referentes teóricos que o autor assume estão baseados nos princípios, leis
e categorias da Didáctica, quer a Geral quer a da Matemática e assume-se
como pressuposto psico-pedagógico o enfoque histórico-cultural e no contexto
de um ensino-aprendizagem desenvolvedor como base para estruturar
cientificamente o processo de ensino-aprendizagem do conceito números
fraccionários. As exigências pedagógicas que o autor tem em consideração
para o trabalho são propostas por Zilbertein e Silvestre (2003) e são:
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58
2.1-Exigências Pedagógico-Metodológica para a Elaboração do modelo
em que se apoia a Alternativa
Os requisitos que se devem levantar para a implementação da proposta, são:
1º- Diagnosticar a preparação do aluno para as exigências do processo de
ensino-aprendizagem do conceito que se deseja formar.
O diagnóstico dá a possibilidade de conhecer onde estão as dificuldades de
cada aluno e trabalhar de forma pontual para assegurar o nível de partida
necessário para enfrentar o tema, que conhecimentos prévios possuem, tais
como a divisão com resto ou as limitações da divisão nos números naturais, a
necessidade de existência dos fraccionários, construção de figuras geométricas
e sua divisão em partes tidas como recurso para mostrar as partes do todo em
objectos.
Além disso, o diagnóstico orienta o professor para o nível de profundidade que
dará a cada tarefa ou actividade do sistema, na forma de perguntar e de
apresentar o conteúdo e na ajuda necessária a dar em cada uma das
actividades para que possam ser resolvidas de forma independente pelos
alunos. Também deve proporcionar ao professor informações para diferenciar
os alunos e trabalhar por um ensino que atende as diferenças individuais.
(Zilberstein, 2003).
2º - Estabelecer a relação entre os conceitos do sistema.
Um conhecimento adequado por parte do professor do conceito que se quer
formar nos estudantes resulta de grande importância para a direcção bem
sucedida do processo de ensino-aprendizagem, para tal é necessário uma
análise detalhada do conceito a formar que deve consistir em:
a) Identificar o conteúdo e extensão do conceito (Jungk, 1979):
O conteúdo abarca todas as características essenciais comuns tomadas para a
formação da classe. Para o caso de números fraccionários o conteúdo abarca
o conceito de fracção, o conceito de número decimal, a representação na recta
e a formação de classes de equivalência.
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59
A extensão compreende todos os objectos que pertencem ao conceito de
acordo com o seu conteúdo. Grupo de fracções equivalentes e números
decimais que representados na recta numérica indicam o mesmo ponto.
b) Determinar os conceitos que conformam o sistema e estabelecer as
relações entre eles;
As relações entre os conceitos do sistema e deste com outros fora dele,
permite planear o sistema de tarefas de tal forma que o aluno descubra estas
relações e com isso, um conhecimento mais exacto da realidade.
Os conceitos que conformam o sistema referente ao conceito de número
fraccionário são: divisão de números naturais, conceito de fracção e de dízima
(números decimais), fracções equivalentes.
O conceito de divisão com resto permite definir as fracções e os números
decimais. É um conceito que o aluno tem de ter formado como condição prévia
para compreender a necessidade das fracções, o conceito de fracção e o
conceito de dízima.
O conceito de número fraccionário está subordinado ao de fracções
equivalentes que por sua vez lhe subordina o conceito de fracção cuja
concepção depende do conceito de divisão de números naturais e das suas
limitações nos mesmos.
No programa de Matemática da 6ªclasse não aparece previsto o conceito de
fracções equivalentes, no entanto, resulta conveniente que se trate do mesmo
para se poder formar o conceito de número fraccionário, pois o mesmo está
presente em todas as ordens da vida e é base para compreender muitos
fenómenos da realidade (comparação, soma/subtracção de fracções, …)
compreender propriedades e relações que se estudarão em classes posteriores
quer seja do campo da matemática, como das ciências.
3º- Determinar os elementos do conhecimento que se precisa revelar ao
aluno
Para organizar a modelação do sistema de tarefas e obter uma maior
independência cognitiva dos alunos é necessário determinar os elementos do
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conhecimento que o aluno precisa ter. Para isso deve-se elaborar um esquema
onde se indicam os conhecimentos prévios que têm de ser revelados, assim
pode-se recorrer a um mapa conceitual (Novak ,1998):
representa-se
expressas
podem ser
pertencem
dão origem
formam
obtidas por
representa
aplica-se
fig. 12: - Mapa conceitual de conhecimentos que o aluno precisa revelar, elaborado
pelo autor.
Classes
Número fraccionário
Operações com fracções
Fracções equivalentes
Simplificação Ampliação
Próprias )( bab
a Impróprias )( ba
b
a
Divisão de Números Inteiros
Com resto zero
(0)
Com resto diferente de zero
(0)
Número natural
Fracções )0( bb
a
Números decimais
Analítica
Gráfica
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De acordo com o mapa conceitual verifica-se que o aluno deve possuir os
seguintes conhecimentos, necessidade das fracções, sua interpretação
analítica ou gráfica e representação na recta numérica, sua classificação, o que
são fracções equivalentes e como se obtêm. Só após estes conhecimentos
passar-se-á à noção de Classe que é formada quer pelos números decimais,
quer pelas fracções que formam o número fraccionário.
4º- Conceber indicações que conduzem o aluno a uma busca activa e
reflexiva.
As tarefas devem propiciar a independência cognitiva dos alunos na busca do
conhecimento, sempre que possível, deve-se propor tarefas onde o aluno
tenha que procurar informação (respostas) para solucioná-las. Nas tarefas que
o requeiram, ir dando informações ou ajuda aos alunos para que possam as
resolver, independentemente de cada tarefa. (Zilberstein, 2003).
Cada actividade deve assegurar um nível de partida para as tarefas
subsequente de maneira que cada aluno atribua significado ao que vai
aprendendo. As orientações devem propiciar a reflexão e a argumentação.
A solução das tarefas deve estimular a comunicação professor/aluno e
aluno/aluno, onde se estimule a aluno a aprender, valorizar e ajustar as metas,
escutá-los, respeitar seus pontos de vista e atender aos seus problemas. Deve-
-se propor tarefas onde o aluno tenha a na alternativa de tomar decisões do
caminho a seguir e explicar-se; por outro lado, o professor deve utilizar o maior
número possível de tarefas vinculadas com a prática de que se revele ao aluno
a importância do que está aprendendo. (Ausubel, 1982).
Por exemplo, fazer várias representações em desenhos gráficos de forma que
os alunos construam o conceito de fracções equivalentes, de representação de
números em forma de fracção e decimal e seu agrupamento em classes para
que os alunos construam o significado de número fraccionário.
5º Definir uma linha de desenvolvimento e as vias a utilizar para formar o
conceito
Para a formação e o desenvolvimento do sistema de conceitos, é necessário
assumir determinada linha de desenvolvimento (Marques, 2009). A linha de
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62
desenvolvimento possibilita determinar de que forma, através da solução das
tarefas, se vai formar e desenvolver os conceitos previamente determinados.
O conceito número fraccionário é subordinado pelos conceitos de classe de
fracções e concorrem para este os conceitos de fracções equivalentes que por
sua vez está subordinado, dependendo dos conhecimentos do conceito e das
acções de ampliação, que pode ser simples ou com utilização do mínimo
múltiplo comum, ou da acção de simplificação que por sua também pode ser
simples ou com determinação do máximo divisor comum. Para tal o professor
deve seguir uma linha de desenvolvimento de ampliação do volume de dados e
inclusão de novas classificações.
Para formar os conceitos é necessário determinar a via (Jungk,1987), pois
permite organizar as tarefas dirigidas ao objectivo. A via indutiva é a
aconselhada para a formação deste conceito, caracterizado pela formação de
classes de fracções equivalentes e utilizando a recta numérica onde cada
ponto corresponde a uma e só uma classe, os alunos criam o conceito e
chegarão a definição do conceito.
7º - Valorizar o vínculo que tem o conteúdo com a vida prática
A Matemática é um meio eficaz no desenvolvimento científico-técnico da
humanidade e uma ferramenta poderosa para a formação da concepção
correcta dos fenómenos. Para tal, deve-se elaborar tarefas onde se tragam
para a sala de aula a realidade do que ocorre na vida e desta forma o aluno
atribui significado ao que está aprendendo (Álvarez, 1992).
Partindo de problemas com questões do dia-a-dia dos alunos, o professor pode
criar actividades onde o aluno descubra a importância do conceito de fracção e
sua extensão ao de número fraccionário.
8º - Determinar os valores da personalidade e os processos lógicos do
pensamento e desenvolver e conceber a forma em que se estimulará este
desenvolvimento.
É imprescindível o contributo da escola no desenvolvimento de valores. É
tarefa do professor preparar as futuras gerações para enfrentar as situações do
quotidiano, para tal, na elaboração do sistema de actividades, o professor deve
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
63
determinar as possibilidades que brindam o conteúdo para a formação de
desenvolvimentos de valores como a exactidão, clareza e limpeza do material
de estudo, a pontualidade às aulas, a responsabilidade, a sinceridade e
honestidade, a solidariedade com os demais colegas ajudando-os quando têm
dificuldades em realizar alguma actividade. (Zilberstein, 2003).
De acordo com os elementos dos conhecimentos que se propõe, será
necessário estimular neles os processos de análise, síntese, comparação,
abstracção e generalização através de actividades onde os alunos procurem as
características dos objectos, feitos ou processos, o que permite encontrar
aquelas que são gerais a todos e outras que sejam particulares a um grupo.
2.2- Alternativa metodológica para minimizar os efeitos dos obstáculos e
melhorar a formação do conceito de número fraccionário
Tendo em conta as exigências expostas anteriormente, o autor propõe uma
alternativa metodológica para a formação do conceitos de número fraccionário
caracterizada por:
fig.13: Estrutura do modelo da alternativa metodológica de ensino do conceito de número
fraccionário.
Objectivos
Avaliação
Exigências
Problema
Métodos e
Meios de Ensino
Conteúdo
Obtenção do
Conceito
Fixação/Controlo
Orientação e
Motivação
Fases de Implementação
Avaliação
Exigências
Problema
Métodos e
Meios de Ensino
Conteúdo
Obtenção do
Conceito
Fixação/Controlo
Orientação e
Motivação
Fases de Implementação
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2.2.1- O problema
O problema que a proposta pretende resolver é minimizar os efeitos dos
obstáculos de Ensino-Aprendizagem do conceito número fraccionário para
contribuir para o melhoramento da sua compreensão e aplicação.
2.2.2- Objectivos
O Objectivo representa o elemento orientador de todo o acto didáctico e o
modelo do resultado esperado. Assim, são objectivos desta proposta melhorar
a compreensão do conceito de número fraccionário e a capacidade de aplicá-lo
na resolução de problemas quer de fórum estritamente científico, como do
quotidiano, na capacidade de raciocinar e analisar os contextos em que os
mesmos podem aparecer.
2.2.3- Os métodos
O método é a via que toma o professor e o aluno para atingir os objectivos
fixados no plano de ensino, para ensinar ou assimilar o conteúdo desse plano.
O método não diz respeito aos vários saberes que são transmitidos, mas sim
ao modo como se tem realizado a sua transmissão e assimilação por parte dos
alunos.
Para a implementação da nossa proposta na perspectiva construtivista
identificamos os seguintes métodos como os mais adequados:
- De elaboração conjunta:
É a forma intermédia em que o professor e os alunos participam juntos na
elaboração do conhecimento, a sua forma básica é a conversão orientada pelo
primeiro adquirindo uma forma inquisitiva que exige resposta por parte dos
alunos o leva a sua participação, estimulando os processos lógicos do
conhecimento.
Assim, na aula de elaboração do conceito de número fraccionário o professor
deve propor um conjunto de actividades e questões de forma que ao agirem no
sentido de realizarem a actividade são solicitados a responderem as perguntas.
