Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf
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Cálculo Diferencial e Integral I Página 1
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada
Universidade de Mogi das Cruzes – UMC
Campos Villa Lobos
Cálculo Diferencial e Integral I Parte II
Engenharia Civil Engenharia Mecânica
Profa. Marília Rocha – [email protected]
2º semestre de 2014
Cálculo Diferencial e Integral I Página 2
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada
ÍNDICE 1. Derivada ..................................................................................................................................................................... 5
1.1. Definição de derivada no ponto xo ..................................................................................................................... 5
1.2. Interpretação Geométrica da Derivada ............................................................................................................. 8
1.3. Função Derivada .............................................................................................................................................. 13
1.4. Derivada e Continuidade.................................................................................................................................. 13
1.5. Derivada de funções elementares .................................................................................................................... 14
1.6. Regras de Derivação ......................................................................................................................................... 17
1.7. Derivada de funções trigonométricas .............................................................................................................. 22
1.8. Derivada de Funções Compostas (Regra da Cadeia) ...................................................................................... 25
1.9. Derivada da função inversa ............................................................................................................................. 31
1.10. Derivada de outras funções trigonométricas ............................................................................................... 40
1.11. Derivada de funções trigonométricas inversas ............................................................................................ 41
1.12. Derivadas de algumas funções compostas ................................................................................................... 45
1.13. Derivadas Sucessivas .................................................................................................................................... 53
2. Interpretações da Derivada ...................................................................................................................................... 56
2.1. Interpretação Cinemática................................................................................................................................. 56
2.2. Variação Média ................................................................................................................................................ 56
2.3. Taxa de variação .............................................................................................................................................. 57
2.4. Exercícios ......................................................................................................................................................... 57
3. Anexos ...................................................................................................................................................................... 61
3.1. Plano Cartesiano (R2) ...................................................................................................................................... 61
3.2. Relações Trigonométricas ................................................................................................................................ 62
3.3. Trigonometria na Circunferência .................................................................................................................... 62 3.3.1. Arcos e Ângulos ........................................................................................................................................ 62 3.3.2. Medidas de Arcos ..................................................................................................................................... 63
3.3.2.1. Grau (o) .............................................................................................................................................. 63
3.3.2.2. Radiano (rad) ..................................................................................................................................... 63 3.3.2.3. Conversão .......................................................................................................................................... 63
3.4. Ciclo Trigonométrico ....................................................................................................................................... 63 3.4.1. Razões Trigonométricas na Circunferência ............................................................................................ 64 3.4.2. Arcos Notáveis .......................................................................................................................................... 66 3.4.3. Equivalência ............................................................................................................................................. 66
3.5. Funções Trigonométricas Inversas ................................................................................................................. 66 3.5.1. Função arco seno x ................................................................................................................................ 66 3.5.2. Função arco cosseno x ........................................................................................................................... 67 3.5.3. Função arco tangente x .......................................................................................................................... 67
3.6. Logaritmo ......................................................................................................................................................... 68
3.7. Produtos Notáveis ............................................................................................................................................. 68
3.8. Tabela de Derivadas ......................................................................................................................................... 69
Cálculo Diferencial e Integral I Página 3
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4. Bibliografia ............................................................................................................................................................... 71
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1. Derivada
Segundo Iezzi, Murakami e Machado (1993), apresentamos as seguintes
definições:
1.1. Definição de derivada no ponto xo
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e 0x um elemento de I .
Chama-se derivada de f no ponto 0x o limite
0
0
0
( ) ( )limx x
f x f x
x x
se este existir e for finito.
Indicamos, também, por 0 0
0
( ) ( )limx
f x x f x
x
, 0x x x .
Notação: 0'( )f x ,
0x x
df
dx
ou 0( )Df x .
Exemplo: calculando a derivada, pela definição, de 2( )f x x x no ponto 0 1x :
Usando a primeira fórmula, temos:
0
' 00
0
2 2 2 2'
1 1 1 1
1 1
( ) ( )( ) lim
( ) (1) (1 1) 1 1 2(1) lim lim lim lim
1 1 1 1
( 1)( 2)lim lim( 2) 3
1
x x
x x x x
x x
f x f xf x
x x
f x f x x x x x xf
x x x x
x xx
x
Usando a segunda fórmula, temos:
' 0 00
0
2 2
'
0 0
2 2
0 0 0 0
( ) ( )( ) lim
(1 ) (1 ) (1 1)(1 ) (1)(1) lim lim
1 2 1 1 1 3 (3 )lim lim lim lim 3 3
x
x x
x x x x
f x x f xf x
x
x xf x ff
x x
x x x x x x xx
x x x
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Exercício: Calcule, pela definição, a função derivada das funções dadas:
1. ( ) 3f x x , no ponto 0 2x
2. ( ) 2 1f x x , no ponto 0 2x
3. ( ) 3f x x , no ponto 0 1x
4. 2( ) 2 5f x x x , no ponto 0 1x
5. 2( ) 3f x x x , no ponto 0 2x
6. 2( ) 1 4f x x , no ponto 0 3x
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7. 2( )f x x x , no ponto
0
1
2x
Ss
8. 3 2( ) 12f x x x , no ponto 0 4x
9. ( )f x x , no ponto 0 1x
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Respostas:
1. '( ) 3f x 2. '( ) 2f x
3. '( ) 1f x 4. '( ) 4f x
5. '( ) 7f x 6. '( ) 24f x
7. '( ) 0f x 8. '( ) 48f x
9. 1
'( )2
f x
1.2. Interpretação Geométrica da Derivada
A derivada de uma função f no ponto 0x é igual ao coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0x .
A equação da reta tangente t ao gráfico de uma função f no ponto 0 0( , )P x y , em
que f é derivável, é dada por: 0 0 0( ) '( ).( )y f x f x x x .
Exemplo: a equação da reta tangente à curva 2 3y x x no seu ponto de abscissa
4 é:
Como 0 4x , calculamos o ponto de
tangência P :
2
0( ) 4 3.4 4f x . Portanto (4,4)P
Calculamos a derivada (coeficiente angular):
0
' 00
0
2 2'
4 4
2
4 4 4
( ) ( )( ) lim
( ) (4) 3 (4 3.4)(4) lim lim
4 4
3 4 ( 4)( 1)lim lim lim 1 5
4 4
x x
x x
x x x
f x f xf x
x x
f x f x xf
x x
x x x xx
x x
Calculando a equação reduzida da reta:
0 0 0( ) '( ).( )
4 5( 4)
5 16
y f x f x x x
y x
y x
Verificação do valor da derivada pelo cálculo da tangente do ângulo , formado pela reta
tangente e o eixo dos x :
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No triângulo retângulo:
14( ) 5
2,8
cateto opostotg
cateto adjacente
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Exercícios:
1. Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 0x . Construa
os gráficos de f(x) e da reta tangente t à f(x).
1.1. ( ) 1f x x e 0 3x
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1.2.2( )f x x e
0 3x
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1.3.2( ) 2f x x x e 0 1x
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Respostas:
1.1. 1y x
1.3. 1y
1.2. 6 9y x
1.3. Função Derivada
Seja f uma função derivável no intervalo aberto I . Para cada 0x pertencente a I
existe e é único o limite ' 0 00
0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xf x
x
. Portanto, definimos uma função
' :f I R que associa a cada 0x I a derivada de f no ponto 0x . Esta função é chamada
função derivada de f .
