Apostila Matemática Básica I
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MATEMÁTICA BÁSICA I
SUMÁRIO
Introdução ............................................................................................................ 02
Aula 1 – Números naturais ................................................................................... 03
Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC .............................................................. 10
Aula 3 – Números inteiros e racionais .................................................................. 15
Aula 4 – Sistema de numeração decimal ............................................................. 25
Aula 5 – Medidas de comprimento e área ............................................................ 30
Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume .................................. 38
Referências .......................................................................................................... 46
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INTRODUÇÃO
Seja bem-vindo ao curso de Matemática Básica I. Nele, compartilharemos muitas
informações interessantes e fundamentais para utilização em qualquer situação,
seja em casa, na rua, no mercado, na feira, na escola, no estágio etc.
Este curso foi elaborado para que você se sinta mais preparado para resolver
situações que exigem o uso da matemática, em qualquer situação!
A ideia inicial é revisar alguns conceitos fundamentais para que você tenha um bom
embasamento e consiga acompanhar com facilidade as aulas seguintes.
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AULA 1 – NÚMEROS NATURAIS
Muitas vezes nem percebemos, mas os números estão presentes em muitas
situações do dia a dia, na identificação da nossa casa, na placa do carro, no
telefone, em horas, no dia do mês, nos documentos, entre outros...
Esses números são conhecidos como números naturais e será o primeiro assunto
que abordaremos no curso.
Observe o bilhete abaixo:
Percebeu que em um simples bilhete tivemos que utilizar por três vezes os números
naturais?
Ao fazer referência às horas, na identificação do portão e o número do telefone. E já
que estamos falando sobre números naturais devemos lembrar que a sequência
desses números é infinita, acompanhe a sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13,...
Com base nos números naturais podemos realizar uma série de atividades
utilizando as quatro operações básicas, para revê-las vamos acompanhar um pouco
da história de Matheus, um jovem de 20 anos, está na faculdade e estagia em uma
empresa na área de Arquitetura. Para realização do trabalho de hoje, teve de
comprar alguns materiais: esquadro, régua, compasso, papéis, lápis e canetas
Bom dia Matheus!
Não se esqueça do nosso encontro referente ao trabalho da Professora
Lúcia, hoje às 17 horas, em frente ao 3º portão da universidade.
Até lá!
Beijos
Mariana
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hidrográficas e utilizou nesse processo as quatro operações básicas, observe que o
valor total da compra realizada pelo Matheus foi de R$ 27,00. Para chegar a esse
valor foi utilizada a primeira operação fundamental na Matemática: a adição.
Acompanhe o cálculo:
Esquadro R$ 2,98
Régua R$ 0,79
Compasso R$ 7,99
Papéis R$ 3,86
Lápis R$ 1,55
Canetas hidrográficas R$ 9,83
TOTAL R$ 27,00
Suponhamos que Matheus pensasse melhor e resolvesse não ficar com o
compasso. Por meio da subtração é possível chegar ao resultado. Veja:
Total da compra R$ 27,00
Compasso R$ 7,99
TOTAL R$ 19,01
Ainda utilizando o mesmo exemplo, imagine que Matheus estivesse somente com o
cartão de crédito para pagar a conta e por isso resolveu dividir em 3 vezes,
utilizando o conceito de divisão, então vamos ao cálculo:
Total da compra R$ 27,00 3 quantidade de parcelas
TOTAL R$ 9,00
O exemplo apresentado é de uma divisão exata, mas uma divisão nem sempre é
exata, é o que chamamos de divisão com resto. Acompanhe o exemplo:
118 5
18 23
resto 3
+
-
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Para que a divisão seja realizada, é preciso que o dividendo seja maior ou igual ao
divisor, além disso, fique atento, pois não existe divisão por zero.
Imagine que Matheus quisesse acrescentar à sua compra mais dois compassos e
três lápis. Nesse caso teremos de usar a multiplicação. Acompanhe:
Compasso R$ 7,99 x 2 = R$ 15,98
Lápis R$ 1,55 x 3 = R$ 4,65
Total das compras extras R$ 20,63
Cálculo final
Compra inicial R$ 27,00
Compra extra R$ 20,63
Total R$ 47,63
Continuando nosso estudo, observe que o guarda-roupa de Matheus possui 4
portas, com 4 gavetas e 4 camisetas em cada uma delas. Utilizando o conceito de
potenciação, como poderemos saber a quantidade total de camisetas que Matheus
possui.
armário fechado
+
+
Armário aberto
Lembrando que potenciação
número “n” de vezes, ou seja:
Relembrando que o guarda-roupa de Matheus possui 4
camisetas em cada uma delas, utilizando o conceito de potenciação ficaria assim:
Logo, Matheus possui 64 camisetas.
Acompanhe algumas dicas.
• toda potência de base diferente de zero
-30 = 1
-60 = 1
-80 = 1
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é a multiplicação repetida de “a” por ele mesmo um
de vezes, ou seja:
ou
2³ = 2x2x2 = 8
34 = 3x3x3x3x= 81
roupa de Matheus possui 4 módulos, com 4 gavetas e 4
camisetas em cada uma delas, utilizando o conceito de potenciação ficaria assim:
43 = 4 x 4 x 4 = 64
Matheus possui 64 camisetas. Simples, não?
ncia de base diferente de zero com expoente zero é igual a 1, veja:
Disposição das camisetas
em uma das gavetas.
módulos
gavetas
camisetas
6
por ele mesmo um
s, com 4 gavetas e 4
camisetas em cada uma delas, utilizando o conceito de potenciação ficaria assim:
, veja:
Disposição das camisetas
em uma das gavetas.
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• toda potência com expoente 1 é igual à própria base, acompanhe:
-171 = 17
- 281 = 28
- 2 1 = 2
• para realizar a leitura de potências, acompanhe algumas regras:
62: lê-se seis elevado ao quadrado;
73: lê- se sete elevado ao cubo;
24: lê-se: dois elevado à quarta potência;
810: lê-se: oito elevado à décima potência;
1520:lê-se quinze elevado à vigésima potência, assim, com todos os demais
expoentes.
