APONTAMENTOS DE ALGEBRA´ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/algebra/Valores_VProprios.pdf ·...
Transcript of APONTAMENTOS DE ALGEBRA´ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/algebra/Valores_VProprios.pdf ·...
APONTAMENTOS DE ALGEBRA
Valores e Vectores Proprios
Maria do Rosario de Pinho e Isabel Maria Ferreira
Outubro 2002
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Licenciatura em Engenharia Electrotecnica
e de
Computadores
Capıtulo 1
Valores e Vectores Proprios
1.1 Introducao
Seja T ∈ L(X, Y ), onde X e Y sao espacos lineares de dimensao finita sobre o
mesmo corpo. As propriedades intrınsecas de T sao as propriedades desta trans-
formacao linear que nao dependem das bases escolhidas para os espacos X e Y .
Tais propriedades sao propriedades de todas as matrizes que representam T . Por
exemplo, se dimT (X) = r, entao qualquer matriz que representa T relativamente
a quaisquer bases de X e Y tem caracterıstica r. Em particular, se T e invertıvel,
toda a matriz que representa T e nao singular.
Vimos ja como podemos relacionar duas matrizes que representam a mesma trans-
formacao linear relativamente a bases diferentes de X e Y .
Vamos agora considerar transformacoes lineares entre o mesmo espaco linear
X. Ou seja, considerarmos apenas transformacoes lineares
T : X → X.
Uma vez que uma transformacao linear T : X → X pode ser representada por varias
matrizes, e pertinente perguntar:
• Qual e a representacao matricial mais simples possıvel que esta transformacao
2
Valores e Vectores Proprios 3
linear pode ter quando, no domınio e no contradomınio, consideramos a mesma
base?
Vamos tentar responder a esta pergunta.
1.2 Matrizes Semelhantes
• Seja entao X um espaco linear sobre o corpo K tal que dimX = n.
• Seja T ∈ L(X, X).
• Sejam B = {b1, . . . , bn} e C = {c1, . . . , cn} duas bases de X.
• Seja P ∈ Mn×n(K) tal que PxB = xC. P e a matriz mudanca de base de Bpara C. Esta matriz P e invertıvel, como se sabe.
• Seja A a matriz que representa a transformacao linear T relativamente a es-
colha da base B no domınio e contradomınio de T .
• Seja A′ a matriz que representa a transformacao linear T relativamente a
escolha da base C no domınio e contradomınio de T .
Sabemos ja que
A′ = PAP−1.
Duas matrizes como estas dizem-se semelhantes. Mais geralmente, considera-se a
seguinte definicao:
Definicao 1.2.1 Sejam A e B duas matrizes com n linhas e n colunas. Diz-se que
A e semelhante a matriz B se existir uma matriz P com n linhas e n colunas, nao
singular, tal que
B = PAP−1.
Semelhanca entre matrizes tem propriedades simples e obvias:
Valores e Vectores Proprios 4
Teorema 1.2.2 A relacao de semelhanca entre matrizes quadradas n × n e uma
relacao de equivalencia, porque
• Uma matriz A e semelhante a ela mesmo.
• Se a matriz A e semelhante a B, entao B e semelhante a A.
• Se A e semelhante a B e B e semelhante a C, entao A e semelhante a C.
Exercıcio 1.2.3 Demonstre o Teorema 1.2.2.
E facil mostrar que
Duas matrizes semelhantes tem o mesmo determinante.
Basta notar que
det B = det P. det A. det P−1 = det A. det P.1
det P= det A.
Observe que na definicao de matrizes semelhantes 1.2.2 e nas propriedades que
enunciamos destas matrizes nao se faz qualquer alusao ao corpo associado a estas
matrizes.
Suponhamos agora que temos um corpo K e um espaco linear X sobre o corpo K
de dimensao n. Concluimos de imediato que:
Se A, B ∈Mn×n(K) representam a mesma T ∈ L(X,X),
entao sao semelhantes.
Por outro lado, pode-se mostrar que:
Se A, B ∈Mn×n(K) tais que A = PBP−1 e P ∈Mn×n(K),
entao representam a mesma T ∈ L(X, X)
Valores e Vectores Proprios 5
Exercıcio 1.2.4 Sejam A, B ∈Mn×n(K) tais que
A = PBP−1
e P ∈ Mn×n(K). Sejam aij, com i, j = 1, . . . , n, as entradas de A. Sejam bij,
com i, j = 1, . . . , n as entradas de B. Sejam pij, com i, j = 1, . . . , n, as entradas
da matriz P e designe por qij com i, j = 1, . . . , n, as entradas de P−1. Temos
aij, bij, pij ∈ K. Seja X um espaco linear sobre o corpo K tal que dimX = n.
Mostre que A e B representam a mesma transformacao linear T : X → X.
Do que foi dito acima, podemos concluir que
• Duas matrizes A, B ∈ Mn×n(K) sao semelhantes se e so se representam a
mesma transformacao linear.
Sendo X um espaco linear de dimensao n, dimX = n, sobre um corpo K. Seja T ∈L(X,X). Queremos determinar a matriz mais simples possıvel que representa T :
X → X quando, no domınio e contradomınio de T , optamos pela MESMA
base.
Sera que tal matriz existe sempre?
E se existe, sera que e uma matriz diagonal?
Vamos comecar por determinar em que condicoes podemos dizer que uma matriz A
quadrada n× n e semelhante a uma matriz Λ diagonal. Recorde-se que Λ e uma
matriz diagonal se existem escalares λi, i = 1, . . . , n tal que
Λ =
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . λn
. (2.1)
Para simplificar, escreve-se
Λ = diag(λ1, . . . , λn).
Valores e Vectores Proprios 6
• Seja X um espaco linear de dimensao n sobre o corpo K.
Seja B = {b1, . . . , bn} uma base de X e seja T ∈ L(X, X) a transformacao
linear que, relativamente a base B no domınio e contradomınio, e representada
por por uma matriz A ∈Mn×n(K). Recorde que temos:(T (bi)
)B = ai,
onde ai, com i = 1, . . . , n, designa o vector coluna i de A. Designamos aij,
com i, j = 1, . . . , n, as entradas de A. Assim
ai =
a1i
...
ani
para i = 1, . . . , n.
Suponhamos que existem matrizes P ∈Mn×n(K) e Λ ∈Mn×n(K) tal que
Λ = PAP−1.
Sejam pij, com i, j = 1, . . . , n, as entradas de P .
Temos aij, pij ∈ K , com i, j = 1, . . . , n, e λi ∈ K, com i = 1, . . . , n. No nosso
contexto, K e R ou C.
As matrizes A e Λ sao semelhantes. Como duas matrizes semelhantes repre-
sentam a mesma transformacao linear e como A representa T , concluimos que
existe uma base C = {c1, . . . , cn} de X tal que Λ representa T relativamente a
essa base, considerada no domınio e contradomınio.
Como Λ representa a transformacao linear T relativamente a base C, sabemos
que
(T (c1)
)C =
λ1
0...
0
, . . . ,(T (cn)
)C =
0
0...
λn
.
Quer isto dizer que (T (c1)
)C = λ1c1, . . . ,
(T (cn)
)C = λncn.