Notação: 'f ,
df
dxou Df .
A lei '( )f x pode ser determinada a partir da lei ( )f x , aplicando-se a definição de
derivada de uma função, num ponto genérico x I : '
0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xf x
x
.
1.4. Derivada e Continuidade
Sejam a função :f A R e 0x A . Se f é derivável em 0x , então f é contínua
em 0x . O recíproco é falso, ou seja, há funções contínuas em 0x e não deriváveis em 0x .
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1.5. Derivada de funções elementares
01 função constante ( ) '( ) 0f x c f x , c R
Demonstração: Seja ( )f x c , c R .
'
0
( ) ( )( ) lim 0
x
f x x f x c cf x
x x
Exemplo: ( ) 3 '( ) 0f x f x
Exercícios: Calcule as derivadas:
1. ( ) 5 '( )f x f x
2. 4
( ) '( )3
f x f x
3. ( ) 9 '( )f x f x
4. ( ) 3 '( )f x f x
1
02 função potência de expoente natural ( ) nf x x , *n N
1( ) '( ) .n nf x x f x n x
Demonstração1: Seja ( ) nf x x , *n N .
'
0 0
( ) ( ) ( )( ) lim lim
n n
x x
f x x f x x x xf x
x x
1 2 2
1 2 1
. .( ) ...0 1 2( )
. ... .1 2
n
n n n n nnn n
n n n n n
n n n nx x x x x x x
n n nnx x xx x x x x x
nx x
1 2 1. ... .1 2
n
n n nn n n
x x x xn
' 1 1 1 1
0
( ) ! .( 1)!( ) lim . . .
1 1!( 1)! ( 1)!
n nn n n n
x
nx x x n n nf x x x x n x
x n n
1 Binômio de Newton:
0
nn n k k
k
nx y x y
k
.
Número Binomial: sejam n e k números naturais, e n k , o número binomial n tomado k a k é dado por:
!
!( )!
n n
k k n k
.
Fatorial: seja n um número natural, n N , n fatorial ( !n ) é um valor dado por: 1, 0
!( 1)( 2)....1, 0
nn
n n n n
.
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Exemplo: 3
2
( )
'( ) 3
f x x
f x x
S
Exercícios: Calcule as derivadas:
1. 6( )f x x
'( )f x
2. 5( )f x x
'( )f x
3. ( )f x x
'( )f x
Hhh
03 função exponencial ( ) xf x a ,
a R e 0 1
( ) '( ) .lnx xf x a f x a a , a R e 0 1
Demonstração: Seja ( ) xf x a , a R e 0 1 .
'
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( 1) 1( ) lim lim lim lim . lim
x x x x x xx
x x x x x
f x x f x a a a a af x a
x x x x
Lembrando que 0
1lim ln
x
x
aa
x
, temos '
0 0
1( ) lim . lim .ln
xx x
x x
af x a a a
x
Exemplo:
( ) 2
'( ) 2 .ln 2
x
x
f x
f x
Caso particular:
04 função exponencial de base e , ( ) xf x e ( ) ( ) 'x xf x e f x e
Demonstração: Seja ( ) xf x e .
Pelo item 3, ( ) .ln .1x x xf x e e e e
Exercícios: Calcule as derivadas:
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1. ( ) 4xf x
'( )f x
2. 1
( )4
x
f x
'( )f x
Respostas:
Derivada da função constante:
1. 0 2. 0 3. 0 4. 0
Derivada da função potência
1. 56x 2.
45x 3. 1
Derivada da função exponencial
1. 4 .ln 4x
2. 1 1
.ln4 4
x
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1.6. Regras de Derivação
01 Derivada do Produto de uma constante c ,
c R ,por uma função
( ) . ( ) '( ) . '( )f x c v x f x c v x
02 Derivada da Soma ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x
03 Derivada da Diferença ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x
04
A derivada da soma (ou diferença) pode ser estendida para uma soma de n funções: ' ' ' '
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n nf x u x u x u x f x u x u x u x
Exemplo: 3 2
2
( ) 2 2 4 3
'( ) 6 4 4
f x x x x
f x x x
Exercícios: Calcule as derivadas:
1. 2( ) 2 3f x x
'( )f x
x
2. 4 2( ) 6 8f x x x
'( )f x
x
3. 5 4 31
( ) 3 4 94
f x x x x
( ) 'f x
x
4. 6 5( ) 2 3f x x x x
'( )f x
x
5. 6 3 24 7
( ) 9 5 32
f x x x x
'( )f x
Xss
6. 5( ) 3 2 4x xf x x e
'( )f x
sss
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05 Derivada do Produto ( ) ( ). ( ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f x u x v x f x u x v x u x v x
Iii
06 A derivada do produto pode ser estendida para um produto de n fatores: ' ' ' '
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ). ( )..... ( ) ( ) ( ). ( )..... ( ) ( ). ( )..... ( ) ... ( ). ( )..... ( )n n n nf x u x u x u x f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x
Exemplos: 4 2
3 2 4 5 3 2 5 2
5 3 2
1. ( ) ( 2 )( 4)
'( ) ( 4 2)( 4) ( 2 )(2 ) ( 4 16 2 8) ( 2 4 )
6 16 6 8
f x x x x
f x x x x x x x x x x x
x x x
W 5
4 4
2. ( ) 6( 6 )
'( ) 6.( 5 6) 30 36
f x x x
f x x x
2
2 2
2 2 2 2 4 3 3 2 3 2 2
4 3 2
3. ( ) (4 1)(3 )(2 )
'( ) ( )(3 )(2 ) (4 1)(6 )(2 ) (4 1)(3 )(2)
(3 )(2 ) (4 1)(12 ) (8 2)(3 ) (6 2 ) (48 12 ) (24 8 6 2 )
6 74 26 2
f x x x x x
f x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 2( ) ( 1)( 1 )f x x x
'( )f x
dd
2. 6 4 2( ) 5( )f x x x x
'( )f x
Fiii
3. 2 2( ) (3 7)( 2 )f x x x x
( ) 'f x
ffx
4. 2 3( ) (3 )(1 )f x x x x x
( ) 'f x
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11x
5. 3( ) . xf x x e
'( )f x
x
6. 4( ) . xf x x a
'( )f x
x
7. 3 2 2( ) ( 1)( 2)f x x x x x
'( )f x
xss
8. 2 4 3( ) ( )(1 )f x x x x x x
'( )f x
Xss
07 Derivada do Quociente
' ''
2
( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )
( ) ( )
u x u x v x u x v xf x f x
v x v x
, ( ) 0v x
Exemplo: 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4( )
2 2
(2 )(2 2) ( 4)(2) (4 4 ) (2 8) 4 4 2 8 2 4 8( ) '
(2 2) (2 2) (2 2) (2 2)
xf x
x
x x x x x x x x x x xf x
x x x x
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Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 2
( )xe
f xx
'( )f x
ss
2.
2 1( )
1
xf x
x
'( )f x
ss
3. 2
( )1
xf x
x x
'( )f x
ss
4. 1
( )1
xf x
x
'( )f x
ss
5.
2 3 1( )
2
x xf x
x
'( )f x
ss
6.
2
2( )
1
xf x
x
'( )f x
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Respostas:
Derivadas da soma
1. 4x 2. 324 16x x
3. 4 3 25
12 124
x x x
4. 5 46 5 2 3x x 5.
