Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí
-
Upload
monica-orpi -
Category
Documents
-
view
71 -
download
0
Transcript of Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí
![Page 1: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/1.jpg)
APLICACIONS DE LA
DERIVADA
Per Mònica Orpí i Mañé
![Page 2: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/2.jpg)
APLICACIONS DE LA DERIVADA
GRÀFICA DE FUNCIONS
PROBLEMES D’OPTAMITZACIÓ
REGLA DE L’HÔPITAL
![Page 3: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/3.jpg)
LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ESTALVIAR :
MINIMITZANT EL MATERIAL
Problema per utilitzar el mínim
alumini :
Quines dimensions ha de tenir un cassó
en forma de cilindre d’un litre de capacitat
perquè la superfície total d’alumini sigui
mínima ?
![Page 4: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/4.jpg)
Com ho fem perquè ens càpiga el màxim de coses si
fem una capsa amb una planxa quadrada de cartró de 10
dm de costat? Com hem de tallar les puntes peraconseguir el màxim volum ?
LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER MAXIMITZAR EL RENDIMENT :
![Page 5: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/5.jpg)
LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ARREGLAR PETITS PROBLEMES DOMÈSTICS :
Situació familiar :A casa teníem un mirall
rectangular que feia 2m per 1m i
se'ns ha escantonat.
Volem recuperar la forma
rectangular del mirall retallant-lo
de tal manera que el mirall que en
resulti, sigui el més gran possible
![Page 6: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/6.jpg)
TAMBÉ SÓN ÚTILS PER REPRESENTAR LES FUNCIONS
En la representació de funcions és molt útil conèixer què passa en cada interval :
* És creixent o decreixent en aquell interval
* Podem localitzar el valor màxim i mínim en aquest interval?
* La funció és còncava o convexa ?
Les derivades donen resposta a totes aquestes
preguntes !!!
![Page 7: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/7.jpg)
APLICACIONS DE LA DERIVADA : o Aproximacions del valor d’una funció fent
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 · (𝑥 − 𝑎)
Exemple : f(x)= 𝑥 i volíem conèixer 144
145 = 144 +1
2 144(145 − 144)
oResolució d’algunes indeterminacions : Regla de L’Hôpital
o Representació de les gràfiques de funcions
oProblemes d’optimització
![Page 8: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/8.jpg)
LA REGLA DE L’HÔPITAL
És una regla que serveix per resoldre
indeterminacions del tipus0
0𝑖
∞
∞
És basa amb el teorema següent :
Si on f i g són
derivables en un entorn d’a i existeix el límit :
Aleshores coincidirà amb
El mateix enunciat serveix quan els límits de f(x) i g(x) van a l’∞
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/lhospital.1/index.html
![Page 9: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/9.jpg)
1r Exemple
Últim Exemple
→
→
![Page 10: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/10.jpg)
REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS
Passos a seguir per a poder representar una funció f(x) :
Domini de f(x)
Punts de tall amb els eixos
Càlcul de les asímptotes ( AV, AH i AO)
Intervals de creixement i decreixement. Màxims i mínims
Curvatura (concavitat i convexitat) i punts d’inflexió
Altres aspectes interessants :
Simetries (parell o senar )
![Page 11: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/11.jpg)
SIMETRIES :
Simetria parell f(-x)=f(x) Simetria senar f(-x)= - f(x)
![Page 12: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/12.jpg)
INTERVALS DE CREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recorda que la derivada d’una funcióy=f(x) en un punt x indica la pendent de larecta tangent en aquest punt.
Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenentangents de pendent positiva, la funció éscreixent en aquest punts
Si f(x) és derivable tenim que
f’(x)>0 ⇒ f(x) és creixent
![Page 13: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/13.jpg)
INTERVALS DE DECREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recorda que la derivada d’una funció
y=f(x) en un punt x indica la pendent de la
recta tangent en aquest punt.
Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen
tangents de pendent negativa, la funció és
decreixent en aquest punts
Si f(x) és derivable tenim que
f ’(x)<0 ⇒ f(x) és decreixent
![Page 14: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/14.jpg)
PUNTS SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA QUE TENEN PENDENT HORITZONTA L.
COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL, LA PENDENT ÉS 0 I PER AQUESTA RAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.
x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0
Hi ha tres casos :
El punt 𝑐1 s’anomena mínim relatiu
f’(𝑐1) = 0
El punt 𝑐2 s’anomena punt d’inflexió de tangent horitzontal
f’(𝑐2) = 0
El punt 𝑐3 s’anomena màxim relatiu
f’(𝑐3) = 0
![Page 15: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/15.jpg)
Màxim relatiu Mínim relatiu
![Page 16: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/16.jpg)
PUNTS D’INFLEXIÓ
Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés
![Page 17: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/17.jpg)
EXEMPLE : ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGU LARS DE
Conclusió :
La funció és decreixent en −∞, −1 𝑖 0,1
La funció és creixent en (-1,0) i (0, ∞)
Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)
Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)
Calculem primer els punts on s’anul·la la
derivada i localitzem els punts singulars
• Estudiem el signe que
tindrà la derivada en
els intervals que
determinen els punts
singulars
![Page 18: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/18.jpg)
ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ : Com hem vist, la primera derivada f’ ens dóna informaciósobre la funció f(x). Si derivem f’ obtenim la derivada de f’,que denotarem per f’’(x). Aquesta ens donarà informació def’(x)
Així com f’>0 ens informa que f és creixent, f’’>0 ensinforma que f’ és creixent. Això ens indica que la corba de f(x)està per sobre de les seves tangent (ja que les pendentspassen a ser negatives a ser positives i per tant f’ creix). Enaquest cas direm que f és còncava
En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i direm que f(x) és convexa
o f’’>0 en un interval ⇒ f és còncava ∪o f’’<0 en un interval ⇒ f és convexa ∩
![Page 19: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/19.jpg)
EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR MÀXIM I MÍNIMS :
També podem detectar que un punt singular és un màxim oun mínim amb el test de la 2a derivada
Si f’(a)=0 i f ’’(a)>0 ⇔ f presenta un mínim en x=a
Si f’(a)=0 i f’’(a)<0 ⇔f presenta un màxim en x=a
![Page 20: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/20.jpg)
EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR PUNTS D’INFLEXIÓ:
x=a és un punt d’inflexió de f(x) si enaquell punt on la corba canvia decurvatura
f(x) presenta un PI en x=a si f’’(a)=0.
Si a més, tenim que f’(a)=0 i f ’’(a)=0aleshores diem que en x=a f presentaun punt d’inflexió de tangenthoritzontal
![Page 21: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/21.jpg)
EXEMPLE : EN LA FIGURA ES MOSTRA EL GRÀFIC DE LA FUNCIÓ F(X).
COMPLETA LA TAULA SEGÜENT AMB ELS SIGNES DE F, F’ I F’’ EN ELS PUNTS DELGRÀFIC A, B, C, D I E :
![Page 22: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/22.jpg)
Solució :
A= (a,f(a)) B=(b,f(b)), C=(c,f(c)), D=(d, f(d)) i E=(e, f(e))
f(a)=0, f’(a)=0 perquè presenta un mínim (tangenthoritzontal) i f’’(a) >0 perquè es còncava
f(b)>0, f’(b)>0 ja que la recta tangent tindrà pendentpositiu ja que f és creixent i f’’(b)<0 ja que és convexa
f(c)>0, f’(c)=0 ja que presenta un màxim i f’’(c)<0 ja queés convexa
f(d)>0, f’(d)<0 ja que f decreix i f’’(d)<0 perquè ésconvexa
f(e)<0, f’(e)>0 ja que f creix, f’’(e)>0 ja que f és còncava
![Page 23: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/23.jpg)
ALGUNS EXEMPLES DE GRÀFIQUES :
1) Domini ℝ- 0
2) Punts de tall amb els eixos
Eix OX ⇒ y=0 𝑥+1
𝑥2 =0 ⇒ x+1=0 ⇒x=-1
Punt (-1,0)
Eix OY ⇒ x=0 ( No talla l’eix ja que x=0 no pertany al domini de f(x)
3) Asímptotes
AV en x=0 lim𝑥→0±
𝑥+1
𝑥2 =1
0+ = +∞ AV x=0
AH lim𝑥→±∞
𝑥+1
𝑥2 =∞
∞⇒ lim
𝑥→±∞
