Apostila Topicos Part Introduã‡Ãƒo
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UNIVERSIDADE DE BRASLIA (UnB) FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA
Fundamentos de Otimizao
Definies:
Funo Objetivo: funo que se deseja otimizar (minimizar ou maximizar)
+ custos + perdas + benefcios + desvios
Restries:
So as condies que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo em que otimizada a funo objetivo. Estas condies so representadas por funes e/ou limites em variveis.
Regio Factvel:
a regio delimitada pelo conjunto de restries. Qualquer soluo dentro desta regio satisfaz simultaneamente as restries. Solues fora desta regio de factibilidade so solues infactveis.
Restrio Ativa:
uma restrio que faz parte do limite da regio de factibilidade no qual ocorre a soluo tima de um problema de otimizao restrito (R1, R2).
Restrio no ativa:
uma restrio que no faz parte do limite onde ocorre a soluo tima (R3).
X1
R1 R2
Regio Factvel R3
X2
Max f(x1,x2)
-
Exemplo:
Minimizar ( ) 222121 41
, xxxxf +=
Sujeito a: 05),( 2121 =+= xxxxw
0),(.),(11
)0(2
)0(1
)0(2
)0(1 =+
=
xxwxxf
w
Multiplicador de Lagrange
5
F=5
),( )0(2)0(1 xxf
),( )1(2)1(1 xxf
),( )2(2)2(1 xxf
),( )1(2)1(1 xxw
),( )0(2)0(1 xxw ),( )2(2)2(1 xxw
X2
X1
5
5
514
2
1=
=
= fXX
521 =+ XX F=5
-
3.1.1. Funo Lagrangeana
),(.),(),,( 212121 xxwxxfxxL =
222
111
.
.
x
w
x
fx
Lx
w
x
fx
L
=
=
=
2
1
2
1
2
1.
x
w
x
w
x
fx
f
x
Lx
L
0. == wfL
No ponto de timo:
0;0;021
=
=
=
L
x
Lx
L
No exemplo:
( ) ( )541
,, 2122
2121 ++= xxxxxxL
=+
=
=
=+=
==
==
52
2
2
2
5
02
0..21
2
1
21
22
11
x
x
xxL
xx
L
xx
L
=
=
=
1
4
2
2
1
x
x
Tendo mais restries:
),(.),(.),(.),(),,,,( 2133212221112132121 xxwxxwxxwxxfxxL =
=
=
3
1212132121 ),(.),(),,,,(
iii xxwxxfxxL
-
Condies:
0;0;0;0;032121
=
=
=
=
=
LLL
x
Lx
L
Com restries de desigualdade:
( ) 0,..., 21 xxg
( ) 222121 41
, xxxxfMinimizar +=
S.a:
05),( 2121 =+= xxxxw
+= 0551),( 2121 xxxxg
0451),( 2121 += xxxxg
4 5
1
X1
X2
5
G(X1*, X2*) < 0 Restrio no ativa = 0
G(X1*, X2*) = 0 Restrio est ativa > 0
-
3.1.2. Condies de Kuhn-Tucker para caracterizar a soluo tima
Minimizar ( )xf
S.a.
( )
( ) Ngixg
Nwixw
i
i
,....1,0
,....1,0
=
==
x vetor de dimenso N
Funo Lagrangeana
==
=
Ng
iii
Nw
iii xgxwxfxL
11
)(.)(.)(),,(
Para um ponto de timo 000
,, x devem ser satisfeitas as seguintes
condies:
1. ( ) Nixx
L
i
,.....1,0,, 000 ==
2. ( ) Nwixwi ,.....1,00 == 3. ( ) Ngixg i ,.....1,00 =
4. ( )