- O trabalho independente
Esse método consiste na aplicação de tarefas para serem resolvidas de forma
independente pelos alunos, porém dirigidas e orientadas pelo professor. A
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
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maior importância do trabalho independente é o desenvolvimento da actividade
mental dos alunos, para que isso ocorra de forma adequada é necessário que
as tarefas sejam claras, compreensíveis e à altura dos conhecimentos e da
capacidade de raciocínio dos alunos, tendo o professor que assegurar
condições para que o trabalho seja realizado e acompanhar de perto a sua
realização.
2.2.3.1- Os Meios
Os meios são todos os componentes do processo docente educativo que
actuam como suporte material dos métodos com o propósito de se alcançarem
os objectivos.
Para as aulas que propomos serão utilizados como meios de ensino os
objectos da sala de aula (quadro, giz), o material escolar (cadernos, lápis, lápis
de cores, réguas, pedaços de cartolina em varias cores) e outros materiais
auxiliares do quotidiano (bolas de berlinde, botões, fitas ou tiras de tecido) que
servirão como manipulativos, ou seja, são os meios que os alunos utilizarão
como demonstrativos de cada actividade e/ou tarefa.
2.2.4- O conteúdo
O conteúdo é um conjunto de conhecimentos acumulados pela sociedade ao
longo do seu desenvolvimento que os alunos precisam acatar e que são
manifestos na forma de conceitos, habilidades, hábitos, métodos das ciências e
normas de relação com o mundo e valores que respondem a um meio sócio
histórico concreto.
Para o nosso caso e proposta esses conteúdos são:
a) Conteúdo do sistema de conhecimentos:
- Noção de fracção, quer para modelos contínuos, como discretos. Aulas 2 e 3.
(ver páginas 76 e 80).
- Transformação de fracções em números decimais e vice-versa. Aula 4. (ver
página 81).
- Simplificação e Ampliação de Fracções e fracções equivalentes. Aula 5. (ver
página 85).
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66
- Representação das fracções e dos números decimais na recta numérica. Aula
6. (ver página 87).
- Obtenção do conceito de número fraccionário e suas aplicações. Aula 7 e 8.
(ver páginas 91 e 92).
b) Conteúdo do sistema de habilidades:
- Calcular fracções equivalentes. Aulas 5 e 8.
- Resolver problemas que envolvem fracções. Aula 8.
- Representar números fraccionários na recta numérica. Aula nº 6.
- Definir e demonstrar proposições em envolvem números fraccionários. Não se
apresenta uma aula como exemplo desta tarefa pois é algo que acontece ao
longo do ensino.
Para a implementação das acções o professor deve antes satisfazer as
exigências que nele se colocam e só assim passará às etapas da proposta.
2.2.5- Características fundamentais da alternativa metodológica. Etapas
da proposta
A proposta apresenta como características:
1 - Está baseada na teoria construtivista de ensino e assume um enfoque
histórico – lógico;
2 - Usa a manipulação de objectos como procedimento capaz de lavar os
alunos a interpretarem as diferentes concepções do conceito;
3 - Apresenta um carácter sistemático e acessível dos conteúdos de forma que
os próprios alunos nas interacções professor-aluno e aluno-aluno elaboram o
conhecimento;
4 - Utilização de acções que permitem a assimilação e fixação de
conhecimentos nas diferentes etapas de sua elaboração;
5 - As diferentes formas de controlo permitem que o professor avalie em cada
momento o grau de assimilação do conteúdo de formação dos diversos
conceitos subordinados ao conceito número fraccionário.
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67
1ª Etapa: Fase de Orientação e Motivação.
Esta etapa é muito importante pois é nela que o professor vai despertar a
curiosidade e interesse dos alunos e por isso deve ser bem orientada e
aproveitada. A mesma tem dois momentos:
a) Motivar os alunos para o tema conceito de número fraccionário. As
funções do professor nesta fase são:
1º- Apresentar problemas que se resolvem com aplicação de números
fraccionários.
Da prática quotidiana. Por exemplo: Tenho uma pizza para dividir por
três amigos. Com quantos pedaços ficará cada um?
Da Economia. Exemplo: Tinha 200,00kz, gastei 5
1 do mesmo. Quanto
dinheiro tenho agora?
Da Matemática e dos temas em estudo. Por exemplo: a mãe do João
comprou goiabas e ele comeu 7
3 , sua irmã, Maria comeu 3
2 das
goiabas e restaram 7.
a) Quantas goiabas comprou a mãe do João?
b) Quem comeu mais goiabas, o João ou a Maria?
Segundo Sungo (2007), uma das dificuldades que se encontra na prática dos
professores no modelo actual é a não realização da motivação dos alunos em
relação ao objecto de ensino, limitando-se na transmissão das informações de
forma acabada.
Os problemas seleccionados e apresentados pelo professor devem cumprir o
requisito de que os alunos tenham dificuldades em resolvê-los com os
conhecimentos que possuem até esse momento, contudo não sendo
totalmente novos os conteúdos, alguns alunos podem arriscar a sua solução
com utilização da operação de divisão ou até outras formas.
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68
2º- Declarar o objectivo do tema e a sua importância quer para o estudo
como para a vida.
Os alunos, ao finalizar o tema, devem ser capazes de resolver exercícios e
problemas que envolvem os números fraccionários, utilizando qualquer método
e procedimento de estudo. Para cumprir esse objectivo deve-se ter em conta
as habilidades gerais que o aluno deve desenvolver:
- Transformar as expressões em números (fracções ou números decimais);
- Simplificar ou ampliar as fracções com cálculo do máximo divisor comum ou
do mínimo múltiplo comum;
- Determinar classes de fracções equivalentes (número fraccionário);
- Representar números fraccionários na recta numérica com rigor e exactidão;
- Calcular expressões ou resolver problemas onde intervenham números
fraccionários;
- Escolher o método e o procedimento correspondente, tendo em conta o tipo
de exercício.
Para o desenvolvimento destas acções, aumenta-se sistematicamente o grau
de dificuldades dos exercícios e problemas apresentados.
3º- Fazer referência à história da descoberta dos números fraccionários.
Um certo conhecimento de história da Matemática deveria ser parte
indispensável da bagagem de conhecimentos de qualquer matemático em
geral e do professor de qualquer nível. Isso, não somente com a intenção de
utilizá-la como um instrumento em seu ensino, mas principalmente porque a
história pode proporcionar uma visão verdadeiramente humana da Matemática,
o que é difícil de se imaginar, pois a imagem que os alunos possuem dessa
disciplina está totalmente desvinculada da realidade, Silva (1997) citando
Guzmán.
Existem vários livros de História da Matemática que realçam o surgimento das
fracções e os povos pioneiros na sua utilização. Para a aula, o professor pode
entregar aos alunos pequenos extractos de textos que os alunos podem ler
rapidamente, individualmente ou em grupos de 3 a 4 alunos e trocarem ideias
sobre tais informações, também pode orientar um trabalho em que os próprios
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alunos podem procurar livros que referenciam o surgimento e uso das fracções
na antiguidade.
O enfoque histórico é uma proposta metodológica que permite ao aluno
descobrir a génese dos conceitos e métodos que aprenderá em aula. Em
outras palavras, este enfoque permitirá ao aluno fazer relação das ideias
matemáticas desenvolvidas em sala de aula com as suas origens. O
conhecimento da história da Matemática proporciona uma visão dinâmica da
evolução dessa disciplina, buscando as ideias originais em toda a sua
essência.
Destacamos aqui as obras História da Matemática, de Carlos Bayer de 1990 da
Editora Blucher; A Matemática na Antiguidade, de A. Struik de 1989 da editora
Gadiva e os sites Wikipedia.org e Somatematica.com.br, onde os professores
podem recorrer para extrair informações sobre a história dos números
fraccionários (números racionais).
b) -Diagnosticar integralmente o grau de conhecimentos que os alunos já
possuem.
O tema número fraccionário não é o início da abordagem dos números
fraccionários como conjunto numérico para os alunos, nem nos conteúdos da
disciplina de Matemática, assim o professor deve realizar um diagnóstico
valorativo dos alunos quanto ao grau cognitivo para poder encaminhar o seu
trabalho até ao desenvolvimento potencial dos alunos (Vigotsky, 1991).
Tarefas da Introdução:
Em relação aos aspectos cognitivos, o professor deve comprovar os
conhecimentos relacionados com:
- Divisão dos números com e sem resto;
- Representação das divisões com resto diferente de zero em expressões
fraccionárias (fracções ou numerais decimais);
- Representação gráfica e interpretação dos resultados (nos contextos contínuo
e discreto);
- Cálculo do máximo divisor comum (m.d.c) e do mínimo múltiplo comum
(m.m.c) de dois ou mais números naturais.
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Estes constituem conhecimentos prévios importantes para o alcance de um
ensino com êxito. Os resultados do diagnóstico devem ser informados aos
alunos para que eles se engajem na sua superação e o professor deve
trabalhar para o nivelamento do grupo com a devida atenção diferenciada para
a superação dos erros.
2ª Etapa – Fase de Execução e Elaboração do Conceito
Nesta fase o professor deve cumprir com as tarefas:
a)- Reactivar os conhecimentos prévios dos alunos na introdução da aula,
mediante perguntas e exercícios sobre os conhecimentos prévios para
garantir um adequado nível de partida.
A ampliação e simplificação de fracções (com aplicação do m.d.c e m.m.c), a
transformação de fracções em números decimais e sua representação na recta
numérica são os conhecimentos que os alunos devem possuir para poderem
aprender o conceito em estudo.
b)- Introduzir o conceito novo, os teoremas e os procedimentos.
Nesta tarefa do processo de ensino aprendizagem, os alunos adquirem os
conhecimentos sobre os distintos procedimentos de determinação de fracções
equivalentes e seu agrupamento em classes, reconhece relações e desenvolve
as suas habilidades e capacidades na determinação de outras fracções
pertencentes a mesma classe e o número decimal correspondente.
O uso de meios de ensino facilita o alcance dos objectivos e é uma
possibilidade que o professor deve ter sempre em atenção, assim neste tema a
recta numérica e a representação dos números decimais e as fracções na
mesma, deve ser um recurso necessário. Outro pode ser a representação de
fracções equivalentes em esquemas gráficos (representação gráfica de
fracções em figuras geométricas).
Os esquemas-resumo das formas utilizadas para a determinação dos números
fraccionários são aqui utilizados como estratégia que facilitam ao aluno
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71
recordar o essencial da matéria e permite-lhe a organização do seu estudo,
que devem ser elaborados em conjunto (em elaboração conjunta).
representam-se
dão origem
Fig.14: Esquema resumo de obtenção do Conceito de número fraccionário elaboração de
actividades para o aluno, elaborada pelo Autor.
Outra acção importante que o professor deve desenvolver é a elaboração de
um conjunto de actividades tendo em conta os objectivos, as habilidades e as
acções. O professor deve planificar que actividades os alunos devem realizar
em cada momento da aula, na introdução, na motivação, na elaboração do
novo conteúdo, na sistematização do conteúdo, na fixação e na avaliação.
As actividades para o aluno são muito importantes na proposta metodológica,
pois é intenção que os alunos assumam um papel activo na aula, para tal
devem desempenhar actividades (responder as perguntas, construir os
modelos, dividir,…) em todos os seus momentos.
Obtidas por Número fraccionário
Simplificaçãocb
ca
:
: Ampliação
cb
ca
Fracções Equivalentes
Fracção )0( bb
a Números decimais ba,
Divisão de números com resto diferente de zero
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72
3ªEtapa – Fase de Fixação do conceito
Após a elaboração do conteúdo é preciso garantir a sua assimilação por parte
dos alunos recorrendo às tarefas de formação de acções mentais propostas
por Galperin (1967):
a) Formação da acção em forma materializada
Esta fase está estreitamente ligada a anterior, após a elaboração do esquema
conceptual, o professor apresenta uma fracção a qual os alunos seguindo o
esquema vão determinar outras fracções equivalentes (por simplificação ou
ampliação) e os números decimais correspondentes obtendo uma classe
chamada de números fraccionários, também representam os mesmos na recta
numérica como comprovação de que a um número corresponde um e só um
ponto na recta numérica.
b) Acção em forma verbal externa
Nesta fase materializa-se o conjunto das características necessárias e
suficientes reflectidas na definição de número fraccionário e, materializa-se
também a acção e a capacidade de determinar outras fracções pertencentes a
mesma classe.
