Apostila - Aplicada 2
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1
ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO
MECÂNICA APLICADA II ASSUNTO: Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Relações Evolventais Relações de Torque e Velocidade Condições Anti-interferência Prof. João Galdino de Alencar Filho
Agosto – 1988 (1ª Edição) REVISÃO 1 – Agosto de 1995.
2
ÍNDICE 1.0 – Lei fundamental da transmissão de movimento ...................................................03
1.1 – Conclusões ..................................................................................................05
Exemplo 1 ...................................................................................................06
Exemplo 2 ...................................................................................................06
2.0 – Engrenagens ........................................................................................................07
2.1 – Perfil evolvental de engrenagens.................................................................07
2.2 – Função envolvente .....................................................................................08
2.3 – Relações angulares na curva evolvental .....................................................09
2.4 – Espessura do dente evolvental....................................................................09
2.5 – Relações de proporcionamento das engrenagens ......................................10
2.6 – Relações de velocidades angulares ............................................................13
2.7 – Relações entre momentos torsores (torque)................................................14
2.8 – Condições de engrenamento (não-interferência).........................................16
2.9 – Cálculo do comprimento do segmento de ação...........................................17
2.10 – Número médio de dentes em contato..........................................................18
2.11 – Engrenagens fresadas: número mínimo de dentes como condição de não-
interferência .................................................................................................19
2.12 – Engrenagens geradas: número mínimo de dentes como condição de anti-
interferência - carretas iguais......................................................................20
2.13 – Engrenagens geradas: dada uma engrenagem motriz z, calcular o
máximo número de dentes z2 da engrenagem movida, para que não haja
interferência .................................................................................................21
3
1.0 – LEI FUNDAMENTAL DA TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO
Há uma relação fundamental comum aos cames, às engrenagens, aos mecanismos
articulados: é a igualdade matemática que, também, define o que é ROLAMENTO, e o que é
ESCORREGAMENTO - e a estreita fronteira que os separa.
Vamos denominá-la
“relação fundamental
da transmissão do
movimento”. Para
deduzi-la (vide figura
1), temos que
estabelecer o seguinte:
- dois elementos de
máquinas, articulados
em O1 (motriz) e O2
(movido);
- w1 (dado) é a velocidade angular do elemento motriz, no sentido horário;
- os perfis dos dois elementos são tais que os mesmos tocam-se apenas em um ponto, para
cada par de posições relativas que assumem.
Assim, conhecidos: O1O2, w1, O1P e O2P, determinaremos w2 para qualquer posição (P)
relativa dos elementos O1 e O2.
v1 é calculável, pois são dados w1 e O1P; este vetor representa a velocidade de P em relação
a O1 . Logo, v1 está definida.
Vamos decompor v1 em dois vetores componentes; recorremos a dois eixos ortogonais (x’x e
y’y) passando pelo ponto P de contato.
(1)
Não nos esqueçamos que esta notação vetorial é simbólica.
•••• ve1, componente segundo x’x, mede o ESCORREGAMENTO (ou DESLIZAMENTO) do
ponto P em relação a O1.
w1
w2 = ?
O2 O1 (motriz)
x’
x
y’
y
A k
B
P
v2
v1
vn
vE2
vE1
nevvv += 11
FIGURA 1
4
∴
∴
•••• vn é a velocidade de CONDUÇÃO do ponto P, e tem a direção da perpendicular comum
no ponto de contato.
Traçando o raio vetor de posição do ponto P, a partir do centro O2, teremos definidos a
direção e o sentido de v2, que é a velocidade de P em relação ao eixo do elemento movido.
O módulo de v2 é determinado pelo módulo de vn, que é comum a v1 e v2.
Assim, analogamente a v1, ve2 é a velocidade de escorregamento de P em relação a O2. E,
desta forma, podemos concluir que a velocidade final (em deslizamento) de P, em relação ao
referencial (base de apoio de O1 e O2) é:
(soma vetorial) (2)
Como se trata de movimento relativo,
no caso da figura 1 o MÓDULO da
velocidade de escorregamento será a
SOMA dos módulos das componentes.
No caso da figura 2, como as
componentes têm o mesmo sentido, o
módulo da velocidade resultante será a
DIFERENÇA dos módulos das
componentes.
Voltando à figura 1: ; .
(3)
Examinemos duas relações de semelhança de triângulos. A 1ª é:
. Logo,
A 2ª relação é:
.
