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탄성체역학
Applied Theory of Elasticity
토목안전환경공학과
옥승용
Week04: 인장, 압축 및 전단 (3)
2
Class Schedule(1)
Week Topics Remarks
01 Introduction to class Ch. 1
02 Tensile, Compressive and Shear Forces (1) Ch. 1
03 Tensile, Compressive and Shear Forces (2) Ch. 1
04 Tensile, Compressive and Shear Forces (3) Ch. 1
05 Axially Loaded Members (1) Ch. 2
06 Axially Loaded Members (2) Ch. 2
07 Shear Force and Bending Moment (1) Ch. 4
08 Mid-Term Exam
09 Shear Force and Bending Moment (2) Ch. 4
10 Stresses in Beams (1) Ch. 5
11 Stresses in Beams (2) Ch. 5
12 Analysis of Stress and Strain (1) Ch. 7
13 Analysis of Stress and Strain (2) Ch. 7
14 Analysis of Stress and Strain (3) Ch. 7
15 Final-Term Exam
3
Chapter Preview
학습목표
전단응력(Shear Stress)이란?
전단변형률(Shear Strain)이란?
허용응력(Allowable Stress)이란?
Design of Members in Tension, Compression and Shear Stress
4
전단응력과 전단변형률
• 전단응력 (Shear stress)
– 정의: 재료면(단면)에 접선방향으로 작용하는 응력
– 전단응력은 물체의 한 단면을 인접한 단면에 대해 미끄러지도록 할 때 발생
• 종이를 가위로 자를 때, 종이에 발생하는 응력과 유사
V
A
전단력
단면적
PP
5
전단개념
6
Applications of Shear Key
Shear connection for composite bridge
7
Applications of Shear Key
Studs on steel beams for
shear connection
http://blog.naver.com/PostView.nhn?bl
ogId=jlove928&logNo=130034207452
Shear connection for composite bridge
8
Applications of Shear Key
Shear connection for seismic performance improvement
Studs on steel beams for
shear connection
9
Applications of Shear Key
What else?
10
전단응력과 전단변형률
• 전단응력 (Shear stress)
– 정의: 재료면(단면)에 접선방향으로 작용하는 응력
단면적
전단력
A
V
A road destroyed by shear Shear failure of
bamboo I-shaped beam
Normal fault caused by
shear stress
11
Single Shear Bolted Connection
12
단일전단
Bolted connection in which the bolt is loaded in single shear
Failure of a bolt in single shear
13
Double Shear Bolted Connection
14
전단응력과 전단변형률
• 전단응력 (Shear stress) vs 지압응력 (bearing stress)
– 인장하중 P 작용으로 인해, A와 C는 지압(bearing)을 받는 볼트 B
를 누르며, 지압응력(bearing stress)이라는 접촉응력이 발생.
– 또한 A와 C는 볼트를 전단시키려는 경향이 있고, 이러한 경향은
볼트의 전단응력에 의해 억제되고 있다.
Bolted connection in which the bolt is loaded in double shear
볼트 연결체
인장하중
봉
클레비스 볼트
15
전단응력과 전단변형률
• 전단응력 (Shear stress)
Bolted connection in which the bolt is loaded in double shear
측면도 볼트의 자유물체도
봉 클레비스
볼트
m n
(e)
m n
p q
V
전단면적
지압면적
16
Example 1 : 전단응력과 전단변형률
• 강철판에 구멍 뚫기
d=20mm인 펀치가 8mm두께의 판에 구멍을 뚫는데 사용된다고 가정한다. 구멍을 뚫기 위해 P=110kN의 힘이 필요하다면, 판의 전단응력과 펀치의 평균압축응력은 얼마인가?
Punching a hole in a steel plane
17
전단응력과 전단변형률
• 강철판에 구멍 뚫기
18
Example 1 : 전단응력과 전단변형률
• 강철판에 구멍 뚫기
구멍을 뚫기 위해 P=110kN의 힘이 필요하다면,
판의 전단응력과 펀치의 평균압축응력은 얼마인가?