Esta acção se utiliza para explicar o processo de obtenção de números
fraccionários, os elementos da acção devem ser representados em forma
verbal externa. Os alunos explicam por palavras o que são números
fraccionários e como se obtém ou se determinam, como se identificam e quais
as suas características.
c) Acção na linguagem externa para si
A acção se realiza em silêncio e não se escreve. Apresentam-se exercícios
onde os alunos buscam os representantes do conceito (vários representantes
de um número fraccionário, vários representantes de vários números
fraccionários), agrupam e generalizam as suas características. O professor
controla se cada resposta final está correcta.
d) Acção de linguagem interna ou mental
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
73
O próprio aluno cumpre e controla a acção, o processo de cumprimento de
acção está oculto, é completamente mental. O aluno deve recordar tudo o que
foi aprendido nas etapas anteriores, mas pouco a pouco vai reduzindo a acção,
passa algumas operações ao plano do inconsciente, mas cumpre a acção. A
forma mental de inclusão do conceito é produto da transformação da acção
externa.
3ª Etapa – Fase de Avaliação e controlo
A avaliação é uma tarefa didáctica necessária e permanente do trabalho
docente, que deve acompanhar passo a passo o processo de ensino -
aprendizagem. Através dela os resultados que vão sendo obtidos no decurso
do trabalho conjunto do professor e do aluno são comparados com os
objectivos propostos (Grelo, 2009).
A avaliação fornece ao professor o feedback da evolução da estrutura cognitiva
do aluno e se este é capaz de transferir os seus conhecimentos e estabelecer
relações com outros conteúdos anteriormente aprendidos e interiorizados.
A avaliação do aluno é contínua e são vários os factores que o professor deve
ter em conta:
Atitudes e comportamentos, tanto a nível individual como em grupo.
A participação e empenho, nomeadamente, participação oral, nas
tarefas e actividades da aula, a realização dos trabalhos de casa, a
organização do caderno diário.
Competências e conteúdos, nomeadamente, os testes escritos.
Atitudes e comportamento: neste item é analisado o comportamento do
aluno, isto é, a sua postura na sala de aulas, no que se refere à exposição do
professor, inter- ajuda com os colegas, trabalho em grupo, entre outros.
Para esta forma de avaliação o professor pode utilizar uma tabela que sintetiza
alguns dos parâmetros a analisar:
É pontual
É disciplinado
É falador e distraído
Ajuda os colegas
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
74
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
75
Participação e empenho: neste item são analisados não só a frequência dos
trabalhos de casa, organização do caderno diário, mas também a sua
participação oral nas aulas, isto é, se participa voluntariamente ou somente
quando é solicitado, se resolve os exercícios de uma forma organizada e com
um pensamento estruturado.
Procura-se que o aluno interiorize a forma de avaliação, para que lhe dê
alguma atenção e relevância, pois tais medidas serão essenciais para o resto
da vida.
Mediante uma tabela o professor poderá avaliar a postura do aluno na sala de
aulas tendo em conta os itens:
1- Participação oral:
Participa por sua iniciativa (de forma voluntária)
Responde só quando solicitado.
Utiliza linguagem Matemática adequada.
Intervém de forma organizada.
2- Para o caderno diário, pode proceder-se da seguinte forma:
Apresentação, ordem e limpeza.
Rigor na ordenação das lições.
Actividades completas.
Competência e conteúdo: para a avaliação deste item deve ser realizada pelo
menos uma prova semanalmente (chamada escrita) para avaliar até que ponto
o aluno assimilou os conteúdos ministrados
As provas escritas poderão apresentar quatro partes
Questões de respostas múltiplas.
Questões de verdadeiro falso.
Questões com lacunas.
Exercício de cálculo e exercícios com texto (problemas).
O controlo é a acção de verificação por parte do professor, das actividades que
os alunos realizaram ou realizam em cada acção ou tarefa proposta.
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76
2.3- Exemplo da Aplicação da Alternativa Metodológica
No passado, quando as medidas eram expressas por fracções, as operações
com fracções eram bastante utilizadas. Hoje em dia, como usa-se os números
decimais para expressar as medidas, as operações com fracções são menos
usadas. Embora os livros didácticos apresentem vários problemas em que
essas operações são utilizadas, a maioria é constituída por operações bastante
artificiais. Isso não quer dizer que as operações com fracções sejam inúteis.
Elas são importantes e até mesmo essenciais na Matemática mais avançada
que envolve cálculos algébricos. Por isso, vale a pena o ensino das fracções.
Apenas ressaltasse que, primeiro, as crianças devem compreender bem as
ideias básicas e fazer apenas operações simples, sempre com o uso de
modelos concretos (desenhos, manipulação de objectos, …) e nunca
decorando regras.
A fundamentação teórica da necessidade de concretização das ideias
matemáticas, modelo que as aulas propostas seguem, decorre, em grande
medida, dos trabalhos de Piaget (1982) e Bruner (1976), ambos destacaram a
importância da acção, da percepção, da manipulação, do esforço de
concretização no processo de desenvolvimento cognitivo do indivíduo. No caso
de Bruner, a importância da concretização é defendida mesmo para aqueles
alunos que estão prontos a operar ao nível simbólico. Esta opção didáctica
apresenta vantagens, pois segundo este autor, uma abordagem concreta
permite ligar ideias abstractas com representações concretas, o que não só
facilita uma retenção mais eficaz como a consequente evocação da
informação, que em suma é o objectivo final da aprendizagem.
A seguir apresentam-se exemplos de aulas como explicação da aplicação da
proposta:
Aula 1- Introdução a Unidade Q dos números fraccionários
Objectivos: - motivar os alunos para os conteúdos que vão encontrar na
unidade;
- Criar o interesse dos alunos para a nova unidade;
Orientações metodológicas Gerais:
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
77
O professor pode começar por perguntar aos alunos sobre o que sabem dos
números fraccionários numa conversa formal.
Depois apresentar diversos problemas que para a sua solução os alunos
devem conhecer e saber aplicar os conceitos dos números fraccionários. Por
exemplos os apresentados nas páginas 67.
Apresentar para os alunos quais os objectivos (pág. 68) que se pretende com o
estudo destes números e o que os alunos deverão ser capazes de realizar com
os mesmos, alertando-os para os meios que deverão possuir para o bom
seguimento das aulas.
Em seguida, apresenta dados referentes à história do surgimento dos números
fraccionários, destacando os primeiros povos que se aplicaram na sua
estruturação.
Aplicar um teste que sirva de diagnóstico sobre os conhecimentos que já
possuem sobre fracções, números decimais, ampliação e simplificação de
fracções, etc.
Como tarefa, o professor pode orientar os alunos a elaborarem um trabalho
sobre a história da descoberta e necessidade dos números fraccionários.
Aula 2- Noção de fracção
a) Contexto contínuo
b) Contexto Discreto
Objectivos: - Que os alunos sejam capazes de identificar e transformar
expressões em fracções;
- Criar nos alunos a noção de fracção para um contexto contínuo
e para um contexto discreto;
- Criar a habilidade de divisão em partes iguais e de
contextualização das fracções.
Asseguramento do nível de partida e Motivação: - Revisão da noção de divisão
de números naturais.
Apresentação de exercícios, por exemplo: Efectuar as seguintes divisões:
a) 8:2=
b) A Maria cortou uma tira de papel para dividi-la bem certinho entre ela e uma
colega. Que parte cada uma recebeu?
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78
c) Um menino tem um conjunto de 9 bolas de berlinde, 3 são vermelhas e as
demais brancas. Qual é a relação entre as bolas?
O primeiro exercício facilmente será resolvido, os outros dois, podem ser
capazes de os resolver, contudo terão dificuldade em explicar o resultado. Para
colmatar tal dificuldades o professor deve propor uma modelação (uso de
meios para concretizar as acções) com ilustração para cada situação.
Para tal distribuir uma tira de cartolina para dois alunos e solicitar que o
dividam igualmente e dizer que parte cada um recebe.
2
1
2
1
Assim, a tira dividida em duas partes iguais resulta meia fita para cada aluno,
isto é 2
1 da fita. Cada um recebe
2
1 da fita.
O segundo caso tem-se:
O professor deve orientar os alunos a contarem as bolas de cada cor e o total
de bolas, depois solicitar que estabeleçam a relação da parte sobre o todo:
No total são 9 bolas e 3 são coloridas assim a relação entre elas é 9
3.
Ou ainda solicitar aos alunos que agrupem as bolas em conjuntos iguais:
que corresponde a 3
1 entendendo que
foi dividido em três grupos com a mesma quantidade e foi considerado uma
bola em cada grupo.
Para o primeiro caso as meninas recebem parte da fita, uma metade2
1, e no
segundo a relação entre as bolas é 9
3 ou
3
1.
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79
Os números 2
1 e
9
3,
3
1 representam partes de unidades e/ou a relação entre
uma parte e o seu todo, por isso são chamados de fracções.
As fracções são números que indicam a relação entre as partes que se divide o
todo (denominador) e as partes tomadas (numerador).
Em seguida, o professor pode propor aos alunos os seguintes casos:
a) A mesma fita pode ser dividida por 3 alunos de forma igual? Qual é a
expressão de cada parte?
3
1
3
1
3
1
- E a mesma fita também pode ser dividida em 5 partes iguais?
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
Os alunos devem ser capazes de reconhecer que a fita pode ser dividida em
tantas partes iguais quantas se quiserem.
b) O menino tem 9 bolas de berlinde (esferas) quer dividi-las de forma igual
para si e para um colega. Quantas bolas receberá cada um? Qual é
expressão?
c)
= + +
9
4 4 1
9:2= 2x4+1
Os alunos devem ser capazes de identificar que cada um vai receber 4 bolas,
mas restará uma, pois é difícil dividir uma bola em duas partes e se o fizer não
será uma bola.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
80
- E a mesma quantidade de bolas de berlinde divida por 3 alunos, quantas
receberá cada? Qual é a expressão?
3 3 3
9:3=3
9=3, cada uma recebe três bolas.
3
9=3
Existem objectos (quantidades) que são possíveis de dividir em quantas partes
se queiram, são chamadas quantidades contínuas e outras só quando o
numerador é múltiplo do denominador - são chamadas de quantidades
discretas.
Exercícios:
1 - Que fracção representa as partes pintadas de cada figura?
a) b)
c) d)
2 – Pinta 8
2 da figura
3 - Observe a figura e responde:
a) O João ganhou 1/4 dos botões. Contorne os botões que ele ganhou.
b) O Luís ganhou 3
2 de botões. Quantos botões ganhou?
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81
4 - O que são fracções e quais são as suas partes? O que indica cada parte
nos exercícios 1 e 3?
Após correcção dos exercícios o professor pode orientar o trabalho para casa
com exercícios semelhantes aos anteriores.
Aula 3- Classificação de fracções
Objectivo: Que os alunos sejam capazes de identificar e classificar os tipos de
fracções.
Após a correcção da tarefa o professor pode colocar as seguintes questões de
asseguramento do nível de partida:
1 - Representar as seguintes fracções:
a) 5
2
b) 2
5
O primeiro caso facilmente será resolvido pelos alunos, pois já o conhecem da aula anterior:
= 5
2
O segundo poderá gerar uma inquietação motivadora.
