∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ...

∆υναµική Μηχανών Ι – Ακαδηµαϊκό έτος: 2010 - 2011

©Ε.Μ.Π. – Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο ∆υναµικής και Κατασκευών

- 12.1 -

∆ΥΝΑΜΙΚΗ

ΜΗΧΑΝΩΝ

Ι



- 12.2 -

Copyright © ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο ∆υναµικής και Κατασκευών - 2010. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα.



- 12.3 -

Εκπαιδευτική Ενότητα 12η

Μετασχηµατισµός Laplace

Γενικά

Στις προηγούµενες Εκπαιδευτικές Ενότητες, παρουσιάσθηκαν οι εξής µέθοδοι υπολογισµού

της δυναµικής απόκρισης ενός συστήµατος:

• Μέθοδος Προσδιοριστέων Συντελεστών

• Μέθοδος Ιδιοανυσµατικού Μετασχηµατισµού

• Μέθοδος Συνάρτησης Μεταφοράς

Ένας επιπρόσθετος, εναλλακτικός, τρόπος υπολογισµού είναι η Μέθοδος Μετασχηµατισµού

Laplace. Η ιδιαίτερη αξία αυτού του τεχνικού τρόπου επίλυσης ∆ιαφορικών Εξισώσεων

(∆.Ε.) στη ∆υναµική έγκειται στο γεγονός ότι:

• Αποτελεί ένα εξαιρετικά πιο σύντοµο και περιεκτικό εργαλείο επίλυσης (∆.Ε.).

• Συµβάλλει στην αναπαράσταση, µε πολύ συνοπτικό τρόπο, της φυσικής συµπεριφοράς

ενός δυναµικού συστήµατος.

Αυτοί είναι και οι λόγοι, για τους οποίους θα ασχοληθούµε µε το Μετασχηµατισµό Laplace

στο πλαίσιο του µαθήµατος ‘∆υναµική Μηχανών Ι’.

∆ιατύπωση Μετασχηµατισµού Laplace

Η µαθηµατική διατύπωση του Μετασχηµατισµού Laplace µίας, χρονικά µεταβαλλόµενης,

ποσότητας ( )x t είναι:

( ) ( ) ( )0

stx t X s X e x t dt

∞ −= = = ∫L (1)

όπου ( )x t είναι µια συνάρτηση στο χρόνο και s είναι ένας µιγαδικός αριθµός, δηλαδή µία

ποσότητα µε ένα πραγµατικό µέρος σ και ένα φανταστικό µέρος jω :

s jσ ω= + (2)

Χρησιµοποιώντας τη γραφή Euler ενός µιγαδικού αριθµού, ισχύει:

( ) ( ): cos sin cos sinjj t Euler e jst t j t st t

e e e e e e t j tθσ ω θ θσ ω σ ω ω− + = +− − − − −= = → = − (3)

Ο συνδυασµός των Εξ.(1,3) δίδει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

Re Im

cos sin cos sint t tX s x t e t j t dt x t e tdt j x t e tdt

σ σ σω ω ω ω∞ ∞ ∞− − −= − = −∫ ∫ ∫

(4)

Έπεται, λοιπόν, ότι το µιγαδικό ολοκλήρωµα της Εξ.(1) ανάγεται στην ολοκλήρωση δύο

τµηµάτων: στην ολοκλήρωση του πραγµατικού µέρους και στην ολοκλήρωση του

φανταστικού µέρους (βλ. Εξ.(4)). Ο βασικός λόγος, για τον οποίο χρησιµοποιούµε την

αναπαράσταση µε µιγαδικούς αριθµούς, είναι το γεγονός ότι επιτυγχάνεται η συµπύκνωση

δύο πληροφοριών (πραγµατικό µέρος και φανταστικό µέρος) στην ίδια µεταβλητή. Πιο



- 12.4 -

συγκεκριµένα, στην ίδια αναπαράσταση, συνυπάρχει ένα σήµα (όρος te

σ−), το οποίο

µειώνεται εκθετικά, και ένα σήµα (όρος ( )cos sint j tω ω− ), το οποίο εκφράζει ταλάντωση.

