Apreçamento e Hedge de Opções Sobre Taxa de Juro No Brasil 1524-2762-1-PB

Apreamento e Hedge de Opes sobre Taxa de Juro no Brasil: Uma Comparao entre os Modelos de Black, Vasicek e Black-Derman-Toy

Maria Carlota Morandim Senger Unibanco Asset Management [email protected]

Rogerio Rosenfeld

Instituto de Fsica Terica, UNESP [email protected]

Apreamento e Hedge de Opes sobre Taxa de Juro no Brasil: Uma Comparao entre os Modelos de Black, Vasicek e Black-Derman-Toy

Resumo Nesse trabalho realizamos um estudo do apreamento e hedge de opes de taxas de juro recentemente introduzidas no mercado brasileiro. Para tanto, implementamos trs diferentes modelos estocsticos de taxa de juros, os modelos de Black, Vasicek e Black-Derman-Toy. Usando dados do mercado, comparamos os resultados obtidos atravs desses modelos. I. Introduo Em 2003, a Bolsa de Mercadorias e Futuros introduziu uma nova opo sobre taxa de juro no mercado brasileiro. O apreamento e hedge dessas novas opes so de grande importncia, uma vez que no mercado brasileiro, o desenvolvimento de instrumentos mais sofisticados de taxa de juro tem histrico recente. O objetivo desse trabalho ser o de apreamento dessas recm-lanadas opes atravs de dois modelos estocsticos de taxa de juros: Vasicek (1977) e Black-Derman-Toy (1990). Faremos uma comparao com o modelo de Black (1976), comumente utilizado pelo mercado para a determinao dos preos das opes europias sobre taxas de juro. O modelo de Vasicek foi historicamente uma das primeiras tentativas de modelagem da estrutura a termo com um processo de Ornstein-Uhlenbeck e, devido hiptese de distribuio normal para a taxa instantnea de juro, permite resultados analticos tanto para o preo de ttulos quanto de opes europias. Por outro lado, o modelo de Black-Derman-Toy foi um dos primeiros modelos a assumir log-normalidade na distribuio das taxas instantneas de juro, evitando a maior desvantagem do modelo de Vasicek que permitia taxas negativas. No entanto, essa vantagem fez com que o modelo fosse desenvolvido de forma algortmica, devendo ser implementado numericamente atravs de uma rvore binomial. Buscou-se ainda em um etapa posterior, verificar se os resultados de apreamento mostraram-se consistentes com a hiptese de replicao do valor da opo atravs do processo do hedge dinmico de Delta, novamente comparando os resultados dos modelos de Vasicek e Black-Derman-Toy com o modelo de Black. Afinal, o uso de modelos de taxas de juro de maior complexidade como o de Vasicek e Black-Derman-Toy s seria justificado se os resultados de preos e gerenciamento de risco fossem superiores aos apresentados pelo modelo de Black para um instrumento simples que a opo europia de taxa de juro. II. Modelos II.1. Modelo de Vasicek

O modelo de Vasicek supe que a taxa de juro instantnea sob a medida de probabilidade real segue um Processo de Ornstein-Uhlenbeck com coeficientes constantes:

QtdWdttrtdr += ))(()( (II.1)

onde , e so constantes e positivos. A equao (II.1) define um passeio aleatrio em torno de uma tendncia, com caracterstica de reverso mdia, uma vez que a taxa esperada tende a para grandes perodos. Assim, quando r(t) est acima de , a variao esperada de r(t) torna-se negativa e r(t) tende a voltar para o seu nvel de longo prazo com uma velocidade de reverso . A soluo para a equao diferencial (II.1) :

u

t

s

stst dWesretr += )()( ))(()( (II.2) para qualquer t s. Pode-se demonstrar que r(t) condicional em Fs normalmente distribuda com mdia e varincia derivadas da equao (II.2 ):

)]}(exp[1{)](exp[)(]|)([ ststsrFtrE s += (II.3)

{ })](2exp[12

]|)([2

stFtrVar s = (II.4)

Isso implica que para cada tempo t, a taxa r(t) pode ser negativa com probabilidade positiva. Essa possibilidade de taxas negativas a maior desvantagem do modelo de Vasicek. Entretanto, a tratabilidade analtica implcita pela densidade Gaussiana da distribuio dificilmente atingida para outros modelos estocsticos para a taxa de juros instantnea r(t). O preo de um ttulo sem cupom com vencimento s no instante t ser dado por:

),()],([),( strBstAExpstP = (II.5)

rststB

ststAstR +=

),(),(),( (II.6)

onde:

+++

+=

2

2

3

2

2

22

3

22

3

2

234441

22(

)()22(4

)22(),(

sst

stExpstExpstA (II.7)

)exp(1),( ststB = (II.8)

II.2. Modelo de Black-Derman-Toy O modelo de estrutura a termo desenvolvido em 1990 por Fischer Black, Emanuel Derman e William Toy um modelo baseado no comportamento da taxa de juro instantnea que tem sido bastante utilizado pelo mercado na avaliao de derivativos de taxa de juros como opes, caps, floors e swaptions. O modelo de Black-Derman-Toy um modelo de no-arbitragem unifatorial, ou seja, os preos dos ttulos so dependentes de apenas um fator a taxa de juro instantnea. A estrutura a termo atual de taxa de juro usada para a construo de uma rvore binomial dos possveis futuros valores da taxa de juro, de forma a poder ser utilizada para avaliao de ttulos e derivativos dependentes da taxa de juro. Com isso, os pressupostos do modelo so:

A varivel fundamental a taxa spot ou instantnea;

Os inputs do modelo sero um vetor de taxas de juro para diferentes prazos (estrutura a termo de taxas de juro) e um vetor de volatilidades para essas taxas (estrutura a termo das volatilidades);