Para a resolução deste caso, o professor deve orientar os alunos a criar um
modelo em tiras de cartolina, dividir as tiras em duas partes iguais até
conseguir tomar cinco partes:
o que corresponde 2
5
Verifica-se o seguinte: as tiras foram divididas em duas partes e tomaram-se
cinco partes delas, ou seja tomaram-se na totalidade duas tiras e mais metade
de outra: 2
5= 2+
2
1
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
82
A partir daí o professor pode questionar aos alunos sobre a existência de
fracções que cabem numa unidade (tira de cartolina) e outras precisarem mais
de uma unidade.
A seguir, o professor deve orientar os alunos a compararem o numerador com
o denominador de cada fracção.
Fracções próprias: O numerador é menor que o denominador. babb
a );0(
Fracções Impróprias: o numerador é igual ou maior que o denominador
babb
a );0(
Depois o professor deve solicitar aos alunos que apresentem exemplos para
cada um dos casos.
As fracções em que o numerador é igual ou múltiplo do denominador são
chamadas fracções aparentes, pois resulta delas um número natural, ou seja,
tomam-se unidades completas.
Exemplos: 3
3 = 1 isto é : a unidade é tomada na totalidade.
Exemplo: 3
6=2 isto é: são duas unidades tomadas na
totalidade.
Para a consolidação, o professor pode apresentar exercícios onde os alunos
vão comparar os numeradores e denominadores e classificar. Sob orientação
do professor fazer um resumo da aula.
Aula 4- Transformação de fracções em números decimais e vice-versa Objectivo: - Que os alunos saibam que as fracções podem ser apresentadas
em forma de números decimais (dízimas).
- Que os alunos sejam capazes de transformar fracções em números decimais
e números decimais em fracções decimais.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
83
Para asseguramento do nível de partida, o professor deve lembrar aos alunos
os procedimentos de divisão dos números naturais com resto zero e diferente
de zero que podem ser com números ou de forma geral:
a b
0 c isto é: 0 bcacba
e a b
d c isto é: dbcacba
Após isto o professor pode colocar uma situação problemática: “Uma costureira
tem 11cm de tecido e precisa dividir o mesmo em duas partes iguais. Quanto
medirá cada parte?”
5,52
11 isto é cada parte terá 5,5cm 11 2
1 0 5, 5
0
Os números que na sua escrita contêm uma vírgula entre os algarismos
chamam-se Números decimais ou Dízimas.
Parte Inteira Parte decimal (casa decimal)
e lê-se “cinquenta e cinco décimas”, lê-se o número todo como se fosse um
natural seguida da palavra “décimas” se tal número tem uma casa decimal. Se
tiver duas casas decimais lê-se “ Centésimas” e se tiver três de “Milésimas”.
Exemplo: 0, 3 - três décimas
1,25- Cento e vinte e cinco centésimas
24,069 – Vinte e quatro mil e sessenta e nove milésimas.
Estes aspectos devem ser elaborados por uma conversão socrática.
Os números decimais que têm o mesmo número de casas decimais chamam-
se dízimas da mesma Ordem.
Exemplo: 0,3 e 12,8 são da mesma ordem – decimal
0,05 e 2,86 são da mesma ordem – centesimal
5 , 5
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
84
12, 405 e 0,037 são da mesma ordem – milesimal
a) Transformação de fracções em números decimais: Divide-se o
numerador pelo denominador até obter resto zero ou a parte decimal
desejada.
Exemplo 1: 4
3 3 4 isto é 75,0
4
3
30 0, 75 20 0
Exemplo 2: 6
16 16 6
40 2,66… 40
4
Não sendo objectivo desta classe e de forma a poupar tempo o professor pode
autorizar os alunos a utilizarem máquinas calculadoras para a obtenção dos
números decimais.
b) Transformação de números decimais a fracções decimais.
- se o número é decimal multiplica-se por 10
10.
Exemplos 3: 10
3
10
103,0
- se o número é centesimal multiplica-se por 100
100
Exemplo 4: 100
75
100
10075,0
Daí os alunos podem generalizar, contudo o professor deve alertar para o caso
em que a dízima tem uma parte repetitiva (período), tal como visto no
exemplo2; 2,66…
c) Transformação de números decimais periódicos em fracções decimais.
Exemplo 5: 2,66… é o número decimal periódico (período 6), faz:
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
85
66,29
24
se- temequação a resolvendo 249
se-obtém 2,66 expressão desta subtraindo 26,6....10
se- temmembro cada 10por ndomultiplica
66,2
x
x
xx
x
Exemplo 6: Tem-se a dízima 78,3999999... , O período é o 9 e o 3 apareceu de
intrometido.
fazendo x = 78,3999999...
Multiplicar por 100 para levar o 3 intrometido e o primeiro 9.
tem-se 100x = 7839,99999...
Depois multiplicar por 10 para retirar a parte não periódica,
Logo tem-se 10x = 783,999999...
Fazendo 100x - 10x = 7839,99999... - 783,99999...
90x = 7056
A fracção será 90
7056
Observe-se que todas estas acções devem ser levadas em conjunto com os
alunos de forma que não percam a motivação, fazendo perguntas e deixando-
os fazer os cálculos.
A seguir, o professor deve apresentar exercícios variados de transformação de
fracções em dízimas, sua leitura e agrupamento na mesma ordem. Exercícios
de transformação de dízimas em fracções decimais quer sejam periódicos, ou
não.
Observação: atendendo ao grande volume de informação e actividades de
cálculo desta aula aconselha-se a sua planificação para uma aula de 90
minutos (aula dupla) respeitando o respectivo intervalo.
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86
Aula 5- Fracções Equivalentes
a) Simplificação de fracções
b) Ampliação de Fracções
Objectivos: que os alunos saibam o que é a simplificação e ampliação e sejam
capazes de aplica-la na resolução de exercícios de obtenção de fracções
equivalentes.
Para asseguramento do nível de partida desta aula, o professor deve rever os
conhecimentos de cálculo do máximo divisor comum (m.d.c) e mínimo múltiplo
comum (m.m.c) de dois ou mais números e mediante perguntas lembrar os
procedimentos de transformação de fracções em dízimas e de, dízimas em
fracções.
Para a motivação dos alunos, o professor pode apresentar problemas do
quotidiano (motivação extra-matemática) ou em alguns exercícios da aula
anterior de transformação de dízimas em fracções e solicitar aos alunos que
transformem as fracções decimais e fracções ordinárias (motivação intra-
matemática)
A fracção 4
3 transformada em dízima é igual 0,75 e a dízima transformada em
fracção decimal é igual a 100
75. Como converter a fracção
100
75em
4
3?
Se se dividir 25375 e se se dividir 254100 significa que existe um
número (25) que é um divisor comum do numerador e do denominador
4
3
25100
2575
isto significa dizer que a fracção
100
75 foi reduzida a fracção
4
3.
Simplificação de fracção e a divisão do numerador e do denominador da
fracção por número 1)(nn : 1;0
nb
nb
na
b
a
Verifica-se que 75,0100
75 e 75,0
4
3 as fracções tem o mesmo valor.
Para simplificar as fracções determina-se em primeiro lugar o m.d.c do
numerador e do denominador (n).
Exemplo: Simplificar a seguintes fracções: 70
135 ;
20
8
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
87
5
2
420
48
20
84e20) m.d.c(8
e
14
27
570
5135
70
135570) e m.d.c(135
O valor de 0,420
8 e valor de 0,4
5
2 ;
O valor de ...9285,170
135 e o valor de ...9285,1
14
27
Dai o professor pode solicitar aos alunos para multiplicar as fracções dadas por
um determinado número 1)m e 0(m m .
28
21
74
73
4
3
, verifica-se que o valor de 75,0
4
3 e o valar de 75,0
28
21
Ampliação de fracções: é a multiplicação do numerador e do denominador da
fracção por número (m): 1;0;0
mmb
mb
ma
b
a o número (m) chama-se
factor de ampliação.
Para exemplo o professor pode fornecer fracções e solicitar aos alunos que as
ampliem e determinem os seus valores e em seguida apresentar outros
exercícios de ampliação, mas com um denominador ou numerador
determinado.
Exemplo: Ampliar as seguintes fracções de modos a obter fracções com
denominador igual a 48:
4
3 e
6
17 para tal o aluno tem que determinar o factor de ampliação para
fracção, assim, 48:4=12 e 48:6=8, logo: 48
36
124
123
4
3
e
48
136
86
817
6
17
75,048
36 75,0
4
3 e ...83,2
48
136 ...83,2
6
17 e
As fracções5
2
20
8 ;
4
3
100
75 ;
14
27
70
135 foram obtidas por simplificação e as
fracções 28
21
4
3 ;
48
36
4
3 ;
48
136
6
17 foram obtidas por ampliação.
As fracções obtidas a partir da simplificação ou da ampliação de uma fracção
dada (que têm o mesmo valor) chamam-se fracções equivalentes.
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88
A seguir o professor pode apresentar exercícios para os alunos verificarem se
as fracções são ou não equivalentes.
Exemplo: Quais das seguintes fracções são equivalentes: a) 5
7e
10
9 b)
2
3e
10
15
O professor deve deixar os alunos trabalharem até apresentarem os resultados
e explicar a forma como os obtiveram, só depois o professor deve apresentar o
procedimento para comprovar se duas ou mais fracções são equivalentes ou
não.
Duas fracções são equivalentes se o seu produto cruzado é igual.
bcdad
c
b
a se só e só .
O professor pode solicitar para comprovar os exemplos anteriores utilizando
este procedimento.
Finalmente, o professor deve passar à fase de fixação do conteúdo com
exercícios de ampliação, simplificação, ampliação com numerador ou
denominador dado, verificação se as fracções dadas são equivalentes ou não e
a determinação de fracções equivalentes a partir de uma fracção dada.
Aula 6- Representação das fracções e números decimais na recta
numérica
Objectivos: - Que os alunos saibam como representar um número na recta
numérica e sua graduação.
- Que os alunos sejam capazes de construir e de representar as fracções na
recta numérica ou reconhecer que fracção indica cada ponto.
Para asseguramento do nível de partida, o professor deve lembrar a
representação das fracções, a sua transformação em números decimais.
O professor pode começar a aula distribuindo 3 tiras de cartolina com 4cm a
cada aluno, depois solicitar que as quantifiquem. Cada tira deve representar
uma unidade, depois solicitar que as juntem para formar uma tira única, o início
da primeira tira é o ponto de partida ou origem (0) e o seu fim, a unidade:
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89
0 1 2 3
o professor deve realçar que cada rectângulo é uma unidade e que a figura tem
3 unidades.
A seguir, o professor solicita aos alunos que dividam a primeira tira ao meio e
representem o seu valor, seguindo o mesmo procedimento para as demais tiras
e representando o valor de cada parte,
0 2
1 1
2
3 2
2
5 3
a metade das unidades são os meios
Por analogia o professor solicita aos alunos que tracem uma linha recta e
representem os mesmos números representados na figura anterior, dividindo
cada unidade em duas partes iguais:
0 2
1 1
2
3 2
2
5 3
O professor orienta os alunos a dividirem cada unidade em 4 partes iguais e
indicarem o valor de cada parte nova marcada:
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
4
9
4
10
4
11
4
12
0 2
1 1
2
3 2
2
5 3
A metade da metade de cada unidade representa os quartos, representa-se
dividindo as unidades em 4 partes iguais. Se se tornar a dividir aos meio cada
novo segmento determinam-se os oitavos.
O mesmo procedimento pode ser feito dividindo primeiro em três partes iguais
(os terços) e tornando a dividir cada terço em duas partes iguais tem-se os
sextos.
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90
Esta acção pode ser solicitada como uma actividade que os alunos farão como
uma actividade extra aula (tarefa).
Recta numérica é uma recta dividida em unidades iguais e que cada ponto
corresponde a um e só um número.
Para representar uma fracção na recta numérica divide-se a unidade
correspondente num número igual ao denominador e toma-se o numerador.
As fracções próprias );0( babb
a são sempre menores que a unidade, isto é,
encontram -se entre 0 e 1.