Ανάλογα µε τις τιµές που λαµβάνουν οι µεταβλητές σ και ω (βλ. Εξ.(2), περιγράφεται µία

χαρακτηριστική δυναµική συµπεριφορά ενός συστήµατος. Συνεπώς, στην ίδια αναπαράσταση

είναι δυνατόν να συµπεριληφθεί ο µεταβατικός όρος και ο µόνιµος όρος της απόκρισης ενός

δυναµικού συστήµατος.

Από φυσικής απόψεως, η Εξ.(1) δηλώνει πόσο µοιάζει η απόκριση ( )x t στην

ταλάντωση ste

− . Με άλλα λόγια, ο Μετασχηµατισµός Laplace αποτελεί µία ποιοτική

γενίκευση της ανάπτυξης Fourier.

Στις εφαρµογές του Μηχανικού, χρησιµοποιούµε τυποποιηµένους πίνακες, στους οποίους

αναγράφονται οι Μετασχηµατισµοί Laplace διαφόρων συναρτήσεων. Για τις ανάγκες του

µαθήµατος ‘∆υναµική Μηχανών Ι’, χρήσιµοι είναι οι ακόλουθοι Μετασχηµατισµοί Laplace:

• Ιδιότητα γραµµικότητας:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

X s X s

a x t a x t a x t a x t X s X s+ = + = +

L L L (5)

• Πρώτη χρονική παράγωγος:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0o

x t s x s x s X s x s X x= − = − = −L L (6)

Ως o

x συµβολίζεται η τιµή της συνάρτησης τη χρονική στιγµή 0t = , ενώ παρατηρείται

ένα πολύ ενδιαφέρον χαρακτηριστικό του Μετασχηµατισµού Laplace: αυτό που στο πεδίο

του χρόνου είναι παράγωγος (όρος ( )x t ), στο πεδίο συχνότητας µεταφράζεται ως

πολλαπλασιασµός της µιγαδικής ποσότητας ( )X s επί τον µιγαδικό αριθµο s .

• Μετασχηµατισµός συνάρτησης ηµιτόνου:

( ) 2 2sin t

s

Ω Ω = + Ω L (7)

• Μετασχηµατισµός συνάρτησης συνηµιτόνου:

( ) 2 2cos

st

s

Ω = + Ω L (8)

• Μετασχηµατισµός συνάρτησης Heaviside ( )*H t :

( ) * 1H t

s

=

L (9)



- 12.5 -

Από τις Εξ.(7,8,9), διαπιστώνουµε ότι ο Μετασχηµατισµός Laplace µίας συνάρτησης,

οριζοµένης στο πεδίο του χρόνου, είναι ένα κλάσµα, στο οποίο ο αριθµητής και ο

παρονοµαστής είναι, εν γένει, πολυώνυµα της µιγαδικής µεταβλητής s .

Μετασχηµατισµός Laplace και συµπεριφορά µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος

Κατά τα γνωστά (π.χ. βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 02), η εξίσωση ισορροπίας ενός

µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος σε αρµονική διέγερση είναι:

( )cosomx cx kx F t+ + = Ω (10)

Η αδιαστατοποιηµένη έκφραση της Εξ.(10) (βλ. Παράρτηµα Α, Εξ.(Α.1-Α.6)), είναι:

( )2 22 cossx x x X tζω ω ω+ + = Ω (11)

Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(11), και λαµβάνοντας υπόψη τις

Εξ.(5,6,8), προκύπτει (αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα Α/Εξ.(Α.12)):

( )2 2 2

2 22o o o s

ss X sx x sX x X X

sζω ω ω − − + − + = + Ω

(12)

Οµαδοποιώντας τους όρους της Εξ.(12), προκύπτει:

( ) ( )2 2 2

2 22 2 o o s

ss s X s x x X

sζω ω ζω ω + + = + + + + Ω

(13)