Temos também o conceito de radiciação que é bem parecido com a potenciação. A
radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, para acharmos a raiz
quadrada, cúbica, quinta potência de um número, a pergunta que se deve fazer é:
qual número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes
resulta no número que temos.
Acompanhe este exemplo: Qual número que multiplicado por ele mesmo uma
determinada quantidade de vezes resultam nos números 8 e 256?
A resposta é 2 e 4, pois 2 x 2 x 2 = 8 e 4 x 4 x 4 x 4= 256.
Então, podemos dizer que 23 = 8 e 44 = 256.
Outro conceito importante é a raiz quadrada. Para compreendê-lo melhor, vamos
utilizar algo prático. Observe esse quadro, que interessante: é um quebra-cabeça!
Se contarmos as peças na horizontal e as peças na vertical, descobrimos 13 de
cada lado, observe:
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Para descobrir a quantidade de peças do quebra-cabeça, basta realizar o seguinte
cálculo:
√ ? = 13
132 = ?
132 = 169
√ 169 = 13
Logo, se contarmos o quebra-cabeça encontraremos 169 peças. O conceito
utilizado foi o da raiz quadrada. Quando descobrimos que o número 13 ao quadrado
é igual a 169, encontramos a raiz quadrada de 169.
Para saber a quantidade de peças que há em cubo mágico, devemos utilizar o
mesmo conceito utilizado para contar as peças do quebra-cabeça, porém com um
detalhe importante, ao invés de utilizarmos a raiz quadrada, utilizaremos a raiz
cúbica. Imagine que cada lado do cubo mágico possui 3 peças.
13 peças
13 peças
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Quantas peças temos ao todo neste cubo mágico?
√ ? = 33 = 3 . 3 . 3 = 27
Logo = √27 = 3
Por meio do cálculo identificamos que o cubo tem 27 peças. A operação usada para
encontrar a raiz quadrada ou cúbica é a radiciação, que estudamos há pouco. Veja:
• √ 25 = 5 pois 5² = 5 X 5 = 25
• √ 36 = 6 pois 62 = 6 x 6 = 36
• √ 8 = 2 pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8
• √64 = 4 pois 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3
3
3
3
3
3
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Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC
Seja bem-vindo à 2ª aula do curso! Iniciaremos o estudo pelos números primos, que
nada mais são que números que possuem apenas dois divisores: o número 1 e ele
próprio. Para encontrá-los de maneira organizada e precisa utilizaremos o Crivo de
Eratóstenes.
1º) Escreva os números naturais de 1 a 50.
2º) Elimine o número 1 e os múltiplos de 2, exceto ele mesmo.
3º) Elimine os múltiplos de 3, exceto ele mesmo.
4º) Elimine os múltiplos de 5 e 7, exceto eles mesmos.
Os números que sobraram são os números primos.
Os números podem ser decompostos em fatores primos. Você sabe o que isso
significa?
Isso quer dizer que um número pode ser decomposto com utilização de dois ou
mais fatores e existem várias formas de se fazer isso, observe:
180 = 2 x 90
ou
180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5
O que você vê são dois modos de fatorações do número 180.
Você ainda pode escrever a multiplicação de fatores iguais em forma de potência,
veja.
180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5
180 = 22 x 32 x 5
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...
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É isso mesmo! Com base nessas informações podemos realizar cálculos por meio
do MMC – Mínimo Múltiplo Comum e do MDC – Máximo Divisor Comum.
Exatamente, mas antes é importante saber sobre os múltiplos de um número
natural. Se um número é divisível por outro número qualquer e diferente de zero,
dizemos que ele é múltiplo desse número. Acompanhe o exemplo:
Importante saber que um número pode ter infinitos múltiplos e que o zero é múltiplo
de qualquer número natural.
Agora que já sabemos como calcular o múltiplo de um número ficará bem mais fácil
compreender o MMC e o MDC.
Acompanhe o exemplo: no final do ano passado, Dona Carolina colheu 15 goiabas
e 20 mangas das árvores que tem em seu quintal. Na época, ela gostaria de
organizá-las em sacos plásticos sem misturar os tipos de fruta, ocupando o mínimo
de sacos possível. Quantas frutas Dona Carolina deveria ter colocado em cada
saco?
Para que as frutas ocupem a menor quantidade de sacos plásticos, precisamos
encontrar a quantidade máxima de frutas que devem ser colocadas em cada um
deles. Existem duas maneiras de encontrarmos o resultado.
Por meio do cálculo do MDC – Máximo Divisor Comum de 15 e 20.
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
MDC (15, 20) = 5
24 é um número divisível por 3, logo 24 é múltiplo de 3.
Ele também é múltiplo de 1, 2, 4, 6, 8, 12 e o próprio 24.
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O máximo divisor comum de (15, 20) é o número 5, pois é o único fator comum que
aparece no cálculo. Se existisse outro fator comum maior que o número 5, esse
fator seria o máximo divisor comum.
D é a abreviatura de divisores. No exemplo apresentado, os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.
Por meio da decomposição em fatores primos.
15, 20 2
15, 10 2
15, 5 3
5, 5 5 fator comum
1, 1
5 é o fator comum, pois foi o único número primo que decompôs simultaneamente os números 15 e 20.
Muito bom! Por meio do MDC ou pela decomposição em fatores primos, chegamos
à resposta do problema de Dona Carolina que deveria ter colocado 5 frutas em
cada saco plástico.
Agora, acompanhe o cálculo do MDC (420, 700) pela decomposição em fatores
primos.
420, 700 2 fator comum
210, 350 2 fator comum
105, 175 3
35, 175 5 fator comum
7, 35 5
7, 7 7 fator comum
1, 1
Feita a decomposição, multiplique os fatores primos comuns: 2 . 2 . 5 . 7 = 140, logo
o MDC (420, 700) é 140.
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Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
420 = 22 x 3 x 5 x 7
700 = 22 x 52 x 7
Continuando nosso estudo, lanço outro desafio.
Imagine que um eclipse só pode ser visto da região nordeste do Brasil a cada 9
anos e outro a cada 7 anos. Se eles foram vistos este ano, daqui a quantos anos os
veremos novamente ao mesmo tempo?
Primeiro precisamos verificar em que intervalo de tempo os dois eclipses serão
vistos simultaneamente e existem duas formas de chegarmos a resultado.
Um dos caminhos para resolver o problema é identificando os múltiplos comuns de
9 e 7, selecionando o menor deles, com exceção do 0.
M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81...}
M (7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...}
MMC (9, 7) = 63
M é a abreviatura de múltiplos. No exemplo apresentado, os múltiplos de 7 são 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,
63...
Outra estratégia é por meio da decomposição em fatores primos.
9, 7 3
3, 7 3
1, 7 7
1, 1
MMC (9, 7) = 3 . 3 . 7 = 63
O resultado do MMC será obtido por meio da multiplicação de todos os fatores primos.
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Nesse caso, usando o MMC ou a decomposição de fatores primos, concluímos que
o eclipse acontecerá daqui a 63 anos.
CURIOSIDADE
Existem alguns números que são primos entre si, pois o resultado do MDC é igual a
1, por exemplo os números 35 e 24. Faça o cálculo e comprove!
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Aula 3 – Números inteiros e racionais
Os números Inteiros são frequentemente utilizados em nosso dia a dia, já que são
constituídos pelos números naturais {0, 1, 2...} e seus opostos {0, - 1, - 2...}. Quer
ver um exemplo?
Toda geladeira ou freezer são controlados por temperatura que pode ser positiva ou
negativa. Determinadas câmaras frigoríficas chegam a registrar - 45º C,
dependendo do tipo de alimento armazenado.
Importante lembrar que quando a temperatura é positiva (acima de 0) não
precisamos colocar o sinal de +, já que é opcional.
Também usamos esse conceito em relação aos extratos bancários, por exemplo,
imagine que foi debitado R$ 235,00 de sua conta, esse débito é representado pelo
sinal de – (menos), aparecendo da seguinte forma em sua conta: - 235,00.
Outro dado interessante é que não utilizamos nenhum sinal para representar o
número 0 (zero) já que ele não é nem positivo nem negativo.
Por meio dos números inteiros, podemos realizar várias operações, acompanhe:
Adição de inteiros
Veja o que fazer com os sinais na adição com números Inteiros.
Sinal dos números
Operações entre os números
Sinal do Resultado
+ + SOMA
+ - - -
Na adição, podemos encontrar duas situações:
• parcelas com o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal,
somamos os valores e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles:
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(+ 6) + (+ 4) = + 10
(– 4) + (– 10) = – 14
• parcelas com sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais
diferentes, devemos subtrair os valores e atribuir ao resultado o sinal do número de
maior valor.
(– 16) + (+ 8) = - 8
Subtração de inteiros
Veja o que fazer com os sinais na subtração com números Inteiros.
Sinal dos números
Operações entre os números
Sinal do Resultado
+ - SUBTRAÇÃO
VALE O SINAL DO MAIOR - +
A subtração dos números inteiros acontece da seguinte forma:
• com sinais diferentes: subtraímos os números e conservamos o sinal do maior.
Acompanhe os exemplos:
- 10 + 12 = 2 � Como o maior número é positivo o resultado também será.
- 34 + 12 = - 22 � Como o maior número é negativo o resultado também será.
• com sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal.
Ex.: - 23 - 9= - 32
+ 7 + 4 = +11
Multiplicação de inteiros
Entenda os sinais na multiplicação de inteiros.
Sinal dos números
Operação entre os números
Sinal do resultado
+ + - -
MULTIPLICAÇÃO +
+ - - +
-
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Veja os exemplos:
10 x 70 = 700 (sinais iguais → produto positivo)
10 x - 70 = - 700 (sinais diferentes → produto negativo)
Divisão de inteiros
Na divisão são usadas as mesmas regras de sinais da multiplicação.
Sinal dos números
Operação entre os números
Sinal do resultado
+ + - -
MULTIPLICAÇÃO +
+ - - +
-
Veja alguns exemplos:
- 50 ÷ - 2 = 25 (sinais iguais → produto positivo)
50 ÷ - 2 = - 25 (sinais diferentes → produto negativo)
É possível utilizarmos o conceito de potenciação e radiciação com números
inteiros?
Sim! A única diferença é que encontramos números negativos nas operações.
Estudamos há pouco que 53 = 5 x 5 x 5 = 125, mas qual é o resultado da potência -
53 ?
Primeiramente precisamos ter em mente duas regras:
- quando a base é positiva a potência também é positiva.
- quando a base é negativa temos duas possibilidades:
1ª) Expoente par = potência positiva
72 = 7 x 7 = 49
(-4)² = (- 4).(-4) = 16
(-2)6 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = 64
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2ª) Expoente ímpar = potência negativa
(-2)³ = (-2).(-2).(-2) = - 8
(-5)5 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = - 3125
(-3)³ = (-3).(-3).(-3) = - 27
Obs.: todo número elevado a zero é igual a um.
30 = 1
(-1000) 0 = 1
Já na radiciação podemos encontrar situações como ³√-8 , onde o radicando é
negativo. Nesse caso, temos duas situações:
1) Se o índice for ímpar, teremos uma raiz negativa:
³√-8 = - 2 pois (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) =
5√-243 = -3 pois (-3)5 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = -243
2) Se o índice for par, não existirá raiz, acompanhe:
√-4 = ?
Nesse caso não existe raiz, pois não existe nenhum número que elevado ao
quadrado seja igual a -4.
Você deve estar se perguntando, se o 22 é igual a 4, será que (- 2)2 não resolveria o
problema?
Vamos realizar o cálculo detalhadamente, veja: (- 2)2 = (- 2) . (- 2) = + 4. Notou? O
resultado obtido foi +4 e não -4 como o problema pede, justamente por isso, não
(+4) . (-2) =
-8
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existe raiz. Outro exemplo que não possui raiz é 4√-16 , pois não existe nenhum
número multiplicado 4 vezes que resulta em -16.
Agora, falaremos de um assunto muito interessante que está presente em nosso dia
a dia: os números racionais!
Dona Carolina preparará um bolo, por isso alguns ingredientes estão dispostos
sobre a mesa.
A capacidade desta garrafa de leite é de 1
litro, porém neste momento há
aproximadamente 330ml.