Exemplo: representar as fracções na recta numérica 5
4 e
15
7
Para o caso 5
4 divide-se a unidade em 5 partes iguais e toma-se a 4;
Para 15
7 a unidade em 15 partes iguais e tomam-se 7:
0 1 2 3
Para o caso de uma fracção imprópria a melhor forma é determinar a aparte
inteira e depois somar a parte fraccionária: Exemplos 4
21
4
6 ;
9
52
9
23
O que significa que cada fracção imprópria tem em si unidades completas e
uma parte fraccionária.
Para a fracção4
6 ela está entre 1 e 2, pois ela tem uma unidade e mais uma
parte fraccionária e a fracção9
23 está entre 2 e 3:
0 1 2 3
5
4
15
7
4
6
9
23
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91
O procedimento utilizado para números decimais consiste em dividir as
unidades em dez partes iguais (os décimos) e se necessário os décimos em
dez partes iguais, os centésimos.
Exemplo: Representar na recta numérica os números 0,7 e 2,67:
0 1 2 3
Uma súmula da aula será feita fazendo perguntas aos alunos sobre as acções
que devem ser seguidas para construir e representar as fracções e números
decimais na recta numérica.
Exercícios:
1- Quais são os passos para representar um números na recta numérica?
2- Tendo como unidade um segmento de 3cm, traça uma recta numérica e
representa os seguintes números: 3
1;
9
12;
15
5;
3
4; 1,33 e 0,66
3-Que fracções representam os seguintes pontos?
a) b) c) d) e)
0 1 2 3 4 5
Finalmente, o professor orienta a tarefa que os alunos executarão como
actividade extra-aula.
2,6 2,7
2,67
7
0,7
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92
Aula 7- Número Fraccionário.
Depois do ensino das fracções, fracções equivalentes, transformação de
fracções em números decimais e vice-versa e representação de números na
recta numérica estão criadas a condições para a aula de criação do conceito
números fraccionário e sugerimos que seja feita da seguinte forma:
Objectivos: - Que os alunos saibam o que são números fraccionários;
- Que os alunos sejam capazes de determinar e identificar os
números fraccionários nas suas diversas representações.
Asseguramento do nível de partida:
a) Revisão da noção e obtenção de fracção;
b) Revisão da noção de fracções equivalentes e a forma de sua
determinação;
c) Transformação de fracções em dízimas e de dízimas em fracções;
d) Representação de fracções e dízimas na recta numérica.
Após a revisão dos aspectos mencionados acima e a correcção da tarefa da
aula anterior, o professor coloca a seguinte questão:
- Como se chamam as fracções e dízimas que na recta numérica representam
o mesmo ponto?
Cada conjunto de fracções equivalentes e as suas respectivas formas decimais
formam uma classe.
0 1 2 3 4
Cada classe ou conjunto de fracções equivalentes e as suas respectivas
formas decimais chama-se Número Fraccionário.
;...66,0;15
5;
3
1 ;...33,1;
3
4;
9
12
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93
Os números 3
1;
15
5; 0,66;… representam um número fraccionário, os números
9
12;
3
4; 1,33;… representam outro número fraccionário.
Consolidação: Uma fracção pode ser um representante de um número
fraccionário quando a mesma é irredutível.
1- Sejam as seguintes fracções: 9
1;
24
7;64
72
a) Determinar fracções equivalentes a elas.
b) Representar as fracções dadas e os seus equivalentes na recta
numérica.
2- O que significa número fraccionário?
3- Determinar números fraccionários equivalentes à 9
1; 5,8;
7
10.
Como resumo, o professor pode colocar questões que conduzam às seguintes
conclusões:
Cada fracção corresponde a um ponto e a um só da recta numérica.
Cada ponto da recta numérica corresponde a infinitas fracções chamadas de
fracções equivalentes.
As fracções equivalentes podem reunir-se numa classe chamada de número
fraccionário.
Observação: O professor deve orientar as actividades dos alunos e ir dando
impulsos sempre que os alunos apresentam dúvidas na resolução das
questões.
Aula 8- Exercícios
Objectivos: - Consolidar os conhecimentos adquiridos pelos alunos sobre os
números fraccionários.
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94
- Que os alunos sejam capazes de identificar e determinar fracções,
fracções equivalentes e sua união em classes (número fraccionário)
- Ver o grau de assimilação e compreensão do conceito número
fraccionário.
Orientações metodológicas gerais.
O professor, mediante perguntas, deve lembrar os procedimentos estudados e
de que faz uso na aula. Depois de apresentar exercícios de consolidação e de
desenvolvimento. Sugerem-se os seguintes:
1- Assinalar a alternativa que melhor define uma fracção:
……… a) Um número sobre o outro
……… b) Uma quantidade tomada de um objecto que foi divido ou separado
em partes iguais.
……… c) Um pedaço que foi retirado de um objecto
2- A parte pintada da figura representa que fracção:
a) ……..3
1 b) ……..
9
1 c) ……
10
5 d) …….
15
5
3- No conjunto, as bolinhas coloridas representam a fracção:
…… a) 9
2 …….. b)
4
1 …..…c)
12
3 ……. d)
8
2
4- A parte pintada da figura representa que fracção ou valor :
…….. a) 1 ……..b) 4
1 ……..c)
4
2 …….d) 0,25 ……e) 1,4
5- Fazer a representação gráfica dos números:
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95
a) 4
2 b)
5
7 c)
11
6 d)
3
16
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96
6- A fracção 4
2é equivalente a:
…….. a) 40
20 ……. b)
6
3 ……. c)
8
5 ……d)
16
8 …….e)
2
1
7- As fracções 4
1;
8
2;
12
3;
16
4 e
40
10 representam:
…….. a) Números em ordem crescente.
…….. b) Quantidades diferentes tomadas do mesmo inteiro
…….. c) Quantidades equivalentes
8- Representar na recta numérica os números:
a) 4
2 b)
5
7 c)
12
6 d) 0,5 e)
15
21 f)5,33…
9- Agrupar as fracções em classes: 4
2;
5
7;
3
5;
2
1; 0,5;
15
21;
9
15; 1,66…
10- O que significa “número fraccionário”?
11- Podem fracções de classes diferentes representar o mesmo número
fraccionário?
12- Se tiveres de comparar as fracções 4
1 e
40
10, como o farias?
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
97
Conclusões do Capítulo II
• A alternativa metodológica que se propõe agrupada em acções dirigidas
ao desenho do processo de ensino – aprendizagem do conceito de
números fraccionários representa uma solução ao problema identificado
e potencializa a elevação da qualidade de ensino-aprendizagem do
mesmo conceito.
• A alternativa pode constituir um modelo a utilizar pelos professores de
Matemática dos distintos níveis de ensino, para leccionar outros
conceitos da disciplina, cumprindo assim com as exigências do ensino
da Matemática de forma geral e da reforma curricular, a respeito da
apresentação e abordagem dos conteúdos Matemáticos.
• Com a alternativa pretende--se uma transformação do modelo tradicional
de ensino-aprendizagem ao modelo construtivista de ensino onde os
alunos são elementos activos do processo, participando da obtenção e
elaboração do conceito fracção quer no contexto contínuo, como
discreto, a representação de fracções na recta numérica, a equivalência
de fracções e elaboração do conceito números fraccionários como
classe de números.
• A aplicação da alternativa metodológica vai contribuir para a
minimização dos efeitos negativos dos obstáculos de ensino-
aprendizagem do conceito números fraccionário e possibilitar a elevação
da qualidade de ensino-aprendizagem dos conceitos
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
98
CAPÍTULO III- APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA ALTERNATIVA METODÓLOGICA
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
99
CAPÍTULO III- APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA
ALTERNATIVA METODÓLOGICA
Neste capítulo apresentam-se e analisam-se os dados do teste aplicado aos
alunos, do inquérito aos professores e espertos. Para facilitar a sua
compreensão foram organizados em tabelas e gráficos distribuídos em
diferentes categorias.
Em cada gráfico apresenta-se a referida análise.
3.1- População e Amostra
Para averiguar o problema levantado no trabalho utilizou-se a população dos
alunos da 6ª Classe, numa amostra de 293 alunos de três escolas do Lubango,
sendo duas do ensino público (Escola Mandume e 1º de Dezembro) e uma do
ensino privado (Colégio O Sol), correspondendo a dez turmas sendo seis do
período da manha e quatro do período da tarde.
O estudo contou com uma amostra de 27 Professores de diferentes escolas do
Lubango que leccionam a 6ª classe.
3.1.1- Caracterização das Amostras
3.1.1.1- Caracterização da Amostra dos alunos
Tabela. 2 Idade dos alunos segundo o Género
Género
Faixa etária Total 10 11 12 13 ou mais
Masculino 22 58 35 19 134
Feminino 41 72 30 16 159
Total 63 130 65 35 293
A idade de 11 anos foi a predominante no número total de 81 sujeitos, ou seja,
44,4% dos sujeitos tinham 11 (0nze) anos de idade, enquanto 21,5% tinham 10
(dez) anos e 22,5% tinham 12 (doze) anos de idade. Esta idade de 11 anos é a
esperada para a 6ª Classe do ensino primário obrigatório, uma vez que as
crianças normalmente entram para a primeira classe do ensino primário com 5
(cinco) anos de idade, com base na lei 13/01 de 31 de Dezembro. Ainda
constata-se que o género feminino com 54,3% dos sujeitos (159 alunos) é o
mais frequente. (Anexo 4, Tabelas 9 e 10).
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
100
Verifica-se que o intervalo das idades é a que vai de 10 a 14 anos. Idades
inseridas em dois estágios de desenvolvimento, segundo Piaget citado por
Lombardi (1998), idades onde as operações concretas prevalecem e começa o
pensamento lógico. O pensamento é estritamente ligado à realidade física. Por
volta dos 12 anos a criança inicia o quarto nível, Operações Formais, o
raciocínio, antes concreto, vai-se tornando abstracto. Contudo tais mudanças
não acontecem automaticamente, mas sim tem de ser motivadas pelas acções
do pensamento que por sua vez são fruto da actividade realizadas dentro de
contexto histórico-cultural (Vygotsky, 1991).
3.1.1.2 – Caracterização da Amostra dos Professores
Relativamente a amostra produtora de dados é constituída por 27 professores
que leccionam nas escolas do 1º ciclo a 6ª classe, escolhidos aleatoriamente,
onde 19 são do sexo masculino e 8 do sexo feminino.
As principais características estão apresentadas nas tabelas que se seguem:
Tabela 3: Características da amostra dos professores em função do Género,
Idade e Experiência Docente
Género
Idades Experiência docente
18 a 28 29 a 39 + 39 1 a 5 6 a 10 11 a 15 + 16
M 19 8 8 3 4 2 6 7
F 8 2 3 3 2 0 2 3
N 10 11 6 6 2 8 10
Legenda: N= Total de professores, M= Masculinos, F= Feminino
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
101
Tabela 4: Características da amostra dos professores em função da formação académica e profissional
Formação Ensino Médio
Ensino Superior
Total
Instituto
12ª 1º 2º 3º 4º Lic.
IMNE/EFP 6 6
IME 3 3
IMA 1 1
IMP 1 1
ISCED 7 3 4 14
Fac. Economia 2 2
Total 11 9 3 4 27
Legenda: IMNE- Instituto Médio Normal de Educação; EFP- Escola de Formação de
Professores; IME – Instituto Médio de Economia; IMA – Instituto Médio Agrário; IMP – Instituto
Médio de Pesca; ISCED – Instituto Superior de Ciências da Educação; Fac. Economia
Faculdade de Economia
3.2-Instrumentos
De acordo com a natureza de dados recolhidos para a verificação do problema
optou-se em construir como instrumentos:
- Um Inquérito aplicado aos professores com vista a obter informações sobre
as dificuldades de ensino/aprendizagem do conteúdo em referência. O mesmo
está dividido em duas partes, 1º a parte da identificação do professor e a 2ª a
parte do questionário, com 15 questões abertas.
- Um teste de conhecimento para avaliar os níveis de conhecimentos e das
dificuldades que os alunos têm do conteúdo ao longo da escolaridade.
