apostila Trigonometria
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1
APOSTILA
DE
TRIGONOMETRIA
Por: Danilo Menezes de Oliveira Machado
2
Introdução à Trigonometria Para obter uma ideia do que realmente é trigonometria, falaremos sobre arco de
circunferência, ângulo central e comprimento de circunferência.
Os dois pontos em vermelho representam as
Extremidades do arco destacado em mesma cor.
Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois
de seus pontos.
B
P Q A
Nestas duas representações temos os arcos: . No caso do primeiro arco as
extremidades deste coincidem com a extremidade do diâmetro, assim chamada de
semicircunferência.
A
O B A P
O B Q
O arco e possuem o mesmo ângulo
gerador logo são proporcionais, variando em relação
ao raio.
Comprimento de circunferência é dado por , pois:
3
Para o entendimento maior de ângulos, temos o ciclo trigonométrico definido no centro do
sistema cartesiano xy, e possui raio um. Este ciclo possui quatro quadrantes, cada um com 90°
graus ou
radianos:
II I 90° ou
rad II I 180° ou rad
III IV III IV
II I II I
270° ou
rad 360° ou rad
III IV III IV
Seno e Cosseno
Cada ângulo possui um valor para seno e cosseno, mas afinal o que representa o valor do seno
e do cosseno?
Seno Para entender o valor do seno usaremos o software winplot com arquivo: Ciclo trigonométrico
seno.
A função seno é representada no eixo y, onde é definido pela projeção do raio sobre este eixo:
Veja o raio em azul, produzindo uma projeção no eixo y, em verde. Esta projeção em verde é o
valor do seno do ângulo representado por este arco em vermelho.
4
Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor do seno dos seguintes
ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):
a) 30°
b) 45°
c) 50°
d) 60°
e) 5°
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) 120°
m) 135°
n) 234°
o) 290°
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w) 260°
x) 315°
y) 350°
z) 270°
2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de seus senos
através de sua calculadora científica:
3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.
Cosseno Para o entendimento de cosseno usaremos o mesmo software com arquivo: Ciclo
trigonométrico cosseno.
Porém o cosseno de um ângulo é representado no eixo x como a projeção do segmento que
define o ângulo:
Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor do cosseno dos seguintes
ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):
a) 30°
b) 45°
c) 50°
d) 60°
e) 5°
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) 120°
m) 135°
n) 234°
o) 290°
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w) 260°
x) 315°
y) 350°
z) 270°
5
2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de seus cossenos
através de sua calculadora científica:
3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.
Com entendimento de seno e cosseno, abra no software o arquivo ciclo trigonométrico seno e
cosseno.
Simetria de Seno e Cosseno Ao classificar valores de ângulos percebemos que existe certa simetria nos valores dos senos e
cossenos para alguns ângulos.
Existem ângulos que possuem o mesmo valor de seno ou de cosseno, este fenômeno é dado
pela simetria do ciclo trigonométrico:
6
Após utilizar o software para melhor visualização da simetria de senos e cossenos, pode-se
observar que podemos reduzir ângulos do segundo, terceiro e do quarto quadrante para o
primeiro.
Estudo do sinal dos senos e cossenos
+ seno + seno
- cosseno + cosseno
- seno - seno
- cosseno + cosseno
Exercícios: 1- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º.
a) 100°
b) 145°
c) 172°
d) 196°
e) 219°
f) 247°
g) 251°
h) 273°
i) 281°
j) 299°
k) 307°
l) 312°
m) 329°
n) 357°
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
2- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule o seno e o
cosseno dos seguintes ângulos.
a) 130°
b) 245°
c) 450°
d) 760°
e) 195°
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) 120°
m) 135°
n) 234°
7
o) 290°
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w) 260°
x) 315°
y) 350°
z) 270°
3- Calcule o valor das expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Gráficos da função seno e cosseno Analisando o ciclo trigonométrico podemos notar que para , temos que o ângulo é
dado por x que varia de 0 a , enquanto y varia de -1 a 1.
