APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva...
Transcript of APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva...
![Page 1: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/1.jpg)
1
APLIKASI
INTEGRAL TENTU
![Page 2: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Aplikasi Integral Tentu
థ Luas diantara 2 kurva
థ Volume benda dalam bidang
(dengan metode cakram dan cincin)
థ Volume benda putar
(dengan metode kulit tabung)
థ Luas permukaan benda putar
థ Momen dan pusat massa
![Page 3: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/3.jpg)
3
1. LUAS DIANTARA 2 (DUA) KURVA
![Page 4: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Cara menghitung :
1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang
sama besar kemudian tentukan irisan ke-i
dengan membuat persegi panjang beralas x
dan tinggi f(xi*)- g(xi*)
![Page 5: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/5.jpg)
5
2. Jumlahkan semua persegi panjang yang
telah dibuat
3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan
![Page 6: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Luas A yang dibatasi kurva
y=f(x), y=g(x) dan garis x=a,
x=b dengan f dan g kontinu
dan f(x) ≥ g(x) untuk semua
x pada selang [a,b] adalah
b
a
dx g(x)][f(x)A
Luas A dari S sebagai nilai
limit dari jumlah persegi
panjang
xxgxfAn
iii
n
Δ )()(1
**lim
![Page 7: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh
parabola y = x2 dan y = 2x-x2
![Page 8: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh
parabola y = x2 dan y = 2x-x2
* Cari titik potong batas atas dan bawah
y1 = y2
x2 = 2x-x2
2x2-2x
x (x-1) = 0
Jadi x = 0 atau x = 1
Titik potongnya = (0,0) dan (1,1)
y1= x2 dan y2 = 2x-x2
Luas persegi panjang khas :
(y2-y1)x = (2x-x2-x2)x
Daerah terletak diantara
x=0 dan x=1
![Page 9: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Luas total
3
1
3
1
2
12
x3
1x
2
12
)dxx(x2)dx2x(2xA
1
0
32
1
0
1
0
22
![Page 10: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/10.jpg)
10
2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG
Volume benda padat yang luas penampangnya
A(x) dan berada antara x=a dan x=b adalah
bn*i
n i 1 a
V A(x )Δx A(x)dxlim
Langkah-langkah mencari :
1.Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari
2.Carilah luas A(x)
3.Carilah batas-batas integrasi
4.Integralkan
![Page 11: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/11.jpg)
11
METODE CAKRAM
1. Tentukan volume benda putar yang dibentuk
oleh daerah R yang dibatasi kurva y=x, sumbu
x dan garis x=4, bila R diputar mengelilingi
sumbu x.
Volume = A x h
= (x)2 . x
![Page 12: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Bila volume tabung2 dijumlahkan lalu diintegralkan
13.2582
16
2
1
dxx
4
0
2
4
0
ππxπ
πV
![Page 13: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/13.jpg)
13
METODE CINCIN
Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak
lurus pada sumbu putarnya kita akan
memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian
tengahnya (disebut cincin)
V= (r22-r1
2)h
r1 = jari-jari dalam
r2 = jari-jari luar
h = tebal cincin
![Page 14: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Contoh : Tentukan volume benda putar apabila
daerah yang dibatasi oleh parabola y=x2
dan y2=8x diputar mengelilingi sumbu x.
Titik potong (0,0) dan (2,4)
V [ (8x)2- (x2)2 ] x
![Page 15: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/15.jpg)
15
30,165
482
05
5x
2
28x
dx )2
0
4x-(8x Volume
ππ
π
Titik potong (0,0) dan (2,4)
![Page 16: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/16.jpg)
16
3. VOLUME BENDA PUTAR : KULIT TABUNG
Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi
oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu
simetrinya berimpit.
V=(luas alas) . (tinggi)
= (r22- r1
2) h
= (r2 + r1) (r2 - r1) h
1212 rr h
2
rr2
π
![Page 17: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/17.jpg)
17
sehingga
V= 2 * (rerata jejari) * tinggi * tebal
V= 2 r h r
![Page 18: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Jika dibuat potongan jalur yang vertikal dan diputar
mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk benda
seperti kulit tabung.