3.2.1-Teste de Conhecimento
Para avaliar os níveis de conhecimentos dos alunos sobre o conceito em
análise optou-se em aplicar um teste de conhecimento, o mesmo foi submetido
ao teste alfa de Cronbach, de acordo com Larson e Farber (2004), o coeficiente
de alfa de Cronbach é um coeficiente de confiabilidade ou de consistência
interna de um instrumento.
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
102
O coeficiente alfa de Cronbach pode ser calculado para verificar a consistência
interna dentro de um único teste (Larson e Farber, 2004). Na presente
pesquisa, o coeficiente alfa de Cronbach foi determinado para verificar a
consistência interna dos itens que compunham a prova, de acordo com os
resultados indicados no anexo 5, para as questões contidas no teste (anexo 3),
encontrou-se Alfa = 0,7189 e Alfa padronizado por item = 0,7443, para o nível
de significância igual 0,05.
Para a construção do teste, ocorreu um ajustamento das questões aos
objectivos do trabalho. O mesmo foi constituído na base nas questões cujo
conteúdo é habitualmente leccionado na 5ª e 6ª Classes do ensino Primário,
ex- IIº Nível.
O teste aplicado aos alunos encontra-se apresentado no anexo 3. Ele tem 13
itens do tipo aberto, subdividida em tipos: necessidade das fracções, escritas
de fracções associadas a situações do quotidiano, identificação de fracções e
exercícios de aplicação de fracções.
3.2.2 - Resultados dos Alunos ao Teste de Conhecimento
Os dados foram recolhidos por meio de um teste (Anexo 3), estes foram
organizados tendo em conta os diferentes itens do teste. Para facilitar a sua
interpretação os alunos foram distribuídos pelas categorias de respostas:
respostas correctas, respostas parcialmente correctas, respostas erradas e
sem resposta. A classificação das respostas, permitiu verificar até que ponto os
alunos aprende a noção de número fraccionário e suas aplicações.
Em seguida descreve-se os resultados. (Anexo 6, tabela 11):
Relativamente à primeira questão verifica-se que 5 estudantes não reponderam
(1,7%), 33 erraram (11,2) e 255 acertaram a divisão de 4 por 2 e apresentaram
a resposta.
A segunda questão estava relacionada com a divisão de 2 por 4 partindo da
apresentação de objectos (chocolates por meninos) e teve-se: 44 alunos não
responderam (15,0%), 182 erraram (62,1%) e 13 acertaram (22,9%).
A terceira questão era semelhante à segunda, houve alteração somente nos
valores da divisão 3 por 5: 38 alunos não responderam (12,9%), 242 alunos
erraram (82,5%) e 13 alunos acertaram (4,5%).
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
103
Estas questões (2 e 3) enquadram-se na necessidade e surgimento das
fracções ou números decimais como forma de apresentação de valores não
inteiros (partes de unidades).
As repostas mais frequentes foram de “não é possível dividir” e outros armaram
a operação, mas não a efectuaram, também existiram alunos que não
mostraram o procedimento de dividir a figura e distribuir as partes pelos alunos,
mas ligaram um chocolate às crianças, ficando implícita a intenção de repartir o
todo em partes.
Estes resultados enfatizam o obstáculo epistemológico do conhecimento dos
números naturais, pois os alunos têm dificuldades de aceitar divisões em que o
dividendo é menos que o divisor.
A segunda parte do Teste era composta por cinco questões de identificação de
fracções como representantes do conceito números fraccionários
Na quarta questão foi apresentado um rectângulo previamente divido em 9
partes iguais e solicitou-se que pintassem 8 e escrevessem a respectiva
fracção e os seus resultados foram: 13 alunos não responderam (4,4%), 246
alunos acertaram parcialmente a questão (83,9%), isto é, pintaram a figura mas
não escreveram a fracção correspondente ou ainda escreveram uma fracção
que não correspondia aos valores. 34 (11,6%) alunos acertam a questão.
Quanto à quinta questão, os resultados foram: Sem resposta (11%), respostas
erradas (70,9%), parcialmente correctas (4,0%) e respostas certas (15%).
A sexta questão produziu os seguintes resultados: Respostas correctas (4%),
respostas parcialmente correctas (45,3%), erradas (33,1%) e sem resposta
(17,6%).
Na sétima questão, de ligação de uma figura às suas fracções obteve-se:
Repostas certas (5,1%), parcialmente certas (38,9%), erradas (34,1%) e sem
reposta (21,9%).
A oitava questão consistia na interpretação, identificação e comparação das
partes feitas na figura. As respostas foram: 11 respostas certas (3,7%), 45
respostas parcialmente correctas (15,4%), 189 alunos com respostas erradas
(64,5%) e 48 alunos não responderam (16,3%).
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
104
Deste grupo de questões relacionadas com a identificação, podemos destacar
os seguintes tipos de erros:
- Para a figura previamente dividida os alunos tem dificuldades em associá-la a
um valor, em outros casos procuraram encontrar a figura totalmente divida em
partes iguais para associá-la a um valor de acordo com os resultados contados
na mesma, o que pressupõe que a relação entre a representação simbólica e
as representações geométricas não são percebidas pela maioria dos alunos
(Obstáculo epistemológico -representação simbólica).
- O modelo de ensino usual é o que apresenta as figuras já divididas em partes
iguais e quando se foge deste, os alunos têm dificuldades em determinar as
partes omitidas e não associam a figura a uma ou mais fracções que
representa essa figura (Obstáculo didáctico – dupla contagem das partes).
A seguir tem-se o grupo de questões de realização do conceito número
fraccionário composta de duas questões.
Quanto à nona questão que consistia na localização de números (fracções ou
decimais) na recta numérica, obtiveram-se os seguintes resultados: 5 respostas
correctas (1,7%), 52 respostas parcialmente correctas (17,7%), 153 respostas
erradas (52,7%) e 83 respostas em branco (28,3%)
A décima questão produziu os seguintes resultados: 5 alunos acertaram
(1,7%), 18 alunos acertaram parcialmente (6,1%), 206 alunos erraram
completamente a questão (70,3%) e 64 alunos não responderam (21,8%)
Pode-se verificar nestas questões que os alunos não dominam o conceito
números fraccionários pois acreditamos que, se as perguntas tivessem sido
feitas de outra forma: “Que número representa os pontos e quais destes
números são iguais?” as repostas teriam sido diferentes pois os alunos já têm
trabalhado com unidades de medida e com números decimais e a ampliação e
simplificação de fracções, contudo não os agrupam em classes de
equivalência.
A 11ª, 12ª e 13ª questões eram de aplicação do conceito. Quanto à décima
primeira, obtiveram-se os seguintes resultados:
6 alunos acertaram na totalidade da questão (2%), 11 alunos acertaram
parcialmente (3,8%) 233 erraram (79,5%) e 38 alunos não responderam
Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO
105
(14,7%). Nesta questão houve a tendência de indicar as fracções 14
15 e
8
6 como
as maiores, acreditamos que houve uma prevalência da comparação dos
números naturais (Obstáculo identificado como modelo de referência).
12ª questão: Nenhum aluno acertou, 16 alunos acertaram parcialmente (5,4%)
e 239 erraram (81,6%) e 38 não responderam (13%). Considerou-se como
respostas parcialmente correcta aquelas em que os alunos retiraram os dados
do problema e não indicaram a operação, ou não a realizaram.
13ª questão: questões de adição e subtracção de fracções (aplicação do
conceito número fraccionário), verificaram-se os seguintes resultados: 57
alunos acertaram na totalidade (20%), 62 alunos acertaram parcialmente (21%)
e 138 alunos erraram (47%). Nesta questão, em relação às outras duas de
aplicação do conceito, o número de acertos aumentou mostrando que o ensino
privilegia as questões de cálculo em relação às questões de compreensão, isto
é, seguem-se as regras de forma autómata. (Dados disponíveis no anexo 6)
3.3 - Inquérito de Opiniões para os Professores
Elaborou-se também um inquérito, aplicado aos professores, contendo 15
perguntas abertas afim inquerir aqueles agentes sobre os materiais que usam
nas aulas sobre ensino de números fraccionários, seus conhecimentos e as
dificuldades que encontram. (Anexo 1)
3.3.1-Apresentação e Análise dos Resultados ao Inquérito Aplicado aos
Professores
Para a análise dos resultados do inquérito aplicado aos professores (Anexo 1)
optou-se por apresentar o total de frequência das respostas organizadas em
grupos tipificados de acordo com a qualidade das respostas (Anexo 2, tabela
8):
Na primeira questão, que indagava o uso do guia metodológico na preparação
das aulas, 24 professores responderam que não pois não o possuíam, 2
disseram que sim, citando as reuniões pedagógicas e 1 não respondeu.
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106
Quanto à segunda questão, todos os professores responderam que usam o
manual da classe e destes 3 (11%), indicaram também outros livros que também
usam como suporte.
Na terceira, grande parte aludiu ao modelo parte/todo como forma de
introdução das fracções e referiu o que o mesmo é feito na 5ª classe. Aqui
destacamos que os professores na 6ª classe já não procuram mostrar a
necessidade das fracções, seguindo directamente com o conteúdo da classe
de forma abstracta.
Na quarta pergunta, os professores disseram que sim, mas nem todos
fundamentaram porquê. Os que o fizeram realçaram o conhecimento por parte
dos alunos das operações com os números naturais como base.
Quanto à quinta pergunta, os professores foram unânimes em dizer que a
definição de fracção é clara, contudo a de número fraccionário não.
Quanto ao uso de material concreto nas aulas, sexta questão, 6 professores
disseram que sim e os demais não, justificando que os alunos já o fizeram em
classes anteriores.
Na sétima questão, relacionamento das fracções com alguma operação, os
professores responderam que sim, mas somente doze responderam ser a
divisão, mas também não explicaram o tipo de relação entre a divisão e as
fracções.
Como o professor introduz a equivalência de fracções, é o que se pedia oitava
questão. A que todos responderam que era a partir da simplificação e
ampliação de fracções.
O uso das fracções no dia-a-dia constitui a nona questão, alguns professores
responderam que sim e indicaram a leitura das horas (falta ¼ para ..., meia
hora) como o que mais utilizam. Contudo também houve professores que
disseram que não, por não ter aplicação directa.
Na décima questão, perguntou-se o que é o número fraccionário. As repostas
são fracções; são fracções equivalentes e são fracções da mesma classe,
foram as que mais apareceram.
Na décima primeira questão, todos os professores afirmaram que os alunos
tem dificuldades (Obstáculos) na aprendizagem de fracções e apontam a falta
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107
de “bases” como a mais frequente, outros afirmam que os alunos não sabem
dividir e utilizar instrumentos como réguas e compassos.
As características dessas dificuldades (obstáculos) constituíam a décima
segunda questão, grande parte dos professores não respondeu a mesma,
somente dois apresentaram a compreensão e interpretação dos significados
dos elementos de uma fracção como dificuldades, “ os alunos não conseguem
reflectir rapidamente e que o denominador indica em quantas partes dividir a
unidades”.
Questionados de como procedem para superar tais dificuldades, grande parte
dos professores afirmou que fazem-no aplicando vários exercícios e tarefas
para casa.
Na décima quarta, todos os professores afirmam que diriam aos alunos que
estão errados e justificaram recordando as regras para a adição/ subtracção de
fracções e o cálculo do mínimo denominador comum.
Na décima quintas questão, os professores limitaram-se a dizer quais as
repostas apontadas considerariam como certas, os que justificaram apontam
apenas a primeira resposta do primeiro aluno como certa e as demais erradas
porque as divisões das figuras não correspondiam aos denominadores
apresentados.
Em síntese, os dados recolhidos permitem interpretar o seguinte:
Não existe um guia metodológico para a orientação dos professores na
preparação das aulas
Os professores apoiam-se fundamentalmente no manual da classe para
a preparação das aulas e afirmam que o conceito “número fraccionário”
não é claro.