𝑥+1
𝑥2 = 0± AH y=0
No té AO
4. Intervals de creixement i decreixement – Màxims i mínims
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)f és creixent de (-2, 0) i presenta un mínim en (-2, -1/4)
5. Curvatura (Intervals de concavitat i convexitat-Punts d’inflexió
En (-3, f(-3)) presenta un PI
![Page 24: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/24.jpg)
LA GRÀFICA DE F(X)=𝑥+1
𝑥2
Talla l’eix OX en (-1,0)
Té AV en x=0 i AH en y=0
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)
f és creixent de (-2, 0)
Presenta un mínim en (-2, -1/4)
Té en (-3, -2/9) Punt d’inflexió
És convexa de (-∞, −3) i còncava (-3, 0) i de
(0, +∞)
![Page 25: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/25.jpg)
• Intervals de creixement i decreixement :
f’(x)=3𝑥2 𝑥2−1 −𝑥3(2𝑥)
𝑥2−1 2 =3𝑥4−3𝑥2−2𝑥4
𝑥2−1 2 =𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2
f’(x)=𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2 = 0 ⇒ 𝑥4 − 3𝑥2=0⇒𝑥2 𝑥2 − 3 = 0
⇒ 𝑥 = 0 𝑖 𝑥 = ± 3 fem el test de la 2a derivada pe avaluar
si són màxims, mínims o punts d’inflexió
𝑓′′ 𝑥 =2𝑥3+6𝑥
𝑥2−1 3 i si avaluem en els punts singulars f’’(0)=0⇒
(0, 0) és Punt d’inflexió de tangent horitzontal
𝑓′′( 3)>0 ⇒( 3, 𝑓 3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎
f′′(− 3)<0 ⇒(− 3, 𝑓 −3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎à𝒙𝒊𝒎
![Page 26: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/27.jpg)
La gràfica
de f(x)=𝑥3
𝑥2−1
![Page 28: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/31.jpg)
Un problema es diu que es de màxims o mínims o, en general, d’extrems, sempre que es vulguiresoldre una situació en la qual una determinada magnitud M depèn d’una altra magnitud x, demanera que M = f(x), i s’hagi de trobar un màxim o un mínim de M.
En el cas d’un problema de màxims, es tractarà de trobar un màxim de f(x) i, per tant, s’hauràde buscar x0 tal que f ’(x0) = 0 i, a més, f ’’(x0) < 0.
En canvi, en el cas d’un problema de mínims, es tractarà de trobar un mínim de f(x) i, per tant,s'haurà de buscar x0 tal que f ’(x0) = 0 i, a mes, f ’’(x0) > 0.
![Page 32: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/32.jpg)
QUINES DIMENSIONS HA DE TENIR UN CASSÓ EN FORMA DECILINDRE D’UN LITRE DE CAPACITAT PERQUÈ LA SUPERFÍCIETOTAL SIGUI MÍNIMA. CALCULEU LA SUPERFÍCIE MÍNIMA
Em d’expressar la funció que volem minimitzar. En aquest cas, el
que volem minimitzar és la superfície de cassó :
S(r,h)=𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝝅𝒓𝟐
La funció S depèn de dues variables, la variable h i r
Hem de trobar la manera d’expressar aquesta funció de manera que
només depengui d’una variable, o de la r o de la h
![Page 33: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/33.jpg)
Substituint l’expressió (1) en la funció
S(r,h)=𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝝅𝒓𝟐 tenim que
⇒
Com que volem un mínim, hem de
imposar que la derivada és 0
![Page 34: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/34.jpg)
El cassó que té una capacitat de volum fixat i la superfície del qual és mínima, és aquell que l’alçada és igual al radi. Qualsevol altra opció és més costosa en material !!
![Page 35: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/35.jpg)
Amb una peca de cartolina de 10 dm de costat es vol construir unacaixa retallant en cada vèrtex del quadrat peces quadrades decostat x. Quin valor s’ha de donar a x perquè el volum de la caixasigui el màxim?
![Page 36: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/36.jpg)
Hem de maximitzar la funció Volum e la caixa.
Com que la caixa és un prisma rectangular, podem trobar el volum multiplicant amplària, per llargària i per
altura:
V(x) = (10 – 2x)𝟐 ・ x = 4𝒙𝟑 – 40𝒙𝟐 + 100x
Així, doncs, el volum de la caixa dependrà del valor de x.