Valores e Vectores Proprios 7
Entao
T (ci) = λici para i = 1, . . . , n.
• Seja agora X um espaco de dimensao n sobre um corpo K e seja T e uma trans-
formacao linear de L(X, X), representada por uma matriz A ∈ Mn×n(K).
Suponhamos que existem n escalares λ1, . . . , λn ∈ K e n vectores c1, . . . , cn de
X, linearmente independentes, tais que
T (ci) = λici para i = 1, . . . , n.
Entao, relativamente a base C = {c1, . . . , cn} de X, T e representada por uma
matriz diagonal Λ = diag(λ1, . . . , λn). A matriz A e entao semelhante a Λ.
Provamos assim que
Teorema 1.2.5 Seja X e um espaco linear de dimensao n sobre um corpo K. Seja
T e uma transformacao linear de L(X, X). A transformacao linear T e representada
por uma matriz diagonal se e so se existirem n escalares λ1, . . . , λn ∈ K e n vectores
c1, . . . , cn de X, linearmente independentes, tais que
T (ci) = λici para i = 1, . . . , n.
Quando T pode ser representada por uma matriz diagonal, entao qualquer matriz A
que representa T relativamente a uma dada base de X, e semelhante a uma matriz
diagonal.
O problema de determinar uma matriz diagonal que represente uma transformacao
linear fica reduzido ao de determinar n escalares λ1, . . . , λn e n vectores c1, . . . , cn
de X linearmente independentes tais que
T (ci) = λici para i = 1, . . . , n. (2.2)
Os escalares λi referidos no Teorema 1.2.5 designam-se por valores proprios e
os vectores ci que lhes estao associados por vectores proprios. Nas condicoes
do Teorema 1.2.5 a transformacao linear e representada por uma matriz diagonal
Valores e Vectores Proprios 8
quando, no domınio e contra-domınio, se considera a base formada pelos vectores
proprios.
No Teorema 1.2.5 esta implıcito que os escalares designados por valores proprios
tem que pertencer ao corpo K. Contudo, dada uma matriz quadrada A qualquer,
se fixarmos K e o espaco linear X, podera ser impossıvel determinar escalares λi ∈K, com i = 1, . . . , n, para os quais existam vectores ci ∈ X, com i = 1, . . . , n,
satisfazendo (2.2).
Por exemplo, considere-se o espaco linear R2 sobre o corpo dos reais (K = R). A
transformacao linear T : R2 → R2 representada, relativamente a base canonica de
R2, pela matriz
A =
[0 −1
1 0
],
definida analiticamente por
T
[x
y
]=
[−y
x
],
nao pode ser representada por uma matriz diagonal. De facto, nao existem reais
λ1 e λ2, nem vectores c1, c2 ∈ R2 satisfazendo (2.2). Contudo, A pode representar
uma outra transformacao linear entre espacos lineares sobre o corpo K = C.
Recordemos que C2 e um espaco linear de dimensao 2 sobre o corpo dos complexos.
Assim, a matriz A representa tambem uma transformacao linear S : C2 → C2.
Realmente, sendo v ∈ C2 (e entao v = (z, w)T , onde z, w ∈ C), S e definida por
S
[z
w
]=
[−w
z
].
Entao
S
[1
i
]=
[−i
1
]= −i
[1
i
],
S
[1
−i
]=
[i
1
]= i
[1
−i
].
Valores e Vectores Proprios 9
Deduzimos entao que
λ1 = −i, λ2 = i
sao valores proprios de S associados, respectivamente, aos vectores proprios
c1 =
[1
i
], c2 =
[1
−i
].
Facilmente se verifica que estes dois vectores proprios, c1 e c2, sao linearmente inde-
pendentes (verifique!).
Concluimos assim que a transformacao linear S pode ser representada por uma
matriz diagonal
Λ =
[−i 0
0 i
].
Seja
P =
[12
− i2
12
i2
].
A sua inversa e
P−1 =
[1 1
i −i
].
Entao Λ = PAP−1.
Assim, embora a transformacao linear que inicialmente associamos a A nao possa ser
representada por uma matriz diagonal, a matriz A, considerada por si, e semelhante
a uma matriz diagonal.
1.3 Valores e Vectores Proprios
Vimos que, dado um espaco linear X de dimensao n sobre o corpo dos reais (K = R)
e dada uma transformacao linear T : X → X representada, numa certa base de X,
por uma matriz A, esta transformacao linear pode nao ser respresentada por uma
matriz diagonal.
Valores e Vectores Proprios 10
Contudo, a matriz A, quando considerada como um elemento de Mn×n(C) (e nao
como um elemento de Mn×n(R)) pode representar uma outra transformacao linear
S de um espaco linear Y sobre o corpo dos complexos de dimensao n. E tal
transformacao linear S podera ser representada por uma matriz diagonal.
Uma matriz A ∈ Mn×n(R) pode nao ser semelhante a uma matriz diagonal, mas a
mesma matriz, quando vista como um elemento de Mn×n(C), podera ser semelhante
a uma matriz diagonal.
Em muitas situacoes, dada uma matriz quadrada A, interessa-nos estudar a matriz
quando o corpo dos escalares considerado e o “maior possıvel”. No nosso caso, tal
corpo e o corpo C.
Dada entao uma matriz quadrada A, pergunta-se
quando e que A e semelhante a uma matriz diagonal?
Definicao 1.3.1 Os valores proprios de uma matriz A quadrada n × n (com
entradas reais ou complexas) sao os reais ou complexos λ para os quais existe um
vector x 6= 0 tal que Ax = λx.
Os vectores proprios de A sao os vectores x 6= 0 para os quais existe um numero
λ tal que Ax = λx.
Se Ax = λx par algum x 6= 0, entao x e um vector proprio associado ao valor
proprio λ e vice versa.
Qualquer vector proprio x de uma matriz A e 6= 0.
Observacao: Os vectores proprios mencionados na definicao acima poderao ser
vectores de Rn ou de Cn. Referimo-nos a eles simplesmente por vectores sem
Valores e Vectores Proprios 11
aludirmos ao espaco vectorial a que pertencem. Como veremos tal podera ser de-
duzidos do contexto. A razao porque consideramos sempre vectores em Rn ou Cn e
simples. Qualquer espaco de dimensao n sobre o corpo dos reais e isomorfico a Rn
e qualquer espaco de dimensao n sobre o corpo dos complexos e isomorfico a Cn.
De facto, seja um espaco qualquer X de dimensao n sobre R (ou C) e considere-se
uma qualquer base B de X. Qualquer ponto x ∈ X pode ser representado pelas suas
coordenadas na base B, xB. Suponhamos que B = {b1, . . . , bn}. Entao, se x ∈ X,
existem escalares α1, . . . , αn que sao elementos de R (ou C) tais que
x = α1b1 + αnbn.
Entao, e como se sabe,
xB =
α1
...
αn
.
Ora, se os escalares αi sao reais (complexos), entao
α1
...
αn
∈ Rn (Cn). Assim, todas
as operacoes algebricas (incluindo os conceitos de combinacao linear, dependencia e
independencia linear, geradores, subespacos, dimensao ou bases) sobre elementos do
espaco X podem ser equivalentemente efectuadas sobre os vectores n × 1 das suas
coordenadas na base B que e um vector de Rn (ou Cn).
