Aplicaçıes: Diagonalizaçªo unitÆria e diagonalizaçªo ...nmartins/ap1617.pdf · Aplicaçıes:...
Transcript of Aplicaçıes: Diagonalizaçªo unitÆria e diagonalizaçªo ...nmartins/ap1617.pdf · Aplicaçıes:...
Aplicações:
Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal
(Positividade do produto interno)
Raíz quadrada
Formas quadráticas
Mínimos quadrados
Produto externo e produto misto
(Área do paralelogramo. Volume doparalelepípedo.)
Matrizes elementares e factorização triangular
Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal
Considere-se o produto interno usual
A 2Mn�n(C) AH = AT
�AH
�H= A
(�A+ �B)H = �AH+�BH (AC)H = CHAH
A é hermitiana se AH = A
A é simétrica se AT = A
Se A 2Mn�n(R), A hermitiana , A simétrica
Todos os valores próprios de uma matriz simétrica ouhermitiana são reais
Se A fôr simétrica ou hermitiana então os vectorespróprios associados a valores próprios distintos, sãoortogonais
Os subespaços próprios de A simétrica ou hermitianasão ortogonais entre si
Dem A 2Mn�n(C), A hermitiana. � valor próprio deA e u vector próprio associado. � = uHAu. Então
� = �
logo � é real. Como
� = �Xjuij2
Logo
� =�P juij2 2 R
Sejam u1 e u2 vectores próprios associados a valorespróprios distintos �1 e �2. Então
(Au1)H u2 = �2u
H1 u2
(Au1)H u2 = �1u
H1 u2
Como
�1 6= �2então
hu1; u2i = uH1 u2 = 0
u1 e u2 são ortogonais
P é ortogonal : PT = P�1, isto é, PPT = I
(as colunas de AT são uma base ortonormada de Rn)
U é unitária : UH = U�1, isto é, UUH = I
(as colunas de UH são uma base ortonormada de Cn)
Se A 2Mn�n(R)
A ortogonal , A unitária
A diz-se unitariamente diagonalizável se existir UH
unitária e D diagonal tais que
D = UAUH
isto é, se existir uma base o.n. de Cn formada só porvectores próprios de A
A diz-se ortogonalmente diagonalizável se existir PT
ortogonal e D diagonal tais que
D = PAPT
isto é, se existir uma base o.n. de Rn formada só porvectores próprios de A
Teorema de Schur. Seja A uma matriz n � n. En-tão, existe uma matriz unitária UH tal que UAUH étriangular superior (inferior).
Dem. A demonstração será efectuada por indução emn. O resultado é óbvio para n = 1. Suponhamos quea hipótese é válida para matrizes k � k e seja A umamatriz (k + 1)� (k + 1). Sejam �1 um valor próprio deA e w1 um vector próprio associado de norma 1. Apli-cando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt,seja
�w1; : : : ; wk+1
uma base ortonormada para Ck+1.
SejaWH a matriz cuja coluna i é igual ao vector wi, parai = 1; : : : ; k+1. Então, por construção, a matrizWH éunitária. Por outro lado, a primeira coluna de WAWH
é igual a WAw1, tendo-se
WAw1 =W�1w1 = �1Ww1 = �1
2666410...0
37775 =26664�10...0
37775
e assim
WAWH =
26666664�1 j � � � � �� j � � �0 j... j M0 j
37777775 ;
onde M é uma matriz k � k.
Pela hipótese de indução, existe uma matriz k�k unitária(V1)
H tal que V1M (V1)H = T1, onde T1 é uma matriz
triangular superior. Seja
V H =
266666641 j 0 � � � 0� j � � �0 j... j (V1)
H
0 j
37777775 .
Então V H é unitária e tem-se
(VW )A (VW )H = VWAWHV H =
=
26666664�1 j � � � � �� j � � �0 j... j V1M (V1)
H
0 j
37777775 =
=
26666664�1 j � � � � �� j � � �0 j... j T10 j
37777775 = T ,
onde T é uma matriz triangular superior. Como a matriz(VW )H é unitária, pondo UH = (VW )H , tem-se
UAUH = T ,
com T triangular superior e UH unitária.
A =
"2 1�2 5
#valores próprios de A : 3 e 4
N (A� 3I) = L (f(1; 1)g)
N (A� 4I) = L (f(1; 2)g)
UH =
24 p22 �p22p
22
p22
35 Gram-Schmidt
UAUH = T
24 p22
p22
�p22
p22
35 " 2 1�2 5
# 24 p22 �p22p
22
p22
35 = "3 30 4
#| {z }
T
TEOREMA (triangularização) A 2 Mn�n(C): Entãoexiste UH unitária tal que UAUH é triangular superior(inferior).
