Appunti di Analisi Funzionale di Paolo Acquistapace
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8/20/2019 Appunti di Analisi Funzionale di Paolo Acquistapace
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Appunti di Analisi funzionale
Paolo Acquistapace
11 dicembre 2014
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8/20/2019 Appunti di Analisi Funzionale di Paolo Acquistapace
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Indice
1 Misura di Lebesgue 51.1 Motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Lunghezza degli intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Misura esterna di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Insiemi misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Misurabilit aĢ degli intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Insieme di Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 ProprietĢ a della misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Un insieme non misurabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Misure 242.1 Spazi misurati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Misura di Lebesgue in RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Misure esterne di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Misure di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5 Dimensione di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6 La misura H N in RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Funzioni misurabili 433.1 Denizione e propriet aĢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Funzioni essenzialmente limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Lo spazio Lā . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Misurabilit aĢ e continuit aĢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Convergenza in misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Lāintegrale 604.1 Integrale di funzioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Integrale di funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Passaggio al limite sotto il segno di integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4 Confronto fra integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue . . . . . . . 774.5 Assoluta continuitĢ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6 Lo spazio L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.7 Teoremi di densitĢ a in L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
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5 Misure prodotto 965.1 Rettangoli misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2 Insiemi misurabili in X
ĆY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Teoremi di integrazione successiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4 Completamento delle misure prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Derivazione 1146.1 Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2 Punti di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 DerivabilitĢ a delle funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.4 Funzioni a variazione limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.5 Funzioni assolutamente continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.6 Cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.7 Cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.8 Appendice: dimostrazione del teorema di Brouwer . . . . . . . . . . . . . 144
7 Spazi di Banach 1487.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2 Prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3 Operatori lineari e continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8 Spazi di Hilbert 1648.1 Proiezioni su convessi chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.2 Il duale di uno spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.3 Sistemi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.4 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9 Spazi L p 1989.1 La norma di L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989.2 Il duale di L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10 Operatori lineari 21410.1 Estensione di funzionali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21410.2 Uniforme limitatezza di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22110.3 Applicazioni aperte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22610.4 Operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23210.5 RiessivitĢa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23510.6 Convergenze deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24010.7 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11 Teoria spettrale 25011.1 Spettro e risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25011.2 Operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25411.3 Operatori compatti in spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26011.4 Lāalternativa di Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26711.5 Lāequazione di Sturm - Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
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11.6 RisolubilitĢa dellāequazione di Sturm - Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 27711.7 Rappresentazione delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Bibliograa 287
Indice analitico 288
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Capitolo 1
Misura di Lebesgue
1.1 MotivazioniLa teoria della misura e dellāintegrazione secondo Riemann, concettualmente sempli-ce e soddisfacente per molti aspetti, non eĢ tuttavia cosĢı essibile da consentire certeoperazioni che pure appaiono naturali: ad esempio, si ha
limnāā A f n (x) dx = A limnāāf n (x) dx
solo quando A eĢ limitato e vi eĢ convergenza uniforme delle f n ; se {An}eĢ una successionedi insiemi misurabili disgiunti, la loro unione non eĢ necessariamente misurabile, neĢ, tantomeno, vale in generale la relazione
mnā
NAn =
nāN
m(An );
inne, le quantit`a
A |f (x)|dx, A |f (x)|2 dx12
non sono norme sullo spazio delle funzioni Riemann integrabili R(A), percheĢ mancaloro la propriet aĢ di annullarsi se e solo se f eĢ identicamente nulla (la f potrebbe esserenon nulla in un insieme nito o anche numerabile di punti).Vi sono poi altre, e piuĢ importanti, motivazioni āa posterioriā: la teoria dellāintegrazionesecondo Lebesgue ha dato lāavvio ad enormi sviluppi nellāanalisi funzionale, nella teoriadella probabilit`a, ed in svariatissime applicazioni (risoluzione di equazioni differenziali,calcolo delle variazioni, ricerca operativa, sica matematica, matematica nanziaria,biomatematica, ed altre ancora).Esporremo la teoria della misura di Lebesgue seguendo la presentazione introdotta daCaratheĢodory, che eĢ quella che pi` u facilmente si estende, come vedremo, al caso dimisure astratte denite su insiemi arbitrari.
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Esercizi 1.11. Esibire una successione di funzioni {f n} denite su [a, b], Riemann integrabili in
[a, b], puntualmente convergenti in [ a, b], e tali che
limnāā ba f n (x) dx = ba limnāāf n (x) dx.
2. Esibire una successione di sottoinsiemi {An} di R, misurabili secondo Riemann edisgiunti, tali che la loro unione non sia misurabile secondo Riemann.
1.2 Lunghezza degli intervalli
Il punto di partenza, come eĢ naturale, eĢ lāattribuzione di una lunghezza agli intervallidella retta reale.
Denizione 1.2.1 Sia I un intervallo di R. La sua lunghezza (I ) eĢ data da
(I ) = bāa se ]a, b[ā I ā [a, b],+ ā se I eĢ illimitato .
La funzione (I ) associa ad ogni intervallo di R un numero in [0, + ā] (si noti che, inparticolare, (ā ) e ({a}) valgono 0). Vogliamo estendere tale funzione a sottoinsiemi diR piuĢ generali, in modo da poterli āmisurareā. Sarebbe auspicabile poter denire unafunzione di insieme m che verichi le seguenti propriet aĢ:
1. m(E ) eĢ denita per ogni E āR;2. m(I ) = (I ) per ogni intervallo I ;
3. (numerabile additivit`a ) se {E n}nāN eĢ una famiglia numerabile di insiemi disgiunti,alloram
nāN
E n =nā
Nm(E n );
4. (invarianza per traslazioni ) per ogni x ā
R e per ogni E ā
R si ha m(x + E ) =m(E ), ove x + E = {y āR : y āx ā E }.
Sfortunatamente si pu` o dimostrare (si veda lāesercizio 2.1.8) che non eĢ possibile soddi-sfare simultaneamente queste richieste: se si vogliono mantenere le propriet` a 2, 3 e 4non si potranno misurare tutti i sottoinsiemi di R; se, al contrario, si vuole mantenerela propriet aĢ 1, occorreraĢ indebolire qualcuna delle altre, ad esempio sostituire la 3 conla seguente:
3 . (numerabile subadditivit`a ) se {E n}nāN eĢ una famiglia numerabile di sottoinsiemidi R, allora
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mnā
NE n ā¤
nāN
m(E n ).
Considerazioni geometriche ci inducono a considerare irrinunciabili le propriet` a 2, 3 e 4:di conseguenza, come si vedraĢ, la classe degli insiemi āmisurabiliā sar aĢ un sottoinsiemeproprio di P (R).
Esercizi 1.21. Si provi che la famiglia delle unioni nite di intervalli di R aperti a destra eĢ
unāalgebra , ossia eĢ una classe contenente lāinsieme vuoto e chiusa rispetto allāu-nione ed al passaggio al complementare.
2. Si verichi che la famiglia delle unioni nite di intervalli aperti di R non eĢ unāal-
gebra.
1.3 Misura esterna di LebesgueCominciamo ad attribuire ad ogni sottoinsieme di R una āmisura esternaā che godadelle propriet aĢ 1, 2, 3 e 4 del paragrafo 1.2.
Denizione 1.3.1 Se E āR, la misura esterna mā(E ) eĢ data da mā(E ) = inf
n
ā
N(I n ) : E ā
n
ā
NI n ., I n intervalli aperti .
Dalla denizione seguono subito le seguenti proprietĢ a:
Proposizione 1.3.2 Si ha:
(i) mā(E ) ā„ 0 āE āR;(ii) mā(ā ) = mā({x}) = 0 āx āR;(iii) (monotonia) se E ā F allora mā(E ) ā¤ mā(F ).Dimostrazione (i) Evidente.(ii) Per ogni Īµ > 0 si ha ā ā {x} ā]x āĪµ, x + Īµ[ ; questo intervallo ha lunghezza 2 Īµ ericopre {x} e ā . Quindi, per denizione,0 ā¤ mā(ā ) ā¤ mā({x}) ā¤ 2Īµ āĪµ > 0,da cui la tesi.(iii) Se E ā F , ogni ricoprimento {I n} di F costituito da intervalli aperti eĢ anche unricoprimento di E , da cui
mā(E ) ā¤nā
N(I n );
per lāarbitrariet`a del ricoprimento di F , si ottiene mā(E ) ā¤ mā(F ).Verichiamo ora la propriet`a 2:
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e quindi mā(I ) = bāa = (I ).Inne, se I eĢ illimitato, per ogni n āN esiste un intervallo J n di lunghezza n contenutoin I : quindi, per monotonia,mā(I ) ā„ mā(J n ) = (J n ) = n ān āN,
cioeĢ mā(I ) = + ā = (I ).Verichiamo ora che mā gode della propriet aĢ 3 del paragrafo 1.2.
Proposizione 1.3.4 La misura esterna mā eĢ numerabilmente subadditiva.
Dimostrazione Sia {E n} una successione di sottoinsiemi di R: dobbiamo provare che
mā nāNE n ā¤ nāN mā(E n ).
CioĢ eĢ ovvio se la serie a secondo membro eĢ divergente; supponiamo quindi che essasia convergente, cosiccheĢ in particolare mā(E n ) < ā per ogni n ā N. Per denizionedi misura esterna, ssato Īµ > 0 esiste un ricoprimento {I kn }kāN di E n costituito daintervalli aperti, tale che
kāN
(I kn ) < mā(E n ) + Īµ2n +1
.
La famiglia {I kn }k,nāN eĢ allora un ricoprimento di nāN E n costituito da intervalli aperti,e si ha
mānā
NE n ā¤
k,nāN
(I kn ) ā¤nā
Nmā(E n ) +
Īµ2n +1
=nā
Nmā(E n ) + Īµ ;
dallāarbitrariet`a di Īµ segue la tesi.
Inne osserviamo che mā verica anche la propriet aĢ 4 del paragrafo 1.2: infatti lalunghezza degli intervalli eĢ ovviamente invariante per traslazioni; ne segue facilmente,usando la denizione, che anche mā eĢ invariante per traslazioni.Come vedremo in seguito, la misura esterna non verica invece la propriet aĢ 3 del para-grafo 1.2, ed anzi non eĢ nemmeno nitamente additiva su P (R) (esercizio 1.8.4). Sar aĢperoĢ numerabilmente additiva su una sottoclasse molto vasta di P (R).Esercizi 1.3
1. Sia t āR \ {0}. Posto tE = {x āR : xt ā E }, si provi chemā(tE ) = |t|mā(E ).
2. Dimostrare che la funzione di insieme mā non cambia se nella denizione 1.3.1 sifa uso, anzicheĢ di intervalli I n aperti, di intervalli I n di uno dei seguenti tipi:
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(a) intervalli I n chiusi;
(b) intervalli I n aperti a destra;
(c) intervalli I n qualunque;(d) intervalli I n ad estremi razionali.
3. Si dimostri che ogni aperto di R eĢ unione al pi uĢ numerabile di intervalli apertidisgiunti.
4. Si provi che ogni aperto non vuoto di R ha misura esterna strettamente positiva.
5. Si provi che ogni sottoinsieme numerabile di R ha misura esterna nulla.
6. Per ogni Īµ > 0 si costruisca un aperto A āR, denso in R, tale che mā(A) < Īµ .7. Sia E ā R un insieme di misura esterna strettamente positiva. Si provi che perogni Īµ > 0 esiste un intervallo I tale che mā(E ā©I ) > (1 āĪµ) (I ).[Traccia: ssato Īµ > 0, si prenda un aperto A contenente E , tale che mā(A) <
mā(E ) + Īµ; si utilizzi lāesercizio 1.3.3 e si verichi che, per Īµ sufficientementepiccolo, uno almeno degli intervalli che compongono A verica necessariamente latesi.]