Dada uma matriz A ∈ Mn×n queremos verificar se existem valores e vectores
proprios de A. Quer isto dizer que queremos determinar x 6= 0 e λ tal que
Ax = λx,
ou, o que e o mesmo, queremos determinar vectores x 6= 0 e escalares λ tal que
(A− λI
)x = 0,
onde I representa a matriz identidade com n linhas e n colunas.
Valores e Vectores Proprios 12
Sabemos ja que, dada um escalar λ, existe um vector x 6= 0 que resolva o sistema(A− λI
)x = 0
se e so se
det(A− λI)
= 0,
i.e., se a matriz A− λI e singular.
Teorema 1.3.2
1. λ e um valor proprio de A ∈Mn×n se e so se a matriz A− λI e singular.
2. λ e um valor proprio de A ∈Mn×n se e so se det(A− λI)
= 0.
Como determinar valores e vectores proprios de uma matriz quadrada A?
Devemos comecar por determinar os valores de λ para os quais det(A − λI)
= 0.
Determinado um λ nesta condicoes, calculamos, de seguida, os x 6= 0 tais que
Ax = λx.
A equacao det(A− λI)
= 0 chama-se equacao caracterıstica de A.
Teorema 1.3.3 Seja A uma matriz n × n. Sejam aij, com i, j ∈ {1, . . . , n}, as
entradas de A. Entao a funcao definida por
f(λ) = det(A− λI)
e uma funcao polinomial na variavel λ de grau n. Alem disso, o coeficiente da
maior potencia de λ e (−1)n, o coeficiente de λn−1 e (−1)n−1tr(A) (onde tr(A) =∑ni=1 aii, a soma das entradas de A na diagonal principal) e o termo constante e
f(0) = det(A).
Valores e Vectores Proprios 13
A demonstracao deste Teorema e feita por inducao finita sobre n. Nao a faremos
aqui.
Vamos verificar a veracidade deste resultado para o caso de n = 1 e n = 2. Antes,
contudo, observe-se que realmente, sendo f(λ) = det(A−λI), temos , para qualquer
n ∈ N, f(0) = det(A).
Verificacao do Teorema:
Para n = 1: Neste caso A = [a11], tr(A) = a11, I = 1 e f(λ) = det(A−λ) = a11−λ.
Trata-se de uma funcao polinomial do primeiro grau satisfazendo as conclusoes
do teorema.
Para n = 2: Temos
f(λ) = det(A− λI) = (a11 − λ)(a22 − λ)− a12a21
= λ2 − (a22 + a11)λ + a11a22 − a12a21.
Trata-se de uma funcao polinomial em λ de grau 2. O coeficiente da maior
potencia de λ2 e igual 1 = (−1)2 e o coeficiente de λ e, de facto, o traco da
matriz, tr(A) = a22 + a11.
Exercıcio 1.3.4 Verifique a veracidade do Teorema para n = 3.
Podemos concluir entao que
Os valores proprios de A ∈Mn×n sao as raızes do polinomio det(A− λI)
= 0.
Sabemos ja que o polinomio de grau n det(A − λI) = 0 tem n raızes reais ou
complexas λ1, . . . , λn e pode ser factorizado da seguinte forma:
det(A− λI) = (λ1 − λ)(λ2 − λ) . . . (λn − λ).
Na factorizacao dada acima as raızes λi nao precisam de ser todas todas diferentes.
Valores e Vectores Proprios 14
Suponhamos que o polinomio tem r raızes diferentes. Evidentemente que r ≤ n.
Mas se quisermos escrever a factorizacao do polinomio de forma a que cada raız λi,
com i = 1, . . . , r, apareca so uma vez, devemos escrever:
det(A− λI) = (λ1 − λ)m1(λ2 − λ)m2 . . . (λr − λ)m1 .
Note-se que λi 6= λj para 1 ≤ i 6= j ≤ r e
m1 + m2 + . . . + mr = n.
Definicao 1.3.5 Os numeros naturais mi sao designados por multiplicidade algebrica
do valor proprio λi.
Observe-se que, se as entradas de A sao reais e se
λ ∈ C e um valor proprio de uma matriz A,
entao o seu conjugado, λ, tambem e valor proprio de A.
Exercıcio 1.3.6
Justifique a afirmacao feita acima.
Exercıcio 1.3.7 Sejam A e B duas matrizes quadradas n×n semelhantes. Mostre
que:
• A e B tem a mesma equacao carcterıstica.
• Sendo B = PAP−1, mostre que x e um vector proprio de A asociado ao valor
proprio λ se e so se Px e vector proprio de B associado ao valor proprio λ.
Deduzimos do exercıcio anterior que
Matrizes semelhantes tem valores proprios iguais
e com a mesma multiplicidade algebrica.
Valores e Vectores Proprios 15
Segue da definicao de valor proprio que, para cada valor proprio existe sempre
um vector proprio que lhe esta associado. Mas esse vector proprio nao e unico.
Vejamos.
Seja λ ∈ R um valor proprio de uma matriz A ∈Mn×n e seja x 6= 0 tal que
Ax = λx.
O vector x e vector proprio de A associado a λ. Considere um qualquer escalar
α 6= 0. Entao
A(αx) = αAx = α(λx) = λ(αx),
ou seja, αx e tambem vector proprio associado a λ.
Teorema 1.3.8 Seja λ ∈ R valor proprio de uma matriz A ∈ Mn×n com todas
as entradas reais. Entao qualquer vector proprio x associado a λ pode ser real
(i.e., as suas coordenadas em qualquer base podem ser escalares reias).
Exercıcio 1.3.9 Demonstre o Teorema anterior. Comece por recordar que x 6= 0.
Suponha que x e um vector complexo, ou seja, x = u + vi, onde u, v ∈ Rn. Como
A(u + vi) = λu + iλv = Au + iAv e Au e Av sao vectores reais (com todas as
coordenadas reais), conclua que ou u 6= 0 ou v 6= 0, pois x 6= 0. Entao, o vector u
ou v diferente de 0, e vector proprio real associado ao valor proprio λ.
O teorema seguinte garante-nos que, se os valores proprios forem todos reais e distin-
tos, entao existem, necessariamente, n vectores proprios linearmente independentes.
Teorema 1.3.10 Sejam λ1, λ2, . . . , λr valores proprios de uma matriz A ∈ Mn×n
(r ≤ n) todos distintos, i.e., λi 6= λj para 1 ≤ i 6= j ≤ r. Entao os vectores proprios
x1, x2, . . . , xr que lhes estao associados sao vectores linearmente independentes.
Demonstramos, de seguida, o teorema para o caso de r = 2.
O aluno devera tentar demonstrar o teorema para o caso r = 3, r = 4 e para o caso
geral.
Valores e Vectores Proprios 16
Demonstracao. (Caso r = 2)
Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de uma dada matriz A e λ1 6= λ2. Se os valores
proprios sao distintos, pelo menos um deles e diferente de 0. Suponhamos, sem
perda de gerneralidade, que λ1 6= 0. Sejam x1 e x2 os vectores proprios associados.
