Alexandre MeirellesMATRIZESMatriz uma tabela de nmeros reais formada por m linhas e n colunas. Se podem ser nmeros reais, ento servem nmeros negativos, fraes, razes, zero etc.Sua ordem m x n , sendo m e n N*, ou seja, ambos so nmeros naturais e diferentes de zero.Podem aparecer com 3 notaes diferentes, que podemos ver abaixo, com a respectiva ordem ao lado de cada uma:a) 3 22025 31x1]1

b) 1 3921x

,_

c) 3 131 -510xQualquer matriz segue o seguinte modelo:111111111]1

mn m3 m2 m13n 33 32 312n 23 22 211n 13 12 11a ...aaa. ... .. . . ... .. . . ... .. . a...a a aa...a a aa...a a aSendo:aij => elemento da matrizi => linha(lembrar do i de linha)j => coluna (lembrar do o de coluna e de jota)Classificao de Matrizesa) Matriz linha => quando possui uma s linha (m = 1)Ex) [ ]4 12 -031xb) Matriz coluna => quando possui uma s coluna (n = 1)Ex) 1 3102x111]1

c) Matriz nula => quando TODOS os elementos so iguais a zero. Ex)3 2000000x1]1

1Alexandre Meirellesd) Matriz quadrada => quando o nmero de linhas igual ao de colunas (m = n) Ex) 111]1

0 273 5 04 2 1 Toda matriz quadrada possui uma diagonal principal e uma secundria.No exemplo acima, a principal a formada pelos elementos a11, a22 e a33, ou seja, 1, 5 e 0. A diagonal secundria a que possui os elementos a13, a22 e a31, ou seja, 4, 5 e 7.e) Matriz identidade ( In ) => todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e todos os demais so nulos. S as matrizes quadradas podem ser identidade.Ex) I4=4 41000010000100001x1111]1

Ao multiplicarmos uma matriz A por uma matriz identidade, a matriz resultante igual a A. como se ela valesse um.Ex1) Amxn . In = Amxn Ex2) Im . Amxnf) Matrizes iguais => quando TODOS os elementos de A e B so iguais.Se A = 111]1

303 1 -2 1 e B = 111]1

303 1 -2 1, ento B igual a A.Algumas vezes encontramos questes para responder utilizando esta classificao, assim:Ex) Encontrar a, b e c, sabendo que A = B:1]1

c31a= 1]1

0 b12Facilmente comparamos as matrizes e vemos que a = 2, b = 3 e c = 0.g) Matriz oposta (A )=> a obtida invertendo os sinais de TODOS os elementos de A. Ex) Se A = 1]1

0312 e B = 1]1

0312 , ento B oposta de A.h) Matriz transposta ( At ) => At a matriz obtida trocando as posies das linhas e colunas de A seguindo a ordem, ou seja, trocamos a 1 linha pela 1 coluna, a 2 linha pela 2 coluna, e assim por diante. 2Alexandre MeirellesEx1) Se A = 111]1

63043 1 -52 1 , ento At =111]1

6 4 533 20 1 -1Ex2) Se A = 2 3303 1 -2 1x111]1

, ento At =3 233 20 1 -1x1]1

i) Matriz simtrica => Quando A = At .Obviamente elas tambm so iguais entre si e s podem ser quadradas.Se A = 111]1

5 1 01 3 20 21 e B = 111]1

5 1 01 3 20 21, ento B simtrica de A.Construo de Matrizes:Vrias questes de prova so resolvidas construindo a matriz a partir de uma regra de formao fornecida.Ex) Construir a matriz A = [aij]2x3 tal que aij = (i + j)2Primeiramente, escrevemos a matriz que servir de modelo, observando a ordem da matriz fornecida, que 2x3, ou seja, possui duas linhas e trs colunas:3 223 22 2113 12 11a a aa axa1]1

