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탄성체역학
Applied Theory of Elasticity
토목안전환경공학과
옥승용
Week07: 전단력과 휨모멘트 (1)
2
Class Schedule(1)
Week Topics Remarks
01 Introduction to class Ch. 1
02 Tensile, Compressive and Shear Forces (1) Ch. 1
03 Tensile, Compressive and Shear Forces (2) Ch. 1
04 Tensile, Compressive and Shear Forces (3) Ch. 1
05 Axially Loaded Members (1) Ch. 2
06 Axially Loaded Members (2) Ch. 2
07 Shear Force and Bending Moment (1) Ch. 4
08 Mid-Term Exam
09 Shear Force and Bending Moment (2) Ch. 4
10 Stresses in Beams (1) Ch. 5
11 Stresses in Beams (2) Ch. 5
12 Analysis of Stress and Strain (1) Ch. 7
13 Analysis of Stress and Strain (2) Ch. 7
14 Analysis of Stress and Strain (3) Ch. 7
15 Final-Term Exam
3
Chapter Preview
• 보, 하중 및 반력의 형태
• 전단력과 굽힘 모멘트
• 하중, 전단력 및 굽힘 모멘트 사이의 관계식
• 전단력선도(Shear Force Diagram; SFD) 및 굽힘(휨)모멘트 선도(Bending Moment Diagram; BMD)
학습목표
전단력과 굽힘모멘트의 정의 및 부호규약은?
하중, 전단력 및 굽힘모멘트의 관계는?
전단력선도(SFD) 및 굽힘모멘트선도(BMD)를
그릴 수 있는가?
4
보의 정의
• 보 (Beam) 또는 들보
부재 축에 수직인 힘 또는 모멘트를 받는 구조용 부재
A horizontal or vertical structural element that is capable of withstanding
load primarily by resisting bending.
• 굽힘평면 (plane of bending)
– 하중은 평면 내에 작용
– 모든 처짐 그 평면에 작용
Examples of beams subjected to lateral loads
5
지점 및 반력
• 지점 (Support)의 종류
– 부재를 받치고 있는 점, 부재/지점이 연결된 곳
– 이동단(roller), 핀연결(pin), 힌지(hinge), 고정단(fixed end)
6
지점 및 반력
• 지점 (Support)의 종류
– 부재를 받치고 있는 점, 부재/지점이 연결된 곳
– 이동단(roller), 핀연결(pin), 힌지(hinge), 고정단(fixed end)
7
지점 및 반력
• 지점 (Support)의 종류
– 부재를 받치고 있는 점, 부재/지점이 연결된 곳
– 이동단(roller), 핀연결(pin), 힌지(hinge), 고정단(fixed end)
8
쉬어가는 페이지
성수대교: Gerber Truss
9
지점 및 반력
• 지점 (Support)의 종류
– 부재를 받치고 있는 점, 부재/지점이 연결된 곳
– 이동단(roller), 핀연결(pin), 힌지(hinge), 고정단(fixed end)
10
지점 및 반력
VA
VA
VA
HA
HA
MA
반력
11
지점 및 반력
반력
(reaction)
변위
(displacement)
roller
HA (= 0)
VA ( ≠ 0) (unknown)
MA (= 0)
uA ( ≠ 0) (unknown)
vA (=0)
q ( ≠ 0) (unknown)
hinge
HA ( ≠ 0) (unknown)
VA (≠ 0)
MA (= 0) (unknown)
uA (=0)
vA (= 0) (unknown)
q (≠0)
fixed
HA ( ≠ 0) (unknown)
VA ( ≠ 0) (unknown)
MA ( ≠ 0) (unknown)
uA (=0)
vA (=0)
q (=0)
VA
VA
VA
HA
HA
MA
uA
vA
uA
vA
uA
vA
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)( 0)
q
q
q
12
보의 종류
• 지지하는 방법에 따라 분류
– 단순지지보(simply supported beam) 한쪽은 핀, 다른 쪽은 롤러로 지지
