Apostila da disciplina LCE 106-C alculo Diferencial e Integral · Universidade de S~ao Paulo Escola...

$: Apostila da disciplina LCE 106-C alculo Diferencial e Integral · Universidade de S~ao Paulo Escola Superior de Agricultura \Luiz de Queiroz" Apostila da disciplina LCE 106-C alculo$
Universidade de Sao Paulo

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Apostila da disciplina

LCE 106-Calculo Diferencial e Integral

Roseli Aparecida LeandroCristian Villegas

Everton Batista da Rocha

PiracicabaEstado de Sao Paulo

2012

Conteudo

1 Revisao de conceitos basicos 1

1.1 Um pouco sobre notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conjuntos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Alguns subconjuntos especiais dos numeros reais . . . . . . . 21.4 Fatoracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1 O binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 O triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Funcoes 7

2.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Monotonicidade e Paridade de Funcoes . . . . . . . . . . . . . 82.4 Composicao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Algebra de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Classificacao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Inversao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Funcoes Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8.1 Funcao Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8.2 Funcao Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8.3 Funcao Quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.4 Funcao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.5 Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.6 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8.7 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8.8 Funcoes Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . 16

3 Limite e continuidade 19

3.1 Definicao de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.1 Propriedades dos Limites de Funcoes . . . . . . . . . . 19

i

ii CONTEUDO

3.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Assıntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Teoremas Adicionais sobre Limites de Funcoes . . . . . . . . 233.7 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7.1 Continuidade em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . 243.7.2 Continuidade em um Intervalo . . . . . . . . . . . . . 25

4 Derivada 27

4.1 A Derivada de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.1 Teoremas Basicos sobre Diferenciacao . . . . . . . . . 284.1.2 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3 Derivada de Funcoes Basicas . . . . . . . . . . . . . . 294.1.4 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . 294.1.5 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Aplicacoes de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.1 Funcoes Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . 314.2.2 Extremos de Funcoes - Extremos Absolutos . . . . . . 314.2.3 Extremos de Funcoes - Extremos Relativos . . . . . . 324.2.4 Condicoes Suficientes para Extremos Relativos e

Funcoes Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.5 Concavidade e a segunda derivada . . . . . . . . . . . 334.2.6 Extremos relativos e a segunda derivada . . . . . . . . 334.2.7 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Estudo Completo de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Formulas de Taylor e Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Integracao 37

5.1 A Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.1 Regra da Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.2 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 A Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Teorema Fundamental do Calculo (Newton-Leibniz) . . . . . 405.4 Integrais Improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

CONTEUDO iii

6 Funcoes Beta e Gama 43

6.1 Funcao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.1 Formula de Recorrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2 Funcao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2.1 Funcao Gama para 0 < n < 1 . . . . . . . . . . . . . . 446.2.2 Funcao Gama para n < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3 Funcao Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3.1 Definicoes Recorrentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Funcoes de Varias Variaveis 47

A Aspectos Computacionais 49

A.1 Comandos do MAPLE para o Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . 49A.2 acho que seria bom mostrar a saida computacional . . . . . . 49A.3 Comandos do R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Lista de Figuras

2.1 Representacao de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Grafico da funcao f(x) =

√x − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Grafico de restricoes da funcao f(x) = x2 + 5x − 7 com arespectiva inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

v

Capıtulo 1

Revisao de conceitos basicos

Neste primeiro capıtulo sera feita uma pequena revisao de conceitos basicosnecessarios para o prosseguimento da disciplina.

1.1 Um pouco sobre notacao

Simbologia Significado

∧ e∨ ou| tal que∃ existe@ nao existe∀ qualquer que seja∅ conjunto vazio∈ pertence6∈ nao pertence⊃ contem6⊃ nao contem⊂ esta contido6⊂ nao esta contido

2 CAPITULO 1. REVISAO DE CONCEITOS BASICOS

1.2 Conjuntos numericos

N Conjunto dos numeros naturaisZ Conjunto dos numeros inteirosQ Conjunto dos numeros racionaisI Conjunto dos numeros irracionaisR Conjunto dos numeros reais

em que

1. N = {0, 1, 2, 3, ...}.

2. Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.

3. Q = {ab|a, b ∈ Z, b 6= 0} .

4. R = (−∞,+∞).

1.3 Alguns subconjuntos especiais dos numerosreais

R∗ = {x ∈ R | x 6= 0}R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}R− = {x ∈ R | x ≤ 0}R∗

+ = {x ∈ R | x > 0}R∗

−= {x ∈ R | x < 0}

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

1.4 Fatoracao

Definicao 1.4.1. Fatorar e transformar uma soma de duas ou mais parcelasnum produto de dois ou mais fatores.

1o caso: Fator comum

ax + bx = x(a + b)

1.4. FATORACAO 3

2o caso: Agrupamento

ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)

3o caso: Diferenca de quadrados

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

4o caso: Quadrado perfeito

a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2

a2 − 2ab + b2 = (a − b)(a − b) = (a − b)2

5o caso: Soma e diferenca de cubos

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

6o caso: Cubo perfeito

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)3

a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)(a − b)(a − b) = (a − b)3

7o caso: Trinomio do 2o grau

ax2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2)

em que r1 e r2 sao as raızes da equacao ax2 + bx + c = 0.

8o caso: Um artifıcio

a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1 − a2 =

(a2 + 1)2 − a2 = (a2 + 1 + a)(a2 + 1 − a)

1.4.1 O binomio de Newton

O desenvolvimento do binomio (1 + x)n esta entre os primeiros problemasestudados e ligados a Analise Combinatoria. O caso n = 2 ja pode ser


encontrado nos “Elementos de Euclides”, em torno de 300 a.C. O “Triangulode Pascal” era conhecido por “Chu Shih-Chieh”, na China, por volta do ano1300, e antes disso pelos hindus e arabes. O nome coeficiente binomialfoi introduzido mais tarde por Michael Stifel (1486?-1567), que mostrou,em torno de 1550, como calcular (1 + x)n a partir do desenvolvimento de(1 + x)n−1. Sabemos tambem que o matematico arabe Al-Karaji,fins doseculo X, conhecia a lei de formacao dos elementos do triangulo de Pascal.Portanto, voce pode observar que nem Isaac Newton nem Blaise Pascalapareceram na historia ate o momento. De fato, o binomio de Newton naofoi objeto de estudo de Newton.

A formula do binomio de Newton e a formula que da o desenvolvimentode (x + y)n. Desenvolvendo o binomio (x + y)n, n ∈ N, encontramos:

(x + y)n =

n∑

k=0

(

n

k

)

xn−kyk

em que(

n

k

)

=n!

k!(n − k)!,

e chamado coeficiente binomial. Observe que n! = n×(n−1)× . . .×3×2×1e 0! = 1. Toda potencia da forma (x + y)n , com x, y ∈ R e n ∈ N,e conhecido como binomio de Newton. O desenvolvimento do binomio deNewton e simples em casos como os seguintes, que voce ja estudou no ensinofundamental. Voce aprendeu que:

(x + y)0 = 1 1 termo(x + y)1 = 1x + 1y 2 termos(x + y)2 = 1x + 2xy + 1y 3 termos(x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 4 termos

Um dos processos para determinar (x + y)4 e efetuar o produto (x + y)3

e (x + y) que voce ja conhece e sabe que da muita “mao de obra”. E secontinuar aumentando o expoente do binomio. Como fica? Em casos como(x + y)7, (2x − y)5 , (x + 2)10, (x − y)n e tantos outros, vamos recorrer aanalise combinatoria.

1.4. FATORACAO 5

1.4.2 O triangulo de Pascal

O princıpio do triangulo de Pascal e a relacao de Stifel tambem conhecidacomo igualdade do triangulo de Pascal: O triangulo de Pascal.

(

n − 1

k − 1

)

+

(

n − 1

k

)

=

(

n

k

)

Esta formula e o triangulo de Pascal sao muitas vezes atribuıdos a BlaisePascal, que os descreveu no seculo XVII. Ja eram, no entanto, conhecidosdo matematico Chines Yang Hui no seculo XIII. O matematico persa OmarKhayyam, pode ter sido o primeiro a descobrir.