2
2
1
1
2
1
v
PO
PO
v
w
w×=
POwv 111 ×= POwv 222 ×=
21 eeEvvv +=
APOvPvE 111 ≈
PO
v
AO
vn
1
1
1
=AO
POvvn
1
11 ×= (4)
222 PBOvPvE≈
PO
v
BO
vn
2
2
2
=
BO
POvvn
2
22 ×= (5)
w1
w2
O2
x’
x
y’
y
P
v2
v1
vn
vE2
vE1
O1 FIGURA 2
5
∴
∴
Substituindo (4) e (5) em (3), virá:
; (7). Substituindo (7) em (6), teremos:
(8) LEI FUNDAMENTAL DA TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO.
1.1 – CONCLUSÕES
1- As velocidades angulares são inversamente proporcionais às respectivas distâncias de
seus centros (O1O2) até o ponto K.
2- Se o ponto K coincidir com o centro do elemento motriz O1, a velocidade angular do
elemento movido será nula.
3- Se o ponto de contato P entre os elementos motriz e movido, cair sobre a linha de centros
(O1O2), não haverá velocidade de escorregamento. Neste caso, haverá ROLAMENTO PURO
durante a transmissão de movimento.
A 3ª conclusão é particularmente importante, para o estudo das engrenagens; quando se
estudar a LINHA DE PRESSÃO (ou reta de pressão), ver-se-á que apenas no ponto de
tangência das circunferências primitivas há rolamento puro – e, em todos os demais, haverá
rolamento com deslizamento.
A 4ª conclusão é que, se o ponto K for fixo (caso da figura 3, transmissão por correias),
a relação passa a ser constante:
; e,
por semelhança de triângulos,
AO
BO
PO
BO
vAO
POv
PO
PO
w
w
n
n
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1 1=××××=
AO
BO
w
w
1
2
2
1 = (6)
BKOAKO 21 ≈KO
KO
AO
BO
1
2
1
2 =
KO
KO
w
w
1
2
2
1 =
2
1
w
w
KO
KO
w
w
1
2
2
1 =
1
1
2
2
R
KO
R
KO=
KO
KO
w
w
1
2
2
1 = (9)
K
O1 O2
R2 R1 w1
w2
(Transmissão por correia)
FIGURA 3
6
∴ ∴
O2 O1 C
K
P
w2
w1
90º
60º
Já no caso de sistemas articulados, como
o da figura 4, o ponto K terá a sua
localização determinada instante a
instante, pela intersecção do
prolongamento da biela A1A2, com o
prolongamento da linha de centros O1O2.
EXEMPLO – 1
Na figura 5, o elemento motriz é o disco
de raio R, que gira em torno de O1,
excêntrico em relação ao eixo
geométrico C. O seguidor, ou elemento
movido, tem a superfície de contato em
formato retilíneo, Na posição
representada ao lado; K coincide com
O1, o que torna O1K=0, donde w2=0,
para qualquer módulo ou sentido de w1.
EXEMPLO – 2
(Problema 1 da Fonte Bibliográfica 1)
O mecanismo da figura 5 esta na
posição indicada na figura 6. São
dados: w1=20 rad/s; R=25mm;
O1C=12,5mm; O1O2=75mm;
Qual o valor de w2?
Solução:
O2 O1
x
P
R C
90º
KO
KO
w 1
2
2
20=
5,12
5,127520
2
+=
w
sradw /86,22 ≅
A2
A1
O1 O2 K
w1
w2
FIGURA 4
FIGURA 5
FIGURA 6
7
2.0 – ENGRENAGENS
2.1 – PERFIL EVOLVENTAL DAS ENGRENAGENS
O nosso objetivo, aqui, não é ensinar a desenhar engrenagens; todavia, necessitamos
conhecer o traçado da curva EVOLVENTE DE CÍRCULO, para que possamos aplicar as
suas propriedades aos cálculos construtivos das engrenagens.
Por definição, evolvente de círculo é a trajetória
descrita por um ponto de uma reta, que rola sem
escorregar, tangencialmente à circunferência do
círculo.
Seja o círculo da figura 7, dividido em um número
qualquer de partes iguais; por simplificação, só
dividimos o 1º Quadrante (seis partes iguais, de
um total de vinte e quatro). Seja “0” (zero) a
origem do traçado; será “0”, portanto, o local de
onde a reta começará a ROLAR SEM ESCORREGAR
por sobre o perímetro da circunferência.