Consideremos α1 e α2 escalares tais que
α1x1 + α2x2 = 0 (3.1)
Multiplicando ambos os membros desta igualdade por A obtemos
α1Ax1 + α2Ax2 = 0
Mas
α1Ax1 + α2Ax2 = α1λ1x1 + α2λ2x2 = 0 (3.2)
Multiplicando (3.1) por −λ1 e somando a (3.2) temos
α2(λ2 − λ1)x2 = 0
Como λ1 6= λ2 e x2 6= 0, concluimos que α2 = 0. Entao (3.1) reduz-se a α1x1 = 0.
Como x1 6= 0, concluimos que α1 = 0. Ou seja, temos α1 = α2 = 0, i.e., os vectores
proprios sao linearmente independentes.
Exercıcio 1.3.11 Determine os valores e vectores proprios das seguintes matrizes:1 0 0
−3 1 0
4 −7 1
,
2 1 3
1 2 3
3 3 20
,
2 1 1
0 2 1
0 0 2
,
0 1 0
1 0 0
0 0 1
1.3.1 Matrizes Diagonalizaveis
O Teorema 1.3.10 permite-nos agora concluir os eguinte:
Valores e Vectores Proprios 17
Teorema 1.3.12 Seja A ∈ Mn×n qualquer com valores proprios λ1, λ2, . . . , λn e
tais que existem n vectores proprios x1, x2, . . . , xn linearmente independentes. Seja
S uma matriz da forma
S = [x1 x2 . . . xn]
ou seja, uma matriz cujos vectores coluna xi, com i = 1, . . . , n, sao os vectores
proprios de A associados, respectivamente, aos valores proprios λi , com i = 1, . . . , n.
Entao
S−1AS = Λ =
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
· · . . . ·0 0 . . . λn
(3.1)
Observacao: S e uma matriz invertıvel em virtude dos vectores colunas que a
constituem serem linearmente independentes.
Demonstracao. Comecamos por notar que a igualdade (3.1) e equivalente a AS =
SΛ.
Multiplicando A por S, obtemos uma matriz cujos vectores colunas sao Axi, onde
xi e um vector proprio de A. Logo
AS = [Ax1 Ax2 . . . Axn] = [λ1x1 λ2x2 . . . λnxn]
Mas
[λ1x1 λ2x2 . . . λnxn] = SΛ
como querıamos provar.
Exercıcio 1.3.13 Seja A uma matriz quadrada n×n. Seja S matriz quadrada n×n
nao singular tal que
Λ = S−1AS =
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
· · . . . ·0 0 . . . λn
.
Valores e Vectores Proprios 18
• Para todo o n ∈ N, calcule Λn.
• Verifique que A = SΛS−1.
• Usando a alınea anterior, calcule An para todo o n ∈ N.
• Pronuncie-se sobre a existencia de inverso de A e de Λ quando λi 6= 0 para
i = 1, . . . , n.
Exercıcio 1.3.14 Recorde que uma matriz A ∈Mn×n diz-se simetrica se
AT = A.
Mostre que os valores e vectores proprios de A coincidem com os valores proprios
de AT .
O teorema 1.3.12 garante-nos que uma matriz com n vectores proprios linearmente
independentes e diagonalizavel.
Suponhamos agora que A e diagonalizavel, i.e., que existem matrizes S, nao singular,
e Λ, diagonal, tais que S−1AS = Λ. Sejam x1, . . . , xn os vectores coluna de S. Entao
AS = A[x1, . . . , xn] = [Ax1, . . . , Axn] = ΛS = [λ1x1, . . . , λnxn, ]
ou seja, para cada i temos
Axi = λixi.
Deduzimos assim que os vectores coluna de S sao vectores proprios de A. Como S
e nao singular isto significa que os vectores proprios sao linearmente independentes.
Do que acabamos de provar e do teorema (1.3.12) concluimos que
Teorema 1.3.15 Uma matriz A e diagonalizavel se e so se A tiver n vectores
proprios linearmente independentes.
Valores e Vectores Proprios 19
1.4 Valores Proprios e Produto Interno
Estamos agora interessados em saber quando podemos determinar um conjunto de
vectores proprios que sejam ortogonais.
Designa-se por espaco euclideano um espaco linear X na qual se define um produto
interno 〈x, y 〉.
Num espaco euclideano X real (i.e., X e um espaco linear sobre o corpo dos reais)
o produto interno 〈x, y 〉 de dois elementos x, y ∈ X e um numero real com as
seguintes propriedades:
1. 〈x, y 〉 = 〈 y, x 〉.
2. 〈x + z, y 〉 = 〈x, y 〉+ 〈 z, y 〉.
3. 〈αx, y 〉 = α〈x, y 〉, α ∈ R.
4. 〈x, x 〉 > 0 se x 6= 0.
Num espaco euclideano X complexo (i.e., X e um espaco linear sobre o corpo dos
complexos) o produto interno 〈x, y 〉 de dois elementos x, y ∈ X e um numero
complexo com as propriedades:
1. 〈x, y 〉 = 〈 y, x 〉.
2. 〈x + z, y 〉 = 〈x, y 〉+ 〈 z, y 〉.
3. 〈αx, y 〉 = α〈x, y 〉, α ∈ C.
4. 〈x, x 〉 > 0 se x 6= 0.
onde z representa o conjugado de z.
Das propriedades 1 e 3 do produto interno de um espaco euclideano concluimos que,
sendo α ∈ C, vem
〈x, αy 〉 = α〈x, y 〉 (4.1)
Valores e Vectores Proprios 20
Seja entao X um espaco euclideano (real ou complexo) de dimensao n. Seja A uma
matriz actuando sobre X. Seja λ um valor proprio de A com um vector proprio x
associado. Observe-se que
〈Ax, x 〉 = 〈λx, x 〉 = λ〈x, x 〉.
Como x 6= 0, concluimos que (porque 〈x, x 〉 6= 0):
λ =〈Ax, x 〉〈x, x 〉
.
Concluimos tambem, de (4.1), que
λ =〈x, Ax 〉〈x, x 〉
.
Obviamente que λ ∈ R se e so se
〈x, Ax 〉 = 〈Ax, x 〉.
Lembremos que uma matriz A e Hermıtica se
AH = A,
onde AH = AT. Se as entradas de A forem todas reais, A e hermıtica se e so se A e
simetrica.
Teorema 1.4.1 Seja A uma matriz quadrada actuando sobre um espaco euclideano
X.
1. A matriz A e hermıtica se e so se, para todo o x, y ∈ X,
〈Ax, y 〉 = 〈x, Ay 〉.
2. Se A e uma matriz hermıtica, entao todos os seus valores proprios sao reais.
3. Se A e uma matriz hermıtica e se λ1 e λ2 sao dois valores proprios de A
distintos com vectores proprios respectivos x e y, entao
〈x, y 〉 = 0,
i.e., vectores proprios de uma matriz hermıtica associados a valores proprios
distintos sao ortogonais.
Valores e Vectores Proprios 21
Exercıcio 1.4.2 Demonstre o Teorema 1.4.1.
Lembremos que um conjunto de vectores {u1, . . . , un} de um espaco euclideano e
um conjunto ortonormal se
• || ui ||= 1 para i = 1, . . . , n,
• 〈ui, uj 〉 = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ n.