11 1

1 2 11 3 3 1· · · · · ·

(

n0

) (

n1

)

. . .(

nn−1

) (

nn

)

Capıtulo 2

Funcoes

2.1 Conceitos Basicos

Definicao 2.1.1. Seja A e B dois conjuntos, A 6= ∅, B 6= ∅. Uma funcaodefinida em A com valores em B e uma lei que associa a todo elemento x ∈ A

um unico elemento y ∈ B. Notacao: y = f(x).Esquematicamente:

f : A → B

x 7→ y = f(x)

Figura 2.1: Representacao de uma funcao

Definicao 2.1.2. O conjunto A e chamado domınio da funcao f , o conjuntoB contra-domınio de f e o conjunto I = {y ∈ B|y = f(x), x ∈ A} imagemda funcao f , tambem denotado por f(A). Observe que I ⊂ B. Nestematerial o conjunto B sera o conjunto dos numeros reais.

8 CAPITULO 2. FUNCOES

Observacao 2.1.1. Quando nao se especificar o domınio de uma dadafuncao, subentende-se que ele seja o conjunto de todos os reais para osquais seja possıvel definir a funcao. Assim, o domınio da funcao f(x) = 1

x−2e D = {x ∈ R|x 6= 2}, salvo mencao contraria.

2.2 Grafico de uma Funcao

Definicao 2.2.1. Seja f : A → B. O grafico de f e o conjunto G(f) ={(x, y) ∈ A × B|y = f(x)}, em que A × B = {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B}.

Observacao 2.2.1. Como, por definicao, a todo x do domınio da funcaocorresponde um unico valor de y, nenhuma reta vertical pode interceptar ografico da funcao em mais de um ponto.

Exemplo 2.2.1. Seja f(x) =√

x − 1. O domınio de f sao todos os reaismaiores ou iguais a 1, ou seja, D = {x ∈ R|x ≥ 1}. A imagem de f eI = {y ∈ R|y ≥ 0}. Um esboco do grafico de f e dado por:

Figura 2.2: Grafico da funcao f(x) =√

x − 1

2.3 Monotonicidade e Paridade de Funcoes

Definicao 2.3.1. A funcao f : A → R e dita

1. estritamente crescente se x < y ⇒ f(x) < f(y) ∀ x, y ∈ A.

2. estritamente decrescente se x < y ⇒ f(x) > f(y) ∀ x, y ∈ A.

3. crescente se x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) ∀ x, y ∈ A.

2.4. COMPOSICAO DE FUNCOES 9

4. decrescente se x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) ∀ x, y ∈ A.

Se uma funcao f e crescente ou decrescente em A, diz-se que ela e monotonaem A.

Definicao 2.3.2. Diz-se que f : A → R e uma funcao par se as seguintescondicoes estiverem satisfeitas:

1. Para qualquer x ∈ A, tem-se sempre que −x ∈ A.

2. f(−x) = f(x), ∀ x ∈ A.

Observacao 2.3.1. O grafico de uma funcao par e simetrico em relacao aoeixo das ordenadas.

Definicao 2.3.3. Diz-se que f : A → R e uma funcao ımpar se as seguintescondicoes estiverem satisfeitas:

1. Para qualquer x ∈ A, tem-se sempre que −x ∈ A.

2. f(−x) = −f(x), ∀ x ∈ A.

Observacao 2.3.2. O grafico de uma funcao ımpar e simetrico em relacaoa origem do sistema cartesiano.

2.4 Composicao de funcoes

Definicao 2.4.1. Sejam f : A → B e g : B → C. A funcao composta de g

com f , indicada g ◦ f , e uma funcao h : A → C dada por h(x) = g(f(x)),∀ x ∈ A.

Observacao 2.4.1. Para a existencia da funcao composta nao e essencialque o domınio de g seja todo B, e sim apenas que contenha a imagem def . Assim, o domınio de g ◦ f e o conjunto de todos os elementos de x dodomınio de f tais que f(x) esteja no domınio de g.

2.5 Algebra de Funcoes

Definicao 2.5.1. Sejam f e g duas funcoes, D a interseccao nao vazia deseus domınios, e λ um numero real. Entao:

1. a soma de f e g, indicada por (f + g), e a funcao definida por (f +g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ D.

2. a diferenca de f e g, indicada por (f − g), e a funcao definida por(f − g)(x) = f(x) − g(x), ∀x ∈ D.


3. o produto de f por g, indicado por (f × g), e a funcao definida por(f × g)(x) = f(x) × g(x), ∀x ∈ D.

4. o quociente de f por g, indicado por

(

f

g

)

, e a funcao definida por(

f

g

)

(x) =f(x)

g(x), ∀x ∈ D.

5. o produto de λ por f , indicado por (λf), e a funcao definida por(λf)(x) = λf(x), ∀ ∈ D.

2.6 Classificacao de Funcoes

Definicao 2.6.1. Seja f : A → B. Diz-se que uma funcao f e injetora se:

x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y) x, y ∈ A.

Consequencia 2.6.1. Como consequencia da definicao pode-se dizer queuma funcao e injetora se:

f(x) = f(y) ⇒ x = y x, y ∈ A.

Diz-se neste caso que se estabelece uma correspondencia um a um entre odomınio e a imagem de f .

Definicao 2.6.2. Seja f : A → B. Diz-se que uma funcao f e sobrejetorase f(A) = B, ou seja, para cada y ∈ B, existe pelo menos um x ∈ A tal que,y = f(x).

Definicao 2.6.3. Seja f : A → B. Diz-se que uma funcao f e bijetora sefor injetora e sobrejetora, isto e, se para cada y ∈ B existir um unico pontox ∈ A tal que y = f(x). Diz-se que estabelece-se uma correspondencia uma um entre o domınio e o contradomınio de f .

2.7 Inversao de Funcoes

Definicao 2.7.1. Diz-se que f : A → B e inversıvel se existir g : B → A,tal que g ◦ f = IA, isto e, (g ◦ f)(x) = x ∀x ∈ A e f ◦ g = IB , isto e,(f ◦ g)(x) = x ∀x ∈ B. A funcao g e chamada funcao inversa de f e eindicada por f−1.

Observacao 2.7.1. Observar que

1. Uma funcao f : A → B e inversıvel se, e somente se, f e bijetora.

2.8. FUNCOES BASICAS 11

2. Se f : A → B e uma funcao bijetora, entao o domınio e o contra-domınio de f sao, respectivamente, o contra-domınio e o domınio def−1.

3. Os graficos de f e f−1 sao curvas simetricas em relacao a bissetriz dosquadrantes ımpares, ou seja, em relacao a reta y = x.

Exemplo 2.7.1. Considere a funcao f , definida por f(x) = x2 + 5x − 7considerando-se que o domınio de f e R e que o contra-domınio de f e R,tem-se que f e nao-inversıvel. Porem, considerando-se, restricoes do domıniopode-se tornar a funcao injetora, e considerando-se restricoes do contra-domınio pode-se torna-la sobrejetora. Veja, algumas possıveis restricoespara o domınio e contra-domınio:

Restricoes de domınio e Contra-domınio

Domınio Contra-Domınio

(−∞, xv) (yv,∞)(−∞, xv] [yv,∞)[xv,∞) [yv,∞)(xv,∞) (yv,∞)

A Figura 2.3 apresenta o grafico de restricoes da funcao f(x) = x2+5x−7com sua respectiva inversa e a reta bissetriz do 1o e 3o quadrantes. Observeo grafico da restricao com a respectiva inversa exibidos com a mesma cor.No Capıtulo ??? voce podera visualizar os comandos MAPLE utilizadospara a exibicao do grafico apresentado na Figura 2.3.

2.8 Funcoes Basicas

Por convencao o contra-domınio de todas as funcoes e R.