TEOREMA
A é hermitiana ) A é unitariamente diagonalizável
Dem. existe UH unitária tal que UAUH é triangular.
Seja T = UAUH . Logo
TH = T
e como T é triangular então T é diagonal.
A 2Mn�n(R)
A é simétrica ) A é ortogonalmente diagonalizável
A matriz PT é a matriz cujas colunas são os vectorespróprios de A que formam uma base ortonormada de Rn
A hermitiana ) A unitariamente diagonalizável
(D = UAUH)
A hermitiana : A unitariamente diagonalizável
A simétrica , A ortogonalmente diagonalizável
(D = PAPT )
A é normal :
AHA = AAH
(ou ATA = AAT se A 2Mn�n(R))
fA : A é simétricag � fA : A é normalg
fA : A é ortogonalg � fA : A é normalg
fA : A é hermitianag � fA : A é normalg
fA : A é unitáriag � fA : A é normalg
A 2Mn�n(R) tal queA é normal com todos os valores próprios reais
+A simétrica
Se A 2Mn�n(C) é normal tem-se para todo o u
kAuk = AHu
A normal ) A� �I normal e
k(A� �I)uk = (A� �I)H u = �AH � �I�u
Logo
Au = �u ) AHu = �u
Os vectores próprios associados a valores própriosdistintos, de uma matriz normal, são ortogonais
Dem. Seja A 2 Mn�n(C) tal que A é normal. Sejam�1; �2 valores próprios de A tais que �1 6= �2 e sejam v1e v2 vectores próprios de A associados respectivamentea �1 e �2. Tem-se
Av1 = �1v1 ) AHv1 = �1v1
Av2 = �2v2 ) AHv2 = �2v2
e
�AHv1
�Hv2 =
��1v1
�Hv2 = �1 (v1)
H v2
�AHv1
�Hv2 = (v1)
H (Av2) = �2 (v1)H v2
Logo (�1 � �2) hv1; v2i = 0: Assim, como �1 6= �2,tem-se hv1; v2i = 0:
A é normal, A é unitariamente diagonalizável
Dem. ()) A normal, existe UH unitária e T triangularsuperior T tais que T = UAUH .
TTH = THT
Logo T é normal. T =�tij�n � n. As entradas das
diagonais principais de TTH e THT :
jt11j2 + jt12j2 + jt13j2 + � � �+ jt1nj2 = jt11j2
jt22j2 + jt23j2 + � � �+ jt2nj2 = jt12j2 + jt22j2...
jtnnj2 = jt1nj2 + jt2nj2 + jt3nj2 + � � �+ jtnnj2
e assim, tij = 0 sempre que i 6= j. Logo T é diagonal eA é unitariamente diagonalizável.
(() A unitariamente diagonalizável. Sejam D diagonale UH unitária tais que
D = UAUH
Logo
A = UHDU
AAH = UH�DDH
�U
AHA = UH�DHD
�U
DDH = DHD =
266664j�1j2 0 � � � 0
0 j�2j2 . . . ...... . . . . . . 0
0 � � � 0 j�nj2
377775AAH = AHA
e assim A é normal.
A =
"2 1 + i
1� i 3
#AH = A A é hermitiana
AAH =
"6 5 + 5i
5� 5i 11
#= AHA
Logo A é normal
A normal , A unitariamente diagonalizável
existem uma matriz unitária UH (UH = U�1) e umamatriz diagonal D tais que
D = UAUH .
det(A� �I) =����� 2� � 1 + i1� i 3� �
����� = (�� 1) (�� 4) ,os valores próprios de A são 1 e 4 e tem-se
N (A� 1I) = L (f(�1� i; 1)g)
N (A� 4I) = L���
1
2+1
2i; 1���
.
Note-se que os vectores de N (A� 1I) são ortogonaisaos vectores de N (A� 4I). Logo, uma base ortonor-mada de C2 formada só com vectores próprios de A podeser:8<: 1
k(�1� i; 1)k(�1� i; 1) ; 1 �12 + 1
2i; 1� �1
2+1
2i; 1�9=; =
=
( �p3
3�p3
3i;
p3
3
!;
p6
6+
p6
6i;
p6
3
!).