1.4 Insiemi misurabili secondo LebesgueIntroduciamo adesso una classe di sottoinsiemi di R sulla quale la funzione mā eĢnumerabilmente additiva (propriet` a 3 del paragrafo 1.2).
Denizione 1.4.1 Un insieme E ā R eĢ detto misurabile (secondo Lebesgue) se per ogni insieme A āR si ha mā(A) = mā(A ā©E ) + mā(A ā©E c).
Indicheremo con M la classe dei sottoinsiemi misurabili di R.Un sottoinsieme E di R eĢ dunque misurabile se, ssato un arbitrario āinsieme testāA ā R, esso viene ādecomposto beneā da E , nel senso che la misura esterna di A eĢadditiva sulle due parti A ā©E e A ā©E c. Si noti che per la subadditivitĢ a di mā si hasempre mā(A) ā¤ mā(A ā©E ) + mā(A ā©E c),quindi la disuguaglianza signicativa eĢ quella opposta.
Osservazione 1.4.2 Dalla denizione segue subito che E eĢ misurabile se e solo se lo eĢE c; quindi M eĢ chiusa rispetto al passaggio al complementare. Inoltre eĢ facile vedereche R,ā sono insiemi misurabili.Pi uĢ in generale:
Proposizione 1.4.3 Se E āR e mā(E ) = 0 , allora E eĢ misurabile.10
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Dimostrazione Per ogni insieme test A āR si hamā(A)
ā„ mā(A
ā©E ) + mā(A
ā©E c)
in quanto mā(A ā©E ) ā¤ mā(E ) = 0. Ne segue la tesi.La classe M eĢ chiusa anche rispetto allāunione; si ha infatti:Proposizione 1.4.4 Se E, F āR sono misurabili, allora E āŖF eĢ misurabile.Dimostrazione Sia A un insieme test. PoicheĢ E eĢ misurabile,
mā(A) = mā(A ā©E ) + mā(A ā©E c);poicheĢ F eĢ misurabile, scelto come insieme test A ā©E c si ha
mā(A ā©E c) = mā(A ā©E c ā©F ) + mā(A ā©E c ā©F c) == mā(A ā©E c ā©F ) + mā(A ā©(E āŖF )c),
e dunque
mā(A) = mā(A ā©E ) + mā(A ā©E c ā©F ) + mā(A ā©(E āŖF )c);dāaltra parte, essendo
(A ā©E )āŖ(A ā©E c ā©F ) = A ā©(E āŖF ),la subadditivit`a di mā implica che
mā(A ā©E ) + mā(A ā©E c ā©F ) ā„ mā(A ā©(E āŖF )),da cui nalmente
mā(A) ā„ mā(A ā©(E āŖF )) + mā(A ā©(E āŖF )c).CioĢ prova la misurabilit aĢ di E āŖF .Corollario 1.4.5 Se E , F āR sono misurabili, allora E ā©F ed E \ F sono misurabili.Dimostrazione Se E, F ā M, allora E c, F c ā M; per la proposizione precedente,E cāŖF cā M e quindi E ā©F = ( E cāŖF c)cā M. Di qui segue E \F = E ā©F cā M.
La classe M contiene lāinsieme vuoto ed eĢ chiusa rispetto alle operazioni di unione,intersezione e differenza; in particolare, M eĢ unāalgebra (v. esercizio 1.2.1).Osservazione 1.4.6 Se E , F sono insiemi misurabili e disgiunti, si ha
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mā(E āŖF ) = mā(E ) + mā(F ),come si verica applicando la denizione 1.4.1 ad E e scegliendo come insieme test
E āŖF . Di conseguenza, se E , F ā M ed E ā F , vale lāuguaglianzamā(F \E ) + mā(E ) = mā(F ),
e, se mā(E ) < ā, mā(F \E ) = mā(F ) āmā(E ).Nel caso di N insiemi misurabili disgiunti si ha, pi uĢ generalmente:
Lemma 1.4.7 Siano E 1, . . . , E N misurabili e disgiunti. Allora per ogni insieme A āRsi ha mā A ā©
N
n =1E n =
N
n =1mā(A ā©E n ).
Dimostrazione Ragioniamo per induzione. Se N = 1 non cāeĢ niente da dimostrare.Supponiamo che la tesi sia vera per N insiemi misurabili disgiunti, e consideriamo N +1insiemi E 1, . . . , E N +1 ā Mfra loro disgiunti. PoicheĢ E N +1 eĢ misurabile, scegliendo comeinsieme test A ā© N +1n =1 E n , si ha
mā A ā©N +1
n =1
E n =
= mā A ā©N +1
n =1E n ā©E N +1 + mā A ā©
N +1
n =1E n ā©E cN +1 =
= mā(A ā©E N +1 ) + mā A ā©N
n =1
E n ;
ma, per ipotesi induttiva,
mā A ā©N
n =1
E n =N
n =1
mā(A ā©E n ),
da cui
mā A ā©N +1
n =1
E n = mā(A ā©E N +1 ) +N
n =1
mā(A ā©E n ) =N +1
n =1
mā(A ā©E n ).
Grazie al lemma precedente, siamo in grado di provare che la classe MeĢ chiusa rispettoallāunione numerabile (e quindi rispetto allāintersezione numerabile).Proposizione 1.4.8 Se {E n}nāN ā M, allora nāN E n ā M.
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Dimostrazione Anzitutto, scriviamo nāN E n come unione numerabile di insiemimisurabili e disgiunti : basta porreF 0 = E 0, F n +1 = E n +1 \
n
k=0
F k ān āN
per avere che gli F n sono disgiunti, appartengono a M e vericano
nāN
F n =nā
NE n .
Sia A ā R un insieme test: per ogni N ā N possiamo scrivere, grazie al lemmaprecedente,
mā(A) = mā A ā©N
n =0
F n + mā A ā© N
n =0
F n
c
=
=N
n =0
mā(A ā©F n ) + mā A ā©N
n =0
F cn ā„
ā„N
n =0
mā(A ā©F n ) + mā A ā©ā
n =0
F cn =
=N
n =0
mā(A ā©F n ) + mā A ā©ā
n =0
F n
c
.
Se N ā ā, in virt uĢ della numerabile subadditivit` a di mā otteniamo
mā(A) ā„ā
n =0
mā(A ā©F n ) + mā A ā©ā
n =0
F n
c
ā„
ā„ mā A ā©ā
n =0
F n + mā A ā©ā
n =0
F n
c
.
CioĢ prova che
nā
N F n = nāNE n eĢ misurabile.
Dunque la classe M contiene lāinsieme vuoto ed eĢ chiusa rispetto allāunione numerabileed al passaggio al complementare. Una famiglia di insiemi dotata di queste proprietĢ a sichiama Ļ-algebra , o tribuĢ ; M eĢ pertanto una Ļ-algebra di sottoinsiemi di R.Proviamo nalmente che mā eĢ numerabilmente additiva su M.Proposizione 1.4.9 Se {E n}nāN ā M e gli E n sono fra loro disgiunti, allora si ha
mānā
NE n =
nāN
mā(E n ).
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Dimostrazione PoicheĢ mā eĢ numerabilmente subadditiva, la disuguaglianza ( ā¤) eĢevidente; proviamo lāaltra. Per ogni N ā N si ha, utilizzando la monotonia di mā ed illemma 1.4.7 con A = R,
mānā
NE n ā„ mā
N
n =0
E n =N
n =0
mā(E n ),
da cui per N ā āmā
nāN
E n ā„ā
n =0
mā(E n ).
Esercizi 1.4
1. Per ogni Ī± ā [0, ā] si determini una successione di aperti {An} di R tali cheAn ā An +1 , mā(An ) = ā ān āN, mā
nāN
An = Ī±.
2. Sia E āR con mā(E ) = 0 e sia f : R āāR una funzione derivabile con derivatalimitata. Si provi che f (E ) ha misura esterna nulla. Si provi poi lo stesso risultatosupponendo f ā C 1(R).
3. Sia E un sottoinsieme di R. La densit aĢ di E nel punto x āR eĢ il limitelimhā0+
12h mā(E ā©]x āh, x + h[ ).(i) Tale limite esiste sempre?(ii) Si provi che lāinsieme
x āR \ {0} : cos 1x
> 12
ha densit aĢ 13 nel punto x = 0.
[Traccia: per (i) si consideri E = ān =0 [2ā2nā1, 2ā2n ]; per (ii), detto E lāinsiemein questione, si verichi che 1h mā(E ā©[0, h[ ) eĢ uguale a 16hĻ ān = k+1 1n 2ā1/ 36 quando3Ļ (6k+5) < h <
3Ļ (6k+1) , mentre eĢ uguale a
16hĻ
ān = k+1 1n 2ā1/ 36 + 1 ā 3
hĻ (6k+1) quando3
Ļ (6k+1) ā¤ h ā¤ 3Ļ (6kā1) . Se h ā 0+ (e quindi k ā ā), si provi che il termine con laserie tende a 13 .]
4. Sia F una Ļ-algebra di sottoinsiemi di R. Si provi che F eĢ nita, oppure F con-tiene una innit`a piuĢ che numerabile di elementi.[Traccia: se, per assurdo, fosse F = {E n}nāN con gli E n tutti distinti, si co-struisca una successione {F n}nāN ā F di insiemi disgiunti; dopodicheĢ, postoF = {F n}nāN, si metta P (F ) in corrispondenza biunivoca con P (N).]
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1.5 MisurabilitaĢ degli intervalliLa classe degli insiemi misurabili non avrebbe lāimportanza che ha, se non contenesse
gli intervalli di R: questo eĢ ci oĢ che andiamo a dimostrare.Proposizione 1.5.1 Gli intervalli di R sono misurabili secondo Lebesgue.
Dimostrazione Sappiamo giaĢ che R = ā c eĢ misurabile. Osserviamo poi che ogniintervallo non aperto eĢ lāunione di un intervallo aperto e di uno o due punti, e dunqueeĢ misurabile se lo sono tutti gli intervalli aperti ; inoltre, dato che ogni intervallo apertolimitato ] a, b[ eĢ lāintersezione delle due semirette aperte ] ā ā, b[ e ]a, + ā[ , basteraĢprovare che sono misurabili le semirette aperte. Inne, essendo ] a, + ā[ c =]āā, a[āŖ{a},saraĢ in denitiva sufficiente mostrare che ] āā, b[ā M per ogni b āR.Sia dunque A āR un insieme test. Se mā(A) = ā, la disuguaglianza da provare, ossia
mā(A) ā„ mā(A ā©]āā, b[ ) + mā(A ā©[b,+ ā[ )eĢ evidente. Se invece mā(A) < ā, per denizione ssato Īµ > 0 esiste un ricoprimento{I n} di A, fatto di intervalli aperti, tale che
nāN
(I n ) < mā(A) + Īµ.
PoniamoI n = I n ā©]āā, b[ , I n = I n ā©[b,+ ā[ ;
chiaramente (I n ) + (I n ) = (I n ) ān āN,quindi
nāN
(I n ) +nā
N(I n ) < mā(A) + Īµ.
Dato che {I n} e {I n } ricoprono rispettivamente Aā©] ā ā, b[ e A ā© [b,+ ā[, per lanumerabile subadditivit` a di mā si ottiene a maggior ragionemā(Aā©]āā, b[ ) + mā(A ā©[b,+ ā[ ) < mā(A) + Īµ,
e la tesi segue per lāarbitrariet`a di Īµ.
Corollario 1.5.2 Gli aperti ed i chiusi di R sono misurabili secondo Lebesgue.
Dimostrazione Basta ricordare lāesercizio 1.3.3.