2.8.1 Funcao Constante

Sao funcoes definidas por f(x) = b com b ∈ R. Seu domınio e R e I={c}.2.8.2 Funcao Afim

Sao funcoes definidas por f(x) = ax + b com a, b ∈ R, a 6= 0. Seu domınio eR e imagem, I = R.

Observacao 2.8.1. Observar que:

1. A funcao afim tem como grafico uma reta.


Figura 2.3: Grafico de restricoes da funcao f(x) = x2 + 5x − 7 com arespectiva inversa

2. O grafico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b) e o eixo das

abscissas no ponto

(−b

a, 0

)

.

3. Pode-se mostrar que a tangente do angulo α formando entre a reta eo eixo e igual a constante a.

4. Se b = 0 a funcao e denonimada funcao linear.

2.8.3 Funcao Quadratica

E toda funcao da forma f(x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.


1. Seu grafico e uma parabola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.

2. A parabola que representa a funcao f(x) = ax2 + bx + c tem concavi-dade para cima quando a > 0, e a concavidade para baixo quandoa < 0.

3. O vertice da parabola tem coordenadas V

(

− b

2a,− ∆

4a

)

, em que ∆ =

b2 − 4ac


4. As abscissas dos pontos em que a parabola intercepta o eixo x, seexistirem, sao dadas por:

x =−b ±

√∆

2a, em que ∆ = b2 − 4ac.

Posicoes caracterısticas da parabola no plano cartesiano sao dadas por:

1. a > 0 e ∆ > 0

2. a > 0 e ∆ = 0

3. a > 0 e ∆ < 0

4. a < 0 e ∆ > 0

5. a < 0 e ∆ = 0

6. a < 0 e ∆ < 0

2.8.4 Funcao Modular

E a funcao f(x) = |x| =

{

x, se x ≥ 0

−x, se x < 0

2.8.5 Funcao Exponencial

E toda funcao do tipo f(x) = ax (a > 0, a 6= 1).


1. O grafico de uma funcao exponencial e crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1.

2. Para resolver as funcoes exponenciais vale-se da relacao:

ax = ay ⇒ x = y

3. Pela primeira observacao da funcao exponencial, tem-se as seguintesrelacoes que auxiliam na resolucao de inequacoes exponenciais:

Se a > 1 , ax < ay ⇔ x < y

Se 0 < a < 1 , ax < ay ⇔ x > y


2.8.6 Funcao Logarıtmica

A funcao logarıtmica, definida em R∗

+, e dada por: f(x) = loga x, a > 0 ea 6= 1, se e so se, af(x) = x.


1. A funcao logarıtmica e a inversa da funcao exponencial.

2. As propriedades da funcao logarıtmica, sendo a > 0, b > 0 e b 6= 1,c > 0 e α ∈ R, sao:

(a) logb(ac) = logb a + logb c

(b) logb

(a

c

)

= logb a − logb c

(c) logb(aα) = α logb a

(d) logb a =loge a

loge b

3. O grafico e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

4. Para a resolucao de equacoes logarıtmicas, usa-se a relacao seguinte:

(a) Se f(x) > 0, g(x) > 0, a > 0 e a 6= 1, entao loga f(x) =loga g(x) ⇔ f(x) = g(x)


1. Para a resolucao de inequacoes logarıtmicas, usa-se as relacoesseguintes:

(a) Se a > 1, f(x) > 0 e g(x) > 0, entao loga f(x) > loga g(x) ⇔f(x) > g(x)

(b) Se 0 < a < 1, f(x) > 0 e g(x) > 0, entao loga f(x) > loga g(x) ⇔f(x) < g(x)

2.8.7 Funcoes Trigonometricas

Definicao 2.8.1. Denomina-se de circunferencia trigonometrica a circun-ferencia de centro na origem do plano cartesiano, de raio unitario e cujosarcos tem origem no ponto A(1, 0), com sentido anti-horario positivo.

Definicao 2.8.2. Considere na circunferencia trigonometrica um arco demedida x, com origem em A e extremidade em P . Entao, por definicao:


1. seno de x e a ordenada do ponto P

2. cosseno de x e a abscissa do ponto P

3. tangente de x e a ordenada do ponto T , intereseccao da reta OP como eixo tangente a circunferencia pelo ponto A.

Figura 2.4: NOME

Definicao 2.8.3. Define-se as principais funcoes trigonometricas daseguinte forma:

1. Funcao seno: f : R → R, f(x) = senx

2. Funcao cosseno: f : R → R, f(x) = cosx

3. Funcao tangente: f : R −{π

2+ hπ, h ∈ Z

}

→ R, f(x) = tg x

As outras funcoes trigonometricas sao definidas pelas relacoes

cotg x =cos x

senx=

1

tg x, sec x =

1

cos x, cosec x =

1

senx


1. Da definicao, conclui-se que a imagem das funcoes seno e cosseno e ointervalo [−1, 1] e a imagem da funcao tangente e R.

2. A funcao cosseno (e, portanto, secante) e par, enquanto as funcoesseno (⇒ cossecante) e tangente (⇒ cotangente) sao ımpares.


3. As funcoes seno, cosseno, tangente sao periodicas, de perıodo 2π, 2πe π respectivamente.

4. As principais relacoes trigonometricas:

(a) sen 2x + cos2 x = 1

(b) 1 + tg 2x = sec2 x

(c) 1 + cot2 x = cosec 2x

(d) sen (x ± y) = senx cos y ± sin y cos x

(e) cos(x ± y) = cos x cos y ± senxsen y

(f) tg (x ± y) =tg x ± tg y

1 ∓ tg xtg y

(g) sen 2x = 2senx cos x

(h) cos 2x = cos2 x − sen 2x

(i) tg 2x =2tg x

1 − tg 2x

(j) sen p ± sen q = 2sen

(

p ± q

2

)

cos

(

p ∓ q

2

)

(k) cos p ± cos q = 2 cos

(

p + q

2

)

cos

(

p − q

2

)

(l) cos p − cos q = −2sen

(

p + q

2

)

cos

(

p − q

2

)

2.8.8 Funcoes Trigonometricas Inversas

Seja a funcao f : R → R, definida por f(x) = senx. A fim de definirsua funcao inversa e necessario fazer a seguinte restricao, com o intuito detorna-la bijetora:

f :[

−π

2,π

2

]

→ [−1, 1]

f(x) = senx

Assim, pode-se definir a funcao inversa.

f−1 : [−1, 1] →[

−π

2,π

2

]

y = arcsenx (⇔ sin y = x)

Trabalhando da mesma forma com as outras funcoes trigonometricas, tem-se:


1. Funcao Arcoseno: f : [−1, 1] →[

−π

2,π

2

]

, f(x) = arcsenx

2. Funcao Arco-cosseno: f : [−1, 1] → [0, π], f(x) = arccos x

3. Funcao Arco-tangente: f : R →(

−π

2,π

2

)

, f(x) = arctg x

Capıtulo 3

Limite e continuidade

3.1 Definicao de Limite

Definicao 3.1.1. Seja f uma funcao definida num intervalo aberto contendoa (exceto possivelmente no proprio a) e seja L um numero real. Entao,

limx→a

f(x) = L

se para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε sempre queo < |x − a| < δ.

Em outras palavras, a definicao acima diz que f(x) pode tornar-se taoproximo de L quanto se deseja, escolhendo-se x suficientemente proximo dea, mas nao igual a a.

Teorema 3.1.1. (de unicidade) Se limx→a

= L1 e limx→a

= L2, entao L1 = L2.

3.1.1 Propriedades dos Limites de Funcoes

Propriedade 3.1.1. Se m e b sao constantes quaisquer, entao: (Se m e b

sao constantes quaisquer, entao:)

limx→a

(mx + b) = ma + b

Consequencia 3.1.1. Se c e uma constante, entao, (Se c e uma constante,entao,)

limx→a

c = c

Consequencia 3.1.2.

limx→a

x = a

20 CAPITULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

Propriedade 3.1.2. Se limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M , entao

limx→a

[f(x) ± g(x)] = limx→a

f(x) ± limx→a

g(x) = L ± M.