Logo
UH = SBvp!Bc =
24 �p33 � p33 i p66 +p66 ip
33
p63
35e
D =
"1 00 4
#= UAUH
264 1 1 00 1 11 0 1
375 não é simétrica logonão é ortogonalmente diagonalizável. Mas:264 1 1 0
0 1 11 0 1
375T 264 1 1 0
0 1 11 0 1
375 =
=
264 1 1 00 1 11 0 1
375264 1 1 00 1 11 0 1
375T
=
264 2 1 11 2 11 1 2
375
então
264 1 1 00 1 11 0 1
375 é normal e como tal éunitariamente diagonalizável.
26642 0 0
0 12 �
12ip3 0
0 0 12 +
12ip3
3775| {z }
D
=
=
26664p33
p33
p33
�p36 + 1
2i �p36 �
12ip33
�p36 �
12i �
p36 + 1
2ip33
37775264 1 1 00 1 11 0 1
37526664p33 �
p36 �
12i �
p36 + 1
2ip33 �
p36 + 1
2i �p36 �
12ip
33
p33
p33
37775| {z }
UH
Positividade do produto interno
Teorema. A 2Mn�n(R) simétrica. Então:
A é de�nida positiva, isto é, uTAu > 0 para todo o u 6= 0,
, todos os valores próprios de A são positivos
Dem. Sendo A simétrica então A é ortogonalmentediagonalizável, isto é, existemD diagonal e PT ortogonaltais que D = PAPT . Assim
(uTAu > 0 para todo o u 6= 0),
, (uTPTDPu > 0 para todo o u 6= 0),
, ((Pu)T D (Pu) > 0 para todo o u 6= 0),
, (uTDu > 0 para todo o u 6= 0),
, (nXi=1
(ui)2 �i > 0 para todo o u 6= 0),
, (�i > 0 para todo o i = 1; :::; n)
onde �1; :::; �n são os valores próprios deA são positivos.Logo A é de�nida positiva.
Raíz quadrada
A 2Mn�n(R) tal que A é simétrica.
Então, são equivalentes:
(i) A é de�nida positiva (uTAu > 0 8u 6= 0)
(ii) Existe existe uma "raíz quadrada" de A, isto é, existeuma matriz simétrica e de�nida positiva B tal que
A = B2
isto é
B = A1=2
(iii) Existe uma matriz invertível S tal que
A = STS
SendoA simétrica e de�nida positiva existem 2n matrizessimétricas B tais que
B2 = A
No entanto existe uma única matriz simétrica e de�nidapositiva B; a "raíz quadrada" de A tal que
B2 = A
escreve-se
B =pA
Dem. (i) ) (ii) Supondo que A é de�nida positiva,vejamos que existe uma matriz simétrica de�nida positivaB tal que A = B2.
Como A é simétrica, então A é ortogonalmente diago-nalizável, isto é, existe uma matriz ortogonal P tal que
PAPT = D =
26664�1 0 � � � 00 . . . . . . ...... . . . 00 � � � 0 �n
37775onde �1; :::; �n são os valores próprios de A, os quais sãotodos positivos por A ser de�nida positiva, tendo-se
D =�D0�2
com
D0 =
26664p�1 0 � � � 00 . . . . . . ...... . . . 00 � � � 0
p�n
37775 .Assim
A = PTDP = PT�D0�2P =
�PTD0P
� �PTD0P
�= B2
com
B = PTD0P
simétrica:
BT =�PTD0P
�T= PT
�D0�T �
PT�T= PTD0P = B
e de�nida positiva uma vez que os valores próprios dePTD0P são os de D0.
(ii) ) (iii) Supondo que existe uma matriz simétricade�nida positiva B tal que A = B2, vejamos que existeuma matriz invertível S tal que
A = STS:
Como B é simétrica e de�nida positiva, basta fazer S =B para ter-se
A = B2 = BB = STS
com S simétrica e invertível uma vez que sendoB de�nidapositiva, 0 não é valor próprio de B.
(iii) ) (i) Supondo que existe uma matriz invertível Stal que A = STS, vejamos que A é de�nida positiva,isto é, vejamos que
uTAu > 0;
para todo o u 6= 0. Tem-se
uTAu = uTSTSu = (Su)T Su = kSuk2 > 0
para todo o u 6= 0, uma vez que S é invertível.