Naturalmente la Ļ-algebra M contiene molti altri insiemi: indicando con A la famigliadegli aperti di R, dovraĢ stare in Mtutto ci`o che si ottiene da Acon unioni ed intersezioninumerabili. La piuĢ piccola Ļ-algebra che contiene A (ossia lāintersezione di tutte le Ļ-algebre contenenti A: si vede subito che essa stessa eĢ una Ļ-algebra) si indica con B ed i suoi elementi si chiamano boreliani . Si dice che B eĢ la Ļ-algebra generata da A.Vedremo in seguito (esercizio 3.1.8) che M contiene propriamente B .15
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Esercizi 1.51. Si verichi che lāinsieme
x ā0, 1Ļ
: sin 1x
> 0
eĢ misurabile e se ne calcoli la misura esterna.
2. Sia E lāinsieme dei numeri di [0, 1] che possiedono uno sviluppo decimale ove noncompare mai la cifra 9. Si dimostri che E eĢ misurabile e se ne calcoli la misuraesterna.
3. Per ogni x ā [0, 1] sia {Ī±n}nāN+ la successione delle cifre decimali di x (scegliendolo sviluppo innito nei casi di ambiguit aĢ). Si calcoli la misura di Lebesgue deiseguenti insiemi:(a) E = {x ā [0, 1] : Ī±n eĢ dispari per ogni n āN+ },(b) F = {x ā [0, 1] : Ī±n eĢ denitivamente dispari },(c) G = {x ā [0, 1] : Ī±n eĢ dispari per inniti indici n āN+ }.
1.6 Insieme di CantorPer rendersi conto di quanto la nozione di misurabilit` a secondo Lebesgue sia generale, edi quanto la misura esterna si discosti dallāidea intuitiva di āestensioneā di un insieme,eĢ utile considerare lāesempio che segue.Sia Ī¾ ā]0, 13 ]. Dallāintervallo [0, 1] togliamo i punti dellāintervallo aperto I 11 di centro12 e ampiezza Ī¾ ; dai due intervalli chiusi rimasti togliamo i due intervalli aperti I
21 , I 22
che hanno come centri i punti medi e ampiezza Ī¾ 2; dai quattro intervalli chiusi residuitogliamo i quattro intervalli aperti I 31 , I 32 , I 33 , I 34 con centri nei punti medi ed ampiezzaĪ¾ 3; al passo k-simo toglieremo dai 2kā1 intervalli chiusi residui le 2 kā1 parti centraliaperte di ampiezza Ī¾ k . Procedendo in questa maniera per ogni k ā N+ , cioĢ che restaāalla neā eĢ lāinsieme
C Ī¾ = [0, 1]\ā
k=1
2k ā 1
j =1
I k j ,
il quale eĢ chiuso, quindi misurabile; la sua misura eĢ (proposizione 1.4.9)
m(C Ī¾) = 1 āā
k=1
2k ā 1
j =1
Ī¾ k = 1 ā 12
ā
k=1
(2Ī¾ )k = 1ā3Ī¾ 1 ā2Ī¾
.
Si noti che C Ī¾ eĢ privo di punti interni: infatti per ogni k ā N+ esso non puoĢ contenereintervalli di ampiezza superiore a 2 āk (percheĢ con il solo passo k-simo si lasciano 2kintervalli disgiunti di uguale ampiezza che non ricoprono [0 , 1]: tale ampiezza quindi eĢminore di 2āk). In particolare, C Ī¾ eĢ totalmente sconnesso, cioeĢ la componente connessa
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1.7 ProprietaĢ della misura di LebesgueAnzitutto, deniamo la misura di Lebesgue in R:
Denizione 1.7.1 La funzione di insieme
m = mā|M : M ā [0, + ā]si chiama misura di Lebesgue.
Dalle proposizioni 1.3.2 e 1.4.9 segue che m eĢ monotona, numerabilmente additiva edinvariante per traslazioni, con m(ā ) = 0. Queste propriet` a (tranne lāinvarianza per tra-slazioni, legata alla geometria di R) saranno i requisiti richiesti per denire le misure inspazi astratti.Vediamo adesso come si comporta la misura di Lebesgue rispetto alle successioni mo-
notone di insiemi misurabili.Proposizione 1.7.2 Sia {E n}nāN una successione di insiemi misurabili.(i) Se E n ā E n +1 , allora
mnā
NE n = lim
nāām(E n ).
(ii) Se E n ā E n +1 e se esiste n0 āN tale che m(E n 0 ) < ā, allora
mnā
NE n = lim
nāām(E n ).
Dimostrazione (i) Poniamo
F 0 = E 0, F n +1 = E n +1 \ E n ān āN.Allora si ha
E N =N
n =0
F n ,nā
NE n =
nāN
F n ,
e gli F n sono misurabili e disgiunti. Quindi, usando la numerabile additivitaĢ di m,
mnā
NE n = m
nāN
F n =nā
Nm(F n ) = lim
N āā
N
n =0
m(F n ) =
= limN āā
m N
n =0
F n = limN āā
m(E N ).
(ii) Poniamo F n = E n 0 \E n per ogni n > n 0. Allora gli F n sono misurabili e F n ā F n +1 ;inoltreā
n = n 0
F n = E n 0 \ā
n = n 0
E n .
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Per (i) e per lāosservazione 1.4.6 abbiamo
m(E n 0 ) ām ā
n = n 0E n = m
ā
n = n 0F n =
= limnāā
m(F n ) = limnāā
[m(E n 0 ) ām(E n )] = m(E n 0 ) ā limnāām(E n ).Ne segue la tesi poicheĢ, ovviamente,
ā
n = n 0
E n =nā
NE n .
Osserviamo che lāipotesi che esista n0 āN tale che m(E n 0 ) < ā eĢ essenziale nellāenun-ciato (ii): se ad esempio E n = [n,ā
[, si ha E n
ā E n +1 , m(E n ) =
ā per ogni n, ma
lāintersezione degli E n , essendo vuota, ha misura nulla.Diamo ora unāimportante caratterizzazione degli insiemi misurabili: sono quegli insiemiE che differiscono poco, in termini di mā, sia dagli aperti (contenenti E ), sia dai chiusi(contenuti in E ).
Proposizione 1.7.3 Sia E un sottoinsieme di R. Sono fatti equivalenti:
(i) E ā M;(ii) per ogni Īµ > 0 esiste un aperto A ā E tale che mā(A \ E ) < Īµ ;(iii) esiste un boreliano B ā E tale che mā(B \E ) = 0 ;(iv) per ogni Īµ > 0 esiste un chiuso C ā E tale che mā(E \C ) < Īµ ;(v) esiste un boreliano D ā E tale che mā(E \D) = 0 .Dimostrazione Proveremo le due catene di implicazioni
(i) =ā (ii) =ā (iii) =ā (i), (i) =ā (iv ) =ā (v ) =ā (i).
(i) =ā (ii) Supponiamo dapprima m(E ) < ā. Per denizione di mā, ssato Īµ > 0esiste un ricoprimento {
I n
} di E fatto di intervalli aperti, tale che
nāN
(I n ) < m (E ) + Īµ,
cosiccheĢ, posto A = nāN I n , lāaperto A verica, per subadditivit`a numerabile,
m(A) < m (E ) + Īµ;
dal fatto che m(E ) < ā segue allora (osservazione 1.4.6)m(A \ E ) = m(A) ām(E ) < Īµ.
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Sia ora m(E ) = ā. Prendiamo un ricoprimento di R fatto di intervalli limitati edisgiunti: ad esempioI 2n = [2n, 2n + 2[ , I 2n +1 = [ā2n ā2, ā2n[ , n = 0, 1, 2, . . . .
Posto E n = E ā©I n , si ha m(E n ) < ā; quindi, per quanto gi aĢ dimostrato, esistono degliaperti An ā E n tali chem(An \ E n ) <
Īµ2n +1 ān āN.
Lāinsieme A = nāNAn eĢ un aperto contenente E , e poicheĢ
A \ E =nā
NAn \
kāN
E k ānā
N(An \ E n ),
si conclude chem(A \ E ) <
nāN
m(An \ E n ) < Īµ .(ii) =ā (iii) Per ogni n āN sia An un aperto contenente E , tale che
mā(An \ E ) < 1n + 1
;
lāinsieme B = nāN An eĢ un boreliano contenente E e si ha, per monotonia,
mā(B \E ) ā¤ mā(An \ E ) < 1n + 1 ān āN,
cioeĢ mā(B \E ) = 0.(iii) =ā (i) Scrivendo E = B \ (B \ E ), la tesi segue dal fatto che lāinsieme B eĢmisurabile percheĢ boreliano, mentre lāinsieme B \E eĢ misurabile avendo, per ipotesi,misura esterna nulla (proposizione 1.4.3). Dunque E eĢ misurabile.(i) =ā (iv) =ā (v) =ā (i) Queste implicazioni si dimostrano facilmente applicandoad E c gli enunciati gi aĢ dimostrati.
Le propriet aĢ (ii) ā (v) della proposizione precedente si sintetizzano dicendo che lamisura di Lebesgue eĢ una misura regolare .
Esercizi 1.71. Dimostrare che se E, F sono sottoinsiemi misurabili di R, si ha
m(AāŖB) + m(A ā©B) = m(A) + m(B).2. Si provi che per ogni successione {E n}nāN ā P (R) tale che E n ā E n +1 risulta
mānā
NE n = lim
nāāmā(E n ).
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[Traccia: una disuguaglianza eĢ banale. Per lāaltra, si pu` o supporre che sialimnāāmā(E n ) < ā; scelto un aperto An ā E n in modo che m(An ) < mā(E n ) +2ānā1Īµ, sia F n =
nk=0 Ak ; si mostri per induzione che m(F n ) < mā(E n ) +
Īµ nk=0 2ākā1. PoicheĢ m(F n ) āā m kāN Ak , se ne deduca che mā nāN E n ā¤limnāāmā(E n ) + Īµ.]3. Sia {E n} una successione di insiemi misurabili di R. Lāinsieme E degli x āR taliche x ā E n per inniti valori di n si chiama massimo limite della successione {E n}e si scrive E = lim sup nāāE n , mentre lāinsieme E degli x ā R tali che x ā E ndenitivamente si chiama minimo limite di {E n} e si scrive E = lim inf nāāE n .
(i) Si verichi che
lim supnāā
E n =ā
n =0
ā
m = n
E m , liminf nāā
E n =ā
n =0
ā
m = n
E m .
(ii) Si provi chem lim inf
nāāE n ā¤ lim inf nāām(E n ),
e che se m ( ān =0 E n ) < ā alloram lim sup
nāāE n ā„ limsupnāā
m(E n ).
(iii) Si mostri che la seconda disuguaglianza eĢ in generale falsa se m ( ān =0 E n ) =
ā.
(iv) Si verichi che liminf nāāE n ā lim supnāāE n e si provi che se la suc-cessione {E n} eĢ monotona rispetto allāinclusione, allora lim inf nāāE n =lim supnāāE n .4. Provare che se E ā MĢe un insieme di misura positiva, allora per ogni t ā [0, m(E )]esiste un insieme boreliano B t ā E tale che m(B t ) = t.5. Sia E un sottoinsieme di R. Si provi che esiste un boreliano B, intersezione
numerabile di aperti, che contiene E ed eĢ tale che m(B) = mā(E ).
6. Sia E un sottoinsieme di R con mā(E ) <
ā. Si provi che E eĢ misurabile secondo
Lebesgue se e solo se
mā(E ) = sup {m(B) : B ā B , B ā E }.Si mostri anche che se mā(E ) = ā lāenunciato precedente eĢ falso.