판의 전단응력 aver
단면적
전단력
A
Vaver
MPa219mm7.502
kN110
)mm8)(mm20( 2
P
dt
P
A
P
steel
aver
t
110P kN
d
19
Example 1 : 전단응력과 전단변형률
• 강철판에 구멍 뚫기
구멍을 뚫기 위해 P=110kN의 힘이 필요하다면,
판의 전단응력과 펀치의 평균압축응력은 얼마인가?
펀치의 평균압축응력 sc
aver
P
As
MPa350)mm20(
kN1102
412
41
sd
P
A
P
punch
aver
d
t
110P kN
20
Example 2 : 전단응력과 전단변형률
• Angle bracket bolted to a column
Two bolts
d = 0.625 in.
t = thickness of angle = 0.5 in.
L=6 in. ; b=2.5 in.
F = pbL = 4.50 k
지압면적
지압하중
b
bb
A
Fs
Determine the average bearing pressure sb between the angle bracket and the
bolts and the average shear stress taver in the bolts.
b
bA
F
2s Ab : bearing area of one bolt
2in.3125.0)in.5.0)(in.625.0( tdAbksi20.7
)in.3125.0(2
k50.42
bs
21
Example 2 : 전단응력과 전단변형률
• Angle bracket bolted to a column
Two bolts
d = 0.625 in.
t = thickness of angle = 0.5 in.
L=6 in. ; b=2.5 in.
F = pbL = 4.50 k
Determine the average bearing pressure sb between the angle bracket and the
bolts and the average shear stress taver in the bolts.
As : shear area of one bolt 단면적
전단력
A
Vaver
s
averA
F
2
222
in.3068.0)in.625.0(44
d
Asksi33.7
)in.3068.0(2
k50.42
aver
22
Example 3 : 전단응력과 전단변형률
• Three plates joined by two rivets
Three steel plates, each 16 mm thick, are
joined by two 20-mm diameter rivets.
(a) If the load P =50 kN, what is the largest
bearing stress acting on the rivets?
(b) If the ultimate shear stress for the rivets is
180 MPa, what force Pult is required to
cause the rivets to fail in shear?
23
Example 3 : 전단응력과 전단변형률
FBD
24
Example 3 : 전단응력과 전단변형률
• Three plates joined by two rivets
t = thickness of plates = 16mm
d = diameter of rivets = 20mm
(a) If the load P =50 kN, what is the largest
bearing stress acting on the rivets?
Maximum bearing stress on the rivets
Maximum bearing stress occurs at the middle plate.
지압면적
지압하중
b
bb
A
Fs
b
bA
F
2s Ab : bearing area of one rivet
MPa1.78mm)2(20mm)(16
kN50
22
dt
P
A
F
b
bs
25
Example 3 : 전단응력과 전단변형률
• Three plates joined by two rivets
t = thickness of plates = 16mm
d = diameter of rivets = 20mm
(b) If the ultimate shear stress for the rivets is
180 MPa, what force Pult is required to
cause the rivets to fail in shear (ultimate
load in shear)?
Shear force on two rivets = P/2
Shear force on one rivet = P/4
Shear stress for one rivet 2
4
2
4
4/
d
PP
A
P
d
2dP
At the ultimate load: kN226)MPa180()mm20( 22 ultult dP
26
Example 3’ : 전단응력과 전단변형률
• Three plates joined by two rivets
tb = thickness of upper/lower plate = 6mm
tc = thickness of upper/lower plate = 16mm
d = diameter of rivets = 20mm
(a) If the load P =50 kN, what is the largest
bearing stress acting on the rivets?
Maximum bearing stress on the rivets
Maximum stress occurs at the upper/lower plates.