Agora, para cada elemento da matriz, acharemos (i + j)2a11 = (1+1)2 = 12 = 1 a12 = (1+2)2 = 32 = 9a13 = (1+3)2 = 42 = 16a21 = (2+1)2 = 32 = 9 a22 = (2+2)2 = 42 = 16 a23 = (2+3)2 = 52 = 25Agora s substituir cada elemento encontrado na matriz modelo:1]1

2516916 9 1Sabendo construir matrizes utilizando estas regras de formao, resolveremos vrias questes de concursos, mas para isso precisamos aprender antes a somar, subtrair e multiplicar matrizes.3Alexandre MeirellesOperaes com Matrizesa) Adio de Matrizes => Basta somar os elementos correspondentes de ambas as matrizes. Logicamente, as duas matrizes necessitam ter a mesma ordem.Propriedades da Adio:1) A + B = B + A=> comutativa2) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C => associativa3) A + (A) = 04) A + 0 = AEx1) Se A = 1]1

52131 -0 e B = 1]1

3 -2 -01 -2 -2, qual a matriz C = A + B ?Resposta: C = 1]1

20123 -2Ex2) (MPOG ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo que (aij) = i2j2 e que bij = (i + j)2, ento a soma dos elementos x31 e x13 igual a:a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 Resoluo: Observe que no necessitamos encontrar todos os elementos da matriz X. O enunciado pede a soma de x13 com x31, logo, encontraremos somente os elementos x31 e x13, para pouparmos nosso tempo, que anda to escasso nas provas atuais.x31 = a31 + b31 e x13 = a13 + b13Ento encontraremos a13, b13, a31 e b31, segundo a regra de formao de cada matriz.a13 = 12 32 = 1 9 = 8b13 = (1 + 3)2 = 42 = 16=>x13 = a13 + b13 = 8 + 16 = 8 a31 = 32 12 = 9 1 = 8b31 = (3 + 1)2 = 42 = 16 =>x31 = a31 + b31 = 8 + 16 = 24Resposta: x13 + x31 = 8 + 24 = 32 =>Gabarito: CEx3) (AFC ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizesA = aije B = bij. Sabendo-se que aij = i2+j2e que bij = (i+j)2, ento a razo entre os elementos s31 e s13 igual a:a) 1/5 b)2/5c)3/5d)4/5e) 1Resoluo: O enunciado pede a razo (diviso) entre s31 e s13, logo, calcularemos s a13, b13, a31 e b31, segundo a regra de formao de cada matriz.a31 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10 b31 = (3 + 1)2 = 42 = 16 =>s31 = a31 + b31 =10 + 16 = 26a13 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 b13 = (1 + 3)2 = 42 = 16=>s13 = a13 + b13 =10 + 16 = 26 126261331 ss =>Gabarito: E4Alexandre MeirellesEx4) (AFC 2002 ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, ento a soma dos elementos da primeira linha da matriz S igual a:a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58O enunciado pede a soma dos elementos da 1 linha de S, logo, calcularemos s a11, b11, a12 , b12, a13 e b13. Somando os 6 elementos, encontraremos 46, letra D, como gabarito da questo.Ex5) (AFC CGU 2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i j)2, ento o produto dos elementos x31 e x13 igual a:a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169Resoluo:O enunciado pede o produto entre x31 e x13, logo, calcularemos s a13, b13, a31 e b31,Encontraremos a31 = 9, b31 = 4, a13 = 1 e b13 = 4, logo, x31.x13 = 13.5 = 65 =>Gabarito: Db) Subtrao de Matrizes=>Basta subtrair os elementos correspondentes de ambas as matrizes. Logicamente, as duas matrizes necessitam ter a mesma ordem.Ex) Se A = 1]1

52131 -0 e B = 1]1

3 -2 -01 -2 -2, qual a matriz C = A B ?Resposta: C =1]1

) 3 ( 52) ( 20 11) ( 32) ( 1 2 0 =1]1

841 412c) Multiplicao de um Nmero Real por uma Matriz=>multiplicamos todos os elementos de A pelo constante fornecida. Ex) A = 1]1