O modelo foi originalmente desenvolvido de forma algortmica, descrevendo a evoluo da estrutura a termo em uma rvore binomial com tempo discreto. muito embora diversos autores demonstraram posteriormente que o modelo implcito em tempo contnuo dado pela seguinte equao diferencial estocstica:

dztdttrttttrd )())(ln()()()())(ln(

+

+= (II.9) A equao (II.9) permite a compreenso de algumas hipteses implcitas ao modelo. O modelo de Black-Derman-Toy um modelo lognormal com reverso mdia, em que a reverso mdia intrnseca ao modelo, ou seja, determinada a partir dos parmetros de entrada, o que resulta na vantagem de que as taxas de juro no podem tornar-se negativas. O modelo tambm incorpora duas funes dependentes do tempo - (t) e (t) escolhidas de forma que o modelo reproduza a estrutura a termo de taxas de juro spot e a estrutura a termo de volatilidade das taxas de juros spot.

Ainda analisando-se a equao (II.9), observa-se que o parmetro de reverso mdia dado

pelo termo )()(

tt

quando negativo. Isso implica que se 0)( t , ou seja, a estrutura de volatilidade da taxa de juros spot for crescente, a taxa de juros spot ir crescer sem reverso mdia. Portanto, no modelo de Black-Derman-Toy, a reverso mdia ser determinada pela estrutura local de volatilidade. Com isso, uma desvantagem do modelo ser que para certas especificaes da funo volatilidade (t), a taxa de juro poder ter comportamento explosivo ao invs de um comportamento de reverso mdia. II.2.1. Descrio do Algoritmo O algoritmo utilizado est baseado na implementao do modelo atravs da determinao dos preos Arrow-Debreu em cada um dos ns da rvore1, seguindo o pseudo-cdigo descrito em Clewlow e Strickland (1998). Os preos Arrow-Debreu podem ser definidos como o valor no instante atual de receber $ 1 se o estado j no instante i for realizado ou zero em caso contrrio. Considere di,j como o preo de um zero-coupon bond com vencimento em (i + 1)t, ou seja, o fator de desconto para um perodo no n (i,j):

trd

jiji += ,, 1

1

(II.10)

Os preos dos ttulos com vencimento no instante (i + 1)t podem ser expressos em funo dos preos Arrow-Debreu e dos fatores de desconto di,j atravs da seguinte equao:

=+j

jiji dQiP ,,)1(

(II.11)

Onde os preos Arrow-Debreu so obtidos por forward induction que consiste em utilizar os valores j conhecidos do passo anterior para utilizao no passo seguinte. Com isso, o preo Arrow-Debreu no n (i,j) ser fornecido pelos valores j determinados nos ns (i 1, j 1) e (i 1, j + 1) a partir da condio inicial Q0,0 = 1, pela seguinte equao:

1,11,11,11,1, 21

21

++ += jijijijiji dQdQQ (II.12)

1 Originalmente, o procedimento de forward induction e o uso de preos Arrow Debreu foi desenvolvido por

Jamshidian, F., 1991, Forward Induction and Construction of Yield Curve Diffusion Models, Journal of Fixed

Income, vol. 1, pp. 62-74.

com exceo dos ns nos extremos da rvore (i, i) e (i, - i) onde h uma nica probabilidade de transio:

1,11,1, 21

= iiiiii dQQ (II.13)

1,11,1, 21

++ = iiiiii dQQ (II.14) II.2.1.1. Volatilidade Constante Fazendo a volatilidade constante, a equao para o modelo de Black-Derman-Toy ser:

dzdtttrd += )())(ln( (II.15) Onde a sua representao discreta:

)exp()(, tjiUr ji = (II.16) Pelas equaes (II.10) e (II.11):

=+j

jiji dQiP ,,)1(

(II.17)

+=+ j jiji trQiP ,, 11)1(

(II.18)

e substituindo (II.16),

+=+ j ji ttjiUQiP )exp()(11)1( ,

(II.19)

Os preos dos ttulos P(i) so conhecidos a partir da estrutura a termo de taxas de juro inicial R(i), a partir da seguinte relao:

tiiRiP += ))(1(

1)( (II.20)

Portanto, na equao (II.19), a nica varivel desconhecida ser U(i) que devido a impossibilidade de ser extrada analiticamente, dever ser obtida numericamente. II.2.1.2. Volatilidade Varivel no Tempo

Para a volatilidade varivel no tempo, o procedimento semelhante ao adotado para volatilidade constante. Novamente, a forma discreta para o modelo de Black-Derman-Toy ser:

))(exp()(, tjiiUr ji = (II.21) Entretanto, a rvore dever se ajustar tanto a estrutura a termo de taxas de juro quanto de volatilidade, ou seja, dever ser consistente com os valores conhecidos de P(i) e R(i) e, para isso, so necessrias duas funes de preo PU(i) e PD(i), que representam os preos de um ttulo no n de subida (U) e descida (D), com RU(i) e RD(i) sendo, respectivamente, as taxas associadas. As funes PU(i) e PD(i) podem ser determinadas atravs das seguintes relaes:

tr

iPiPiP

DU

++

=0,01

)(21)(

21

)( para i 2 (II.22) E tambm pela equao abaixo que relaciona a estrutura de volatilidades aos preos no ns:

)()(ln

21)(

iPiPti

D

UR = (II.23)

ou,

))(2exp()()( tiiPiP RUD = (II.24) Substituindo a equao anterior em (II.22), a soluo para PU(i) ser:

