Aplicacion de la economia

MTEMATICA Y ESTADISTICA II INGENIERIA COMERCIAL Y FINANCIERA

Lic Missey Blanca Riveros Huamán

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN LA ADMINIST RACIÓN Y LA

ECONOMÍA.-

A) EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR.-

Excedente del consumidor� � �� ,�

donde � �� es la función demanda o también.

Excedente del consumidor� � ��,� � donde

� � �� es la función de demanda.

B) EXCEDENTE DEL PRODUCTOR.-

Excedente del producto � � � � ��

donde � �� es la función de oferta, o también

como excedente del producto � � ��,�

donde � � �� es la función de oferta.

C) INGRESO FRENTE A COSTO.-

La utilidad máxima se determina igualando el

ingreso marginal y el costo marginal y la ganancia total es la integral de la diferencia

entre el ingreso marginal y el costo marginal desde cero hasta la cantidad para el cual

la utilidad es máxima.

Función de oferta : una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico.

Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.



A esta función la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.

Función de demanda : La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.

A esta función la simbolizamos p = d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.

SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES

El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas



esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores.

El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y = p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.

El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:

donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio q0.

Problemas

1. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) = . Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos.

Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) = = 12 pesos.

La ganancia o superávit de los productores se calculo resolviendo:

= =

Ganancia de las productores = = 25

La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos.

2. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas.



Función de demanda: p1 (q) = 1000 − 0,4 q2. Función de oferta: p2 (q) = 42q

El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:

La oferta coincide con la demanda en (q0, p0) , es decir,:

p1 (q) = p2 (q) ⇒ 1000 − 0,4q2 = 42q ⇒ − 0,4q2 − 42q + 1000 = 0 ⇒

q1 = − 125 ∧ q2 = 20

Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q0 = 20 y, por lo tanto, p0 = 840.

El excedente de demanda o superavit de los consumidores es la región comprendida entre p1 (q) y la recta p = 840, entre 0 y 20, o sea,:

= = = 2133,33

El excedente de demanda asciende a $2133,33

El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q entre 0 y 20, o sea:

= = (840.20 − 21.202) = 8400

El superavit de oferta alcanza $8400.

PROBLEMAS.-



1.-Si la función de demanda � 39 � ��,hallar el excedente del consumidor si

a) � � �� b) el artículo es gratis (es decir � 0

Desarrollo

� � �� , � 39 � �� Excedente del

consumidor

� � �39 � ��

� �39� � �� ! � 10.41

b) � 0, � � √39

&. '.� � �39 � �� (39 � ��3 )√�* � � 26 √39��

2. Si la función de demanda es � 16 � �� y la función de oferta es � 2� - 1,

determinar el excedente del consumidor y el excedente del productor en situación de

competencia pura.

Desarrollo

. � 16 � �� 2� - 1 ⇒ 16 � �� 2� � 1 ⇒ �� - 2� � 15 � 0 ⇒ �� - 5�� 3� � 0

De donde � � 3, � 7

Excedente del consumidor =� �16 � �� 16� � �� -3�7��

� �48 � 9� � 21 � 18



3. Si la función de la oferta es � √9 - �� 7,hallar el excedente para el

productor.

Desarrollo

Excedente del productor � � � � �� , donde f(x) es la función de oferta

Excedente del productor � 7�4� � � √9 - �� 28 � 3�� 9 - ��45 �5

� 28 � ��!� � 18� � 46 � ��!� � ��

4. Las funciones de demanda y de oferta (en situación de libre competencia) son

� �� 9 � ��y � �� 1 - 3�� respectivamente, si se establece un impuesto adicional

de 3 por cantidad unitaria sobre la mercadería, calcular la disminución en el

excedente del consumidor.

7 � �� 9 � �� 1 - 3� � ⇒ �� 9 � �� 1 - 3�� ⇒ �9 � �� 1 - 3�

�� 18� - 81 � 1 - 3� ⇒ �� 21� - 80 � 0 ⇒ � � 5, � � 16

Excedente del consumidor� �� 8�9 � �� 1 - 3�� 209 � *��

5. La cantidad vendida y el precio están determinados en un mercado monopólico, por

las funciones de demanda � �� 10 � �� y del costo total � �� - 5� de tal manera

que se maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor.

Desarrollo

Ingreso total � � � �� 10 � �� :; � ��<�� 10 � ��



� �� - 5� costo total

'.;.� �� - 5 costo marginal

Pero :; � ';por lo tanto ��<�� 10 � �� - 5 ⇒ � � 2

consumidor � � ��<�� Excedente del

�2��16� � � ��<�� 32 � � ��

6. La cantidad vendida y el precio en un mercado monopólico, se determina por las

funciones de demanda � 20 � 4�� y de costo marginal ´ � 2� - 6, de manera que

se maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor.