Επιλύοντας την Εξ.(13) ως προς την µεταβλητή X , προκύπτει:

( )( ) 2

2 2 2 22 2

1 12

22o o s

ό ή έό ύ ά

sX s x x X

s s ss s

απ κριση σε αρµονικ δι γερσηαπ κριση σε ελε θερη ταλ ντωση

ζω ωζω ωζω ω

= + + + + + + Ω+ +

(14)

Στην Εξ.(14) εµφανίζεται ο όρος ( )2 22s sζω ω+ + , ο οποίος δεν είναι άλλος από το

χαρακτηριστικό πολυώνυµο του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος.1 Η θέση των ριζών

του συγκεκριµένου όρου, στο µιγαδικό επίπεδο, είναι εκείνη που προσδιορίζει πλήρως τη

συµπεριφορά του δυναµικού συστήµατος (οι εν λόγω ρίζες καλούνται ‘πόλοι του

συστήµατος’). Αναλυτικά, όλες οι δυνατές περιπτώσεις απεικονίζονται στο Σχήµα 1 και

περιγράφονται στον Πίνακα 1.

∆εδοµένου ότι το µιγαδικό επίπεδο καλείται και επίπεδο συχνότητας, έπεται ότι µε το

Μετασχηµατισµό Laplace επιτυγχάνεται η µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο

της συχνότητας. Αυτό, πρακτικά, σηµαίνει ότι µία ποσότητα, η οποία περιγράφεται ως

συνάρτηση στο πεδίο του χρόνου, εκφράζεται, µέσω του Μετασχηµατισµού Laplace, ως

πολυώνυµο της µιγαδικής µεταβλητής s στο πεδίο συχνότητας. Τέτοια πολυώνυµα, εκτός

1 Στην Εκπαιδευτική Ενότητα 02/Εξ.(13) είχε χρησιµοποιηθεί η µεταβλητή s για τη γραφή του χαρακτηριστικού πολυωνύµου.

Η επιλογή του συµβολισµού δεν ήταν τυχαία, διότι αντιστοιχεί στο σύµβολο s του Μετασχηµατισµού Laplace.



- 12.6 -

της µεγάλης ευχέρειας που παρέχουν στο µαθηµατικό χειρισµό (εκτέλεση υπολογισµών),

αποτελούν έναν πολύ συνοπτικό τρόπο περιγραφής της συµπεριφοράς ενός δυναµικού

συστήµατος.

Σχήµα 1: ∆υνατές θέσεις πόλων (σηµειώνονται ως αστερίσκοι) δυναµικού συστήµατος

Η φυσική σηµασία της θέσης των πόλων ενός συστήµατος περιγράφεται στον Πίνακα 1.

Πίνακας 1: Πόλοι δυναµικού συστήµατος στο µιγαδικό επίπεδο

Θέση Περιγραφή πόλων Φυσική σηµασία

(a) δύο πραγµατικοί πόλοι, µε αρνητικό

πραγµατικό µέρος

Ταλάντωση µε υπερκρίσιµη απόσβεση

(b) δύο πόλοι, συµµετρικοί, µε αρνητικό


Ταλάντωση µε υποκρίσιµη απόσβεση

(εκθετικά αποσβενόµενη ταλάντωση)

(c) δύο πόλοι, συµµετρικοί, µε µηδενικό


Ταλάντωση µηδενικής απόσβεσης

(ελεύθερη ταλάντωση µε συχνότητα

την ιδιοσυχνότητα του συστήµατος)

(d) δύο πόλοι, συµµετρικοί, µε θετικό


Ταλάντωση µε αυξανόµενο πλάτος

ταλάντωσης

(e) δύο πραγµατικοί πόλοι, µε θετικό


Ταλάντωση µε εκθετική αύξηση του

πλάτους ταλάντωσης



- 12.7 -

Καθίσταται, λοιπόν, φανερό, από το Σχήµα 1 και τον Πίνακα 1, ότι:

Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ( )2 22s sζω ω+ + στο µιγαδικό επίπεδο

καλούνται ‘πόλοι του συστήµατος’ και η θέση τους στο µιγαδικό επίπεδο

προσδιορίζει πλήρως τη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος.