7. Sia E ā R un insieme tale che mā(E ) < ā. Si provi che E eĢ misurabile secondoLebesgue se e solo se per ogni Īµ > 0 esiste una famiglia nita di intervalli disgiuntiI 1, . . . , I N tali che
mā E N
i=1
I i < Īµ,
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ove A B = ( A \B)āŖ(B \A) eĢ la differenza simmetrica fra gli insiemi A, B āR.[Traccia: per la necessit aĢ, approssimare E con aperti dallāesterno e ricordare cheogni aperto eĢ unione al pi uĢ numerabile di intervalli disgiunti. Per la sufficienza:dapprima selezionare un aperto A ā E tale che m(A) < mā(E ) + Īµ; poi, postoF = A ā©
N i=1 I i , vericare che mā(F E ) < Īµ ; inne, utilizzando le inclusioni
A \ E ā (A \ F )āŖ(F \E ) e E ā F āŖ(E \F ), provare che mā(A \ E ) < 3Īµ.]
1.8 Un insieme non misurabileLa Ļ-algebra M degli insiemi Lebesgue misurabili eĢ molto vasta, ma non esaurisce laclasse di tutti i sottoinsiemi di R. Tuttavia, per esibire un insieme non misurabile nonsi puoĢ fare a meno del seguente
Assioma della scelta Per ogni insieme non vuoto X esiste una funzione di sceltaf : P (X ) \ {ā } ā X tale che f (E ) ā E per ogni E ā P (X ) \{ā }.In altre parole, lāassioma della scelta dice che eĢ possibile selezionare, per mezzo dellafunzione f , esattamente un elemento da ciascun sottoinsieme di X . La cosa sarebbebanale se X avesse cardinalit aĢ nita, e facile se X fosse numerabile (esercizio 1.8.5), maper insiemi di cardinalit`a piuĢ alta questa propriet` a non eĢ altrimenti dimostrabile.
Lāinsieme che andiamo a costruire fu introdotto da Vitali. Consideriamo in [0 , 1] larelazione di equivalenza
x y āā x āy āQ.Vi eĢ unāinnit`a piuĢ che numerabile di classi di equivalenza, ognuna delle quali contieneunāinnit aĢ numerabile di elementi. Costruiamo un insieme V prendendo, grazie allāas-sioma della scelta, esattamente un elemento da ciascuna classe di equivalenza: V eĢ unsottoinsieme pi uĢ che numerabile di [0, 1].Sia ora {q n}nāN una numerazione di Q ā© [ā1, 1], e sia V n = V + q n . Notiamo cheV n ā©V m = ā se n = m: infatti se x ā V n ā©V m allora x = a + q n = b + q m con a, b ā V ;di qui segue a ā b = q m ā q n ā Q, da cui (per come eĢ stato costruito V ) a = b. Nededuciamo q n = q m , ed inne n = m. Notiamo anche che valgono le inclusioni
[0, 1] āā
n =0
V n ā [ā1, 2],
e quindi, per la monotonia di mā,
1 ā¤ māā
n =0
V n ā¤ 3.
Se V fosse misurabile secondo Lebesgue, anche i suoi traslati V n sarebbero misurabilied avrebbero la stessa misura; per lāadditivit` a numerabile di m si ricaverebbe
mā
n =0
V n =ā
n =0
m(V n ) =ā
n =0
m(V ) = 0 se m(V ) = 0+ ā se m(V ) > 0,22
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e cioĢ contraddice il fatto che la misura di ān =0 V n eĢ compresa fra 1 e 3. Pertanto V nonpuoĢ essere misurabile.
Esercizi 1.81. Dimostrare che per ogni Ī» ā]0, + ā] esiste un sottoinsieme U ā [0, ā[, nonmisurabile secondo Lebesgue, tale che mā(U ) = Ī».2. Dato un insieme misurabile E ā R di misura positiva, si provi che esiste unsottoinsieme W ā E che non eĢ Lebesgue misurabile.3. Sia V n = V + q n , come nella costruzione dellāinsieme non misurabile di Vitali.
Posto E n = ām = n V m , si provi che
mā(E n ) < ā, E n ā E n +1 ān āN, limnāāmā(E n ) > mā ān =0 E n .
4. Siano V, W sottoinsiemi di R non misurabili, disgiunti e tali che V āŖ W siamisurabile. Si provi che se m(V āŖW ) < ā alloram(V āŖW ) < mā(V ) + mā(W ).
5. Dato un insieme numerabile X , si costruisca una funzione di scelta per X .
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Capitolo 2
Misure
2.1 Spazi misuratiLa misura di Lebesgue eĢ il modello concreto a cui si ispira la nozione astratta di misurache stiamo per introdurre. Lo studio delle misure astratte ha svariate applicazioni inanalisi funzionale, in probabilit`a, in calcolo delle variazioni ed in altri campi ancora.
Denizione 2.1.1 Uno spazio misurabile eĢ una coppia (X, F ), ove X eĢ un insieme e F eĢ una Ļ-algebra di sottoinsiemi di X . I sottoinsiemi di X che appartengono a F si dicono misurabili .Uno spazio misurato eĢ una terna (X, F , Āµ), ove X eĢ un insieme, F eĢ una Ļ-algebra di sottoinsiemi di X , e Āµ : F ā [0, ā] eĢ una misura, ossia una funzione di insieme tale che (i) Āµ(ā ) = 0 ,
(ii) se {E n}nāN ā F eĢ una successione di insiemi disgiunti, allora
Āµnā
NE n =
nāN
Āµ(E n ).
Lo spazio misurato si dice completo, e la misura Āµ si dice completa , se ogni sottoinsieme di un insieme di
F di misura nulla eĢ a sua volta in
F (ed ha misura nulla, come seguir`a
dalla proposizione 2.1.4).Lo spazio misurato si dice nito, e la misura Āµ si dice nita , se si ha Āµ(X ) < +ā;si dice Ļ-nito, e Āµ si dice Ļ-nita , se X eĢ unione numerabile di insiemi misurabili di misura nita.
Osservazione 2.1.2 Se nella denizione 2.1.1 si sceglie in (ii) E n = ā per ogni n āN,si deduce che Āµ(ā ) = 0 oppure Āµ(ā ) = + ā. Dunque la condizione (i) non eĢ in generaleconseguenza di (ii).Vediamo qualche esempio.
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Esempi 2.1.3 (1) (R, M, m) eĢ uno spazio misurato completo e Ļ-nito. Parimenti,(R, B , m|B) eĢ uno spazio misurato; esso eĢ ancora Ļ-nito ma non eĢ completo, percheĢnon tutti i sottoinsiemi di un boreliano di misura nulla sono boreliani, come vedremopiuĢ in laĢ. La misura m|B eĢ detta misura di Borel .(2) Se A āR eĢ un insieme misurabile secondo Lebesgue, la funzione Ī»(E ) = m(A ā©E )eĢ una misura su M; (R, M, Ī») eĢ uno spazio misurato Ļ-nito, ed eĢ nito se e solose m(A) < ā. Tutti gli insiemi disgiunti da A hanno misura nulla, quindi in generalequesto spazio misurato non eĢ completo. Si dice che la misura Ī» eĢ concentrata sullāinsiemeA.
(3) (Misura di Lebesgue-Stieltjes) Sia g : R āā R una funzione crescente e continua asinistra, cioeĢ tale che lim xāxā0 g(x) = g(x0) per ogni x0 ā R. Ripetiamo la proceduraseguita per costruire la misura di Lebesgue su R, con lāunica differenza di attribuire agliintervalli una diversa lunghezza: precisamente, deniamo la lunghezza lg sugli intervalliaperti a destra, ponendo
lg([a, b[) = g(b) āg(a),e convenendo di porre g(Ā±ā) = lim xāĀ±āg(x).Poi introduciamo la misura esterna Āµāg su P (R) in analogia con il caso di mā, cioeĢdenendo
Āµāg(E ) = inf nā
Nlg(I n ) : E ā
nāN
I n , I n intervalli aperti a destra .
Dopo aver provato, in perfetta analogia con il caso di mā, che Āµāg eĢ monotona e nume-rabilmente subadditiva, si introduce la classe Mg degli insiemi Āµg-misurabili:
Mg = {E āR : Āµāg(A) = Āµāg(A ā©E ) + Āµāg(A ā©E c) āA āR}.Si verica, come per il caso della misura di Lebesgue, che Mg eĢ una Ļ-algebra contenentei boreliani, ed inne si denisce la misura di Lebesgue-Stieltjes Āµg come la restrizionedi Āµāg alla classe Mg. Si dimostra allora, senza modiche rispetto al caso di m, che(R, Mg, Āµg) eĢ uno spazio misurato completo e Ļ-nito (eĢ nito se e solo se la funzioneg eĢ limitata su R).Questa stessa costruzione si pu`o fare in un ssato intervallo [a, b] āR per ogni funzioneg : [a, b[
āR crescente e continua a sinistra (e non eĢ restrittivo supporre che g(a) = 0):
la corrispondente misura di Lebesgue-Stieltjes sar` a nita quando lim tābā g(t) < +ā,mentre sar aĢ Ļ-nita allorcheĢ tale limite vale + ā. Nel primo caso, ponendo Āµg({b}) = 0,la misura Āµg viene estesa a tutto [ a, b], o piuĢ precisamente alla Ļ-algebra Mg ā P ([a, b])denita daMg = Mg āŖ{E āŖ{b} : E ā Mg}.
Ritroveremo questa famiglia di misure pi`u avanti nel corso.
(4) Sia X un insieme innito, e poniamo per ogni E ā P (X )n(E ) = #( E ) se E eĢ un insieme nito+
ā se E eĢ un insieme innito ,
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ove #( E ) denota la cardinalit`a di E . Si ottiene cosĢı lo spazio misurato ( X, P (X ), n),che eĢ completo; esso inoltre eĢ Ļ-nito se e solo se X eĢ numerabile.(5) (Misura di Dirac) Sia X un insieme non vuoto, sia x ā X . Per ogni E ā P (X )poniamo
Ī“ x (E ) = 0 se x /ā E 1 se x ā E.
Lo spazio misurato ( X, P (X ), Ī“ x ) eĢ completo e nito.(6) Uno spazio misurato ( X, F , Āµ) tale che Āµ(X ) = 1 si chiama spazio probabilizzato, lamisura Āµ si chiama probabilitaĢ e gli elementi di F sono gli eventi . Il numero Āµ(E ) ā [0, 1]eĢ la probabilit`a che lāevento E si realizzi; se in particolare Āµ(E ) = 1 si dice che lāeventoE eĢ vericato quasi certamente .
(7) Sia
{an
}n
ā
N una successione di numeri non negativi. Per ogni E
ā P (N) sia
Ī½ (E ) =nāE
an .
Lo spazio misurato ( N, P (N), Ī½ ) eĢ completo e Ļ-nito; eĢ nito se e solo se la serienā
N an eĢ convergente. In tal caso, se si normalizza la successione {an} ponendo pn =
ankā
N ak,
la misura Āµ(E ) = nāE pn eĢ una probabilitaĢ discreta .
(8) Sia X un insieme piuĢ che numerabile, e sia
F = {E ā X : E, oppure E c, eĢ numerabile };si verica subito che F eĢ una Ļ-algebra. Per E ā F poniamo
Āµ(E ) = 0 se E eĢ numerabile+ ā se E c eĢ numerabile .EĢ facile vericare che Āµ eĢ una misura; lo spazio misurato ( X, F , Āµ) eĢ completo ma nonĻ-nito.Si estendono al caso astratto le tipiche propriet` a dimostrate nel caso della misura diLebesgue. In particolare:
Proposizione 2.1.4 Sia (X, F , Āµ) uno spazio misurato. Allora Āµ eĢ monotona su F ,cioeĢ Āµ(E ) ā¤ Āµ(F ) per E, F ā F ed E ā F .Dimostrazione Essendo F = E āŖ(F \E ), la tesi segue dallāadditivit`a e positivit aĢ diĀµ.Proposizione 2.1.5 Sia (X, F , Āµ) uno spazio misurato e sia {E n}nāN ā F .
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(i) Se E n ā E n +1 per ogni n, allora
Āµ nāNE n = limnāāĀµ(E n ).
(ii) Se E n ā E n +1 per ogni n, ed esiste n0 āN tale che Āµ(E n 0 ) < ā, allora
Āµnā
NE n = lim
nāāĀµ(E n ).