Lembremos ainda que se C = {c1, . . . , cn} e um conjunto de vectores ortogonais,
entao existe sempre um conjunto D = {d1, . . . , dn}, onde di = ci
||ci|| , com i = 1, . . . , n
ortonormal.
Teorema 1.4.3 Seja matriz A quadrada n×n hermıtica actuando sobre um espaco
euclideano X. Entao existem n vectores proprios de A x1, . . . , xn que formam uma
base ortonormal de X. A matriz A e entao semelhante a uma matriz diagonal
Λ =
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . λn
,
i.e., Λ = S−1AS, onde λi ∈ R sao os valores proprios de A e S e uma matriz cujos
vectores coluna sao x1, x2 . . . , xn.
A matriz S e tal que
S−1 = SH .
Este Teorema e demonstrado por inducao finita sobre n.
Definicao 1.4.4 Uma matriz quadrada M diz-se unitaria se for invertıvel e se
M−1 = MH . Uma matriz com entradas reais unitaria diz-se ortogonal.
Suponhamos que M e uma matrix unitaria. Entao
MMH = MHM = I.
Valores e Vectores Proprios 22
Por outro lado, se M e invertıvel e se MMH = MHM = I, entao M−1 = MH .
Assim, podemos dizer que uma matriz M invertıvel e unitaria se e so se MMH =
MHM = I.
Concluimos imediatamente que matriz Mcom entradas reais invertıvel e ortogonal
se e so se MMT = MT M = I.
Propomos os seguintes exercicios:
Exercıcio 1.4.5
• Seja M uma matriz quadrada cujos vectores coluna formam uma base ortonor-
mal de Rn. Mostre que M e uma matriz ortogonal.
Resolucao: Observe que M e uma matriz com entradas reais. Sejam xi, com
i = 1, . . . , n os vectores coluna de M .
MT M =
〈x1, x1 〉 〈x1, x2 〉 . . . 〈x1, xn 〉〈x2, x1 〉 〈x2, x2 〉 . . . 〈x2, xn 〉
...... . . .
...
〈xn, x1 〉 〈xn, x2 〉 . . . 〈xn, xn 〉
= I.
• Seja M uma matriz unitaria.Mostre que os vectores colina de M formam um
conjunto ortonormal.
• Mostre que se M e uma matrix unitaria ou ortogonal, entao det(M) = ±1.
Se A ∈Mn×n
• e uma matriz hermıtica
ou
• tem n valores proprios distintos
entao A tem n vectores proprios linearmente independentes. Logo, pelo teorema
1.3.12, A e diagonalizavel.
Valores e Vectores Proprios 23
1.5 Subespaco dos Vectores Proprios associado a
um Valor Proprio
Seja X um espaco qualquer de dimensao n sobre um corpo K e seja A ∈Mn×n(K).
Considere um subespaco C ⊂ X com a seguinte propriedade
∀x ∈ C, Ax ∈ C.
Um subespaco com esta propriedade designa-se por subespaco invariante por A.
Apos esta definicao regressamos aos valores e vectores proprios de matrizes quadradas.
Seja entao A uma matriz quadrada n× n e seja λ um valor proprio de A. Seja
E(λ) = {x 6= 0 : Ax = λx}⋃{0}.
Verifica-se que
• existe pelo menos um x 6= 0 tal que x ∈ E(λ), (E(λ)\{0} 6= ∅) i.e., existe pelo
menos um vector proprio associado ao valor proprio λ. Ver Teorema 1.3.2.
• se as entradas da matriz forem todas reais e se λ ∈ R, entao E(λ) pode ser
considerado um subespaco de Rn (ver Teorema 1.3.8).
• O conjunto de todos os vectores proprios associados a λ a que se junta o vector
nulo, E(λ), e um subespaco invariante por A, i.e.,
Ax ∈ E(λ) ∀x ∈ E(λ).
De facto, se x, y ∈ E(λ), entao Ax = λx e Ay = λy. Como A(x + y) =
λ(x + y) e A(αx) = α(Ax) = α(λx) = λ(αx), concluimos que x + y ∈ E(λ) e
αx ∈ E(λ). Logo E(λ) e subespaco. Alem disso, ∀x ∈ E(λ), vem Ax = λx e
A(λx) = λ(λx). Isto e, se x ∈ E(λ), entao Ax ∈ E(λ). Logo E(λ) e subespaco
invariante.
Definicao 1.5.1 Seja A uma matriz quadrada. Sendo λ um valor proprio de A, o
subespaco E(λ) designa-se por subespaco proprio associado a λ.
Valores e Vectores Proprios 24
A dimensao do subespaco E(λ) associado a um valor proprio λ de multiplicade
algebrica m designa-se multiplicidade geometrica do valor proprio.
Dado uma valor proprio λ de multiplicidade algebrica m, como determinar a mul-
tiplicidade geometrica µ de λ? Os vectores proprios associados a λ sao os vectores
x 6= 0 que sao solucao da equacao
(A− λI)x = 0.
Por analogia com o que fizemos quando estudamos tranformacoes lineares, define-se
nucleo de uma matriz B como sendo o conjunto
N (B) = {x : Bx = 0}.
Qualquer vector proprio associado a um valor proprio λ sera entao um elemento do
N (A− λI). Facilmente concluimos que
N (A− λI) = E(λ).
Assim, a multiplicidade geometrica µ de λ e
µ = dimE(λ) = dimN (A− λI).
Teorema 1.5.2 A multiplicidade algebrica de um valor proprio e sempre maior ou
igual a multiplicidade geometrica desse valor proprio.
Demonstracao. Seja entao λ um valor proprio de A com multiplicidade algebrica
m e multiplicidade geometrica µ. Sejam x1, . . . , xµ os vectores proprios de A as-
sociados a λ linearmente independentes e seja S ∈ Mn×n nao singular tal que os
primeiros µ vectores coluna sao os vectores proprios xi. Entao
S−1AS =
[λIµ ∗0 ∗
],
onde ∗ indica matrizes que nao conhecemos e Iµ e a matriz identidade com µ linhas
e µ colunas. Quer isto dizer que A e semehante a matriz de blocos M =
[λIµ ∗0 ∗
].
Valores e Vectores Proprios 25
No bloco λIµ o valor proprio aparece µ vezes na diagonal principal. Como matrizes
semelhantes tem os mesmo valores proprios (ver exercıcio 1.3.7), concluimos que λ
e valor proprio de M e de A de multipliciadade algebrica pelo menos µ.
De seguida apresentamos 3 exemplos de matrizes que tem valores proprios com
multiplicidade geometrica diferente.
Exemplo 1.5.3 Apresentamos primeiro um exemplo de uma matriz cujos valores
proprios tem todos multiplicidade algebrica e geometrica 1.
Seja
A =
2 1 1
2 3 4
−1 −1 −2
.
O polinomio caracterıstico de Ae
det(A− λI) = det
2− λ 1 1
2 3− λ 4
−1 −1 −2− λ
= (1− λ)(−1− λ)(3− λ).
Entao A tem 3 valores proprios reais e distintos: 1, −1 e 3. A multiplicidade
algebrica de cada um destes valores propios e 1.