지압면적
지압하중
b
bb
A
Fs
b
bA
F
2s Ab : bearing area of one rivet
/ 2 25104.2
2 2 2(20 )(6 )b
b
F P kNMPa
A dt mm mms
5078.1
2 2 2(20 )(16 )b
b
F P kNMPa
A dt mm mms
At upper/lower plates:
At middle plate:
27
Example 3’ : 전단응력과 전단변형률
• Three plates joined by two rivets
tb = thickness of upper/lower plate = 6mm
tc = thickness of upper/lower plate = 16mm
d = diameter of rivets = 20mm
(b) If the ultimate shear stress for the rivets is 180
MPa, what force Pult is required to cause the
rivets to fail in shear (ultimate load in shear)?
Shear force on two rivets = P/2
Shear force on one rivet = P/4
Shear stress for one rivet 2
4
2
4
4/
d
PP
A
P
d
2dP
At the ultimate load: kN226)MPa180()mm20( 22 ultult dP
The same!
28
Example 4 : 전단응력과 전단변형률
• Plates joined by a bolt
The connection consists of 5 steel plates, each 3⁄16 in. thick, joined by a
single 1⁄4-in. diameter bolt. The total load transferred between the plates is
1200 lb, distributed among the plates.
(a) Calculate the largest shear stress in the bolt, disregarding friction between
the plates.
(b) Calculate the largest bearing stress acting against the bolt.
29
Example 4 : 전단응력과 전단변형률
FBD
30
Example 4 : 전단응력과 전단변형률
• Plates joined by a bolt
t = thickness of steel plates = 3⁄16 in.
d = diameter of bolt = 1⁄4 in.
The total load transferred between the plates is 1200 lb, distributed among the
plates.
(a) Calculate the largest shear stress in the bolt, disregarding friction between
the plates.
Maximum shear stress in bolt:
2
41
maxmaxmax
d
V
A
V
bolt
maxVMaximum shear force of bolt:
Free body diagram of bolt
Section A-A: V = 360 lb
Section B-B: V = 240 lb
Vmax = 360 lb psi7330max
31
Example 4 : 전단응력과 전단변형률
• Plates joined by a bolt
t = thickness of steel plates = 3⁄16 in.
d = diameter of bolt = 1⁄4 in.
The total load transferred between the plates is 1200 lb, distributed among the
plates.
(b) Calculate the largest bearing stress acting against the bolt.
지압면적
지압하중
b
bb
A
Fs
dt
F
A
F
b
bmaxmax s
Fmax = maximum force applied by a plate against the bolt
= 600 lb
psi800,12in.)in.)(0.25(3/16
lb 600max dt
Fbs
32
Example 4’ : 전단응력과 전단변형률
(1) What if the thickness of
the plates are different
from each other? - plate1: 2⁄16 in. thick
- plate2: 3⁄16 in. thick
- plate3: 4⁄16 in. thick
(2) What if two bolts are used? - two 1⁄4-in. diameter bolts
33
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
• 지주와 밑바닥판 사이의 핀연결(Pin connection between strut and base plate)
보트의 호이스트에 대한 버팀대로 사용되는 강철지주 S는 압축하중
P=12k를 각주의 데크에 전달한다. 지주는 벽두께가 t=0.375in.인 속이
빈 정사각형 단면을 가지며, 지주와 수평선 사이의 q각은 40°이다. 지주에 달린 핀은 지주로부터 밑바닥판 B 에 용접된 두개의 이음판 G까지
압축력을 전달한다. 4개의 앵커볼트는 밑바닥판을 데크에 고정시킨다.
(a) Pin connection between strut S and base plate B.
(b) Cross section through the strut S.
핀의 지름 dpin=0.75in. 이음판의 두께 tG=0.625in. 밑바닥판의 두께 tB=0.375in. 앵커볼트의 지름 dbolt=0.50in.
34
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
• 지주와 밑바닥판 사이의 핀연결
다음 응력 값들을 구하라:
(a) 지주와 핀 사이의 지압응력
(b) 핀의 전단응력
(c) 핀과 이음 사이의 지압응력
(d) 앵커볼트와 밑바닥판 사이의 지압응력
(e) 앵커볼트의 전단응력 (마찰무시)
지주의 벽두께가 tS=0.375in. 핀의 지름 dpin=0.75in. 이음판의 두께 tG=0.625in. 밑바닥판의 두께 tB=0.375in. 앵커볼트의 지름 dbolt=0.50in.
35
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
36
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
• 지주와 밑바닥판 사이의 핀연결
(a) 지주 S 와 핀 사이의 지압응력
이중지압(double bearing): 지압이 2개의 지점에서 발생
지주의 벽두께가 tS=0.375in. 핀의 지름 dpin=0.75in. 이음판의 두께 tG=0.625in. 밑바닥판의 두께 tB=0.375in. 앵커볼트의 지름 dbolt=0.50in.
지압면적
지압하중
b
bb
A
Fs
ksi3.21(0.375in.)2(0.75in.)
k12
22
2/
pin11
1 S
btd
P
A
P
A
Ps
37
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
• 지주와 밑바닥판 사이의 핀연결
(b) 핀의 전단응력
지주의 벽두께가 tS=0.375in. 핀의 지름 dpin=0.75in. 이음판의 두께 tG=0.625in. 밑바닥판의 두께 tB=0.375in. 앵커볼트의 지름 dbolt=0.50in.
Q: 전단면적이 4개?
38
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
• 지주와 밑바닥판 사이의 핀연결
(b) 핀의 전단응력
이중전단(double shear): 핀에 작용한 전체 하중을 단면적의 2배로 나눈
값
지주의 벽두께가 tS=0.375in. 핀의 지름 dpin=0.75in. 이음판의 두께 tG=0.625in. 밑바닥판의 두께 tB=0.375in. 앵커볼트의 지름 dbolt=0.50in.
단면적
전단력
A
Vaver
ksi6.13])in.75.0([2][22
2/2
412
pin41
22
pin
P
d
P
A
P
A
P
39
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
• 지주와 밑바닥판 사이의 핀연결
(c) 핀과 이음 사이의 지압응력
이중지압(double bearing): 지압이 2개의 지점에서 발생
지주의 벽두께가 tS=0.375in. 핀의 지름 dpin=0.75in. 이음판의 두께 tG=0.625in. 밑바닥판의 두께 tB=0.375in. 앵커볼트의 지름 dbolt=0.50in.
지압면적
지압하중
b
bb
A
Fs
ksi8.12(0.625in.)2(0.75in.)
lb.1012
22
2/ 3
pin33
2
G
btd
P
A
P
A
Ps
40
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
• 지주와 밑바닥판 사이의 핀연결
(d) 앵커볼트와 밑바닥판 사이의 지압응력
지주의 벽두께가 tS=0.375in. 핀의 지름 dpin=0.75in. 이음판의 두께 tG=0.625in. 밑바닥판의 두께 tB=0.375in. 앵커볼트의 지름 dbolt=0.50in.
지압면적
지압하중
b
bb
A
Fs
ksi3.12)in.375.0)(in.50.0(4
40cos12
4
40cos12
4
40cos
4 bolt44
3
B
btdA
P
A
Ps
40
P
Pcos40
Psin40
41
Example 5 : 전단응력과 전단변형률
• 지주와 밑바닥판 사이의 핀연결
(d) 앵커볼트의 전단응력 (마찰무시)
각각의 볼트는 단일전단을 받는다.
지주의 벽두께가 tS=0.375in. 핀의 지름 dpin=0.75in. 이음판의 두께 tG=0.625in. 밑바닥판의 두께 tB=0.375in. 앵커볼트의 지름 dbolt=0.50in.
단면적
전단력
A
Vaver
ksi7.11])in.5.0([4
40cos12
])([4
40cos12
4 2
412
bolt41
5
bolt
dA
P
42
Bearing Pad
43
Example 6 : 전단응력과 전단변형률
• 전단을 받는 지압패드
기계와 교량거더를 지지하는데 사용되는 지압패드는 강철판으로 씌워진 선형탄성 재료(elastomer)로 구성되어 있다. Elastomer의 두께가
h 이고, 판의 치수가 a b 이며, 패드는 수평 전단력 V 를 받고 있다고
가정한다.