2 -301 e k = 3.Calcule 3.A3.A =3.1]1

2 -301 =1]1

6 -903d) Multiplicao de Matrizes=>esta operao a mais delicada de todas. Acreditamos que a melhor forma de aprend-la resolvendo exemplos, mas antes precisamos saber que s podemos multiplicar uma matriz A por outra B quando o nmero de colunas de A igual ao de linhas de B. A matriz C obtida aps este produto ter o nmero de linhas de A e o nmero de colunas de B.Amxn . Bnxp = CmxpVamos primeiro encontrar a ordem das matrizes C abaixo:Ex1) A3x1 . B1x2 = C3x2Ex2) A5x4 . B4x1 = C5x1Ex3) A2x3 . B2x2 => impossvel, pois o no de colunas de A (3) diferente do no de linhas de B (2).5Alexandre MeirellesPropriedades da Multiplicao:1) ( A . B ) . C =A. ( B . C ) => Associativa2) ( A + B ) . C = A.C + B.C => DistributivaA.B B.A quase sempre, logo, no vlida a propriedade comutativa.Ex1) (CEFET-PR) Se A, B e C so matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, ento o produto A.B.C ser uma matriz de ordem _______.Resposta: A matriz produto de A por B ser de ordem 2x1, que multiplicada por C, dar uma de ordem 2x4.Ex2) A = 1]1

0132 e B = 1]1

202 -1 A.B = ?Resoluo: Como A e B so matrizes 2x2, A.B, que chamaremos de C, tambm ser 2x2. O 1 elemento de A.B, que ser o c11, ser o resultado da soma do produto da 1 linha de A pela 1 coluna de B. sempre assim, olhe para qual elemento voc quer encontrar, ele ser o resultado da soma do produto entre os elementos da respectiva linha de A com a coluna de B.A.B = C = 1]1

22 2112 11c c cc = 1]1

+ + + +0.2 2 - 1. - 0 . 0 1 . 13.2 2 - 2.3.0 2.1 = 1]1

+ + + +0 20 16 4 -0 2 = 1]1

2122Repare bem:c11 a soma do produto entre os elementos da 1 linha de A com a 1 coluna de B.c12 a soma do produto entre os elementos da 1 linha de A com a 2 coluna de B.c21 a soma do produto entre os elementos da 2 linha de A com a 1 coluna de B.c22 a soma do produto entre os elementos da 2 linha de A com a 2 coluna de B.Muita gente confunde estas contas todas e acho difcil multiplicar matrizes. Mas veja que no to complicado quanto parece. Primeiro, veja qual vai ser a ordem da matriz produto, para ter uma ideia da cara dela. Depois, para cada elemento, veja qual seu ndice e faa a correspondncia. Se for o elemento c43, por exemplo, o resultado da soma do produto da 4 linha de A com a 3 coluna de B. Simples. Uma questo dessas vale a mesma pontuao de uma de Contabilidade, por exemplo. O qu mais difcil, uma questo de Contabilidade ou de multiplicao de matrizes? Ento pare de reclamar e vamos ganhar estes preciosos pontos para sua to sonhada aprovao.Ex3) A =

,_

121 -301 e B =

,_

0 121A.B = ?

Resoluo: Como A de ordem 3x2 e B 2x2, A.B, que chamaremos de C, ser 3x2.A.B = C = 111]1

32 3122 2112 11 c c c ccc = 111]1

+ + + + + +1.0 2.2 1.1 1 - 2.0 . 1 3.2 1 . 1 1 . 30 . 0 1.2 0.1 1 - 1. = 111]1

4 1642 1 Ex4) A = 1 -11320 e B = 201A.B = ?Resoluo: Como A de ordem 2x3 e B 3x1, A.B, que chamaremos de C, ser 2x1.A.B=C=1]1