Exemplos
Existem in�nitas
vuut" 1 00 1
#por exemplo
1
t
"�s �r�r �s
#com s; r; t 2 N tais que t2 = s2+r2 (triplos pitagóricos)
Não existe
vuut" 0 10 0
#
A =
"4 11 4
#valores próprios de A: 3 e 5
vectores próprios associados a 3: L (f(�1; 1)g) n f0g
vectores próprios associados a 5: L (f(1; 1)g) n f0g
"3 00 5
#=
24 �p22 p22p
22
p22
35 " 4 11 4
# 24 �p22 p22p
22
p22
35
B =
24 �p22 p22p
22
p22
35 " p3 0
0p5
# 24 �p22 p22p
22
p22
35 =
=
"12
p3 + 1
2
p5 1
2
p5� 1
2
p3
12
p5� 1
2
p3 1
2
p3 + 1
2
p5
#=pA
B2 =
"12
p3 + 1
2
p5 1
2
p5� 1
2
p3
12
p5� 1
2
p3 1
2
p3 + 1
2
p5
#2=
"4 11 4
#
valores próprios de A: 0 e 3
base de R3 formada só por vectores próprios:
8>><>>:(�1; 0; 1) ; (�1; 1; 0)| {z }2N (A)nf0g
; (1; 1; 1)| {z }2N (A�3I)nf0g
9>>=>>;264 1 1 11 1 11 1 1
375| {z }
A
=
264 �1 �1 10 1 11 0 1
375| {z }
P�1
264 0 0 00 0 00 0 3
375| {z }
D
2664�13 �
13
23
�1323 �13
13
13
13
3775| {z }
P
=
=
0BBBBBBB@264 �1 �1 10 1 11 0 1
375| {z }
P�1
264 0 0 00 0 0
0 0p3
375| {z }p
D
2664�13 �
13
23
�1323 �13
13
13
13
3775| {z }
P
1CCCCCCCA
2
pA =
264 �1 �1 10 1 11 0 1
375| {z }
P�1
264 0 0 00 0 0
0 0p3
375| {z }p
D
2664�13 �
13
23
�1323 �13
13
13
13
3775| {z }
P=
=
26664p33
p33
p33p
33
p33
p33p
33
p33
p33
37775
base ortogonal de R3 formada só por vectores próprios:
8>>>><>>>>:(�1; 0; 1) ; (�1; 1; 0)�1
2(�1; 0; 1)| {z }
2N (A)nf0g
; (1; 1; 1)| {z }2N (A�3I)nf0g
9>>>>=>>>>; =
f(�1; 0; 1) ; (�1; 2;�1) ; (1; 1; 1)g
base ortonormada deR3 formada só por vectores próprios:
8>>>>><>>>>>: �p2
2; 0;
p2
2
!;
�p6
6;
p6
3;�p6
6
!| {z }
2N (A)nf0g
;
p3
3;
p3
3;
p3
3
!| {z }2N (A�3I)nf0g
9>>>>>=>>>>>;
pA =
26664�p22 �
p66
p33
0p63
p33p
22 �
p66
p33
37775| {z }
PT
264 0 0 00 0 0
0 0p3
375| {z }p
D
26664�p22 0
p22
�p66
p63 �
p66p
33
p33
p33
37775| {z }
P
=
Formas quadráticas
Equação quadrática em duas variáveis x e y:
ax2 + by2 + 2cxy + dx+ ey + f = 0
hx y
i " a cc b
#| {z }
A
"xy
#+hd e
i " xy
#| {z }u
+ f = 0
(A real simétrica). Q : R2 ! R,
Q (u) = uTAu = ax2 + by2 + 2cxy
forma quadrática associada à equação quadrática
Equação quadrática em n variáveis x1; x2; : : : ; xn:
uTAu+Bu+ � = 0
u 2 Mn�1 (R), A =�aij�real simétrica n � n, B 2
M1�n (R) e � escalar.
Q : Rn ! R Q (u) = uTAu =nPi=1
nPj=1
aijxj
!xi
forma quadrática associada à equação quadrática
A real (simétrica) n� n.
A forma quadrática Q : Rn ! R
Q (u) = uTAu
é:
de�nida positiva se uTAu > 0, para todo o u 6= 0;
de�nida negativa se uTAu < 0, para todo o u 6= 0;
semide�nida positiva se uTAu � 0, para todo o u;
semide�nida negativa se uTAu � 0, para todo o u;
inde�nida se existirem pontos onde uTAu seja positivae pontos onde uTAu seja negativa.
A 2Mn�n(R), A simétrica. Então
A é de�nida positiva, todos os valores próprios de Asão positivos;
A é de�nida negativa , todos os valores próprios deA são negativos;
A é semide�nida positiva , todos os valores própriosde A são não negativos;
A é semide�nida negativa, todos os valores própriosde A são não positivos;
A é inde�nida , A tem pelo menos um valor própriopositivo e outro negativo.