– 캔틸레버보(cantilever beam) 한쪽은 고정(fixed) 다른 끝은 자유단(free)
– 돌출보, 내민보(overhanging beam)
13
보의 종류
단순지지보 캔틸레버보
돌출보/내민보
14
보의 종류
• 단순지지보
15
보의 종류
• 돌출보/내민보
16
보에 작용하는 하중
• 집중하중(concentrated load)
작은 면적에 걸쳐 작용하는 하중
(한 점에 작용하는 하중)
• 분포하중(distributed load)
단위길이당 작용하는 하중
• 등가집중하중(equivalent load)
보에 작용하는 분포하중을
집중하중으로 대치
크기: 하중곡선의 면적
작용선: 곡선 면적의 도심
A B
8m
10kN4m
A B
8m
10kN
A B
8m
10kN60o 2m
A B
8m
2kN/m
A B
8m
10kN2m
10kN2m
A B
8m
10kN2m
20kN2m
A B
8m
10kN2m
10kN2m
A B
8m
10kN2m
20kN2m
A B
8m
10kN4m
28kNm
A B
8m
10kN4m
28kNm
• Draw FBD
- 작용하는 외력
- 반력
- 부재내력(압축력, 축력, 전단력, 휨모멘트)
• Apply Equation
• Compute reactions
Eqns
17
구조해석(Structure analysis)
0
0
0
x
y
z
F
F
M
18
자유물체도(Free Body Diagram, FBD)
• 정의: 지점이나 연결된 다른 물체를 모두 떼어내고 대상물에 외적인 작용력을 포함하여 작용하는 모든 힘을 표시한 그림
• FBD 작도
– 사용할 자유물체 결정
– 자유물체 이외의 부분과 지점을 떼어냄
– 모든 외력(자중, 작용력, 반력 등)의 크기, 방향, 작용위치 표시
– 치수와 각의 표시
A B
VA
HA
VB
10kN4m
A B
8m
10kN4m
19
Example 1 :자유물체도
P q q
20
Example 2 : 자유물체도
P q
P
21
Example 3 : 자유물체도
q P q
22
Example 4 : 자유물체도
M=0
V=0 & q=0 P
q
M=0
23
Example 5 : 자유물체도
• 그림과 같이 3개의 보가 층층으로 지지되어 있다. 그림과 같이 하중이 작용하고 있을 때 다음을 구하시오
(i) 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들
(ii) 보 CD의 C점에서의 반력
12m3m
2m 2m
A B
C D
E F
2kN/m
24
자유물체도
12m3m
2m 2m
A B
C D
E F
2kN/m
A B
C D
E F
2kN/m
E F
RE RF(V)
RF(H)
8kN+
+
+
SFx = 0 (1)
SFy = 0 (2)
SM = 0 (3)
RF(H) = 0kN
RF(V) = 5.33kN
RE = 2.67kN
2x8/3m= 5.33m
8/3m=2.67m
25
자유물체도
12m3m
2m 2m
A B
C D
E F
2kN/m
+
+
+
SFx = 0 (1)
SFy = 0 (2)
SM = 0 (3)
RF(H) = 0kN
RF(V) = 5.33kN
RE = 2.67kN
A B
C D
E F
2kN/m
RC(H) = 0kN
RC(V) = –0.38kN
RE = 8.38kN
A B
C D
E F
C D
RE RF(V)
RDRC(V)
RC(H)
RE RF(V)
2m 3m
26
자유물체도
12m3m
2m 2m
A B
C D
E F
2kN/m
A B
RDRC(V)
A B
RDRC(V)
RA RB(V)
RB(H)
12m
RC(H) = 0kN
RC(V) = –0.38kN
RE = 8.38kN
+
+
+
SFx = 0 (1)
SFy = 0 (2)
SM = 0 (3)
RA(H) = 0kN
RA(V) = 1.78kN
RB = 6.22kN
27
Example 6 : 자유물체도
• 그림과 같이 3개의 보가 층층으로 지지되어 있다. 그림과 같이 하중이 작용하고 있을 때 다음을 구하시오
(i) 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들
(ii) 보 CD의 C점에서의 반력
12m3m
2m 2m
A B
C D
E F
2kN/m
28
자유물체도
• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들
12m3m
2m 2m
A B
C D
E F
2kN/m
A B
C D
E F
2kN/m
29
자유물체도
• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들
A B
C D
E F
2kN/m
E F
2kN/m
8m
E F
8kN
2x8/3m= 5.33m
8/3m=2.67m
E F