Ngixg
i
ii,.....1,
00. 0
=
=
Condio de folga complementar
-
2.1. Despacho Econmico de Gerao sem levar em considerao a rede de distribuio.
Custo Total de Operao
( ) ( )=
=
n
iiPgCiPgC
1 (1)
Atendimento da carga:
=
+=n
iPerdas
TotalDi PPPg
1 (2)
Maxii
Mini PgPgPg (3)
Pg1
Pg2
Pgn
PDTotal
Ci(Pgi)
Pgi PgiMin
PgiMax
Ci(Pgi)
Pgi PgiMin PgiMax
-
2.2. Despacho Econmico Sem perdas e sem limites de gerao
Minimizar
( ) ( )=
=
n
iii PgCPgC
1
S.a
=
=
n
i
TotalDi PPg
1
Funo Lagrangeana:
( ) ( ) {44 344 2143421
MW
n
i
TotalDi
MWH
h
n
iiii PPgPgCPgL
=
== 1/$/$
1., (4)
Aplicando as condies necessrias para encontrar a soluo tima,
nidPgdC
PgL
i
i
i
,....1,0 ===
ii
i CIdPgdC
= (6)
0== i
i
CIPgL
(5)
01
=+=
=
TotalD
n
ii PPg
L
( ) 2111111 121 PgbPgaCoPgC ++=
( ) 22222222 21 PgbPgaCoPgC ++=
( )PgC
Pg
-
TotalD
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
i
i
n
ii
dPPgdC
dPgPgdC
dPgPgdC
dPgCIPgdC
dPgdPgdCPgdC
dCPgdC
..)(
)(
.)(
.)(
.)(
)(
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(8)
TotalDdPPgdC )(
= (7)
Num caso geral com n geradores,
( ) 221
iiiiiii PgbPgaCoPgC ++= (9) [ ]
[ ][ ][ ]
[ ][ ] ;,.....,,
;,..,,
;1.........,,.........1,1
;...,,.........,
;..,,.........,
;,.....,,
21
21
21
21
020100
TnDDDD
Tn
T
Tn
Tn
Tn
PPPP
PgPgPgPg
e
bbbb
aaaa
CCCC
=
=
=
=
=
=
(10)
B = diag(b) (11)
2222
2 PgbaPgdC
+==
Pgdc
Pg
IC1
IC2
Pg1 Pg2 Pg2
1111
PgbaPgdC
+==
Pg
-
Min,
( ) .B.PgPg.Pga.CePg TTOT 21
++=C (12) S.a
DTT.Pe.Pge == TotalDP
Funo Lagrangeana:
( ) ( ) ( )TotalDPCL = .PgePgPg T,
Condies Necessrias:
DTT.Pe.Pge
.eBPgaPg
===
=+=
TotalDP
L
L
(13)
Soluo analtica:
.aB.eBPg 11 = . (14)
Multiplicando a eq. (14) por Te
T11T.a.eB.eBe = .TotalDP
.e.Be.a.Be
1T
1T
+=
TotalDP (15)
Inserindo a eq. (15) na eq. (14),
.aB.eB.e.Be
.a.BePg 111T1T
+= .
TotalDP
Pg += TotalDP. (16)
Sendo que:
( ).aB
.e.Be.a.Be.e.B
0.e.Be
.eB
11T
1T1
1T
1
=
>=
-
2.3. Despacho Econmico com limites de capacidade
Min
( )=i
ii PgCC
S.a = TotalD
ii PPg
{ {Maxi
Maxi
i
Mini
Mini
PgPgPg
, i = 1,.........n
( ) ( ) ( )( )
+
+
=
i
Maxi
Maxi
ii
MinMini
i
TotalDi
iii
MaxMin
i
i
PgPg
PgPgPPgPgCL
Pg ,,,
De acordo com as C.N:
iMin 0 iMax 0
Pg1Min Pg2Max Pg2Min Pg2 Pg1 Pg1Max
CI1 CI2
-
Maxi
Maxi
MaxiMax
i
Mini
Mini
MiniMin
i
PgLPg
L
PgLPg
L
==
==
.
.
C.N:
niPgPgL
niPgPgL
PPgL
CIPgL
MaxiiMax
i
iMiniMin
i
i
TotalDi
Maxi
Minii
i
,.....1
,.....1
0
0
==
==
==
=+=
( ) 0= iMaxiMini PgPg i = 1,......n 0Mini
( ) 0= MaxiiMaxi PgPg i = 1,......n 0Maxi
Pelas condies de folga complementar:
1) Se MaxiiMini PgPgPg Mini e 0= MiniiCI
iMinii CICI
-
3) Se Maxii PgPg =
Ento,
0>Maxi e 0=+ MaxiiCI
iMaxii CICI >+=
iMin
PgiMin
iMax
PgiMax
-
Algortmo:
1) CIMin = Min(CI) 2) CIMax = Max(CI) 3)
2MaxMin CICI +
=
=iCI
4) iii Pgba += i
ii b
aPg =
5) Se iMaxi PgPg < Maxii PgPg = 6) Minii PgPg < Minii PgPg = 7) =
ii
Total PgPg
8) Se TotalDTotal PPg > Ento MaxCI= v ao passo 3) 9) TotalDTotal PPg < Ento MinCI= v ao passo 3) 10) Pare.
