Hadoop - Introduzione all’architettura ed approcci applicativi
Approssimazione di funzioni attraverso sistemi in logica fuzzy. Aspetti teorici e applicativi....
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Approssimazione di funzioni attraverso sistemi in logica fuzzy.
Aspetti teorici e applicativi.
Arianna Mencattini
Seminario - 25 settembre 2002
Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”Dipartimento di Ingegneria Elettronica
TOR VERGATA
Indice
• Introduzione ai sistemi fuzzy come approssimatori di funzioni.
• Caso SISO (Single Input Single Output)
• Caso MISO (Multiple Input Single Output)
• Teoremi fondamentali.
• Applicazioni
Fuzzy Systems
F[ x ]...
x1
x2
xn
.
.
.
y1
y2
ym
Parametri
• Legame diretto ingresso – uscita
• Possibilità di imporre dei vincoli sulla F[ ], grazie ai parametri liberi.
Casi Possibili
Applicazioni Possibili - 1
- Processamento di segnale: ad esempio s(x) è un segnale audio o un segnale immagine ed
F[ ] è un filtro
F[ ]s(x) y(x)=F[s(x)]
- Controlli:F[ ]
u(x)F(s)+
G(s)
Applicazioni Possibili - 2
- Modellistica:
F[ ]Set di Misure Modello
In questo caso la funzione target f è il legame fisico fra le variabili di ingresso e di uscita. In genere non è nota.
Struttura del sistema (SISO)
1 2 n
nb
1b
2b
1. Dominio di ingresso
2. Dominio di uscita
3. Set di punti campione noti
],[ 1 n ],[ 1 nbb
),(,),,( 11 nn bb
●
●
●
Struttura dello spazio di ingresso
x
iA1iA
iA
: Insieme fuzzy di ingresso Funzione di appartenenza (MF)
Struttura dello spazio di uscita
ib
: Insieme fuzzy di uscita Funzione di appartenenza (MF)
nb
1b
2b
y
x
Base di conoscenza
Antecedentedella regola
Conseguentedella regola
Fuzzificazione:
fase in cui si associano:
• un set di MF all’ingresso• un set di MF all’uscita
si definisce
• un insieme di regole
Inferenza: valutazione delle regole
Per un dato valore x occorre valutare le regole per costruire il valore di uscita
x
i i+1
INPUT RANGE
A1 A2 A3 A4
b1
b2
b3
b4Valutazione
regole
Defuzzificazione
Inferenza: valutazione degli antecedenti
If (x is A1 ) then (y = b1 )
If (x is A2 ) then (y = b2 )
If (x is A3 ) then (y = b3 )
0
v2
v3
Operatore di inferenza:MAX, Media pesata
32
33221
0
0
vv
bvbvby
Defuzzificazione
Per un dato valore x occorre valutare le regole per costruire il valore di uscita
x
i i+1
INPUT RANGE
A1 A2 A3 A4
b1
b2
b3
b4Valutazione
regole
Defuzzificazione
Valore di uscita
Espressione dell’uscita 1
1
2
1k2k
1k2k
Espressione dell’uscita 2
1
2 121 kk
121 kk
Sistemi di tipo Sugeno di ordine N
If (x is A1 ) then (y = b1 )
Se il conseguente è del tipo )(xPy N Sistema Sugeno di ordine N
Sistemi di tipo Sugeno di ordine N
Attraverso i coefficienti posso imporre ulteriori condizioni alla funzioneFuzzy F. Se il mio set di conoscenze è:
kia
n ,,1 ,)(),( 1 nff
Settando si ha che)(1ii dx
dfa
nn
nn
dx
df
dx
df
dx
dF
dx
dF
ffFF
,,,,
,,,,
11
11
)(),( 1 ndx
df
dx
df
Sistemi di tipo Sugeno di ordine N
),( 215.0 kkfx
2
1
)(1)( 12 xVxV
Osservazioni:
• è la serie di Taylor troncata all’ordine N di f(x) centrata in . • è la combinazione di polinomi di Taylor di ordine N centrati nei vertici della griglia, pesati con le funzioni peso V(x).
)(1 xPN 1
)(xy
Caso MISO (multiple input single output)
La trattazione è analoga al caso SISO, ma la struttura del sistema fuzzy diventa più complessa.
Le regole fuzzy diventano:
),(),()()( yxPyxzthenByandAxif Nijji
Occorre dare un valore all’operatore and (min, prodotto). La scelta delprodotto in questa applicazione è motivata dalla necessità di non ledere laregolarità della funzione F(x).
),()()(),()()(
),()()(),()()(),(
22222121
1212111111
yxPyWxVyxPyWxV
yxPyWxVyxPyWxVyxzNN
NN
Caso MISO (multiple input single output)
Esempio: funzione target
Funzione fuzzy bilineare
Linee di discontinuità delle derivate parziali
Funzione fuzzy con MFs cubiche
Confronto caso SISO e MISO
• Il numero di punti di non regolarità nel caso SISO è n. In questo caso è possibile utilizzare n parametri liberi (ad esempio le altezze k) per imporre la continuità delle derivate prime, senza dover complicare il sistema fuzzy con funzioni di appartenenza non triangolari.