Με βάση το Σχήµα 1 και τον Πίνακα 1, προκύπτει ότι:

• Αρνητικό πραγµατικό µέρος της µιγαδικής µεταβλητής s (δηλαδή 0σ < , βλ. Εξ.(2)),

δηλώνει θετική απόσβεση.

• Ισοδύναµα, θετικό πραγµατικό µέρος της µιγαδικής µεταβλητής s (δηλαδή 0σ > , βλ.

Εξ.(2)), δηλώνει αρνητική απόσβεση. Σε αυτήν την περίπτωση, στο σύστηµα προσδίδεται

ενέργεια (δεν καταστρέφεται ενέργεια), µε αποτέλεσµα την αύξηση του πλάτους της

ταλάντωσης (αύξηση του πλάτους της απόκρισης).

• Ύπαρξη συζυγών µιγαδικών ριζών, δηλαδή µη-µηδενικό φανταστικό µέρος της µιγαδικής

µεταβλητής s (δηλαδή 0ω ≠ , βλ. Εξ.(2)), δηλώνει ταλαντωτική συµπεριφορά.

• Μηδενικό φανταστικό µέρος της µιγαδικής µεταβλητής s (δηλαδή 0ω = , βλ. Εξ.(2)),

δηλώνει µη-ταλαντωτική συµπεριφορά.

Παρατηρήσεις επί του Μετασχηµατισµού Laplace

Με τον Μετασχηµατισµό Laplace επιτυγχάνεται η µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο

πεδίο της συχνότητας. Το αντίστροφο, δηλαδή η µετάβαση από το πεδίο της συχνότητας στο

πεδίο του χρόνου, επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια του Αντιστρόφου Μετασχηµατισµού Laplace.

Και σε αυτήν την περίπτωση, για τις εφαρµογές του Μηχανικού, χρησιµοποιούµε έτοιµους

πίνακες, από τους οποίους αντλούµε τη σχέση για τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace

που µας ενδιαφέρει. Για παράδειγµα, από πίνακες βρίσκουµε ότι ισχύουν οι αντίστροφοι

µετασχηµατισµοί (αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα Β):

( ) ( )1

2 2cos sin

2

t

n n

n

se t t

s s

ζω ζωω ω

ζω ω ω− −

= − + +

L , 21

nω ω ζ= − (15)

( )1

2 2

1 1sin

2

t

n

n

e ts s

ζω ωζω ω ω

− − =

+ + L ,

21nω ω ζ= − (16)

Υπενθυµίζεται ότι ως nω συµβολίζεται η συχνότητα αποσβενόµενης ταλάντωσης (βλ.

Εκπαιδευτική Ενότητα 03, Πίνακα 2). Εφαρµόζοντας τις Εξ.(15,16) στην Εξ.(14),

επιτυγχάνεται η επιστροφή από το πεδίο συχνότητας στο πεδίο του χρόνου. Ως

χαρακτηριστικό παράδειγµα, παρατίθεται στο Παράρτηµα Γ η αναλυτική εφαρµογή του

αντιστρόφου Μετασχηµατισµού Laplace στον υπολογισµό της απόκρισης µονοβάθµιου

δυναµικού συστήµατος m c k− − υποκρίσιµης απόσβεσης και υπό αρµονική διέγερση.



- 12.8 -

Εν γένει, ένα δυναµικό σύστηµα διαθέτει ιδιοσυχνότητες και µη-µηδενικό λόγο απόσβεσης.

Στην περίπτωση της υποκρίσιµης απόσβεσης, η θέση των πόλων του συστήµατος στο

µιγαδικό επίπεδο και η αντίστοιχη πολική αναπαράσταση απεικονίζονται στο Σχήµα 2.