5 2454 3 5 6x x x 6. 415 2 4 ln4x xx e
Derivada do produto:
1. 23 2 1x x 2.
5 330 20 10x x x 3. 3 212 18 14 14x x x
4. 4 3 215 4 9 8 1x x x x 5.
2(3 )xe x x 6. 3(4 ln )xa x x a
7. 4 3 25 4 9 6 2x x x x 8. 8 6 5 3 29 7 12 4 3x x x x x
Derivada do quociente:
1. 3
( 2)xe x
x
2.
2
2
2 1
( 1)
x x
x
3.
2
22
1
1
x
x x
4.
2
2
1x
5.
2
2
4 7
2
x x
x
6.
2
2
2
1
x
x
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1.7. Derivada de funções trigonométricas
05 função seno x ( ) '( ) cosf x senx f x x
Cdd
Demonstração: Seja ( )f x senx .
'
0 0
( ) ( ) ( )( ) lim lim
x x
f x x f x sen x x senxf x
x x
Relações Trigonométricas: 2 .cos2 2
p q p qsenp senq sen
'
0 0 0
2 .cos 2 .cos( ) 2 2 2 2
( ) lim lim limx x x
x x x x x x x xsen sen x
sen x x senxf x
x x x
'
0 0 0
2 2( ) lim .cos lim . lim cos
2 2
2 2
x x x
x xsen sen
x xf x x x
x x
Lembrando que 0
lim 1x
senx
x , '
0 0
2( ) lim . lim cos 1.cos cos
2
2
x x
xsen
xf x x x x
x
06 função cosseno x ( ) cos '( )f x x f x senx
Demonstração: Seja ( ) cosf x x .
'
0 0
( ) ( ) cos( ) cos( ) lim lim
x x
f x x f x x x xf x
x x
Relações Trigonométricas: cos cos 2 .2 2
p q p qp q sen sen
'
0 0 0
2 . 2 .cos( ) cos 2 2 2 2
( ) lim lim limx x x
x x x x x x x xsen sen sen x sen
x x xf x
x x x
'
0 0 0
2 2( ) lim . lim . lim
2 2
2 2
x x x
x xsen sen
x xf x sen x sen x
x x
Cálculo Diferencial e Integral I Página 23
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Lembrando que 0
lim 1x
senx
x ,
'
0 0 0
2 2( ) lim . lim . lim .1
2 2
2 2
x x x
x xsen sen
x xf x sen x sen x senx senx
x x
Exemplo: 2( ) 3 cos 5 '( ) 3cos 10f x senx x x f x x senx x
Exercícios:
1. Calcule a derivada:
1.1. ( ) 4 7cosf x senx x x
'( )f x
X xssssç
1.2. 7
( ) cos5
f x senx x
'( )f x
xssssç
1.3. ( )x
senxf x
a
'( )f x
2. Calcule as derivadas das funções dadas e preencha a tabela:
2.1. ( )f x tgx
'( )f x
Xee
Cálculo Diferencial e Integral I Página 24
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2.2. ( ) cotf x gx
'( )f x
A
07 função tangente x ( ) '( )f x tgx f x
a
08 função cotangente x ( ) '( )f x cotgx f x
Respostas:
1.1. '( ) cos 4 7f x x senx
1.2. '( ) cosf x x senx 1.3. cos .ln
'( )x
x senx af x
a
Z
2.1. 2( ) '( ) secf x tgx f x x 2.2.
2( ) '( ) cosf x cotgx f x sec x
cc
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1.8. Derivada de Funções Compostas (Regra da Cadeia)
Se ( )y g u , ( )u f x e as derivadas dy
du e
du
dx existem, então a função composta
( )y g f x tem derivada dada por .dy dy du
dx du dx ou '( ) '( ). '( )y x g u f x .
Se ( )y g u , ( )u f x , temos ( )y g f x .
dy dy du
dx du dx
Exemplo: 27 2( ) x xf x e
x27 2u x x
uy e
27 2. .(14 2) (14 2).u x xdy dy due x x e
dx du dx
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 2 10( ) 10(3 7 3)f x x x
u y
.dy dy du
dx du dx
2. 4( ) 3(9 4)f x x
u y
.dy dy du
dx du dx
3. 23 6( ) 2 x xf x
u y
.dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 26
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4. 23 6 7( ) 2 x xf x e
u y
.dy dy du
dx du dx
5. 2 5( ) (2 3 )f x x x
u y
.dy dy du
dx du dx
6. 52( ) (2 3)f x x
u y
.dy dy du
dx du dx
7. 3( ) xf x e
u y
.dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 27
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8. 4 2( ) xf x x a
u y
.dy dy du
dx du dx
9. 6 3( ) (5 2) (3 1)f x x x
u y u y
.dy dy du
dx du dx .
dy dy du
dx du dx
10. ( ) 4f x sen x
u y
.dy dy du
dx du dx
11.cos7
( )x
f xx
u y
.dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 28
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12.2( ) cos(3 5)f x x x
u y
.dy dy du
dx du dx
13.3( ) 3f x sen x
u y u y
.dy dy du
dx du dx .
dy dy du
dx du dx
14.2( ) sen xf x e
u y u y
.dy dy du
dx du dx .
dy dy du
dx du dx
15. ( ) xf x sene
u y
.dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 29
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16. ( ) 3. 4f x x tg x
u y
.dy dy du
dx du dx
17. ( ) cot (3 1)f x g x
u y
.dy dy du
dx du dx
Gg
18. 4( )f x sen x
u y
.dy dy du
dx du dx
Gg
19. 5( ) cosf x x
u y
.dy dy du
dx du dx
Gg
Cálculo Diferencial e Integral I Página 30
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Respostas:
1. 2 9(600 700)(3 7 3)x x x 2.
3108(9 4)x
3. 23 62 (6 6)ln 2x x x 4.
23 6 7(12 12). x xx e
5. 2 4(15 10 )( 3 2)x x x 6.
51104(2 3)x
7. 33 xe 8.
2 32 (2 ln )xa x x a
9. 5 2(5 2) (3 1) (135 48)x x x 10. 4cos4x
11. 2
7 7 cos7xsen x x
x
12. 2(6 1). (3 5)x sen x x
13. 29. 3 .cos3sen x x 14.
22. .cos2sen xe x
15. .cosx xe e 16. 21 12.sec 4x
17. 23.cossec (3 1)x 18.
34. .cossen x x
19. 45cos .x senx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 31
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1.9. Derivada da função inversa
função inversa 1( )x f y 1 1 1
( ) '( )'( )
x f y f yf x
Demonstração: Seja a função ( )y f x bijetora e derivável no intervalo I tal que '( ) 0f x
para x I .
Como a função f , sendo bijetora e derivável, decorre que 0 0x y . Portanto,
considerando ( ) ( )y f x x f x
x x
, podemos escrever
1x
yy
x
. Sendo f derivável e,
portanto, contínua, se x tende a zero, então y também tende a zero.
Portanto, 1 '
0 0
0
1 1 1( ) ( ) lim lim
'( )lim
y x
x
xf y
y yy f x
x x
. Logo: 1 1 1( ) '( )
'( )x f y f y
f x
.
Ss
11 função logarítmica 1( ) log '( )
.lnaf x x f x
x a , 0a e 1a
Demonstração: Pela definição de logaritmo, temos log y
ay x x a . Pela derivada da
função exponencial. Vimos que ' .lny yx a x a a . Empregando a regra da derivada da
função inversa, temos 1 1 1
'' .ln .lny
yx a a x a
.