Dimostrazione Come nel caso della misura di Lebesgue (proposizione 1.7.2).
Esercizi 2.11. Sia (X, F , Āµ) uno spazio misurato non completo. Si consideri la famiglia F 0 deisottoinsiemi di X della forma AāŖB, ove A ā F e B eĢ sottoinsieme di un opportunoinsieme B0 ā F (variabile al variare di B) avente misura nulla. Si provi che F 0 eĢuna Ļ-algebra; si denisca poi
Āµ0(AāŖB) = Āµ(A) āE = AāŖB ā F 0 :si verichi che Āµ0 eĢ ben denita, che Āµ0|F = Āµ, che Āµ0 eĢ una misura su F 0 e che(X, F 0, Āµ0) eĢ uno spazio misurato completo. Si mostri inoltre che se ( X, F , Āµ) eĢĻ-nito, anche ( X,
F 0, Āµ0) eĢ Ļ-nito.
2. Sia X un insieme piuĢ che numerabile, sia F la Ļ-algebra dellāesempio 2.1.3 (8), edeniamo per E ā F Āµ(E ) = 0 se E eĢ numerabile1 se E c eĢ numerabile .
Si provi che (X, F , Āµ) eĢ uno spazio misurato completo e nito.3. Sia {Āµn} una successione di misure denite su una Ļ-algebra F , tale che Āµn (E ) ā¤Āµn +1 (E ) per ogni n āN e per ogni E ā F . Si provi che la funzione
Āµ(E ) = limnāāĀµn (E ) āE ā F eĢ una misura su F .
4. Sia X un insieme e sia {X n} una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di X la cuiunione eĢ X . Per ogni n āN sia F n una Ļ-algebra di sottoinsiemi di X n . Posto
F =nā
NE n : E n ā F n ,
si provi che F eĢ una Ļ-algebra di sottoinsiemi di X .27
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5. Sia (X, F , Āµ) uno spazio misurato. Se A, B,C sono elementi di F con A ā C eB ā C , e se Āµ(A) = Āµ(C ) < ā, si mostri cheĀµ(A ā©B) = Āµ(B).
6. Sia (X, F , Āµ) uno spazio misurato nito. Deniamo su F la relazioneE F āā Āµ(E F ) = 0 ,
ove E F = ( E \ F ) āŖ (F \ E ) eĢ la differenza simmetrica fra E ed F denitanellāesercizio 1.7.7.(i) Si verichi che eĢ una relazione di equivalenza.(ii) Posto Ī =
F /
, si provi che
d(E, F ) = Āµ(E F )eĢ una distanza su Ī.
(iii) Si dimostri che (Ī, d) eĢ uno spazio metrico completo.
[Traccia: per (iii), data una successione di Cauchy {E n} ā Ī, si provi che perunāopportuna sottosuccessione {E n k } si ha Āµ(E m E n k ) < 2āk per ogni m > n k ,e se ne deduca che Āµ(E n k E ) āā 0 per k āā ā, ove E = limsup kāāE n k (v.esercizio 1.7.3); a questo scopo, pu oĢ essere utile notare che
āk= m (E n k \ E n h ) ā(E n m
\E n h )
āŖ
āk= m +1
(E n k \
E n k ā 1 ).]
7. Per ogni n āN sia
E n = z = re iĪøāC : 0 ā¤ r ā¤ 1, Īø /ā
kāZ
](sn + 2k)Ļ, (sn +1 + 2k)Ļ[ ,
ove s0 = 0, sn = nk=11k . Determinare gli insiemi lim sup nāāE n e liminf nāāE n .
8. Si provi che non si puoĢ costruire alcuna misura su R in modo che valgano lepropriet aĢ 1, 2, 3 e 4 del paragrafo 1.2.
9. Sia Āµ : M ā [0, ā] una misura tale che:(i) Āµ([0, 1]) = Ī» ā [0, + ā[, (ii) Āµ eĢ invariante per traslazioni.
Si provi che Āµ = Ī»m , ove m eĢ la misura di Lebesgue.
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2.2 Misura di Lebesgue in RN
Per denire la misura di Lebesgue in RN occorre ripetere la procedura svolta nel Capitolo1 e riassunta nellāesempio 2.1.3 (3). Si denisce anzitutto il volume N -dimensionale deiparallelepipedi R = N i=1 I i , ove gli I i sono intervalli di R:
vN (R) =N
i=1
(I i),
con la convenzione che 0 Ā·ā = 0, necessaria ad attribuire volume nullo, ad esempio, aisottospazi k-dimensionali di RN .Poi si introduce la misura esterna N -dimensionale māN di un arbitrario insieme E āRN :
māN (E ) = inf nā
NvN (Rn ) : E
ānāNRn , Rn parallelepipedi aperti .
Si osserva che la denizione di māN non cambia se i ricoprimenti sono fatti con paralle-lepipedi qualsiasi anzicheĢ aperti, e si verica che māN estende vN , ed eĢ monotona, nullasullāinsieme vuoto, numerabilmente subadditiva ed invariante per traslazioni.A questo punto si introduce la classe MN degli insiemi misurabili:
MN = {E āRN : māN (A) = māN (A ā©E ) + māN (A ā©E c) āA āRN },la quale eĢ una Ļ-algebra contenente i parallelepipedi, e quindi anche gli aperti ed ichiusi. Dunque MN contiene la Ļ-algebra B N dei boreliani di RN .Si denisce inne la misura di Lebesgue in RN come la restrizione di māN a
MN :
mN (E ) = māN (E ) āE ā MN ,e si dimostra che mN eĢ numerabilmente additiva. Quindi ( RN , MN , mN ) eĢ uno spaziomisurato che risulta completo e Ļ-nito. Tutte queste cose si provano esattamente comenel caso della misura di Lebesgue unidimensionale.Ritroveremo poi la misura mN come āmisura prodottoā di N copie della misura diLebesgue m, e cioĢ ci permetter aĢ di dare una formula per il calcolo degli integrali multiplicome integrali semplici iterati.
Esercizi 2.21. Si denisca
R = {E ĆF : E, F ā M}.(i) Si verichi che Rnon eĢ unāalgebra, ma che la famiglia Acostituita dalle unioninite di elementi di R lo eĢ.(ii) Detta M Ć M la Ļ-algebra generata da A (ossia la minima Ļ-algebra checontiene A), si provi che se A ā MĆM allora
{x āR : (x, y) ā A} ā M āy āR,{y āR : (x, y) ā A} ā M āx āR.
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(iii) Si provi che la Ļ-algebra MĆM eĢ contenuta propriamente in M2.2. Dimostrare che
māN (tE ) = tN māN (E ) āE āRN , āt ā„ 0.
2.3 Misure esterne di Hausdorff La misura di Lebesgue in RN non fa distinzioni fra i suoi sottoinsiemi misurabili di mi-sura nulla: un iperpiano ( N ā1)-dimensionale, il sostegno di una curva, una k-variet aĢsono tutti insiemi ātrascurabiliā rispetto a mN . Le misure di Hausdorff H p (ove p > 0)permettono invece di ācatalogareā gli insiemi di misura nulla attribuendo loro una ādi-mensioneā che pu oĢ essere intera (1 per il sostegno di una curva, k per le k-variet aĢ) od
anche non intera nel caso di certi insiemi frattali (esempio 2.5.3).Come la misura di Lebesgue, le misure di Hausdorff si costruiscono tramite i ricopri-menti: tuttavia la nozione base non eĢ quella di volume, ma quella di diametro di uninsieme.
Denizione 2.3.1 Se E āRN , il diametro di E eĢ il numero (eventualmente +ā)diam E = 0 se E = ā sup{|x āy|N : x, y ā E } se E = ā .
Per denire le misure di Hausdorff bisogna ancora una volta cominciare dalle misureesterne. Siano p, Ī“ > 0 e consideriamo per ogni E āRN le quantit`a
H ā p,Ī“(E ) = inf nā
N(diam U n ) p : E ā
nāN
U n , U n aperti , diam U n < Ī“ .
Per misurare bene gli insiemi āfrastagliatiā quelli che contano sono i ricoprimenti condiametri piccoli: infatti pi`u Ī“ eĢ piccolo, piuĢ la quantit`a H ā p,Ī“(E ) eĢ grande, essendolāestremo inferiore di un insieme pi uĢ piccolo. La valutazione āottimaleā della misura diE si otterr aĢ al limite per Ī“ āā 0+ (vedere anche lāesercizio 2.3.5).Denizione 2.3.2 Sia p > 0. La misura esterna di Hausdorff H ā p(E ) eĢ la quantit`a
H ā p (E ) = limĪ“ā0+ H ā p,Ī“(E ) = supĪ“> 0 H ā p,Ī“(E ) āE āRN .
Si noti che, in effetti, la denizione di H ā p dipende anche da N , cioeĢ dalla dimensionedello spazio ambiente, percheĢ coinvolge lāuso di aperti di RN ; dāaltronde questo fattoeĢ irrilevante, nel senso che le misure esterne di Hausdorff di indice p costruite su RN e su RM coincidono per p ā¤ min{N, M } (esercizio 2.3.2). Nel seguito, comunque,prenderemo in considerazione solo i sottoinsiemi di RN , con N ssato.Come conseguenza immediata della denizione si ha:
Proposizione 2.3.3 Sia p > 0. Allora:
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(i) H ā p (E ) ā„ 0 āE āRN ;(ii) H ā p (ā ) = H ā p ({x}) = 0 āx āRN ;(iii) H ā p eĢ monotona.
Dimostrazione (i) Evidente.(ii) Un ricoprimento di ā e di {x} eĢ la famiglia costituita dalla sola palla B(x, Ī“3 ) il cuidiametro eĢ minore di Ī“ ; dunque
limĪ“ā0+
H ā p,Ī“(ā ) = limĪ“ā0+H ā p,Ī“({x}) = 0 .
(iii) Se E ā F , ogni ricoprimento che concorre a denire H ā p,Ī“(F ) concorre anche adenire H ā p,Ī“(E ); quindi H ā p,Ī“(E ) ā¤ H ā p,Ī“(F ) per ogni Ī“ > 0, da cui H ā p(E ) ā¤ H ā p (F ).Proposizione 2.3.4 Sia p > 0. Allora:
(i) H ā p (E + x) = H ā p (E ) āx āRN , āE āRN ;(ii) H ā p (tE ) = t pH ā p(E ) āt > 0, āE āRN .Dimostrazione Si verica facilmente che
H ā p,Ī“(E + x) = H ā p,Ī“(E ), H ā p,Ī“(tE ) = t pH ā p, Ī“t (E ) āĪ“ > 0,
da cui la tesi per Ī“ āā 0+ .Si verica inoltre (esercizio 2.3.4) che la denizione di H ā p(E ) non cambia se i ricopri-menti di E si prendono qualsiasi, anzicheĢ costituiti da aperti. Inne:
Proposizione 2.3.5 Sia p > 0. Allora H ā p eĢ numerabilmente subadditiva.
Dimostrazione Si prova, esattamente come per la misura esterna di Lebesgue, che
H ā p,Ī“nā
NE n ā¤
nāN
H ā p,Ī“(E n ) ā{E n}nāN ā P (RN );
osservando poi che
H ā p,Ī“(E ) ā¤ H ā p (E ) āĪ“ > 0, āE āRN ,al limite per Ī“ āā 0+ si ha la tesi.
Esercizi 2.31. Siano A, B sottoinsiemi di RN . Si provi che se A ā©B = ā , allora
diam AāŖB ā¤ diam A + diam B.
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2. Siano N, M ā N+ con N < M , e sia p ā¤ N . Si provi che per ogni sottoinsiemeE ā RN le misure esterne di Hausdorff di indice p costruite su RN e su RM coincidono.3. Si provi che per ogni p > 0 i sottoinsiemi numerabili di RN hanno misura esterna
H ā p nulla.