Consequencia 3.1.3. Se limx→a

f1(x) = L1, limx→a

f2(x) = L2, · · · , limx→a

fn(x) =

Ln, entao,

limx→a

[f1(x) ± f2(x) ± · · · fn(x)] = L1 ± L2 ± · · ·Ln


f(x) = L e limx→a

g(x) = M , entao

limx→a

[f(x) × g(x)] = limx→a

f(x) × limx→a

g(x) = L × M


f1(x) = L1, limx→a

f2(x) = L2, · · · ,limx→a

fn(x) = Ln, entao,

limx→a

[f1(x) × f2(x) × · · · fn(x)] = L1 × L2 × · · ·Ln


f(x) = L e n for inteiro positivo qualquer,

entao

limx→a

[f(x)]n =[

limx→a

f(x)]n

= Ln


f(x) = L e limx→a

g(x) = M e M 6= 0, entao

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)=

L

M


f(x)n = L, entao,

limx→a

f(x)n =[

limx→a

f(x)]n

= Ln

Se L ≥ 0 e n for um inteiro qualquer positivo, ou se L ≤ 0 e n for um inteiropositivo ımpar qualquer.

Propriedade 3.1.6. Se g e uma funcao tal que g(x) = f(x) e valido paratodos os valores de x pertencentes a algum intervalo ao redor de a, excetox = a, entao lim

x→ag(x) = lim

x→af(x), se os limites existirem.

3.2. LIMITES LATERAIS 21

3.2 Limites Laterais

Definicao 3.2.1. Seja f definida em um intervalo (a, c). Entao, o limitede f(x) quando x tende a a pela direita sera L, escrito lim

x→a+f(x) = L, se

para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que, |f(x) − L| < ε sempre que0 < x − a < δ.

Definicao 3.2.2. Seja f definida em um intervalo (d, a). Entao, o limitede f(x) quando x tende a a pela esquerda sera L, escrito lim

x→a−

f(x) = L, se

para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que, |f(x) − L| < ε sempre que0 < x − a < δ.

Teorema 3.2.1. limx→a

f(x) e igual a L se e somente se limx→a+

f(x) e limx→a−

f(x)

existirem e ambos forem iguais a L

3.3 Limites no Infinito

Definicao 3.3.1. Suponha que a funcao f esteja definida em um intervalo(a,+∞). Diz-se que lim

x→+∞

f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um numero

positivo N tal que |f(x) − L)| < ε sempre que x > N .

Definicao 3.3.2. Suponha que a funcao f esteja definida em um intervalo(−∞, a). Diz-se que lim

x→−∞

f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um numero

negativo N tal que |f(x) − L)| < ε sempre que x < N .

Teorema 3.3.1. Se r e um inteiro positivo qualquer, entao,

limx→+∞

1

xr= 0 e lim

x→−∞

1

xr= 0.

Observacao 3.3.1. As propriedades de limite de funcoes permanecem in-alteradas quando x → a e substituıdo por “x → +∞”ou “x → −∞”.

3.4 Limites Infinitos

Definicao 3.4.1. Seja f definida num intervalo aberto contendo a, excetopossivelmente no proprio a . Diz-se que lim

x→af(x) = +∞, se para qualquer

N > 0 existir um δ > 0 tal que f(x) > N sempre que 0<|x − a| < δ.


Definicao 3.4.2. Seja f definida num intervalo aberto contendo a , excetopossivelmente no proprio a. Diz-se que lim

x→af(x) = −∞, se para qualquer

N < 0 existir um δ > 0 tal que f(x) < N sempre que 0<|x − a| < δ.Observacao analoga pode ser feita para lim

x→af(x) = −∞. Desta forma, tem-

se:

Observacao 3.4.1. Podemos observar que

1. Definicoes semelhantes podem ser feitas ao se trocar, “x → a” por“x → a+”ou “x → a−”.


1. Limites infinitos no infinito podem ser considerados. Existemdefinicoes formais para cada um dos seguintes limites:

limx→+∞

f(x) = +∞

limx→+∞

f(x) = −∞

limx→+∞

f(x) = −∞

limx→−∞

f(x) = −∞

3.4.1 Propriedades


f(x) = ±∞ e limx→a

g(x) = c, c constante qual-

quer, entao,

1. limx→a

[f(x) + g(x)] = ±∞

2. Se c > 0, entao limx→a

[f(x) × g(x)] = ±∞

3. Se c < 0, entao limx→a

[f(x) + g(x)] = ∓∞

4. limx→a

g(x)

f(x)= 0


f(x) = 0 e limx→a

g(x) = c, c constante nao nula,

entao,

1. Se c > 0 e se f(x) → 0 atraves de valores positivos de f(x), entao

limx→a

g(x)

f(x)= +∞

3.5. ASSINTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 23

2. Se c > 0 e se f(x) → 0 atraves de valores negativos de f(x), entao

limx→a

g(x)

f(x)= −∞

3. Se c < 0 e se f(x) → 0 atraves de valores positivos de f(x), entao

limx→a

g(x)

f(x)= −∞

4. Se c < 0 e se f(x) → 0 atraves de valores negativos de f(x), entao

limx→a

g(x)

f(x)= +∞

Observacao 3.4.3. As propriedades (3.4.1) e (3.4.2) anteriores continuamvalidas se “x → a”for substituıdo por “x → a+”, “x → a−”, “x → +∞”ou“x → −∞”.

3.5 Assıntotas Verticais e Horizontais

Definicao 3.5.1. Diz-se que a reta vertical x = a e uma assıntota verti-cal do grafico da funcao f se pelo menos uma das afirmacoes seguintes forverdadeira:

1. limx→a+

f(x) = +∞

2. limx→a+

f(x) = −∞

3. limx→a−

f(x) = +∞

4. limx→a−

f(x) = −∞

Definicao 3.5.2. Diz-se que a reta vertical y = b e uma assıntota horizon-tal do grafico da funcao f se pelo menos uma das afirmacoes seguintes forverdadeira:

1. limx→+∞

f(x) = b

2. limx→−∞

f(x) = b

3.6 Teoremas Adicionais sobre Limites de Funcoes

Teorema 3.6.1. (Teorema da Conservacao do Sinal)Se lim

x→af(x) existe e se lim

x→af(x) = b 6= 0, entao existe um intervalo aberto

contınuo contendo a tal que f(x) tem o mesmo sinal de b para todo x 6= a

deste intervalo.


Teorema 3.6.2. (Teorema da Comparacao)Suponha que f e g estejam definidas em um intervalo aberto I contendo a ,exceto possivelmente em a. Suponha, tambem, que f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ I,x 6= a. Entao, se existirem lim

x→af(x) e lim

x→ag(x), entao lim

x→af(x) ≤ lim

x→ag(x).


1. Se lim f(x) = +∞ e f(x) ≤ g(x), entao lim g(x) = +∞ (vale parax → a, x → +∞ e x → −∞).

2. Se lim g(x) = −∞ e f(x) ≤ g(x), entao lim f(x) = −∞ (vale parax → a, x → +∞ e x → −∞).

Teorema 3.6.3. (Teorema do Confronto ou do “Sanduıche”)Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a ,exceto possivelmente em a, e se lim

x→af(x) = lim

x→ah(x) = L, entao lim

x→ag(x) =

L.

Observacao 3.6.2. O teorema anterior continua valido se “x → a” forsubstituıdo por “x → +∞” ou “x → −∞”.

Teorema 3.6.4. (1o Limite Fundamental)

limx→0

senx

x= 1

Teorema 3.6.5. (2o Limite Fundamental)

limx→−∞

(

1 +1

x

)x

= e

limx→∞

(

1 +1

x

)x

= e

em que e = 2, 71828 · · · (irracional).