![Page 19: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Untuk memperoleh volume,
hitung V dari kulit tabung,
jumlahkan lalu tarik limit
jumlahnya shg menghasilkan
sebuah integral
b
a
dx f(x)x 2V
x f(x) x 2V
π
ΔπΔ
![Page 20: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x,
sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar
mengelilingi sumbu y.
Tentukan volume benda yang terbentuk
dengan metode kulit tabung
![Page 21: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x,
sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar
mengelilingi sumbu y.
Tentukan volume benda yang terbentuk
dengan metode kulit tabung
32,293
281.8.
3
22
x3
22
dx x2 dxx 2V
32
4
1
23
4
1
214
1 x
1
Jawab
b
a
dx f(x)x 2V
x f(x) x 2V
π
ΔπΔ
![Page 22: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/22.jpg)
22
4. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR
Diketahui x=f(t) dan y=g(t), atb, adl pers kurva licin
pada bidang xy yang terbagi menjadi n bagian.
Bila kurva itu diputar mengelilingi sumbu x, ia akan
membentuk suatu permukaan dan bagian Si akan
membentuk permukaan bagian.
Luas bagian ini dpt didekati oleh luas kerucut
terpancung yakni 2yiSi
![Page 23: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Kurva y=f(x) pada batas axb, diputar
mengelilingi sumbu x, maka luasnya adalah
dx (x)f 1 f(x)2yds2b
a
2 '**
* ππA
![Page 24: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/24.jpg)
24
5. MOMEN DAN PUSAT MASSA
Hasilkali massa m dan jarak berarah dari suatu
titik disebut momen benda thd titik tersebut
Jumlah momen M suatu sistem yg terdiri dari n massa
sebesar m1, m2,…mn yg berada pd x1,x2,…xn, yaitu :
i
n
1iimx
M= x1m1 + x2m2+…+ xnmn =
x
m
M = x . m
![Page 25: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Syarat keseimbangan M = 0
m1m2 m3
mn-1 mn
x1 x2 0 x3xn-1 xn
Dimanakah koordinat x titik seimbang itu?
(Misalnya titik seimbang = x), maka momen sistem
HARUS NOL
(x1-x)m1 + (x2-x)m2+…+ (xn –x)mn = 0
atau
x1m1 + x2m2+…+ xnmn = xm1+xm2 +…+xmn
![Page 26: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/26.jpg)
26
sehingga
n
1ii
n
1iii
m
mx
m
Mx
x dinamakan pusat massa dan titik ini seimbang
![Page 27: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Titik berat kawat yang berada pada suatu sistem
koordinat dimana kepadatannya sebesar (x) adalah
Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis
0 a b
x
x
b
a
dx δ(x)m
x δ(x)m ΔΔ
sehingga
b
a
b
a
dx (x)
dx (x)x
m
M x
δ
δ
![Page 28: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Distribusi massa pada bidang
(x1,y1)
(xn,yn)
m1
mn
m2
m3
(x2,y2)
(x3,y3)
Jumlah momen
i
n
1iiy
i
n
1iix
mxM
myM
y,xKoordinat titik berat sistem tersebut :
n
1ii
n
1iii
y
m
mx
m
Mx
n
1ii
n
1iii
x
m
my
m
My
![Page 29: APLIKASI INTEGRAL TENTU · 2012. 9. 30. · Aplikasi Integral Tentu థLuas diantara 2 kurva థVolume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థVolume benda putar (dengan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052303/60a4ccfa0cd0b95d0b7689e7/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Contoh : Kepadatan (x) sepotong kawat disebuah
titik yg terletak x cm dari salah satu
ujungnya (x)= 3x2 gr/cm. Tentukan pusat
massa kawat antara x=0 dan x=10
Jawab :
10
0
10
0
dx x)(
dxx .x
x
δ
δ
cm 7,5
000.1
500.7
x
4
3x
dx3x
dx3x x.
10
0 3
10
0
4
10
0
2
10
0
2