Σχήµα 2: Πολική αναπαράσταση στο µιγαδικό επίπεδο µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος

m c k− − µε υποκρίσιµη απόσβεση

Η απόσταση των πόλων από την αρχή των αξόνων (βλ. Σχήµα 2) εκφράζει τη φυσική

συχνότητα του συστήµατος (εξ ου και η ονοµασία του µιγαδικού επιπέδου ως ‘επίπεδο

συχνότητας’). Η εφαπτοµένη της γωνίας θ , η οποία σχηµατίζεται µεταξύ του ευθυγράµµου

τµήµατος, που εκφράζει τη φυσική συχνότητα, και του άξονα των φανταστικών αριθµών (βλ.

Σχήµα 2) σχετίζεται µε το λόγο απόσβεσης ζ του συστήµατος. Μηδενική γωνία θ

αντιστοιχεί σε µηδενικό λόγο απόσβεσης ( 0ζ = ), ενώ γωνία 90oθ = αντιστοιχεί σε

µοναδιαίο λόγο απόσβεσης ( 1ζ = ). Αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα ∆.

Επίσης, επισηµαίνεται ότι ο Μετασχηµατισµός Laplace:

• Αποτελεί τον πιο σύντοµο τεχνικό δρόµο επίλυσης ∆ιαφορικών Εξισώσεων.

• Για τεχνικές εφαρµογές Μηχανικού, είναι εξαιρετικά απλός στην εφαρµογή του, διότι η

συνδυασµένη χρήση της τεχνικής των µερικών κλασµάτων και έτοιµων πινάκων µε

µετασχηµατισµούς Laplace βασικών συναρτήσεων απαλλάσσει από τον αναλυτικό

υπολογισµό των εµπλεκοµένων ολοκληρωµάτων.

• Με συνοπτικό τρόπο, εκφράζει τη δυναµική συµπεριφορά ενός συστήµατος: από τη θέση

των πόλων του δυναµικού συστήµατος (ρίζες του αντιστοίχου χαρακτηριστικού

πολυωνύµου) στο µιγαδικό επίπεδο, προσδιορίζεται η δυναµική απόκριση του

συστήµατος σε ελεύθερες ταλαντώσεις.

Υπολογισµός χρονικής απόκρισης µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος µε Αντίστροφο

Μετασχηµατισµό Laplace

Η απόκριση του µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος στο πεδίο συχνότητας (βλ. Εξ.(14), η

οποία επαναλαµβάνεται εδώ για την πληρότητα του κειµένου) είναι:

( )( ) 2

2 2 2 22 2

1 12

22o o s

ό ή έό ύ ώ

sX s x x X

s s ss s

απ κριση σε αρµονικ δι γερσηαπ κριση σε ελε θερες ταλαντ σεις

ζω ωζω ωζω ω

= + + + + + + Ω+ +

(17)



- 12.9 -

Στο δεξί µέλος της Εξ.(17) διακρίνονται δύο όροι:

• Ο πρώτος όρος περιγράφει την απόκριση του συστήµατος σε ελεύθερη ταλάντωση, ενώ οι

ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου (πόλοι του συστήµατος) καθορίζουν τον τύπο

της δυναµικής συµπεριφοράς.

• Ο δεύτερος όρος περιγράφει την απόκριση του συστήµατος σε αρµονική διέγερση.

Η Εξ.(17) (ισοδύναµα, η Εξ.(14)) προέκυψε από την εφαρµογή του Μετασχηµατισµού

Laplace, µέσω του οποίου µεταβαίνουµε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας. Για

τη µετάβαση από το πεδίο συχνότητας στο πεδίο του χρόνου χρησιµοποιούµε τον

Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace. Στις επόµενες δύο παραγράφους περιγράφεται

αναλυτικότερα η εφαρµογή του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Laplace σε κάθε έναν από

τους δύο προαναφερθέντες όρους (όρος ελεύθερης ταλάντωσης και όρος αρµονικής

διέγερσης).