Tracemos, pelos pontos (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n) de divisão do círculo, retas tangentes à
circunferência. A partir da tangente que passar por “1”, marquemos o comprimento 1-A=0-1.
Ao fazer o desenvolvimento (ou retificação) do arco 0-1, e, em seguida, ao marcá-lo em 1-A,
estamos determinando o 1º segmento (0-A) da trajetória procurada.
1 – A = 0 – 1
2 – B = 0 – 2
E assim, sucessivamente: 3 – C = 0 – 3 (10)
4 – D = 0 – 4
..................., teremos traçado, geometricamente, o perfil básico
da curva característica dos dentes evolventais de uma engrenagem. O odontógrafo, que é um
método prático para o traçado dos dentes, não nos serve.
0 1 2 3
4
5
6
A
B
C D E F
FIGURA 7
8
L
M
B
A
O
O1
B1
A1
1
2
Rbase
αA
αB
CIRCUNF. RAIO RB
CIRCUNF. RAIO RA
CIRCUNF. DE BASE
CONCLUSÕES
(a) cada um dos segmentos de reta traçados (1-A, 2-B, 3-C, etc) é perpendicular à curva
evolvente, nos respectivos pontos (A, B, C, etc).
(b) Reciprocamente, se, por qualquer ponto da curva evolvente, traçarmos uma tangente à
circunferência, o segmento de reta assim obtido será, também, normal à curva, no
ponto em questão. E o comprimento deste segmento corresponderá ao desenvolvimento
do arco de circunferência correspondente.
2.2 – FUNÇÃO EVOLVENTE
Na geometria das engrenagens, chama-se “círculo de base” aquele que serve de referencial
ao traçado da curva evolvental. Vamos, em primeiro lugar, definir a função matemática
EVOLVENTE DE CÍRCULO.
Escrevamos a identidade angular:
O O1 A = O O1 1 - αA (11)
Temos: tg αA = 1 – A Rbase
De acordo com a expressão (10) da pág 7:
O O1 1 = O – 1 = 1 – A Rbase Rbase
Logo, O O1 1 = tg αA .
Substituindo em (11), virá:
O O1 A = tg αA - αA (12)
A função (tg αA - αA) é denominada
FUNÇÃO EVOLVENTE, e é representada pela simbologia: EV . α = EVOLVENTE ALFA
Portanto, O O1 A = EV . α , onde: EV . α = tg α – α (13)
FIGURA 8
9
2.3 – RELAÇÕES ANGULARES NA CURVA EVOLVENTAL
Vimos, da expressão (13) da página anterior, que a função “evolvente alfa” mede como que o
ângulo central (O O1 A) do deslocamento do ponto descrevente da trajetória evolvental.
Vejamos agora uma outra relação muito útil, que permite relacionar os ângulos evolventais e
seus respectivos raios. Da figura 8, temos:
Rbase = RA . cos αA
Rbase = RB . cos αB
Igualando os valores do raio da circunferência de base, teremos:
RA . cos αA = RB . cos αB RB = RA . cos αA (14) cos αB
Esta relação se revelará particularmente útil mais adiante pois, quando se define um
engrenamento, esta definição é dada, PARA CADA ENGRENAGEM, pelo seu raio de
circunferência primitiva pelo ângulo de pressão do engrenamento (que é o MESMO para as
duas engrenagens que formam o par). Assim sendo, para qualquer engrenagem, RA e αA são
conhecidos; portanto, dado outro ângulo qualquer αB, pode-se calcular RB, seu raio
correspondente.
Aqui, entra uma diferenciação, muito sutil, entre ÂNGULO DE PRESSÃO DO PONTO
(αA, αB) e o ângulo de pressão DO ENGRENAMENTO. Ângulo de pressão do ponto é aquele
definido pela figura 8 da página 8: é o ângulo formado pelo raio vetor do ponto (RA, por
exemplo), com o raio de base que passa pelo ponto de tangência correspondente (1–O1).
Assim, A O1 1 = αA é o ângulo de pressão do ponto “A”.
Já se o ângulo de pressão do engrenamento (que será bem definido na seção 2.5, figura 10),
é definido como o ângulo de pressão COMUM aos dentes que se tocam no ponto de
tangência das circunferências primitivas.