3.7 Continuidade

3.7.1 Continuidade em um ponto

Definicao 3.7.1. Diz-se que f e contınua em um ponto a se sao satisfeitasas tres condicoes seguintes:

1. existe f(a)

3.7. CONTINUIDADE 25

2. existe limx→a

f(x)

3. limx→a

f(x) = f(a)


1. Se uma ou mais destas tres condicoes nao for verificada em a , diz-seque a funcao f e descontınua em a.

2. Como a nocao de continuidade envolve o fato de que limx→a

f(x) = f(a),

tem-se entao o seguinte teorema:

Teorema 3.7.1. Diz-se que f e contınua em um ponto a se f for definidaem um intervalo aberto contendo a e se para qualquer ε > 0 existe um ε > 0tal que |f(x) − f(a)| < ε sempre que |x − a| < δ.

Propriedade 3.7.1. Se f e g sao duas funcoes contınuas em a , entao:

1. f + g e contınua em a

2. f − g e contınua em a

3. f × g e contınua em a

4.f

ge contınua em a, desde que g(a) 6= 0

Propriedade 3.7.2. Uma funcao polinomial e contınua em todo a ∈ R.

Propriedade 3.7.3. Uma funcao racional (quociente de duas funcoes poli-nomiais) e contınua em todo ponto do seu domınio.

Propriedade 3.7.4. As funcoes trigonometricas, exponenciais, logarıtmicassao contınuas em todos os pontos dos seus domınios.

Propriedade 3.7.5. Se g e contınua em a e f e contınua em g(a), entaof ◦ g e contınua em a.

3.7.2 Continuidade em um Intervalo

Definicao 3.7.2. Diz-se que uma funcao f e contınua em um intervaloaberto se f e contınua em todos os pontos deste intervalo.

Definicao 3.7.3. Uma funcao f e contınua em um intervalo fechado [a, b]se f e contınua no intervalo aberto (a, b) e f satisfaz

limx→a+

f(x) = f(a) e limx→b−

f(x) = f(b).

Capıtulo 4

Derivada

4.1 A Derivada de uma Funcao

Definicao 4.1.1. A derivada de uma funcao f , indicada f′

e uma funcaodefinida por:

f′

(x) = lim∆x→0

=f(x + ∆x) − f(x)

∆x= lim

∆x→0

∆y

∆x,

se esse limite existir e for finito.

Observacao 4.1.1. Se f e definida por y = f(x), sua derivada pode serindicada por,

f′

(x) = y′

=dy

dx= Dxy.

Definicao 4.1.2. Uma funcao f e diferenciavel em x1 se f′

(x1) existir. Umafuncao e diferenciavel se for diferenciavel em todo ponto do seu domınio.

Definicao 4.1.3. Se a funcao f esta definida em x1, entao a derivada adireita em x1 e definida por:

f′

+(x1) = lim∆x→0+

f(x1 + ∆x) − f(x1)

∆x

caso o limite exista. De maneira analoga se define f′

−(x1), a derivada a

esqueda de f em x1:

f′

−(x1) = lim

∆x→0−

f(x1 + ∆x) − f(x1)

∆x

27

28 CAPITULO 4. DERIVADA

Observacao 4.1.2. Como consequencia do teorema da existencia de limite,pode-se afirmar que a derivada de f

′

(x1) existe e tem o menor valor A see somente se ambas as derivadas f

′

−(x1) e f

′

+(x1) existirem e tem o valorcomum A.

Teorema 4.1.1. Se uma funcao f e diferenciavel em x1, entao f e contınuaem x1.


1. A recıproca do teorema nao e verdadeira. Existem funcoes contınuasque nao sao diferenciaveis.

2. Como consequencia do teorema, pode-se dizer que se f nao e contınuaem x1, entao f nao e diferenciavel em x1.

4.1.1 Teoremas Basicos sobre Diferenciacao

Teorema 4.1.2. Se f(x) = c, ∀x, c constante qualquer, entao f′

(x) = 0.

Teorema 4.1.3. Se f(x) = xn, n inteiro positivo qualquer, entao f′

(x) =nxn−1.

Teorema 4.1.4. Se f uma funcao e c uma constante. Se g e uma funcaodefinida por g(x) = cf(x), entao, se f

′

(x) existe, g′

(x) = cf′

(x).

Teorema 4.1.5. Se u e v sao funcoes e se f e tal que f(x) = u(x) + v(x),entao f

′

(x) = u′

(x) + v′

(x), desde que u′

(x) e v′

(x) existam (ou seja, aderivada da soma e a soma das derivadas).


1. Costuma-se escrever (u + v)′

= u′

+ v′

2. O resultado pode ser estendido a qualquer numero finito de funcoes.

Teorema 4.1.6. Se u e v sao funcoes e se f e tal que f(x) = u(x).v(x),entao f

′

(x) = u′

(x).v(x) + u(x).v′

(x), desde que u′

(x) e v′

(x) existam.

Observacao 4.1.5. Costuma-se escrever (uv)′

= u′

v + uv′

Teorema 4.1.7. Se f e uma funcao, f(x) 6= 0, entao,

(

1

f(x)

)′

= − f′

(x)

[f(x)]2,

desde que f′

(x) exista.

4.1. A DERIVADA DE UMA FUNCAO 29

Teorema 4.1.8. Se u e v sao funcoes e se f e tal que f(x) =u(x)

v(x), em que

v(x) 6= 0, entao, f′

(x) =u

′

(x).v(x) − u(x).v′

(x)

[v(x)]2, desde que u

′

(x) e v′

(x)

existam.

Observacao 4.1.6. Costuma-se escrever(u

v

)′

= u′

v + uv′

=u

′

.v − u.v′

v2.

4.1.2 A Regra da Cadeia

Teorema 4.1.9. Se y = f(u), u = g(x) e as derivadasdy

due

du

dxexistem,

entao a funcao composta y = f(g(x)) tem derivada dada por,

dy

dx=

dy

du× du

dx,

ou seja, f′

(x) = f′

(u).g′

(x).

Observacao 4.1.7. O teorema se estende para a composta de um numerofinito de funcoes.

4.1.3 Derivada de Funcoes Basicas

Teorema 4.1.10. Suponha que f seja contınua e monotona sobre um in-tervalo I e seja y = f(x). Se f e diferenciavel e f

′

(x) 6= 0 para todo x emI, entao a derivada da funcao inversa x = f−1(y) e dada por:

dx

dy=

1

dy

dx

Teorema 4.1.11. Ver tabela de derivadas!

4.1.4 Derivadas de Ordem Superior

Se f′

e a derivada de uma funcao f , f′

tambem e uma funcao de x, chamadaprimeira derivada de f . A derivada de f

′

, se existir, e chamada segundaderivada de f , denotada por,

y′′

= f′′

(x) = D2xy =

d2y

dx2.

Generalizando, a n-esima derivada da funcao f e a derivada da (n−1)-esimaderivada de f . Indica-se por,

y(n) = f (n)(x) = Dnx(y) =

dn(y)

dxn


4.1.5 A Diferencial

Definicao 4.1.4. Se y = f(x), entao a diferencial de y, demonstrada pordy, e dada por, dy = f

′

(x)∆x, em que x esta no domınio de f′

e ∆x e umincremento arbitrario em x.

Ao se trabalhar com a funcao y = x, tem-se y′

= 1 e, consequentemente,dy = dx = ∆x, ou seja, dx = ∆x. Tem-se entao a seguinte definicao:

Definicao 4.1.5. Seja y = f(x), entao a diferencial de x, denotada por dx,e dada por, dx = ∆x. Pode-se entao escrever, dy = f xdx.


1. Da ultima relacao segue-se que

dy

dx= f

′

(x),

isto e, f′

(x) pode ser visto como uma razao diferencial de uma funcaopela diferencial da variavel independente.

2. Como dy = ∆y, quando ∆x = dx e suficientemente pequeno, conclui-se que a diferencial de y, dy, e o incremento de y, ∆y, sao aproximada-mente iguais quando dx e suficientemente pequeno.

e tem-se as seguintes formulas diferencias:

1. d(c) = 0

2. d(cu) = cdu

3. d(u + v) = du + dv

4. d(uv) = udv + vdu

5. d(u

v

)

=vdu − udv

v2

6. d(un) = nun−1du

7. d(xn) = nxn−1dx

em que u e v sao funcoes de x diferenciaveis, c e constante e n e um expoenteracional.

