Apostila Desenho Geometrico 2012 - IfMA

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APOSTILA DE EXERCICIOS DE DESENHO GEOMETRICO BASEADO NUMA COMPILAÇÃO DE Prof. Maria Bernadete Barison www.mat.uel.br/geometrica Prof. João Carlos Rabelo São Luis –MA 2012

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Apostilade exercicio

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  • APOSTILA DE EXERCICIOS DE

    DESENHO GEOMETRICO BASEADO NUMA COMPILAO DE Prof. Maria Bernadete Barison

    www.mat.uel.br/geometrica

    Prof. Joo Carlos Rabelo

    So Luis MA

    2012

  • Desenho, Geometria e Arquitetura

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    Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exerccios e resolues sobre RETAS

    em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n.1c. 2005. Desenhos construdos por:

    Enias de A. Prado, Guilherme S. Fais, e Giuliano M. Belussi.

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    EXERCCIOS RESOLVIDOS - RETAS

    1. CONSTRUIR A MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO DADO AB = 7 CM:

    - Utilizando a rgua trace o segmento AB de medida igual a 7 cm. - Com a ponta seca do compasso no ponto A, abra uma medida maior que a

    metade do segmento AB e trace um arco que corte o segmento. - Repita o processo, mas agora pelo ponto B, utilizando a mesma medida no

    compasso. - Trace a mediatriz unindo as interseces dos dois arcos.

    2. CONSTRUIR A MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO DADO AB = 1 CM

    - Utilizando a rgua trace o segmento AB de medida igual a 1 cm. - Como o segmento AB muito pequeno, precisamos prolong-lo. Utilizando a

    rgua prolongue o segmento AB, criando os pontos A' e B' eqidistantes 1 cm de A e B respectivamente.

    - Coloque a ponta seca do compasso em B', abra mais que a metade e trace um arco.

    - Repita o processo, agora pelo ponto A'. - Voc encontrou por onde ir passar a mediatriz do segmento AB, trace-a.

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    3. POR UM PONTO P FORA DA RETA, FAZER PASSAR UMA PERPENDICULAR RETA

    - Comece traando a reta e marcando o ponto P fora dela. - Coloque a ponta seca do compasso no ponto P e faa um arco que corte a reta

    em dois pontos.

    - Coloque a ponta seca do compasso na interseco do arco com a reta com a abertura maior que a metade e trace um arco maior. (Por coincidncia passou pelo ponto P)

    - Repetir o processo com a mesma medida no compasso, mas agora pela outra interseco do arco com a reta.

    - Dessa forma encontra-se por onde ir passar a reta perpendicular reta dada que passa pelo ponto P.

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    4. POR UM PONTO P PERTENCENTE A UMA RETA FAZER PASSAR UMA PERPENDICULAR RETA DADA

    - Construa a reta r, e marque nela um ponto P. - Coloque a ponta seca do compasso em P, abra uma medida qualquer e trace

    um arco.

    - Coloque a ponta seca do compasso onde o arco cortou a circunferncia e com a mesma abertura, marque 60, (a medida do arco sobre ele mesmo igual a 60).

    - Depois de marcar 60, marque 120. - Coloque a ponta seca do compasso onde voc achou 60, abra mais do que a

    metade e faa um arco. (como voc j tem o ponto P por onde a perpendicular vai passar, faa o arco apenas na parte de cima).

    - Repita o processo mas agora onde voc encontrou 120. - Una o cruzamento at o ponto P, obtendo assim, a perpendicular a reta que

    passa pelo ponto P.

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    5. LEVANTAR UMA PERPENDICULAR EXTREMIDADE DE UM SEGMENTO DADO AB=6 CM

    - Utilizando a rgua, trace o segmento AB de medida igual a 6 cm. - Coloque a ponta seca do compasso no ponto A ou B, abra o compasso com uma

    medida qualquer e trace um arco.

    - Coloque a ponta seca do compasso no local que o arco cortou o segmento AB e com a mesma abertura do compasso, marque 60. Em seguida, coloque a ponta seca em 60 e marque 120 utilizando o mesmo processo.

    - Ao encontrar 60 e 120, encontre tambm o ponto mdio destes dois arcos. Coloque a ponta seca do compasso em 60 abra mais que a metade e construa um arco.

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    - Com a ponta seca do compasso em 120 construa outro arco. - Trace a perpendicular ao segmento que passa pelo ponto A.

    6. TRAAR POR UM PONTO P DADO UMA PARALELA A UMA RETA DADA.

    PROCESSO I

    - Trace uma reta qualquer, e depois marque um ponto P qualquer. - Marque dois pontos A e B quaisquer na reta.

    - Trace as perpendiculares reta que passam pelos pontos A e B, utilizando o processo explicado no exerccio 4.

    - Com abertura do compasso igual medida entre P e a reta, coloque a ponta seca em A e corte a perpendicular que passa por A, em seguida, com a mesma medida, coloque a ponta seca em B e corte a perpendicular que passa por B.

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    - Trace a paralela que passa pelo ponto P exatamente no local onde voc fez o corte na perpendicular.

    PROCESSO II

    - Utilizando a rgua trace uma reta qualquer e depois marque um ponto P qualquer fora da reta.

    - No ponto marcado, coloque a ponta seca do compasso e abra at P e trace um arco.

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    - Com a mesma medida, coloque a ponta seca do compasso onde o arco cortou a reta e faa outro arco que passe pelo ponto P.

    - Repita o processo, mas agora colocando a ponta seca onde o arco cortou a reta do outro lado (esquerdo).

    - Trace a paralela ligando as duas marcas feitas no arco maior.

    Processo III

    - Utilizando a rgua trace uma reta qualquer e depois marque um ponto P qualquer fora da reta por onde dever passar a paralela reta dada.

    - Marque um ponto qualquer na reta e nele coloque a ponta seca do compasso, em seguida abra o compasso at o ponto P e trace um arco que corte a reta.

    - Agora com a ponta seca do compasso em P e com a mesma medida trace outro arco que corte a reta, passando pelo ponto marcado inicialmente nela.

    - Com a ponta seca do compasso em P tome a medida de P at a reta (no arco) e transporte esta medida para o outro arco.

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    - Trace a paralela reta dada passando por P.

    7. CONSTRUIR A BISSETRIZ DE UM NGULO QUALQUER DADO AB.

    - Utilizando a rgua, construa um ngulo qualquer AB. - Coloque a ponta seca do compasso no vrtice O, abra uma medida qualquer e

    construa um arco que corte os lados do ngulo AB.

    - Com a ponta seca do compasso em um dos pontos onde o arco intersectou os lados do ngulo e com a mesma abertura ou maior, trace um arco.

    - Repita o processo, mas agora colocando a ponta seca do compasso no ponto onde o arco intersectou o outro lado do ngulo e com a mesma abertura no compasso.

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    - Construa a bissetriz do ngulo AB unindo o vrtice O com a interseco dos dois arcos.

    8. DIVIDIR O SEGMENTO DADO AB=7 CM EM N=5 PARTES IGUAIS

    - Utilizando a rgua, construa o segmento AB = 7 cm. - Construa uma semi-reta a partir de A que forma com o segmento AB um ngulo

    qualquer.

    - Coloque a ponta seca do compasso em A e marque uma medida qualquer na semi-reta encontrando 1.

    - Com a mesma medida no compasso, coloque a ponta seca em 1 encontrando 2, coloque a ponta seca em 2 encontrando 3 e assim por diante respectivamente at achar 5.

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    - Una o ponto 5 com o ponto B. - Coloque a ponta seca do compasso em 5 e com uma abertura qualquer, trace

    um arco que corte os segmentos 5B e 5A.

    - Em seguida, com a mesma abertura no compasso, coloque a ponta seca nos pontos 4, 3, 2 e 1, e trace arcos.

    - Agora, com o compasso, tire a medida do ngulo A5B. - Com a ponta seca onde o primeiro arco cortou a reta 5A abra at onde o

    mesmo arco cortou a reta 5B. Com esta medida, coloque a ponta seca do compasso no segundo arco e corte o mesmo arco. Repita este processo com todos os outros arcos.

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    - Agora, unindo os pontos enumerados com os cortes obtidos nos arcos, voc ir dividir o segmento AB em cinco partes iguais.

    9. CONSTRUIR UM QUADRADO DE LADO IGUAL A 4 CM

    PROCESSO I

    - Utilizando a rgua, trace o segmento AB de medida igual a 4 cm. - Coloque a ponta seca do compasso em A, abra uma medida qualquer e trace

    um arco.

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    - Com a mesma medida marque 60 e 120. - Colocando a ponta seca em um dos cortes abra mais que a metade e trace um

    arco.

    - Refaa o mesmo processo, mas agora pelo outro corte. - Trace a reta perpendicular ao segmento AB pelo ponto A. - Refaa o mesmo processo, mas agora pelo ponto B.

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    - Coloque a ponta seca do compasso em A e com uma abertura igual a 4 cm marque na perpendicular que passa por A o ponto D.

    - Coloque a ponta seca do compasso em B e com uma abertura igual a 4 cm marque na perpendicular que passa por B o ponto E.

    PROCESSO II

    - Utilizando a rgua, trace o segmento AB de medida igual a 4 cm. - Coloque a ponta seca do compasso em A, abra uma medida qualquer e trace

    um arco. - Com a mesma medida no compasso, coloque a ponta seca onde o arco cruzou a

    reta e marque 60 e repetindo, obter em seguida 120.

    - Colocando a ponta seca no primeiro corte, trace um arco. - Refaa o mesmo processo mas agora colocando a ponta seca no outro corte e

    com a mesma abertura no compasso. - Trace a reta perpendicular a AB pelo ponto A.

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    - Com a ponta seca do compasso em A e com abertura igual AB, trace um arco que corte a perpendicular em C.

    - Com a ponta seca do compasso em C e mesma abertura trace um arco.

    - Com a ponta seca do compasso em B e mesma abertura trace outro arco que intersecta o ltimo arco traado em D.

    - Com a rgua construa o quadrado, ligando os pontos CD e BD.

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    10. CONSTRUIR UM RETNGULO DE LADO MAIOR=6CM E LADO

    MENOR =3CM

    PROCESSO I

    - Utilizando a rgua construa o lado maior AB de medida igual a 6 cm. - Com a ponta seca do compasso em A, abra uma medida qualquer e trace um

    arco.

    - Com a mesma medida no compasso, coloque a ponta seca onde o arco intersectou o segmento AB e marque uma vez (60) e duas vezes (120).

    - Com a ponta seca no primeiro corte, abra mais que metade da distncia entre os cortes e trace um arco.

    - Com a ponta seca no outro corte, e com a mesma medida no compasso faa o

    outro arco cortando o arco construdo anteriormente. - Trace uma reta perpendicular ao segmento AB passando por A ligando a

    interseco dos arcos traados ao ponto A.

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    - Refazendo o mesmo processo, mas agora pelo ponto B. - Abra no compasso uma medida igual a 3 cm, e com a ponta seca em a marque

    essa medida na reta perpendicular, e faa o mesmo em B.

    - Agora voc encontrou por onde ir passar o lado paralelo a AB, para formar o retngulo pedido no exerccio. Agora apenas una C com D.

    PROCESSO II

    - Utilizando a rgua trace o segmento AB de medida igual a 6 cm. - Com a ponta seca do compasso em A abra qualquer medida e trace um arco.

    - Com a mesma medida no compasso, coloque a ponta seca onde o arco intersectou o segmento AB e marque uma vez (60) e duas vezes (120).

    - Com a ponta seca no primeiro corte, abra mais que metade da distncia entre os cortes e trace um arco.

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    - Com a ponta seca no outro corte, e com a mesma medida no compasso faa o outro arco cortando o arco construdo anteriormente.

    - Trace uma reta perpendicular ao segmento AB passando por A ligando a interseco dos arcos traados ao ponto A.

    - Abra o compasso numa medida igual a 3cm, coloque a ponta seca em A encontrando o ponto D.

    - Abra a medida AB no compasso, coloque a ponta seca em D e trace um arco.

    - Abra a medida AD no compasso, coloque a ponta seca em D e corte o arco encontrando o ponto C.

    - Utilizando a rgua trace BC e DC.

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    11. CONSTRUIR UM PARALELOGRAMO DE LADO MAIOR = 6 CM,

    LADO MENOR = 3 CM E NGULO = 60

    PROCESSO I

    - Utilizando a rgua, trace o segmento AB de medida igual a 6m, que o lado maior do paralelogramo.

    - Coloque a ponta seca do compasso no ponto A, abra uma medida qualquer e trace um arco que corta o segmento AB, em seguida, com a mesma abertura, coloque a ponta seca onde o arco cortou AB e corte o arco encontrando nele 60.

    - Com a ponta seca em B, faa o mesmo processo, mas agora encontrando no arco 120.

    - Coloque a ponta seca em A e com uma medida igual a 3 cm encontre D na reta inclinada. Repita o mesmo processo em B encontrando C.

    - Ligue os pontos D e C encontrando assim o paralelogramo.

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    PROCESSO II

    - Trace o segmento AB de medida igual a 6 cm. - Abra uma medida qualquer no compasso, coloque a ponta seca em A e trace

    um arco, com a mesma medida marque 60 e una A com o corte e prolongue.

    - Coloque a ponta seca em A e com uma medida igual a 3 cm no compasso, corte a semi-reta de inclinao de 60, encontrando o ponto D.

    - Abra no compasso a medida AB, coloque a ponta seca em D e trace um arco.

    - Abra no compasso a medida AD, coloque a ponta seca em B e corte o arco. Una BC e DC.

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    12. CONSTRUIR UM HEXGONO DE LADO = 3 CM

    - Utilizando a rgua trace o segmento OA de medida igual a 3cm. - Com o compasso, trace a circunferncia de centro O e raio A.

    - Com a mesma medida, coloque a ponta seca do compasso em A e trace um arco que corte a circunferncia principal.

    - Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no primeiro corte e com a mesma abertura corte vrias vezes a circunferncia encontrando os pontos B,C,D e F.

    - Ligue os pontos A e B, B e C, C e D, D e F, F e A, obtendo assim o hexgono regular.

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    13. CONSTRUIR UM PENTGONO DE LADO = 3 CM

    - Utilizando a rgua construa um segmento AB = 3 cm. - Com a ponta seca do compasso em A, construa uma circunferncia de raio AB,

    com centro em A.

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    - Com a ponta seca do compasso em B, abra a medida AB e trace outra circunferncia.

    - Ligue as interseces das duas circunferncias encontrando a mediatriz de AB. - Abra no compasso a medida AB, coloque a ponta seca do compasso em C e

    trace uma circunferncia que passe por A e B.

    - Do ponto onde a circunferncia de centro C corta a circunferncia de centro B sair uma semi-reta que cortar a circunferncia de centro A no ponto D. Do ponto onde a circunferncia de centro C corta a circunferncia de centro B sair uma semi-reta que cortar a circunferncia de centro B no ponto E.

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    - Una o ponto B com E, e o ponto A com D. - Coloque a ponta seca do compasso em D, e com abertura igual AB trace um

    arco. - Coloque a ponta seca em E, e com a mesma abertura corte o arco anterior

    encontrando o ponto F. - Ligue os pontos D,E ao ponto F, encontrando assim o pentgono regular.

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    BIBLIOGRAFIA

    BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geomtrico. So Paulo : cone. 13 ed. 230 p.

    RIVERA, Flix ; NEVES, Juarenze; GONALVES, Dinei (1986). Traados em Desenho Geomtrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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    Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exerccios e resolues sobre segmentos

    proporcionais em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n.3c. 2005. Desenhos

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    EXERCCIOS RESOLVIDOS SEGMENTOS PROPORCIONAIS

    1. SO DADOS TRS SEGMENTOS, a = 3 cm, b = 2 cm e c = 2,5 cm. PEDE-SE ENCONTRAR A QUARTA PROPORCIONAL ENTRE a, b e c :

    PROCESSO I

    - Consideremos os trs segmentos na seguinte razo a / b = c / x. - x a quarta proporcional. Isolando o x tem-se x = bc / a. - Trace o segmento a + c. - Trace um outro segmento na extremidade do segmento a.

    - Marque a medida do segmento b sobre este segmento traado. - Ligue a extremidade do segmento b com a extremidade do segmento

    a.

    - Trace uma paralela passando pela extremidade do segmento c encontrando assim a quarta proporcional que ser x.

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    PROCESSO II

    - Agora consideremos os trs segmentos na seguinte razo c / a = b / x. - x' a quarta proporcional. Isolando o x tem-se x = ab / c. - Trace o segmento c + b. - Trace um outro segmento na extremidade do segmento c.

    - Marque a medida do segmento a sobre este segmento traado. - Ligue a extremidade do segmento a com a extremidade do segmento b. - Trace uma paralela passando pela extremidade do segmento b

    encontrando assim a quarta proporcional que ser x.

    PROCESSO III

    - Agora consideremos os trs segmentos na seguinte razo b / a = c / x. - x' a quarta proporcional. Isolando o x tem-se X = ac / b. - Trace o segmento b + c. - Trace um outro segmento na extremidade do segmento b.

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    - Marque a medida do segmento a sobre este segmento traado. - Ligue a extremidade do segmento c com a extremidade do segmento

    a. - Trace uma paralela passando pela extremidade do segmento c,

    encontrando assim a quarta proporcional que ser x.

    2. SO DADOS DOIS SEGMENTOS a e b, ENCONTRE A TERCEIRA PROPORCIONAL.

    PROCESSO I

    - Consideremos os dois segmentos na seguinte razo a / b = b / x. - x a terceira proporcional. Isolando o x tem-se: x = b x b / a. - Trace o segmento b + a. - Trace um outro segmento na extremidade do segmento b.

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    proporcionais em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n.3c. 2005. Desenhos

    construdos por: Enias de A. Prado e Giuliano M. Belussi.

    4

    - Marque a medida do segmento a sobre este segmento traado. - Ligue a extremidade do segmento a com a extremidade do segmento b. - Trace uma paralela passando pela extremidade do segmento a,

    encontrando assim a terceira proporcional que ser x.

    PROCESSO II

    - Consideremos os dois segmentos na seguinte razo b / a = a / x. - x a terceira proporcional. Isolando o x tem-se x = a x a / b. - Trace o segmento a + b, - Trace um outro segmento na extremidade do segmento a, - Marque a medida do segmento b sobre este segmento traado.

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    5

    - Ligue a extremidade do segmento b com a extremidade do segmento a.

    - Trace uma paralela passando pela extremidade do segmento b, encontrando assim a terceira proporcional que ser x.

    3. SO DADOS DOIS SEGMENTOS a = 3 cm e b = 2 cm. PEDE-SE ENCONTAR A MDIA PROPORCIONAL.

    PROCESSO I

    - Trace o segmento a + b onde P o ponto de unio dos segmentos. - Trace a mediatriz do segmento AB, encontrando M o ponto mdio de

    AB.

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    - Com centro em M trace uma semicircunferncia de dimetro AB e a partir do ponto P levante um perpendicular ao segmento AB encontrando o ponto C na semicircunferncia. Trace o segmento CP.

    - Ligue AC e BC, o segmento CP ser a mdia geomtrica (x).

    PROCESSO II

    - Trace o segmento a - b obtendo o segmento AB onde P o ponto de subtrao dos dois segmentos

    - Trace a mediatriz do segmento AB, encontrando M o ponto mdio de AB. - Com centro em M trace uma semicircunferncia de dimetro AB

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    - Coloque a ponta seca do compasso no ponto B e trace um arco de raio b encontrando o ponto C na semicircunferncia. Pelo ponto C trace uma perpendicular ao segmento AB.

    - Ligue AC e BC, o segmento CB ser a mdia geomtrica (x).

    4. OBTENHA X NO SEGMENTO AB = 7 cm DE MODO QUE AX/XB=3/5.

    Utilize o mtodo de diviso de segmentos (Aula 1 - Exerccio oito) e divida AB em 8 partes iguais.

    5. CONSTRUIR UM TRINGULO EQUILTERO CUJO PERMETRO AB= 12,5 cm.

    Trace o segmento AB e pelo mtodo de diviso de segmentos (Aula 1 - Exerccio 8) divida AB em 3 partes iguais. Tome no compasso a medida de 1/3 de AB e construa o tringulo eqiltero.

    6. CONSTRUIR UM RETNGULO CUJO PERMETRO 14 E SEUS LADOS SO PROPORCIONAIS A 3 E 5.

    Para obter geometricamente os lados deste retngulo, observe que: 2a + 2b = 14 que equivalente a + b = 7. Construa o retngulo traando um segmento de medida 7, dividindo-o em 8 partes iguais (Aula 1- Exerccio 8) e tomando a medida dos lados na razo 3/5.

    7. ACHAR GRAFICAMENTE A MDIA GEOMTRICA ENTRE m = 2 cm e m3.

    Para encontrar a medida igual a m3, construa um tringulo retngulo de lados m e encontrar m2 que a hipotenusa. Em seguida, construa outro tringulo retngulo de lados m e m2 encontrando m3 que ser a hipotenusa.

    8. CONSTRUIR UM TRINGULO DE PERMETRO IGUAL A 12 CM SABENDO QUE SEUS LADOS SO PROPORCIONAIS A 3, 4 E 6.

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    Construa um segmento de reta com o comprimento igual a 12 cm. Depois divida o tringulo em trs partes que sejam proporcionais aos nmeros 3, 4 e 6. E ento, construa o tringulo.

    9. CONSTRUIR UM QUADRADO DE LADO IGUAL A 4 cm E ACHE A MDIA GEOMTRICA ENTRE SEU LADO E SUA DIAGONAL.

    Observe que L = 4 cm e D=2 . Para encontrar a medida D necessrio construir o quadrado de lado 4 cm e traar sua diagonal. Em seguida, encontre o valor da mdia geomtrica (Exerccio 3).

    10. CONSTRUIR UM QUADRADO COM REA EQUIVALENTE A UM CRCULO DE RAIO = 3 cm.

    Temos que a rea do crculo A'= .R.R e a rea do quadrado A"= L.L . Como A' = A" temos: .R.R = L.L.

    Tome .R como sendo o segmento a. Para encontrar o valor de . R retifique a circunferncia de raio R (veja o exercco 4 da aula 5 )

    Tome R como sendo o segmento b. E ento, para obter o valo L que o lado do quadrado procurado, encontre a mdia geomtrica (exerccio trs) entre a e b .

    11. CONSTRUIR UM TRINGULO DE BASE IGUAL A 8 CM COM REA EQUIVALENTE AO QUADRADO DO EXERCCIO ANTERIOR.

    A rea do tringulo A' = (b/2).h e a rea do quadrado A"= L.L. Fazendo A"= A" ou (b/2).h = L.L e substituindo o valor da base (b) que igual a 8 cm, teremos: 4h = L.L que o mesmo que 4/L = L/h Se o valor do segmento a 4 cm e se o valor do segmento b=L (L valor encontrado no exerccio anterior). Ao calcularmos a terceira proporcional entre a e b encontraremos o valor h. Para construir o tringulo equivalente ao quadrado, trace a sua base que um segmento igual a 8 cm b e em seguida uma reta paralela base a uma distncia igual a h . Desta forma, qualquer tringulo traado cuja base b e cuja altura h ter rea equivalente ao quadrado, ento basta ligar as extremidades da base a qualquer ponto que se encontra na paralela traada.

    12. CONSTRUIR UM TRINGULO EQUIVALENTE A UM HEXGONO REGULAR DE LADO = 3 CM.

    PROCESSO I

    A rea do hexgono A' = sp x a (sp = semipermetro e a= aptema). Neste caso sp= 6 cm e a = 2,6 cm. A rea do tringulo igual a A" = (b/2).h (b= base e h = altura). Como A'=A, ento: (b/2)/sp = a/h. Atravs da medida da base (aleatria) voc encontrar a altura do tringulo (altura relacionada com o valor da base escolhida) atravs da quarta proporcional (Exerccio um).

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    PROCESSO II

    Seja o hexgono regular A, B, C, D, E, F. Ligue B a D e prolongue o lado AB. Passe uma reta t, paralela a BD e que intersecte o prolongamento do lado AB, obtendo o ponto G.

    Trace uma reta ligando G a D, obtendo o polgono AGDEFA. Ligue A a E e prolongue o lado DE. Passe uma reta r, paralela a AE e que intersecte o prolongamento do lado DE, obtendo o ponto H.

    Trace uma reta ligando H a A, obtendo um quadriltero. Ligue G a H e prolongue o lado AH. Passe uma reta s, paralela a GH e que intersecte o prolongamento do lado AH, obtendo o ponto I. Trace uma reta ligando G a I, obtendo o tringulo AGI equivalente ao hexgono regular.

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    13. ESCREVER A PALAVRA ARQUITETURA EM UM RETNGULO DE BASE = 7 cm e ALTURA = 1,5 cm.

    Construa o retngulo utilizando o processo de diviso de segmentos (Aula 1 - Exerccio 8) divida a base em 21 partes, entretanto, cada parte dever ser proporcional ao tamanho das letras e ao espaamento entre elas. Observe abaixo as letras e o espaamento entre elas:

    A_R_Q_U_I_T_E_T_U_R_A

    Observe que a letra I mais estreita que as outras e que o espaamento entre as letras uniforme. Marque na reta auxiliar de diviso de segmentos espaamentos proporcionais s letras e ao espaamento entre elas, por exemplo:

    Para as letras A R Q U T E utilize 1 cm e para o espaamento entre as letras a tambm a letra I utilize 0,5 cm

    Essas medidas sero colocadas sobre o segmento ao qual ser utilizado para marcar as divises da base, ou seja, as 21 partes sero divididas da seguinte forma:

    A = 1cm / espaamento = 0,5cm / R = 1cm / espaamento = 0,5cm /...

    BIBLIOGRAFIA

    BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geomtrico. So Paulo : cone. 13 ed. 230 p.

    RIVERA, Flix ; NEVES, Juarenze; GONALVES, Dinei (1986). Traados em Desenho Geomtrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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    EXERCCIOS RESOLVIDOS PROPORO UREA

    1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MDIA E EXTREMA RAZO. INDICAR O SEGMENTO UREO DE AB E TAMBM O SEGMENTO DO QUAL AB UREO.

    Seja o segmento AB = 5 cm pertencente reta s.

    Encontre (M) o ponto mdio de AB. Levante uma perpendicular (r) por B. Centre o compasso em B e com abertura BM trace um arco que corte a reta (r) em O. Ligue os pontos A e O construindo assim o tringulo retngulo AOB cujo cateto maior AB, cateto menor AB/2 e hipotenusa AB5/2.

    Centre o compasso em O e com abertura igual OB trace um arco que corta a hipotenusa em C'. Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC' trace um arco que corte AB no ponto C transferindo assim, a medida AC' para o segmento AB.

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    2

    Para encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razo, passe por AO uma semi-reta (t). Centre a ponta seca do compasso em O e com abertura OB trace um arco que corte a reta (t) em D'. Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a AD' trace um arco que corte a reta (s) no ponto D transferindo assim, a medida AD' para a reta suporte do segmento AB.

    O ponto C' divide o segmento AB em mdia razo pois a medida AC' igual a AB/2 - AB5/2.

    O ponto D' divide o segmento AB em extrema razo pois a medida AD' igual a AB/2 + AB5/2.

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    O segmento AC' o segmento ureo de AB. O segmento AB o segmento ureo de AD'. A proporo urea : C'B/AC'=AC'/AB e BD'/AB=AB/AD'. Em outras palavras: "O segmento menor resultante da diviso est para o maior assim como o segmento maior est para o segmento todo".

    2. CONSTRUIR UM RETNGULO UREO SENDO DADO O LADO MAIOR DO RETNGULO 5 CM.

    Seja o lado AB = 7 cm e C o ponto que divide o segmento AB em mdia razo.

    Construa uma perpendicular (p) ao segmento AB pelo ponto A. Centre o compasso em A e com abertura AC trace um arco que corte a reta (p) em C. Com a ponta seca do compasso em C e abertura AB trace um arco. Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AC trace um arco que corte o arco anterior em D.

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    Obtemos assim o retngulo ureo ABCD cujo lado menor o segmento ureo do lado maior AB dado.

    3. CONSTRUIR UM RETNGULO UREO SENDO DADO O LADO MENOR DO RETNGULO L = 4 CM.

    Seja AB o lado menor do retngulo.

    Levante por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e abertura igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A. Levante uma perpendicular (r) reta (s) por A' e encontre o ponto mdio de BA' (M). Levante uma perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de lado AB.

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    Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual MC trace um arco que corte a reta (s) em D. Levante por D uma perpendicular (u) que corte a reta (t) em E encontrando assim o retngulo ureo ABED, no qual o lado AB dado o segmento ureo do lado BD encontrado.

    Veja a resposta: retngulo ABED cujo lado dado AB o segmento ureo do lado maior encontrado BD.

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    4. INSCREVER UMA ESPIRAL EM UM RETNGULO UREO ABCD.

    Seja um retngulo ureo ABCD. Transporte o segmento AC para o lado AB encontrando o ponto F em AB. Levante uma perpendicular ao lado AB por F encontrando o ponto G em CD. Com a ponta seca do compasso em G e abertura igual GC trace o arco CF.

    Transporte o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Levante por I uma perpendicular encontrando o ponto H em BD. Com a ponta seca do compasso em I e abertura IF trace o arco FH. Transporte o segmento HD para o segmento IH encontrando ponto L. Levante por L uma perpendicular encontrando o ponto J. Com a ponta seca do compasso em L e abertura LH trace o arco HJ.

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    Transporte o segmento JG para o segmento JL encontrando o ponto R. Levante uma perpendicular por R encontrando o ponto T. Com a ponta seca do compasso em R e abertura igual a RJ trace o arco JT. Transporte o segmento TI para o segmento TR encontrando o ponto V. Levante por V uma perpendicular encontrando o ponto U. Com a ponta seca do compasso em V e abertura igual a VT trace o arco TU.

    Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto Y. Levante por Y uma perpendicular encontrando o ponto Z. Com a ponta seca do compasso em Y e abertura igual a YU trace o arco UZ. Para encontrar o plo da espiral trace os segmentos AD e GB.

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    5. INSCREVER UM PENTGONO ESTRELADO EM UMA CIRCUNFERNCIA DE RAIO IGUAL A 5 CM.

    Seja uma circunferncia de dimetros AB e CD. Com a ponta seca do compasso em B e abertura igual ao raio da circunferncia trace um arco que corte a circunferncia nos pontos 1 e 2.

    Ligue os pontos1 e 2 encontrando M o ponto mdio do raio. Com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o dimetro AB no ponto E. Ligue CE obtendo assim o lado L5 do pentgono regular inscrito na circunferncia.

    Para construir o pentgono coloque a ponta seca do compasso em C e com abertura CE (L5) trace um arco que corte a circunferncia em G e F. Depois coloque a ponta seca em G e F e com a mesma abertura (L5) trace mais dois arcos encontrando H e I respectivamente. Ligando os pontos CHFGIC consecutivamente teremos o pentgono regular estrelado (pentagrama).

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    As diagonais se cruzam nos pontos que as dividem em mdia e extrema razo.

    6. RELACIONAR A CONSTRUO DO PENTGONO, DECGONO E PENTAGRAMA COM A PROPORO UREA.

    Seja a circunferncia de dimetros AB e CD. Encontre M o ponto mdio do raio OB e com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o raio OA no ponto E.

    O segmento CE igual ao L5 (lado do pentgono) inscrito na circunferncia. O segmento OE igual ao L10 (lado do decgono) inscrito na mesma circunferncia. O tringulo OCM possui lados iguais a R e R/2 e hipotenusa x=R5/2.

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    Ento, a medida OE que o valor do L10 (lado do decgono) ser igual a: R - R5/2 que o segmento ureo do raio. Com o valor L5 possvel encontrar os vrtices CFEGH do pentgono e com o valor L10 possvel encontrar os vrtices CJIFEKNGH do decgono.

    Ligando as diagonais CGEFHC possvel de se traar o pentagrama.

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    A relao urea a seguinte:

    1. O segmento DO = L10 (lado do decgono) segmento ureo do raio da circunferncia.

    2. As diagonais do pentgono se cortam no ponto que as divide em mdia e extrema razo.

    7. CONSTRUIR AS SRIES VERMELHA E AZUL DO LE MODULOR.

    SRIE AZUL

    Seja AB a altura mdia do homem europeu com o brao totalmente levantado sobre a cabea. Levante uma perpendicular por A e marque nela a metade de AB. Ligue BC encontrando assim o tringulo ABC de lados AB, AB/2 e hipotenusa ABV5/2.

    Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B

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    e com abertura at onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que corte o lado AB em D. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto E. Temos agora um novo tringulo BDE. Repita o processo e obter um outro tringulo BFG e assim sucessivamente dividindo todos os segmentos ureos resultantes em mdia razo.

    SRIE VERMELHA

    Seja AB a altura mdia do homem europeu com o brao totalmente levantado sobre a cabea. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto mdio de AB. Construa dois tringulos retngulos que o lado menor igual 1/4 do segmento AB. Tm-se os tringulos ACM e MDB. Siga a mesma construo da srie azul, dividindo AM em mdia razo (Ponto F). Em seguida divida tambm MB em mdia razo (ponto H). Continue a diviso urea, agora para o segmento BH encontrando J. Repita o processo para encontrar mais divises ureas.

    As duas sries azul e vermelha se intercalam da seguinte forma:

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    1. Os pontos F, M, H, J, .... da srie vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH... da srie azul pela metade.

    2. Os pontos D, F, H... da srie azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da srie vermelha em mdia razo.

    8. CONSTRUIR UM TRINGULO UREO DE BASE 8 CM E INSCREVER NELE UMA ESPIRAL.

    Seja um pentgono inscrito em uma circunferncia de dimetro AB. Considerando as diagonais FHI do pentgono, obtemos um tringulo ureo.

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    14

    Seja o tringulo ureo FHI, issceles cujos ngulos adjacentes base medem 72 graus e o ngulo oposto base mede 36 graus. Para iniciar o traado da espiral, trace a bissetriz do ngulo FHI (reta s) que corta o lado iF no ponto J. O ponto J o vrtice do ngulo FJH. Coloque a ponta seca do compasso em J e trace um arco. Em seguida, trace a bissetriz do ngulo JIH (reta u) encontrando o ponto L no segmento JH. Coloque a ponta seca em L e trace o arco HI. Trace a bissetriz do ngulo IJH. Com a ponta seca do compasso em N trace o arco IJ. Trace a bissetriz do ngulo IJH. Com a ponta seca do compasso em N trace o arco IJ. Trace a bissetriz (reta v) do ngulo JLI encontrando P no segmento JN. Com a ponta seca do compasso em P trace o arco JL. Trace a bissetriz (reta x) do ngulo LNJ encontrando Q no segmento LP. Com a ponta seca do compasso em Q trace o arco LN. Depois trace a bissetriz do ngulo NPL encontrando o ponto R no segmento NQ. Co a ponta seca do compasso em R trace o arco NP. E assim sucessivamente at chegar ao plo da espiral.

    BIBLIOGRAFIA

    BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geomtrico. So Paulo : cone. 13 ed. 230 p.

    HUNTLEY, H. E. A Divina Proporo - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemtica. Braslia : Editora Universidade de Braslia, 1985. 178p.

    NEUFERT. A Arte de Projetar em Arquitetura.

    RIVERA, Flix ; NEVES, Juarenze; GONALVES, Dinei (1986). Traados em Desenho Geomtrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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    TRINGULOS em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n10c. 2006

    1

    EXERCCIOS RESOLVIDOS TRINGULOS

    1. CONSTRUIR UM TRINGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E NGULOS ADJASCENTES BASE DE 75 E 45.

    Sejam dados a base AB e os ngulos adjacentes base.

    Primeiro transporte o ngulo de 75 para o vrtice A.

    Em seguida, transporte o ngulo de 45 para o vrtice B, encontrando assim o vrtice C do tringulo.

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    2

    Temos ento o tringulo ABC.

    2. CONSTRUIR UM TRINGULO RETNGULO EQIVALENTE AO TRINGULO DO EX. 1.

    Seja a base AB a altura H do tringulo do exerccio 1. Levante por A uma perpendicular r base AB.

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    3

    Depois a partir de A, marque a altura H na reta r encontrando assim o vrtice C.

    Ligue B a C formando assim o tringulo ABC.

    O tringulo ABC possui a mesma rea que o tringulo do exerccio 1. Ele possui a mesma rea porque as bases e as alturas so iguais e um tringulo retngulo porque possui um ngulo reto CB.

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    4

    3. CONSTRUIR UM TRINGULO OBTUSNGULO EQIVALENTE AO TRINGULO DO EX. 2.

    Seja a base AB e a altura do tringulo do exerccio 2. Levante por A uma reta r perpendicular base AB.

    Marque na reta r a altura H encontrando assim o ponto C.

    Em seguida, trace por C uma reta s paralela base do tringulo.

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    Marque um ponto C' qualquer na reta s e ligue-o ao vrtice A.

    Depois ligue C' ao vrtice B.

    O tringulo ABC' possui a mesma rea que o tringulo do exerccio 2 porque possui a mesma base e a mesma altura. O tringulo ABC' obtusngulo porque possui um ngulo obtuso.

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    6

    4. ENCONTRAR O BARICENTRO, ORTOCENTRO, INCENTRO E CIRCUNCENTRRO DO TRINGULO DO EX. 3.

    Seja o tringulo ABC.

    BARICENTRO

    Ligue o vrtice C ao ponto mdio do lado oposto. Depois ligue os outros dois vrtices aos pontos mdios do lado oposto. Na interseo estar o baricentro O1.

    ORTOCENTRO

    Levante por A uma perpendicular ao lado BC. Levante pelos outros vrtices perpendiculares a cada lado. Na interseo das perpendiculares marque o ortocentro O.

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    INCENTRO

    Trace a bissetriz do ngulo CB (u). Depois trace as bissetrizes dos outros dois ngulos. Na interseo encontrars o Incentro O2.

    CIRCUNCENTRO

    Trace a mediatriz do lado BC. Depois trace as mediatrizes dos outros lados. Na interseo das mediatrizes estar o circuncentro O3.

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    5. CIRCUNSCREVER E INSCREVER UMA CIRCUNFERNCIA NO TRINGULO O EX. 3.

    Seja o tringulo ABC. Trace as bissetrizes x, v e u. Coloque o compasso na interseco das bissetrizes (O2) e trace a circunferncia inscrita.

    Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseo das mediatrizes O3 e com abertura at um dos vrtices do tringulo trace a circunferncia circunscrita. Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque a ponta seca do compasso na interseo das mediatrizes O3 e com abertura at um dos vrtices do tringulo trace a circunferncia circunscrita.

    Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseo das mediatrizes O3 e com abertura at um dos vrtices do tringulo trace a circunferncia circunscrita.

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    9

    6. ENCONTRAR A RETA DE "EULER" DO TRINGULO DO EX. 3.

    Seja o tringulo ABC. Encontre o ortocentro, o baricentro e o circuncentro do tringulo. Note que esses trs centros do tringulo ficam alinhados.

    Ento trace agora uma reta que passe por esses trs centros.

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    7. ENCONTRAR O TRINGULO "RTICO" DO TRINGULO DO EX. 3.

    Seja o tringulo ABC. Trace as alturas s, r e t, encontrando assim o ortocentro. Marque os pontos P, N, M na interseo das alturas com os lados. O tringulo rtico formado pelos pontos PMN.

    8. CONSTRUIR O ARCO CAPAZ DE UM SEGMENTO E UM NGULO DADOS.

    Trace o segmento AB. Construa o ngulo (65, por exemplo) com vrtice no ponto A ou B. Trace a mediatriz do segmento AB. Agora, trace o ngulo dado na extremidade e para o lado de baixo do segmento AB. Trace uma reta perpendicular ao lado do ngulo em B, encontrando o ponto O onde a perpendicular corta a mediatriz.

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    Centre o compasso em O e com abertura OB ou OA trace o arco capaz do ngulo de 65. Veja na figura abaixo que foi escolhido aleatoriamente um ponto C do arco e dele partiram duas retas que passam por A e por B formando assim um ngulo ACB igual a 65. Veja na figura abaixo que o ponto C do arco que o vrtice do ngulo ACB foi deslocado para a esquerda. Verifique que o ngulo permanece de igual valor (65).

    Conclui-se ento, que este arco capaz o lugar geomtrico dos pontos que enxergam o segmento AB sob um ngulo de 65.

    9. CONSTRUIR UM TRINGULO ESCALENO SENDO DADOS a, , b (3,0; 30 ; 4,5).

    So dados o ngulo de 30, o lado b e o lado a. Desenhe o lado AB. Depois, coloque a ponta seca do compasso no vrtice A, e com qualquer abertura trace um arco que corte AB no ponto F. Coloque a ponta seca do compasso em F e com a mesma abertura corte o arco dado construindo assim o ngulo de 60. Construa a bissetriz do ngulo de 60 encontrando assim a reta r que passa pelo lado do tringulo.

    Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no ponto C.

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    12

    Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no ponto C.

    Ligue C com B.

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    10. CONSTRUIR UM TRINGULO (RETNGULO E ISSCELES) SENDO DADO A ALTURA 3 CM.

    Seja h a altura do tringulo retngulo issceles. Construa uma semi-reta Ar horizontal e na sua extremidade A levante uma perpendicular s.

    Coloque a ponta seca do compasso no vrtice A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte as duas semi-retas As e Ar. Marque o vrtice B em As.

    Marque o vrtice C em Ar.

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    Temos ento o tringulo ABC.

    O tringulo ABC retngulo issceles.

    11. CONSTRUIR UM TRINGULO EQUILTERO SENDO DADA A ALTURA 3 CM.

    Seja a altura h do tringulo eqiltero. Inicie traando uma semi-reta vertical Mr. Em seguida, marque na semi-reta Mr a partir de M a altura h dada, encontrando assim o vrtice A do tringulo.

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    Depois, coloque a ponta seca do compasso no vrtice A e com uma abertura qualquer trace um arco que corte a semi-reta Mr. Depois, com a mesma abertura no compasso, coloque a ponta seca onde o primeiro arco cortar a semi-reta Mr e corte o arco anterior em dois pontos.

    Em seguida, trace as bissetrizes dos ngulos, obtendo assim dois ngulos de 30.

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    16

    Agora, trace por M uma perpendicular semi-reta Mr, encontrando assim os pontos B e C.

    Temos ento, o tringulo eqiltero ABC.

    12. CONSTRUIR UM TRINGULO ISSCELES SENDO DADOS a, (3,0 ; 45).

    Seja o lado a e o seu ngulo oposto.

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    17

    Desenhe o lado a encontrando assim os vrtices B e C do tringulo. Centre o compasso no vrtice do ngulo de 45 e com abertura qualquer trace um arco que corte os dois lados do ngulo. Depois, com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso no vrtice B e trace um arco que corte o segmento BC. Depois coloque a ponta seca do compasso onde o arco cortou o ngulo e com abertura igual corda trace um arco. Em seguida, com a mesma abertura, coloque aponta seca do compasso onde o arco cortou o segmento BC e corte o arco. Ligue o ponto B ao cruzamento dos arcos, transportando assim o ngulo de 45. Levante uma perpendicular ao lado do ngulo por B. Construa a mediatriz do segmento BC, encontrando assim o centro do arco capaz.

    Coloque a ponta seca no ponto O e com abertura OB ou OC trace o arco capaz.

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    18

    Prolongue a mediatriz at o arco encontrando o vrtice A do tringulo issceles.

    Temos ento, o tringulo issceles de lado a e ngulo oposto ao lado a igual a 45.

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    19

    13. CONSTRUIR UM TRINGULO ESCALENO SENDO DADOS a, , b (3,0; 45; 3,5).

    Seja o ngulo de 45, o lado b e o lado a do tringulo.

    Desenhe o segmento BC (lado a). Construa um arco (qualquer raio) com centro no vrtice do ngulo dado e outro de mesmo raio com centro no ponto B.

    Construa outro arco no ngulo dado, com raio igual corda do arco. Em seguida, construa novamente o mesmo arco no arco feito em B. Desta forma o ngulo de 45 foi transportado para o segmento AB.

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    20

    Levante uma perpendicular ao lado do ngulo por B.

    Trace a mediatriz do segmento BC.

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    21

    Marque o centro O onde a mediatriz intersecta a perpendicular.

    Com centro em C e abertura igual ao lado b, trace um arco que corte o arco de centro O nos pontos A e A'.

    Temos ento, dois tringulos ABC e A'BC de lados b, a e ngulo oposto ao lado a igual a 45.

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    22

    14. CONSTRUIR UM TRINGULO ABC SENDO DADOS a, b, ma (7,0 ; 5,0 ; 3,5).

    Seja o lado a, lado b e mediana do lado a do tringulo ABC. Trace o segmento BC (lado a).

    Trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto Mdio M. Em seguida, trace um arco com centro em C e raio igual ao lado b do tringulo.

    Depois, coloque a ponta seca do compasso no ponto mdio de BC (M) e com abertura igual medida da mediana do lado a, trace um arco que corta o primeiro, encontrando assim o vrtice A do tringulo.

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    23

    Ligue o vrtice C ao vrtice A.

    Depois ligue o vrtice A ao vrtice B. Temos ento o tringulo ABC de lados a e b e mediana ma.

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    24

    15. CONSTRUIR UM TRINGULO ABC SENDO DADOS a, ma, (6,5 ; 6,0 ; 45).

    Seja o segmento a, a mediana do lado a e o ngulo de 45. Desenhe o segmento BC igual ao lado a. Trace a mediatriz do segmento AB encontrando assim o seu ponto mdio.

    Em seguida, trace um arco que corte o ngulo e depois trace o mesmo arco colocando a ponta seca do compasso no ponto B. Em seguida, transporte o ngulo de 45 para o ponto B.

    Em seguida, levante uma perpendicular ao lado do ngulo pelo ponto B. Onde a perpendicular intersectar a mediatriz ser o centro O.

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    25

    Agora, coloque a ponta seca do compasso no centro O e com raio OA ou OB trace arco capaz do ngulo dado.

    Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no ponto mdio do segmento AB e com abertura igual mediana trace um arco que corte o arco capaz nos pontos A e A'.

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    26

    Ligue os vrtices A e A' aos vrtices B e C obtendo assim os tringulos ABC e A'BC. Temos ento os tringulos ABC e A',B,C.

    16. CONSTRUIR UM TRINGULO ABC SENDO DADOS a, hb, ma (7,0 ; 5,0 ; 6,0).

    Seja o lado a, a altura do lado b e a mediana do lado a. Desenhe segmento BC (lado a).

    Em seguida, trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto mdio de BC. Coloque a ponta seca do compasso no ponto mdio de BC e com abertura igual metade de BC trace um arco de 180 (arco capaz do ngulo de 90). Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura igual hb trace um arco que corte o arco anterior.

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    27

    Ligue os pontos B e C ao ponto onde o arco corta o anterior.

    Depois, prolongue o cateto menor do tringulo. Coloque a ponta seca do compasso no ponto mdio de BC e com abertura igual Ma trace um arco que corta a reta que passa por C no ponto A.

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    28

    Em seguida, ligue o ponto B ao ponto A.

    Temos ento, o tringulo ABC.

    17. CONSTRUIR UM TRINGULO ABC SENDO DADOS a, ha, ma (6,0; 3,0; 5,0).

    Seja o lado a, altura e medianas do lado a. Desenhe o lado a. Seja BC o lado a.

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    29

    Trace a mediatriz de BC encontrando assim o seu ponto mdio Ma.

    Trace uma paralela ao segmento BC a uma distncia ha de BC. Coloque a ponta seca do compasso no vrtice B e com abertura igual mediana ma trace um arco que corte a paralela nos pontos A e A'.

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    30

    Ligue os vrtices B e C aos pontos A e A' obtendo assim os tringulos ABC e A',B,C.

    18. CONSTRUIR UM TRINGULO ABC SENDO DADOS a, mb, mc (7,0 ; 6,0 ; 7,0).

    Seja o lado a, a mediana do lado b e a mediana do lado c. Desenhe o segmento BC (lado a) e depois divida a mediana do lado b e a mediana do lado e em trs partes iguais.

    Coloque a ponta seca do compasso no vrtice B e com abertura igual 2/3 de mb trace um arco. Depois, coloque a pontas eca no vrtice C e com abertura igual 2/3 de mc trace outro arco.

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    31

    Ligue os vrtices B e C interseo dos arcos e prolongue. Marque no prolongamento de cada reta, a partir da interseo 1/3 de mb e 1/3 de mc..

    Ligue os vrtices B e C extremidades das medianas dos lados e prolongue, encontrando assim o vrtice A. A interseo das medianas o baricentro do tringulo.

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    32

    BIBLIOGRAFIA

    BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geomtrico. So Paulo : cone. 13 ed. 230 p.

    MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geomtrico e Elementar. So Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.

    RIVERA, Flix ; NEVES, Juarenze; GONALVES, Dinei (1986). Traados em Desenho Geomtrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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    circunferncia em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n.5c. 2005. Desenhos

    construdos por: Guilherme Fais.

    1

    EXERCCIOS RESOLVIDOS CIRCUNFERNCIA

    1. RECUPERAR O CENTRO DE UMA CIRCUNFERNCIA DADA.

    Seja uma circunferncia de raio 3 cm. Marque na circunferncia trs pontos quaisquer A, B e C. Trace as cordas AB e BC e em seguida, construa a mediatriz da corda AB.

    Depois construa a mediatriz da corda BC. A interseco das mediatrizes ser o ponto O, centro da circunferncia.

    2. TRAAR O DIMETRO DE UMA CIRCUNFERNCIA DADA CUJO CENTRO DESCONHECIDO.

    Seja uma circunferncia de raio 3 cm. Marque na circunferncia dois pontos quaisquer A e B. Trace a corda AB e em seguida, construa a mediatriz da corda AB. A mediatriz corta a circunferncia nos pontos C e D determinando o dimetro CD. O segmento CD ser o dimetro procurado.

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    2

    3. POR TRS PONTOS DADOS NO COLINEARES FAZER PASSAR UMA CIRCUNFERNCIA.

    Sejam trs pontos quaisquer A, B e C. Ligue os pontos AB e BC. Trace as mediatrizes dos segmentos AB e BC. A interseco das mediatrizes ser o ponto O, centro da circunferncia. Com a ponta seca do compasso em O, e abertura OA trace a circunferncia.

    4. RETIFICAR UMA CIRCUNFERNCIA DADA.

    Dado a circunferncia de dimetro AB = 5 cm. Trace uma semi-reta a partir de B e perpendicular ao dimetro.

    Com a ponta seca do compasso em B e raio BA, trace um arco que corte a semi-reta. Utilizando a mesma medida, marque na semi-reta, mais duas vezes a medida do dimetro.

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    3

    A partir do segundo ponto encontrado trace uma reta auxiliar. Marque na reta auxiliar oitos pontos separados por uma mesma distncia qualquer.

    Una o stimo ponto da auxiliar com o ultimo ponto da semi-reta.

    Trace reta paralelas ao segmento 7 por 6 e 8, encontrando D/7, obtendo assim a retificao da circunferncia que o comprimento 3D + D/7.

    5. RETIFICAR UM ARCO AB DADO.

    Dado o arco BN = 60.

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    4

    Trace uma reta perpendicular a AB por B.

    Prolongue o segmento AB por A.

    Trace uma semi-reta auxiliar em A, marcando o ponto 1.

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    5

    Com a distncia A1, marque os pontos 2, 3 e 4.

    Una o ponto 4 ao ponto O.

    Trace retas paralelas ao segmento 4O pelos pontos 3, 2 e 1 encontrando assim, os pontos 1', 2' e 3'.

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    6

    Coloque a ponta seca do compasso em A, e com raio A3', trace o arco 3'J.

    Trace uma semi-reta de origem J passando por N que corta a perpendicular no ponto I. O segmento IB a retificao do arco.

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    7

    6. DIVIDIR UMA CIRCUNFERNCIA DADA EM N PARTES IGUAIS PELO PROCESSO DE "RINALDINI".

    Tome n=5. Dado uma circunferncia de raio = 4 cm e sendo AB seu dimetro. Trace uma reta auxiliar em A e marque o ponto 1 qualquer. Utilizando a media A1, marque os pontos seguintes. Una 5 com B.

    Trace segmentos paralelos ao segmento 5B por 1, 2, 3, e 4. Coloque a ponta seca do compasso em A, abra AB e trace um arco, repita o processo em B.

    Trace as semi-retas W1', W3', Y1' e Y3'. Ligue B com C e assim os outros pontos da circunferncia obtendo as 5 partes iguais.

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    8

    Por onde as semi-retas cortarem a circunferncia marque os pontos C, D, E, F.

    7. DIVIDIR UMA CIRCUNFERNCIA DADA EM 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, E 17 PARES IGUAIS POR PROCESSOS PARTICULARES.

    DIVISO EM SETE PARTES (HEPTGONO)

    Dado uma circunferncia de raio OA = 4 cm. Encontre o ponto mdio de OA. Trace uma perpendicular a OA pelo ponto M.

    Abra no compasso uma medida que vai do ponto M at onde a perpendicular cortar a circunferncia, depois coloque a ponta seca em A e trace um arco que corta a circunferncia em B. Marque a mesma medida no compasso, coloque a ponta seca em B e marque C, repetindo o processo para cada ponto encontrado. Una cada ponto ao ponto consecutivo.

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    DIVISO EM OITO PARTES (OCTGONO)

    Dado uma circunferncia de raio 4 cm e dimetros AE e CG. Encontre a bissetriz dos ngulos CA e EC.

    Marque os pontos D, B, F e H onde as bissetrizes cortam a circunferncia. Una cada ponto com o seu consecutivo.

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    DIVISO EM NOVE PARTES (ENEGONO)

    Dado uma circunferncia de raio OA = 4 cm. Marque 40 a partir de O e trace uma semi-reta.

    Encontre o ponto B onde a semi-reta cortar a circunferncia, AB ser a medida de cada lado do enegono. Com raio AB centre o compasso em B e marque o ponto C e repita o processo para os outros pontos. Utilizando a rgua una cada ponto com o seu consecutivo.

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    DIVISO EM DOZE PARTES (DODECGONO)

    Dado uma circunferncia de raio 4 cm e dimetros AB e CD. Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura AO, trace um arco encontrando o ponto P.

    Repita o processo pelos pontos A, B, C, D. Una cada ponto com o seu consecutivo.

    DIVISO EM DEZESSETE PARTES (HEPTDECGONO)

    Dado uma circunferncia de raio = 4 cm, de dimetro AB e CD. Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura AO, trace um arco encontrando o ponto P.

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    Repita o processo pelos pontos A, B, C, D. Una cada ponto com o seu consecutivo.

    8. INSCREVER UM QUADRADO NUMA CIRCUNFERNCIA DADA SEM USAR O CENTRO DA CIRCUNFERNCIA.

    Dado uma circunferncia de raio 4 cm que contm o ponto A. Trace AB e AC de modo que BC = 45.

    Com a ponta seca do compasso em A e com abertura AB trace um arco. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em C e com abertura BC trace outro arco. Os dois arcos se cruzam no ponto D. Una AD e CD, obtendo assim o quadrado.

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    9. CONSTRUIR UM CRCULO EQUIVALENTE A UM QUADRADO DE LADO = 3 CM.

    Dado um quadrado ABCD cujo lado igual a 3 cm. Encontre o ponto mdio de AB. Una M com C. Encontre o ponto mdio de MC.

    Trace a circunferncia de centro O e raio OM.

    10. CONSTRUIR UM TRINGULO EQUILTERO CUJO PERMETRO IGUAL AO COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERNCIA DE RAIO 5 CM.

    Dado o comprimento de uma circunferncia cujo raio igual a 5 cm.

    Trace uma semi-reta auxiliar em A e marcando uma medida qualquer encontre o ponto 1.

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    Utilizando a medida A1, marque na semi-reta os pontos 2 e 3.

    Una o ponto 3 ao ponto B.

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    Trace retas paralelas a 3B pelos pontos 2 e 1, encontrando os ponto D e C respectivamente. Com a ponta seca do compasso em C, e abertura igual a CD trace uma circunferncia, repita o processo por D.

    Onde as circunferncias se cruzaram ser o ponto E, una EC a ED, obtendo assim o tringulo procurado.

    11. CONSTRUIR UM PENTGONO REGULAR CUJO PERMETRO IGUAL AO COMPRIMENTO DE UMA SEMICIRCUNFERNCIA DE RAIO 5 CM.

    Dado o comprimento de uma circunferncia cujo raio igual a 5 cm. Para obter o comprimento da semi-circunferncia, encontre o ponto mdio.

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    Trace uma semi-reta auxiliar em A e marque nela um ponto qualquer.

    Com a medida que vai do ponto A at o ponto marcado na semi-reta, marque mais quatro pontos na semi-reta. Trace uma reta ligando o ltimo ponto marcado na semi-reta ao ponto M.

    Trace paralelas reta traada, pelos pontos encontrando C e D.

    Encontre a mediatriz do segmento CD.

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    Coloque a ponta seca do compasso em D, e com abertura igual a DC trace uma circunferncia.

    Repita o processo em C, encontrando o ponto J no cruzamento dos dois crculos.

    Coloque a ponta seca do compasso em J, e com abertura JC trace uma circunferncia, encontrando os pontos 1, 2 e 3.

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    Trace uma semi-reta a partir de 2 passando por 1, repita o processo por 3, encontrando os pontos G e E respectivamente.

    Coloque a ponta seca do compasso em G, abra mais que a metade da distncia GE e trace uma circunferncia cortando a mediatriz, repita o processo em E. Depois de encontrar o ponto F, ligue-o ao ponto G e ao ponto E obtendo assim, o pentgono.

    12. CONSTRUIR UM TRINGULO EQUILTERO CUJO PERMETRO IGUAL AO

    COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERNCIA DE RAIO 5 CM.

    Dado uma circunferncia com seu dimetro prolongado e uma perpendicular reta JA por A e com o raio formando 75 com o dimetro. Trace uma reta auxiliar em J e marque o ponto 1 utilizando uma medida qualquer.

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    Utilizando a distncia J1, marque 2 e 3.

    Trace uma reta ligando o ponto 3 ao centro da circunferncia.

    Trace retas paralelas ltima reta traada passando por 1 e 2.

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    Coloque a ponta seca do compasso em J e com abertura igual a 2/3 do raio e trace um arco encontrando H.

    A partir de H trace uma semi-reta passando pelo ponto G que encontrar o ponto B na reta tangente ao crculo.

    AB o lado do hexgono, coloque ponta seca do compasso em A e com abertura igual AB trace um arco, repita o processo em B.

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    Coloque a ponta seca do compasso em O, e com abertura igual OA trace uma circunferncia.

    Com raio igual AB, coloque a ponta seca do compasso em B e trace um arco encontrando o ponto C, repita o processo at chegar em A.

    Una BC e assim por diante.

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    13. CONSTRUIR UM QUADRADO CUJA DIAGONAL IGUAL AO COMPRIMENTO DO

    ARCO CORRESPONDENTE AO NGULO DE 120 EM UMA CIRCUNFERNCIA DE RAIO 4 CM.

    Dado uma circunferncia e sua semi-retificao. Encontre o ponto mdio de AJ.

    Trace uma semi-reta auxiliar por A e marque o ponto 1 utilizando uma medida qualquer.

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    Com a distncia A1, marque os pontos 2 e 3 na reta auxiliar.

    Trace uma reta que liga o ponto 3 ao ponto M.

    Trace paralelas a M3 por 1 e 2 encontrando o ponto C.

    A medida AC o dimetro do quadrado.

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    Com a medida do dimetro construa o quadrado.

    14. CONSTRUIR UM ARCO DE CIRCUNFERNCIA DE CORDA 7 E FLECHA 2.

    Dado o segmento AB igual a 7 cm. Encontre o ponto mdio de AB.

    Trace uma perpendicular a AB por M. Marque o ponto C na perpendicular, eqidistante 2 cm de AB. Una AC e BC.

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    Trace a mediatriz dos segmentos AC e BC, encontrando o ponto O. Coloque a ponta seca do compasso em O, e com abertura igual OA trace o arco ACB.

    BIBLIOGRAFIA

    BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geomtrico. So Paulo : cone. 13 ed. 230 p.

    MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geomtrico e Elementar. So Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.

    RIVERA, Flix ; NEVES, Juarenze; GONALVES, Dinei (1986). Traados em Desenho Geomtrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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    Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exerccios e resolues sobre ARCOS

    ARQUITETNICOS em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n.8c. 2005. Desenhos

    construdos por: Enias de A. Prado e Maria Bernadete Barison.

    EXERCCIOS RESOLVIDOS ARCOS ARQUITETNICOS

    1. CONSTRUIR UM ARCO OGIVAL EQUILTERO.

    Trace o segmento AB (vo) e em seguida duas retas perpendiculares ao segmento AB por A e por B. Com centro do compasso em B e abertura AB trace um arco.

    Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AB trace outro arco. O arco gtico eqiltero definido pelos pontos A, B e C.

    2. CONSTRUIR UM ARCO PLENO (ROMANO) SENDO DADO O VO.

    Trace o segmento AB (vo) e em seguida duas retas perpendiculares ao segmento AB por A e por B.

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    ARQUITETNICOS em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n.8c. 2005. Desenhos

    construdos por: Enias de A. Prado e Maria Bernadete Barison.

    Encontre o ponto Mdio M do segmento AB (vo). Em seguida coloque a ponta seca do compasso em M e com medida MA ou MB trace o arco AB. O arco romano definido pelos pontos A e B.

    3. CONSTRUIR UM ARCO OGIVAL SUPERELEVADO SENDO DADO O VO E A ALTURA.

    Trace o segmento AB (vo). Em seguida, trace a mediatriz do segmento AB e marque nela a altura MC do arco. Ligue o ponto C s extremidades do segmento AB formando o tringulo issceles ABC.

    Prolongue o segmento AB para o lado esquerdo e direito e depois construa a mediatriz dos lados AC e BC do tringulo ABC. Onde as mediatrizes cortarem o prolongamento do segmento AB, marque os centros 1 e 2. Coloque a ponta seca do compasso no centro 2 e com abertura igual medida 2A ou 2C trace o arco AC. Coloque a ponta seca do compasso no centro 1 e com abertura igual medida 1B ou 1C e trace o arco CB.

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    ARQUITETNICOS em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n.8c. 2005. Desenhos

    construdos por: Enias de A. Prado e Maria Bernadete Barison.

    O arco ogival superelevado definido pelos pontos A, C e B.

    4. CONSTRUIR UM ARCO OGIVAL SENDO DADO O VO E A ALTURA.

    Trace o segmento AB (vo). Em seguida encontre o seu ponto mdio e trace a altura MC do arco.

    Em seguida, determine a mesma distncia R (qualquer) a partir de A, B e C. Trace os crculos de raio R.

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    construdos por: Enias de A. Prado e Maria Bernadete Barison.

    Ligue os centros dos crculos e prolongue o segmento AB. Trace as mediatrizes dos segmentos O1O2 e O2O1'.

    Prolongue as mediatrizes encontrando na reta que passa por AB os centros O3 e O3'. Ligue os centros O3 e O3' ao centro O2 e prolongue encontrando os dois pontos de tangncia na circunferncia de centro O2.

    Coloque a ponta seca do compasso em O3 e com abertura O3B trace o arco que concorda com a circunferncia de centro O2. Em seguida coloque a po