2.4 – ESPESSURA DO DENTE EVOLVENTAL
Se conhecemos a espessura do dente de uma engrenagem, em um ponto dado (melhor
diríamos, sobre uma circunferência conhecida), será útil conhecer outro valor da espessura,
sobre uma circunferência qualquer. Isto permitirá, por exemplo, calcular engrenagens cujos
dentes terminem em ponta (espessura zero).
10
> <
Rext
Rprim
Rint
Rbase
ADENDO
DEDENDO
Q
M’
N’
N
M
O
α 90º
Voltando à figura 8 da página 8:
O O1 M = O O1 A + A O1 M = EV . αA + A A1 / 2 , de acordo com (13). RA
Também: O O1 M = O O1 B + B O1 M = EV . αB + B B1 / 2 RB
Igualando os dois valores de O O1 M, virá:
BB1 = 2.RB AA1 + EV.αΑ - EV.αB (15) 2.RA
2.5 – RELAÇÕES DE PROPORCIONAMENTO DAS ENGRENAGENS
Embora só possamos “ver” duas
circunferências (externa e interna), uma
engrenagem tem mais duas
circunferências: a primitiva e a de base.
Circunferência primitiva, nominal
ou de cálculo, é aquela que serve
de referencial a todos os cálculos
cinemáticos e dinâmicos da
engrenagem – quando se fala em
“diâmetro” para fins de cálculo, é
este o mencionado, o da
circunferência primitiva. Já a
circunferência de base é aquela, a
partir da qual é gerada a curva
evolvental. Na figura 9, Rint > Rbase;
porém é possível que:
Rint Rbase (16) , tudo vai depender, principalmente, do ângulo de pressão do
engrenamento, que será definido na figura 10.
Voltando a figura 9: OQ = OM‘ . cos α
Rbase = Rprimitivo x cos α (17)
FIGURA 9
11
O2 α
α
Q2 90º
Rbase 2
w2
w1
O1
α
90º Rbase 1
Q1
P
RETA DE PRESSÃO
EXTERNA 2
PRIMITIVA 2
INTERNA 2
EXTERNA 1 PRIMITIVA 1
INTERNA 1
Considerando que, do ponto M’, tirou-se a
tangente QM’ à circunferência de base, o
ângulo α = QOM’ é o ângulo de
pressão do ponto M’. E, como M’
pertence à circunferência primitiva, é mais
que um ângulo de pressão comum: é o
ângulo de pressão DO
ENGRENAMENTO.
Vejamos a figura 10:
O ponto “P”, onde as circunferências
primitivas se tangenciam (e onde
representamos, com evidente distorção
de proporções, a tangência dos perfis dos
dentes), determina a existência de
ângulos de pressão IGUAIS para as duas engrenagens. O ângulo de pressão COMUM às
duas engrenagens, que é o mesmo ângulo de pressão de um ponto do perfil situado sobre a
circunferência primitiva, denomina-se ÂNGULO DE PRESSÃO DO ENGRENAMENTO (“α”).
Voltando à figura 9: chama-se PASSO (MN = M’N’), a distância (medida sobre a
circunferência primitiva) entre dois perfis consecutivos, de mesmo sentido de curvatura.
Representa-se o passo pela letra “p”. (17 - A)
O número de dentes de uma engrenagem, é representado pela letra “Z”.
Olhando para a figura 9 da página 10, vemos que há tantos passos quanto são os dentes de
uma engrenagem; logo, o desenvolvimento da circunferência primitiva é:
p x z = π x Dp (18)
Dividindo ambos os membros por “π”:
Dp = p x z (19) π O quociente p é denominado “módulo” do engrenamento, e é representado pela letra “m”. π m = p (20). Daí, Dp = m . z (21) π
FIGURA 10
12
O módulo é a base do sistema métrico de engrenagens. O sistema americano de
engrenagens (AGMA – American Gear Manufacturers Association) usa o PASSO
DIAMETRAL, ou Diametral Pitch, que é o inverso do módulo.
Voltando à expressão 18:
z = π x Dp , onde DP = π = passo diametral (22) p p Donde concluímos:
Z = DP x Dp (23) ou DP = z (24) Dp
Daí, definir-se o passo diametral como sendo o “número de dentes por unidade de diâmetro
primitivo”.
Comparando (20) com (22), concluímos que: m = 25,4 (25) , DP onde 25,4 é o fator de conversão de polegadas para milímetros.
Embora haja (25), na prática não há correspondência entre a série de valores do módulo, e
a série do passo diametral.
Ainda na figura 9: ADENDO = Rext – Rprim (26) (a) No sistema métrico, geralmente o adendo é feito igual ao módulo.