Logo,
Para a função cosseno notamos que a variação de x e de y é a mesma da função
seno.
Logo,
Para melhor visualização das duas funções veja a função ao lado do ciclo trigonométrico:
SENO:
8
COSSENO:
Analisando os gráficos podemos notar que a função seno é impar e a função cosseno é par:
e
e
Exercícios: 1- Construa o gráfico das funções, com :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
2- Dados os gráficos identifique a função:
a)
9
b)
c)
d)
Tangente É definido como tangente o prolongamento da aresta (azul) – que define o comprimento do
arco em relação ao eixo x – até a reta , representando o valor da tangente pela cor
amarela:
Analisando o gráfico, temos seno do ângulo formado pelo arco em vermelho de , assim o
segmento vermelho sobre o eixo x é o cosseno deste ângulo, o segmento verde sobre o eixo y
é o seno do mesmo ângulo, enquanto o segmento amarelo sobre a reta x=1 é a tangente.
Por semelhança de triângulos, provamos que:
10
1° quadrante a tangente é positiva 2° quadrante a tangente é negativa
3° quadrante a tangente é positiva 4° quadrante a tangente é negativa
Assim como o seno e o cosseno, a tangente também possui simetria entre os quadrantes:
Com uma peculiaridade, pois as tangentes dos quadrantes pares são positivas e as dos
quadrantes impares são negativas.
Gráfico da função tangente: O gráfico da função é definida por uma imagem pertencente aos reais.
11
Associando o ciclo trigonométrico com a função , temos:
Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor da tangente dos seguintes
ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):
a) 30°
b) 45°
c) 50°
d) 60°
e) 5°
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) 120°
m) 135°
n) 234°
o) 290°
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w) 260°
x) 315°
y) 350°
z) 270°
2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de suas tangentes
através de sua calculadora científica:
3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.
4- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º.
a) 100°
b) 145°
c) 172°
d) 196°
e) 219°
f) 247°
g) 251°
h) 273°
i) 281°
j) 299°
k) 307°
l) 312°
m) 329°
n) 357°
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
5- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule o seno e o
cosseno dos seguintes ângulos.
a) 130°
b) 245°
c) 450°
d) 760°
e) 195°
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) 120°
m) 135°
n) 234°
o) 290°
p)
q)
r)
12
s)
t)
u)
v)
w) 260°
x) 315°
y) 350°
z) 270°
6- Calcule o valor das expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
7- Construa o gráfico das funções, com :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Cotangente Nota-se que a cotangente é o inverso da tangente graficamente. Veja que a tangente tem sua
reta de valor paralela ao eixo y enquanto a cotangente é medida por uma reta paralela ao eixo
x, .
Assim, podemos notar que:
Veja os sinais da cotangente em cada quadrante, note que são os mesmos sinais da tangente:
13
1° quadrante a cotangente é positiva 2° quadrante a cotangente é negativa
3° quadrante a cotangente é positiva 4° quadrante a cotangente é negativa
Gráfico da função cotangente: O gráfico da função é definida por uma imagem pertencente aos reais.
Associando o ciclo trigonométrico com a função , temos:
Secante e cossecante Traçando uma reta tangente a circunferência no ponto onde intercepta a reta azul que define
o ângulo de forma ortogonal. Esta reta tangente gera o valor da secante e da cossecante, nos
eixos x e y respectivamente.
14
SECANTE COSSECANTE
Os sinais da secante e cossecante são o mesmo do cosseno e seno respectivamente, pois são
funções inversas:
Função secante e cossecante:
Função secante função cossecante
15
Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor da secante, cossecante e
cotangente dos seguintes ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em
radianos):
a) 30°
b) 45°
c) 50°
d) 60°
e) 5°
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) 120°
m) 135°
n) 234°
o) 290°
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w) 260°
x) 315°
y) 350°
z) 270°
2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de suas secantes,
cossecantes e cotangentes através de sua calculadora científica:
3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.
4- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida calcule a secante e
cossecante.
a) 100°
b) 145°
c) 172°
d) 196°
e) 219°
f) 247°
g) 251°
h) 273°
i) 281°
j) 299°
k) 307°
l) 312°
m) 329°
n) 357°
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
5- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule a secante,
a cossecante e cotangente dos seguintes ângulos.
a) 130°
b) 245°
c) 450°
d) 760°
e) 195°
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) 120°
m) 135°
n) 234°
o) 290°
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w) 260°
x) 315°
y) 350°
z) 270°
6- Calcule o valor das expressões, quando existirem valores reais:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
16
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
7- Construa o gráfico das funções, com :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
Relação trigonométrica
fundamental Através do teorema de Pitágoras
17
Exercícios: 1- Dado
, com
, calcular
2- Dado
, com
, calcule
3- Dada
, com , calcular .
4- Dada , com , calcular .
5- Para que valores de temos, simultaneamente, e .
6- Simplifique a expressão:
a)
b)
c)
Baseando na relação trigonométrica fundamental:
Temos:
Exercícios: 1- Sabendo-se que
, calcule o valor da expressão
.
2- Sabendo-se que
e
, calcule
.
3- Sendo
,com
, calcule
.
4- Sabendo que
e , calcule o valor da expressão
.
5- Sabendo que
e
, calcular o valor de
.
18
6- Sabendo que
e x é do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão
.
Propriedades de arcos
complementares Arcos complementares, são aqueles que quando somados (unidos) produzem um arco
com ângulo de 90 graus.
Assim os ângulos de medida e
são complementares.
Winplot: ciclo trigonométrico arcos complementares
Exercícios:
1- Simplifique a expressão
.
2- Demonstre que
.
3- Simplifique a expressão
.
4- Simplifique a expressão
.
5- Simplifique a expressão
.
6- Resolva a equação .
7- Resolva a equação , para .
8- Resolva a equação .
9- Resolva a equação .
10- Determine o conjunto solução da equação
.
Adição ou subtração de Arcos Sejam e dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuja soma pertence ao primeiro
quadrante, ou seja:
19
No caso de senos e cossenos:
Para subtração de arcos o sistema é o mesmo:
No caso da tangente temos:
Exercícios: 1- Calcule os senos, cossenos e tangentes dos seguintes arcos:
a) 105°
b) 135°
c) 15°
d) 75°
e)
f)
g)
2- Determine o conjunto solução da equação .
3- Quais são os arcos, de 0° a 180°, que satisfazem a equação .
4- Resolva o sistema:
, com .
5- Faça as demonstrações:
a)
b)
6- Sabendo que
e
, calcule .
7- Utilizando todas as formulas já conhecidas, e sabendo que
e
.
Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
20
Multiplicação e divisão de arcos No caso da multiplicação é apenas uma aplicação das fórmulas da adição de dois
arcos. Nelas faremos , obtendo as fórmulas para o arco .
Assim,
No caso da divisão, obteremos as formulas por outro processo, que nos permitem calcular
,
e
.
Sabendo que
Logo,
Tendo,
De maneira análoga temos:
Enquanto a tangente:
Exercícios: 1- Conhecendo-se
,
, calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
21
2- Demonstre que .
3- Dados
e
, com e no 1º quadrante, calcule .
4- Resolva a equação .
5- Se
, calcule .
6- Dado
,
calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
7- Calcule , de 2 maneiras diferentes, no mínimo.
8- Resolva a equação
.
9- Sendo
no com no terceiro
quadrante. Calcule
.
10- Demonstre as identidades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
11- Prove que:
a)
b)
c)
Transformação de soma em
produto
Através de soma e subtração de arcos, podemos encontrar :
22
Exercícios: 1- Fatorar, ou transformar em produto, a expressão .
2- Fatorar
3- Transformar em produto a expressão
4- Resolver a equação
5- Fatore a expressão
6- Simplifique a expressão
7- Resolva a equação
8- Simplifique a expressão
.
9- Calcule o valor da expressão .
10- Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)