4. Si provi che la quantit aĢ H ā p (E ) non cambia se si considerano ricoprimenti di Ecostituiti da insiemi arbitrari anzicheĢ aperti.[Traccia: indicando con H ā p,Ī“(E ) la quantit`a ottenuta con lāuso di ricoprimentifatti di insiemi arbitrari, si osservi che H ā p,Ī“(E ) ā„ H ā p,Ī“(E ); dāaltra parte, se {V n}eĢun arbitrario ricoprimento di E con 0 < diam V n < Ī“ e tale che nāN(diam V n ) p <H ā p,Ī“(E ) + Ī“ , si consideri lāaperto U n,k = {x āRN : dist(x, V n ) < 1k } e si provi cheper k = kn opportuno si ha diam U n,k n
ā¤ ((diam V n ) p + 2 ānā1Ī“ )1/p . Pertanto il
ricoprimento aperto {U n,k n } eĢ tale che nāN(diam U n,k n ) p ā¤ H ā p,Ī“(E ) + 2 Ī“ ); se nededuca la tesi. ]5. Si consideri la denizione di H ā p,Ī“ nel caso p = 0, con lāavvertenza di porre H ā0,Ī“(ā ) =0 e di prendere ricoprimenti niti o numerabili, ma con aperti non vuoti. Si
descriva la misura esterna H ā0 .
6. Sia
H ā p(E ) = inf nā
N(diam U n ) p : E ā
nāN
U n ;
si provi che H ā p (E ) ā„ H ā p(E ) per ogni E ā RN , ma che in generale non valelāuguaglianza.7. Dimostrare che H ā1 (E ) = mā(E ) per ogni E āR.[Traccia: si verichi che mā(E ) ā¤ H ā1 (E ). Per provare lāaltra disuguaglianza siconsideri dapprima il caso in cui E eĢ un intervallo limitato, e poi si passi al caso
generale usando la numerabile subadditivit` a di H ā1 .]
8. Siano E, F āRN tali chedist( E, F ) = inf {|x āy|N : x ā E, y ā F } > 0.
Si provi cheH ā p(E āŖF ) = H ā p(E ) + H ā p (F ).
[Traccia: si provi che vale lāuguaglianza per la funzione H ā p,Ī“ , non appena Ī“ eĢsufficientemente piccolo.]
9. Sia S il segmento di estremi x, y, con x, y āRN ssati. Si provi che
H ā p (S ) =0 se p > 1
|x āy|N se p = 1+ ā se 0 < p < 1.
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Dimostrazione Ogni parallelepipedo P ā RN puoĢ scriversi come unione numerabiledi parallelepipedi chiusi e limitati; quindi basta provare che ogni parallelepipedo chiusoe limitato, dunque del tipo P = N i=1 [a i , bi], appartiene a
H p. Poniamo
P n =N
i=1
a i ā 1n + 1
, bi + 1n + 1
, n āN,
e sia A un insieme test. Occorre provare la disuguaglianza
H ā p (A) ā„ H ā p (A ā©P ) + H ā p (A ā©P c),che eĢ ovvia se H ā p (A) = ā; supporremo quindi H ā p(A) < ā.Notiamo che, detto An = A ā©P cn , si ha
An ā An +1 , dist(An , P ) > 0 ān āN, nāNAn = A ā©P c.
Dunque, per la monotonia di H ā p e per lāesercizio 2.3.8,
H ā p (A) ā„ H ā p ((A ā©P )āŖAn ) = H ā p (A ā©P ) + H ā p(An ) ān āN,da cui, essendo An ā An +1 per ogni n,
H ā p(A) ā„ H ā p (A ā©P ) + limnāāH ā p (An ).
Mostriamo che limnāā
H ā p (An ) ā„ H ā p (A ā©P c);cioĢ proveraĢ la relazione
H ā p (A) ā„ H ā p (A ā©P ) + H ā p (A ā©P c),e quindi la tesi.Poniamo Dn = An +1 \ An : allora per ogni n āN si ha lāuguaglianza
A ā©P c = AnāŖā
k= n
Dk ,
e dunque, per la numerabile subadditivit` a di H ā p ,
H ā p(A ā©P c) ā¤ H ā p (An ) +ā
k= n
H ā p(Dk) ān āN.
Vericheremo fra poco che la serie āk=0 H ā p (Dk) eĢ convergente; quindi passando allimite per n ā ā si ricavaH ā p (A ā©P c) ā¤ limnāāH ā p (An ),
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come si voleva.Proviamo la convergenza della serie
āk=0 H ā p(Dk): scriviamo
m
k=0
H ā p(Dk) =[m2 ]
k=0
H ā p (D2k) +[m ā 12 ]
k=0
H ā p (D2k+1 ), m āN,
ed osserviamo che dist( Dk , Dk+2 ) > 0 per ogni k ā N. Quindi utilizzando nuovamentelāesercizio 2.3.8 otteniamo[m2 ]
k=0
H ā p(D2k) = H ā p
[m2 ]
k=0
D2k ,[m ā 12 ]
k=0
H ā p (D2k+1 ) = H ā p
[m ā 12 ]
k=0
D2k+1 .
Essendo inoltre
[m2 ]
k=0
D2k āŖ
[m ā 12 ]
k=0
D2k+1 =m
k=0
Dk ā Am +1 ā A,
si deduce nalmente che mk=0 H ā p (Dk) ā¤ H ā p (A) < ā.La misurabilit aĢ del parallelepipedo P eĢ completamente dimostrata.Esercizi 2.4
1. Sia Ļ : [a, b] āāRN una curva semplice di classe C 1 con sostegno Ī. Si provi cheĪ ā H1 e che H 1(Ī) = (Ī).[Traccia: si osservi anzitutto che Ī eĢ chiuso, quindi Ī ā H1. Per provare ā„,ssato Ī“ > 0 si mostri che se Ļ : a = t0 < t 1 < . . . < t m = b eĢ una suddivisione di[a, b] sufficientemente ne, allora si ha |Ļ(t i) āĻ(t iā1)|N < Ī“ e, per ogni i, la pallaB i di centro Ļ(t i )+ Ļ(t i ā 1 )2 e diametro |Ļ(t i) āĻ(t iā1)|N contiene Ī i = Ļ([t iā1, t i]).Se ne deduca che se Ī“ eĢ piccolo si ha H 1,Ī“(Ī) ā¤ (Ī). Per provare ā¤, ssatoĪµ > 0 si determini Ī“ > 0 ed un ricoprimento {U n} di Ī con diam U n < Ī“ , taleche n diam U n < H 1(Ī) + Īµ. Si estragga un opportuno sottoricoprimento nito{U n 1 , . . . , U n m } e si costruisca una suddivisione Ļ : a = t0 < t 1 < . . . < t m = b taleche
mi=1 |Ļ(t i)āĻ(t iā1)|N ā¤
mi=1 diam U n i ; si concluda, utilizzando la continuit`adi Ļ , che se Ī“ eĢ sufficientemente piccolo si ha (Ī) ā¤ H 1(Ī) + 2 Īµ.]
2.5 Dimensione di Hausdorff Analizziamo adesso il comportamento di H ā p al variare di p > 0. Notiamo anzituttoche, per lāesercizio 2.3.11, H āN + Īµ(E ) = 0 per ogni E ā RN e per ogni Īµ > 0; quindi ciinteressano i valori di p compresi fra 0 e N .Proposizione 2.5.1 Sia E āRN e sia p ā]0, N ]. Risulta:
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(i) se H ā p (E ) < ā, allora H āq (E ) = 0 per ogni q ā] p, N ];(ii) se H ā p(E ) > 0, allora H āq (E ) = ā per ogni q ā]0, p[ .Dimostrazione Sia {U n} un ricoprimento aperto di E . Se s > r > 0 e se diam U n < Ī“ si ha
nāN
(diam U n )s < Ī“ sārnā
N(diam U n )r ,
cosiccheĢH ās,Ī“ (E ) ā¤ Ī“ sār H ār,Ī“ (E ) ās > r > 0.
I due enunciati seguono allora facilmente, scegliendo r = p e s = q nel primo caso, r = q e s = p nel secondo.
Dunque, per ogni E ā RN la funzione p ā H ā p (E ) ādecresceā con p, nel senso che, senon eĢ identicamente H ā p(E ) = 0, esiste p0 ā]0, N ] tale che
H ā p(E )= ā se 0 < p < p 0ā [0, ā] se p = p0= 0 se p > p0.
Questo comportamento di H ā p ci induce alla seguente
Denizione 2.5.2 Si chiama dimensione di Hausdorff di un sottoinsieme E di RN , e si indica con dimH (E ), il numero
dimH (E ) = inf
{ p > 0 : H ā p (E ) = 0
}.
Ovviamente, la dimensione di Hausdorff di un sottoinsieme di RN eĢ compresa fra 0 e N (estremi inclusi).
Esempio 2.5.3 Calcoliamo la dimensione di Hausdorff dellāinsieme di Cantor C =C 1/ 3 ā R introdotto nel paragrafo 1.6. Anzitutto osserviamo che si ha C = C 1āŖC 2,con C 1 e C 2 ācopieā di C rimpicciolite di un fattore 13 : precisamente si ha C 1 = 13 C e C 2 = C 1 + 23 . Per la proposizione 2.3.4(ii) si deduce H p(C ) = H p(C
1) + H p(C 2) =2
3p H p(C ), e quindi se H p(C ) ā]0, ā[ deve essere 23p = 1, cioeĢ p = log2log3 .Poniamo allora d = log 2log 3 . Proveremo che d eĢ davvero la dimensione di Hausdorff di C facendo vedere che H d(C ) = 1.
Sia Ī“ > 0: poicheĢ dist( C 1, C 2) > 0, risulta per omotetia e traslazione
H ād,Ī“/ 3(C ) = H ād,Ī“/ 3(C 1) + H ād,Ī“/ 3(C
2) =
= H ād,Ī“/ 3(13
C ) + H ād,Ī“/ 3(C 1 +
23
) =
= 13d
H ād,Ī“ (C ) + 13d
H ād,Ī“ (C ) = H ād,Ī“ (C ).
CioĢ implica che la quantit`a H ād,Ī“ (C ) non dipende da Ī“ , e pertanto
H d(C ) = limĪ“ā0+
H ād,Ī“ (C ) = H ād,1(C ).
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Scegliendo il ricoprimento costituito dal singolo aperto ] āĪµ, 1 + Īµ[ si vede immediata-mente che H ād,1(C ) ā¤ 1 + 2Īµ per ogni Īµ > 0: si conclude che H d(C ) ā¤ 1.Dimostriamo che H d(C ) ā„
1. A questo scopo, sia Ī“ > 0. Fissato Īµ > 0, esiste unricoprimento aperto {U n}nāN di C tale che
diam( U n ) < Ī“ ān āN,ā
n =0
(diam( U n ))d < H ād,Ī“ (C ) + Īµ.
Andiamo a costruire un ricoprimento aperto nito {W 1, . . . , W N } di C (con diam(W i)non necessariamente minore di Ī“ ), tale che
1 ā¤N
i=1
(diam( W i))d ā¤ā
n =0
(diam( U n ))d.
Fatto ci oĢ, la tesi si otterr aĢ osservando che
1 āĪµ ā¤ā
n =0
(diam( U n ))d āĪµ < H ād,Ī“ (C ) ā¤ H d(C ) āĪµ > 0.