DEDENDO = Rprim – Rint (27) (d) No sistema métrico, geralmente o dedendo é feito igual a 7/6 do módulo.
a = m (28)
d = 7 . m (29) 6 Logo, Dext = Dprim + 2m (30)
Dint = Dprim – 2 x 7 . m (31) 6 Chama-se “VÃO” ao espaço entre dentes, medido na circunferência primitiva:
N’M = M’N = vão (espaço) = 21 x p (32) 40
Já a espessura do dente é: NN’ = espessura = 19 x p (33) 40
13
1
2 3
4 5
6
n1
n6
2.6 – RELAÇÕES DE VELOCIDADES ANGULARES
À página 5, fórmula (9), vimos que, para um par de polias de
transmissão, ,onde (w1, w2) são as velocidades
angulares em radianos por segundo; e (R1, R2) são os raios
primitivos.
Sabemos que: w = 2 π . n , onde n = R.P.M. 60
E, da expressão (21), Dp = 2 . R = m . z R = m . z 2
Substituindo esse valores em (9): (34)
Essa igualdade, que estabelece a relação entre velocidades
angulares e números de dentes de um par de engrenagens,
servirá de base à analise de um TREM DE
ENGRENAGENS, como o da figura 11.
Seja n1 a RPM de entrada (no sentido indicado) do trem de engrenagens; sabendo que, em
um par de engrenagens, os SENTIDOS de rotação são contrários em cada carreta,
determina-se facilmente o sentido da RPM de saída (n6).
Para saber-se o valor algébrico de n6, teremos que aplicar (34) aos sucessivos pares de
engrenagens – 1 com 2, sendo 1 motriz (pinhão) e 2 movida (coroa); 3 com 4, sendo 3
pinhão e 4 coroa; e 5 com 6, sendo 5 pinhão e 6 coroa.
n2 = n1 x z1 ; n2 = n3 (mesmo eixo) z2
n4 = n3 x z3 = n1 x z1 x z3 ; n4 = n5 z4 z2 z4
n6 = n5 x z5 = n1 x z1 x z3 x z5 z6 z2 z4 z6
Observar que esta é uma relação de REDUÇÃO de velocidade, pois todas as coroas (z2, z4,
z6) são maiores que os pinhões (z1, z3, z5).
Generalizando, para “n” engrenagens:
nn = n1 x z1 x z3 x z5 x ... x zn-1 (35) z2 z4 z6 zn
Se: z2 > z1, z4 > z3, z6 > z5, ..., zn > zn-1, a velocidade de saída será menor que a de entrada,
e teremos um trem REDUTOR de velocidade.
1
2
2
1
R
R
w
w=
FIGURA 11
1
2
2
1
z
z
n
n=
∴
14
2.7 – RELAÇÕES ENTRE MOMENTOS TORSORES (TORQUES)
Reportemo-nos à figura 10 da página 11: chama-se
“RETA DE PRESSÃO” ou “SEGMENTO DE AÇÃO”, a
direção determinada pelo ângulo de pressão do
engrenamento.
Agora, examinemos a figura 12: como calcular M2,
momento da engrenagem conduzida, dado o momento
motriz M1?
Na figura 12, vemos que Fn é a força normal (ação e
reação) que atua entre as engrenagens motriz e
movida. Na figura 12-B, Fn é AÇÃO, que gera o
momento M2 (conduzido); na figura 12-A, Fn é reação
ao momento motriz M1.
Dada a figura 12-A: Mmotriz – Mresistente = 0
Mresistente = FT x R1 , (36)
Onde FT = Fn . cos α
FR = Fn . sen α
A componente radial (FR) do esforço normal não
contribui com o momento torsor; apenas atua
radialmente sobre o eixo da engrenagem. Aliás,
também FT atua radialmente sobre o eixo da
engrenagem (transposta para o eixo, mais um
momento torsor).
Logo, como Mmotriz = M1 , então: M1 = FT x R1 FT = M1 (37) R1
Observem que não estamos considerando os momentos de atrito nos eixos das
engrenagens, para o cálculo dos momentos resistentes correspondentes.
∴
FN
FN
M2 = ?