++ +2 . 1 0 . 1 1 . 12 . 3 0 . 2 1 . 0 =1]1

166Alexandre MeirellesEx5) (BNDES ECONOMISTA 2008)O produto de matrizes expresso abaixo :[ ]111]1

1]1

0 01 00 1.1 0 10 1 - 0. 2 1a) igual a[2 -1] b) igual a 3 c) igual matriz identidaded) comutativo e) no definido Resoluo: Primeiro calcularemos o produto da 1 pela 2 matriz, que ter ordem 1x3 e ser:[ ]1]1

1 0 10 1 - 0. 2 1 = [ ] 2 1 - 2Agora multiplicaremos pela 3 matriz, encontrando como gabarito da questo a letra A, que uma matriz de ordem 1x2:[ ] 2 1 - 2111]1

0 01 00 1. =[ ] 1 -2MatrizInversaSupondo que A seja uma matriz quadrada, a sua inversa A1 aquela em que A. A1 = A1.A = In.No sempre que existe A1.Se ela no existir, dizemos que A invertvel ou singular.Propriedades da Matriz Inversa:1) ( A1) 1=A2) ( At ) 1=( A1) t3) ( A.B ) 1=B1.A 1Ex1) (Fiscal do Estado de MG 2005 ESAF) A, B e C so matrizes quadradas de mesma ordem, no singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C igual ao produto A.Z.B, onde Z tambm uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, igual a:a) A1 B Cb) A C1 B1c) A1 C B1d) A B C1e) C1 B1 A1Resoluo:Analisando as alternativas, vemos que nosso intuito isolar Z de um lado da equao e ver o que resta de A, B e C do outro lado. Para resolvermos essa questo, inserimos as matrizes inversas de algumas delas em ambos os lados, pois sabemos que A. A1 = A1.A = In.Do seguinte modo:C = A.Z.B=> vamos primeiro sumir com B do outro lado, multiplicando ambos os lados por B1 :C. B1 = A.Z.B.B1 = A.Z. In = A.Z ,pois sabemos que uma matriz multiplicada pela matriz identidade igual prpria matriz. Agora faremos o mesmo para sumirmos com A do outro lado:C. B1 = A.Z=>A1.C. B1 = A1.A.Z= In.Z = Z => Gabarito:Z = A1.C. B1Desta vez inserimos a inversa de A no incio de ambos os lados da equao porque A aparecia no incio de cada lado, ao contrrio de quando multiplicamos pela inversa de B, pois B estava no final de cada lado da equao. Gabarito: C7Alexandre MeirellesEx2) A = 1]1

2110Calcular A1, se possvelSabemos que A. A1 = In , logo, vamos supor uma matriz genrica de ordem 2x2 cujo produto de A por ela seja igual matriz identidade, da seguinte forma:1]1

2110 . 1]1

dcba =1]1

1001

Multiplicando as matrizes e igualando matriz identidade, encontraremos:0.a + 1.c = 1=> c = 11.a + 2.c = 0=> a + 2.1 = 0 => a = -20.b + 1.d = 0=> d = 01.b + 2.d = 1=> b = 1Logo: 1]1