Vamos calcular os vectores proprios associados a λ = 1. Temos que resolver o
sistema (A− I)x = 0, onde x =
x
y
z
, i.e.,
2− 1 1 1
2 3− 1 4
−1 −1 −2− 1
x
y
z
=
0
0
0
.
Valores e Vectores Proprios 26
Verifica-se que o conjunto de solucoes deste sistema e
S =
x
y
z
: z = 0 e x + y = 1
=
x
−x
0
Entao os vectores proprios associados a λ = 1 sao vectores da forma x1 = α
1
−1
0
,
sendo α 6= 0 um escalar. Quer isto dizer que E(1) e o subespaco gerado pelo vector1
−1
0
.
De forma analogo verifica-se que os vector proprios associados a −1 sao da forma
x2 = α
0
1
−1
com α 6= 0 e que os os vector proprios associados a 3 sao da forma
x3 = α
2
3
−1
com α 6= 0.
Assim, todos os valores proprios de A tem multiplicidade geometrica 1.
O teorema 1.3.10 garante-nos que os vectores1
−1
0
,
0
1
−1
,
2
3
−1
Valores e Vectores Proprios 27
sao linearmente independentes. A matriz A e assim uma matriz diagonalizavel.
Valor Proprio λ Vectores Proprios dim E(λ)
1 α
1
−1
0
, α 6= 0 1
−1 α
0
1
−1
, α 6= 0 1
3 α
2
3
−1
, α 6= 0 1
Os tres vectores proprios de A sao linearmente independedntes e formam uma base
de R3. A matriz que nos permite passar da base dos vectores proprios {x1, x2, x3}para a base canonica B e
P = [(x1)B, (x2)B, (x3)B] =
1 0 2
−1 1 3
0 −1 −1
.
Assim
A = P
1 0 0
0 −1 0
0 0 3
P−1,
onde
P−1 =
12
−12
−12
−14
−14
−54
14
14
14
.
A matriz A e diagonalizavel.
Valores e Vectores Proprios 28
Exemplo 1.5.4 Seja
A =
1 1 2
0 3 1
0 0 1
.
O polinomio caracterıstico de Ae
det(A− λI) = det
1− λ 1 2
0 3− λ 1
0 0 1− λ
= (1− λ)2(3− λ).
Entao A tem 2 valores proprios reais : 1, de multiplicidade algebrica 2, e 3 e mul-
tiplicidade algebrica 1.
Vamos calcular os vectores proprios associados a λ = 1. Temos que resolver o
sistema (A− I)x = 0, onde x =
x
y
z
, i.e.,
0 1 2
0 2 1
0 0 0
x
y
z
=
0
0
0
.
Verifica-se que o conjunto de solucoes deste sistema e
S =
x
y
z
: y = z = 0
=
x
0
0
Entao os vectores proprios associados a λ = 1 sao vectores da forma x1 = α
1
0
0
,
Valores e Vectores Proprios 29
sendo α 6= 0 um escalar. Quer isto dizer que E(1) e o subespaco gerado pelo vector1
0
0
.
Assim 1 e um valor proprio de multiplicidade algebrica 2 e multiplicidade geometrica
1.
De forma analogo verifica-se que os vector proprios associados a 3 sao da forma
x2 = α
1
2
0
com α 6= 0. O teorema 1.3.10 garante-nos que os vectores
1
0
0
,
1
2
0
sao linearmente independentes.
Valor Proprio λ Vectores Proprios dim E(λ)
1 α
1
0
0
, α 6= 0 1
3 α
1
2
0
, α 6= 0 1
O conjunto dos vectores proprios de A nao forma uma base de R3. A matriz A nao
e diagonalizavel.
Valores e Vectores Proprios 30
Exemplo 1.5.5 Seja
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
.
O polinomio caracterıstico de Ae
det(A− λI) = det
2− λ 1 1
1 2− λ 1
1 1 2− λ
= (1− λ)2(4− λ).
Entao A tem 2 valores proprios reais : 1, de multiplicidade algebrica 2, e 4 e mul-
tiplicidade algebrica 1.
Vamos calcular os vectores proprios associados a λ = 1. Temos que resolver o
sistema (A− I)x = 0, onde x =
x
y
z
, i.e.,
1 1 1
1 1 1
1 1 1
x
y
z
=
0
0
0
.
Este sistema fica reduzido a uma so equacao
x + y + z = 0.
O conjunto de solucoes deste sistema e
S =
x
y
z
: x = −y − z
Entao os vectores proprios associados a λ = 1 sao vectores da forma x1 = α
1
−1
0
,
sendo α 6= 0 um escalar, e x2 = β
1
0
1
, sendo β 6= 0 um escalar. Quer isto dizer
Valores e Vectores Proprios 31
que E(1) e o subespaco gerado pelos vectores1
−1
0
1
0
−1
.
Quer isto dizer que o valor proprio 1 tem multiplicidade algebrica 2 e multiplicidade
geometrica 2.
De forma analogo verifica-se que os vector proprios associados a 4 sao da forma
x2 = α
1
1
1
com α 6= 0. Deducimos tambem que os vectores
1
−1
0
,
1
0
−1
,
1
1
1
sao linearmente independentes (justifique!).
Valor Proprio λ Vectores Proprios dim E(λ)
1 α
1
−1
0
, β
1
0
−1
α, β 6= 0 2
4 α
1
1
1
, α 6= 0 1
Mostramos que A tem 3 vectores proprios linearmente independentes. Esses tres
vectores proprios formam uma base de R3. A matriz A e portanto diogonalizavel,
Valores e Vectores Proprios 32
pois e semehante a uma matriz diagonal. Seja
S =
1 1 1
−1 0 1
0 −1 1
.
Esta e a matriz que nos permite passar da base dos valores proprios para a base
canonica de R3. Entao, a matriz que nos permite passar da base canonica para a
base dos vectores proprios e
S−1 =
13
−23
13
13
13
−23
13
13
13
e
S−1AS =
1 0 0
0 1 0
0 0 4
.
Capıtulo 2
Formas de Jordan
Como vimos no exemplo anterior, existem matrizes emMn×n que nao tem n vectores
proprios linearmentre independentes e que, portanto, nao podem ser diagonalizavel.
Para estes casos pretendemos entao determinar matrizes semelhantes com a forma
mais simples possıvel e o “mais proximas” possıvel das matrizes diagonais.
Considere-se uma matriz A de Mn×n tal que
det(A− λI) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)
m2 . . . (λ− λr)mr ,
onde m1 + m2 + . . . + mr = n.
Como se sabe, diz-se que λi e valor proprio de A de multiplicidade algebrica mi.
Observe-se que se λi e valor proprio de A, entao det(A − λiI) = 0 o que significa
que a matriz A − λiI e singular. Entao, e como ja referimos, tem que existir pelo
menos um vector prorpio associado a λi.
Suponhamos que a λi estao associados µi ≥ 1 vectores proprios linearmente inde-
pendentes (o numero de vectores proprios e igual a dimensao do nucleo de A−λiI).
O numero de vectores proprios, µi, designa-se por multiplicidade geometrica do
valor proprio λi.
Regressemos agora a matriz A de Mn×n tal que
det(A− λI) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)
m2 . . . (λ− λr)mr ,
33
Formas de Jordan 34
onde m1 + m2 + . . . + mr = n. Sabemos ja que 1 ≤ µi ≤ mi, ou seja, µ1 + µ2 +
. . . + µr ≤ n. Se µ1 + µ2 + . . . + µr = n, entao a matriz e diagonalizavel. E quando
µ1 + µ2 + . . . + µr < n?
Para responder a esta pergunta comecemos por introduzir algumas definicoes.
Definicao 2.0.6 Um bloco de Jordan e uma matriz Jp = [βij] ∈Mp×p, onde βij
sao as entradas dessa matriz, tal que
• βii = β com i = 1, . . . , p, ou seja, todos os elementos da diagonal principal sao
iguais;
• βii+1 = 1 (entrada da linha i e coluna i + 1), com i = 1, . . . , p− 1.
• todos os restantes elementos sao 0.
ou seja,
Jp(β) =
β 1 0 . . . 0
0 β 1 . . . 0
0 0 β . . . 0
· · · . . . ·0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . β
.
Definicao 2.0.7 Uma matriz de Jordan e uma matriz J ∈Mn×n tal que
J =
J1(λ1) 0 . . . 0
0 J2(λ2) . . . 0
· · . . . ·0 0 . . . Jk(λk)
(0.1)
onde cada Ji(λi) (i = 1, . . . , k) e um bloco de Jordan ni×ni e tal que n1 +n2 + . . .+
nk = n. Os escalres λi nao sao necessariamente distintos.
Uma matriz de Jordan tem uma estrutura simples que faz com que as suas pro-
priedades sejam de verificacao simples.
Formas de Jordan 35
Algumas Propriedades da uma Matriz de Jordan
1. O numero de blocos de Jordean k e igual ao numero de vectores proprios de
J linearmente independentes;
2. Os valores proprios de J sao os escalres que aparecem na diagonal principal
de J ;
3. A matriz J e uma matriz diagonal se k, o numero de blocos de Jordan, e igual
a n;
4. O numero de blocos de Jordean correspondentes a um dado valor proprio λ
e igual a multiplicidade geometrica desse valor proprio e igual a dimensao do
espaco proprio E(λ) que lhe esta associado.
5. A soma das ordens de todos os blocos de Jordan associados ao mesmo valor
proprio e igual a multiplicidade algebrica desse valor proprio.
6. Uma matriz de Jordan nao fica imediatamente definida se conhecermos os
seus valores proprios e as respectivas multiplicidades algebrica e geometrica.
Precisamos de conhecer tambem as ordens dos blocos de Jordan.
7. As ordens dos blocos de Jordan sao calculadas como de seguida se ilustra.
Seja J uma matriz de Jordan de ordem 6 definida por
J =
4 1 0 0 0 0
0 4 1 0 0 0
0 0 4 0 0 0
0 0 0 4 1 0
0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 4
.
Esta matriz tem 3 blocos de Jordan. Identifique-os.
Formas de Jordan 36
Ora
J − 4I =
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
,
(J − 4I)2 =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
,
(J − 4I)3 =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
.
Deduzimos que
• matriz (J − 4I)3 e a matriz nula;
• a caracterıstica da matriz (J − 4I)2 e 1;
• a caracterıstica da matriz (J − 4I) e 3;
• a matriz J e uma matriz 6× 6.
Como (J − 4I)3 e a matriz nula, entao para todo o n > 3, a caracterıstica da
matriz (J − 4I)n e 0 para todo o n > 3. Entao 3 e a ordem do maior bloco de
Jordan de J .
Formas de Jordan 37
O numero de bloco de Jordan de ordem 3 e igual a caracterıstica de (J − 4I)2,
que e 1.
A caracterıstica da matriz (J − 4I) e duas vezes o numero de blocos de ordem
3 mais o numero de blocos de ordem 2. Logo existe 1 bloco de ordem 2.
O numero de blocos de ordem 1 e 6− 2 ∗ 1− 3 ∗ 1 = 1.
Em geral, seja J uma matriz de Jordan n × n com um so valor proprio λ.
Seja k o mais pequeno numero tal que (J − λI)k = 0.
• Entao a ordem do maior bloco de Jorden e k.
• A caracterıstica da matriz (J − λI)k−1 e igual ao numero de blocos de
ordem k.
• A caracterıstica da matriz (J − λI)k−2 e igual a 2 vezes o numero de
blocos de ordem k mais o numero de blocos de ordem k − 1.
• A caracterıstica da matriz (J − λI)k−3 e igual a 3 vezes o numero de
blocos de ordem k, mais 2 vezes o numero de blocos de ordem k−1, mais
o numero de blocos de ordem k − 2 e por aı fora.
8. Sendo J uma matriz de Jordan qualquer o tamanho de todos os blocos de
Jordan fica determinado quando conhecemos as caracterıstica de algumas ma-
trizes. Se λ1 e valor proprio de uma matriz de Jordan J , quando calculamos a
caracterıstica de (J − λ1I) e das suas potencias so obtemos informacao sobre
os blocos de Jordan associados ao valor proprio λ1, porque os elementos da
diagonal de todos os outros blocos de Jordan mantem-se diferentes de 0. Uma
analise das caractrısticas das matrizes da forma (J−λ1I)j, como a exposta em
cima, e suficiente para determinar os tamanhos e numero de blocos de Jordan
correspondentes a esse valor proprio. O mesmo tipo de analise devera ser feito
para todos os valores proprios de Jordan.
Como vimos atras, nem sempre podemos diagonalizar uma matriz. Felizmente qual-
quer matriz com valores proprios pode sempre ser escrita na forma de Jordan como
se verifica:
Formas de Jordan 38
Teorema 2.0.8 Uma matriz matriz A ∈Mn×n tal que
det(A− λI) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)
m2 . . . (λ− λr)mr
e semelhante a uma matriz J na forma de Jordan:
Q−1AQ = J =
J1 0 . . . 0
0 J2 . . . 0
· · . . . ·0 0 . . . Jµ
(0.2)
onde cada Ji e um bloco de Jordan ni × ni e µ1 + µ2 + . . . + µr = µ e a soma
das multiplicidades geometricas de cada um dos valores proprios distintos λi de A.
Cada valor proprio de A de multiplicidade algebrica mi e multiplicidade geometrica
µi aparece mi vezes na diagonal principal da matriz J e existem µi blocos de Jordan
associados a ele.
Suponhamos entao que A ∈ Mn×n e semelhante a uma matriz J de Jordan. Como
determinar o numero de blocos de Jordan de J? O procedimento para o fazer e
em tudo similar ao procedimento descrito para determinar a ordem dos blocos de
Jordan de J . Devemos entao:
• Determinar todos os valores proprios de A.
• Para cada valor proprio de A, λi distinto, calcular as matrizes (A − λiI)k
para k = 1, 2, . . . , n e analisar a sucessao das caracterısticas de cada uma das
matrizes de forma a determinar a ordem e numero de blocos de Jordan de A
correspondentes ao valor proprio λi exactamente como descrito em cima.
Observe-se que o que ficou descrito foi a determinacao de numero e ordem dos blocos
de Jordan de A e nao a determinacao da matriz mudanca de base Q referida no
teorema anterior. Vamos abordar a determinacao dessa mesma matriz de seguida.