O2
M1
(dado)
O1
α
FT
FN
M1
(motriz)
O1
α
FR
R1
FIGURA 12
FIGURA 12-A
FIGURA 12-B
FN
M2
(movida)
O2
α
FT
FR
R2
15
1
2 3
4 5
6
M1
M6
M45
M23
Na figura 12-B, temos:
M2 = FT x R2 (38) Trazendo (37) para (38) , virá:
M2 = M1 x R2 (39). R1
Substituindo, aqui também, os raios primitivos por:
R = m . z , virá - M2 = M1 x Z2 (40) 2 Z1
Comparando com (34), vemos que a relação entre momentos torsores (de entrada e de
saída), face aos números de dentes do pinhão e da coroa é inversa daquela existente entre
velocidades angulares. Ou seja, quando a velocidade angular cai, em um engrenamento, o
momento torsor cresce na razão inversa.
Desta forma, generalizando (40) para “n” engrenagens, teremos (vide figura 11):
Mn = M1 x z2 x z4 x z6 x ... x zn (41) z1 z3 z5 zn-1
Se: z2 > z1, z4 > z3, z6 > z5, ..., zn > zn-1, o
momento torsor de saída será maior que o de
entrada, e teremos um trem MULTIPLICADOR
de torque.
FIGURA 13
16
2.8 – CONDIÇÕES DE ENGRENAMENTO (NÃO - INTERFERÊNCIA)
Antes de calcular o comprimento
AB, sobre a reta de pressão e em
cuja extensão dá-se o contato
entre dentes das engrenagens
motriz e movida, vamos definir
“ângulo de aproximação” (β) e
“ângulo de afastamento” ( ).
O cruzamento da circunferência
externa da movida com a reta de
pressão determina o ponto “A”,
início de contato: o local onde o
flanco da engrenagem motriz
começa a impulsionar o topo da
engrenagem movida. Fazendo
passar, por “A”, os perfis das
respectivas engrenagens;
verificando os pontos onde os mesmos cortam suas correspondentes circunferências
primitivas (A1 e A2), para, finalmente ligá-los a seus centros O1 e O2 – eis a seqüência de
operações gráficas para a determinação dos ângulos de aproximação (β1 e β2) das
engrenagens motriz e movida.
De idêntica forma procede-se, após a determinação do ponto “B”, fim do contato (interseção
da circunferência externa da motriz, com a reta de pressão): desenha-se os perfis dos
dentes que passam por B; determina-se B1 e B2 e, ligando-os ao centro, determina-se os
ângulos de afastamento 1 e 2.
Ainda na figura 14: o raio da circunferência de base da motriz, Rbase1, determina o ponto
“Q1”, o chamado LIMITE DE INTERFERÊNCIA SUPERIOR (superior, por ser mais próximo
do centro da engrenagem motriz). Para que não haja interferência am A (ou seja, para que o
topo do dente da movida não desgaste o flanco do dente da motriz), a condição é:
PQ1 PA (42)
γ
γ γ
≥
FIGURA 14
O1 (motriz)
Sentido de giro
Rbase1 β1
1 γ
90º
Q1 A1
A
A2 D
P
β2 2 γ
Q2
90º
Rbase2
O2 (movida)
Sentido de giro
B B2
C
B1
CIR
CU
NF
. D
E B
AS
E-1
EX
TE
RN
A-1
PR
IMIT
IVA
-1
INT
ER
NA
-1
EX
TE
RN
A-2
PR
IMIT
IVA
-2
INT
ER
NA
-2
CIR
CU
NF
. D
E B
AS
E-2
17
Analogamente, sendo Q2 o “pé” da perpendicular baixada do centro da movida à reta de
pressão (O2Q2 é o raio da circunferência de base da movida), a condição para que o topo do
dente da engrenagem motriz não provoque erosão no flanco do dente da engrenagem
movida, é: PQ2 PB (43)
Portanto, as expressões (42) e (43) são as condições para que, independentemente do
processo de fabricação das engrenagens, garanta-se o engrenamento entre elas. Embora
PQ1 e PQ2 sejam calculáveis analiticamente, PA e PB somente são calculáveis
graficamente, assim como os ângulos de aproximação e afastamento.