Pgi a soluo e o preo da energia.
Ordem de mrito.
Exemplo:
G C0($/h) a ($/MWh) b ($/MWh) PgMin PgMax 1 100 20 0,05 0 400 2 200 25 0,10 0 300
20 .2
1.
iiiiPgbPgaCC ++=
Caso TotalDP
(MW) Pg1
(MW) Pg2
(MW) CI1
($/MWh) CI2
($/MWh) C($/h
A2 40 40 0 22 25 22 1140 B2 250 200 50 30 30 30 6675 C2 300 233,3 66,7 31,67 31,67 31,67 8217 D2 600 400(Max) 200 40 45 45 19300
Pg1Min Pg2Max Pg2Min Pg2 Pg1 Pg1Max
CI1 CI2
C1Min
-
2.4. Despacho Econmico de Custos Lineares por Parte
Unidade Carga 10 1 20 15 1 + 2 20 PD 30 20 1 + 2 30 PD 40
CI1
MW 10 25 30
a11=15
a11=25
a13=45
CI1
MW 20 30 35
a11=10
a11=20
a13=40
Ci($/h)
MW
-
2.5. Despacho Econmico com Perdas
1) Se as duas unidades geradoras so despachadas com 250 MW cada, ento;
P1 + P2 < 500, dado que a perda na linha seria de 12,5 MW.
Esta soluo infactivel.
Fazendo o despacho econmico temos:
2) Min C1(P1) + C2(P2)
S.a
PerdasTotal
D PPPP +=+ 11
40070400700002,0
2
1
21
=
PP
PPPerdas
( ) ( ) ( )212211 500 PPPPCPCL Perdas +++= (38)
Condies necessrias ignorando limites de capacidade:
0500
01
01
21
22
2
11
1
=+=
=
=
=
=
Perdas
Perdas
Perdas
PPPLP
PCIPL
PPCI
PL
Ento,
P1 P2 Min = 70 MW Max = 400 MW
500MW Min = 70 MW Max = 400 MW
Perdas 0,0002P12 }
}
22
11
004,07
004,07
PCI
PCIba
ba
876
876
+=
+=
-
( )
00002,0500
0004,07
0004,01004,07
2121
22
111
2
1
=+=
=+=
=+=
PPPL
PPL
PPPL
CI
CI
48476
48476
Soluo do sistema no linear de equaes:
P1 = 178,882 MW P2 = 327,496 MW = 8,31 R/MWh
211011 .2
1. PbPaCC ++=
222022 .2
1. PbPaCC ++=
Custo:
hCC /$15,462321 =+
Perdas:
6,378 MW
3) Suponha que decidimos ignorar a influncia econmica das perdas, e despachamos a unidade 1 suprindo asperdas.
Neste caso,
( ) ( ) hCC /$84,4661250932,263 21 =+
4) Soluo com perdas mnimas
P1 = 263,932 MW
P2 = 250 MW 500MW
Perdas =13,932 P2 = 250 MW
-
P2 = 400 MW P1 = 102,084 MW
PPerdas = 2,084 MW
( ) ( ) hCC /$43,4655400084,102 21 =+
Fluxo de Carga Linearizado. (F.C. CC)
Utilizado para estudos de planejamento e expanso da rede. No leva em considerao o problema QV. Objetivo: Ter uma soluo indicativa para estimar os fluxos na rede. Garante sempre convergncia
Linearizao
kmkmmkkmmkkkmkm SenbVVCosVVVgP = )( 2 (1) kmkmmkkmmkmkmmk SenbVVCosVVVgP += )( 2 (2)
Perdas na Linha:
)2( 22 kmmkmkkmmkkm CosVVVVgPP +=+ = Perdas (3)
Suponha que: 1. as perdas de potncia ativa so nulas; ou seja,
rkm
-
kmkmmkmkkm SenbVVPP == (4)
Introduzindo as suposies anteriores nesta ltima equao, temos,
km
kmkm
xP
=
ou seja, km
mkkm
xP =
(6)
Lembrando os circuitos em CC:
(7)
As equaes (6) e (7) tem aspecto similar.