Definicao 4.1.6. Seja y = f(x), entao a diferencial de ordem n e a difer-encial da diferencial de ordem n − 1, ou seja,

dny = f (n)(x)dxn.

4.2. APLICACOES DE DERIVADA 31

4.2 Aplicacoes de Derivada

Teorema 4.2.1. (ROLLE -1652/1719)Seja f(x) contınua em [a, b] e derivavel em (a, b) e que f(a) = f(b) = K.Entao, existira pelo menos um ponto x tal que f

′

(x) = 0.

Teorema 4.2.2. (Cauchy)Sejam f(x) e g(x) contınuas em [a, b] e derivaveis em (a, b) com g(x) 6= 0em (a, b). Existira, entao, pelo menos um ponto x ∈ (a, b) tal que,

f(b) − f(a)

g(b) − g(a)=

f′

(x)

g′(x)

.

Teorema 4.2.3. (Lagrange)Seja f(x) contınua em [a, b] e derivavel em (a, b), entao existira x ∈ (a, b)tal que f(b) − f(a) = f

′

(x)(b − a).

4.2.1 Funcoes Crescentes e Decrescentes

Pelo fato de a primeira derivada poder ser interpretada como a tangente doangulo de tangencia de uma reta a uma curva no ponto dado por (a, f(a)),ela podera ser utilizada para a analise da taxa de crescimento de uma funcao.

Teorema 4.2.4. Seja f uma funcao contınua em [a, b] e derivavel em (a, b).

1. Se f′

(x) > 0 para x ∈ (a, b) entao f e crescente em [a, b]

2. Se f′

(x) < 0 para x ∈ (a, b) entao f e decrescente em [a, b]

4.2.2 Extremos de Funcoes - Extremos Absolutos

Definicao 4.2.1. O ponto c do domınio de uma funcao f e ditoponto crıtico de f se uma das seguintes condicoes for satisfeita:

1. f′

(c) existe e e zero.

2. f′

(c) nao existe.

Definicao 4.2.2. Seja f definida num intervalo I e c0 um ponto em I.

1. f(c0) e maximo absoluto em I se f(x) ≤ f(c0), x ∈ I

2. f(c0) e mınimo absoluto em I se f(x) ≥ f(c0), x ∈ I


1. Casos em que c0 e dito ponto de maximo absoluto eponto de mınimo absoluto em I, respectivamente.


2. O conceito de maximo e mınimo absolutos sao relativos a um dadointervalo.

Teorema 4.2.5. Se uma funcao e contınua num intervalo fechado [a, b]entao f admite seu maximo e seu mınimo pelo menos uma vez em [a, b].

Observacao 4.2.2. A prova deste teorema remonta na propria conceituacaode numeros reais como um corpo ordenado completo, assunto de topologiados reais que transcende os objetivos mais aplicados deste curso.

4.2.3 Extremos de Funcoes - Extremos Relativos

Definicao 4.2.3. Seja c um ponto no domınio da funcao f

1. f(c) e maximo relativo (ou local) se existir um intervalo aberto (a, b),contendo c tal que f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ (a, b)

2. f(c) e mınimo relativo (ou local) se existir um intervalo aberto (a, b),contendo c tal que f(x) ≥ f(c), ∀x ∈ (a, b)


1. Pela definicao acima, dado um intervalo I, a funcao f podera ter variosmaximos e mınimos relativos, mas apenas um maximo e um mınimoabsoluto, quando os tiver.

2. Algumas vezes os extremos relativos (maximos ou mınimos relativos)poderao coincidir com os extremos relativos.

Teorema 4.2.6. Se uma funcao e derivavel em c e tem um extremo localnesse ponto, entao f

′

(c) = 0.

4.2.4 Condicoes Suficientes para Extremos Relativos eFuncoes Contınuas

Teorema 4.2.7. Seja c um valor crıtico de f em (a, b). Seja ademais f

contınua em [a, b] e derivavel em (a, b), exceto, possivelmente, em c.

1. Se f′

(x) > 0 para a < x < c e f′

(x) < 0 para c < x < b, entao f(x) emaximo relativo em c.

2. Se f′

(x) < 0 para a < x < c e f′

(x) > 0 para c < x < b, entao f(x) emınimo relativo em c.

4.2. APLICACOES DE DERIVADA 33

4.2.5 Concavidade e a segunda derivada

Teorema 4.2.8. Seja f uma funcao e c um ponto de seu domınio em quef

′′

(c) exista.

1. Se f′′

(c) > 0, entao f(x) e concava para cima.

2. Se f′′

(c) < 0, entao f(x) e concava para baixo.

Definicao 4.2.4. Um ponto (c, f(c)) do grafico de f , contınua e derivavelem (a, b) contendo c e dito ponto de inflexao se uma das condicoes abaixofica satisfeita:

1. Para a < x < c, f′

(x) e crescente e para c < x < b, f′

(x) e decrescente.

2. Para a < x < c, f′

(x) e decrescente e para c < x < b, f′

(x) e crescente.

4.2.6 Extremos relativos e a segunda derivada

Teorema 4.2.9. Seja f derivavel num intervalo (a, b) contendo c e quef

′

(c) = 0. Entao,

1. Se f′′

(c) < 0, entao f tem um maximo local em c.

2. Se f′′

(c) > 0, entao f tem um mınimo local em c.

Teorema 4.2.10. Seja f(x) derivavel ate a terceira ordem e suponha quef

′′

(c) = 0. Entao, se f′′′

(c) 6= 0, o ponto (c, f(c)) sera um ponto de inflexao.

4.2.7 Regras de L’Hospital

Teorema 4.2.11. Se para x = a a fracaof(x)

g(x)admite forma indeterminada

0

0mas

f′

(x)

g′(x)

nao e indeterminada nesse ponto, entao

limx→a

f′

(x)

g′(x)

= limx→a

f(x)

g(x)

se o primeiro limite existir.

Teorema 4.2.12. Sef(x)

g(x)admite forma indeterminada

∞∞ quando x tende

para a (finito ou nao), entao,

limx→a

f′

(x)

g′(x)

= limx→a

f(x)

g(x)

se o primeiro limite existir.


Observacao 4.2.4. A demonstracao deste teorema e mais complicada pelofato das funcoes serem ilimitadas.

4.3 Estudo Completo de uma funcao

A construcao do grafico de uma funcao e um dos objetivos importantes doestudo de derivada. Os elementos necessarios para tal fim constam do roteiroa seguir:

1. Determinacao do domınio.

2. Determinacao das interseccoes com os eixos, quando possıvel.

3. Determinacao dos limites nos extremos do domınio e de possıveisassıntotas.

4. Determinacao dos limites laterais nos pontos de descontinuidade(quando houver) e possıveis assıntotas.

5. Determinacao dos intervalos de crescimento e decrescimento e depossıveis pontos de maximo e mınimo.

6. Determinacao dos intervalos em que a funcao e concava para cima oupara baixo e de possıveis pontos de inflexao.

7. Esbocar o grafico de f(x).

4.4 Formulas de Taylor e Maclaurin

Seja f uma funcao e n um numero inteiro positivo, tal que a derivada f n+1(x)exista para todo x em um intervalo I. Se a e x sao numeros distintos em I.Entao existe um numero z entre a e x tal que:

f(x) = f(a) +f

′

(a)

1!(x − a) +

f′′

(a)

2!(x − a)2 + · · · +

+fn(a)

n!(x − a)n +

fn+1(z)

n + 1!(x − a)n+1

A soma dos n+1 primeiros termos do membro direito da equacao acimae denominado Polinomio de Taylor (Px(n)) de grau n de f no ponto a.

4.4. FORMULAS DE TAYLOR E MACLAURIN 35

A formula de Maclaurin e um caso especial de Taylor quando a = 0, ouseja,

f(x) = f(0) +f

′

(0)

1!x +

f′′

(0)

2!x2 + · · · +

+fn(0)

n!xn +

fn+1(z)

n + 1!(x − a)n+1

Observacao 4.4.1. Para mais detalhes veja LASKOSKI, G.T., Formulasde Taylor e Maclaurin (Calculo Diferencial e Integral I), UTFPR,

Curitiba, 2007.

