Aplicación de las nuevas tecnologías en la impartición

de cursos cero de Matemáticas para estudiantes de

Economía

Gloria Jarne Jarne

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Análisis Económico. Universidad de Zaragoza

Correo electrónico: gjarne@unizar.es

Esperanza Minguillón Constante

Escuela Universitaria de Estudios Empresariales de Huesca Departamento de Análisis Económico. Universidad de Zaragoza

Correo electrónico: esmin@unizar.es

Mª Trinidad Zabal Cortés

Escuela Universitaria de Estudios Empresariales de Zaragoza Departamento de Análisis Económico. Universidad de Zaragoza

Correo electrónico: tzabal@unizar.es

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Aplicación de las nuevas tecnologías en la impartición de

cursos cero de Matemáticas para estudiantes de Economía

Grupo de Innovación Docente “Aragón Tres”∗: Gloria Jarne Jarne∗∗,

Esperanza Minguillón Constante y Mª Trinidad Zabal Cortés

Resumen

Teniendo en cuenta las numerosas lagunas existentes en los conocimientos matemáticos

básicos con los que los estudiantes llegan a la universidad, así como el impulso que el

actual proceso de convergencia hacia el EEES da al aprendizaje autónomo del

estudiante y haciendo uso de las nuevas tecnologías hemos diseñado un sitio web en el

que el estudiante pueda realizar de forma autónoma una puesta al día de conceptos y

habilidades matemáticas que le permita abordar el aprendizaje de las mismas en

titulaciones de carácter económico. Este material ha sido utilizado en varias

experiencias docentes con resultados satisfactorios.

Palabras clave: Autoaprendizaje. Nuevas tecnologías. Matemáticas

∗ Este trabajo ha sido desarrollada por el Grupo de Innovación Docente “Aragón Tres” y financiado por proyectos convocados por la Universidad de Zaragoza bajo el nombre de “Acciones de Innovación y Mejora de la Docencia”.

∗∗ Dirección de contacto: Gloria Jarne Jarne. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Universidad de Zaragoza. Gran Vía, 2; 50005 Zaragoza. Tel: 976762411. Correo electrónico: gjarne@unizar.es

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1. INTRODUCCIÓN

El desarrollo de la sociedad del conocimiento y la construcción del Espacio Europeo

de Educación Superior requieren estructuras que posibiliten por un lado un amplio y

sencillo acceso al conocimiento y por otro una capacitación personal crítica que

favorezca la interpretación de la información y la generación del propio conocimiento.

Esto hace necesaria una nueva concepción de la formación académica, centrada en

el aprendizaje del alumno, que se verá reflejada en la valoración que el crédito europeo

realizará del volumen global del trabajo realizado por el alumno y no sólo de las clases

impartidas. Esta nueva unidad de medida comporta un modelo educativo basado en el

trabajo del alumno que obliga al profesorado a la dedicación de tiempo para las tareas

de organizar, orientar y supervisar el trabajo de los alumnos.

En este marco aparece como una de las piezas claves de la nueva orientación, el

aprendizaje autónomo de los estudiantes y la organización de la enseñanza “por

competencias”. Esto implica una revisión en profundidad de nuestros materiales de

trabajo (apuntes, colecciones de problemas para hacer en clase, ...) y de las

metodologías docentes (clase magistral, ...) que habitualmente hemos venido utilizando

en las aulas.

Por otra parte, a lo largo de nuestra experiencia docente en la enseñanza de las

matemáticas en estudios universitarios de carácter económico, hemos comprobado que

el nivel de conocimientos matemáticos con el que los alumnos llegan a la universidad y

el que necesitan al iniciar sus carreras se han ido distanciando con el tiempo lo que

genera cada vez más problemas en el proceso de aprendizaje y en la labor docente.

En principio, este problema se paliaba atendiendo individualmente a los alumnos en

tutorías, impartiendo de forma presencial “cursos cero” de Matemáticas.... La búsqueda

de soluciones más operativas nos hizo pensar en la posibilidad de crear un mecanismo

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más eficaz que además ayudara a los alumnos en la tarea de asumir un mayor

aprendizaje autónomo y también en la de acceder a conocimientos e información útiles

para el desarrollo de su actividad.