Se dividirmos a garrafa em três partes
iguais, somente uma estará completa.
Nesse caso podemos dizer que a garrafa
tem 1/3 de leite.
Agora, observe esta cesta de ovos. Ela tem três fileiras com
capacidade para quatro ovos cada uma, totalizando uma
dúzia.
Se tivéssemos 11 ovos acomodados nos espaços, como
poderíamos representá-la por meio dos números racionais?
Nesse caso, o denominador deve indicar a quantidade de ovos de cada fileira e o
numerador o número total de ovos, logo o resultado ficaria assim: 11/4
Legal! Uma coisa importante que devemos nos atentar é em relação à
nomenclatura. Observe que na fração o número de cima é chamado numerador e o
número debaixo de denominador.
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Imagine uma pizza cortada em quatro pedaços. Imagine que Matheus tenha comido
1 pedaço, logo ele comeu ¼ da pizza. Se mais ninguém comer, sobrará ¾ da pizza.
Agora, imagine que a mesma pizza tenha sido cortada em 8 partes, se Matheus
comer dois pedaços, ele comerá 2/8. Se mais ninguém comer, sobrará 6/8 da pizza.
Note que apesar de apresentar valores diferentes, Matheus comeu a mesma
quantidade de pizza. Isso é o que chamamos de frações equivalentes.
Observe outros exemplos:
Logo ½ equivale a 2/4 que equivale a 3/6.
Para saber qual fração é equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o
numerador e o denominador pelo mesmo número. Acompanhe:
Fração Multiplicação ou divisão
Mesmo número
Resultado Status
2 3
x 2 4 6
4 é equivalente a 2 6 3
9 3
: 3 3 1
3 é equivalente a 9 1 3
Também podemos simplificar as frações, ou seja, dividir o seu numerador e o seu
denominador pelo mesmo número natural até que não tenha mais possibilidades de
se dividir, chega-se a uma fração chamada irredutível. Veja o exemplo:
12 16
: 2 = 6 8
: 2 = 3 4
Fração irredutível
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As frações também podem ser comparadas. Para testar seus conhecimentos,
identifique a fração que julga menor.
a) b)
A alternativa “a” ¼ é menor que a alternativa “b” ¾, pois quando os denominadores
são iguais, a menor fração é a que tiver menor numerador.
Teste mais um pouco os seus conhecimentos, identificando a fração que julga
maior.
a) b)
Resposta: a alternativa “a” ¼ é maior do que a alternativa “b” 1/8, pois quando os
numeradores são iguais, a maior fração é a que tiver menor denominador.
Você acabou de comparar frações com denominadores ou numeradores iguais,
veja:
1 e 3 1 e 1
4 4 4 8
Você sabe como funciona o sistema de comparação de frações quando os
numeradores e denominadores são diferentes, por exemplo, 2/3 e 5/7?
Nesse caso precisamos primeiramente encontrar o denominador comum entre eles,
para isso utilizaremos o MMC.
3, 7 3
1, 7 7
1, 1
Denominadores iguais.
O maior numerador indicará a
fração maior.
Numeradores iguais.
O menor denominador indicará
a fração maior.
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MMC (3, 7) = 3 . 7 = 21
O resultado do MMC corresponderá aos denominadores comuns das frações
apresentadas. Agora, acompanhe passo a passo o procedimento:
1º) Divida o resultado do MMC pelo denominador das frações que se deseja
comparar:
2 5 21 / 3 = 7 21 / 7 = 3
2º) Multiplique o resultado da divisão pelo numerador e denominador:
2 X 7 =
14 5 X 3 =
15 3 21 7 21
3º) Compare os resultados apresentados:
2 equivale a 14 5 equivale a 15
3 21 7 21 Logo, a fração 5 é maior que 2. 7 3
Adição e subtração de frações:
Frações com denominadores iguais: conserve o denominador e some ou subtraia
os numeradores.
1 + 2 = 3 5 - 3 = 2 4 4 4 2 2 2
Frações com denominadores diferentes: primeiramente devemos encontrar as
frações equivalentes e os denominadores iguais, por meio do MMC. Após o cálculo,
seguimos utilizando o mesmo procedimento para denominadores iguais.
2 + 5 = 3 2
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3, 2 3
1, 2 2
1, 1
MMC (3, 2) = 3 . 2 = 6
2 5
6 / 3 = 2 6 / 2 = 3 2
X 2 = 4 5
X 3 = 15
3 6 2 6 4 + 15 = 19 6 6 6
Multiplicação de frações
Para multiplicar números fracionários, você deve multiplicar numerador por
numerador, e denominador por denominador, acompanhe:
6 x 5 = 30 3 2 6
Divisão de frações
Na divisão de números fracionários, você deve multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda, veja:
6 : 4 = 6 x 3 = 24 = 2 3 3 3 4 12
Potência de frações
Potenciação de fração é quando se eleva a um determinado expoente o numerador
e o denominador de um número fracionário.
5 = 5² = 25 3 = 3² = 9 3 3² 9 4 4² 16
² ²
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Radiciação de fração
É quando aplicamos a raiz quadrada ao numerador e ao denominador de um
número fracionário.
81 = 81 = 9 64 64 8
Aula 4 – Sistema de numeração decimal
Iniciaremos mais uma aula! Nela aprenderá sobre os números decimais. Note que
estamos em uma lavanderia. Observe alguns produtos que encontrei aqui.
2 litros de amaciante para roupas
1 sabão em barra
1 litro de água sanitária
2 caixas de sabão em pó
Note os preços desses produtos. Todo
e recebem o nome de decimais.
R$ 3,90
R$ 0,80
SABÃO
EM PÓ
R$ 10,95
R$ 2,50
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ação decimal
Iniciaremos mais uma aula! Nela aprenderá sobre os números decimais. Note que
estamos em uma lavanderia. Observe alguns produtos que encontrei aqui.
maciante para roupas
Note os preços desses produtos. Todos os números apresentados possuem v
recebem o nome de decimais.
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Iniciaremos mais uma aula! Nela aprenderá sobre os números decimais. Note que
estamos em uma lavanderia. Observe alguns produtos que encontrei aqui.
apresentados possuem vírgula
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No sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos de 10 em 10
unidades.
