integral de linea , integral de superficie y aplicaciones.pdf
APLIKASI INTEGRAL -...
Transcript of APLIKASI INTEGRAL -...
Sydney Opera House di design berdasarkan
irisan-irisan bola. Banyak persamaan diferensial
diselesaikan (dalam menyelesaikannya
menggunakan integral) pada design gedung tsb
CRASH TESTS
Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh yang
beresiko tinggi untuk terluka yg menyebabkan kematian
adalah kepala. Karena itu, di dalam mobil perlu dipasang
alat-alat pengaman seperti sabuk pengaman dan airbag.
9
2xy
Luas daerah di bawah
kurva berdsar
prinsip Riemaan
2xy
Indikator 1 Indikator 2
xxy 42
PENERAPAN INTEGRAL
Volume benda putar, jika kurva
diputar mengelilingi sumbu Y
=
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
= 16 – 8 + 2 + 2 = 12
2
1
2 dx 46 xx 2123 22 xx
Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah nilai dari
2
1
2 dx 46 xx
Contoh 1 :
Jawab
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Teorema Dasar Kalkulus
)(F)(F )( abdxxfb
a
bax)(F
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
y
x
0 a bx
y
a
x
0 b
b
a
dxxf )(
Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
Tentukan limitnya
n
)(xf
n
iii xxf
1)(
)(xf
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
i
n
ii
n
b
a
xxfdxxfL 1
)()( lim
Kegiatan pokok dalam menghitung luas
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi
Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
L f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi
6. Nyatakan dalam integral
x
0
y)(xfy
a
xi
xi
)( ixfLi
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
a
dxxf0
)(L
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Contoh 1.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi
4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim xi2 xi
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
3
2)( xxf
dxx3
0
2L
903
333
03
3L
x
Li
xi
xi
2ix
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4
Contoh 2.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya L xi.y
4. Jumlahkan luasnya L y. y
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim y. y
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
4
dyy4
0
.L
3
168.
3
2
3
2L
4
0
2
3
y
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
xi
2)( xxf
y
y
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A
-(4xj - xj2)xj
4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi
dan A = lim -(4xj - xj2)xj
5. Nyatakan dalam integral
y
0x64
24)( xxxf
dxxx 4
0
2)4(L dxxx
6
4
2 )4(A
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 6
Contoh 3.
Jawab
dxxx 4
0
2)4(L
dxxx
6
4
2 )4(A
y
0x64
24)( xxxf
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
40
33122L xx
3643
312 320)4()4(2L
64
3
3122A xx
3
3123
312 )4()4(2)6()6(2A
364
3216 3272A
40A3
152
3
1214032daerah Luas
3152
364
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Kesimpulan :
b
a
dyxL .b
a
dxyL .
y
0
x
y
y
x
0
)(xfy xi
xi
)( ixf
y
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x
4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
y
ba
)(xfy
)(xgy
0
xLi
x
x
)()( xgxf
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
dxxgxfb
a )()(L
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x
Contoh 4.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (2 - x - x2)x
5. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx
1
2
2)2(L 0
x
1 2-1-2-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1-2-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
1232
32
2L
xxx
3
3)2(
2
2)2(
3
312
21 )2(2)1(2L
38
31
21 242L
38
31
21 242L
21
21 45L
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Untuk kasus tertentu pemartisian
secara vertikal menyebabkan ada
dua bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama untuk
menghitungnya.
)(xfy
y
a b
Lix
x
)()( xgxf
)(2 xf
Ai
0
x
)(xgy
Luas daerah = a
dxxf0
)(2 b
a
dxxgxf )()(
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy y
0
x
)()( ygxxgy
Luas daerah = d
c
dyyfyg )()(
Li y
c
d
)()( yfyg
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Contoh 5.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
5. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
0
6
Liy
y
2)6( yy
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
0
6
Li yy
2)6( yy
Luas daerah =
2
03
3
2
26
yy
y
Luas daerah = 03
3224)2(6
Luas daerah =
38212
Luas daerah = 3
22
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu. Gb. 4
Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
0 x
y
x
0
x
1 2-
2
-
1
y
1
2
3
4
PERLU DI INGAT !!!!!
RUMUS DASAR TABUNG :
>> LUAS PERMUKAAN TABUNG
L = 2 x π x jari-jari x tinggi
L = 2 π r t
>> VOLUME TABUNG
V = luas alas x tinggi
V = π x (jari-jari) 2 x tinggi
V = π r 2 t
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat dianalogikan
seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-
motongnya sehingga tiap
potongan berbentuk cakram.
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V r2h atau V f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 x
dxxfa0
2)]([v
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfr
dxy
a
0
2V
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfr
dxy
a
.V0
2
x
h=y
)(yfxr
y
y
y
x
)()( yfxxfy
x
y
)(xfy
dyx
a
0
2.V
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 6.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Nyatakan dalam bentuk
integral.
y
2x
12 x
x
12 xy
1
y
h=x
x
x
12 xr
x
Jawab
dxyV
2
0
.2
dxxV
2
0
22 )1(
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
y
h=x
x
x
12 xr
dxxV
2
0
22 )1(
dxxxV
2
0
24 )12(
20
3325
51 xxxV
1511
316
532 13)02( V
dxyV
2
0
.2
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
2
y
y
2xy
x
y
y
x
y
h=y
y
yr
Jawab
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
dyyV
2
0
20
2
21 yV
)04(21 V
x
y
h=y
y
yr
2
dyyV
2
0
2V
dyxV
2
0
2. y = x2
Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotong-
motongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= (R2 – r2)h
h
r
R
dan
b
a
dxyyV .2
2
2
1
b
a
dyxxV .2
2
2
1
Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
x2
2x
y
x
Jawab
Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
y
x
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
r=x2
R=2x
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
dxxxV 2
0
42 )4(
20
5513
34 xxV
)(532
332 V
)(15
96160 V
1564V
dxyyV
2
0
2
2
2
1 )(
Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral. 0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
Jawab
Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume roti pada
gambar disamping.
Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
rr
h
h
2rΔr
V = 2rhΔr
a b
b
a
dxyxV ..2
Dimana x merupakan jari-jari (r) dan y merupakan tinggi tabung (h)