Formulao Matricial
No circuito cc: EYI .=
F.C Linear:
kmkmkm xP .1= (12)
==
kk mkmkm
m
kmk xPP .1 ; para k = 1,2,....NB (13)
( )
+
=
kk mmkm
m
kmkk xxP .11 (14)
Ento a representao matricial :
B'.P =
vetor de ngulos das tenses nodais k (NBx1)
Pk
Ikm
rkm
m
Vm Vk
k
km
mkkm
r
VVI
=
-
P vetor de injees lquidas de potncia ativa. 'B Matriz tipo admitncia nodal, e cujos elementos so:
=
=
kmkmkk
kmkm
xB
xB1
1
'
'
(16)
Problema : A matriz 'B singular com dimenso (NBxNB-1), dado que as perdas de transmisso foram desprezadas e portanto a soma das componentes de P nula. A injeo de potncia numa barra pode ser obtida a partir da soma algbrica das demais.
Para resolver este problema, uma equao do sistema (15) eliminada e a correspondente barra considerada barra de referncia, k = 0. Desta forma o sistema passa a ser no singular e com dimenses NB-1 e os ngulos das outras NB-1 barras podem ser determinados a partir da injeo de potncia especificada.
Exemplo:
=
422253235
B'
B'.P = ; neste caso ,
=
3
2
1
.
422253235
0.15.0
5.1
Sistema reduzido:
=
3
2.
4225
0.15.0
P1=1.5
P3 = -1.0
1
3
P2 = -0.5
X13=1/2 X23=1/2
X12=1/3
Barra de referncia a barra 1. 1 = 0
2 P1=1.5
P3 = -1.0
1
3
P2 = -0.5
X13=1/2 X23=1/2
X12=1/3
Barra de referncia a barra 1. 1 = 0
-
Soluo:
rrrP'B .)( 1=
=
0.15.0
16/58/18/14/1
3
2
=
8/34/1
3
2
Fluxos:
3/1)4/1(0
12
1212
==
xP 75.012 = P
2/1)8/3(0
13
1313
==
xP 75.013 = P
2/1)8/3()4/1(
23
2323
==
xP 25.023 = P
FLUXO DE CARGA LINEAR TIMO
)( EG P,PfMinimizar Sujeito a :
maxmin
maxmax
PPPPPPB
f
DG
==
fluxofluxo
Onde,
1. )()(1
=
=
n
iiGi PCf EG P,P o custo total de gerao com carga inelstica fixa.
2. )()()(11
==
=
n
iiEi
n
iiGi PWPCf EG P,P o custo de gerao considerando carga
elstica em relao ao preo. W uma funo de beneficio dos consumidores.
Observe que: AXP T1f =
.
Funo Lagrangeana para o caso 1. com carga inelstica:
)PA(XP)(BP,,P, maxfT1TT ++= )()( fl
Condies necessrias de otimalidade:
-
00PAX
0PAX
0PB
0AXB
0CIP
max
fT1T
max
fT1
1T
=
=
==
=+=
==
][
l
l
l
l
Os multiplicadores de Lagrange so os preos nodais.
Caso existam linhas saturadas pode ser mostrado com as equaes anteriores que os agentes do sistema devem pagar:
===
=+n
iiDi
m
kkfk
n
iiGi PPP
11
max
1
Como 0max kfk P o custo total de gerao menor que o montante pago pelas cargas.
O valor 01
max
11
>== ===
m
kkfk
n
iiDi
n
iiGi PPPMS chamado de Merchandising
Surplus.
FLUXO DE CARGA TIMO (FCO)
)( EG P,PfMinimizar Sujeito a :
maxmin
maxmin
maxmin
maxmin
maxmax ),(),(
),(
vvv
QQQPPP
PvPP
vQQQvPPP
f
DG
DG
=
=
GGG
GGG
fluxofluxo
q
p
-
Exemplo: