RAZONES AFINES O RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS.En general, una razón de cambio con respecto al tiempo es la respuesta a la pregunta “¿Cuán rápido varía una cantidad?”. Estamos interesados en una amplia variedad de razones con respecto al tiempo: la razón con la que el agua fluye en un recipiente, la razón con la que crece un derrame de petróleo, el índice de aumento del valor de una propiedad, etc. Por ejemplo, si V representa un volumen que varía o cambia con el tiempo, entonces dV/dt es la razón, o la rapidez, a la cual está variando el volumen con respecto al tiempo. Una razón de, por ejemplo, dV/dT = 10 cm3/s, significa que el volumen está aumentado 10 centímetros cúbicos cada segundo. De manera semejante, si una persona va caminando hacia un poste de alumbrado a una razón constante de 3 pies/s entonces dx/dt = -3 pies/s. Por otra parte, si la persona camina alejándose del poste entonces dx/dt = 3 pies/s. Las razones negativa y positiva significan, desde luego, que la distancia x está disminuyendo o aumentando, respectivamente.

Si la variable y depende del tiempo t, entonces la derivada dy/dt se llama razón de cambio con respecto al tiempo. Por supuesto, si y mide la distancia, esta razón de cambio con respecto al tiempo se llama también velocidad. Si y se expresa en términos explícitos de t , el problema es simple; basta con derivar y calcular después el valor de la derivada en el tiempo requerido.

En las aplicaciones frecuentemente aparecen dos variables x y y que son funciones derivables del tiempo t; por ejemplo y . Además, x y y pueden estar relacionadas entre sí por medio de una ecuación del tipo . Derivando con respecto a t y usando la regla de la cadena se obtiene una ecuación en la que aparecen las razones de cambio respecto al tiempo dx/dt y dy/dt. Así que si sabemos algo respecto a dx/dt, todavía podemos encontrar dy/dt, ya que dy/dt y dx/dt son razones afines o razones de cambio relacionadas.

PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO.1. Sea t el tiempo consumido.

2. Dibuje un diagrama que sea válido para todo .

3. Indique las cantidades cuyos valores no cambien cuando aumente t, con sus valores constantes dados. Asigne literales a las cantidades que varían con t y marque las líneas adecuadas de la figura con estas variables.

4. Establezca qué datos de las variables se proporciona y que información se solicita sobre ella. Esta información tendrá la forma de derivadas con respecto a t.

5. Escriba una ecuación que relacione las variables y que sea válida para toda t>0, no sólo para un instante en particular. En algunas ocasiones requerirá alguna ecuación auxiliar que disminuya el número de variables involucradas.

6. Derive en forma implícita con respecto a t la ecuación encontrada en el paso 3. La ecuación resultante, que contiene derivadas con respecto a t, será válida para toda t>0.

7. Despeje la derivada deseada. Sustituya todos los datos que sean válidos en el momento particular para el que se requiere la respuesta del problema, en la ecuación encontrada en el paso 6.

NOTA: Asegúrese de haber completado el paso 6 antes de comenzar el 7. Un error muy frecuente proviene de introducir demasiado pronto en el proceso de resolución valores específicos para razones que son variables.

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Modelos matemáticos que algunas razones de cambio que se pueden usar en el paso 2 de la solución de problemas de razones de cambio.Enunciado verbal Modelo matemáticos

La velocidad de un automóvil tras una hora de viaje es de 90 km/h

x = distancia recorrida

= 90 km/h cuando t = 1 h

Se está bombeando agua dentro de una piscina a razón de 100 litros por minuto

V = volumen de agua en la piscina

= 100 litros/minuto

Un engranaje está girando a razón de 25 revoluciones por minuto (1 rev = 2 radianes)

= ángulo de revolución

= 25 (2) rad(min

EJEMPLOS.1. Si V es el volumen de un cubo cuya arista mide x cm, calcule dV/dt en función de dx/dt.

2. Si una bola de nieve se licua de tal suerte que su área superficial disminuye con una tasa de 1 cm2/min, calcule la tasa con que se reduce el diámetro en el momento en que mide 10 cm.

3. Las aristas de un cubo variable aumentan a razón de 3 pulgadas/seg. ¿Con qué rapidez aumenta el volumen del cubo cuando una arista tiene 10 pulgadas de longitud?

4. Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón constante de 2 cm/h. ¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm?

5. La altura de un triángulo aumenta a razón de 1 cm/min, mientras que su área lo hace a una razón de 2 cm2/min. ¿Con qué velocidad aumenta la base del triángulo cuando la altura es de 10 cm y el área es de 100 cm2?

6. Una piedra se suelta en un estaque tranquilo y produce una onda circular. Si el radio de la onda aumenta a razón de 2 pies/s,

a. ¿Con qué rapidez aumenta el diámetro?b. ¿Con qué rapidez crece la circunferencia?c. ¿Cuán rápidamente crece el área cuando el radio es de 3 pies?d. ¿Con qué rapidez aumenta el área cuando su valor es de 8 pies2?

7. Suponiendo que una burbuja de jabón mantenga su forma esférica cuando se expande, ¿qué tan rápido aumenta su radio cuando mide 2 pulgadas, si se sopla aire al interior a razón de 4 pulgadas3/segundo?

8. Cuando un depósito de agua cilíndrico de 12 m de diámetro se descarga, el nivel del agua disminuye a razón constante de 45 cm/min. ¿Con qué rapidez está disminuyendo el volumen del agua?

9. Un aeroplano vuela horizontalmente a una altura de 1 mi y con velocidad de 500 mi/h. Pasa directamente sobre una estación de radar. Calcule la velocidad con que aumenta la distancia del avión a la estación, cuando se encuentra a 2 mi de ella.

10. A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre

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ambos a las 4:00 pm?

11. Dos automóviles parten del mismo punto. Uno va hacia el sur a 50 mi/h y el otro hacia el oeste a 25 mi/h. ¿Con qué velocidad aumenta la distancia entre ellos después de 2 horas?

12. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 pies de lado. Un bateador le pega a la bola y corre hacia la primera base a una velocidad de 24 pies/s.

a. ¿con qué velocidad disminuye su distancia a la segunda base cuando está a la mitad del camino a la primera?

b. ¿Con qué velocidad aumenta su distancia a la tercera base en ese momento?

13. En un muelle un hombre tira de una cuerda atada a la proa de un pequeño bote. Si las manos del hombre están a 12 pies arriba del punto en el que la cuerda está atada al bote y si está recobrando la cuerda a razón de 3 pies/s, ¿con qué rapidez se aproxima el bote al muelle cuando faltan por recogerse 20 pies de cuerda?

14. Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda fija a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta polea está 1 m más alta que la proa del bote. Si se corre la cuerda a una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de él?

15. La cuerda de un papalote se desenrolla a razón de 3 pies/s. Si a una altura de 200 pies el viento arrastra la cometa horizontalmente, ¿cuál es la rapidez con que se mueve la cometa cuando se han desenrollado 400 pies de cuerda?

16. Una cometa a 100 pies del suelo se mueve horizontalmente con una velocidad de 8 pies/s. ¿Con qué velocidad cambia el ángulo formado por el hilo y la horizontal, cuando se han soltado 200 pies de cuerda?

17. Se derrama aceite de un tanque roto formando una mancha circular. Si el radio del círculo aumenta a razón constante de 1.5 pies/s, ¿con qué rapidez aumenta el área cubierta al término de 2 horas?

18. Un estudiante usa un popote para beber agua de un vaso de papel cónico, cuyo eje es vertical, a razón de 3 cm3/s. Si la altura del vaso es de 10 cm y el diámetro de la base es de 6 cm, ¿con qué rapidez baja el nivel del líquido cuando la profundidad es de 5 cm?

19. Una farola de una calle está montada en el extremo superior de un poste de 15 ft de alto. Un hombre cuya altura es de 6 ft se aleja del poste a una velocidad de 5 ft/s a lo largo de una trayectoria recta. ¿Con qué rapidez se mueve la punta de su sombra cuando el hombre está a 40 ft del poste?

20. Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina hacia el muro a una velocidad de 1.6 m/s, ¿con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el edificio cuando está a 4 m de la pared?

21. Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies con respecto a un observador que está al nivel del suelo. Si el globo se eleva verticalmente hacia arriba a razón de 8 pies por segundo, ¿con qué rapidez aumenta la distancia del observador al globo cuando éste se encuentra a 50 pies de altura?

22. En una cisterna cónica fluye agua a razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura de la cisterna es de 12 pies y el radio en su base circular es de 6 pies, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando ésta tiene 4 pies de profundidad?

23. El agua escapa de la parte inferior de un depósito cónico vertical a razón constante de 1 ft3/min. El depósito tiene un radio de 3 ft y una altura de 9 ft. ¿Con qué rapidez varía el nivel

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del agua cuando su altura sobre el fondo es de 6 pies? ¿A qué razón cambia el radio del espejo de agua en ese instante?

24. El agua se fuga de tanque cónico invertido a razón de 10,000 cm3/min, al mismo tiempo que se bombea agua hacia el tanque con un gasto constante. El tanque tiene 6m de altura y el diámetro en la parte superior es de 4 m. Si el nivel del agua se eleva a una velocidad de 20 cm/min cuando la altura del nivel es de 2 m, calcule la velocidad a la que se bombea el agua al tanque.

25. Un tanque tiene 10 pies de largo y sus extremos presentan la forma de triángulo isósceles, de 3 pies transversales en la parte superior y una altura de 1 pie. Si el canal se llena con agua a un flujo de 12 pies3/min, ¿con qué velocidad cambia el nivel del agua cuando hay 6 pulgadas de profundidad)

26. Un tanque de agua tiene 10 m de longitud y su sección transversal posee la forma de un trapezoide isósceles, de 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y 50 cm de altura. Si el tanque se llena con 0.20 m3/min de agua, ¿con qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad de ésta es de 30 cm?

27. Una piscina tiene 20 ft de ancho, 40 ft de largo y 3 ft de profundidad en un extremo y 8 ft en el otro; el fondo es rectangular. Si la piscina se llena a razón de 40 ft3/min, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando tiene 3 ft de profundidad en el extremo hondo?

28. Una mujer, de pie en un acantilado, observa con un telescopio un bote de motor él cual se aproxima a la playa que está directamente abajo de ella. Si el telescopio está 250 pies arriba del nivel del agua y si el bote se acerca a 20 pies por segundo, ¿con qué rapidez cambia el ángulo del telescopio con respecto al bote cuando éste se encuentra a 250 pies de la playa?

29. Un faro está en una isla pequeña a 3 km de distancia del punto más cercano P en una línea costera recta y su luz realiza cuatro revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el haz de luz a lo largo de la línea costera cuando está a 1 km de P? 4.1-24

30. Un atleta corre alrededor de una pista circular de 100 m de radio a una velocidad constante de 7 m/s. Un amigo del atleta está parado a una distancia de 200 m del centro de la pista. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre ellos cuando están separados 200 m?

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