Así surgió la idea de la creación de un curso cero virtual de Matemáticas. En

concreto, teniendo en cuenta las nuevas tecnologías se ha elaborado el sitio web Curso

básico de Matemáticas para estudiantes de económicas y empresariales en el que se

proponen una serie de materiales para que los estudiantes que comienzan sus estudios

universitarios en economía puedan cubrir sus lagunas en conocimientos matemáticos y

lo hagan de forma autónoma y según sus necesidades. La dirección de este sitio web es

<http://www.unizar.es/aragon_tres/>.

Además, este material es de gran utilidad para la impartición presencial de cursos

cero de Matemáticas en el primer curso de diferentes estudios universitarios.

A continuación presentamos el trabajo con el siguiente esquema: en primer lugar se

plantean los objetivos que hemos querido cubrir, en segundo lugar se hace una

descripción de la experiencia y se finaliza con la exposición de las conclusiones que

hemos podido obtener tanto de la realización del material como de su uso. Por último,

se da una relación de la bibliografía consultada en la realización de este trabajo.

2. OBJETIVOS

Los objetivos que nos hemos planteado conseguir con la realización de esta

experiencia son los siguientes:

• Iniciar al estudiante que accede a la universidad en el aprendizaje autónomo con el

fin de que adquiera habilidades y capacidades que le serán útiles en el desarrollo de

su futura actividad profesional. Tanto en los estudios universitarios que ahora

comienza a realizar como en su trabajo futuro será fundamental la capacidad para

aprender de forma autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

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• Introducir la utilización de nuevas tecnologías en el proceso de aprendizaje.

• Desarrollar en el estudiante la capacidad de analizar problemas de modo crítico y la

capacidad de tomar decisiones.

• Avanzar en la implantación de metodologías docentes más activas y colaborativas y

en la preparación de materiales adecuados al nuevo tipo de planteamiento docente

que señala el proceso de convergencia europea.

• El objetivo más concreto es proporcionar material con el que el estudiante pueda

realizar de forma autónoma una puesta al día de conceptos y habilidades

matemáticas que le permita alcanzar las condiciones óptimas para abordar el

aprendizaje de las matemáticas universitarias en titulaciones de carácter económico.

3. DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO

Como hemos señalado en la introducción, el nivel con el que los alumnos llegan a la

universidad y el que necesitan al iniciar sus carreras se ha ido distanciando con el

tiempo, generando numerosos problemas. Esto es debido, en gran medida, a que las

reformas de la enseñanza universitaria y las reformas de las enseñanzas medias se han

llevado a cabo sin la suficiente coordinación. Los miembros de este grupo somos

especialmente sensibles y conocedoras de este distanciamiento debido a que impartimos

asignaturas de matemáticas de primer curso y a la responsabilidad de dos de sus

integrantes en la coordinación y armonización en Selectividad de la asignatura

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.

Este problema, que no es específico ni de esta materia ni de esta Universidad, se ha

intentado solventar de diversas formas. Tradicionalmente, sólo se resolvían los

problemas de falta de conocimientos de forma puntual en clase o a través de las tutorías.

Aunque esta práctica proporciona al alumno algunos conocimientos de los que carece,

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no lo dota de las habilidades matemáticas necesarias para continuar con éxito su

formación universitaria.

Otra posible solución de este problema viene dada por la impartición de los

llamados cursos cero de Matemáticas. A continuación enumeramos los que se han

venido impartiendo en los últimos años en las titulaciones de carácter económico de

nuestra universidad:

1. Un curso voluntario denominado “Curso Cero de Matemáticas” impartido este año

por la profesora Gloria Jarne durante el mes de septiembre en el primer curso (en la

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Zaragoza ).

2. Una asignatura de libre elección cuatrimestral de tres créditos denominada

“Matemáticas Cero” impartida por la profesora Mª Trinidad Zabal en el primer y

segundo cuatrimestre de primero (en la Escuela Universitaria de Estudios

Empresariales de Zaragoza).

3. Un curso voluntario denominado “Curso Cero de Matemáticas para estudiantes de

Empresariales” impartido por la profesora Esperanza Minguillón a lo largo de

primero (en la Escuela Universitaria de Estudios Empresariales de Huesca).

El objetivo de estos cursos, que tienen una gran demanda, es mejorar la posición con

la que los nuevos estudiantes afrontan el comienzo de sus estudios universitarios. Sin

embargo, es interesante señalar que estos cursos no tienen en cuenta suficientemente las

características específicas de cada estudiante y además corresponden a una enseñanza

presencial pudiendo generar problemas de ordenación docente.

