Aplica Geo
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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
de primer orden
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Aplicaciones Geométricas
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
TL
Y
NL
)(: xfY
A
),( yxP
C D EX
)(' xXyyY
I
TL
Y
NL
)(: xfY
A
),( yxP
C D EX
Ec. Recta Tangente:
22)'
(),( yy
yEPd
)('
1xX
yyY
'0 xyyYx Punto A:
Punto E: '
0y
yxXy
Ec. Recta Normal:
Punto C: '0 yyxXy
Long. Tg.
22)'(),( yyyCPd Long.Normal
'0)
'(),( 22
y
y
y
yEDd Sub. Tg.
'0)'(),( 22 yyyyCDd Sub. No.
• Problema: Un triangulo formado por la tangente a una curva en un punto cualquiera de P de ellos ,el eje Y y OP (donde O es el origen de coordenadas) es isósceles y tiene su base en el eje Y. Hallar la familia de curvas que cumplan lo requerido.
Solución: Datos: OP=AP
Además por ser isósceles:𝐵 =𝐴+𝑂
2 , pero B=(0,y) A=(0,2y)
Además : y’=𝑦−2𝑦
𝑥−0 = -
𝑦
𝑥
𝑑𝑦
𝑦= −
𝑑𝑥
𝑥 Lny=-lnx + lnc , de donde.
xy=c
u
uxuu
u
uxu
u
uxuu
uxx
uxxuu
xuuyuxy
yx
yyyx
y
y
yxy
y
1'
1'
1''
'' Sea
''
0y'
y Si a)
:casos 2Habrán
. tangenciade punto el es y)P(x, donde '
:Solución
" tangenciade punto del scoordenada de suma la a igual es
esubtangent la de longitud la" :propiedad siguiente la satisfacen quexy
plano elen curvas de familia la deecuación laHallar : 2 Ejemplo
2
c
yyLnxCyLn
y
x
CyLny
xCxLnxLnyLn
y
x
CxLnx
yLn
y
x
x
yuCxLnuLn
u
x
dxduuu
x
dxdu
u
u
1
11
1
1
12
2
:entonces Como .1
:obtenemos Integrando
1
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
22222
22
2
2
2
22
1
2
2
2
21
11222
1
22
1
2
1
1
2'
1'
1''
'' Sea
''
0'
Si b)
cyxyxcyxx
c
x
yx
x
cu
x
cuu
x
cLnuuLn
CxLnuuLn
x
dxdu
uu
u
u
uuxu
uu
uxu
u
uxuu
uxx
uxxuu
xuuyuxy
yx
yyyx
y
y
y
y
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Problema:
Determinar la ecuación de la familia de curvas que gozan de la siguiente propiedad: “ El área del trapecio limitado por los ejes coordenados, la tangente en un punto cualquiera de la curva y la ordenada del punto de tangencia sea siempre igual a “b” unidades cuadradas”.
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Por dato: (PB+OA) . OB/2 = b ……………………..(1) Sabemos que PB = y, OB =x, OA =? Sea A = (0; y1) Entonces y'= ( y-y1)/x Entonces y1 = y-x y' luego OA =y1 = y-x y' Reemplazando en (1) (y+ y-x y')x/2 = b → (2xy-2b)-x2 = 0 → (2xy – 2b)dx – x2dy = 0…..(1) M = 2xy – 2b → = 2x N = -x2→ = -2x Son diferentes por ello buscamos el factor integrante
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Si depende de X → u(x)= Donde g(x)= → = →u(x) = x-4 X F.I: (2xy -2b)x-4dx – x-2dy = 0 →M* = 2x-3 -2bx-4, N* = – x-2 Sea F(x;y) = c la solución entonces
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
= M* y = N* De = N* F(x; y) = dy + h(x) = -x-2y + h(x) ……(2) De = M* → 2x-3y + h'(x) = 2x-3y – 2bx-4 h'(x) = – 2bx-4 → h(x) = bx-3 En (2): F(x;y) = -x-2y + bx-3 = c
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Problema
• Hallar una curva que tenga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto.
• .