Per costruire i W i , anzitutto estraiamo da {U n}nāN, per compattezza, un sottoricopri-mento nito {U 1, . . . , U h}; si puoĢ anche supporre che esso sia minimale, nel senso che,togliendo uno degli U j , gli altri non ricoprono pi uĢ C . Consideriamo lāaperto U 1 ā©U 2: seesso eĢ non vuoto, sostituiamo la coppia {U 1, U 2} con il singolo aperto V 1 = U 1āŖU 2. Siha allora, essendo 0 < d < 1,(diam( V 1))d ā¤ (diam( U 1) + diam( U 2))d ā¤ (diam( U 1))d + (diam( U 2))d;
iterando questo argomento con la coppia {V 1, U 3}, e cosĢı via, si genera un nuovoricoprimento nito {V 1, . . . , V N } di C , fatto di aperti disgiunti , tale cheN
k=1
(diam( V k))d ā¤ā
n =0
(diam( U n ))d.
Adesso osserviamo che lāaperto
N k=1 V k contiene C , e che C =
āk=0 C k , ove C k eĢ
cioĢ che resta dopo il k-simo passo nella costruzione dellāinsieme di Cantor: ricordiamoche C k =
2k j =1 J k j , ove gli J kJ sono intervalli chiusi disgiunti, di ampiezza 3 āk , tali che
dist( J k j , J k j +1 ) ā„ 3āk ; in particolare si ha C k ā C k+1 per ogni k āN.Un facile ragionamento mostra che deve esistere Ī½ ā N tale che N k=1 V k ā C Ī½ . PoicheĢC Ī½ ha 2Ī½ componenti connesse, e gli aperti V k sono disgiunti, ciascuna componenteconnessa di C Ī½ deve essere coperta da un singolo V k , cosiccheĢ si ha necessariamenteN ā¤ 2Ī½ .Dāaltra parte, se un ssato V k ricopre J Ī½ j āŖJ Ī½ j +1 , si avraĢ in particolare
diam( V k) ā„ diam(J Ī½ j ) + diam( J Ī½ j +1 ) + dist( J Ī½ j , J Ī½ j +1 ) ā„ 31āĪ½ .
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Sostituiamo allora V k con una coppia di aperti disgiunti W 1 e W 2, tali che
W 1
ā J Ī½ j , W 2
ā J Ī½ j +1 , diam(W 1) < 3āĪ½ + Ļ, diam(W 2) < 3āĪ½ + Ļ,
ove Ļ > 0 eĢ scelto in modo che si abbia
(diam( W 1))d + (diam( W 2))d < (diam( V k))d :
cioĢ eĢ possibile poicheĢ, scelto Ī· ā]0, diam( V k) ā31āĪ½ [ , si verica facilmente che vale larelazione(diam( W 1))d + (diam( W 2))d < 2(3āĪ½ + Ļ)d < (31āĪ½ + Ī·)d < (diam( V k))d
pur di prendere Ļ ā]0, 2ā1/d Ī·[ .In questo modo si rimpiazzano tutti gli aperti V k che contengono piuĢ di un intervalloJ Ī½ j . Si ottiene cosĢı una famiglia {W 1, . . . , W M } di aperti disgiunti, tali che
M
h=1
(diam( W h ))d ā¤N
k=1
(diam( V k))d ā¤ā
n =0
(diam( U n ))d.
Inoltre, dato che ognuno dei W h contiene esattamente uno dei J Ī½ j , deve essere M = 2Ī½ ;pertanto
2Ī½
h=1
(diam( W h ))d ā„2Ī½
h=1
(diam( J Ī½ j ))d =
2Ī½
h=1
3ādĪ½ = 2 Ī½ 3ādĪ½ = 1 .
CioĢ prova che ā
n =0
(diam( U n ))d ā„2Ī½
h=1
(diam( W h ))d ā„ 1e quindi, come si eĢ osservato, si ha H d(C ) ā„ 1.
Esercizi 2.51. Si provi che per ogni E āRN si ha
dimH (E ) = 0 se H ā p(E ) = 0 ā p > 0,sup{ p > 0 : H ā p(E ) = + ā} altrimenti .
2. Si dimostri che se {E n}nāN ā P (RN ), allora
dimH nā
NE n = sup
nāN
dimH (E n ).
3. Sia f : RN āRm una funzione Ī±-hoĢlderiana, ossia tale che|f (x) āf (x )|m ā¤ K |x āx |Ī±N āx, x āRN
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con K ā„ 0 e Ī± ā]0, 1] costanti ssate. Si provi che se E āRN alloradimH (f (E ))
ā¤ 1
Ī± dimH (E ).
Se ne deduca che se f : RN āRN eĢ bi-lipschitziana, ossiaK 1|x āx |N ā¤ |f (x) āf (x )|N ā¤ K 2|x āx |N āx, x āRN ,
allora per ogni E āRN si ha dimH (f (E )) = dim H (E ).4. Si provi che se E āRN eĢ tale che dim H (E ) < 1, allora E eĢ totalmente sconnesso.[Traccia: ssati x, x ā E , si consideri la funzione f (z ) = |z āx|N e si osserviche, per lāesercizio precedente, dim H (f (E )) < 1; si utilizzi inne il fatto che
f (E )c eĢ denso in R per costruire due diverse componenti connesse che contenganorispettivamente x e x .]
5. Fissato s ā]0, 1[ , si consideri lāinsieme Īs costruito, analogamente al caso dellāin-sieme di Cantor descritto nel paragrafo 1.6, nel modo seguente: al primo passo sitoglie da [0, 1] un intervallo centrale di ampiezza s; nei passi successivi si toglieda ciascun intervallino residuo di lunghezza la parte centrale di ampiezza pari as . Si provi che m(Ī s ) = 0 e che
dimH (Ī s ) = log2log 21ās
.
[Traccia: adattare lāargomentazione relativa allāesempio 2.5.3.]
2.6 La misura H N in RN
Dato un insieme misurabile E ā RN , che relazione cāeĢ fra la sua misura di Hausdorff H N e la sua misura di Lebesgue mN ? Vedremo ora che le due quantitĢ a coincidono ameno di una costante moltiplicativa.
Teorema 2.6.1 Esiste una costante Ī±N tale che per ogni insieme E āRN si ha
H āN (E ) = Ī±N māN (E ).Tale costante vale
Ī±N = 2ā Ļ
N
ĪN 2
+ 1 ,
ove Ī eĢ la funzione di Eulero:
Ī( p) = ā0 x pā1eāx dx, p > 0.39
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Un modo di costruire tale ricoprimento eĢ descritto nellāesercizio 2.6.1. Si ha allora,grazie alla numerabile additivit` a di H N e mN ,
H N (A) = jā
NH N (C j ) = Ī±N
jāN
mN (C j ) = Ī±N mN (A)
per ogni aperto A di RN .Sia ora B un boreliano di RN della forma
B =nā
NAn , An aperti ,
ove non eĢ restrittivo supporre che An ā An +1 . Se mN (B) < +ā, utilizzando la de-nizione di misura esterna, eĢ chiaro che possiamo scrivere B come intersezione numera-bile di aperti An di misura mN nita ; di conseguenza, per monotonia si ha H N (B) ā¤H N (An ) = Ī±N mN (An ) < ā. La proposizione 2.1.5 ci autorizza allora a concludere che
H N (B) = limnāā
H N (An ) = Ī±N limnāāmN (An ) = Ī±N mN (B).
Se invece mN (B) = ā, posto Bm = Bā©] ā m, m[ N , i Bm vericano la relazioneprecedente e quindi, al limite per m ā ā, si ottiene lāuguaglianzaH N (B) = Ī±N mN (B)
per ogni boreliano B che sia intersezione numerabile di aperti.
Inne, sia E ā RN
: per lāesercizio 2.6.2, si possono trovare due boreliani B1 e B2contenenti E , entrambi intersezione numerabile di aperti, tali che
H N (B1) = H āN (E ), mN (B2) = māN (E ),
da cui, posto B = B1 ā© B2, si ha che B eĢ un boreliano contenente E che eĢ ancoraintersezione numerabile di aperti, e per il quale risultaH āN (E ) = H N (B) = Ī±N mN (B) = Ī±N māN (E ).
CioĢ prova la tesi.
Osservazione 2.6.2 Si puoĢ dimostrare (esercizio 2.6.4) che
2ā Ļ
N
ĪN 2
+ 1 = 1
mN (B0),
ove B0 eĢ la palla di RN di diametro unitario. Dunque il teorema precedente affermache la differenza fra le misure N -dimensionali di Hausdorff e di Lebesgue eĢ che la primaassegna misura 1 alla palla di diametro unitario, mentre la seconda assegna misura 1 alcubo di lato unitario.
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Esercizi 2.61. Sia A ā RN un aperto. Si provi che A = nāN C n , ove i C n sono ācubi diadiciā,
ossia della formaN
i=1
r i ā12m
, r i2m
, r1, . . . , r N āZ, m āN.
[Traccia: detta C la famiglia di tali cubi, si provi che ogni x ā A eĢ contenutoin un cubo C ā C, il quale eĢ massimale, nel senso che non cāeĢ nessun altro cuboC ā C tale che C ā C ā A; se ne deduca che tutti i cubi massimali sono disgiuntie che A ne eĢ lāunione. ]2. Sia E āRN . Si provi che:
(i) esiste un boreliano B, intersezione numerabile di aperti, che contiene E ed eĢtale che māN (E ) = mN (B);
(ii) esiste un boreliano B , intersezione numerabile di aperti, che contiene E ed eĢtale che H āN (E ) = H N (B).
3. Si provi che per ogni Ī» ā [0, N ] esiste un insieme E ā RN la cui dimensione diHausdorff eĢ Ī» .[Traccia: si consideri il prodotto cartesiano Ī N s , ove 0 < s < 12 e Īs eĢ lāinsiemedenito nellāesercizio 2.5.5; adattando lāargomentazione dellāesempio 2.5.3 e sug-gerita per lāesercizio 2.5.5, si provi che ĪN s ha dimensione di Hausdorff uguale a
N log 2log 21ā s .]
4. Detta Ļn la misura della palla unitaria di Rn , si verichi che
Ļ1 = 2, Ļ2 = Ļ, Ļn = 2Ļ
n Ļnā2 ān ā„ 3,
e se ne ricavi la formula dellāosservazione 2.6.2.
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Capitolo 3
Funzioni misurabili
3.1 Denizione e proprietaĢSia (X, F , Āµ) uno spazio misurato. Prima di introdurre la nozione astratta di integralesu X rispetto alla misura Āµ, occorre descrivere lāinsieme delle funzioni per le qualilāintegrale stesso ha senso.Considereremo funzioni f : D ā R = [āā, + ā], ove D eĢun insieme misurabile, ossia un elemento di F . Dato che si ammette che le funzioniprendano i valori Ā±ā, saraĢ utile la convenzione 0Ā·(Ā±ā) = 0, gi aĢ adoperata nel paragrafo2.2, con la quale potremo denire lāintegrale senza ambiguit` a.Cominciamo con la seguente proposizione, che introduce la propriet` a caratteristica dellefunzioni che ci interessano.
Proposizione 3.1.1 Sia D ā F , sia f : D āR. Sono fatti equivalenti:(i) {x ā D : f (x) > Ī± } ā F āĪ± āR;(ii) {x ā D : f (x) ā„ Ī±} ā F āĪ± āR;(iii) {x ā D : f (x) < Ī± } ā F āĪ± āR;(iv) {x ā D : f (x) ā¤ Ī±} ā F āĪ± āR.Dimostrazione (i) =ā (ii) Si ha
{x ā D : f (x) ā„ Ī±} = nāN+ x ā D : f (x) > Ī± ā 1n .
(ii) =ā (iii) La tesi si ha per passaggio al complementare.
(iii) =ā (iv) Si ha
{x ā D : f (x) ā¤ Ī±} =nā
N+x ā D : f (x) < Ī± +
1n
.
(iv) =ā (i) La tesi si ha per passaggio al complementare.
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Denizione 3.1.2 Sia D ā F , sia f : D āR. La funzione f eĢ detta misurabile su Dse vale una delle condizioni della proposizione precedente (e quindi valgono tutte).Osservazione 3.1.3 Se (X, F , Āµ) eĢ uno spazio probabilizzato (esempio 2.1.3 (6)), lefunzioni misurabili su X sono chiamate variabili aleatorie .Vediamo qualche esempio.