Poucos são os professores que usam manipulativos para levar os alunos
a compreenderem as noções de fracção e número fraccionário,
alegando que o mesmo já foi feito em classes anteriores.
Os professores reconhecem que os alunos apresentam dificuldades no
trabalho e interpretação dos números fraccionários, embora não tenham
indicado as manifestações de tais dificuldades.
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108
Os professores apresentam definições diversas de número fraccionário,
note-se que algumas delas nada têm a ver com a definição de número
fraccionário.
Os resultados demonstram que existe um acentuado grau de dificuldade na
interpretação do tema a partir da noção, definição e nas aplicações do conceito
de número fraccionário por parte dos professores e daí a justificação da
necessidade de apresentação da presente proposta como uma solução do
problema.
3.4-Validação da Alternativa Metodológica
A validação qualitativa da proposta metodológica foi feita pelo método de
Delphi (critério de Validação pelos peritos) tida como útil para investigações
pedagógicas, Sungo (2007).
Durand citado por Grelo (2009) definiu perito como:
Os peritos foram consultados individualmente, mediante inquérito (Anexo 7),
com o objectivo de obter uma valorizações e opiniões sobre as discrepâncias.
Para tal, metodologicamente, seguiram-se três fases:
1. A elaboração do questionário;
2. Selecção dos Peritos a inquirir;
3. A recolha, análise e interpretação dos dados.
Par que um profissional se assuma como perito numa dada temática, requer
um certo nível de competência demonstrada. Este nível de competência pode
ser dado pelo coeficiente K, calculado a partir da sua própria opinião sobre o
“É um indivíduo, um grupo de indivíduos ou uma organização capazes
de oferecer valorização conclusivas de um problema e fazer
recomendações a respeito dos seus momentos fundamentais com um
máximo de competência.”
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109
seu grau de conhecimentos acerca do problema e das fontes que permitem
argumentar os seus critérios, dado pela fórmula )(2
1aC
KKK , onde:
C
K indica o coeficiente de conhecimentos do perito sobre o problema e cujo
valor é determinado multiplicando por 0,1, o valor do nível de informação
quanto ao problema tratado, dado pelo próprio perito numa escala de zero a
dez (onde zero indica o nível mais baixo e dez o pleno conhecimento do
assunto);
aK indica o coeficiente de argumentação ou informação do perito a partir das
fontes padronizadas (Anexo 8, tabela 12).
3.4.1- Selecção dos Peritos
Foram seleccionados dezoito (18) profissionais da educação das áreas de
Matemática e Pedagogia do Instituto Superior de Ciências da Educação
(ISCED), da Escola de Formação de Professores e coordenadores de
Matemática das escolas do I ciclo do Lubango.
Foram excluídos cinco (5), dois (2) por abstenção a respostas do inquérito e
três (3) por coeficiente de conhecimento baixo, ficando apurados treze (13)
peritos.
Esta selecção baseou-se nas respostas ao teste de auto-avaliação do perito
(Anexo 10 tabela 15), tendo em conta os seguintes aspectos:
(1) Anos de experiência e docência, (2) categoria do professor, (3) Grau
cientificam, (4) Centro onde trabalha, (5) cargo que ocupa e (6) coeficiente de
competência em relação ao tema da pesquisa (Anexo 8, tabela 13 e anexo 9,
tabela 14).
3.4.2- Caracterização dos peritos
Os peritos seleccionados apresentam as seguintes características:
- Tempos de experiência profissional – Doze (12) peritos, têm mais de 20 anos
de trabalho e um (1) com mais de 10 anos.
- Grau científico – Dois (2) são Doutorados, seis (6) são mestrados e cinco (5)
são licenciados em Ensino de Matemática.
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110
- Coeficiente de competência – foi tomado o nível alto como revelam os valores
de todos os peritos, conforme a tabela seguinte:
Tabela 5 : Coeficiente de competência dos peritos
Perito Kc Ka K Nível de Competência
1 1,0 1,00 1,000 Alto
2 1,0 1,00 1,000 Alto
3 0,8 1,00 0,900 Alto
4 0,9 1,00 0,950 Alto
5 0,8 1,00 0,900 Alto
6 0,9 1,00 0,950 Alto
7 1,0 1,00 1,000 Alto
8 1,0 1,00 1,000 Alto
9 1,0 1,00 1,000 Alto
10 1,0 1,00 1,000 Alto
11 0,9 0,95 0,925 Alto
12 0,9 0,95 0,925 Alto
13 0,9 0,95 0,925 Alto
De realçar que os limites de avaliação da competência dos peritos são:
Se 5.00 K o coeficiente de competência é Baixo;
Se 8.05.0 K o coeficiente de competência é Médio;
Se 0.18.0 K o coeficiente de competência é Alto.
3.4.3- Valorização Teórica da Efectividade da Alternativa Metodológica
Foram seleccionados como critérios de qualidade para a avaliação da proposta
metodológica os seguintes indicadores:
Os Objectivos
O modelo
As exigências de aplicação do modelo
Os métodos e meios de ensino
O conteúdo
A estratégia
O sistema de avaliação
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111
Sobre estes critérios foram formuladas oito questões às quais os peritos
deveriam responder com base nas categorias: MA – muito Adequada; BA –
bastante adequada; A – adequada; PA – pouco adequada e NA – não
adequada.
Tabela 6: Avaliação feita por cada perito aos indicadores da proposta.
Perito I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 I.6 I.7 I.8 I.9 I.10
1 A A A BA BA BA MA MA MA BA
2 BA A A A A A MA BA BA A
3 PA PA A A A BA A A A BA
4 BA BA PA BA A MA A MA PA A
5 BA BA BA BA BA BA MA BA BA BA
6 BA BA BA BA BA A BA BA BA BA
7 MA MA MA NA PA BA A MA A PA
8 MA A A A A MA BA MA A MA
9 BA MA MA A MA MA MA MA MA MA
10 A MA BA BA A A MA MA A PA
11 MA MA BA MA A A BA MA BA A
12 MA BA MA A MA BA MA MA MA MA
13 BA BA A BA A BA BA A A A
Estes resultados foram organizados em tabelas de frequência absolutas
(Tabela 16), frequência absolutas acumuladas (Tabela 17) e frequências
relativas acumuladas (Tabela 18) todas do anexo 11.
Usando o critério de normalidade foram determinados os valores das
probabilidades numa distribuição normal que a seguir se apresentam:
Tabela 7: Limites de categoria e pontos de corte
Nº Aspectos MA BA A PA NA Soma P N-P
1 I.1 -0,50 0,73 1,43 3,90 3,90 9,46 1,89 0,03
2 I.2 -0,50 0,50 1,43 3,90 3,90 5,33 1,85 0,08
3 I.3 -0,74 0,10 1,43 3,90 3,90 4,69 1,72 0,21
4 I.4 -1,43 0,10 1,43 1,43 3,90 1,53 1,09 0,84
5 I.5 -1,02 -0,27 1,43 3,90 3,90 4,04 1,59 0,34
6 I.6 -0,74 0,50 3,99 3,90 3,90 7,65 2,31 -0,38
7 I.7 -0,10 0,73 3,99 3,90 3,90 8,52 2,48 -0,56
8 I.8 0,21 1,02 3,99 3,90 3,90 9,12 2,60 -0,68
9 I.9 -0,74 0,10 1,43 3,90 3,90 4,69 1,72 0,21
10 I10 0,74 0,10 1,43 3,90 3,90 6,17 2,01 -0,09
Soma -4,82 3,61 21,98 36,53 39,00 55,03
Pontos de Corte -0,48 0,36 2,20 3,65 3,90 1,93
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112
Os pontos de corte a considerar são os pontos que se apresentam no gráfico
abaixo:
MA BA A PA NA
-0,48 0,36 2,20 3,65 3,90
Ao analisar cada uma das questões, verifica-se que dos dez indicadores dois
(2) estão na faixa Muito Adequada (I.7 e I.8), sete (7) indicadores estão na faixa
Bastante Adequada (I.1; I.2; I.3; I.5; I.6; I.9 e I.10) e um (1) indicador (I.4) na
faixa de Adequada.
Estes resultados provam que existem evidências suficientes para se considerar
a proposta metodológica válida para a sua aplicação no processo de ensino-
aprendizagem do conceito número fraccionário.
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113
Conclusões do Capítulo III
Em relação aos alunos constatou-se que existem dificuldades na
compreensão de noção, necessidade, identificação e aplicação do
conceito números fraccionários nas suas diversas manifestações o que
prova que existe uma acção dos obstáculos identificados no processo de
ensino-aprendizagem deste importante conceito.
Em relação aos professores, constatou-se que não recorrerem ao uso de
manipulativos como forma de concretização dos temas propostos,
seguindo uma linha de ensino completamente abstracta o que reforça a
acções dos obstáculos de ensino-aprendizagem, por um lado. Por outro
verificou-se que os próprios professores apresentam dificuldades em
interpretar e aplicar o conceito.
A auto-avaliação dos peritos mostrou que possuem uma alta
competência para a validação da proposta metodológica.
As respostas e sugestões dos peritos permitem concluir que a
implementação da proposta metodológica contribuirá para o
melhoramento e diminuição da acção dos obstáculos do ensino-
aprendizagem do conceito número fraccionários.
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114
CONCLUSÕES GERAIS
A busca dos problemas em relação às dificuldades de aprendizagem em
Matemática e as possíveis soluções para reverter o quadro que remete à baixa
qualidade do ensino, requerem uma atenção em verificar como se vem
processando o ensino dessa disciplina nas escolas e a consciencialização da
importância da Matemática na vida de cada aluno.
Aprender Matemática significa mais que aprender técnicas ou memorizar
regras. É além de tudo interpretar, construir ferramentas conceituais, criar
significados, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber e
projectar.
Para alcançar todas essas habilidades matemáticas, é necessário que ocorra
uma aprendizagem significativa por parte dos alunos. É por isso que as
actividades propostas pelo professor em sala de aula têm que ser significativas
a fim de promover a aprendizagem. Ao privilegiar um ensino que dê a
oportunidade ao aluno de participar do processo de aprendizagem de forma
activa e dinâmica, a partir de diferentes tipos de experiência, que o leve a
construir significados, este, por sua vez, é capaz de atribuir mais sentido as
actividades realizadas, constituindo um agente do seu processo de
aprendizagem.
É importante, pois, salientar que a aprendizagem de qualquer conteúdo por
parte do aluno requer uma fase inicial exploratória e concreta. Antes de adquirir
abstracções e generalizações matemáticas, a criança precisa manipular e
visualizar diferentes tipos de materiais, trabalhar com diferentes situações e
problemas que o levem a adquirir abstracções posteriores. Essa fase
exploratória e concreta é fundamental para a construção de significados e a
formulação de conceitos sobre os números fraccionários.
Concluído o estudo do tema “ Uma Alternativa Metodológica para o Processo
de Ensino-Aprendizagem do Conceito Número Fraccionário na 6ª Classe do
Ensino Primário” e de acordo com os resultados que se obtiveram, deduziram-
se as seguintes conclusões:
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115
1- O conceito de fracção é bastante complexo e possui diferentes
interpretações que se relacionam e que tem por objectivo sustentar o
conceito de número fraccionário;
2- Com a aplicação dos métodos de investigação, pode-se saber que:
Há a tendência ao uso de algoritmos em detrimento de um trabalho
construtivo do conceito com representações de figuras;
O processo de ensino – aprendizagem do conceito de número
fraccionário, basea-se no método tradicional onde os alunos são
elementos passivos no processo de abordagem metodológica de
transmissão e recepção da informação;
Os fundamentos psico-pedagógicos e didácticos que influem no
processo de ensino-aprendizagem do conceito de número fraccionário
não são empregues;
3- Os obstáculos de ensino-aprendizagem estão presentes em todos os
temas relacionados com o conceito de número fraccionário, daí a
necessidade de investigar como transformar a aprendizagem formal
deste conceito numa aprendizagem consciente e desenvolvedora;
4- A alternativa metodológica que se apresenta, para elevar a qualidade de
ensino-aprendizagem e minimizar os efeitos dos obstáculos encontrados
no processo de ensino do conceito número fraccionário, fazendo uso de
métodos activos e procedimentos (uso de materiais concretos em sala
de aula), demonstrou ser exequível e pertinente segundo a avaliação
positiva realizada pelos peritos;
5- A alternativa metodológica possibilita que:
Os professores que leccionam a 6ª classe tenham um guia em que se
possam apoiar para a elaboração deste conceito, privilegiando a
participação activa dos alunos.