)1()(2))(2exp()()( 0,0 triPtiiPiP RUU +=+ (II.25) De modo semelhante ao algoritmo para volatilidade constante, devero ser calculados os preos de Arrow-Debreu em cada n atravs de um procedimento de forward induction. No entanto, os preos sero calculados para PU(i) e PD(i) e so definidos como QUi,j e QDi,j, onde QUi,j o valor, visto do n U, de um ttulo que paga $ 1 caso o n (i,j) seja alcanado e 0 em caso contrrio e, de forma anloga, QDi,j o valor, visto do n D, de um ttulo que paga $ 1 caso o n (i,j) seja alcanado e 0 em caso contrrio. E novamente utilizando a equao (II.11), os preos PU(i) e PD(i) so fornecidos pelas equaes:

=+j

jijiUU dQiP ,,,)1(

(II.26)

=+

jjijiDD dQiP ,,,)1(

(II.27)

Com:

ttjiiUtrd

jiji +=+= ))(exp()(1

11

1

,,

(II.28)

Entretanto, ao contrrio do modelo com volatilidade constante onde havia apenas uma equao e uma incgnita U(i), o modelo com volatilidade varivel no tempo apresenta duas equaes e duas incgnitas (U(i) e (i)) que devero novamente ser resolvidas numericamente atravs do procedimento de Newton-Raphson. Implementamos esse algoritmo para o modelo de Blac-Derman-Toy usando o programa Mathematica. III. Apreamento das Opes Uma caracterstica na modelagem de preos de uma opo sobre taxa de juros onde o ativo-objeto um ttulo de renda fixa que o preo desse ativo converge para um valor final e, portanto, no se pode dizer que segue um passeio aleatrio e tem distribuio lognormal. Esse efeito conhecido como Pull-to-Par descreve o fato de que a incerteza do preo do ativo-objeto diminui, na medida em que o ativo se aproxima do seu vencimento, ou seja, quanto mais prximo o prazo de vencimento, menor a volatilidade de seus preos. Assim, o uso de modelos como Black-Scholes tenderia a produzir preos superavaliados, por supor que a volatilidade constante at o vencimento da opo, no levando em conta seu decrescimento. Esse problema parcialmente resolvido quando, ao invs de considerar o prprio ttulo como ativo-objeto, modelam-se os preos obtidos atravs das taxas implcitas entre o vencimento da opo e o vencimento do ativo-objeto, supondo que esses preos tm distribuio lognormal. Essa modelagem largamente utilizada pelo mercado, utilizando a equao de apreamento do modelo publicado por Black. III.1. Apreamento de Opes de Taxa de Juro pelo Modelo de Black O modelo de Black (1976) ser utilizado como um modelo de referncia para a determinao dos preos e deltas das opes, assumindo-se que o mercado utiliza esse modelo para a determinao dos preos das opes europias no Brasil. Esse modelo usa os preos futuros como ativo-objeto no lugar dos preos spot modelados pela equao de Black & Scholes. O modelo largamente utilizado para o apreamento de opes europias sobre commodities, contratos a termo e futuros. O preo para uma opo europia dado por: [ ])](),()(),(),,,( 21 dTtPKdstPKsTtO = (III.1)

onde = 1 para opo de compra, = -1 para opo de venda, (.) a funo de distribuio acumulada da normal padro e :

( )tT

tTK

sTP

d +

=

2

),(ln2

1 (III.2)

tTdd = 12

T: Vencimento da opo s: Vencimento do ttulo

),( stP : Preo do ttulo entre t e s ),( TtP : Preo do ttulo entre t e T ),( sTP : Preo a termo do ttulo entre T e s

: Volatilidade do Preo a termo do Ttulo A equaes (III.1) e (III.2) podem ser utilizadas para avaliar opes europias supondo que as taxas de juros no sejam estocsticas e que a varivel objeto seja lognormal no vencimento da opo. O modelo de apreamento de opes de Black pressupe a lognormalidade da distribuio de probabilidade de uma taxa de juro ou do preo de um ttulo em algum ponto no futuro. Entretanto, a utilizao do modelo de Black possui algumas limitaes por no fornecer uma descrio da forma como as taxas de juros se desenvolvem ao longo do tempo e, com isso, no pode ser utilizado para a avaliao de derivativos tais como opes americanas de taxa de juro. III.2. Apreamento de Opes Europias pelo Modelo de Vasicek Jamshidian (1989) mostrou analiticamente a derivao para os preos de opes europias de compra e venda a partir da dinmica para a taxa instantnea de juro especificada pelo modelo de Vasicek, ou seja, assumindo-se que a estrutura a termo completamente determinada pelo valor da taxa instantnea de juro r(t) e que r(t) segue um processo gaussiano de reverso mdia (II.1). A expresso geral para o preo no instante t, de uma opo europia com preo de exerccio K, vencimento em T, sobre um ttulo sem cupons com vencimento em s, : [ ]))((),()(),(),,,( phTtPKhstPKsTtO = (III.3) onde = 1 para opo de compra, = -1 para opo de venda, (.) a funo de distribuio acumulada da normal padro e :

( ))()(2 12

1 TstTyp e

e ==

(III.4)

2),(),(ln1 P

P KTtPstPh += (III.5)

III.3. Apreamento de Opes de Taxa de Juro pelo Modelo de Black-Derman-Toy A partir da construo da rvore para a taxa instantnea de juro em cada intervalo de tempo e cada estado da natureza, de forma consistente com as hipteses do modelo de Black, Derman e Toy definidas no item (II.2.1), essa rvore pode ser utilizada para o apreamento de diversos instrumentos derivativos. Para o caso especfico de uma opo europia sobre um ttulo sem cupom, o procedimento utilizado recursivo e consiste em construir a rvore para o ativo-objeto do seu vencimento em s at o vencimento da opo em T, quando se comparam os preos obtidos com o preo de exerccio da opo K. Considere Psi,j como o preo do zero-coupon bond no instante i e estado j, onde Pss,j = 1, ou seja, o bond tem preo 1 no seu vencimento. O seu valor em cada estado j ser:

[ ]1,11,1,, 21 +++ += jijijiji PsPsdPs (III.6) onde di,j o fator de desconto no instante it e estado j. A partir da construo da rvore para Psi,j recursivamente de s at T, avalia-se o valor da opo em T, ou seja: para opo de compra: CT,j = Mximo{0, PsT,j K} e para opo de venda: PT,j = Mximo{0, K PsT,j} Com isso, pode-se trazer o valor da opo em seu vencimento T at o instante 0, aplicando em cada n a equao:

[ ]1,11,1,, 21 +++ += jijijiji CCdC (III.7) IV. O Contrato e Dados Utilizados Os modelos de Black, Vasicek e Black-Derman-Toy foram implementados para o apreamento de uma opo sobre taxa de juro, conforme especificao do ofcio circular do dia 29 de agosto de 2003 da Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F).

A seguir, esto descritas as principais caractersticas das opes europias de compra e venda sobre o futuro de DI. Ativo-Objeto: Contrato Futuro de Taxa Mdia de Depsitos Interfinanceiros de Um Dia (DI1). Tipo de Opo: A opo europia, ou seja, sero exercidas pelos seus titulares apenas na data de vencimento do contrato. Sries de Vencimento do Ativo-Objeto: As opes sero de trs tipos, que se referem ao prazo entre o vencimento da opo e o vencimento do ativo-objeto, conforme descrito a seguir: - Tipo 1: O ativo-objeto ter vencimento trs meses aps o vencimento da opo; - Tipo 2: O ativo-objeto ter vencimento seis meses aps o vencimento da opo; - Tipo 3: O ativo-objeto ter vencimento um ano aps o vencimento da opo. Exerccio: Opo de Compra: O exerccio de cada contrato de opo de compra por seu titular implica no direito de compra da taxa de um contrato de DI-Futuro do lanador, transformado em posio vendedora em termos de preo desse contrato. Opes de Venda: O exerccio de cada contrato de opo de venda por seu titular implica no direito de venda, em taxa, de um DI-Futuro ao lanador, transformado em posio compradora em PU. Ao constituir um instrumento cujo ativo-objeto um contrato futuro de taxas de juro, a BM&F lanou um produto com caractersticas semelhantes de uma opo sobre zero-coupon bond existente em outros mercados. Essa semelhana devida ao fato de que o mercado brasileiro negocia os futuros de taxas de juro sobre DI de forma anloga ao que no mercado norte-americano so chamados ttulos sem risco de default e sem pagamentos de cupons, com a diferena que nos contratos futuros no h desembolso de caixa, apenas pagamentos de ajuste. O contrato da opo, na forma definida pela Bolsa de Mercadorias & Futuros (BM&F), especificado com um preo de exerccio na forma de taxa ao ano. Entretanto, tanto o modelo de Black, como a expresso de Jamshidian para o modelo de Vasicek e o algoritmo de apreamento do modelo de Black-Derman-Toy, usam como preo de exerccio o preo de um zero-coupon bond e no de uma taxa. Portanto, a seguinte relao de transformao de taxa de exerccio para preo de exerccio deve ser utilizada:

252)1(

000.100Ts

KrK

+= (IV.1)

onde: K: Preo de exerccio; rK: Taxa de exerccio na forma como definido no contrato da opo na BM&F (% a.a. 252); s: Nmero de dias teis para o vencimento do ativo-objeto; T: Nmero de dias teis para o vencimento da opo.

Uma outra considerao diz respeito a payoff das opes: uma opo de compra sobre taxa ter payoff anlogo ao de uma opo de venda sobre preo ou, de forma anloga, uma opo de venda sobre taxa ter payoff anlogo ao de uma opo de compra sobre preo. Os preos de mercado das opes de taxa de juro foram obtidos a partir da coleta das suas volatilidades no perodo de 06 de novembro de 2003 a 30 de janeiro de 2004. A partir da informao de volatilidade, os preos foram calculados pelo modelo de Black utilizando-se a expresso (III.1). Para o modelo de Black-Derman-Toy necessrio o clculo da estrutura a termo de volatilidades para obteno da rvore de taxas de juro. O procedimento utilizado foi de clculo de volatilidade histrica atravs do conceito de alisamento exponencial (EWMA Exponential Weighted Moving Average), em que pesos maiores so dados aos retornos mais recentes. As volatilidades foram calculadas com o fator recomendado pelo Banco JP Morgan de 0,94 para um horizonte de tempo de 1 dia. Utilizou-se ainda uma janela de 101 dias teis que geram 100 dados de retornos. Um ponto importante sobre qual parmetro de retorno devem ser calculadas as volatilidades. Usualmente a volatilidade calculada sobre os retornos dos preos dos ativos. Entretanto, para o clculo da volatilidade no modelo de Black-Derman-Toy, a volatilidade calculada sobre os retornos das taxas de juro e, no como o convencional sobre os preos unitrios. A lgica do argumento de retorno da taxa de juro, conforme descrita em Silva (1997), fica clara ao se comparar a um outro modelo lognormal o de Black e Scholes. Da mesma maneira que no modelo de Black e Scholes modela-se a taxa de crescimento do preo da ao, ou seja, seu retorno, no modelo de Black-Derman-Toy, modela-se a taxa de crescimento das taxas de juro, isto , o equivalente ao retorno das taxas de juro. Apesar da utilizao no modelo de Black-Derman-Toy da volatilidade de taxa, o parmetro de entrada na equao de Black ser o de volatilidade de preo. V. Resultados V.1. Modelo de Vasicek Para estimao do preo de uma opo europia atravs do modelo de Vasicek, necessrio inicialmente estimar os parmetros de velocidade de reverso mdia (), nvel da taxa de juro para o longo prazo () e volatilidade da taxa instantnea de juro (). Esses parmetros foram estimados de forma a minimizarem o erro entre a estrutura a termo gerada pelo modelo de Vasicek atravs da equao (II.6) e a estrutura a termo corrente, gerada a partir da taxa diria mdia do CDI-Cetip e dos preos de ajuste dos contratos de DI Futuro da Bolsa de Mercadorias & Futuros (BM&F) e interpolada para 350 dias teis. A estimao dos parmetros e, por conseguinte, da estrutura a termo no modelo de Vasicek para o perodo de 02-Jan-2002 a 02-Jan-2004 mostrou que h uma melhor aderncia do modelo a