Υπολογισµός χρονικής απόκρισης µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος λόγω ελεύθερης

ταλάντωσης µε Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace

Στην περίπτωση απουσίας εξωτερικής αρµονικής διέγερσης, η τιµή της µεταβλητής sX

(πλάτος αρµονικής διέγερσης) είναι µηδενική και η Εξ.(17) δίδει:

( )( )

2 2

12

2o oX s x x

s sζω

ζω ω = + + + +

(18)

Ωστόσο, ισχύει:

( ) ( )2 2 2o o o o o o o os x x sx x x sx x xζω ζω ζω+ + = + + = + + (19)


( )( )

( )2 2 2 2

12

2 2o o o

sX x x x

s s s sζω

ζω ω ζω ω= + +

+ + + + (20)

Η εφαρµογή του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Laplace στην Εξ.(20), δίδει:

( )( )

( )( )

1 1

2 2 2 2

12

2 2o o o

sx t x x x

s s s sζω

ζω ω ζω ω− −

= + +

+ + + + L L (21)

Από την εφαρµογή της Ιδιότητας της Γραµµικότητας (βλ. Εξ.(5)), στην Εξ.(21), προκύπτει:

( )( )

( )( )

1 1

2 2 2 2

12

2 2o o o

sx t x x x

s s s sζω

ζω ω ζω ω− −

= + +

+ + + + L L (22)

Από την Εξ.(Β.18) (βλ. Παράρτηµα Β), ισχύει:

( ) ( ) ( )1 2

2 2cos sin , 1

2n n n

n

se t t

s s

ζω ζωω ω ω ω ζ

ζω ω ω− −

= − = − + +

L (23)



- 12.10 -

Επίσης, από την Εξ.(Β.12) (βλ. Παράρτηµα Β), ισχύει:

( ) ( )1 2

2 2

1 1sin , 1

2

t

n n

n

e ts s

ζω ω ω ω ζζω ω ω

− − = = −

+ +

L (24)

Τονίζεται ότι, όπως φαίνεται στο Παράρτηµα Β, οι Εξ.(Β.12, Β.18), , ισχύουν για:

2 21 0 1 1 1ζ ζ ζ− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ≥ − (25)

Υπενθυµίζεται ότι η Εξ.(25) καλύπτει και στην περίπτωση της υποκρίσιµης απόσβεσης (βλ.

Εκπαιδευτική Ενότητα 02, σελ. 2.6). Ο συνδυασµός των Εξ.(22,23,24) δίδει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1cos sin 2 sint t

o n n o o n

n n

x t x e t t x x e tζω ζωζω

ω ω ζω ωω ω

− −

= − + + (26)

Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(26), προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1cos sin 2 sint t t

o n o n o o n

n n

x t e x t e x t x x e tζω ζω ζωζω

ω ω ζω ωω ω

− − − = − + + ⇒

( ) ( ) ( ) ( )1cos 2 sint t

o n o o o n

n n

x t e x t e x x x tζω ζω ζω

ω ζω ωω ω

− −

⇒ = + + − ⇒

( ) ( ) ( )2cos sint t o o o

o n n

n

x x xx t e x t e t

ζω ζω ζω ζωω ω

ω− − + −

⇒ = + ⇒

( ) ( ) ( )cos sint t o oo n n

n

x xx t e x t e t

ζω ζω ζωω ω

ω− − +

⇒ = + ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2cos sin , 1t o oo n n n

n

x xx t e x t t


ω−

+⇒ = + = −

(27)

Παρατηρούµε ότι η Εξ.(27) δεν είναι άλλη από την Εξ.(15) της Εκπαιδευτικής Ενότητας 02.