2.9 – CÁLCULO DO COMPRIMENTO DO SEGMENTO DE AÇÃO (AB)
Da figura 14, temos: AB = BQ1 + AQ2 – Q1Q2 (44)
BQ1 = O1B2 – O1Q1
2 = R2ext1 – R2base1 (45)
AQ2 = O2A2 – O2Q2
2 = R2ext2 – R2base2 (46)
PQ1 = O1P . sen α = Rprim1 . sen α Q1Q2 = O1O2 . sen α (47)
PQ2 = O2P . sen α = Rprim2 . sen α Levando 45, 46 e 47 a (44),
teremos: AB = R2ext1 – R2base1 + R2
ext2 – R2base2 - O1O2 . sen α (48)
≥
18
2.10 – NÚMERO MÉDIO DE DENTES EM CONTATO
Temos bem presente o conceito de PASSO de um engrenamento (é o mesmo para as duas
engrenagens em contato), da expressão (17-A) da página 9.
Introduzamos, aqui, o conceito de “PASSO NA CIRCUNFERÊNCIA DE BASE” ou,
simplesmente, PASSO DE BASE: é um passo medido sobre a circunferência de base.
Na figura 14, se os dois perfis da engrenagem movida representados, referirem-se a dois
dentes consecutivos (adjacentes), CD será o passo de base: pbase = CD (49)
Vamos provar que AB = CD (50)
Se considerarmos “D” c Omo a ORIGEM do perfil do dente, como a reta de pressão, por
definição, é normal ao perfil “D” no ponto “A” e, ao mesmo tempo, ao perfil “C” no ponto “B”,
então pela definição de evolvente:
AQ2 = DQ2 . Como CQ2 = BQ2 , então conclui-se que – AB = CD
Mais do que uma igualdade: a expressão (50) permite que escrevamos –
Zmédio = AB (51) pbase
onde Zmédio é o número médio de pares de dentes em contato.
No caso da hipótese do 3º parágrafo desta página, (Zmédio = 1) significaria que um único par
de dentes iniciaria o contato em “A”, e somente quando atingisse “B”, é que um outro par de
dentes entraria em contato, em “A”. Isto ocasionaria uma transmissão de movimento
ruidosa, por situar-se NO LIMIAR da descontinuidade.
Como conseqüência imediata da figura 14,
e das expressões (49) e (50), a figura 15
mostra-nos qual é o passo de base na
cremalheira (arestas paralelas – distância
entre elas.
pbase
FIGURA 15
Na hipótese do 3º
parágrafo, acima.
19
2.11 – ENGRENAGENS FRESADAS: NÚMERO MÍNIMO DE DENTES COMO CONDIÇÃO
ANTI-INTERFERÊNCIA
Estudemos o engrenamento de um pinhão
cilíndrico, com uma cremalheira (figura 16).
Recordando a figura 14 (pg. 16): sendo
OQ = Rbase, ao mesmo tempo “Q” é o limite
de interferência superior. Fazendo a
circunferência externa da engrenagem
movida (no caso, a cremalheira) passar
pelo limite de interferência “Q”, o início do
contato também será “Q”.
Conseqüentemente, o adendo será QM.
No triângulo OQP: sen α = PQ (52) OP
No triângulo OQP: sen α = PQ (53) OP
Multiplicando (52) por (53) : sen2 α = PQ x QM = QM (54) OP PQ OP Mas: OP = Rprimitivo = m.Z , e QM = m . Levando em (54): 2
sen2 α = m = 2 Zmínimo = 2 (55) m . Z / 2 Z sen2 α
Ora, se ao invés da cremalheira, tivéssemos outra engrenagem cilíndrica QUALQUER, seu
número de dentes seria finito e, portanto, embora com o mesmo adendo QM, o ponto “A”
(início de contato) seria tal que: PQ > AP , o que asseguraria a condição de não-
interferência entre o pinhão e a nova engrenagem, substituta da cremalheira.
Se o pinhão for a ferramenta de fresar (ou simplesmente “fresa”), devemos olhar (55) para
escolher a MENOR ENGRENAGEM que mandaremos usinar por perfilamento.
Por exemplo:
α = 14º 30’ sen α = 0,250380 Zmin = 31,9 32 dentes.
α = 20º sen α = 0,342020 Zmin = 17,1 17 dentes.
α = 25º sen α = 0,422618 Zmin = 11,2 11 dentes.