estruturas flat e negativamente inclinadas, no reproduzindo muito bem estruturas a termo positivamente inclinadas. Uma outra considerao importante a de que a estimao apresentou valores negativos (ainda que prximos a zero) para o parmetro e, como conseqncia, estrutura temporais de taxas de juro com valores explosivos ou negativos. Como o modelo de Vasicek prev parmetros no-negativos, esses valores foram tomados como prximos a zero (0,00001). Valores inferiores a zero foram encontrados em 27 dos 525 dias, ou seja, em aproximadamente 5% dos dias analisados. A tabela seguinte apresenta os resultados encontrados no apreamento das opes, comparando-se as diferenas entre os modelos de Vasicek e de Black (mercado):

Diferena em % (*) Abaixo de -10% Entre -10% e +10% Acima de +10% Opo de Compra 53.17% 13.33% 33.50% Opo de Venda 49.27% 34.69% 16.03% Tipo 1 55.00% 20.62% 24.38% Tipo 2 51.02% 26.75% 22.23% Tipo 3 37.64% 28.73% 33.63% Vencimento da Opo at 63 du 41.87% 21.83% 36.29% entre 63 du e 126 du 53.87% 22.30% 23.83% acima 126 du 60.79% 27.26% 11.96% Moneyness < 0.98 55.84% 28.46% 15.69% entre 0.98 e 1.02 41.90% 13.02% 45.08% > 1.02 46.12% 19.65% 34.22%

(*) Diferena calculada como Black

BlackVasicek

PPP

Tabela 5.1 Comparativo entre os preos obtidos no modelo de Vasicek vs. Mercado

Para o perodo total analisado (06-Nov a 31-Jan), os preos obtidos no modelo de Vasicek estiveram abaixo dos preos de mercado (66% da amostra), sendo a maior freqncia nas opes de venda (72% contra 60% nas opes de compra). A tabela 5.1 mostra que a maior parte da amostra apresentou diferenas negativas em todas as caractersticas analisadas, ou seja, o modelo de Vasicek tende a produzir preos inferiores ao do mercado independente do tipo de opo (compra ou venda), vencimento do ativo-objeto (tipos I, II ou III), vencimento da opo ou seu moneyness. V.2. Modelo de Black-Derman-Toy

No modelo de Black-Derman-Toy, as rvores binomiais para as taxas de juros e fatores de desconto foram geradas a partir dos algoritmos especificados no item (II.2.1). Conforme detalhado, ambos os modelos tm como parmetro de entrada a estrutura a termo de taxas de juros, sendo que no modelo com volatilidade constante h uma nica volatilidade estimada e no modelo com volatilidade varivel no tempo, a entrada no modelo da estrutura a termo de volatilidades estimada para a data em anlise. Conforme detalhado no item (II.2.1), dois algoritmos foram construdos para obteno dos preos de opes europias de taxas de juro. O primeiro denominado por modelo de Black-Derman-Toy com volatilidade constante tem como parmetros de entrada a estrutura a termo de taxas de juro, o vencimento da opo em dias teis, o vencimento do ativo-objeto tambm em dias teis e a volatilidade do ativo-objeto para o vencimento da opo em anlise. O segundo algoritmo denominado por modelo de Black-Derman-Toy com volatilidade varivel no tempo tem como entrada, alm dos vencimentos e da estrutura a termo de taxas de juro especificados no modelo anterior, a estrutura a termo de volatilidades. Uma questo analisada foi a da sensibilidade dos preos das opes europias ao parmetro de volatilidade no modelo. Foram realizados dois testes: o primeiro em relao ao modelo com volatilidade constante, variando o nvel da volatilidade em termos absolutos e o segundo teste com relao ao modelo com volatilidade varivel no tempo com deslocamentos paralelos na estrutura a termo de volatilidades Os resultados encontrados mostraram que o preo da opo de vencimento curto apresentou pouca sensibilidade variao da volatilidade, tanto no modelo com volatilidade constante quanto no de volatilidade varivel no tempo. Para o perodo total de anlise, os seguintes resultados comparativos em relao ao modelo de Black foram obtidos:

Diferena em % Abaixo de -10% Entre -10% e +10% Acima de +10% Opo de Compra 38.32% 15.07% 46.61% Opo de Venda 25.95% 38.72% 35.34% Tipo 1 39.45% 28.45% 32.10% Tipo 2 31.73% 22.78% 45.48% Tipo 3 17.48% 24.52% 58.00% Vencimento da Opo at 63 du 32.78% 32.02% 35.19% entre 63 du e 126 du 36.50% 25.59% 37.91% acima 126 du 28.60% 20.90% 50.50% Moneyness < 0.98 31.48% 30.58% 37.94% entre 0.98 e 1.02 30.32% 17.30% 52.38% > 1.02 36.10% 23.40% 40.51%

Tabela 5.2 - Comparao entre os preos obtidos pelo modelo de Black-Derman-Toy

com volatilidade constante vs. Mercado

A tabela com comparativo para o modelo de volatilidade constante (Tabela 5.2) no permite inferir se o modelo tende a produzir preos super ou sub avaliados em relao ao mercado, apesar de algumas caractersticas apresentarem maior percentual em diferenas superiores a 10%. Por outro lado, o modelo com volatilidade varivel no tempo (Tabela 5.3) apresentou tendncia a produzir preos superiores em relao ao mercado, ou seja, propores prximas ou superiores a 50% so verificadas nos erros maiores que 10% em todas caractersticas analisadas.