• Nel caso MISO il numero di punti di non regolarità diventa , occorre quindi eliminare intrinsecamente la causa di detta non regolarità, ovvero soddisfare le ipotesi del Teorema 1.
• Nel caso MISO le altezze k possono essere usate per ottimizzare il comportamento della funzione F(x) come interpolatore, nell’intervallo aperto in base ad una norma scelta (sup, media etc.) ),( 1ii 1,,1 ni
Approssimazione SISO, legame con i polinomi di Taylor
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
)(21 xP
)(22 xP
N=1
N=2
1/(x2+1)
)(11 xP
)(12 xP
),(222 yxP
),(212 yxP
),(221 yxP
),(211 yxP
Approssimazione MISO, legame con i polinomi di Taylor
Applicazioni nel caso SISO: funzione log
Processamento
Immagini
y(x)=log(x)x
Se dove è una componente di rumore moltiplicativa ew è il segnale originario non corrotto da rumore, allora l’operatore logaritmorende il legame fra w e additivo e si ha .
wx 1 1
1 )log()log()log( 1 wx A questo punto il segnale modificato y=log(x) è filtrabile con un filtraggio classico,di tipo passa basso.
Si può facilmente dimostrare che il sistema fuzzy che implementa una funzione inversa si ottiene da quello che implementa la funzione diretta invertendo gli spazidi ingresso e di uscita, nel senso di intervalli considerati.
Applicazioni nel caso SISO: funzione log
Approssimazione della funzione log(x) con sistema fuzzy a 1 punto e altezze variabili.La curva della funzione obiettivo e quella della funzione approssimante sono indistinguibili.
Applicazioni nel caso SISO: funzione sin per l’implementazione di un DDS(Digital Direct Synthesizer)
Sistema fuzzy
DfREGISTER
fREGISTER
f TO ACONVERTER
D/ ACONVERTER
FILTER
ANALOGOUT
DIGITALOUT
PHASE ACCUMULATOR
SINE GENERATOR
• Schema di un DDS
Coefficienti di Fourier della funzione fuzzy
N
i
iiiiii
i
iiiiii
ii
i
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
ii
i
i
nn
CifFn
CiFn
CinF
T
FnSi
FnSi
nFT
nn
C
A
n
Cifn
D
B
D
An
D
B
D
A
n
nn
D
A
n
bb1
1
1
1
11
12
0,222
cos2
222cos2
2cos
2cos
4
02
cos2
cos4
2sin
2sin
)(
8
~
2sin
)(
8
2cos
4~2
n
n
n
nbn
Risultati intermedi
Approssimazione della funzione sin(x) con il nuovo metodo.
Spettro della sinusoide fuzzy
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101140
130
120
110
100
90
80
dB
c
Spurious
7 punti
Esempio 2: modellizzazione di dispositivi FET a grande segnale
Misure sul dispositivodei parametri S
Valutazionedei parassiti
Funzione parametrica
di Materka-Kacprzak
Estrazione del circuitoequivalente intrinseco
al variare della polarizzazione.
Necessità dell’interpolazione
al variaredella polarizzazione
Funzione fuzzy
Modello per la simulazione
a grande segnale
Sistema fuzzy come modello: Ids
0 1 2 3 4 5 6-50
0
50
100
150
200
250
300
350
Vds [V]
Ids
[mA
]
0 1 2 3 4 5 6-50
0
50
100
150
200
250
300
350
Vds [V]
Ids
[mA
]
Materka
Fuzzy
Sistema fuzzy come modello: gds
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100
0
100
200
300
400
500
600
700
Vds [V]
gds
[mS
]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100
0
100
200
300
400
500
600
700
Vds [V]
gds
[mS
]
Materka
Fuzzy
Sistema fuzzy come modello: gm
0 1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
Vds [V]
gm [
mS
]
0 1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
Vds [V]
gm [
mS
]
Materka
Fuzzy
Bibliografia M. Salmeri, A. Mencattini, R. Rovatti, " Function Approximation Using Non Normalized SISO Fuzzy Systems", International Journal of Approximate Reasoning, IJAR, Elsevier, vol. 26, n. 3, April 2001.
A. Mencattini, M. Salmeri, " Performance Optimization of SISO Fuzzy Systems Used as Function Approximators", International Journal of Fuzzy Systems, vol. 4, n. 4, December 2002.
M. Salmeri, A. Mencattini, S. Bertazzoni, D. Di Giovenale, A. Salsano, " Sinusoidal Wave Synthesis Using Fuzzy Approximation", submitted to Trans. on Fuzzy Systems.
A. Mencattini, M. Salmeri, A. Salsano, " MISO Function Approximation with Derivative Constrains Using Sugeno Fuzzy Systems", submitted to Trans. on Fuzzy Systems.
A. Mencattini, M. Salmeri, A. Salsano, " Approximation Properties of Taylor Polynomial Fuzzy Systems", to be submitted to Trans. on Fuzzy Systems.