Nesse caso, quando dividimos um número inteiro:
• por 10, temos o décimo desse número: 1/10 = 0,1
• por 100, temos o centésimo desse número: 1/100 = 0,01
• por 1000, temos o milésimo desse número: 1/1000 = 0,001, e assim,
sucessivamente.
Observe no quadro a representação de frações decimais através de números
decimais.
Fração Decimal
1 10
1 100
1 1000
1 10000
5 10
5 100
5 1000
5 10000
117 10
117 100
117 1000
117 10000
Números Decimais 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,5 0,05 0,005 0,0005 11,7 1,17 0,117 0,0117
Note que a quantidade de zeros da fração decimal corresponde as casas após a
vírgula (contadas da direita para a esquerda) que número decimal deverá conter.
Verifique que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.
Agora, acompanhe algumas transformações de decimais em frações decimais. Note
que a quantidade de “zeros”, indica a quantidade de números após a vírgula. Veja:
0,1 = 1 10 0,2 = 2 10 0,01 = 1 100 0,35 = 35 100
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27
0,001 = 1 1000 0,425 = 425 1000
Agora, veja a operação inversa, transformar frações decimais em números
decimais. Para isso, escrevemos o numerador. A vírgula deve ser colocada da
direita para a esquerda tantas casas quanto forem os zeros do denominador.
a) 35 = 3,5 uma casa após a vírgula 10 um zero b) 47 = 0,47 duas casas após a vírgula 100 dois zeros c) 42 = 0,042 três casas após a vírgula 1000 três zeros
Adição e subtração de decimais
Para realizar a adição ou subtração de decimais, temos duas possibilidades,
acompanhe os exemplos.
Cálculo I
Coloque dezena embaixo de dezena,
unidade embaixo de unidade, vírgula
embaixo de vírgula, e assim por
diante. As casas vazias podem ser
completadas com zeros.
0,45 + 2,32 = 0,45
+2,32
2,77
2,3 + 12,47 = 02,30
+ 12,47
Cálculo II
Transforme os números em frações
decimais, adicione ou subtraia os
valores e depois o retorne para
decimal.
0,45 + 2,32 = 45 + 232 =
100 100
277 = 2,77 duas casas após a vírgula
100 dois zeros
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28
A multiplicação de decimais pode ser realizada de duas formas.
Divisão de decimais
Agora, acompanhe o procedimento para divisão de decimais, para isso
realizaremos a seguinte divisão: 22,5 / 0,15.
Quando houver resto podemos dar continuidade na divisão até a casa decimal que
nos interessar. Acompanhe o cálculo de 458/7.
Cálculo I
Multiplique os fatores como se não
houvesse vírgula, verifique quantas
casas decimais há nos fatores e as
coloque no produto.
4,2 1 casa decimal
x2,5 1 casa decimal
210
_84 +
10,50 2 casas decimais
Cálculo II
Transforme em frações decimais,
multiplique e depois volte para
decimais.
4,2 . 2,5 = 42 . 25 = 1050 = 10,50
10 10 100
Procedimento para o cálculo:
1º) igualar as casas decimais 22,50 / 0,15
2º) eliminar a vírgula 2250 / 15
3º) dividir normalmente
2250 15
75 150
00
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29
Procedimento para o cálculo:
1º) calcule a parte inteira:
458 7
38 65
3
2º) Agora calcule a primeira casa decimal, para isso coloque a vírgula no quociente e
um zero no décimo do dividendo, sem alterá-lo;
458,0 7
38 65,4
30
2
3º) Acrescente a quantidade de zeros necessária para o cálculo desejado:
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30
Aula 5 – Medidas de comprimento e área
Nessa aula estudaremos medidas de comprimento e área, mas antes, você sabia
que a necessidade de medir surgiu ainda na antiguidade, nas mais antigas
civilizações, e por um longo período cada região desenvolveu seu próprio sistema
de medida. Porém, com tantas maneiras diferentes de medir, o comércio entre as
cidades ficava prejudicado, pois havia imprecisão nas medidas, uma vez que uns
mediam com os pés, outros com as mãos e outros com o cúbito (medida de
distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio). Justamente por isso foi criado
um sistema único de medida para cada grandeza.
Assim, em 1791, representantes de vários países se reuniram para discutir a
adoção de um sistema único de medidas, foi então que surgiu o sistema métrico
decimal, portanto ficou determinado que o metro seria a unidade padrão para medir
comprimentos.
Matheus chegou da escola com duas atividades: descobrir a distância da sua casa
até o trabalho de seu pai e o comprimento da frente do terreno da sua casa.
Ele descobriu que há 12 km no percurso realizado pelo seu pai e que a frente da
sua casa tem 5 metros.
Observe que somente nesse exercício algumas medidas foram apresentadas, o
quilômetro (km) e o metro (m). Agora vamos estudar os múltiplos e submúltiplos do
metro.
Observe o esquema:
Múltiplos Unidade Padrão
Submúltiplos
Unidade quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Símbolo km hm dam m dm cm mm
Relação com o metro
1.000 m 100 m 10 m 1m 0,1m 0,01 m 0,001 m
Note que o metro tem seus múltiplos e submúltiplos
hectômetro(hm) e decâmetro (dam)
grandes distâncias e correspondem a 1
os submúltiplos compreendem o
(mm) e são usados para medir pequenos comprimentos.
0,001 metro respectivamente.
Você sabia que...
• para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utiliza
10-6 m e angstrom (Å) = 10
• para distâncias astronômicas utiliza
raio de luz em um ano e equivale a, aproximadamente, nove trilhões e
quinhentos bilhões de quilômetros:
• pé, polegada, milha e jarda são unidades não pertencentes ao sistema
decimal e são utilizadas em países de língua inglesa.
Observe no quadro as igualdade
1 pé 1 polegada1 jarda 1 milha terrestre1 milha marítima
Observe o esquema utilizado para tr
comprimento. Note que cada unidade corresponde a 10 vezes a unidade
imediatamente inferior e da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer
as transformações, basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 10.
praticar um pouco!