Diferena em % Abaixo de -10% Entre -10% e +10% Acima de +10% Opo de Compra 23.25% 11.32% 65.43% Opo de Venda 12.54% 32.65% 54.81% Tipo 1 21.36% 22.79% 55.84% Tipo 2 18.34% 19.51% 62.14% Tipo 3 10.72% 21.44% 67.83% Vencimento da Opo at 63 du 21.01% 31.82% 47.18% entre 63 du e 126 du 18.43% 20.19% 61.38% acima 126 du 14.05% 10.70% 75.25% Moneyness < 0.98 17.30% 25.64% 57.07% entre 0.98 e 1.02 18.41% 10.32% 71.27% > 1.02 19.65% 20.45% 59.89%

Tabela 5.3 - Comparao entre os preos obtidos pelo modelo de Black-Derman-Toy

com volatilidade varivel no tempo vs. Mercado

VI. Hedging Evidentemente, os preos calculados nos diferentes modelos apresentaram diferenas e, com isso, buscou-se nesse trabalho um indicador de qual modelo reproduz melhor o comportamento da estrutura de taxas de juro atravs do apreamento por delta-hedge. O processo de hedge de uma opo qualquer usualmente referido como a replicao da opo, atravs de um processo sinttico de compras e vendas que anulam a exposio ao instrumento. O conceito de replicao traz como conseqncia que, em um mercado sem arbitragem, uma vez que o mtodo de replicao anula todo o resultado proporcionado pela compra / venda de uma opo real, o resultado desse sistema de replicao tem que ser igual ao preo da opo (descontando-se custos de transao e corretagem). A metodologia adotada foi a de tentar replicar o preo da opo atravs do seu Delta, ou seja, atravs de uma posio sinttica de Delta quantidades do ativo-objeto. Originalmente, o objetivo do hedge de Delta tornar uma carteira imune a pequenas mudanas no preo do ativo-objeto em um perodo curto de tempo.

Com isso, atravs de simulaes de posies sintticas de carteiras compostas pelo ativo-objeto na quantidade determinada pelo Delta do derivativo correspondente possvel reproduzir o preo desse derivativo, observando a hiptese proveniente de no-arbitragem, na qual possvel estabelecer uma carteira risco-neutra, composta de uma posio no derivativo e de uma posio no ativo-objeto que em determinado perodo de tempo deveria ter como retorno a taxa livre de risco. O Delta de um derivativo - - definido como a variao de seu preo em relao ao preo do ativo-objeto, ou seja, a inclinao da curva que relaciona o preo do derivativo ao preo do ativo-objeto:

Sf

= (VI.1)

onde f o preo do derivativo e S o preo do ativo-objeto. Para que seja efetuado o hedge de Delta em uma posio vendida em uma opo europia de compra, isso envolve uma posio comprada em Delta quantidades do ativo-objeto, ou no caso da posio vendida em opes de compra, envolve uma posio vendida em Delta quantidades do ativo-objeto. Para uma opo de venda de europia, o delta assume valores negativos, implicando que uma posio comprada em uma opo de venda deve ser hedgeada com uma posio comprada no ativo-objeto e que uma posio vendida na opo de venda deve ser hedgeada com uma posio vendida no ativo-objeto. Os modelos de Black e Vasicek possuem expresses analticas para o clculo do Delta, ao contrrio do modelo de Black-Derman-Toy em que deve ser calculado numericamente. Para o modelo de Black (seo III.1), a expresso para o Delta da opo de compra dada por:

),()( 1

TtPd

Call= (VI.2)

e para a opo de venda:

),(1)( 1

TtPd

Put= (VI.3)

No modelo de Vasicek (seo III.2) o Delta tem forma anloga expresso do modelo de Black. O Delta para a opo de compra ser:

),()(

TtPh

CALL= (VI.4)

E para a opo europia de venda:

),(1)(

TtPh

PUT= (VI.5)

J para o modelo de Black-Derman-Toy, a expresso para o Delta calculada no 1 passo da rvore. Considere, Cu e Cd os possveis valores assumidos por uma opo europia de compra e Psu e Pdu os possveis valores assumidos pelo ativo-objeto dessa opo, o delta dado por:

du

duCall PsPs

CC= (VI.6)

Considerando Pu e Pd os possveis valores assumidos por uma opo europia de venda, o resultado para o delta da opo de venda anlogo expresso da opo de compra:

du

duPut PsPs

PP= (VI.7)