Υπολογισµός χρονικής απόκρισης µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος λόγω αρµονικής

διέγερσης µε Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace

Σε περίπτωση απουσίας ελεύθερων ταλαντώσεων, δηλαδή για µηδενικές αρχικές συνθήκες

( 0o o

x x= = ), η Εξ.(17) δίδει:

( ) 2

2 2 2 2

1

2s

sX s X

s s sω

ζω ω = + + + Ω

(28)

Αναπτύσσοντας το δεξί µέλος της Εξ.(18) σε µερικά κλάσµατα, προκύπτει:

( ) 1 1

2 2 2 2

1 2

2

o o

ό ό

A s A B s BX s

s s s

ος οςρος ρος

ζω ω + + = + + Ω + +

(29)



- 12.11 -

Υπενθυµίζεται ότι σύµφωνα µε την τεχνική των µερικών κλασµάτων, σε κάθε µερικό

κλάσµα, το πολυώνυµο του αριθµητή είναι µικρότερο κατά ένα βαθµό από το αντίστοιχο

πολυώνυµο του παρονοµαστή. Ο αναλυτικός προσδιορισµός των αριθµητικών συντελεστών

1 1, , ,o o

A A B B της Εξ.(29) παρατίθεται στο Παράρτηµα Γ.

Στην Εξ.(19) παρατηρούµε ότι:

• Ο παρονοµαστής του πρώτου όρου έχει προέλθει από τον συνηµιτονικό όρο της

εξωτερικής διέγερσης µε συχνότητα διέγερσης Ω (βλ. Εξ.(10)). Συνεπώς ο εν λόγω όρος

αντιστοιχεί στη µόνιµη απόκριση του συστήµατος λόγω της εξωτερικής αρµονικής

διέγερσης.

• Ο πολυωνυµικός παρονοµαστής του δεύτερου όρου αντιστοιχεί στο χαρακτηριστικό

πολυώνυµο του συστήµατος, άρα αντιστοιχεί στην ελεύθερη ταλάντωση του συστήµατος

µε ιδιοσυχνότητα ω (ισοδύναµα, αντιστοιχεί στη µεταβατική απόκριση του συστήµατος).

Με βάση τα ανωτέρω, προκύπτει ότι ( ( )px t : µερική λύση, ( )hx t :οµογενής λύση):

( )

( ) ( )

1 1

2 2 2 22

p h

o o

x t x t

A s A B s BX s

s s sζω ω + + = + + Ω + +

(30)

Εάν, λοιπόν, µε τη βοήθεια του Μετασχηµατισµού Laplace, µεταβούµε από το πεδίο του

χρόνου στο πεδίο συχνότητας και στη συνέχεια, µε τη βοήθεια του Αντίστροφου

Μετασχηµατισµού Laplace, µεταβούµε από το πεδίο συχνότητας στο πεδίο του χρόνου, τότε:

• Από τον όρο ( )2 2s + Ω θα προκύψουν όροι της µορφής ( )sin tΩ (ηµιτονικός όρος) και

( )cos tΩ (συνηµιτονικός όρος).

• Από τον όρο ( )2 22s sζω ω+ + θα προκύψουν όροι της µορφής ( )sin ntω (ηµιτονικός

όρος) και ( )cos ntω (συνηµιτονικός όρος), όπου 21n

ω ω ζ= − είναι η συχνότητα των

αποσβενοµένων ταλαντώσεων.

Στο Παράρτηµα Γ παρουσιάζεται και η εφαρµογή του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού

Laplace στον όρο ( )px t της Εξ.(20). Το τελικό αποτέλεσµα της εν λόγω εφαρµογής είναι:

( ) ( )cospx t X tω ϑ= − (31)

όπου

( ) ( )

2

2 22 2 2

sXX

ω

ω ζω

= −Ω + Ω

και

( )1

2 2

2tan

ζωϑ

ω−

Ω = −Ω

(32)

Υπενθυµίζεται ότι ως S

X συµβολίζεται το Στατικό Πλάτος της ταλάντωσης. ∆ιαπιστώνουµε

ότι οι Εξ.(31,32) είναι ίδιες µε εκείνες, οι οποίες εµφανίζονται στον Πίνακα 3 της



- 12.12 -

Εκπαιδευτικής Ενότητας 03 και χρησιµεύουν για τον υπολογισµό του πλάτους ταλάντωσης

X λόγω εξωτερικής αρµονικής διέγερσης και της διαφοράς φάσης ϑ στη µόνιµη

κατάσταση, αντίστοιχα.