Últimamente incluso se han editado diferentes libros y manuales con el objeto de

dar alguna solución al problema de falta de conocimientos matemáticos en los

estudiantes que acceden a la universidad (por ejemplo Cámara y otros (2005) y Tarzia

(2000)).

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En el trabajo que aquí presentamos se desarrolla una propuesta, alternativa a las

señaladas anteriormente, que consiste en el diseño de un sitio web conteniendo una serie

de unidades didácticas en cada una de las cuales se plantea la resolución de problemas y

se pueden consultar los conceptos básicos necesarios para seguir las asignaturas de

matemáticas que, a nuestro entender, no quedan suficientemente afianzados en

enseñanzas medias para todos los estudiantes.

La principal ventaja de esta propuesta es que el estudiante puede acceder al material

en el momento que lo necesite llevando a cabo un aprendizaje autónomo. Además, el

sitio web creado está siendo utilizado en la impartición de los cursos cero anteriormente

señalados.

Las unidades didácticas que hemos considerado conveniente desarrollar para

alcanzar nuestro objetivo son:

• Unidad Didáctica 1:

Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos.

• Unidad Didáctica 2:

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones.

• Unidad Didáctica 3:

Trigonometría.

• Unidad Didáctica 4:

Números reales y números complejos.

• Unidad Didáctica 5:

Geometría en el plano.

• Unidad Didáctica 6:

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

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• Unidad Didáctica 7:

Funciones reales de variable real.

El esquema que se sigue en la presentación de cada una de estas unidades se detalla a

continuación:

• Contenidos teóricos.

• Ejercicios resueltos detalladamente.

• Ejercicios para resolver con posibilidad de acceder mediante enlaces a la

solución final y a ayudas para su resolución.

• Ejercicios resueltos de enunciado económico.

• Ejercicios de autoevaluación.

• Bibliografía.

• Enlaces con otras páginas web relacionadas con los contenidos de la unidad.

• Encuesta para valorar la opinión del alumno.

A continuación, describimos brevemente la forma de usar la página web, señalando

en primer lugar que para utilizar en su totalidad el material presentado en dicha página

es necesario que el ordenador disponga del software Adobe Reader (hay un enlace para

descargarlo) y de las versiones 3 o posteriores de Internet Explorer o de Netscape

Navigator. Para visualizar este sitio web de forma óptima, la pantalla debe estar

configurada con resolución 1024x768.

En la página inicial se muestran las unidades didácticas ya mencionadas que

componen esta experiencia, pudiéndose acceder a cada una de ellas (Ver Figura 1 o la

dirección <http://www.unizar.es/aragon_tres/>).

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Figura 1

Además, desde esta página también se permite el acceso a:

• La página web de la Universidad de Zaragoza.

• Las páginas web de los centros de la Universidad de Zaragoza en los que se

imparten las titulaciones relacionadas con la Ciencia Económica (Facultad de

Ciencias Económicas y Empresariales y Escuelas Universitarias de Ciencias

Empresariales de Huesca y de Zaragoza).

• La página web del Departamento de Análisis Económico al que pertenecen las

autoras.

• La página web para descargar Adobe Reader.

• Un correo electrónico asociado a la página web.

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• Dos documento pdf, uno con la Presentación del curso y otro con el Modo de

utilización.

Desde la página inicial se accede a cada una de las unidades (Ver por ejemplo la Unidad

didáctica 1 en la Figura 2 o en la dirección <http://www.unizar.es/aragon_tres/u1.htm>).

Figura 2

Cada una de las unidades didácticas se divide en las siguientes partes:

• Parte Teórica: se enumeran los conceptos y resultados teóricos que en su mayor

parte ya se han estudiado en enseñanzas medias. En su presentación se combina

el uso del lenguaje y rigor matemático, escasamente utilizados por los

estudiantes en bachillerato, con numerosos ejemplos que ayudan a la

comprensión de la materia. De esta manera se intenta hacer un puente entre la

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forma de trabajar las matemáticas en el bachillerato y en la universidad,

facilitando así al alumno su proceso de adaptación.

En esta parte existen las siguientes posibilidades de elección:

o Consultar la totalidad de los contenidos teóricos.

o Consultar cada uno de los apartados de de los contenidos teóricos.

• Ejercicios resueltos de forma detallada con los que se pretende que los

estudiantes aprendan los pasos a seguir en la resolución de problemas. En cada

uno de los ejercicios se indica el concepto específico del que trata. (Ver Figura 3

o la dirección <http://www.unizar.es/aragon_tres/u1fracre.htm>).