VI.1. Resultados O estudo de Delta-Hedge foi realizado para o perodo de 02-Jan-2003 a 02-Jan-2004, em que os preos gerados pelos modelos de Black, Vasicek e Black-Derman-Toy foram comparados com os preos simulados atravs da replicao via hedge dinmico. Dessa forma, a cada dia de anlise gerado um preo atravs do modelo em questo e um preo atravs do processo de hedge dinmico, considerando uma janela de um semestre para simulaes de compras e vendas, ao final da qual avalia-se se a opo ser exercida para os diferentes valores de strike. Foram considerados os preos de exerccio 80.000, 85.000, 90.000 e 95.000, que representam as opes dos estados dentro do dinheiro at as opes fora do dinheiro. importante considerar que quanto maior a janela de dias teis analisada, maior ser o erro proveniente de rebalanceamentos, uma vez que o pressupostos so de rebalanceamentos contnuos e no discretos. Tambm foram considerados para as simulaes, dois tipos de opes: as opes do tipo I, ou seja, aquelas com vencimento do ativo-objeto 3 meses (ou 63 dias teis) aps o vencimento da opo e opes do tipo II, opes com vencimento do ativo-objeto 6 meses (ou 126 dias teis) aps o vencimento da opo. Uma especificidade das simulaes para os modelos de Black e Vasicek a de serem feitas sobre contratos futuros de DI. Isso implica que, ao contrrio das simulaes de delta hedge feitas para

aes, os recebimentos e desembolsos de caixa ocorrem apenas sobre os preos de ajuste no final de cada dia. Nos modelos de Black e Vasicek, o ativo-objeto considerado o preo a termo entre o vencimento da opo (T) e o vencimento do futuro (s), onde essa posio reproduzida por:

Ts DIsTP

DI ),(

000.100 (VI.12)

onde DIs representa o preo de ajuste do contrato futuro de DI no vencimento do ativo-objeto (s) e DIT representa o preo de ajuste do contrato futuro de DI no vencimento da opo (T) e a venda dos contratos de DIT deve ser feitas pelo valor de delta trazido pela taxa a termo at o vencimento da opo. No modelo de Black-Derman-Toy, a simulao para o Delta apenas sobre o preo do ttulo sem cupons com vencimento em s e, com isso, a posio ao final de cada dia ser:

),( stP (VI.13) As tabelas a seguir procuram exemplificar a simulao de hedge dinmico no modelo de Black no dia 03-Jan-2003 para uma opo do tipo I e preo de exerccio 80.000: Data de Incio 03-01-2003 Preo Modelo 12,342.80T 10-07-2003 Qtde Contratos 1,000.00s 07-10-2003 Portflio no Exerccio 13,875,530.62DU(s-T) 63 Preo Delta Hedge 12,334.28K (%) 144.14% Erro 0.07%K (PU) 80,000.00

(*) Modelo

DeltaModelo

PPP

Erro Hedge =

Data T-t (du) s-t (du) DIT DIs P(T,s) r(t,T) Vol (% a.a.)

03-01-2003 128 191 88,607.68 83,228.94 93,929.72 26.89% 4.484% 06-01-2003 127 190 88,942.60 83,749.81 94,161.64 26.18% 4.713% 07-01-2003 126 189 89,104.53 83,930.82 94,193.66 25.95% 4.576% 08-01-2003 125 188 89,306.31 84,180.70 94,260.64 25.61% 4.480%

(...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) 09-07-2003 1 64 99,909.50 94,786.00 94,871.87 25.63% 0.578% 10-07-2003 0 63 100,000.00 94,842.18 94,842.18 0.00% 0.572%

Data DIs DIT Qtde DIs Qtde DIT Ajustes (R$) Receitas / Custos Acumulados (R$) Receitas / Custos

Juros (R$) 03-01-2003 0.88608 0.83229 886.08 832.29 96,315.19 96,315.19 84.74 06-01-2003 0.88943 0.83750 889.43 837.50 182,941.99 279,514.97 245.88 07-01-2003 0.89105 0.83931 891.05 839.31 25,398.00 305,192.26 268.47 08-01-2003 0.89306 0.84181 893.06 841.81 53,347.66 358,864.47 315.57

(...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) 09-07-2003 0.99909 0.94786 999.09 947.86 1,554.78 996,335.80 901.71 10-07-2003 1.00000 0.94842 1,000.00 948.42 -29,691.55 966,644.25 -

Tabela 6.1 Simulao de Delta-Hedge no Modelo de Black

No primeiro dia de anlise, o modelo forneceu o preo de R$ 12.342,80 e valores de Delta para o DI-Futuro em s de 0,88608 e para o DI-Futuro em T de 0,83229. Para a simulao de 1.000 contratos de uma posio comprada em opo de compra, isso acarretou em ajuste positivo de R$ 96.315,19, referente a 886 contratos comprados em DIs e 832 contratos vendidos em DIT. A coluna de juros (receitas) refere-se ao pagamento (recebimento) de juro decorrente dos ajustes negativos (positivos) ao longo do rebalanceamento e a taxa de emprstimo (aplicao) considerada foi a taxa do CDI do dia. Desse modo, a cada dia so feitos rebalanceamentos a cada novo valor de delta, de forma que no dia 10-Jul as receitas acumuladas estavam em R$ 966.644,25, ou seja, R$ 966,64 por opo que somadas ao resultado de exerccio de R$ 80.000,00 e descontado o preo de venda de R$ 94.842,18, resultam no preo da opo de R$ 13.875,53. Esse o valor da opo na data de exerccio (10-Jul) que trazido a valor presente pelo CDI do perodo tem como valor final R$ 12.334,28. Efetuando-se as simulaes detalhadas anteriormente para os modelos de Black, Vasicek e Black-Derman-Toy para 100 observaes nos diferentes preos de exerccios, foram observados os seguintes resultados: VI.1.1. Opo do Tipo I

-4%-2%0%2%4%6%8%

10%12%14%

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Erro

(%)

BDT Vol Cte BDT Vol N Cte

-2000

-1000

0

1000

2000

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Erro

(R$)

Black Vasicek

Figura 6.1 Comparao entre os modelos no hedge dinmico para opo com preo de exerccio K = 80.000

-2000

-1000

0

1000

2000

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (R

$)

Black Vasicek

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (%

)



-2000

-1000

0

1000

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (R

$)