Caso Particular:
12 função logarítmica de base e 1( ) ln '( )f x x f x
x
Demonstração: 1 1
( ) ln '( ).ln
f x x f xx e x
Exemplos:
2( ) logf x x
1'( )
.ln 2f x
x
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 7( ) logf x x
'( )f x
Cálculo Diferencial e Integral I Página 32
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2. 5( ) logf x x
'( )f x
3. 2( ) 4log lnf x x x
'( )f x
13 função potência ( ) nf x x , com expoente
real, n R e 0x
1( ) '( ) .n nf x x f x n x
Demonstração: Seja ny x , n R .
Empregando uma das consequências dos logaritmos (ln xe x ), temos
ln
ln
n
nx
n x
y x
y e
y e
Pela regra da cadeia:
lnu n x uy e
ln 1 1 11. . . . . . .u n x n ndy dy du
e n e n x x n x n xdx du dx x
Exemplos:
3
3 1 4
4
1. ( )
3'( ) 3 3 , 0
f x x
f x x x xx
1
22. ( )f x x x
1 1 2 11
2 2 21
2
1 1 1 1 1'( ) , 0
2 2 2 22
f x x x x xx
x
1
1 1 2
2
13. ( )
1'( )
f x xx
f x x xx
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Exercícios:
1. Calcule a derivada:
1.1.
4
3( )f x x
'( )f x
1.2.
4
5( )f x x
'( )f x
1.3. 4( )f x x
'( )f x
1.4. 3 2( )f x x
'( )f x
1.5. 4
2( )f x
x
'( )f x
1.6. 7
2( )f x
x
'( )f x
1.7. 5( )f x x
'( )f x
2 Calcule a derivada:
2.1.
1 3
5 2( )f x x x
'( )f x
sss
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2.2.
1 4
5 3( ) 2f x x x
'( )f x
ppp
2.3.
21
34( ) 2 6f x x x
'( )f x
x
2.4. 3
2
2( ) 6 xf x x e
x
'( )f x
x
2.5. 3
2 4( )f x
x x
'( )f x
x
2.6. 1 1
2 3
2 5( )f x
x x
'( )f x
xssssç
2.7.
2
3 2
4 5
4 15( )
x xf x
x x
'( )f x
Cálculo Diferencial e Integral I Página 35
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X xssssç
2.8. 1
( ) lnf x xx
'( )f x
Lll
2.9.
3
2( ) ( 2 )( )f x x x x x
( ) 'f x
JJJ
3.Derive as seguintes funções:
3.1. 5 3 51
( ) (2 6 )3
f x x x
u y
.dy dy du
dx du dx
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3.2. 2 10
2
1( ) (3 6 )f x x x
x
u y
.dy dy du
dx du dx
3.3.
1
2 3( ) (4 5 2)f t t t
u y
.dy dy du
dt du dt
3.4. 31
( )3
xf x e
u y
.dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 37
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3.5. ( ) xf x e
u y
.dy dy du
dx du dx
3.6. 2( ) 3 2f x x x
u y
.dy dy du
dx du dx
3.7. 3( ) 1f x x
u y
.dy dy du
dx du dx
3.8. 23( ) ( 1)f x x
u y
.dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 38
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3.9. 1( ) ( )f x senx
u y
.dy dy du
dx du dx
3.10.
3
2
7 1( )
2 3
tf t
t
u y
.dy dy du
dx du dx
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Respostas:
Derivada da função logarítmica
1. 1
'( ).ln 7
f xx
2. 1
'( ).ln 5
f xx
3. 1 4
'( ) 1ln 2
f xx
Derivada da função potência:
1.1.
1
34
3x 1.2.
1
5
4
5x
1.3. 3
4
1
4x
1.4. 1
3
2
3x
1.5. 5
8
x 1.6.
8
14
x
1.7. 6
5
x
2.1. 4
5
1 3
25
x
x
2.2.
1
3
6
5
2 4( )
35
xf x
x
2.3.
3 5
4 3
1 4( )
2
f x
x x
2.4. 2
3
418 xx e
x 2.5.
4 2
6 4
x x 2.6.
3 4
2 3
1 5
3x x
2.7.
3
53
4
124x
x
2.8. 1 1
'( ) 1f xx x
2.9.
3
23
2 52
xx x
SDD
3.1. 5 4 4
3 4
6 50 30(2 ) ( )
3x x
x x 3.2.
2 9
3
2(3 6 ) (60 60)x x x
x
3.3. 4
2 3
8 5
3(4 5 2)
t
t t
3.4.
3
3
xe
3.5. 2
xe
x 3.6.
2
2 3
2 3 2
x
x x
3.7.
2
3
3
2 1
x
x 3.8.
1
3
2
3( 1)x
3.9. 2
cos x
sen x
3.10.
2 2
2 4
(7 1) ( 42 12 63)
(2 3)
t t t
t
S
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1.10. Derivada de outras funções trigonométricas
1. Calcule as derivadas das funções dadas e preencha a tabela:
1.1. ( ) secf x x
u y
.dy dy du
dx du dx
Dd
1.2. ( ) cossecf x x
u y
.dy dy du
dx du dx
a
09 função secante x ( ) sec '( )f x x f x
a
10 função cossecante x ( ) cossec '( )f x x f x
Respostas:
1.1. ( ) sec '( ) sec .f x x f x x tgx 1.2. ( ) cossec '( ) cos .cotf x x f x secx gx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 41
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1.11. Derivada de funções trigonométricas inversas
14 função arco seno x
2
1( ) '( )
1f x arcsenx f x
x
Cdd Demonstração: Pela definição de arco seno x, temos que y arcsenx x seny , no intervalo
[ 1,1] , com imagens em [ , ]2 2
.
Pela derivada da função seno x: ' cosx seny x y . Podemos empregar a regra da derivada
da função inversa, pois existe a derivada de seny para qualquer [ , ]2 2
y
: 1 1
'' cos
yx y
.
Empregando a relação trigonométrica: 2 2 2cos 1 cos 1sen y y y sen y :
2 2
1 1 1'
cos 1 1y
y sen y x
, com [ 1,1]x .
15 função arco cosseno x
2
1( ) arccos '( )
1f x x f x
x
Cdd
Demonstração: Pela definição de arco cosseno x, temos que arccos cosy x x y , no
intervalo [ 1,1] , com imagens em [0, ] .
Pela derivada da função cosseno x: cos 'x y x seny . Podemos empregar a regra da
derivada da função inversa, pois existe a derivada de cos y para qualquer
[0, ]y :1 1
''
yx seny
Empregando a relação trigonométrica: 2 2 2cos 1 1 cossen y y seny y :
2 2
1 1 1'
1 cos 1y
seny y x
16 função arco tangente x
2
1( ) '( )
1f x arctgx f x
x
Demonstração: Pela definição de arco tangente x, temos que arcy tgx x tgy , de R , com
imagens em ] , [2 2
. Pela derivada da função tangente x:
2' secx tgy x y . Podemos
empregar a regra da derivada da função inversa, pois existe a derivada de tgy para qualquer
] , [2 2
y
:2
1 1'
' secy
x y .