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metro tem seus múltiplos e submúltiplos. O quilômetro (km),
hectômetro(hm) e decâmetro (dam) são múltiplos do metro e usados para medir
grandes distâncias e correspondem a 1.000, 100 e 10 metros respectivamente. Já
os submúltiplos compreendem o decímetro (dm), o centímetro (cm) e o milímetro
usados para medir pequenos comprimentos. Eles possuem 0,1; 0,01 e
0,001 metro respectivamente.
para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utiliza-se: mícron
(Å) = 10-10 m;
micas utiliza-se o “ano-luz” (distância percorrida por um
raio de luz em um ano e equivale a, aproximadamente, nove trilhões e
quinhentos bilhões de quilômetros: Ano-luz = 9,5 · 1012 km;
pé, polegada, milha e jarda são unidades não pertencentes ao sistema
são utilizadas em países de língua inglesa.
Observe no quadro as igualdades.
30,48 cm polegada 2,54 cm jarda equivale a 91,44 cm milha terrestre 1.609 m milha marítima 1.852 m
Observe o esquema utilizado para transformar unidades de medida de
ada unidade corresponde a 10 vezes a unidade
da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer
as transformações, basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 10.
31
quilômetro (km),
para medir
000, 100 e 10 metros respectivamente. Já
decímetro (dm), o centímetro (cm) e o milímetro
Eles possuem 0,1; 0,01 e
mícron (µ) =
(distância percorrida por um
raio de luz em um ano e equivale a, aproximadamente, nove trilhões e
pé, polegada, milha e jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico
ansformar unidades de medida de
ada unidade corresponde a 10 vezes a unidade
da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer
as transformações, basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 10. Vamos
Programa CIEE de Educação a Distância
32
Para transformar 14,284 hm (hectômetro) em metros (m) devemos multiplicar,
acompanhe.
X 10 X 10 14,284 1428,4
km hm dam m dm cm mm
Logo, 14,284 hectômetros correspondem a 1428,4 metros.
Para transformar 1,262 dam em cm devemos multiplicar.
X 10 X 10 X 10 1,262 1262
km hm dam m dm cm mm
Logo, 1,262 decâmetros correspondem a 1262 centímetros.
Já para transformar 166,5m em dam devemos dividir:
km hm dam m dm cm mm
16,65 166,5 : 10
Logo, 166,5 metros correspondem a 16,65 decâmetros.
E para finalizar, para transformar 866 m e km devemos dividir:
886 : 10 : 10 : 10 = 0,886
km hm dam m dm cm mm
0,886 886 : 10 : 10 : 10
Programa CIEE de Educação a Distância
33
Logo, 886 metros correspondem a 0,886 quilômetro.
Agora, observe que na casa do Sr. Maurício (pai de
Matheus) foi colocada uma cerca de madeira. Qual cálculo
devemos realizar para saber quantos metros de cerca ele
precisou para fazer esse trabalho?
Para realizar esse cálculo foi preciso somar as medidas dos lados do terreno,
portanto foi realizado o cálculo do “Perímetro”.
Imagine que o terreno da casa possui as seguintes medidas:
Como havia falado, devemos somar as medidas
de cada lado para encontrarmos o perímetro do
terreno: 5 m + 5 m + 10 m + 10 m = 30 m. Logo,
Maurício precisou de 30 metros de cerca para
colocar em volta do terreno.
Agora imagine que o terreno possui as seguintes medidas:
5 m
5 m
10 m 10 m
8,5 m
11,5 m
13,5 m 8,5 m
8,5 m
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34
Nesse caso também somamos os lados do terreno: 8,5 m + 8,5 m + 8,5 m +11,5 m
+ 13,5 m = 50 m., portanto o perímetro do terreno é de 50 metros.
Importante saber que quando realizamos a soma das medidas de todos os lados,
estamos calculando o perímetro de um polígono, ou seja, uma superfície plana
limitada por linhas retas ou lados.
Nesta figura temos lados com medidas em centímetro (cm) e decâmetro (dm).
Nesse caso, como devemos calcular o perímetro?
Em primeiro lugar, você deve transformar as medidas para a mesma unidade,
utilizando a tabela de conversão estudada há pouco, portanto 0,2 dm = (0,2 . 10) cm
= 2 cm. Agora, somamos as medidas dos lados: 2 cm + 2 cm + 3 cm = 7 cm. Logo o
perímetro desse polígono é de 7 cm.
Outro assunto interessante que estudaremos nessa aula é unidade de medida de
superfície ou unidade de área, o metro quadrado. Para estudá-la imagine que Sr.
Maurício queira pintar a parede da sala de sua casa, para determinar a quantidade
de tinta, ele precisará medir as superfícies para encontrar a área da parede.
12
X6
72
12 m
6 m
3 cm
0,2 dm
2 cm
Programa CIEE de Educação a Distância
35
Logo, o Sr. Maurício terá de comprar tinta para pintar uma parede de 72m2 de área.
Note que vimos um novo sistema de medida, o metro quadrado (m2). Agora,
acompanhe a explicação: se dividirmos a parede do Sr. Maurício em quadrados que
medem 1 metro de cada lado, veremos que ao todo temos 72 quadrados, observe:
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades o metro quadrado é a
unidade padrão de medida para superfícies. O quadrado com todos os lados
medindo 1 metro corresponde a 1 metro quadrado.
O metro quadrado também tem seus múltiplos e submúltiplos. Observe no quadro o
símbolo e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o metro quadrado.
Múltiplos Unidade padrão
Submúltiplos
Unidade quilômetro quadrado
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
Símbolo km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Relação com o metro quadrado
1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,00001 m2
12 m
1m
6 m
Programa CIEE de Educação a Distância
36
Observe que cada unidade corresponde a 100 vezes a unidade imediatamente
inferior da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer as transformações,
basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 100. Vamos praticar um pouco!
Acompanhe as transformações de algumas medidas.
6 km2 em m2
6 km2 = ( 6 x 1.000.000) m2 = 6.000.000 m2
ou
6 km2 = ( 6 x 100 x 100 x 100) m2 = 6.000.000 m2
Acompanhe outro cálculo.
