Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna...
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Applicazioni nel campo dell’ingegneria dell’approssimazione
di funzioni mediante sistemi fuzzy
Arianna Mencattini
Riunione Annuale delGRUPPO ELETTRONICA(GE 2002)
TRIESTE, 3-8 giugno 2002
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Indice:
• Introduzione all’approssimazione di funzioni.
• Introduzione ai sistemi fuzzy come approssimatori di funzioni.
• Applicazione nel caso SISO: progetto di un DDS.
• Sistemi MISO: introduzione e confronti.
• Sistemi MISO: teoremi fondamentali.
• Applicazione nel caso MISO: modellizzazione di dispositivi.
• Conclusioni e sviluppi.
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L’approssimazione di funzionimediante sistemi fuzzy
Approssimazione
di funzioni
Progettazione di un sistema fuzzy
con certe caratteristiche
Utilizzo di sistemi
fuzzy
Approssimazione di funzioni
mediante sistemi fuzzy
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Sistemi fuzzy e sistemi neurali
Rispetto ai sistemi neurali i sistemi fuzzy presentano i seguenti vantaggi:
• Il sistema è facilmente implementabile (SW/HW)
• I sistemi fuzzy sono più robusti.
• La fase di apprendimento è “delicata” e “lunga” nei sistemi neurali
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• Date certe caratteristiche di una funzione target f(x) trovare una funzione F(x), che rispetto a questa minimizzi una certa norma.
Cosa significa approssimare una funzione
)()( xfxF
• Si può inoltre imporre che la funzione F(x) goda di ulteriori caratteristiche, come la continuità delle derivate.
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Perché approssimare una funzione? Caso 1)
• La funzione target può essere nota, ma difficile da implementare
Es. f(x)=log(tan(x))
Occorre utilizzare una Look Up Table, su cui memorizzare i campionidella funzione target.
Oppure si deve costruire una funzione approssimante in cui siano presenti solo operatori elementari.
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x
f(x)
y0
x
f'(x)
0
dx
d
xy
y
0
0)(xfEs.
• La funzione target può essere nota, ma non gode di caratteristiche
di regolarità
Perché approssimare una funzione? Caso 2)
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Perché approssimare una funzione? Caso 2)
Può essere utile costruire un’altra funzione approssimante che goda di proprietà di regolarità.
Funzione non regolare
Funzione regolare
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Della funzione f(x) si conoscono alcuni campioni.
1
2
A1 A2 A3 A4
b1
b2
b3
b4
P1
P2
P3
P4
Si può costruire una funzione approssimante di tipo piecewise linear
Perché approssimare una funzione? Caso 3)
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Perché approssimare una funzione? Caso 3)
Voglio che un certo sistema fuzzy implementi una funzione che passi per alcuni campioni dati mantenendo caratteristiche di regolarità.
PW non linear
PW linear
1
2
A1 A2 A3 A4
b1
b2
b3
b4
P1
P2
P3
P4
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Sistemi fuzzy non normalizzati NNFS 1)
In letteratura si sono sempre usati sistemi fuzzy normalizzati (NFS).
Utilizzando sistemi fuzzy non normalizzati (NNFS) ho ulteriori parametri su cui agire per :
Migliorare l’approssimazione.
Imporre le derivate continue in certi punti.