Empregando a relação trigonométrica: 2 2sec 1y tg y :
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2 2 2
1 1 1'
sec 1 1y
y tg y x
Exemplo: 2( )f x arcsenx
u 2x y arcsenu
2 2 2 4
1 1 2. .2 .2
1 1 ( ) 1
dy dy du xx x
dx du dx u x x
Exercícios:
1. Calcule as derivadas:
1.1. ( ) arccos xf x e
u y
.dy dy du
dx du dx
1.2. ( ) arc (ln )f x tg x
u y
.dy dy du
dx du dx
1.3. ( ) arc 3f x sen x
u y
.dy dy du
dx du dx
1.4. 3( ) arccosf x x
u y
.dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 43
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1.5. 1
( ) arcf x tgx
u y
.dy dy du
dx du dx
1.6. 2( ) arcf x x senx
1.7. ( ) arccosf x x x
1.8. ( ) .arcf x x tgx
1.9. ( ) ln(arccos )f x x
u y
.dy dy du
dx du dx
1.10. ( )f x arctgx
u y
.dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 44
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1.11. 32( ) . xf x x arcsenx e
u y u y
.dy dy du
dx du dx .
dy dy du
dx du dx
Respostas:
1.1. 2
'( )1
x
x
ef x
e
1.2.
2
1'( )
(1 ln )f x
x x
1.3. 2
3'( )
1 9f x
x
1.4.
2
6
3'( )
1
xf x
x
1.5. 2
1'( )
1f x
x
1.6.
2
1'( ) 2
1f x x
x
1.7. 2
1 1'( )
21f x
xx
1.8.
2'( )
1
xf x arctgx
x
1.9. 2
1'( )
1 .arccosf x
x x
1.10.
2
1'( )
2(1 )f x
x arctgx
1.11. 3
22 2
4
2'( ) 3
1
xxf x arcsenx x e
x
Ee
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1.12. Derivadas de algumas funções compostas Sejam ( )u x e ( )v x funções de x deriváveis em um intervalo I , apresentamos algumas
derivadas de funções compostas:
17 função ( ) ( )
nf x u x , n Z
1( ) ( ) '( ) . ( ) . '( )
n nf x u x f x n u x u x
Demonstração:
( )w u x ny w
Calculando as respectivas derivadas:
' '( )w u x 1' . ny n w
Regra da Cadeia:
1 1. . . '( ) . ( ) . '( )n ndy dy dwn w u x nu x u x
dx dw dx
Exemplo: 4 6
4 5 3 20 3 23
( ) (7 )
'( ) 6.(7 ) .(28 ) 1176. . 1176
f x x
f x x x x x x
lExercícios: Derive as seguintes funções:
Ss
1. 2 5( ) (2 3 )f x x x
'( )f x
Ss
2.
1
5 4 2( ) 14( )f x x x
'( )f x
Ss
3. 2 5( ) (2 3 )f x x x
'( )f x
xx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 46
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18 função exponencial, com 0a e 1a e
( ) 0u x
( ) ( )( ) '( ) .ln . '( )u x u xf x a f x a au x
Demonstração:
( )w u x wy a
Calculando as respectivas derivadas:
' '( )w u x ' .lnwy a a
Regra da Cadeia:
( ). .ln . '( ) .ln . '( )w u xdy dy dwa a u x a a u x
dx dw dx
Exemplo: 2
2
2 4 1
2 4 1
( ) 2
'( ) 2 .ln 2.(4 4)
x x
x x
f x
f x x
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 23 6( ) 2 x xf x
'( )f x
Xxx
2. 2
( ) 3x xf x
'( )f x
Xxx
3. 2 3( ) xf x x a
'( )f x
Xxx
19 função exponencial de base e ( ) ( )( ) '( ) . '( )u x u xf x e f x e u x
Demonstração:
( )w u x wy e
Calculando as respectivas derivadas:
' '( )w u x ' wy e
Regra da Cadeia:
( ). . '( ) . '( )w u xdy dy dwe u x e u x
dx dw dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 47
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Exemplos: 2
2
2 4 1
2 4 1
1. ( )
'( ) .(4 4)
x x
x x
f x e
f x e x
22
2
2 1 33 2
2
62. ( ) 6 6
12'( ) 6.( 2). . 12. . 12. . 12.
x x
x
x x x x x x x
x
f x e ee
f x e e e e e e ee
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 2
7( )
xf x
e
'( )f x
Ss
2. 5( ) xf x e
'( )f x
Ss
3. 5 1( ) xf x e
'( )f x
Xx
4. 48 2( ) 5 xf x e
'( )f x
Xx
20 função logarítmica '( )( ) log ( ) '( )
( ).lna
u xf x u x f x
u x a
Demonstração:
( )w u x logay w
Calculando as respectivas derivadas:
' '( )w u x 1'
lny
w a
Regra da Cadeia:
1 '( ) 1. . '( ) .
ln ( ) ln
dy dy dw u xu x
dx dw dx w a u x a
Cálculo Diferencial e Integral I Página 48
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Observação: usando a regra de mudança de base de um logaritmo (log
loglog
ca
c
bb
a ):
1 loglog
ln log
ea
e
ee
a a
Podemos reescrever '( )
( ) log ( ) '( ) log( )
a a
u xf x u x f x e
u x
Exemplo: 2
2
22
( ) log (2 4 1)
4 4'( ) .log
2 4 1
f x x x
xf x e
x x
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 2( ) log (2 4)f x x
'( )f x
Xx
2. 2
3( ) log ( 3 )f x x x
'( )f x
Xx
21 função logarítmica de base e '( )( ) ln ( ) '( )
( )
u xf x u x f x
u x
Demonstração:
( )w u x lny w
Calculando as respectivas derivadas:
' '( )w u x 1'y
w
Regra da Cadeia:
1 '( ). . '( )
( )
dy dy dw u xu x
dx dw dx w u x
Exemplo:
Cálculo Diferencial e Integral I Página 49
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2
2
( ) ln(2 4 1)
4 4'( )
2 4 1
f x x x
xf x
x x
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 21( ) ln 7 4
2f x x
'( )f x
Ss
2. 2
1 1( ) lnf x
x x
'( )f x
Ss
22 função ( )( ) ( )v xf x u x , ( ) 0u x
( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) '( ) ( ). ( ) . '( ) ( ) .ln ( ). '( )v x v x v xf x u x f x v x u x u x u x u x v x
Demonstração:
Por uma das consequências da definição de logaritmo, ( ) ( ).ln ( )( ) ( )v x v x u xf x u x e
( ).ln ( )w v x u x wy e
Calculando as respectivas derivadas:
'( )' '( ).ln ( ) ( ).
( )
u xw v x u x v x
u x
' wy e
Regra da Cadeia:
( )
( ) ( ) 1
'( ) '( ). . '( ).ln ( ) ( ). ( ) . '( ).ln ( ) ( ).