Figura 3

Existen las siguientes posibilidades de elección:

o Consultar la totalidad de los ejercicios resueltos.

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o Consultar cada uno de los ejercicios resueltos.

• Ejercicios para resolver que tienen como objetivo que los estudiantes desarrollen

habilidades para la resolución de problemas. Cada uno de los ejercicios se

presenta indicando el tema del que trata. (Ver Figura 4 o la dirección

<http://www.unizar.es/aragon_tres/u1fracpr.htm>).

Figura 4

Existen las siguientes posibilidades de elección:

o Acceder a todos los enunciados de los ejercicios propuestos.

o Acceder al enunciado de cada uno de los ejercicios propuestos.

o Acceder a la solución final de cada uno de los ejercicios propuestos.

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o Acceder a una ayuda para la resolución de cada uno de los ejercicios

propuestos, que puede ser un enlace a un contenido teórico o a uno de los

ejercicios resueltos que trate del mismo tema o simplemente una

sugerencia.

• Ejercicios de carácter económico con el objeto de acercar las matemáticas al

mundo de la economía en aquellos temas en los que resulte natural su

incorporación.

• Ejercicios de autoevaluación con los que el alumno podrá medir su grado de

conocimiento de la materia de esta unidad. La autoevaluación consiste en una

serie de preguntas de test con una única solución correcta elegida entre cuatro

posibles (Ver Figura 5).

Figura 5

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• Bibliografía en la que aparece un listado de libros relacionados con la unidad. En

nuestra opinión es importante que los estudiantes aprecien y se acostumbren a

utilizar los libros de texto y manuales.

• Enlaces a otras páginas web que puedan resultar de interés.

• Encuesta para valorar la opinión del alumno sobre la unidad didáctica y que

permitirá a las autoras ir mejorando el presente material y evaluando su utilidad.

El software utilizado para la elaboración de esta página web es Front Page 2002 y

para la elaboración de las autoevaluaciones, Hot Potatoes versión 5.

La manera de acceder a cada una de las partes de la página web es la usual, es decir,

hacer clic con el ratón en la opción que se desee y utilizar los iconos de “Atrás”,

“Adelante” de la barra de herramientas para pasar de una página a otra contigua.

El sitio web que hemos descrito y los materiales que contiene ya han sido utilizados

como apoyo en la impartición de los cursos cero de Matemáticas anteriormente citados.

En concreto, se han utilizado las unidades 2, 3, 4 y 7 en la Escuela Universitaria de

Estudios Empresariales de Zaragoza y en la de Huesca y las unidades 3, 4, 5 y 7 en la

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales.

También ha sido de gran utilidad en la enseñanza virtual de la asignatura

“Matemáticas Empresariales” ofertada por la Escuela Universitaria de Estudios

Empresariales de Zaragoza y que se imparte a través del Anillo Digital Docente.

Asimismo, sabemos que está siendo utilizado en otras universidades, por ejemplo,

los profesores de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales

de la Universidad de Granada nos pidieron autorización para poner un enlace a este

material.

Hemos constatado que los estudiantes acogen favorablemente este tipo de

innovaciones, mostrando una actitud más positiva hacia las asignaturas. En concreto, los

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alumnos han manifestado que este material les ha resultado de sencillo manejo y que

sus contenidos han sido de gran ayuda para alcanzar el nivel de matemáticas necesario

en sus estudios.

4. CONCLUSIONES

Las principales conclusiones que hasta este momento hemos obtenido de la

realización y utilización de este material se pueden resumir en las siguientes:

• La práctica docente de las asignaturas de matemáticas se mejora de forma

inmediata ya que cuando algún estudiante encuentra que sus conocimientos no

son los suficientes, puede acceder a la página para resolver sus dudas, sin

condicionar el desarrollo normal de la asignatura. Esto implica que en clase se

pueden explicar con profundidad los nuevos conceptos y las aplicaciones de

estos a la economía.

• También repercute en la mejora de la práctica docente de otras asignaturas,

como Introducción a la Economía, Microeconomía, Macroeconomía, Economía

Política, Estadística …., en las que también se utiliza el lenguaje matemático y

aparecen conceptos matemáticos básicos.

• Se inicia al estudiante en el autoaprendizaje desde el comienzo de sus estudios

universitarios, lo que cada vez más va a ser una constante en su carrera

universitaria y en el desarrollo de su futura actividad profesional.