k1
k2MFs
x
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NNFS 2)
)()(
)()()()()(
11
111
iiii
iiiiiii xkxk
fxkfxkxF
Se ki ki+1
Fi(x) è una funzione razionale
)(
)()()()()(
1
11
ii
iiiii
fxfxxF
Se ki = ki+1
Fi(x) è una funzione polinomiale
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Sistema fuzzy
Esempio 1: progetto di un DDS
DfREGISTER
fREGISTER
f TO ACONVERTER
D/ ACONVERTER
FILTER
ANALOGOUT
DIGITALOUT
PHASE ACCUMULATOR
SINE GENERATOR
• Schema di un DDS
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Approssimazione di una funzione modificata
0.0 0.2 0.4 0 .6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
F'o ld
(1)#=0
F 'new (1)#=1
x
s in (x /2 )
sin (x /2 )+x
Y
X
=
=
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Fourier coefficients for the fuzzy approximation
N
i
iiiiii
i
iiiiii
ii
i
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
ii
i
i
nn
CifFn
CiFn
CinF
T
FnSi
FnSi
nFT
nn
C
A
n
Cifn
D
B
D
An
D
B
D
A
n
nn
D
A
n
bb1
1
1
1
11
12
0,222
cos2
222cos2
2cos
2cos
4
02
cos2
cos4
2sin
2sin
)(
8
~
2sin
)(
8
2cos
4~2
n
n
n
nbn
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Spettro della sinusoide fuzzy
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101140
130
120
110
100
90
80
dB
c
Spurious
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Risultati e confronti
Method SFDR
Uncompressed memory -81.76 dBc
Modified Sunderland architecture
-73.59 dBc
Modified Nicholas architecture
-74.56 dBc
Taylor series approximation -73.28 dBc
CORDIC algorithm -73.32 dBc
NNFS approximation -81.60 dBc
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Sistemi di tipo SISO vs. MISO 1)(single input multiple output vs. multiple input multiple output)
Un sistema con più ingressi presenta già da un punto di vistaanalitico alcune importanti differenze
La metodolgia dell’uso di MFs ad altezze variabili non può essere
più usata per imporre la continuità delle derivate.
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Sistemi di tipo SISO vs.MISO 1)(single input multiple output vs. multiple input multiple output)
1
2
A1
A2
A3
A4
b1
b2
b3
b4
P1
P2
P3
P4
1
2
k1
k2 k
3
k4
Parametri liberi = n
Punti di discontinuità = n
E’ possibile imporre la continuitàdelle derivate attraverso le altezze
ki in modo diretto.
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Parametri liberi = n+m
Punti di discontinuità =
Sistemi di tipo SISO vs.MISO 1)(single input multiple output vs. multiple input multiple output)
y
x
kiki+1sj
sj+1
x
yj
i i+1
wjwj+1
vi+1
vi
AiBjBj+1
Ai+1
z
Non si può imporre la continuità delle derivate attraverso le altezze k e s in modo diretto.
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Esempio: funzione target
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Funzione fuzzy bilineare con MFs triangolari
Linee di discontinuità delle derivate parziali
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Funzione fuzzy con MFs cubiche
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Sistemi di tipo SISO vs.MISO 2)(single input multiple output vs. multiple input multiple output)
Per imporre la continuità delle derivate occorre soddisfare le ipotesi del seguente
qCyxz ),(per garantire che 11 ,, jjii in
Ossia si ha che le funzioni
y
yxz
x
),( sono continue
per ogni 1- 1,0- 0 1-1,-min0
Teorema 1: Data la funzione fuzzy ],[],[:),( 11 mnyxz
con input MFs
)(
)(
1
1
ii
i xii kv
)(
)(11
1
1
ii
ixii kv
)(
)(
1
1
jj
j y
ii sw
)(
)(
111 jj
jy
ii sw
11 ,, jjii in
è sufficiente che
q )1,1min( .
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Significato del Teorema 1
v i(x)
v i+1(x)
v'i(i) = v'i(i+1)
v'i+1(i+1) = v'i+1(i)
i i+1
ki+1ki
x
0
MFs di ingresso per la variabile x, =1
Condizione sulle derivate prime 011 iiii vvvv
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Significato del Teorema 1
i i+1
ki+1ki
x
v i(x) v i+1(x)
0 v'i(i+1)v'i+1(i)
v'i(i)v'i+1(i+1)
MFs di ingresso per la variabile x, =2
011 iiii vvvv
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Aspetto della funzione fuzzy 3D
),(),(
),(),(),(
111
1
1
11
1
1
1
111
1
11
yxRww
w
vv
vyxR
ww
w
vv
v
yxRww
w
vv
vyxR
ww
w
vv
vyxz
ijjj
j
ii
iij
jj
j
ii
i
jijj
j
ii
iji
jj
j
ii
iij
dove
N
l
lN
k
klNj
ki
klNkjiji yxryxR
0 0
)()(),(
sono detti polinomi di Sugeno di ordine N, nelle due variabili x e y.