20 mm2 em m2
20 mm2 = (20 : 0,00001) m2 = 20 x 1 m2 = 20 m2 = 0,00002 m2
1.000.000 1.000.000
ou
20 mm2 = (20 : 100 : 100 : 100) m2 = 0,00002 m2
O cálculo de áreas rurais é um pouco diferente, para esses casos utilizamos o
hectare, representado pelo símbolo ha ou 1hm2 (hectômetro), que equivale a dez
mil metros quadrados (10.000 m2). Imagine que figura representa um terreno
medindo 1hm de cada lado, logo o terreno possui 1 hectare.
1
100
km2 hm
2 dam
2 m
2 x100 x100 x100
X 1.000.000
m2 dm
2 cm
2 mm
2 : 100 : 100 : 100
: 1.000.000
Programa CIEE de Educação a Distância
37
Existe outro sistema de medida para áreas rurais?
Existe sim, o are, representado pelo símbolo a ou 1dam2 (decâmetro), que
equivale a cem metros quadrados (100 m2). Imagine que a figura representa um
terreno medindo 1dam de cada lado, logo teremos um terreno com 1 are.
Existem ainda outras unidades populares de medidas agrárias, tais como:
Alqueire paulista
Que equivale à área de...
24.200m2 Alqueire mineiro ou goiano 48.400m2 Alqueire do norte ou baiano 27.225m2
1hm2 =
1 ha
1hm
1hm
1hm
1hm
1 dam2
=
1 are
1dam
1dam
1dam
1dam
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38
Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume
Bem-vindo à nossa ultima aula, um momento ideal para refletirmos sobre a
importância do tempo em nossas vidas. Você alguma vez na vida já se deparou
com frases do tipo: faz tempo que você está me esperando? Quanto demora a
viagem até lá? Já faz tempo que o jogo começou? Qual a duração do curso?
Pois bem, essas perguntas são respondidas com base em uma unidade padrão de
medida de tempo, e a unidade escolhida como padrão pelo Sistema Internacional
(SI) é o segundo.
Por falar em tempo, observe que Matheus está tomando banho para ir à escola. Ele
iniciou o banho às 6h30min e agora já são 6h45min.
Note que quando falamos de tempo, utilizamos suas unidades de medida: o
segundo(s), o minuto(min) e a hora(h). O segundo é a unidade padrão, porém,
dependendo da situação, outras unidades podem ser usadas, como por exemplo,
para fazer a indicação de 60 minutos, usamos 1 hora, ou ainda para indicar 60
segundos, usamos 1 minuto.
Mas como podemos transformar horas em minutos?
Você deve multiplicar a quantidade de horas por 60. Para transformar 5 horas em
minutos, multiplique 5 por 60 e o resultado será 300. Logo, 5 horas correspondem a
300 minutos.
Para transformar segundos em minutos devemos dividir a quantidade de segundo
por 60. Para transformar 155 segundos em minutos, divida 155 por 60 e o cálculo
será:
155 60
segundos 35 2 minutos
Programa CIEE de Educação a Distância
39
Logo, 155 segundos correspondem a 2 minutos e 35 segundos.
Atenção!
Nunca escreva 3,20min. para representar 3h20min. Lembre-se, o sistema de
medida de tempo não é decimal.
Agora, conheça outras medidas de tempo.
Mês comercial = 30 dias
Ano comercial = 360 dias
Ano normal = 365 dias
Ano bissexto = 366 dias
Semana = 7 dias
Quinzena = 15 dias
Bimestre = 2 meses
Trimestre = 3 meses
Quadrimestre = 4 meses
Quinquênio= 5 anos
Década = 10 anos
Século = 100 anos
Milênio = 1.000 anos
Agora que já conhece toda a família do Sr. Maurício, incluindo Dona Carolina e
Matheus, partiremos para o próximo assunto. Observe as imagens:
Sr. Maurício – 75 Kg.
Dona Carolina – 63 Kg.
Matheus – 52 Kg.
Nesse caso, estamos nos referindo às unidades de medida de massa: o
quilograma (kg), o grama(g) e o miligrama (mg).
Agora, conheça os múltiplos e submúltiplos das unidades de medida de massa com
ajuda do esquema. Observe que a unidade padrão é o grama. As unidades da
esquerda são utilizadas para medir grandes massas e as unidades da esquerda são
para medir pequenas massas.
Programa CIEE de Educação a Distância
40
quilograma
kg hectograma
Hg decagrama
dag grama
g decigrama
dg centigrama
cg miligrama
mg
As unidades de massa podem ser transformadas de quilos para gramas, por
exemplo. Observe o esquema e acompanhe os exemplos.
Observe a transformação de 2 quilogramas em gramas.
2 kg = 2.000 g
Agora acompanhe a transformação de 120.000 miligramas em hectogramas.
1,2 hg = 120.000 mg
Note que quando transformamos uma unidade de massa da esquerda para direita,
devemos multiplicar por 10 e quando transformamos da direita para a esquerda
dividimos por 10.
ATENÇÃO:
• cada unidade de massa é dez vezes maior que a unidade imediatamente
inferior;
• o grama pertence ao gênero masculino, portanto devemos dizer duzentos
gramas de algo e não duzentas gramas, nesse último caso estamos
relacionando grama à vegetação;
• também são usadas outras unidades de medida de massa:
- tonelada = t que equivale a 1.000kg;
kg hg dag g dg cg mg
X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10
: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10
kg hg dag g
X 10 X 10 X 10
dg hg dag g
: 10 : 10 : 10
cg mg
: 10 : 10
- arroba =@ que equivale a aproximadamente 15kg.
Agora , observe os produtos e as capacidades de cada um deles.
Xampu
Desinfetante
As unidades de medidas de capacidade
litro (l) e o mililitro (ml).
Em nosso dia a dia, as unidades de medida de capacidade são muito utili
estamos fazendo uma receita
capacidade que terá a caixa d’água que vamos colocar em casa, ao comprar uma
bebida seja em lata ou garrafa, entre tantas outra
deve estar se lembrando agora.