Comecemos com um exemplo simples.
Formas de Jordan 39
Exemplo 2.0.9 Seja A uma matriz quadrada de ordem 4 que sabemos semelhante
a uma matriz de Jordan da forma
J =
4 1 0 0
0 4 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
.
Sabemos assim que A tem tres valores proprios, 1, 3 e 4. Os valores proprios 1 e 3
sao de multiplicidade algebrica 1 e 4 de multiplicidade algebrica 2. Como so existe
um bloco de Jordan associado a 4 concluimos que este valor proprio tem multipli-
cidade geometrica 1. Quer isto dizer que so existe um vector proprio associado a
4.
A matriz A e semelhante a matriz J . Entao existe uma matriz Q tal que
Q−1AQ = J =
4 1 0 0
0 4 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
.
Observe-se que Q−1AQ = J e equivalente a AQ = QJ .
Como determinar a matriz mudanca de base Q? Para a matriz A existem 3 vectores
proprios, cada um deles associado a um dos valores proprios. Para termos uma base
de R4 precisamos de mais um vector que seja linearmente independentes com os 3
vectores proprios.
Seja Q uma matriz cujas vectores colunas designamos por v11, v12, v21 e v31, onde
v11, v21 e v31 sao vectores proprios associados, respectivamente, a 4, 3 e 1. Entao,
lembrando que AQ = QJ , vem
Av11 = 4v11 Av12 = 4v12 + v11 Av21 = 3v21 Av31 = v31
O vector v12, que se relaciona com o vector proprio v11 associado ao valor proprio
4, designa-se por vector proprio generalizado. Como a matriz Q e invertıvel, os
3 vectores proprios conjuntamente com o vector proprio generalizado, formam um
conjunto de vectores linearmente independentes.
Formas de Jordan 40
Pode-se facilmente verificar que o subespaco linear gerado por v11 e v12 e invariante
por A.
Exemplo 2.0.10 Consideremos duas matrizes escritas ja na forma de Jordan J1 e
J2. Sejam
J1 =
4 1 0 0 0
0 4 1 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 4 1
0 0 0 0 4
J2 =
4 1 0 0 0
0 4 0 0 0
0 0 4 1 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 4
Relativamente a estas duas matrizes concluimos que:
• Ambas tem um so valor proprio λ = 4 com multiplicidade algebrica 5.
• A matriz J1 tem 2 blocos de Jordan; logo o valor proprio 4 tem multiplicidade
geometrica 2. Existem assim dois vectores proprios, v11 = (1, 0, 0, 0, 0) e v21 =
(0, 0, 0, 1, 0), v11 associado ao bloco de Jordan de ordem 3 e v21 associado ao
bloco de Jordan de ordem 2. O v11 = (1, 0, 0, 0, 0) esta tambem associado a
dois vectores proprios generalizados: v12 = (0, 1, 0, 0, 0) e v13 = (0, 0, 1, 0, 0).
RealmenteJ1v12 = 4v12 + v11
J1v13 = 4v13 + v12
O vector proprio v21 = (0, 0, 0, 1, 0) esta associado um vector proprio general-
izado v22 = (0, 0, 0, 0, 1):
J1v22 = 4v22 + v21
O subespaco linear gerado por v11, v12 e v13 e invariante por J1 e o subespaco
gerado por v21 e v22 tambem e (verifique!). Ou seja, cada vector proprio con-
juntamente com os vectores proprios generalizados que lhes estao associados
geram um subespaco invariante.
• A matriz J2 tem 3 blocos de Jordan; logo o valor proprio 4 tem multiplici-
dade geometrica 3. Existem tres vectores proprios, v11 = (1, 0, 0, 0, 0), v21 =
(0, 0, 1, 0, 0) e v31 = (0, 0, 0, 0, 1), cada um deles associado a um bloco de
Formas de Jordan 41
Jordan. O vector v11 = (1, 0, 0, 0, 0) esta associado ao primeiro bloco de
Jordan, um bloco 2 × 2, e esta associado a um vector proprio generalizado:
v12 = (0, 1, 0, 0, 0). O vector proprio v21 = (0, 0, 1, 0, 0) esta associado ao se-
gundo bloco de Jordan, 2× 2, e esta associado ao vector proprio generalizado
v22 = (0, 0, 0, 1, 0). O terceiro vector proprio v31 = (0, 0, 0, 0, 1) esta associado
a um bloco 1 × 1 e nao existe qualquer vector proprio generalizado que lhe
esteja associado. Realmente
Jv11 = 4v11
Jv12 = 4v12 + v11
Jv21 = 4v21
Jv22 = 4v22 + v21
Jv31 = 4v31
Esta matriz tem assim 3 subespacos invariantes: o subespaco gerado por v11 e
v12, o subespaco gerado por v21 e v22 e o subespaco gerado por v13 (verifique!).
Para determinar apresentamos um teorema que resume as propriedades de uma
matriz quadrada qualquer. A demonstracao de algumas das conclusoes inseridas
neste teorema nao e aqui apresentada em prol da simplicidade. O aluno interessado
devera consultar alguma da literatura que mencionamos no final.
Teorema 2.0.11 Seja A uma matriz de Mp×p com um conjunto de µ = µ1+. . .+µs
vectores proprios linearmente independentes associados a valores proprios distintos
λ1, . . . , λs, onde λi tem multiplicidade algebrica mi e multiplicidade geometrica µi
com i = 1, . . . , s. Entao existem inteiros positivos n1, . . . , nµ, com n1 + n2 + . . . +
nµ = p e um conjunto de p vectores linearmente independentes vrj, r = 1, . . . , µ e
j = 1, . . . , nr tal que
• O conjunto
{v11, v21, . . . , vµ1},
formado por todos os vectores proprios de A e um conjunto linearmente inde-
pendente;
Formas de Jordan 42
• Para cada r, com r = 1, . . . , µ, o conjunto
{vr1, vr2, . . . , vrnr}
gera um subespaco invariante por A, subespaco esse que nao pode ser decom-
posto em dois subespacos nao triviais com vectores nao zero em comum;
• Se λ e o valor proprio associado ao vector proprio vr1, entao, os vectores
vrj, j ∈ {2, . . . , nr}, sao designados por vectores proprios generalizados
associados com λ e satisfazem
Avrj = λvrj + vr,j−1
Exercıcio 2.0.12 Considere a matriz
A =
4 1 −6 −11
0 4 −1 −6
0 0 3 −2
0 0 0 1
.
Calcule os valores proprios e os respectivos vectores proprios. Escreva a matriz de
Jordan associada a A e determine a matriz Q de mudanca de base.
BIBLIOGRAFIA
• Calculus de T. M. Apostol. Editora: Xerox College Publishing.
• Applied Linear Algebra de Ben Noble e James J. Daniel. Editora: Prentice
-Hall, 1988.
• Curso de Algebra Linear e Geometria Analıtica, de E. Giraldes, V. H. Fernan-
des e M. Paula Marques Smith. Editora: McGraw Hill, 1995.
• Elementary Linear Algebra: Applications Version, de Anton Rogers. Editora:
John Wiley and Sons, 2000.
• Matrix Analysis, de Roger A. Horn e Charles R. Johnson. Editora: Cambridge
University Press, 1985.