Capıtulo 5

Integracao

5.1 A Integral Indefinida

Definicao 5.1.1. A funcao F (x) e chamada antiderivada da funcao f(x)no intervalo [a, b] se F

′

(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].

Observacao 5.1.1. E facil verificar que se, para uma dada funcao f(x)existe uma antiderivada, entao esta antiderivada nao e unica.

Teorema 5.1.1. Se F e uma funcao tal que F′

(x) = 0 para todos os valoresde x no intervalo [a, b], entao F e constante em I.

Teorema 5.1.2. Se F e G sao duas funcoes tais que F′

(x) = G′

(x) paratodos os valores de x no intervalo [a, b], entao existe uma constante C talque F (x) = G(x) + C para todo x em [a, b].

Teorema 5.1.3. Se F (x) e uma antiderivada qualquer de f(x) em umintervalo [a, b], entao a antiderivada mais geral de f em [a, b] e dada por

F (x) + C (5.1)

em que C e uma constante arbitraria e toda antiderivada de f(x) em [a, b]pode ser obtida de 5.1 atribuindo valores especıficos a C.

Definicao 5.1.2. Seja a funcao F (x) uma antiderivada de f(x), entao aexpressao F

′

(x)+C e a integral indefinida da funcao f(x) e e denotada pelosımbolo

∫

f(x)dx.


1. Uma integral indefinida e uma famılia de funcoes y = F (x) + C

38 CAPITULO 5. INTEGRACAO

2. Da definicao 39 segue que:

(a)

(∫

f(x)dx

)′

= (F (x) + C)′

= F′

(x) = f(x)

(b) d

(∫

f(x)dx

)

= f(x)dx

(c)

∫

dF (x) =

∫

f(x)dx = F (x) + C

3. Tabela Basica

Teorema 5.1.4.

∫

[f1(x) + fx(x)] dx =

∫

f1(x)dx +

∫

f2(x)dx

Teorema 5.1.5.

∫

af(x)dx = a

∫

f(x)dx, a constante.

Teorema 5.1.6. Se

∫

f(x)dx = F (x)+C, entao

∫

f(ax+ b)dx =1

aF (ax+

b) + C

5.1.1 Regra da Substituicao

Definicao 5.1.3. Se u = g(x) for uma diferencial cuja a?? imagem e umintervalo I e f for contınua em I, entao

∫

f(g(x))g′

(x)dx =

∫

f(u)du


1. Observe regra da substituicao para a integracao utiliza-se do artifıcioda regra da cadeia para diferenciacao, assim tem-se a observacao aseguir:

(a) A regra da substituicao estabelece que: e permitido operar comdx e du apos os sinais de integrais como se fossem diferenciais.

5.1.2 Integracao por Partes

Teorema 5.1.7. Sejam u = u(x) e v = v(x) duas funcoes diferenciaveis.Entao

∫

u(x)v′

(x)dx = u(x)v(x) −∫

v(x)uxdx

5.2. A INTEGRAL DEFINIDA 39

Observacao 5.1.4. Como du = u′

(x)dx e dv = v′

xdx, a expressao acimapode ser escrita em sua forma mais conhecida

∫

udv = uv −∫

vdu

5.2 A Integral Definida

Definicao 5.2.1. Se f e uma funcao contınua definia por a ≤ x ≤ b, divide-

se o intervalo [a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x =b − a

n.

Seja x0(= a), x1, x2, · · · , xn(= b) e extremos desses intervalos e suponhaescolher-se os pontos amostrais x∗

1, x∗

2, · · · , x∗

n, nesses subintervalos de talforma que xi

∗esta no i-esimo intervalo [xi−1, xi]. Entao a integral definida

de f e

∫ b

a

f(x)dx = limx→∞

n∑

i=1

f(x∗

i )∆x

5.2.1 Propriedades

Teorema 5.2.1. Se f e uma funcao integravel no intervalo [a, b] e K e um

numero constante, entao Kf tambem e integravel em [a, b] e

∫ b

a

Kf(x)dx =

K

∫ b

a

f(x)dx.

Teorema 5.2.2. Se f e g sao funcoes integraveis no intervalo [a, b], entao f+

g e tambem integravel no intervalo [a, b] e

∫ b

a

[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

a

f(x)dx+∫ b

a

g(x)dx.

Teorema 5.2.3. Se f e uma funcao integravel em [a, b] e se f(x) ≥ 0 para

todos os valores de x em [a, b], entao

∫ b

a

f(x)dx ≥ 0

Observacao 5.2.1. O Teorema 3 e facilmente mostrado/interpretado geo-metricamente, por definicao!

Teorema 5.2.4. Se f e g sao funcoes integraveis no intervalo [a, b] e sef(x) ≤ g(x) e valido para todos os valores de x no intervalo [a, b], entao∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.



Teorema 5.2.5. Se f e uma funcao integravel no intervalo [a, b] e K e um

numero constante, entao Kf tambem e integravel em [a, b] e

∫ b

a

Kf(x)dx =

K

∫ b

a

f(x)dx.

Teorema 5.2.6. Se f e g sao funcoes integraveis no intervalo [a, b], entao f+

g e tambem integravel no intervalo [a, b] e

∫ b

a

[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

a

f(x)dx+∫ b

a

g(x)dx.

Teorema 5.2.7. Se f e uma funcao integravel no intervalo [a, b] entao |f |

tambem o sera e

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

<

∫ b

a

f(x)dx.

Teorema 5.2.8. Para quaisquer tres numero a, b e c a iualdade

∫ b

a

f(x)dx =∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx e verdadeira, se as integrais existirem.


Teorema 5.2.9. (Teorema do Valor Medio Para Integrais)Suponha que f seja uma funcao contınua no intervalo [a, b]. Entao, existe

um numero c em [a, b] tal que

∫ b

a

f(x)dx = (b − a)f(c).

5.3 Teorema Fundamental do Calculo (Newton-

Leibniz)

Teorema 5.3.1. Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] esuponha que a e um numero fixo neste intervalo. Define-se a funcao g comdomınio [b, c] por

g(x) =

∫

f(t)dt ∀ x ∈ [a, b]

5.4. INTEGRAIS IMPROPRIAS 41

Teorema 5.3.2. Se F (x) e uma antiderivada da funcao contınua f(x), entaovale,

∫ b

a

f(x)dx = F (b) − F (a)


1. E comum adotar-se a notacao

F (b) − F (a) = F (x)|ba = [F (x)]ba.

2. Quando se utiliza alguma tecnica de integracao (parte ou substituicao)deve-se atentar aos limites de integracao.

5.4 Integrais Improprias

Definicao 5.4.1. Se existe um limite finito limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx entao este lim-

ite e chamado a integral impropria da funcao f(x) no intervalo [a,+∞) e e

denotado pelo sımbolo

∫ +∞

a

f(x)dx.

Entao, por definicao,

∫ +∞

a

f(x)dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx. Neste caso, e

dito que a integral impropria

∫ +∞

a

f(x)dx converge. Em caso contrario, ela

e dita divergente.

Similarmente, define-se as integrais improprias de outros intervalos in-finitos:

∫ +∞

−∞

f(x)dx = lima−∞

∫ b

a

f(x)dx

∫ +∞

−∞

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx

Teorema 5.4.1. Se para todo x(x ≥ a) a desigualdade 0 ≤ f(x) ≤ g(x)

e valida e se

∫ +∞

a

g(x)dx converge, entao

∫ +∞

a

f(x) tambem converge e∫ +∞

a

f(x)dx ≤∫ +∞

a

g(x)dx.


Teorema 5.4.2. Se para todo x(x ≥ a) e valida a desigualdade 0 ≤ f(x) ≤g(x) e se

∫ +∞

a

g(x)dx diverge, entao

∫ +∞

a

f(x) tambem diverge.