( ) ( )
( ) .ln ( ). '( ) ( ). ( ) . '( )
w v x
v x v x
dy dy dw u x u xe v x u x v x u x v x u x v x
dx dw dx u x u x
u x u x v x v x u x u x
Exemplo:
Cálculo Diferencial e Integral I Página 50
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3 2 1
3 2 1 1 2 3 2 1 3
3 2 2 2 3 2 1 3
( ) ( 1)
'( ) (2 1).( 1) .(3 ) ( 1) .ln( 1).(2)
'( ) (2 1).( 1) .(3 ) 2.( 1) .ln( 1)
x
x x
x x
f x x
f x x x x x x
f x x x x x x
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 2 3( ) ( 1)xf x x
'( )f x
2. 2 2( ) ( 1)xf x x
'( )f x
Sss
23 função seno x ( ) ( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x sen u x f x cos u x u x
Demonstração:
( )w u x y senw
Calculando as respectivas derivadas:
' '( )w u x ' cosy w
Regra da Cadeia:
. cos . '( ) cos( ( )). '( )dy dy dw
wu x u x u xdx dw dx
Analogamente obtemos as demais funções trigonométricas gerais:
24 função cosseno x ( ) cos( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x u x f x sen u x u x
25 função tangente x 2( ) ( ( )) '( ) sec ( ( )). '( )f x tg u x f x u x u x
26 Função cotangente x 2( ) cot ( ( )) '( ) cos ec ( ( )). '( )f x g u x f x s u x u x
27 função secante x ( ) sec( ( )) '( ) ( ( )).sec( ( )). '( )f x u x f x tg u x u x u x
28 função cossecante x ( ) cossec( ( )) '( ) cossec( ( )).cot ( ( )). '( )f x u x f x u x g u x u x
Exemplo:
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3
1
3 2 2
2 3
( ) ( ) cos
1'( ) cos( ).3 .
2
1'( ) 3 cos( )
2
f x sen x x
f x x x sen x x
f x x x sen xx
Exercícios: Derive as seguintes funções:
1. 1
( ) cos s 3f x en xx
'( )f x
2. 3( ) sec( 4 9)f x x x
'( )f x
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Respostas:
função ( ) ( )n
f x u x
1. 2 4'( ) (2 3 ) (15 10 )f x x x x
2.
4 3
3
5 4 2
35 28'( )
( )
x xf x
x x
3. 2 6
15 10'( )
(2 3 )
xf x
x x
Função exponencial
1. 23 6'( ) 2 (6 6)ln 2x xf x x 2.
2
'( ) 3 .ln3.(2 1)x xf x x 3. 3'( ) (2 3 ln )xf x a x x a
Função exponencial de base e
1. '
2
14( )
xf x
e
2. ' 5( ) 5 xf x e 3.
' 5 1( ) 5 xf x e
4. 48 2 3( ) 160 xf x e x
Função logarítmica
1. 2log'( )
2
ef x
x
2.
32
2 3'( ) log
3
xf x e
x x
Função logarítmica de base e
1. 2
7'( )
7 4
xf x
x
2.
2'( )
( 1)
xf x
x x
Função ( )( ) ( )v xf x u x
1. 2 2 2 2 3 2'( ) (2 6 ).( 1) ( 1) .ln( 1)x xf x x x x x x
2. 2 22 1 2'( ) ( 2).( 1) 2 ( 1) .ln( 1)x xf x x x x x x
Funções trigonométricas compostas
1. 2
1 1'( ) 3cos3f x sen x
x x
2. 2 3 3'( ) (3 4).sec( 4 9). ( 4 9)f x x x x tg x x
Yyy
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1.13. Derivadas Sucessivas
Seja f uma função contínua em um intervalo I e seja 1I o conjunto dos pontos de
I em que f é derivável. Em 1I definimos a função
'f , chamada de função derivada primeira
de f . Seja 2I o conjunto dos pontos de 1I em que
'f é derivável. Em 2I podemos definir a
função derivada de 'f , chamada de derivada segunda de f e indicada por
''f .
Repetindo o processo, definimos as derivadas terceiras, quarta, etc. de f . A derivada de
ordem n de f representamos por ( )nf .
Notação: ''( )f x ,
2
2
d f
dx.
Exemplo:
4 2( ) 3 2 5 1f x x x x
3
2
(4)
(5) (6)
'( ) 12 4 5
''( ) 36 4
'''( ) 72
( ) 72
( ) ( ) ... 0
f x x x
f x x
f x x
f x
f x f x
Exercícios: calcule as derivadas primeira, segunda e terceira das funções:
1.2( ) 3 5 6f x x x
'( )f x
''( )f x
'''( )f x
2. 4 2( ) 5 1f x x x
'( )f x
''( )f x
'''( )f x
3. 1
( )f xx
'( )f x
''( )f x
'''( )f x
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4. 2( ) xf x e
u y
.dy dy du
dx du dx
'( )f x
''( )f x
'''( )f x
5. ( ) xf x e
u y
.dy dy du
dx du dx
'( )f x
''( )f x
'''( )f x
6. 2( ) 2ln( )f x x
u y
.dy dy du
dx du dx
'( )f x
''( )f x
'''( )f x
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Respostas:
1. '( ) 6 5f x x
''( ) 6f x
'''( ) 0f x
2. ' 3( ) 4 10f x x x
'' 2( ) 12 10f x x
'''( ) 24f x x
3.
'
2
1( )f x
x
''
3
2( )f x
x
'''
4
6( )f x
x
4. ' 2( ) 2 xf x e
'' 2( ) 4 xf x e
''' 2( ) 8 xf x e
5.
' 1( )
xf x
e
'' 1( )
xf x
e
''' 1( )
xf x
e
6.
' 4( )f x
x
2
4''( )f x
x
3
8'''( )f x
x
Ee
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2. Interpretações da Derivada
2.1. Interpretação Cinemática
A derivada da função ( )s s t no ponto 0t t é igual à velocidade escalar do móvel
no instante 0t .
A derivada da função ( )v v t no ponto 0t t é igual à aceleração escalar do móvel
no instante 0t .
2.2. Variação Média Uma taxa de variação média de uma função é uma medida relativa de variação da
função em um dado intervalo. Ela indica o ritmo, a velocidade do quanto a variável dependente ( y ) se modifica, em média, conforme alterações no valor da variável dependente
( x ).
A taxa de variação média de uma função f em relação à variável x , em um
determinado intervalo [ , ]x x x é dada por: ( ) ( )y f x x f x
x x
.
Graficamente, a taxa de variação média coincide com a inclinação da reta secante
ao gráfico da função f , passando pontos ( , ( ))P x f x e ( , ( ))Q x x f x x .
A taxa de variação média da função 2( )f x x no intervalo [5,5 2] é dada por:
( ) ( ) (7) (5) 49 2512
7 5 2
y f x x f x f f
x x
.
A inclinação da reta secante ao gráfico de 2( )f x x , pelos pontos (5,25)P e
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(7,49)P é dada por 2 1
2 1
49 2512
7 2
y ym
x x
, ou ainda, no PQR :
^ . 49 2512
. 7 2
c opostotg P
c adjacente
.
A taxa de variação média varia conforme o intervalo considerado. Quanto maior a
inclinação da reta secante, maior a taxa de variação, ou seja, no intervalo considerado o ritmo
de crescimento (ou decrescimento) é maior quanto maior for o valor da inclinação da reta
secante.
2.3. Taxa de variação Na interpretação cinemática da derivada vimos que, quando um corpo se move em
linha reta de acordo com a equação do movimento ( )s s t , sua velocidade é dada por
'( )v s t . A velocidade representa a razão da variação do deslocamento por unidade de
variação do tempo. Portanto a derivada '( )s t é a taxa de variação da função ( )s t por unidade
de variação t .
Uma derivada pode ser interpretada com uma taxa de variação. Dada uma função
( )y f x , quando a variável independente varia de x para x x , a correspondente variação
de y será ( ) ( )y f x x f x .