• Al introducir en las unidades didácticas aplicaciones a la economía, el estudiante

es consciente desde el principio de la utilidad de las matemáticas en la

economía, lo que estimula el aprendizaje de las mismas.

• Disminuye la sensación de frustración que sienten algunos alumnos al

enfrentarse con unas matemáticas universitarias con mayor grado de dificultad

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que las que han estudiado hasta ahora. Este grado de dificultad reside no tanto en

los nuevos contenidos como en el uso riguroso del lenguaje y del razonamiento

matemático (ver Ortega y Ortega (2002)).

• Este material también está siendo útil para estudiantes que han comenzado

estudios universitarios con contenidos matemáticos aunque no estén

relacionados con la economía (por ejemplo, en estudios de ingeniería, física,

química ... ). Asimismo, es un material de apoyo para que en cualquier momento

de su vida universitaria o profesional puedan resolver una duda relacionada con

las matemáticas básicas.

• Para nosotras ha supuesto un primer paso en nuestra adaptación a las exigencias

del proceso de convergencia europea.

Este trabajo admite diferentes ampliaciones y mejoras, en concreto:

• El diseño de esta página web puede ser fácilmente adaptable a otras materias y

titulaciones.

• Esta página web se puede ampliar con otras unidades que en un futuro se puedan

considerar necesarias.

• Una mejora evidente de este trabajo sería aumentar la interactividad de la

misma. Este era un objetivo inicial del proyecto pero que no se ha incorporado a

esta presentación por cuestiones técnicas que esperamos resolver,

fundamentalmente, las asociadas al empleo de fórmulas matemáticas en el

diseño de páginas web.

• Algunos cambios en la presentación del sitio web lo haría adecuado para

introducir el método didáctico de “Aprendizaje basado en la resolución de

problemas” y así, en lugar de impartir en clase los contenidos necesarios para

luego proceder a su aplicación, lo que se hace es plantear unos problemas, para

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que los estudiantes procedan a su análisis, a la búsqueda de información

relevante y a su resolución (ver en la página web el apartado “Ejercicios para

resolver ” de cada unidad). De esta manera, el profesor actúa en labor de tutoría

colectiva, no como transmisor de conocimientos sino como facilitador del

proceso de aprendizaje y la página web sirve como apoyo a la docencia y no

como un simple depósito de contenidos del curso.

• Adaptar para el ADD el material docente que ya tenemos elaborado para el sitio

web. Para ello, se nos ha concedido una ayuda dentro del Programa de

Enseñanza Semipresencial de la UZ: 2. Acciones de Mejora de la Calidad de

Asignaturas de ADD.

Por último queremos señalar que la realización de esta actividad nos ha hecho

reflexionar en la línea de las nuevas propuestas de EEES, en la revisión personal de las

teorías y prácticas docentes y en el planteamiento de un nuevo modelo del proceso de

aprendizaje basado en la resolución de problemas. Es nuestro propósito ampliar y

reformar este trabajo en el futuro basándonos en las nuevas necesidades, tanto

conceptuales como metodológicas, que se planteen al proceder a la convergencia de los

estudios universitarios al Espacio Europeo de Educación Superior.

5. BIBLIOGRAFÍA

CÁMARA, A., GARRIDO, R. y TOLMOS, P. (2005): Curso Básico de Matemáticas

para el Acceso a la Universidad. Delta Publicaciones Universitarias, Madrid.

JARNE, G., PÉREZ-GRASA, I. y MINGUILLÓN, E. (1997): Matemáticas para la

Economía. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Ed. McGraw-Hill, Madrid.

Microsoft FrontPage 2002 Paso a Paso. Ed. McGraw-Hill, Madrid, 2001

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MINGUILLÓN, E., PÉREZ-GRASA, I. y JARNE, G. (2004): Matemáticas para la

Economía. Libro de ejercicios. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Ed.

McGraw-Hill, Madrid.

ORTEGA, J.F. y ORTEGA, J.A.(2002): Lenguaje Matemático: Una experiencia en los

estudios de Economía de la UCLM. Documento de Trabajo de la Facultad de

Ciencias Económicas y Empresariales de Albacete. Universidad de Castilla-La

Mancha.

TARZIA, D. A. (2000): Curso de Nivelación de Matemática. Editorial McGraw-Hill ,

Madrid.

WOLFRAM, S. (1991): Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer.

Ed. Addison Wesley.