S’ha de trobar un màxim d’aquesta funció en l’interval (0, 5), ja que el tall en els extrems no pot superar els 5
dm. El volum de la caixa, tant en 0 com en 5 és igual a 0: V(0) = V(5) = 0. Vegem si podem trobar el màxim
en l’interior d’aquest interval. Per això, tractarem de trobar un punt, x=a, que compleixi les condicions d’un
màxim
V’(a) = 0 i V’’(a) < 0
![Page 37: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/37.jpg)
V(x) = (10 – 2x)𝟐 ・ x = 4𝒙𝟑 – 40𝒙𝟐 + 100x
La funció derivada de V(x) és: V’(x) = 12𝑥2 – 80x + 100 = 4(3𝑥2 – 20x +25)
Com volem trobar x tal que V’(x)=0, hem de resoldre l’equació de 2n grau 4(3𝑥2 – 20x +25)=0
La derivada de V(x) s’anul·la en x=5 i x=5/3 El primer valor no es troba dintre de l’interval (0,5) per tant, només
podem considerar x = 5/3 com a possible solució que maximitza el volum
Per saber si en aquest punt tenim un màxim o un mínim de la funció hem de calcular la segona derivada i avaluar-la
en x=5/3
V’’(x) = 24x – 80 i V’’(5/3) = 24・ 5/3 – 80 < 0
Per tant, per x = 5/3 obtenim un màxim de la funció.
Conclusió :
Així doncs, per obtenir el màxim volum en la caixa, hem de retallar petits quadrats, aproximadament, de 1,66
dm, i el volum màxim que s’obtindrà amb aquest valor serà de:
V(5/3) = (𝟏𝟎 − 𝟐𝟓
𝟑)𝟐·
𝟓
𝟑= (20/3)^2・ 5/3 = 2000/27 74,07 dm3.
Qualsevol altra opció tindrà un volum inferior a aquest
![Page 38: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/38.jpg)
EN UN DISC METÀL·LIC RETALLEM UN SECTOR DE MANERA QUE AMB LA PART RESTANT CONSTRUÏM UN CON DE VOLUM MÀXIM. DETERMINEU L’ANGLE DEL SECTOR QUE RETALLEM.
![Page 39: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/42.jpg)
TROBAR EL RECTANGLE INSCRIT EN LA SEMICIRCUMFERÈNCIA D’ÀREA MÀXIMA
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/applications.1/index.html
![Page 43: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/43.jpg)
→ →
→
![Page 45: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/45.jpg)
Bale
![Page 46: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/46.jpg)
Bale - Özil
???
![Page 47: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/47.jpg)
Bale - Özil
???
![Page 48: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/50.jpg)
![Page 51: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/51.jpg)
![Page 52: Aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions i problemes d'optimització. M'ònica Orpí](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032501/55b723c7bb61eb58178b47df/html5/thumbnails/52.jpg)
UN NOU PROBLEMA QUE TÉ PER SOLUCIÓ EL PUNT DE FERMAT :“DONATS TRES POBLES, ON S’HA DE CONSTRUIR UN HOSPITAL DE MANERA QUE ELCAMÍ TOTAL QUE HAURIA DE RECÓRRER LES AMBULÀNCIES SIGUI MÍNIM”.
EL MÈTODE DE CONSTRUCCIÓ DEL PUNT DE FERMAT D’UN TRIANGLEACUTANGLE AMB REGLA I COMPÀS: SOBRE CADA COSTAT DEL TRIANGLE ORIGINALCONSTRUÏM TRIANGLES EQUILÀTERS I UNIM EL VÈRTEX EXTERIOR DE CADASCUND’AQUESTS TRIANGLES AMB EL VÈRTEX OPOSAT D’AQUELL. ELS TRES SEGMENTS ESTALLARAN EN EL PUNT DE FERMAT. VEGI’S L’ESQUEMA SEGÜENT: ( OBSERVEU QUE NO COINCIDEIX AMB ELBARICENTRE DEL TRIANGLE )
Baricentre d’un triangle
El baricentre d’un triangle és el punt d’intersecció
de les seves medianes.