![Page 28: Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna Mencattini Riunione Annuale del GRUPPO ELETTRONICA.](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/5542eb5d497959361e8cb638/html5/thumbnails/28.jpg)
Sistemi di tipo SISO vs.MISO 2) Per imporre i valori delle derivate occorre soddisfare le ipotesi del seguente
qCyxz ),(una volta garantito che 11 ,, jjii inin
con i polinomi di Sugeno e con input MFs
)(
)(
1
1
ii
i xii kv
)(
)(11
1
1
ii
ixii kv
)(
)(
1
1
jj
j y
ii sw
)(
)(
111 jj
jy
ii sw
11 ,, jjii
),( yxR ji
scegliendoli come segue
yx
fr jiji
),(
!!
1
.
in
y
yxz
x
),(i valori delle derivate parziali ,,min0 allora si ha che
10 mjnijjii ,,1,,1,, 11
possono essere fissati attraverso i soli coefficienti jir
10
Teorema 2: Data la funzione fuzzy ],[],[:),( 11 mnyxz
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Significato del Teorema 2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
![Page 30: Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna Mencattini Riunione Annuale del GRUPPO ELETTRONICA.](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/5542eb5d497959361e8cb638/html5/thumbnails/30.jpg)
Significato del Teorema 2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
![Page 31: Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna Mencattini Riunione Annuale del GRUPPO ELETTRONICA.](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/5542eb5d497959361e8cb638/html5/thumbnails/31.jpg)
Sommario dei Teoremi1-2
Utilizzo di MFs polinomialidi grado M
Continuità delle derivate parziali
di ordine M-1
Imposizione dei valori delle derivate
della funzione fuzzy di ordine N
Utilizzo di Sugeno di ordine N
1MN
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Sistemi di tipo MISOTeorema 3: Data una funzione target polinomiale e data una funzione fuzzy
come definita nei precedenti teoremi, questa ultima è in grado di approssimare con
errore nullo la funzione polinomiale. (La funzione razionale diventa polinomiale).
Teorema 4: Utilizzando risultati del Teorema 2 si ha che i polinomi ),( yxR jirappresentano la serie di Taylor di f(x) troncata all’N-esimo termine centrata
nel punto ),( ji
Teorema 5: La funzione fuzzy risulta essere la combinazione lineare delle
serie di Taylor troncate all’N-esimo termine, pesata con il prodotto delle
funzioni di appartenenza.
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Significato dei Teoremi 3-4
![Page 34: Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna Mencattini Riunione Annuale del GRUPPO ELETTRONICA.](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/5542eb5d497959361e8cb638/html5/thumbnails/34.jpg)
Significato dei Teoremi 3-4
![Page 35: Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna Mencattini Riunione Annuale del GRUPPO ELETTRONICA.](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/5542eb5d497959361e8cb638/html5/thumbnails/35.jpg)
Ottimizzazione del sistema fuzzy:uso delle altezze variabili
Le altezze variabili delle MFs possono infine essere usate per migliorare
Il comportamento del sistema fuzzy come approssimatore, utilizzando
un’opportuna norma.
Uso dell’algoritmo del gradiente per determinare la configurazione migliore
delle n+m altezze all’interno delle nm griglie.