Esempi 3.1.4 (1) Se E ā X , la funzione caratteristica , od indicatrice , di E , eĢĻ E (x) =
1 se x ā E 0 se x ā E c.Essa eĢ misurabile se e solo se E ā F : infatti
{x ā X : Ļ E (x) > Ī± } = ā se Ī± ā„ 1E se Ī± ā [0, 1[X se Ī± < 0.
(2) Una funzione semplice eĢ una funzione del tipo
Ļ(x) =k
h=1
Ī±h Ļ E h (x), x ā X,
ove k āN+ , Ī±1, . . . , Ī± k sono numeri reali, E 1, . . . , E k sono elementi di F e Ļ E 1 , . . . , Ļ E ksono le relative funzioni caratteristiche. Queste funzioni non si rappresentano in modounico: ad esempio, se X = R,
Ļ [0,1] ā2Ļ ]1,2] = Ļ [0,2] ā3Ļ ]1,2];tuttavia se ne pu`o dare una rappresentazione canonica : dato che esse assumono unnumero nito di valori distinti Ī² 1, . . . , Ī² r , ponendo
Ai = {x ā X : Ļ(x) = Ī² i}, i = 1, . . . , r ,si puoĢ scrivere
Ļ(x) =r
i=1
Ī² i Ļ A i (x);
in questo modo si rappresenta la Ļ come combinazione lineare di funzioni caratteristichedi insiemi disgiunti e āmassimaliā, nel senso che ciascun Ai eĢ il piuĢ grande insieme dovela Ļ assume il corrispondente valore Ī² i .Gli A i sono misurabili percheĢ ottenuti dagli E h con un numero nito di unioni, interse-zioni e differenze. Dalla rappresentazione canonica di Ļ segue subito che Ļ eĢ misurabile:se i Ī² i sono ordinati in modo crescente, si ha infatti
{x ā X : Ļ(x) > Ī± } =r
j = i
A j se Ī± ā [Ī² iā1, Ī² i[, i = 2, . . . , r ,
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mentre se Ī± ā„ Ī² r tale insieme eĢ vuoto e se Ī± < Ī² 1 tale insieme coincide con tutto X .(3) In (R, M, m) le funzioni continue sono misurabili. Infatti per ogni Ī± āR lāinsieme{x ā
R: f (x) > Ī± } = f ā
1
( ]Ī±, ā[ ) eĢ un aperto di R
, quindi eĢ misurabile.(4) In (R, M, m) le funzioni monotone sono misurabili, percheĢ per ogni Ī± āR lāinsieme{x āR : f (x) > Ī± } eĢ una semiretta.Indicheremo con MD lāinsieme delle funzioni misurabili su D, con S lāinsieme dellefunzioni semplici su X e con S 0 lāinsieme delle funzioni semplici su X che si annullanoal di fuori di un insieme di misura nita.Osservazione 3.1.5 Se f, g ā MD , allora f + g eĢ misurabile sullāinsieme D dove lasomma stessa eĢ ben denita, ossia
D = D
\ {x
ā D : f (x) =
āg(x) =
Ā±ā}.
Infatti D eĢ misurabile ed inoltre
{x ā D : f (x) + g(x) > Ī± } == {x ā D : g(x) = + ā}āŖ{x ā D : g(x) < + ā, f (x) > Ī± āg(x)} == {x ā D : g(x) = + ā}āŖāŖ
rāQ
[{x ā D : f (x) > r } ā©{x ā D : +ā > g(x) > Ī± ār}] .
Similmente, se f , g ā MD , allora il loro prodotto f g sta in MD (esercizio 3.1.3).La classe MD eĢ chiusa anche rispetto al passaggio allāestremo superiore ed allāestremoinferiore, relativi ad insiemi numerabili di indici (non per insiemi di indici qualunque:si veda lāesercizio 3.1.5).
Proposizione 3.1.6 Sia D ā F , sia {f n}nāN ā MD . Allora le funzioni supn f n ,inf n f n , lim supnāāf n e liminf nāāf n appartengono a MD .Dimostrazione La misurabilit aĢ di supn f n e inf n f n segue dalle uguaglianze
{x ā D : supn f n > Ī± } = nāN{x ā D : f n (x) > Ī± },
{x ā D : inf n f n < Ī± } =nā
N{x ā D : f n (x) < Ī± };
la misurabilit aĢ di limsupnāāf n e liminf nāāf n segue da quanto gi aĢ provato e dalleidentit`alim sup
nāāf n = inf
nsupm ā„n
f m , lim inf nāā
f n = supn
inf m ā„n
f m .
Unāimportante caratterizzazione di MD eĢ la seguente:Proposizione 3.1.7 Sia D ā F , sia f : D ā R. Si ha f ā MD se e solo se esiste {Ļn}nāN ā S tale che Ļn ā f puntualmente in D per n ā ā.
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Dimostrazione ( ā= ) PoicheĢ le funzioni semplici sono misurabili, la misurabilit`a dif segue dalla proposizione precedente.(=
ā
) Sia f
ā MD . Per ogni n
āN e per ogni x
ā D poniamo:
Ļn (x) =
n se f (x) ā„ nkā12n se kā12n ā¤ f (x) < k2n , k = 1, 2, . . . , n 2nk
2n se kā12n < f (x) ā¤ k2n , k = 0, ā1, . . . , ān2n + 1
ān se f (x) ā¤ ān.EĢ facile vericare che {Ļn} ā S e che Ļn (x) ā f (x) per n ā ā.Osservazioni 3.1.8 (1) Se f ā„ 0 in D, le funzioni Ļn sopra denite formano unasuccessione crescente: Ļn (x)
ā¤ Ļn +1 (x)
ā¤ f (x) per ogni n
ā N e x
ā D. Se invece
f ā¤ 0, la successione {Ļn} eĢ decrescente.(2) Se f eĢ limitata in D, la convergenza delle Ļn eĢ uniforme in D: infatti se |f (x)| ā¤ L,allora |Ļn (x) āf (x)| ā¤ 2ān per ogni x ā D e per ogni n ā„ L.(3) La convergenza delle Ļn verso f eĢ ādominataā, ossia |Ļn (x)| ā¤ |f (x)| per ognix ā D e per ogni n āN.(4) Se lāinsieme{x ā D : f (x) = 0}eĢ Ļ-nito, cioeĢ eĢ unione numerabile di insiemi An āAn +1 misurabili di misura nita, allora rimpiazzando Ļn con Ļn Ļ An si puoĢ supporre checiascuna Ļn appartenga a S 0. In tal caso valgono ancora (1) e (3), ma in generale nonvale piuĢ (2).
Esercizi 3.11. Se f eĢ misurabile su D , si provi che per ogni Ī± āR lāinsieme {x ā D : f (x) = Ī±}eĢ misurabile, ma che il viceversa eĢ falso.2. Sia {f n}nāN ā MD . Si provi che lāinsieme {x ā D : ālimnāāf n (x)}eĢ misurabile.3. Si provi che se f , g ā MD allora fg ā MD .4. Sia f : [a, b] āR una funzione derivabile. Si provi che la funzione f eĢ misurabilenello spazio misurato ( R,
M, m).
5. Sia T un insieme, e sia {f t}tāT una famiglia di funzioni misurabili. La funzionesup tāT f t eĢ in generale misurabile?6. Si provi che in un generico spazio misurato (X, F , Āµ) una funzione f : X ā R eĢmisurabile se e solo se f ā1(B) ā F per ogni boreliano B āR. Si verichi poi chela funzione Ī» : B ā [0, ā] denita da Ī»(E ) = Āµ(f ā1(E )) eĢ una misura su ( R, B ).(Se Āµ(X ) = 1, in linguaggio probabilistico Ī» eĢ la misura immagine , o legge , della
variabile aleatoria f .)[Traccia: si provi che C = {B ā B : f ā1(B) ā F} eĢ una Ļ-algebra contenente gliaperti. ]
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7. Sia b āN, b > 1; per ogni x āR si consideri lo sviluppo di x in base b:x = [x] +
ā
n =1
Īµn (x)
bn , Īµn (x)
ā {0, 1, . . . , b
ā1
}.
Provare che le funzioni
f n (x) = Īµn (x) , n āN+ ,sono tutte misurabili in ( R, M, m).
8. Si provi che la Ļ-algebra M contiene propriamente la Ļ-algebra dei boreliani.[Traccia: per ogni x ā [0, 1] si consideri il suo sviluppo binario x = ān =1 Īµn2n(Īµn ā {0, 1}), convenendo di scegliere lo sviluppo innito nei casi di ambiguit`a:ad esempio, per 34 si prender aĢ 0.101 anzicheĢ 0.11. Posto f (x) =
ān =1 2Īµn3n , simostri che f ([0, 1]) ā C 3 e che f eĢ iniettiva. Si usi lāesercizio 3.1.7 per vericareche f eĢ misurabile; quindi, f ā1(B) ā M per ogni B ā B (esercizio 3.1.6). SiaV ā [0, 1] non misurabile: posto E = f (V ), si provi che E ā M ma f ā1(E ) /ā M.Se ne deduca che E /ā B .].
9. Sia f misurabile ed inferiormente limitata. Si costruisca una successione di fun-zioni semplici che converga puntualmente a f in modo crescente.
10. Sia f : R ā R misurabile in (R, M, m) e sia g : R ā R continua. Si provi cheg ā¦f eĢ misurabile.11. Si provi che se f : R
ā R eĢ continua allora f ā1(B)
ā B per ogni B
ā B . EĢ vero
il viceversa?
12. Si provi che f : D ā R eĢ misurabile se e solo se f 2 eĢ misurabile e lāinsieme{x ā D : f (x) > 0} appartiene a F .
13. Sia {f n} una successione di funzioni da X in R. Per ogni n ā N sia F n la piuĢpiccola Ļ-algebra di sottoinsiemi di X rispetto a cui le funzioni {f k}kā„n sono tuttemisurabili. Si provi che:(i) F n ā F n +1 per ogni n, e F = F n eĢ una Ļ-algebra;(ii) la funzione f (x) =
n
ā
N f n (x), denita per gli x ove ha senso, non eĢ ingenerale F -misurabile;
(iii) lāinsieme A = {x ā X : nāN |f n (x)| < ā} appartiene a F ;(iv) se si considerano funzioni da X in R la (iii) eĢ in generale falsa.
14. Si provi che esistono funzioni f : R ā R continue, tali che lāimmagine inversaf ā1(E ) di un insieme E ā M non eĢ un elemento di M.[Traccia: si costruisca un omeomorsmo f : [0, 1] ā [0, 1] che trasformi C 4 in C 3,associando ciascun intervallo rimosso nella costruzione di C 4 al corrispondente in-tervallo rimosso nella costruzione di C 3. Si ssi poi un sottoinsieme non misurabileW ā C 4 (esercizio 1.8.2) e si mostri che per E = f (W ) si ha f ā1(E ) /ā M.]
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Denizione 3.2.4 Siano D ā F , f ā MD . Se risulta infessD f > āā e supessD f kn} abbia misura minore di 2 ān ; si verichi cheĀµ(lim supnāāAn ) = 0. Si deduca la tesi con Ī±n = 1nk n . Si generalizzi poi al casoĀµ(D) = ā.]49
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8. Si descriva lo spazio Lā(D) quando D ā F e Āµ(D) = 0.9. Si fornisca un esempio di funzione continua f tale che
supessAf < supA
f
ove A eĢ un opportuno sottoinsieme chiuso di R.
3.3 Lo spazio LāSia (X, F , Āµ) uno spazio misurato. Fissato D ā F , introduciamo nello spazio Lā(D) laseguente relazione di equivalenza:
f g āā f (x) = g(x) q.o. in D;le veriche sono pressoccheĢ ovvie. A noi interesserĢ a lo spazio quoziente risp