Desarrollo

Ingreso Total � = �� 20 � 4��

Ingreso Marginal� :; � =´ � 20 � 12��

Costo Marginal � '; � ´ � 2� - 6

La ganancia máxima se obtiene cuando IM=CM 20 � 12�� 2� - 6 de donde 6�� - � � 7 � 0, factorizando

�6� - 7�� 1� � 0 ⇒ � � 1, � � � 5 por ser negativo como � 20 � 4�� para

� � 1, � 16,

Excedente del consumidor � � �20 � 4�� 20 � 4�� 1��16��



� �20� � �� /�� 16 � 20 � �� 16 � 4 � �� !�

7. Si la función de demanda corresponde a la parte de la hipérbola equilátera �!�?�� 2 situado en el primer cuadrante, y la función de oferta es � �� - 3�, calcule

el excedente del consumidor y el excedente del producto en un mercado de libre

competencia.

Desarrollo

En este caso se tiene: � !�?�� 2 � �� - 3� De donde 2�6 � 2�� - 1�� - 3� de donde �� - 8� � 9 � 0 �� - 9�� 1� � 0 De donde � � �9, � � 1 se considera el positivo � � 1 entonces � 8

Excedente del consumidor � � � !�∓�� 2�� 88:A�� - 1� � 2�9/�� 8� � 8:A2 � 2 � 8 � 8√2 � 10

Excedente del producto � � � � �� - 3�� 1��8� � �� - �� /�� 8 � ��- ��

8. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en un mercado de monopolio,

están determinados por la función de demanda � 45 � �� y el costo marginal

´ � 6 - �� de modo que se maximice la utilidad, calcule el excedente del consumidor.

Desarrollo

Ingreso Total � = � � � ��45 � �� 45� � ��

Ingreso Marginal � =´ � 45 � 3��

La utilidad se maximiza cuando IM = CM

45 � 3�� 6 � �� ⇒ �� 12 ⇒ � � 2√2 Para � � 2√3, � 33 excedente del

consumidor � � �45 � �� 45� � �� /�√�� 2�√� √3�33�

� 90√3 � 8√3 � 66√3 � 16√3



9. Las funciones de demanda y oferta en un mercado de competencia pura son:

respectivamente � 14 � ��y � 2�� - 2 ; determine:

a) El excedente del consumidor b) El excedente del producto

Desarrollo

Para este caso se tiene: � 14 � �� 2�� - 2, de donde 3�� 12 ⇒ �� 4 ⇒ � � B2, se considera solamente � � 2, � � 10

Excedente del consumidor � � �14 � �� 14� � �� /�� 2��10��

� 28 � !�� 20 � 8 � !� � � �

Excedente del producto � � � � �2�� - 2�� 2��10� �� - 2�� 20 ��

�� - 4�

� 16 � � � � ��

10. La función de demanda es � 20 � 3�� y la función de oferta es � 2��; obtenga

los excedentes del consumidor y del producto en un mercado de competencia libre o

pura.

Desarrollo

La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM 20 � 2� � 4 - �� 2�� ⇒ �� 6 � 0 ⇒ � � 0, � � 6

CC� �:; � ';� � C�DC�� 6 � 2�dedonde C�DC��I�J � 6 � 12 � �6 K 0

Luego la utilidad se maximiza para x = 6



Utilidad total � � �:; � ';� � �� 6� � �� 3�� /L� 36

11. Si la función de ingreso marginal es :; � 25 � 3� y la función de costo

marginal es '; � 25 � 7� - ��, determine la cantidad que se debe producir para

maximizar la utilidad y la correspondiente utilidad total en un caso de competencia

pura.

Desarrollo

La utilidad máxima ocurre cuando IM = CM 25 � 3� � 25 � 7� - �� ⇒ �� 4� � 0 ⇒ � � 0, � � 4

CC� �:; � ';� � C�DC�� 4 � 2�dedonde C�DC��I�J� � 4 � 8 � �4 K 0


Utilidad total � � �:; � ';�� 8�25 � 3�� 25 � 7� - ��9��

� � �4� � �� 2�� /L� ��

12. Si :; � 44 � 9�'; � 20 � 7� - 2��, establezca el nivel de producción que

maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total �M�N�� en un mercado de

competencia pura.

Desarrollo

La utilidad máxima ocurre cuando IM = CM 44 � 9� � 20 � 7� - 2�� ⇒ �� - � � 12 � 0, factorizando �� - 4�� 3� � 0 ⇒ � � �4, � � 3

CC� �:; � ';� � C�DC�� 2 � 4� De donde C�DC��I�J� � �2 � 12 � �14 K 0


Utilidad total � � �:; � ';� � �� 24 � 2� � 2��

�24� � �� /�� 72 � 9 � 18 � 72 � 27 � 45

13. Suponiendo un mercado de libre competencia, obtenga el nivel de producción que

maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total si :; � 24 � 6� � ��'; �4 � 2� � ��

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