Em R3
u =
264 xyz
375 A =
264 a d ed b fe f c
375 B =
264 ghi
375ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz+gx+hy+iz+� = 0
À super�cie resultante da equação anterior chama-se quá-drica. Existem quatro tipos de quádricas não degener-adas: elipsóides, hiperbolóides (de uma ou duas folhas),cones e parabolóides (elípticos ou hiperbólicos).
Em R2: Cónica ou secção cónica é a curva plana obtidapor meio de um corte efectuado por um plano relativa-mente a uma superfície cónica. As secções cónicas quese obtêm quando o plano que efectua o corte não passapelo vértice da superfície cónica, são elipses (os valorespróprios têm o mesmo sinal) (podendo ter-se circunfer-ências: quando o corte é efectuado perpendicularmenteao eixo de simetria do cone), parábolas (um dos doisvalores próprios é zero) e hipérboles (os dois valorespróprios têm sinais contrários).
3x2 + 4xy + 3y2 = 4 elipse
Q(x; y) = 3x2 + 4xy + 3y2 =hx y
iA
"xy
#=
=hx y
iPTDP
"xy
#=hx0 y0
iD
"x0
y0
#=
=hx0 y0
i " 1 00 5
# "x0
y0
#=�x0�2 + 5 �y0�2
com
"xy
#= PT
"x0
y0
#
A =
"3 22 3
#D =
"1 00 5
#
P�1 = PT =
26664p2
2
p2
2
�p2
2
p2
2
37775 =264 cos
�
4sen
�
4� sen �
4cos
�
4
375
x2 + 5y2 = 4 elipse
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
3x2 + 4xy + 3y2 = 4 elipse
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
4x2 � 3y2 = 4 hipérbole
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
4x� 3y2 = 4 parábola
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
Mínimos quadrados
Au = b A 2Mm�n(R), b 2 Rn
bu 2 Rn é a melhor solução aproximada ou solução demínimos quadrados de Au = b se
kb�Abuk � kb�Auk8u 2 Rn
kb�Abuk é o erro de mínimos quadradosAu 2 C (A) para todo o u 2 Rn
a distância kb�Auk é mínima se
Au = PC(A) (b)
isto é
ATAu = AT b
é a equação normal associada a Au = b.
(i) As soluções de mínimos quadrados do sistema linearAu = b são as soluções da equação normal
ATAu = AT b:
(ii) Se carA = n então a equação normalATAu = AT btem a solução única
bu = �ATA
��1AT b
PC(A) (b) = Abu = A �ATA��1AT bisto é,
A�ATA
��1AT
é a matriz que representa a projecção ortogonal PC(A).
N (A) = N�ATA
�
(x1; y1) ; : : : ; (xm; ym), y = a0 + a1x
8><>:y1 = a0 + a1x1
...ym = a0 + a1xm
264 1 x1... ...1 xm
375 " a0a1
#=
264 y1...ym
375
A =
264 1 x1... ...1 xm
375 ; u =
"a0a1
#, b =
264 y1...ym
375se carA = 2 a equação normal
ATAu = AT b
tem como única solução de mínimos quadrados
bu = �ATA
��1AT b
Assim, a recta de mínimos quadrados y = a0 + a1x é arecta que torna mínimos os quadrados
(y1 � (a0 + a1x1))2+� � �+(ym � (a0 + a1xm))2 = kb�Abuk2kb�Abuk é o erro de mínimos quadrados
(x1; y1) ; : : : ; (xm; ym) y = a0 + a1x+ :::+ anxn8><>:
y1 = a0 + a1x1 + � � �+ anxn1...ym = a0 + a1xm + � � �+ anxnm
264 1 x1 � � � xn1... ... ...1 xm � � � xnm
37526664a0a1...an
37775 =264 y1
...ym
375
A =
264 1 x1 � � � xn1... ... ...1 xm � � � xnm
375 u =
26664a0a1...an
37775 b =
264 y1...ym
375
se carA = n+ 1 e então a equação normal
ATAu = AT b
tem como única solução de mínimos quadrados
bu = �ATA
��1AT b:
y =3
2+ x é a recta de mínimos quadrados relativa aos
pontos (0; 1) ; (1; 3) ; (2; 4) e (3; 4) :
A =
266641 01 11 21 3
37775 b =
266641344
37775carA = 2, a solução de mínimos quadrados é única:
bu = "a0a1
#=�ATA
��1AT b =
=
0BBB@"1 1 1 10 1 2 3
# 266641 01 11 21 3
377751CCCA�1 "
1 1 1 10 1 2 3
# 266641344
37775 ="3=21
#
kb�Abuk =
vuut (y1 � (a0 + a1x1))2 + (y2 � (a0 + a1x2))2+(y3 � (a0 + a1x3))2 + (y4 � (a0 + a1x4))2
=
=
s25
16+1
4+1
16+1
4=
p34
4.