Black Vasicek

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (%

)



-1000

-500

0

500

1000

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (R

$)

Black Vasicek

-200%

0%

200%

400%

600%

800%

1000%

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (%

)



VI.1.2. Opo do Tipo II

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (%

)


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (R

$)

Black Vasicek


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (R

$)

Black Vasicek

-40%

-20%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Erro

(%)



-1000

0

1000

2000

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Err

o (R

$)

Black Vasicek

-100%

100%

300%

500%

700%

900%

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Erro

(%)



-150

-100

-50

0

50

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Erro

(R$)

Black Vasicek

-200%

0%

200%

400%

600%

800%

1000%

02-ja

n-03

16-ja

n-03

30-ja

n-03

13-fe

v-03

27-fe

v-03

13-m

ar-03

27-m

ar-03

10-ab

r-03

24-ab

r-03

08-m

ai-03

22-m

ai-03

Erro

(%)



A anlise dos grficos acima mostra inicialmente que o erro do hedge aumenta com o preo de exerccio e tipo da opo. A opo com prazo de 63 dias teis entre o seu vencimento e do seu ativo-objeto (tipo I) obteve menores erros de hedge do que a opo com 126 dias teis (tipo II). Com relao ao preo de exerccio, quanto mais dentro do dinheiro estiver a opo, melhor o resultado do hedge. Essa observao pode ser justificada pelo fato de que o delta-hedge no contempla, por exemplo, efeitos de segunda ordem ou o efeito do Gamma da opo. O efeito Gamma mximo para as opes no dinheiro e decresce para opes dentro e fora do dinheiro, ou seja, a sensibilidade mais alta das opes no dinheiro a variaes no preo do ativo-objeto tem como conseqncia maiores erros no hedge dinmico. Com relao aos modelos analisados, com exceo dos preos de exerccio de 90.000 e 95.000 que representam, respectivamente as opes no dinheiro e fora do dinheiro, o modelo de Black apresentou maior estabilidade, ainda que os modelos de Vasicek e Black-Derman-Toy com volatilidade constante tenham apresentados erros percentuais aceitveis, entre 2% e 5% para opes do tipo I e entre 10% e 20% para opes do tipo II. O modelo de Black-Derman-Toy com volatilidade varivel do tempo, foi o que apresentou maiores erros para as opes dentro do dinheiro (preos de exerccio de 80.000 e 85.000) e no dinheiro (preo de exerccio 90.000). Entretanto, apesar dos bons resultados de hedge dinmico do modelo de Black para opes dentro do dinheiro e no dinheiro, essa estabilidade no se verificou para as opes fora do dinheiro, onde os resultados de maior estabilidade e menores erros foram encontrados no modelo de Black-Derman-Toy com volatilidade constante.

VII. Concluses No modelo de Vasicek, os parmetros estimados apresentaram bom ajuste a estruturas a termo de taxas de juro flat ou negativamente inclinadas, ao contrrio de estruturas positivamente inclinadas em que o modelo no apresentou aderncia estrutura corrente. O parmetro de reverso mdia tambm apresentou resultados negativos, o que fez com que a principal desvantagem do modelo de produzir taxas negativas com probabilidade no nula, fosse verificada. Os preos das opes de DI calculados atravs do modelo de Vasicek foram inferiores aos do mercado calculados atravs do modelo de Black, independente do vencimento da opo ou de seu ativo-objeto, moneyness ou tipo de opo. No modelo de Black-Derman-Toy, uma constatao importante foi a da sua pouca sensibilidade volatilidade nas opes de taxa de juros com vencimentos curtos, apesar do modelo com volatilidade dependente do tempo ter apresentado preos superiores aos de mercado. Entretanto, uma vantagem importante do modelo verificada em modelos estruturados na forma de rvore tanto o de permitir o apreamento de instrumentos dependentes do caminho do ativo-objeto como, por exemplo, opes americanas, quanto o de se extrair uma quantidade maior de informaes de hedge, como o impacto no preo da opo em decorrncia de movimentos da estrutura a termo. Com isso, os lucros ou prejuzos decorrentes de movimentao paralela, mudanas de inclinao ou curvatura da estrutura a termo podem ser simulados, ao contrrio de modelos com resultados analticos como o de Vasicek ou Black. O apreamento atravs do hedge dinmico mostrou resultados mais estveis no modelo de Black-Derman-Toy com volatilidade constante. O modelo de Black apesar de apresentar baixos erros para opes dentro do dinheiro e no dinheiro, apresentou baixa estabilidade para opes fora do dinheiro. No entanto, testes adicionais podero ser feitos considerando janelas menores de rebalanceamento e perodos mais longos de tempo. Para o gerenciamento de risco, o modelo de Black poder ser usado por sua vantagem analtica, com a sugesto da incorporao de outras medidas de sensibilidade, que procurem minimizar os erros encontrados. Entretanto, para efeitos de apreamento, ainda que o modelo de Black-Derman-Toy com volatilidade constante tenha produzido resultados razoveis no hedge dinmico para todas as faixas de moneyness analisadas, pesquisas adicionais devero ser feitas de forma a se obter resultados mais conclusivos. Bibliografia Black, F. (1976), The Pricing of Commodity Contracts, Journal of Financial Economics, Jan-

Mar 3, pp. 167-179. Black, F., Derman E., Toy W. (1990), A One Factor Model of Interest Rates and its Application

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Brigo, D., Mercrio, F. (2001), Interest Rate Models: Theory and Practice, Springer. Buetow, G., Sochacki, J. (2001), Term Structure Models Using Binomial Trees, AIMR

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Apreçamento e Hedge de Opções Sobre Taxa de Juro No Brasil 1524-2762-1-PB

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