∴
≅
≅
≅
FIGURA 16
motriz O
α Q
M P
PINHÃO
α
CIRCUNF. BASE
CIRCUNF. PRIMITIVA
CREMALHEIRA
ADENDO
CIRCUNF. EXTERNA
CIRCUNF. PRIMITIVA
RETA DE PRESSÃO
20
O1
Rext
Rp α
CIRCUNF. EXTERNA -1
CIRCUNF. PRIMITIVA -1
O2
Rext Rp
α
CIRCUNF. EXTERNA -2
CIRCUNF. PRIMITIVA -2
Q1
Q2
B
A P
α
2.12 – ENGRENAGENS GERADAS: NÚMERO MÍNIMO DE DENTES COMO CONDIÇÃO
DE ANTI-INTERFERÊNCIA – CARRETAS IGUAIS
A condição de não-interferência
evolvental de duas engrenagens
iguais, é que o início e o fim do
contato coincidam
respectivamente com os limites
de interferência superior e inferior
(vide figura 17).
Cálculo do comprimento do
segmento de ação (AB):
Rext = Rp + m = m . Z + m = m (Z + 2) 2 2
Rbase = Rp . cos α = m . Z . cos α 2 O1O2 = 2 Rp = m . Z
Substituindo em (48), teremos:
AB = 2 m2 . (Z + 2)2 – m2 . Z2 . cos2 α - m . Z . sen α 4 4
AB = m . Z2 + 4Z + 4 – Z2 . cos2 α - m . Z . sen α (56)
Da figura 17: AP = BP = O1P . sen α = O2P . sen α ,
Donde – AB = 2 . Rp . sen α = m . Z . sen α (57)
Igualando (56) e (57):
m . Z2 + 4Z + 4 – Z2 . cos2 α = m . Z . sen α + m . Z . sen α
Elevando ao quadrado ambos os membros:
Z2 + 4Z + 4 – Z2 . cos2 α = 4 . Z2 . sen2 α
Z2 + 4Z + 4 – Z2 + Z2 . sen2 α = 4 . Z2 . sen2 α
3 . sen2 α . Z2 - 4Z – 4 = 0 (58)
FIGURA 17
cos2 α = 1 – sen2 α
21
Substituindo (sen α) por: 14º 30’ – 20º – 25º , sucessivamente na expressão (58), teremos:
sen 14º 30’ Zmin = 23
sen 20º Zmin = 13
sen 25º Zmin = 9
2.13 – ENGRENAGENS GERADAS: DADA UMA ENGRENAGEM MOTRIZ “Z1”,
CALCULAR O MÁXIMO NÚMERO DE DENTES “Z2” DA ENGRENAGEM MOVIDA, PARA
QUE NÃO HAJA INTERFERÊNCIA:
Da figura 18:
O2Q1 = Q1Q2 2+ O2Q2
2
Rext2 = Q1Q2 2 + R2
BASE2 (59)
Rext2 = Rp2 + m = m (Z2 + 2) 2
Rbase2 = Rp2 . cos α = m . Z2 . cos α 2
PQ1 = Rp1 . sen α = m . Z1 . sen α 2
PQ2 = Rp2 . sen α = m . Z2 . sen α 2
Q1Q2= PQ1 + PQ2 = m . sen α (Z1 + Z2) 2
Levando esses valores em (59):
m (Z2 + 2) = m2 . sen2 α (Z1 + Z2)2 + m2 . Z2
2 . cos2 α 2 4 4
Elevando os membros ao quadrado:
m2 (Z2 + 2)2 = m2 . sen2 α (Z12 + 2Z1.Z2 + Z2
2) + m2 . Z22 . cos2 α
4 4 4
Z22 + 4.Z2 + 4 = Z1
2 . sen2 α + 2.Z1.Z2 . sen2 α + Z22 . sen2 α + Z2
2 . cos2 α
Z22 - 2.Z1.Z2 . sen2 α + 4.Z2 = Z1
2 . sen2 α + Z22 - 4
Z2 . (4 - 2.Z1. sen2 α) = Z12 . sen2 α - 4
Z2 = Z12 . sen2 α – 4 (60)
4 - 2.Z1. sen2 α
O1 (motriz)
Rp1 α
O2 (movida)
Rext2 Rp2
α
Q1
Q2
A P
α
Rbase2
FIGURA 18
22
Exemplo: (para α = 20º) Z1 = 13 Z2 = 16 (máximo)
Z1 = 14 Z2 = 26 ( “ )
Z3 = 15 Z2 = 45 ( “ )
Z4 = 16 Z2 = 100 ( “ )
Z5 = 17 Z2 = 1.355 ( “ )
Vê-se claramente que a relação Z1 = 17 é inviável (tem valor apenas teórico). Z2 = 1.355
Já a relação 16 poderá ser utilizada, embora não seja usual uma redução de um único
par de engrenagens, dessa ordem de grandeza.
100