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
1d
d
0
Y
X
tL
00 , yxp
xfy
.0xd
0'| xymL pt
00: xxmLyyL tt
0: 0
1
000
1 xyyxyyxxyLt
1',0
2
0
0
1
00
xy
xyxyLd t
0,0 xLd t
Por dato del problema
Además y la ecuación de la tangente es:
Por condición del problema se tiene:
02
0
0
1
00
1'
,x
xy
xyxy
generalizando en cualquier punto se tiene:
211
21
1
11
yxxyyxy
xyy
212221212 2 yxxYxxyyy
02 122 xyyxy de donde
,0222 xydydxxy es homogénea
sea xduudxdyuxy
02 2222 xduudxuxdxxxu
0212 xduudxudxu
,0212 uxdudxu separando las variables.
01
22
duu
u
x
dx
Lncduu
u
x
dx
1
22
, integrando
cuxLncuLnLnx 11 22
x
yu de donde
por lo tanto: .22 cxyx
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
•Hallar la curva para la cual, la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY, al radio vector es una cantidad constante positiva
PROBLEMA
• Por dato se tiene La ecuación de la recta tangente es:
Lt : y0= y-M(x-xo) , de donde Lt :
Para x=0 se tiene
luego : , generalizando se tiene :
,
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• Sea :
Remplazando:
→
separando las variables:
→
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Entonces:
→
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
PROBLEMA03:
Hallar la curva cuyas tangentes corten en los ejes coordenados
segmentos cuya suma se igual a 2a.
De la ecuación de la pendiente tenemos:
- (X-x)…………………………………*
Para el punto (0, y1)
Reemplazando en * tenemos: y1= -
Para el punto (X1,0)
Reemplazando en * tenemos: X1= -
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Reemplazamos en el dato:
X1 +y1= 2 a
- + - =2 a
Ahora derivamos respecto a “x”:
1-( )- - =0
=
de ahí tenemos dos soluciones:
=0 Y=CX+C1
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x=
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
PROBLEMA 7. Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área constante S =2a
Solución:
(0,h)
(b,0)
h
b
Y=f(x)
(x,y)
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Nos dicen:
aSbxh
A 22
Es decir bxh=4a …..(1)
Pero xyyh
x
hyy ''
También: '
'y
yxb
bx
yy
Reemplazando en (1)
2.....'4''4´
'4'4'
'4'.
'
'
4''
22
ayxyyayxyy
ayxyyay
xyyaxyy
y
yxy
axyyy
yx
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Sea:
)3....(4' apxpypy
Derivando (3)
0'4
2
'442
1'' 2
1
pap
ax
apapxppy
Si p=0
generalsoluciónacxcy
En
ctecp
4
:3
.
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Cálculo de la solución singular del sistema del sistema:
04
2
4
ap
ax
acxcy
Eliminado “p” obtenemos: x
ay
Rpta: curva
x
ay
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
•La tangente en un punto P de la curva, es bisectriz del ángulo formado por la ordenada y la recta que une P con el origen .Hallar la ecuación de la curva.
PROBLEMA
• Sub – Tang :
• Como: entonces
SOLUCION
Sea
Entonces
• Entonces la ecuación de la curva seria
PROBLEMA
Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal a cualquiera de sus puntos, es igual desde este punto al origen de coordenadas.
Solución:
DATO: OB = OT , donde
Problema: Por un punto P(x;y) de una curva que pasa por el origen se trazan dos rectas paralelas a los ejes coordenados, las que determinen un rectángulo con dichos ejes. Hallar la ecuación diferencial de la curva, de modo que ésta divida al rectángulo formado en dos regiones, donde el área de la parte derecha sea el triple del área de la parte izquierda.
Por dato y de la figura deducimos: 3A = ; 4A = xy = 3
x
0
ydx
x
0
ydx4
x
Solución:
x
0
ydx 4 = 3xy
Derivando y aplicando el primer teorema fundamental del cálculo resulta: 4y = 3xy’ + 3y Así, la ecuación diferencial pedida es la siguiente:
3xy’ = y
PROBLEMA
Hallar la curva para la cual, la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY, al radio vector es una cantidad constante positiva