dcba = 1]1

01 12 = A1Ex3) A = 1]1

1122 Calcular A1 , se possvel1]1

1122 . 1]1

dcba =1]1

1001Multiplicando e igualando matriz identidade, encontraremos:2.a + 2.c = 1=>a + c = 1/21.a + 1.c = 0=>a + c =0 => como (a + c) pode ser igual a 1/2 e a zero ao mesmo tempo? Isso impossvel, logo, A singular, ou seja, no existe sua inversa.O prximo assunto a tratarmos se chama determinantes. Assim que voc estudar como se calcula um determinante, verifique que uma matriz possui inversa quando seu determinante diferente de zero, e ser singular, ou seja, no possuir inversa (inversvel), quando o determinante for igual a zero. Assim fica bem mais fcil saber se uma matriz possui ou no uma inversa.8Alexandre MeirellesDETERMINANTESAprendendoaCalcularDeterminantes:Calcule os determinantes abaixo:a) 5 = 5 => o determinante de uma matriz de 1 ordem igual ao elemento da matriz. Cuidado para no confundir o smbolo de determinante com o de mdulo de um nmero, no tem nada a ver uma coisa com a outra, apesar de ambos serem representados por barras.b) 3 41 2 => o determinante de uma matriz de 2 ordem obtido multiplicando os 2 elementos da diagonal principal diminudos do produto dos 2 elementos da diagonal secundria, assim:3 41 2 = 2.3 1.4 = 6 4 = 2Ex) 3 41 2 = 2.3 (1. 4) = 6 + 4 = 2c) 4 0 12 5 43 2 1 Para calcularmos o determinante de uma matriz de 3 ordem, aplicaremos a regra de Sarrus, que nada mais do que repetir as duas primeiras colunas e somarmos os produtos das 3 multiplicaes dos elementos da esquerda para a direita (como se fossem 3 diagonais principais) e subtrairmos das 3 multiplicaes dos elementos da direita para a esquerda (como se fossem 3 diagonais secundrias), assim:4 0 12 5 43 2 1 = 4 0 12 5 43 2 1 141

052 =1.5.4 + 2.2.1 + 3.4.0 ( 3.5.1 + 1.2.0 + 2.4.4 ) = =20 + 4 +0 (15 + 0 + 32) = 24 17 = 4d) 1421 3 43 12 =1 4 21 3 43 1 2 242

431 =2. 3.1 + 1.1.2 + 3.4.4 (3.3.22.1.4+ 1.4.1) = =6 + 2 + 48 (18 8 + 4) = 56 (22) = 56 + 22 = 789Alexandre Meirellese) (ANA 2009 / ESAF) O determinante da matriz a) 2bc + c ab) 2b cc) a + b + cd) 6 + a + b + ce) 0 Resoluo: Repetiremos as duas primeiras colunas, conforme nos ensinou Sarrus:b a c b ab a c b a+ + + + 2 4 2 41 2 0 1 2 = 2.b.c + 1.c.(4 + a) + 0.a.(2 + b) [ 0.b.(4 + a) + 2.c.(2 + b) + 1.a.c ]==2bc + 4c + ac + 0 [ 0 + 4c + 2bc + ac ]=2bc + 4c + ac 4c 2bc ac=0=> Gabarito => letra EPropriedadesdosDeterminantes:1)Se uma linha ou coluna for toda igual a zero, o determinante ser igual a zero.Ex)4 0 12 043 0 1 =02) Se uma linha ou coluna for igual outra, o determinante ser igual a zero. Ex)3 2 12 5 43 2 1=03)Se uma linha ou coluna for proporcional outra, o determinante ser igual a zero.Ex)6 4 22 5 43 2 1=0, pois a 3 linha igual 1 multiplicada por 2.4)Se multiplicarmos uma linha ou coluna por uma constante, o determinante tambm ser multiplicado por esta constante.A = 1]1

3412=>det A=2.3 1.4 = 6 4 = 2B = 1]1

6812=>det B=2.6 1.8 = 12 8 = 4 , pois como a 2 linha de B igual 2 linha de A multiplicada por 2, o determinante tambm ser multiplicado por 2.10Alexandre Meirelles5) Se multiplicarmos TODOS os elementos por uma constante, o determinante tambm ser multiplicado por esta constante elevado a n.A = 1]1

3412=>det A=2.3 1.4 = 6 4 = 2B = 1]1

6824 =>det B=4.6 2.8 = 24 16 = 8Como multiplicamos todos os elementos de A por 2, B ser 22.det A = 4.detA = 4.2 = 86) O determinante de A igual ao determinante de sua transposta, ou seja, Det A = Det AtA = 1]1