P kN/m
L (m)
E F
P x L/2
2L/3 L/3
30
자유물체도
• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들
A B
C D
E F
2kN/m
E F
2kN/m
8m
E F
8kN
2x8/3m= 5.33m
8/3m=2.67m
12m
A B
C D
E F
8kN
31
자유물체도
• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들
E F
2kN/m
8m
E F
8kN
2x8/3m= 5.33m
8/3m=2.67m
12m
A B
C D
E F
8kN
9.33m 2.67m
A B
8kN
A B
8kN
RA RB(V)
RB(H)
32
자유물체도
A B
8kN
RA RB(V)
RB(H)
9.33m 2.67m
12m
• 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들
SFx = RB(H) = 0kN
SFy = RA + RB(V) = 8kN
SMB = –12RA + 2.678 = 0kNm
+
+
+
SFx = 0 (1)
SFy = 0 (2)
SM = 0 (3)
RB(H) = 0kN
RA = 8 – RB(V)
–12(8 – RB(V)) + 21.36 = 0kNm
RB(V) = 6.22kN
RA = 8 – 6.22 = 1.78kN
33
자유물체도
• 그림과 같이 3개의 보가 층층으로 지지되어 있다. 그림과 같이 하중이 작용하고 있을 때 다음을 구하시오
(i) 보 AB의 A점과 B점에서의 반력들
(ii) 보 CD의 C점에서의 반력
12m3m
2m 2m
A B
C D
E F
2kN/m
34
자유물체도
• 보 CD의 C점에서의 반력
12m3m
2m 2m
A B
C D
E F
2kN/m
C D
E F
2kN/m
35
자유물체도
• 보 CD의 C점에서의 반력
C D
E F
2kN/m
C D
7m 2.67m
8kN
3m
C D
8kN
RDRC(V)
RC(H)
35
36
자유물체도
• 보 CD의 C점에서의 반력
+
+
+
SFx = 0 (1)
SFy = 0 (2)
SM = 0 (3)
SFx = RC(H) = 0kN
SFy = RD + RC(V) = 8kN
SMD = –7RC(V) – (3–2.37) 8 = 0kNm
C D
8kN
RDRC(V)
RC(H)
RC(V) = – 0.377kNm
37
부재내력 : 축력, 전단력, 휨모멘트
보의 주어진 임의 단면에는 내적 작용력들이 존재한다.
• 축력(axial force) , N
단면에서 보의 길이방향과
평행하게 작용하는 내적 작용력 성분
• 전단력(shear force) , V
단면에서 보의 길이방향에 수직한 방향으로 작용하는 내적 작용력 성분
• 휨모멘트(bending moment) , M
보의 축이 주어진 단면과 교차하는 점에 대한 내적 작용력의 모멘트
V
C B
10 kN
3 kN M
N
38
부재내력들의 부호규약
A C1 BC2
미소요소
C1 C2
x
M 1
N 1
N 1
M 1
V 1 S
2 M 2
N 2
N 2
M 2
V 2
V 1
V 2
V 2
M 1
N 1
N 1
M 1 V 1
V 2
M 2
N 2
N 2
M 2
V 1
미소요소
C1 C2
39
부재내력들의 부호규약
x
양 (+)
음 (–)
양 (+)
음 (–)
양 (+)
음 (–) 축력
전단력
휨모멘트
40
하중, 전단력 및 휨모멘트의 상호관계식
x
w P
dx
m n
m n
dx
w
VM
V+dV
M+dM
w dx
dx/2
0 dVVwdxV
02
0
dx
wdxVdxdMMM
M n
dx
dVw
dx
dMV
41
하중, 전단력 및 휨모멘트의 상호관계식
m n
dx
w
VM
V+dV
M+dM
w dx
dx/2
dx
dVw
dx
dMV
; 보의 어떤 단면에서 x에 관한 전단력의 변화율(기울기)은
바로 그 단면에서의 분포하중의 마이너스값과 같다.
; 보의 어떤 단면에서 x에 관한 휨모멘트의 변화률(기울기)
은 바로 그 단면에서의 전단력의 값과 같다.
42
하중, 전단력 및 휨모멘트의 상호관계식
dx
dVw
dx
dMV
wdxdV
VdxdM
; 전단력선도(SFD)에서 B점과 A점에서의
전단력 값의 차는 이 두 점 사이에서 보에 작용하는 하중의 누적적분(분포하중의 면적)의 마이너스
값과 같다.
; 휨모멘트도(BMD)에서 B점과 A점에서의 휨모멘트의 값의 차는 이 두 점 사이의 전단력선도의 면적과 같다.
wdxVVB
AAB
VdxMMB
AAB
P=10
VA
VB
10
10 하중의 누적(적분)
10B AV V
43
하중, 전단력 및 휨모멘트의 상호관계식
A B
VA
VB
q=10
2m
2 10 면적
20B AV V 20