No item anterior, vimos que o quociente ( ) ( )y f x x f x
x x
representa a taxa
média de variação de y em relação a x , em um determinado período.
A derivada 0
( ) ( )'( ) lim x
f x x f xf x
x
é a taxa instantânea de variação ou
taxa de variação de y em relação a x .
Graficamente, a taxa de variação instantânea coincide com a inclinação da reta
tangente ao gráfico da função f , passando ponto ( , ( ))P x f x .
2.4. Exercícios
1. Um corpo de move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 2( ) 16f t t t . 0 8t , em que o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
Determine a velocidade do corpo no instante 3t e a aceleração no instante t .
Cálculo Diferencial e Integral I Página 58
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2. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação
de seu movimento retilíneo é b
y ctt
, em que y é o deslocamento e t o tempo. Qual a
velocidade da partícula no instante 2t ?
3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a
equação 2 33x t t , em que x vem expresso em metros e t em segundos.
a. qual o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?
b. qual a velocidade da partícula depois dos primeiros 4 segundos?
c. qual a aceleração da partícula depois dos primeiros 4 segundos?
4. Seja V centímetros cúbicos o volume de um cubo tendo uma aresta de a centímetros.
a. ache a taxa de variação média do volume com relação a a quando este varia de 3,00 a
3,20.
b. qual a taxa de variação instantânea do volume em relação a a quando 3a ?
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5. Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há
1
25t t litros no recipiente. Qual a taxa
de gotejamento de líquido no recipiente, por hora, quando 16t horas?
6. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois
de decorridos 1 e 2 segundos, sendo dada a equação da posição do corpo 2
0
1
2y v t gt , onde
0v é a velocidade inicial e 29,8 /g m s .
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Respostas:
1. 22 /m s ; 22 /m s
2. 4
bc
3. 16m ; 24 /m s ;218 /m s
4. 328,84 cm ;
327 cm
5. 4,875 por hora
6. 4,9m ; 9,8 /m s e 19,6m ; 19,6 /m s
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3. Anexos
3.1. Plano Cartesiano (R2) Formado por dois eixos (x e y) perpendiculares em O (origem).
Par ordenado: (x, y) P(x, y) : ponto no plano cartesiano. Dizemos que x e y são as coordenadas do ponto P. Eixo dos x: abscissa Eixo dos y : ordenada O(0,0): Origem
(0,0)O
(3,5)P
( 4,9)Q
( 6, 2)R
(7, 6)S
(7,0)T
(0,5)U
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3.2. Relações Trigonométricas
01 2 2cos 1sen x x - Relação Fundamental 02 1cot
tgx
gx
03
cos
senxtgx
x
04 2
2
1
1cos x
tg x
05 2 21 sectg x x 06 22
21
tg xsen x
tg x
07 2 21 cosseccotg x x 08 2 2 .cossen x senx x
09 1sec
cosx
x
10 2 1 cos 2
2
xsen x
11 1cossec
sx
enx
12 2 1 cos 2
cos2
xx
13 coscot
xgx
senx
14 2 2cos(2 ) cosx x sen x
15
2
2(2 )
1
tgxtg x
tg x
16 2cos(2 ) 2cos 1x x
17 3cos(3 ) 4cos 3cosx x x 18 2cos(2 ) 1 2x sen x
19 3(3 ) 3 4sen x senx sen x 20 (2 ) 2 cossen x senx x
21 3
2
3(3 )
1 3
tgx tg xtg x
tg x
gg
01 Cosseno da soma cos( ) cos .cos .x y x y senx seny
02 Cosseno da diferença cos( ) cos .cos .x y x y senx seny
03 Seno da soma ( ) .cos .cossen x y senx y seny x
04 Seno da diferença ( ) .cos .cossen x y senx y seny x
kk
3.3. Trigonometria na Circunferência
3.3.1. Arcos e Ângulos
Consideremos uma circunferência de centro O e um ângulo ^
AO B ,
sendo A e B pontos comuns aos lados do ângulo e à circunferência.
A circunferência é dividida em dois arcos: AXB
e AYB
.
A e B são as extremidades do arco.
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3.3.2. Medidas de Arcos
A medida de um arco AB
em relação a um arco unitário u (não nulo e
de mesmo raio que o arco dado) é o número real que exprime quantas vezes o arco u “cabe”
no arco AB. São duas as unidades escolhidas para se medir arcos: o grau e o radiano.
3.3.2.1. Grau (o)
Grau é um arco unitário igual a 1
360 da
circunferência que contém o arco a ser medido.
Sendo que ^
AO B é um ângulo central2 e AXB
é o seu arco
correspondente, dizemos que a medida (em graus) de um arco de
circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.
3.3.2.2. Radiano (rad)
Radiano é um arco unitário cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido.
Sabemos que o comprimento da circunferência
mede 2 r , em que r = raio. Pela definição de radiano, podemos escrever 2 rad.
3.3.2.3. Conversão
Para conversão de unidades, estabelecemos a
seguinte relação:
360º 2 rad ou, ainda, 180º rad
Exemplo: exprima 225º em radianos.
180º rad
225º x
225 5
180 4x rad
3.4. Ciclo Trigonométrico Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uOv.
Consideremos a circunferência de centro O e raio r = 1 (portanto, seu comprimento é igual a
2 ). Associemos a cada número real x, com 0 2x , um único ponto P da circunferência
do seguinte modo:
2 Ângulo Central apresenta o vértice no centro da circunferência e seus lados são raios da mesma.
Cálculo Diferencial e Integral I Página 64
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Se x = 0, então P coincide com A
Se x > 0, então realizamos a partir de A um
percurso de comprimento x, no sentido anti-
horário, e marcamos P como final do percurso
A circunferência acima definida, com origem em A, é chamada ciclo,
círculo ou circunferência trigonométrica.
Se um ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem
de x no ciclo.
3.4.1. Razões Trigonométricas na Circunferência
Consideremos o ciclo trigonométrico definido acima e associemos quatro
eixos:
1. Eixo dos cossenos (u), apresenta direção: OA e sentido
positivo: O A
2. Eixo dos senos (v), apresenta direção: u , por 0 e sentido
positivo: O B
3. Eixo das tangentes (c), apresenta direção: ǁ v, por A e
sentido positivo: o mesmo de v. 4. Eixo das cotangentes (d), apresenta direção: ǁ u, por B e
sentido positivo: o mesmo de u.
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Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos: AB
,'BA
, ' 'A B
e 'B A
. Para localizar x no ciclo dizemos que:
Se x está no 1º quadrante, então P AB
Se x está no 2º quadrante, então 'P BA
Se x está no 3º quadrante, então ' 'P A B
Se x está no 4º quadrante, então 'P B A
Dado um número real 0,2x , seja P sua imagem no ciclo, temos:
Seno de x é a ordenada 1OP do ponto P em relação ao sistema uOv.
Cosseno de x é a abscissa 2OP do ponto P em relação ao sistema uOv.
Tangente de x é a medida algébrica de AT , para 2
x
e 3
2x
.
Cotangente de x é a medida algébrica de BD , para 0, ,2x .
Considerando s tangente ao ciclo em P e, sendo S sua intersecção com u, secante de x é a
abscissa OS do ponto S, para 3
,2 2
x
.
Considerando s tangente ao ciclo em P e, sendo S sua intersecção com v, cossecante de x é a
ordenada OC do ponto C, para 0, ,2x .