A unidade padrão de medida de capacidade é o litro
seus múltiplos e submúltiplos, além do símbolo e
500 ml
1 l
Programa CIEE de Educação a Distância
arroba =@ que equivale a aproximadamente 15kg.
produtos e as capacidades de cada um deles.
de capacidade mais utilizadas em nosso dia a dia são o
Em nosso dia a dia, as unidades de medida de capacidade são muito utili
estamos fazendo uma receita, precisamos de alguns ml de leite. Ao escolhermos a
capacidade que terá a caixa d’água que vamos colocar em casa, ao comprar uma
bebida seja em lata ou garrafa, entre tantas outras situações que você com certeza
star se lembrando agora.
padrão de medida de capacidade é o litro. Na tabela são apresentados
, além do símbolo e sua relação com o litro.
41
mais utilizadas em nosso dia a dia são o
Em nosso dia a dia, as unidades de medida de capacidade são muito utilizadas, se
o escolhermos a
capacidade que terá a caixa d’água que vamos colocar em casa, ao comprar uma
situações que você com certeza
Na tabela são apresentados
.
Programa CIEE de Educação a Distância
42
Múltiplos Unidade Padrão
Submúltiplos
Unidade quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro Símbolo kl hl dal l dl cl ml Relação com o litro
1.000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
Para transformar unidades de medida de capacidade, usa-se o mesmo critério
utilizado para transformar unidades de medidas de comprimento e de massa.
Acompanhe alguns exemplos:
Veja a transformação de 3,5 litros em mililitros.
3,5 l 3.500 ml
Agora, veja a transformação de 200 mililitros em litro.
0,2 l 200 ml
Muito bem! Até o momento estudamos as medidas de tempo, massa e capacidade.
Agora, estudaremos as medidas de volume, mas antes observe as figuras abaixo:
paralelepípedo cubo
Essas figuras correspondem a um paralelepípedo retângulo e a um cubo. O cálculo
do volume desses elementos é diferenciado e é isso que vamos conhecer a partir
de agora.
l dl cl ml
X 10 X 10 X 10
l dl cl ml
: 10 : 10 : 10
Programa CIEE de Educação a Distância
43
Para que se possa determinar a quantidade de cimento que um caminhão comporta
ou a quantidade de areia que se pode colocar dentro de um balde, precisamos
calcular seus respectivos volumes, ou seja medir a quantidade de espaço que o
cimento ocupa no caminhão e a quantidade de espaço que a areia ocupa no balde.
Portanto, volume é a quantidade de espaço ocupado por um corpo.
Para calcular o volume de um paralelepípedo, elegemos como unidade de volume 1
= e, depois, contamos quantos formam um paralelepípedo.
Contado os cubos, notamos que esse paralelepípedo é formado por 12 . Logo,
seu volume é 12.
Para realizar o cálculo do volume de um paralelepípedo você deve considerar as
unidades de medida volume (v), comprimento (a), largura (b) e altura (c) e o cálculo
é realizado por meio da seguinte equação: V = a . b . c
Observe o exemplo do paralelepípedo que estudamos há pouco e acompanhe o
cálculo do volume.
2
2
3
3 = quantidade de cubos no
comprimento
2 = quantidade de cubos na largura
2 = quantidade de cubos na altura
V = a . b . c = ?
2
2
3
comprimento (a)
largura (b)
altura (c)
= volume
Programa CIEE de Educação a Distância
44
Como havíamos falado, o volume desse paralelepípedo é 12.
Para calcular o volume do cubo utilize a equação: V = l . l . l = l 3, sendo que V
indica volume e l representa cada lado. Observe no esquema.
Outro assunto importante relacionado ao volume é o metro cúbico (m3), que nada
mais é do que a unidade padrão de medida de volume. Ela corresponde ao cubo e
aresta de medida igual a 1m. Conheça os múltiplos e os submúltiplos do metro
cúbico m3.
Múltiplos Unidade Padrão Submúltiplos
Unidade quilômetro cúbico hectômetro cúbico
decâmetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
Símbolo km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Relação com metro cúbico
1.000.000.000m3 1.000.000m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
Atenção! Capacidade é um volume e pode ser medido com a unidade metro cúbico.
Como em todas as unidades de medida vistas até aqui, vamos transformar 3 metros
cúbicos em centímetro cúbico.
3 3.000.000
Logo 3m3 corresponde a 3.000.000 cm3.
= volume
lado (l)
lado (l)
lado (l)
m3
x 1000 x 1000
dm3 cm
3
Programa CIEE de Educação a Distância
45
Já para transformar 4.000 milímetros cúbicos (mm3) em metro cúbico (m3).
0,000004 4.000
Logo 4.000 mm3 corresponde a 0,000004 m3.
Esperamos que a partir de agora, você não veja mais a matemática como um
monstro que só veio para atrapalhar.
Assim como qualquer outra disciplina, basta força de vontade e muita prática! Não
perca mais tempo, exercite agora mesmo o que aprendeu até aqui. Até breve!
mm3 m
3
: 1000 : 1000 : 1000
dm3 cm
3
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46
Referências BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática: ensino fundamental, - Volumes 6 e 7 2. ed. – São Pulo : Moderna, 2007 BRASIL ESCOLA. Unidades de Medidas. http://www.brasilescola.com/química/unid
ades-medida.htm Data de acesso: 24/11/08 KLICK EDUCAÇÃO. Conceito de número Natural. Disponível em:
http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/display/0,5912,POR-20-88-95153
46,00.html Data de acesso: 17/11/08 MORI, Iracema, Dulce Satiki Onaga – Ideias e Desafios 6ª série. 11.ed. – São Paulo: Saraiva, 2002 NG HORTA. Conjuntos Numéricos. http://www.nghorta.com/2007/02/02/conjuntosnu
mericos/ Data de acesso: 17/11/08 SERCOMTEL. Expressões Algébricas. http://pessoal.sercomtel.com.br/matemática/f
undam/expralg/expralg.htm Data de acesso: 02/12/08 SÓ MATEMÁTICA. Medidas de Comprimento. http://www.somatematica.com.br/fun
dam/comprimento/comprimento2.php Data de acesso: 5/12/08 _______________ Medidas de Superfície. http://www.somatematica.com.br/fundam
/medsup.php Data de acesso: 5/12/08 _______________ Mínimo Múltiplo Comum. http://www.somatematica.com.br/funda
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