APPLICAZIONI. Energia potenziale PARTICELLA NELLA BUCA infinita finita.
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APPLICAZIONIAPPLICAZIONI
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En
ergi
a po
ten
zial
ePARTICELLA NELLA BUCAinfinita finita
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Esiste una probabilità finita di trovare la particella in una zona classicamente proibita
decade esponenzialmente
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infiniti livelli
nulla sulle pareti
livelli in numero finito
simile come forma, ma penetra nelle pareti.
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Poiché la Ψ penetra nelle pareti, per la particella è come se la buca fosse più grande.Livelli più ravvicinati.
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Elettroni negli atomi: modello particella nella buca finita
Solo per energie elevate si ha sovrapposizione delle funzioni d’onda
Solo gli elettroni di valenza contribuiscono al legame chimico.
Atomi e molecole e modello particella nella buca finita
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Una buca quantica è un “sandwich” fatto da due differenti semiconduttori in cui l’energia degli elettroni è differente, e la cui struttura atomica è così simile che possono crescere insieme senza un’apprezzabile densità di difetti:
Usata in molti dispositivi elettronici (alcuni transistor, diodi, laser a stato solido)
Energia elettronica
Posizione
Materiale A (AlGaAs) Materiale B (GaAs)
Esempio di una buca di potenziale microscopica un semiconduttore a “buca quantistica”
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Si depositano differenti strati di atomi su di un substrato cristallino
AlGaAs GaAs AlGaAs
U(x)
x
Al
As
Ga
Un elettrone ha meno energia in GaAs che in AlGaAs. Può essere intrappolato nella buca.
“ingegneria su nanoscala”
Celle effusive
Processo: epitassia con fasci molecolari
Buche quantiche come queste sono usate come
• diodi che emettono luce (LED)
• diodi laser (usati nel lettori cd)
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RIFLETTANZA TOTALELegge di Snell n1 sin θ1 = n2 sin θ2
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Tunneling ottico L’onda che subisce riflessione totale all’interno del
materiale in realtà penetra nell’aria per alcune lunghezze d’onda.
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RIFLETTANZA TOTALE ATTENUATA
radiazione rivelatore
onda evanescente
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MOTO VIBRAZIONALEMOTO VIBRAZIONALE
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x spostamento
F = - k xmoto armonico
k: costante di forzaPosizione di equilibrio
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POTENZIALE
Spostamento, x
En
ergi
a P
oten
zial
e, V
2
2
1kxV
dx
dVF
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Se la curvatura di V è molto grande attorno al minimo, k è grande
En
ergi
a p
oten
zial
e
x=R-Re
k grande
k piccolo
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txx
xm
k
dt
xd
dt
xdmkx
dt
xdm
dx
dV
maF
cos0
2
2
2
2
2
2
TRATTAZIONE CLASSICA
x0-x0x0
En
ergi
a P
oten
zial
e, V
202
1kxE
Spostamento, x
La frequenza dipende solo da m e k
L’ampiezza x0 può essere qualsiasim
k
2
1
2
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A parità di costante di forza k, al crescere di m la frequenza diminuisce: effetto isotopico
m
k
2
1
2
C-H 3000 cm-1
C-D 2100 cm-1
A parità di massa m, al crescere della costante di forza k la frequenza cresce
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PROPRIETA’ dell’oscillatore armonico classicoEnergia: E = T + V = ½kx0
2 = qualsiasi valore
se x0 = 0, E = 0
Probabilità:
x+x0-x0
P(x)
0
Punti di inversione classici
E = ½kx02
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n=3
n=2
n=1
Particella nella scatola: tanto più grande è L, tanto più vicini sono i livelli
Nel potenziale armonico, al crescere di V(x) il sistema è meno confinato.I livelli per il potenziale armonico sono equispaziati.
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E
1
2
3
2
5
2
7
2
x
9
2
11
2
v 0
v 1
v 2
v 3
v 4
v 5
v 6
...,2,1,0v
)2
1v(
E
TRATTAZIONE QUANTISTICA
I livelli energetici di un oscillatore armonico sono ugualmente spaziati con separazione ħ, con = (k/m)½. Anche nello stato a più bassa energia, un oscillatore ha E > 0
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Livelli discreti ed equispaziati
Anche quando v = 0, c’è ancora energia in quantità
Energia vibrazionale di punto zero
2
10 E
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Autofunzioni
Le autofunzioni dell’oscillatore armonico sono simili a quelle della particella nella scatola, ma
• vanno a zero solo all’infinito penetrando nella barriera di potenziale. Il potenziale V(x) va all’infinito solo a distanza infinita.
• mentre nella scatola T = costante, per l’oscillatore armonico T varia [ T = E – V(x) ] e quindi la curvatura della è più complessa.
Ψv = polinomio di Hermite . e-ax2
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Funzione d’onda Ψ e distribuzione di probabilità Ψ2 per lo stato a più bassa energia
v = 0
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E = ½kx02
x
P(x)
0 +x0-x0
Punti di inversione classici
Probabilità classica e quantistica
Classica
P(x) minima a x=0
P(x) = 0 oltre x0
Quantistica (n=0)
P(x) massima a x=0
P(x) 0 oltre x0
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La probabilità di trovare la particella al di fuori dei punti classici di inversione del moto è diversa da zero
Effetto Tunnel – penetrazione in zone classicamente proibite
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v = 1
Funzione d’onda Ψ e distribuzione di probabilità Ψ2 per il primo stato eccitato
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Funzioni d’onda dei primi 4 statiNumero dei nodi = numero quantico vSi alternano funzioni simmetriche ed antisimmetriche rispetto ad x = 0Data la simmetria del potenziale V(-x)=V(x) |(-x)|2 =|(x)|2
(-x) = ±(x)
v=0
v=1
v=2
v=3
x x
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||2
Principio di corrispondenza
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ωΔE
0,1,2,3v
ω2
1v=E
2
2
2
22
8mL1)(2nΔE
1,2,3n8mL
n=E
Confronto dei livelli energetici
E
v=0
v=1
v=2
v=3
v=4
v=5
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Particella nella scatola Oscillatore armonico
Energia di punto zero
2
1
2
3
2
5
2
7
2
11
2
9
2
2
8mL
2
2
84mL
2
2
89mL
2
2
816
mL
2
2
825
mL
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OSCILLATORE ARMONICO
Vibrazione delle molecole biatomiche
Vibrazione delle molecole poliatomiche
Moti vibrazionali nei solidi
Decomposizione del campo elettromagnetico in oscillatori