Um produto interno em C ([a; b])
h; i : C ([a; b])� C ([a; b])! R
(f; g) ! hf; gi =Z baf (x) g (x) dx.
Prova da positividade: hf; fi > 0 para toda a funçãonão nula. Seja f 2 C ([a; b]). Seja x0 2 [a; b] tal quef (x0) 6= 0. Como f2 é contínua em [a; b], existe umintervalo I � [a; b] tal que para todo o x 2 I
(f (x))2 � (f (x0))2
2.
Logo
hf; fi =Z ba(f (x))2 dx �
ZI(f (x))2 dx �
ZI
(f (x0))2
2dx =
=(f (x0))
2
2
ZIdx =
(f (x0))2
2jIj > 0
onde jIj denota o comprimento do intervalo I.
Polinómio de Taylor versus Mínimos quadrados
1Z�1f (t) g (t) dt produto interno em C [�1; 1]
n1; t; t2
obase de U = L
�n1; t; t2
o�� C [�1; 1]
Gram-Schmidt:n1; t;�13 + t
2obase ortogonal de L
�n1; t; t2
o�PU
�et�= proj1 e
t + projt et + proj�13+t2
et =
= 12
�e� 1
e
�+ 3et+
154
�e� 7
e
� ��13 + t
2�
1Z�1
��13+t
2�etdt
1Z�1
��13+t2
�2dt
��13 + t
2�= 15
4
�e� 7
e
� ��13 + t
2�
et � PU �et� =
=
vuuuut1Z�1
�et �
�12
�e� 1
e
�+ 3et+
154
�e� 7
e
� ��13 + t2
���2dt =
=
r�12e�2
�5e4 � 72e2 + 259
�� 3: 795 5� 10�2
Aproximação usando o polinómio de Taylor:
et � �1 + t+ 12t2� =
vuuuut1Z�1
�et �
�1 + t+ 1
2t2��2
dt =
=qsinh 2� 6 sinh 1 + 103
30 � 9: 479 8� 10�2
Produto externo e produto misto
Produto interno usual em R3
u = (u1; u2; u3) ; v = (v1; v2; v3) 2 R3
O produto externo (vectorial) de u por v:
u� v = (u2v3 � u3v2; u3v1 � u1v3; u1v2 � u2v1) =
=
����� u2 u3v2 v3
����� ;������ u1 u3v1 v3
����� ;����� u1 u2v1 v2
�����!=
=
����� u2 u3v2 v3
����� e1 ������ u1 u3v1 v3
����� e2 +����� u1 u2v1 v2
����� e3 ==
�������e1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3
������� = det264 e1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3
375fe1; e2; e3g é a base canónica de R3
u;v;w 2 R3 e � 2 R. Então
(i) e1�e2 = e3 (ii) e2�e3 = e1 (iii) e3�e1 = e2
(iv) u� v =� (v � u)
(v) u� (v +w) = u� v + u�w
(vi) (u+ v)�w = u�w + v �w
(vii) � (u� v) = (�u)� v = u� (�v)
(viii) u� 0 = 0� u = 0 (ix) u� u = 0
(x) Se u e v forem linearmente dependentes, u�v = 0
(xi) u� (v �w) = hu;wiv � hu;viw
(xii) (u� v)�w = hw;uiv � hw;viu
(xiii) ku� vk2 + hu;vi2 = kuk2 kvk2
(xiv) u� (v �w) +w� (u� v) + v� (w � u) = 0
Área do paralelogramo
u = (u1; u2; u3) ;v = (v1; v2; v3) 2 R3n f0g
� 2 [0; �] o ângulo entre u e v. Então
A área do paralelogramo de lados adjacentes u e v:
A = (base)(altura) = kuk kvk sen � = ku� vk
kuk kvk sen � =
= kuk kvkq1� cos2 � = kuk kvk
vuut1� hu;vi2
kuk2 kvk2
=qkuk2 kvk2 � hu;vi2 =
=
r�u21 + u
22 + u
23
� �v21 + v
22 + v
23
�� (u1v1 + u2v2 + u3v3)2 =
=q(u2v3 � u3v2)2 + (u3v1 � u1v3)2 + (u1v2 � u2v1)2 =
= k(u2v3 � u3v2; u3v1 � u1v3; u1v2 � u2v1)k = ku� vk
Área do triângulo
de vértices (x1; y1) ; (x2; y2) e (x3; y3):
1
2
�������det264 x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1
375�������
Volume do paralelepípedo
w = (w1; w2; w3) ;u = (u1; u2; u3) ;v = (v1; v2; v3) 2R3
hw;u� vi é o produto misto de u;v e w:
hw;u� vi = det
264 w1 w2 w3u1 u2 u3v1 v2 v3