Resumindo, fazendo x percorrer o intervalo 0,2 a imagem de x (ponto P) dá uma volta
completa no ciclo, no sentido anti-horário, e a ordenada de P varia segundo a tabela:
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Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x Secante x Cossecante x
0 0 1 0 Não existe 1 Não existe
2
1 0 Não existe 0 Não existe 1
0 -1 0 Não existe -1 Não existe
3
2
-1 0 Não existe 0 Não existe -1
2 0 1 0 Não existe 1 Não existe
3.4.2. Arcos Notáveis
Arcos Notáveis
6
4
3
Seno x 1
2 2
2
3
2
Cosseno x 3
2
2
2
1
2
3.4.3. Equivalência
CICLO
TRIGONOMÉTRICO
3.5. Funções Trigonométricas Inversas
3.5.1. Função arco seno x
Dada a função ( )f x senx , com domínio restrito ao intervalo ,2 2
e imagem no intervalo
1,1 . Definimos a função inversa de ( )f x , denominada por arco seno x, a função
1( )f x arcsenx , com imagem no intervalo ,2 2
e domínio no intervalo 1,1 .
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Gráfico
y arcsenx x seny e 2 2
y
Função: crescente
Domínio: 1( ) 1,1D f
Imagem: ( ) ,2 2
IM f
3.5.2. Função arco cosseno x
Dada a função ( ) cosf x x , com domínio restrito ao intervalo 0, e imagem no intervalo
1,1 . Definimos a função inversa de ( )f x , denominada por arco cosseno x, a função
1( ) arccosf x x , com imagem no intervalo 0, e domínio no intervalo 1,1 .
Gráfico
arccos cosy x x y e 0 y
Função: decrescente
Domínio: 1( ) 1,1D f
Imagem: 1( ) 0,IM f
oo
3.5.3. Função arco tangente x
Dada a função ( )f x tgx , com domínio restrito ao intervalo ,2 2
e imagem em R .
Definimos a função inversa de ( )f x , denominada por arco tangente x, a função
1( ) arcf x tgx , com imagem em ,2 2
e domínio em R .
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Gráfico
arcy tgx x tgy e 2 2
y
Função: crescente
Domínio: 1( )D f R
Imagem: 1( ) ,
2 2IM f
3.6. Logaritmo
LOGARITMO - Definição: Se ,a b R
, 0 1a e 0b , então log x
a b x a b
Conseqüências:
a. log 1 0a
b. log 1a a
c. loga b
a b
Propriedades:
a. logaritmo do produto: log ( . ) log loga a ab c b c
b. Logaritmo do quociente: log log loga a a
bb c
c
c. Logaritmo da potência: log loga ab b
3.7. Produtos Notáveis Sejam u e v números reais, temos:
PRODUTO DE UMA SOMA E UMA DIFERENÇA 2 2.u v u v u v
QUADRADO DE UM SOMA DE DOIS TERMOS 2 2 22u v u uv v
QUADRADO DE UMA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 2 2 22u v u uv v
CUBO DE UMA SOMA DE DOIS TERMOS 3 3 2 2 33 3u v u u v uv v
CUBO DE UMA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 3 3 2 2 33 3u v u u v uv v
SOMA DE DOIS CUBOS 3 3 2 2.u v u v u uv v
DIFERENÇA DE DOIS CUBOS 3 3 2 2.u v u v u uv v
Fatoração por Agrupamento:
( ) ( ) .ac ad bc bd a c d b c d a b c d
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3.8. Tabela de Derivadas DERIVADAS
01 função constante ( ) '( ) 0f x c f x , c R
02 função potência ( ) nf x x , *n N
1( ) '( ) .n nf x x f x n x
03 função exponencial ( ) xf x a , a R ( ) '( ) .lnx xf x a f x a a , a R e 0 1
04 função exponencial de base e , ( ) xf x e ( ) ( ) 'x xf x e f x e
05 função seno ( ) '( ) cosf x senx f x x
06 função cosseno ( ) cos '( )f x x f x senx
07 função tangente x 2( ) '( ) secf x tgx f x x
08 função cotangente x 2( ) '( ) cossecf x cotgx f x x
09 função secante x ( ) sec '( ) sec .f x x f x x tgx
10 função cossecante x ( ) cossec '( ) cos .cotf x x f x secx gx
11 função logarítmica 1( ) log '( )
.lnaf x x f x
x a , 0a e 1a
12 função logarítmica de base e 1( ) ln '( )f x x f x
x
13 função potência ( ) nf x x , com
expoente real, n R e 0x
1( ) '( ) .n nf x x f x n x
14 função arco seno x 2
1( ) '( )
1f x arcsenx f x
x
15 função arco cosseno x 2
1( ) arccos '( )
1f x x f x
x
16 função arco tangente x 2
1( ) '( )
1f x arctgx f x
x
DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS
17 função ( ) ( )
nf x u x , n Z
1( ) ( ) '( ) . ( ) . '( )
n nf x u x f x n u x u x
18 função exponencial com 0a e 1a . ( ) ( )( ) '( ) .ln . '( )u x u xf x a f x a au x
19 função exponencial de base e ( ) ( )( ) '( ) . '( )u x u xf x e f x e u x
20 função logarítmica '( )( ) log ( ) '( )
( ).lna
u xf x u x f x
u x a
21 função logarítmica de base e '( )( ) ln ( ) '( )
( )
u xf x u x f x
u x
22 função ( )( ) ( )v xf x u x
( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) '( ) ( ). ( ) . '( ) ( ) .ln ( ). '( )v x v x v xf x u x f x v x u x u x u x u x v x
23 função seno x ( ) ( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x sen u x f x cos u x u x
24 função cosseno x ( ) cos( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x u x f x sen u x u x
25 função tangente x 2( ) ( ( )) '( ) sec ( ( )). '( )f x tg u x f x u x u x
26 função cotangente x 2( ) cot ( ( )) '( ) cos ec ( ( )). '( )f x g u x f x s u x u x 27 função secante x ( ) sec( ( )) '( ) ( ( )).sec( ( )). '( )f x u x f x tg u x u x u x 28 função cossecante x ( ) cossec( ( )) '( ) cossec( ( )).cot ( ( )). '( )f x u x f x u x g u x u x ee
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REGRAS DE DERIVAÇÃO
01 Derivada do Produto de uma constante
c , c R ,por uma função ( ) . ( ) '( ) . '( )f x c v x f x c v x
02 Derivada da Soma ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x
03 Derivada da Diferença ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x
04 A derivada da soma (ou diferença) pode ser estendida para uma soma de n funções: ' ' ' '
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n nf x u x u x u x f x u x u x u x
05 Derivada do Produto ( ) ( ). ( ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f x u x v x f x u x v x u x v x
06 A derivada do produto pode ser estendida para um produto de n fatores: ' ' ' '
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ). ( )..... ( ) ( ) ( ). ( )..... ( ) ( ). ( )..... ( ) ... ( ). ( )..... ( )n n n nf x u x u x u x f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x
07 Derivada do Quociente
' ''
2
( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )
( ) ( )
u x u x v x u x v xf x f x
v x v x
, ( ) 0v x
TT
REGRA DA CADEIA
Se ( )y g u , ( )u f x , temos ( )y g f x .
dy dy du
dx du dx
Cálculo Diferencial e Integral I Página 71
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada
4. Bibliografia
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