![Page 36: Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna Mencattini Riunione Annuale del GRUPPO ELETTRONICA.](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/5542eb5d497959361e8cb638/html5/thumbnails/36.jpg)
Esempio 2: modellizzazione di dispositivi FET
Misure sul dispositivodi Ids, gm, gds,Cds, Cgd, Cds
Estrazione dei Parametri S
Estrazione del circuitoequivalente
Funzione parametrica
di Materka-Kacprzak
Costruzionedel modello
per la simulazione
Ottimizzazione dei parametri in base
alle misure
Modello finale
![Page 37: Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna Mencattini Riunione Annuale del GRUPPO ELETTRONICA.](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/5542eb5d497959361e8cb638/html5/thumbnails/37.jpg)
Regolarità della funzione di Materka: problematiche
Il modello di Materka non ha nessun legame con la fisica del dispositivo
e non gode di proprietà di regolarità nelle derivate seconde.
Non è possibile estrarre dal modello informazioni riguardanti il comportamento
delle derivate seconde e terze. Il modello non è significativo in questo senso.
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Introduzione dei sistemi fuzzy nel campo della modellizzazione
1. Come viene approssimata la funzione di Materka da una sistema fuzzy?
2. E’ possibile migliorare le caratteristiche di regolarità del modello usando un sistema fuzzy?
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Sistema fuzzy come modello : Ids
0 1 2 3 4 5 6-50
0
50
100
150
200
250
300
350
Vds [V]
Ids
[mA
]
0 1 2 3 4 5 6-50
0
50
100
150
200
250
300
350
Vds [V]
Ids
[mA
]
Materka
Fuzzy
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Sistema fuzzy come modello : gds
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100
0
100
200
300
400
500
600
700
Vds [V]
gds
[mS
]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100
0
100
200
300
400
500
600
700
Vds [V]
gds
[mS
]
Materka
Fuzzy
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Sistema fuzzy come modello : gm
0 1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
Vds [V]
gm [
mS
]
0 1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
Vds [V]
gm [
mS
]
Materka
Fuzzy
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Dalla funzione target alle misure
Nell’applicazione reale si hanno delle misure e non una funzione target
A partire dalle misure occorre costruire il modello fuzzy con certe caratteristiche di regolarità.
Nascono degli ulteriori problemi
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Fenomeni dispersivi sulle misure
A seconda del punto di polarizzazione le misure effettuate muovendosi attorno al punto di lavoro a bassa frequenza risentono del cambio della temperatura e dei fenomeni di trappola.
Quando si vuole simulare il dispositivo ad alta frequenza questi stessifenomeni non intervengono, perché sono fenomeni con costanti di tempopiccole.
Discrepanza fra il modello costruito ed i risultati attesi, perché sono cambiate le condizioni di lavoro dalla fase di simulazione alla fase di misura.
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Conclusioni
I sistemi fuzzy costituiscono una valida alternativa ai sistemi neuralie ad altri sistemi di approssimazione classici.
1. Perché si costruiscono direttamente senza fase di apprendimento.
2. Perché hanno una struttura semplice.
3. Perché si può facilmente imporre al modello fuzzy di godere di determinate caratteristiche di regolarità e di passaggio per punti
4. Perché la fase di ottimizzazione richiede pochi secondi.
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Sviluppi Modifiche della norma usata nell’algoritmo di ottimizzazione, al fine di minimizzare eventualmente anche gli errori sulle derivate. (Norma di Sobolev)
Ottimizzazione della posizione dei punti di intersezione della griglia usata:uso dei Teoremi 3-5 sul legame della funzione fuzzy con la serie di Taylor.
Modellizzazione: implementazione di un algoritmo che elimini il contributodispersivo dalle misure utilizzate per costruire il modello fuzzy.
Modellizzazione: estrazione di informazioni riguardanti le derivate parziali seconde e terze della Ids dal modello fuzzy del dispositivo.
DDS: valutazione delle prestazioni del DDS in termini di area, consumo di potenza e frequenza massima raggiungibile.
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