3412=>det A=2.3 1.4 = 6 4 = 2At = 1]1

3142=>det At=2.3 4.1 = 6 4 = 27) Se trocarmos de posio duas linhas ou duas colunas, o determinante ser o oposto do original, ou seja, ser o mesmo do original com o sinal trocado.6 4 22 5 43 2 1 = 143 2 12 5 46 4 2 = 14, pois o mesmo exemplo do anterior, mas com a 1 e a 3 linhas trocadas.Para as prximas duas propriedades, no necessitamos verificar por exemplos numricos, basta saber as propriedades, para pouparmos nosso tempo.8a) det (A.B) = det A . det B9a) det A1= A det111Alexandre MeirellesExercciosdeConcursosEnvolvendoasPropriedades:1) (APOF SEFAZ-SP 2009 / ESAF) O determinante de uma matriz 3x3 igual a x. Se multiplicarmos os trs elementos da 1 linha por 2 e os trs elementos da 2 coluna por 1, o determinante ser:a) x2 b) 2x c) 4x2d) x2e) 2x2Resoluo: Pura aplicao da 4 propriedade, pois ao multiplicarmos a 1 linha por 2, o determinante tambm ficar multiplicado por 2, ou seja, ser 2x. E depois ao multiplicarmos a 2 coluna por 1, o determinante tambm ficar multiplicado por 1, ou seja, ser 2x.Gabarito: B2) (CGU 2008 / ESAF alterada) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constri-se a matriz B(bij), tambm de terceira ordem, dada por:Sabendo-se que o determinante da matriz A igual a 100, ento o determinante da matriz B igual a:a) 50 b) 50 c) 0 d) 100 e) 100Resoluo: Pura aplicao da 7 propriedade, pois a matriz B igual matriz A trocando a 1 linha com a 3 linha, logo, o determinante de B ser igual ao de A com o sinal trocado. Ento, se o determinante de A 100, o de B ser 100.Gabarito: D3) (MPOG 2008 / ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B igual a:a) 10-6b) 105c) 1010d) 106e) 103Resoluo: Pura aplicao da 5 propriedade, pois a matriz B igual matriz B igual matriz X multiplicando todos os elementos por 10, logo, o determinante de B ser igual ao de X multiplicado por 105, pois possui ordem 5. a mesma coisa que utilizar a 4 propriedade 5 vezes.Ento, se o determinante de X 10, o de B ser 105.10 = 106.Gabarito: D4) (MPU ESAF) Considere as matrizes X = 111]1

7 3 56 4 23 2 1e Y = 111]1

c 3 56 b 23 2 a, onde os elementos a, b e c so nmeros naturais diferentes de zero. Ento, o determinante do produto das matrizes X e Y igual a:a) 0 b) a c) a + b + c d) a + b e) a +cResoluo: pela 8 propriedade, sabemos que det(X.Y) = det X . det Y, logo, no precisamos multiplicar X por Y e calcular seu determinante, vamos calcular primeiro o determinante de X e depois multiplicar pelo determinante de Y. Mas ao calcularmos o determinante de X, veremos que ele igual a zero, logo, o produto do detX pelo detY tambm ser igual a zero, logo, det (X.Y) = detX . detY = 0 . detY = 012Alexandre MeirellesPodemos economizar mais tempo ainda ao vermos que na matriz X a 2 linha igual 1 linha multiplicada por 2, ou seja, elas so proporcionais, e pela 3 propriedade, sabemos que seu determinante ser igual a zero, sem necessidade de calcular nada. Sempre que aparecer uma questo mandando calcular um determinante, veja se de cara j no pode afirmar que zero, utilizando uma das 3 primeiras propriedades.Gabarito: A5) (AFC STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B so iguais, respectivamente, terceira, segunda e primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A igual a x3, ento o produto entre os determinantes das matrizes A e B igual a:a) x6b) x6c) x3d) 1 e) 1Resoluo: Questo de soluo similar da questo de nmero 2, pois vemos que a matriz B igual matriz A com a 1 e a 3 linhas trocadas, o que faz trocar o sinal do determinante de A. Logo, se o determinante de A igual a x3, o de B ser igual a x3. Sendo assim:Det A . Det B=x3 .x3=x6=>Gabarito: B6) (Analista do MPU 2004 ESAF) Sabendo que a matriz A = 1]1

1 01 1e quen N e n 1, ento o determinante da matriz An An1 igual a:a) 1 b) 1 c) 0 d) n e) n 1Resoluo: Quando o candidato se depara com estas questes mais abstratas, costuma se desesperar, mas geralmente so fceis, basta organizar as ideias.Para encontrarmos a regra de formao das matrizes An e An1 , vamos primeiro calcular A1, A2 e A3 e analisarmos se elas seguem um padro para podermos generalizar para An.A1 = A = 1]1

1 01 1A2 = A1. A1 = 1]1

1 01 1.1]1

1 01 1 = 1]1

1 02 1A3 = A2.A1 =1]1

1 02 1.1]1

1 01 1 = 1]1

1 03 1Comparando as 3 matrizes acima, o que podemos concluir? Que a matriz An igual a 1]1

1 0n 1, pois vemos que o nico elemento que foi alterado em cada uma das 3 matrizes foi o elemento a12, que sempre igual a n. Sendo assim,An An1=1]1

1 0n 1 1]1

1 01 - n 1 = 1]1

1 1 0 01) (n n 1 1 = 1]1

0 01 0 Gabarito:Det = 0, pois a 2 linha (ou a 1 coluna) igual a zero. Letra C.13Alexandre Meirelles7) (Analista do MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genrico xij de uma matriz X o determinante que se obtm suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij ) = (i + j)2 e que bij = i2 , ento o menor complementar do elemento y23 igual a:a) 0 b) 8 c) 80 d) 8 e) 80Resoluo: A questo pede para encontrarmos o menor complementar do elemento y23, logo, ser o determinante da matriz111]1

33 32 3123 22 2113 12 11y y yy y yy y y sem a 2 linha e a 3 coluna, isto , calcularemos o determinante da matriz:1]1

32 3112 11y yy ySendo assim, temos que agora encontrar os elementos a11, a12, a31, a32, b11, b12, b31 e b32.Seguindo a regra de formao das matrizes A e B, encontraremos:a11 = 4 eb11 = 1=>y11=4 + 1 = 5a12 = 9 eb12 = 1=>y12=9 + 1 = 10a31 = 16 eb31 = 9=>y31=16 + 9 = 25a32 = 25 eb32 = 9=>y32=25 + 9 = 34Logo, 1]1

32 3112 11y yy y = 1]1

34 2510 5=>det 3425105 = 5.34 10.25=170 250= 80=>Gabarito: C8) (Gestor Fazendrio MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A igual a 21/2, ento o determinante da matriz B igual a:a) 21/2b) 2 c) 21/4d) 21/2e) 1Resoluo: Por ser uma questo que envolve radicais, ela pode parecer complicada, mas no , pois pura aplicao da 5 propriedade e de matemtica bsica.Se o determinante de A igual a 21/2, ento ele ser, passando para um nmero mais fcil de lidar:Det A=21/2=21 O sinal negativo no expoente faz inverter e o elevado a meio faz surgir uma raiz quadrada.B igual a 21/4A = 42.AComo B igual matriz A multiplicada pela constante 42 e elas so de 2 ordem, o determinante da matriz B ser igual ao da A multiplicado por (42)2. Lembra que a 5 propriedade falava em kn? Ento, a constante K o 42 e o n 2, pois a matriz de 2 ordem. Logo,Det B=(42)2 . det A=(42)2 . 21= 2 . 21=1 =>Gabarito: EObservao: (42)2 = 2porque simplificamos o 4 com o 2 do expoente fora dos parnteses, ficando com a raiz quadrada de 2 somente.14