375Sendo � o ângulo formado por w e u� v, o volume doparalelepípedo com um vértice em (0; 0; 0) e arestas w,u, v, é dado por
V = ku� vk| {z }área da face determinada por u e v
kwk jcos �j| {z }altura
=
= jhw;u� vij =
�������det0B@264 w1 w2 w3u1 u2 u3v1 v2 v3
3751CA�������
hu;u� vi = 0 hv;u� vi = 0
hu;v �wi = hu� v;wi
Sendo V o volume do hiperparalelepípedo determinadopor fw1; :::; wng, tem-se
V 2 =�det
hw1 � � � wn
i�2=
= dethw1 � � � wn
idet
hw1 � � � wn
i=
= det�hw1 � � � wn
iT�det
hw1 � � � wn
i=
= det�hw1 � � � wn
iT hw1 � � � wn
i�=
= det
0B@264 (w1)
T
� � �(wn)
T
375 h w1 � � � wni1CA =
= det
0B@264 (w1)
T w1 � � � (w1)T wn
. . .(wn)
T w1 � � � (wn)T wn
3751CA =
= det
0B@264 hw1; w1i � � � hw1; wni. . .hwn; w1i � � � hwn; wni
3751CA = detG.
Logo
V 2 = detG.
A distância entre duas rectas disjuntas r e s não paralelasde�nidas por:
r = fag+ L fug e s = fbg+ L fvg
é dada por:
d (r; s) =V
A=jhb� a; u� vijku� vk
onde os vectores b�a; u e v determinam o paralelepípedocuja altura é a distância entre as duas rectas, V é o vol-ume desse paralelepípedo e A é a área do paralelogramoque é a base do paralelepípedo.
Matrizes elementares e factorização triangular264 0 0 3 �9 j 65 15 �10 40 j �451 3 �1 5 j �7
375 �!
�!L1$L3
264 1 3 �1 5 j �75 15 �10 40 j �450 0 3 �9 j 6
375
264 0 0 10 1 01 0 0
375264 0 0 3 �9 j 65 15 �10 40 j �451 3 �1 5 j �7
375 =
=
264 1 3 �1 5 j �75 15 �10 40 j �450 0 3 �9 j 6
375
264 1 3 �1 5 j �75 15 �10 40 j �450 0 3 �9 j 6
375 �!
�!15L2!L2
264 1 3 �1 5 j �71 3 �2 8 j �90 0 3 �9 j 6
375
264 1 0 00 1=5 00 0 1
375264 1 3 �1 5 j �75 15 �10 40 j �450 0 3 �9 j 6
375 =
=
264 1 3 �1 5 j �71 3 �2 8 j �90 0 3 �9 j 6
375
264 1 3 �1 5 j �71 3 �2 8 j �90 0 3 �9 j 6
375 �!
�!�L1+L2!L2
264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 3 �9 j 6
375
264 1 0 0�1 1 00 0 1
375264 1 3 �1 5 j �71 3 �2 8 j �90 0 3 �9 j 6
375 =
=
264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 3 �9 j 6
375
264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 3 �9 j 6
375 �!
�!3L2+L3!L3
264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 0 0 j 0
375
264 1 0 00 1 00 3 1
375264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 3 �9 j 6
375 =
=
264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 0 0 j 0
375
E23 (3)E12 (�1)E2�1
5
�P13
264 0 0 3 �9 j 65 15 �10 40 j �451 3 �1 5 j �7
375 =
=
264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 0 0 j 0
375
Matriz elementar é uma matriz do tipo n � n obtidade I através de uma única operação elementar.
A matriz de permutação Pij é a matriz elementarobtida por troca da linha i com a linha j de I.
Pij =
266666666666666666664
1 0 � � � � � � 00 . . . . . . ...... . . . 1
0 11. . .
11 0
1 . . . ...... . . . . . . 00 � � � � � � 0 1
377777777777777777775
i
j
A matriz Ei(�) é a matriz elementar obtida da matrizI através do produto do escalar � 6= 0 pela linha i damatriz I.