Teorema 5.4.3. Se a integral

∫ +∞

a

|f(x)|dx converge, entao a integral∫ +∞

a

f(x)dx tambem converge.

Definicao 5.4.2. Suponha a funcao f definida no intervalo (a, b] e integravel

em todo intervalo da forma [a + c, b]. Entao, por definicao,

∫ b

a

f(x)dx =

limc→0+

∫ b

a+c

f(x)dx.

Se limc→0+

∫ b

a+c

f(x)dx existe e e finito, diz-se que a integral impropria

∫ b

a

f(x)dx e convergente; caso contrario, ela e dita divergente.

De forma analoga,

∫ b

a

f(x)dx = limc→0+

∫ b−c

a

f(x)dx no caso em que f(b)

nao e definido e

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx no caso em que f(c)

nao e definido, a < c < b.

Teorema 5.4.4. Se no intervalo [a, c] as funcoes f(x) e g(x) nao saodefinidas em c e em todos os pontos do intervalo e valida a desigualdade

g(x) ≥ f(x) ≥ 0, e

∫ c

a

g(x)dx converge, entao

∫ c

a

f(x)dx tambem converge.

Teorema 5.4.5. Sejam f(x) e g(x) funcoes nao definidas em c do intervalo

[a, c]. Se e valida a desigualdade f(x) ≥ g(x) ≥ 0, e

∫ c

a

g(x)dx diverge,

entao

∫ c

a

f(x)dx tambem diverge.

Teorema 5.4.6. Seja f(x) definida em [a, c], descontınua apenas no ponto

c. Se a integral impropria

∫ c

a

|f(x)|dx converge, entao

∫ c

a

f(x)dx tambem

converge.

Capıtulo 6

Funcoes Beta e Gama

6.1 Funcao Gama

Definicao 6.1.1. Definida pelo matematico Leonard Euler, a funcao gamarepresentada por Γ(n), e definida por:

Γ(n) =

∫ +∞

0xn−1e−xdx

Γ(n) e uma funcao convergente quando n > 0.

6.1.1 Formula de Recorrencia

Seja

Γ(n + 1) = nΓ(n)

Esta expressao pode determinar Γ(n) para todo n > 0. Em particular, se n

e um numero inteiro positivo, entao:

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n! (n = 1, 2, 3, · · · ).

A funcao gama generaliza a funcao fatorial.

44 CAPITULO 6. FUNCOES BETA E GAMA

6.2 Funcao Gama

6.2.1 Funcao Gama para 0 < n < 1

Para 0 < n < 1, obtem-se a relacao dos complementos dada por:

Γ(n)Γ(1 − n) =π

sennπ

n =1

2⇒ Γ

(

1

2

)

Γ

(

1

2

)

=π

senπ

2

= π

[

Γ1

2

]2

= π ⇒ Γ

(

1

2

)

=√

π

Entao:

Γ

(

1

2

)

=√

(π)

Γ

(

3

2

)

=

(

3

2− 1

)

Γ

(

1

2

)

=1

2

√

(π) =

√

(π)

2

6.2.2 Funcao Gama para n < 0

Da relacao de recorrencia Γ(n + 1) = nΓ(n), que toma Γ(n) como definicaopara n > 0, pode-se generalizar a funcao gama para n < 0, isolando Γ(n):

Γ(n) =Γ(n + 1)

n

Entao:

Γ

(

−1

2

)

=

Γ

(

−1

2+ 1

)

−1

2

=

Γ

(

1

2

)

−1

2

=

√π

(

−1

2

) = −2√

π

Observacao 6.2.1. A funcao1

Γ(n)esta definida para todo n ∈ R e se

anula nos pontos · · · ,−2,−1, 0, pois Γ(n) e infinita. Em outras palavras, asingularidade que a funcao teria nos pontos pode ser removida colocando o

valor da funcao como sendo 0. f(n) =1

Γ(n).

6.3. FUNCAO BETA 45

6.3 Funcao Beta

Definicao 6.3.1. Seja

β(m,n) =

∫ 1

0xm−1(1 − x)n−1dx

β(m,n) e uma funcao convergente quando m > 0 e n > 0.

6.3.1 Definicoes Recorrentes:

1. Propriedade Comutativa

β(m,n) = β(n,m)

2. Calculo Direto

β(m,n) =(n − 1)!

Πn−1i=0 (m + i)

3. Funcao Beta em relacao a funcao Gama

β(m,n) =Γ(m)Γ(n)

Γ(m + n)

4. Relacao dos Complementos: se m+n = 1, com 0 < n < 1 ⇒ m = 1−n,entao:

β(m,n) = β(1 − n,m) =Γ(1 − n)Γ(n)

Γ(1 − n + n)= Γ(1 − n)Γ(n) =

π

sennπ

46 CAPITULO 6. FUNCOES BETA E GAMA

Capıtulo 7

Funcoes de Varias Variaveis

48 CAPITULO 7. FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS

Apendice A

Aspectos Computacionais

A.1 Comandos do MAPLE para o Capıtulo 1

Para detalhes do MAPLE, veja o site www.maplesoft.com.

A.2 acho que seria bom mostrar a saida computa-

cional

Fazer comentario...sei la...binomio de newton

(a+b)^0=expand((a+b)^0);





for n from 1 to 10 do (a+b)^n=expand((a+b)^n) end do;

for n from 1 to 10 do (a+(-b))^n=expand((a+(-b))^n) end do;

a^2-b^2=factor(a^2-b^2);



for n from 1 to 10 do a^n-b^n=factor(a^n-b^n) end do;

repetido




for n from 1 to 10 do a^n-b^n=factor(a^n-b^n) end do;

restart: #Definindo a func~ao afim a:=2: b:=5 f:=x->a*x+b

50 APENDICE A. ASPECTOS COMPUTACIONAIS

#Encontrando sua raız

solve(f(x)); evalf(%);

#Esboco do grafico plot(f(x), x, gridlines);

#Encontrando a func~ao inversa solve(y=f(x),x)

# Esboco do grafico da func~ao f, sua inversa # e a reta bissetriz

do primeiro e terceiro # quadrantes plot({x, -5/2+(1/2)*x, x}, x,

gridlines)

# Definindo a func~ao quadratica a := 1: b := 5: c := -7:

f:=x->a*x^2+b*x+c; f(x);

#Encontrando suas raızes, quando existirem solve(f(x));

#Coordenadas do vertice xv := -b/(2*a); yv := -(b^2-4*a*c)/(4*a);

#Esboco do grafico plot(f(x), x, gridlines);

# Encontrando a func~ao inversa solve(y = f(x), x)

# Esboco do grafico das restric~oes de f # com suas respectivas

func~oes inversas # e a reta bissetriz do primeiro e terceiro #

quadrantes

f1:=plot(f(x),x=-20..xv,y=yv..20,thickness=3,color=red):

f1inv:=plot(-5/2-1/2*sqrt(53+4*x),x=yv..20,y=-20..-5/2,thickness=3,color=red):

f2:=plot(f(x),x=-5/2..20,y=yv..20,thickness=3,color=green):

f2inv:=plot(-5/2+1/2*sqrt(53+4*x),x=yv..20,y=-5/2..20,thickness=3,color=green):

g:=plot(x,x=-20..20,y=-20..20): with(plots):

display(f1,f1inv,f2,f2inv,g);

restart: #Definindo a func~ao modular f:=x->abs(x); #Esboco do

grafico plot(f(x), x, gridlines);

restart: #Definindo a func~ao exponencial a:=2: f:=x->a^x; #Esboco

do grafico plot(f(x), x, gridlines);

A.3. COMANDOS DO R 51

#Definindo a func~ao logarıtmica a:=2: g:=log[2](x); #Esboco do

grafico plot(g(x), x, gridlines);

repetido

# Esboco do grafico da func~ao f, sua inversa # e a

reta bissetriz do primeiro e terceiro # quadrantes plot({x,

-5/2+(1/2)*x, x}, x, gridlines)

A.3 Comandos do R

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Apostila da disciplina LCE 106-C alculo Diferencial e Integral · Universidade de S~ao Paulo Escola...

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