Elastomer의 평균 전단응력 aver와 판의 수평변위 d 를 구하는 공식을
구하라.
Bearing pad in shear
44
Example 6 : 전단응력과 전단변형률
• 전단을 받는 지압패드
Elastomer의 평균 전단응력 aver와 판의 수평변위 d 를 구하는 공식을
구하라.
ab
V
A
Vaver
단면적
전단력
Bearing pad in shear
45
Example 6 : 전단응력과 전단변형률
• 전단을 받는 지압패드
Elastomer의 평균 전단응력 aver와 판의 수평변위 d 를 구하는 공식을
구하라.
Bearing pad in shear
ab
V
A
Vaver
단면적
전단력
Gab
V
GG aver
aver)(
abG
Vhhd tantan
abG
hVhd ;
46
Example 7 : 전단응력과 전단변형률
• Bearing pad subjected to shear
An elastomeric bearing pad consisting of two steel plates bonded to a
chloroprene elastomer is subjected to a shear force V during a static loading
test. The pad has dimensions a =150 mm and b =250mm, and the elastomer
has thickness t =50 mm. When the force V = 12 kN, the top plate is found
to have displaced laterally 8.0 mm with respect to the bottom plate.
What is the shear modulus of elasticity G of the chloroprene?
47
Example 7 : 전단응력과 전단변형률
• Bearing pad subjected to shear
What is the shear modulus of elasticity G of the chloroprene?
GG
MPa32.0)mm250)(mm150(
kN 12
ab
V
A
Vaver
단면적
전단력
150mm
ttd tan
16.0mm50
mm8
t
d
MPa0.216.0
MPa32.0 G
48
전단응력과 전단변형률
• 전단응력 (Shear stress)
– 부호규약:
• (+) 요소의 양의 면에 작용하는 전단응력이 좌표축의 양의 방향으로 작용 또는 요소의 음의 면에 작용하는 전단응력이 좌표축의 음의 방향으로 작용
• (-) 요소의 양의 면에 작용하는 전단응력이 좌표축의 음의 방향으로 작용 또는 요소의 음의 면에 작용하는 전단응력이 좌표축의 양의 방향으로 작용
49
전단응력과 전단변형률
• 전단변형률 (Shear strain)
– 요소의 찌그러짐(distortion) 또는 모양의 변화를 나타내는 척도
– 재료요소에 작용하는 전단응력은 전단변형률을 일으킨다
– 요소의 각 면의 길이변화는 없고, 요소의 모양만 변화시킴
Element of material subjected to shear stresses and strains
50
전단응력과 전단변형률
• 전단에서의 Hooke의 법칙
– 전단 응력-변형률 선도
• 인장시험 선도와 유사, 크기가 다름
• 비례한도, 탄성계수, 항복응력, 극한응력 등의 재료성질
추출 (대체로 인장시험의 ½ 정도의 크기)
• 선형탄성 영역에서
G : 전단탄성계수 (shear modulus of elasticity) 또는 강성계수
(modulus of rigidity)
n ≈ 0~0.5 G ≈ (1/3 ~1/2 )E
G
)1(2 n
EG
51
• 강도(Strength)
– 구조물의 하중을 견디는 능력
– 인장강도, 전단강도, 항복강도, 극한강도
• 안전계수(Factor of Safety)
– 구조물의 실제 강도의 필요 강도(요구 강도)에 대한 비
– 안전계수
– 시스템에 존재하는 불확실성(Uncertainty)을 반영하여 확률적으로
결정
• 허용응력
• 허용하중
Allowable Stress
1.0n 실제 강도
요구 강도
y y
allow allown ns
s s
allow allow allow allowP A P As
52
Example 8 : 허용응력과 허용하중
53
Example 9 : Check the Safety
54
Example 10 : Design the Member