Ei(�) =
266666666664
1 0 � � � � � � 00 . . . . . . ...... . . . 1
�1 . . . ...
... . . . . . . 00 � � � � � � 0 1
377777777775 i
A matriz Eij(�) é a matriz elementar obtida de I porsoma da linha j com um múltiplo � da linha i. Parai < j:
Eij(�) =
266666666664
1 0 � � � � � � 00 . . . . . . ...... . . . 1
. . .� 1 . . . ...
... . . . . . . 00 � � � � � � 0 1
377777777775
i
j
Eij(�), com i < j, são matrizes triangulares inferiores
Eij(�), com i > j, são matrizes triangulares superiores
�Pij
��1= Pij
(Ei(�))�1 = Ei(1=�) para � 6= 0
�Eij(�)
��1= Eij(��)
As matrizes elementares do tipo 2� 2 são:
P12 = P21 =
"0 11 0
#
E1(�) =
"� 00 1
#E2(�) =
"1 00 �
#
E12(�) =
"1 0� 1
#E21(�) =
"1 �0 1
#
ou A = LU ou PA = LU
E23(�14)E13(32)E12(1)
264 �2 �1 22 �1 03 1 2
375| {z }
A
=
264 �2 �1 20 �2 2
0 0 92
375| {z }
U
A = (E12(1))�1 �E13(32)��1 �E23(�14)��1
264 �2 �1 20 �2 2
0 0 92
375
A = E12(�1)E13(�32)E23(14)| {z }
L
264 �2 �1 20 �2 2
0 0 92
375| {z }
U
A =
264 1 0 0�1 1 0
�3214 1
375| {z }
L
264 �2 �1 20 �2 2
0 0 92
375| {z }
U
ou A = LU ou PA = LU
E23�35
�E12 (�5)P13
264 0 0 3 �9 65 15 �10 40 �451 3 �1 5 �7
375| {z }
A
=
=
264 1 3 �1 5 �70 0 �5 15 �100 0 0 0 0
375| {z }
U
P = P13 =
264 0 0 10 1 01 0 0
375
PA = E12 (5)E23
��35
�| {z }
L
264 1 3 �1 5 �70 0 �5 15 �100 0 0 0 0
375| {z }
U
PA =
264 1 0 05 1 0
0 �35 1
375| {z }
L
264 1 3 �1 5 �70 0 �5 15 �100 0 0 0 0
375| {z }
U
E34
��12
�P24
266641 2 3 40 0 5 60 0 10 60 1 7 8
37775| {z }
A
=
266641 2 3 40 1 7 80 0 10 60 0 0 3
37775| {z }
U
P = P24 =
266641 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
37775
PA = E34
�1
2
�| {z }
L
266641 2 3 40 1 7 80 0 10 60 0 0 3
37775| {z }
U
PA =
26666641 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 01
21
3777775| {z }
L
266641 2 3 40 1 7 80 0 10 60 0 0 3
37775| {z }
U
Factorização triangular
Consequências do método de eliminação de Gauss
A m� n. Então
ou A = LU ou PA = LU
P é uma matriz de permutação
L é triangular inferior com as entradas da diagonal prin-cipal todas iguais a 1
U é uma matriz em escada
Se A é n�n e invertível então as factorizações anterioressão únicas e U é triangular superior e as entradas dadiagonal principal são os pivots
A invertível, (A = produto de matrizes elementares)
("Outro" modo de calcular a inversa de uma matriz in-vertível)
Teorema. A 2Mn�n(R). São equivalentes:
(i) A é igual ao produto de matrizes elementares
(ii) A é invertível
(iii) Au = 0 tem apenas a solução trivial u = 0
(iv) Au = b tem solução única u para cada b 2 Rn
(v) carA = n
(vi) nulA = 0
(vii) detA 6= 0 (Num próximo capítulo)
(viii) ATA é invertível
(ix) N (A) = f0g
(x) As colunas de A geram Rn
(xi) As colunas de A são independentes
(xii) As colunas de A formam uma base de Rn
(xiii) As linhas de A geram Rn
(xiv) As linhas de A são independentes
(xv) As linhas de A formam uma base de Rn
(xvi) A transformação linear T : Rn ! Rn de�nida porT (u) = Au, para u 2 Rn, é sobrejectiva.
(xvii) A transformação linear T : Rn ! Rn de�nida porT (u) = Au, para u 2 Rn, é injectiva.
(xviii) A transformação linear T : Rn ! Rn de�nidapor T (u) = Au, para u 2 Rn, é bijectiva.