Os alunos podem desenvolver o pensamento reflexivo e abstracto
mediante a inclusão nas aulas do uso de manipulativos e de exercícios
complementares, sustentados pelas etapas de formação de acções
mentais.
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116
RECOMENDAÇÕES
- Que no ensino do conceito de número fraccionário se faça o uso de
manipulativos (material concreto) pois é fundamental para o entendimento das
ideias fraccionárias por parte dos alunos, porque os manipulativos ajudam na
construção de referenciais mentais que capacitam os alunos a desempenhar
significativamente as tarefas.
- As escolas onde se lecciona a 6ª classe devem organizar aulas
metodológicas (uniformização dos métodos, procedimentos a utilizar…) para
professores de forma a superar e promover a qualidade de ensino-
aprendizagem da Matemática em geral e do conceito número fraccionário em
particular.
- Realizar experiências pedagógicas que permitam avaliar a eficácia da
proposta metodológica e sua possível generalização a nível do ensino em
Angola.
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ÍNDICE
0- INTRODUÇÃO ............................................................................................... 2
0.1- IMPORTÂNCIA SOCIAL E ACTUALIDADE DA INVESTIGAÇÃO .............................. 4
0.2-ANTECEDENTES .......................................................................................... 4
0.3- IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA .................................................................... 5
0.4- JUSTIFICAÇÃO DA INVESTIGAÇÃO ................................................................. 8
0.5- OBJECTO DE ESTUDO ................................................................................. 8
0.6- OBJECTIVOS DO ESTUDO ............................................................................ 8
0.7- CAMPO DE ACÇÃO...................................................................................... 8
0.8- HIPÓTESE DE INVESTIGAÇÃO ....................................................................... 9
0.8.1- VARIÁVEIS .............................................................................................. 9
0.9- AMOSTRAS ................................................................................................ 9
0.10- TAREFAS DE INVESTIGAÇÃO ...................................................................... 9
0.11- PROCEDIMENTOS DA INVESTIGAÇÃO ........................................................ 10
0.11.1- DEFINIÇÃO DA OPÇÃO METODOLÓGICA ................................................. 10
0.11.2- MÉTODOS ........................................................................................... 10
0.12- ESTRUTURA DO TRABALHO ...................................................................... 11
CAPITULO I - CARACTERIZAÇÃO DO PROCESSO DE ENSINO -
APRENDIZAGEM DO CONCEITO NÚMEROS FRACCIONÁRIO ................... 14
1.1-BREVE HISTORIA DOS NÚMEROS FRACCIONÁRIOS ....................................... 14
1.1.1-DEFINIÇÕES .......................................................................................... 15
1.1.2-TIPOS DE FRACÇÕES .............................................................................. 16
1.1.3- O CONCEITO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO ............................................... 17
1.1.3.1- NOÇÃO DE FRACÇÃO .......................................................................... 17
1.1.3.2- FRACÇÃO COMO PARTE DE UM TODO .................................................... 17
1.1.3.3- FRACÇÃO COMO QUOCIENTE DECIMAL .................................................. 18
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128
1.1.3.4- FRACÇÃO COMO OPERADOR ................................................................ 19
1.1.3.5- FRACÇÃO COMO PONTO SOBRE UM EIXO .............................................. 20
1.1.3.6- NOÇÃO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO ..................................................... 20
1.2- ABORDAGEM DIDÁCTICO - METODOLÓGICO DO CONCEITO DE NÚMERO
FRACCIONÁRIO PROPOSTA NO PROGRAMA E MANUAIS UTILIZADOS COMO RECURSO
DIDÁCTICO ..................................................................................................... 21
1.2.1- A PROPOSTA CURRICULAR ..................................................................... 21
1.2.1.1- ESTRUTURA DO PROGRAMA DA CLASSE ............................................... 22
1.2.1.2- OBJECTIVOS DE ENSINO/APRENDIZAGEM DO CONCEITO “NÚMERO
FRACCIONÁRIO” NA 6ª CLASSE ......................................................................... 22
1.2.2 - A DOSIFICAÇÃO DO CONTEÚDO NO PROGRAMA DA 6ª CLASSE ................. 23
1.2.3– O MANUAL DA 6ª CLASSE ...................................................................... 24
1.2.4- O ENSINO DE FRACÇÕES NOS MANUAIS DIDÁCTICOS ............................... 24
1.2.5- CRÍTICA AOS MANUAIS SOBRE A APRESENTAÇÃO DAS FRACÇÕES ............. 25
1.3 – NOÇÃO DE OBSTÁCULOS NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM ......... 27
1.3.1- OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM
DOS NÚMEROS FRACCIONÁRIOS ....................................................................... 28
1.3.2- OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DOS
NÚMEROS FRACCIONÁRIOS .............................................................................. 31
1.3.3- OBSTÁCULOS ONTOGÉNICOS NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM DOS
NÚMEROS FRACCIONÁRIOS .............................................................................. 32
1.4- CARACTERIZAÇÃO EPISTEMOLÓGICA, PEDAGÓGICA E PSICOLÓGICA DO
PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DO CONCEITO NÚMERO FRACCIONÁRIO .. 32
1.4.1- APRENDIZAGEM .................................................................................... 34
1.4.1.1- CONCEITO DE APRENDIZAGEM ............................................................ 34
1.4.2- A APRENDIZAGEM COGNITIVA E SUA DIMENSÃO ....................................... 35
1.4.3- O CONSTRUTIVISMO E A APRENDIZAGEM ................................................. 39
1.4.4- O PAPEL DO CONCEITO NA APRENDIZAGEM ............................................ 40
1.4.5- A CONSTRUÇÃO DO SIGNIFICADO COMO BASE DA APRENDIZAGEM DE
CONCEITOS .................................................................................................... 41
1.5- O ENSINO DE CONCEITOS EM MATEMÁTICA ................................................ 42
1.5.1 – CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO ...................... 44
1.6 – MODELO DE ENSINO DE CONCEITOS EM MATEMÁTICA ............................... 47
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129
1.7 – SITUAÇÃO ACTUAL DO PROBLEMA DE INVESTIGAÇÃO ................................. 50
1.7.1- CONCEPÇÕES ESPONTÂNEAS DOS PROFESSORES ................................... 51
1.7.2- RESULTADOS DO TESTE APLICADO AOS ALUNOS ...................................... 52
1.7.3-CONCLUSÕES RETIRADAS DO TESTE ........................................................ 54
CONCLUSÕES DO CAPITULO I ........................................................................... 55
CAPÍTULO II- ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DO
CONCEITO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO. .................................................. 57
2.0-INTRODUÇÃO ............................................................................................ 57
2.1-EXIGÊNCIAS PEDAGÓGICO-METODOLÓGICA PARA A ELABORAÇÃO DO MODELO
EM QUE SE APOIA A ALTERNATIVA ..................................................................... 58
2.2- ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA MINIMIZAR OS EFEITOS DOS OBSTÁCULOS E
MELHORAR A FORMAÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO .................... 63
2.2.1- O PROBLEMA ........................................................................................ 64
2.2.2- OBJECTIVOS ......................................................................................... 64
2.2.3- OS MÉTODOS ........................................................................................ 64
2.2.3.1- OS MEIOS ......................................................................................... 65
2.2.4- O CONTEÚDO ........................................................................................ 65
2.2.5- CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTAIS DA ALTERNATIVA METODOLÓGICA. ETAPAS
DA PROPOSTA ................................................................................................. 66
A PROPOSTA APRESENTA COMO CARACTERÍSTICAS: ........................................... 66
2.3- EXEMPLO DA APLICAÇÃO DA ALTERNATIVA METODOLÓGICA ........................ 76
CONCLUSÕES DO CAPÍTULO II .......................................................................... 97
CAPÍTULO III- APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA
ALTERNATIVA METODÓLOGICA .................................................................. 99
3.1- POPULAÇÃO E AMOSTRA .......................................................................... 99
3.1.1- CARACTERIZAÇÃO DAS AMOSTRAS ......................................................... 99
3.1.1.1- CARACTERIZAÇÃO DA AMOSTRA DOS ALUNOS ....................................... 99
3.1.1.2 – CARACTERIZAÇÃO DA AMOSTRA DOS PROFESSORES ......................... 100
3.2-INSTRUMENTOS ...................................................................................... 101
3.2.1-TESTE DE CONHECIMENTO ................................................................... 101
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130
3.2.2 - RESULTADOS DOS ALUNOS AO TESTE DE CONHECIMENTO ..................... 102
3.3 - INQUÉRITO DE OPINIÕES PARA OS PROFESSORES .................................... 105
3.3.1-APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS AO INQUÉRITO APLICADO AOS
PROFESSORES ............................................................................................. 105
3.4-VALIDAÇÃO DA ALTERNATIVA METODOLÓGICA ........................................... 108
3.4.1- SELECÇÃO DOS PERITOS ..................................................................... 109
3.4.2- CARACTERIZAÇÃO DOS PERITOS ........................................................... 109
3.4.3- VALORIZAÇÃO TEÓRICA DA EFECTIVIDADE DA ALTERNATIVA METODOLÓGICA
................................................................................................................... 110
CONCLUSÕES DO CAPÍTULO III ....................................................................... 113
CONCLUSÕES GERAIS................................................................................ 114
RECOMENDAÇÕES ...................................................................................... 116
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 117
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ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Recta numérica e representação de fracções ………………………………….. 16
Figura 2: Relacionamento entre a representação no modelo contínuo e discreto de
fracções…………………………………………………………………………………………….
18
Figura 3: Representação no modelo contínuo e discreto de fracções impróprias …..…… 18
Figura 4: Fracção como operador …………………………………………………………… 19
Figura 5:Fracções como operador de uma fracção designada por Dickson como
operador/área……………………………………………………………………………………
19
Figura 6: Analogia entre a situação a duas dimensões e situação unidimensional………. 20
Figura 7: Interpretação da noção de número fraccionário com base na interpretação de
Vergnound ………………………………………………………………………………………
21
Figura 8: Dimensões fundamentais do processo de aprendizagem atribuídas por
Ausubel…………………………………………………………………………………………..
36
Figura 9: Aprendizagem significativa e aprendizagem mecânica, segundo Dal Medico... 38
Figura 10: Nível de acertos dos alunos as questões de identificação das fracções……… 53
Figura 11: Respostas dos alunos nas questões de definição do conceito número
fraccionário ………………………………………………………………………………………
53
Figura 12: Mapa conceitual de conhecimentos que os alunos precisam revelar…..…… 60
Figura 13: Estrutura do modelo da proposta metodológica de ensino do conceito
números fraccionário…………………………………………………………………………….
63
Figura 14: Esquema resumo da obtenção do conceito número fraccionário, elaboração
de actividades para os alunos ……………………………………………………...…………..
71
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ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1: Formas de Fixação do conceito segundo Jungk ………………………………… 50
Tabela 2: Idades dos Alunos segundo o género …………………………………………… 97
Tabela 3: Características da amostra dos professores em função do género, idade e
experiencia docente …………………………………………………………………………………
98
Tabela 4: Características da amostra dos professores em função da formação académica e
profissional ………………………………………………………………………………….
99
Tabela 5: Coeficiente de competência dos peritos ………………………………………… 108
Tabela 6: Avaliação feita por cada perito aos indicadores da proposta …………………… 109
Tabela 7: Limites de categoria e pontos de corte ………………………………………… 109