Επίσης, στο Παράρτηµα Γ παρουσιάζεται η εφαρµογή του Αντίστροφου Μετασχηµατισµού

Laplace στον όρο ( )hx t της Εξ.(20). Το τελικό αποτέλεσµα της εν λόγω εφαρµογής είναι:

( ) ( )sint

hx t Ae tζω ω ϕ−= + (33)

όπου

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

22

2 2

2 22 22 2

1 1

1 2 1 2

s s

n

q X q XA

q q q q

ζωωζ ζ

− − +

= + − + − +

,

( )

( )

2

1

2

1

tan1

n

q

q

ζωω

ϕ −

− + = −

(34)

Υπενθυµίζεται ότι στην Εκπαιδευτική Ενότητα 03 (Εξ.18), είχε ορισθεί ο λόγος q ως:

qωΩ =

(35)

όπου Ω είναι η συχνότητα του διεγέρτη και ω είναι η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος.

Παράδειγµα

Έστω µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα µε µηδενικές αρχικές συνθήκες ( 0o o

x x= = ), µε

µηδενικό λόγο απόσβεσης ( 0ζ = ) και µε βηµατική διέγερση Heaviside ( ) ( )*

oF t F H t= .

Ζητείται ο υπολογισµός, µε τη βοήθεια του Μετασχηµατισµού Laplace, της απόκρισης του

δυναµικού συστήµατος.

Λύση

Από την Εξ.(10), για µηδενικό λόγο απόσβεσης (άρα για µηδενική απόσβεση) και για

διέγερση Heaviside, προκύπτει ότι η εξίσωση ισορροπίας του συστήµατος είναι:

( )*

omx kx F H t+ = (36)

Αδιαστατοποιώντας την Εξ.(36) δια της µάζας m του συστήµατος (βλ. Παράρτηµα Α),

προκύπτει:

( )2 2 *

sx x X H tω ω+ = (37)

Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(37) (βλ. και Εξ.(5,9)), προκύπτει:

2 2 2 1ss X X X

sω ω + =

(38)



- 12.13 -

Οµαδοποιώντας τους όρους της Εξ.(38), προκύπτει:

2

2 2

1 1sX X

s sω

ω = +

(39)

Εφαρµόζοντας της τεχνική των µερικών κλασµάτων στην Εξ.(39), προκύπτει:

1

2 2

o oA s A B

Xs sω

+ = + +

(40)


( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 211 1

2 2 2 2 2 2

o oo o o o oA s A s B sA s A B A s A s B s B

s s s s s s

ω ωω ω ω

+ + ++ + + + + = = ⇒ + + +

( )( )

2 2

11

2 2 2 2

o o oo oA B s A s BA s A B

s s s s

ωω ω

+ + ++ ⇒ + = + + (41)

Από το συνδυασµό των Εξ.(39,40,41), προκύπτει:

( )( )

( )2 22

1

12 2 2 2

2

0

0

o o

o o os

o

A BA B s A s BX

As s s s

B

ωωω ω

ω

+ = + + + = ⇒ = + + 2ω=

1

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1

o

o ss

A

A

B XX

⇒ =

(42)

Η ορίζουσα του γραµµικού συστήµατος της Εξ.(42) ισούται µε:

1 0 11 0

0 1 0 1 00 1

0 0 1

D = = = ≠ (43)

Εποµένως, θα ισχύει:

• για τον αριθµητικό συντελεστή o

A

( )

0 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 00 1

1

s

s

o s o s

XX

A X A XD

= = = − ⇒ = − (44)

• για τον αριθµητικό συντελεστή 1A

1 1

1 0 1

0 0 0 0 0

0 1 10 0 0

1

s sX XA A

D= = = − ⇒ = (45)



- 12.14 -

• για τον αριθµητικό συντελεστή o

B

1 1

1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 00

1

s s

s s

X XB X B X

D= = = − ⇒ = (46)

Ο συνδυασµός των Εξ.(40,44,45,46), δίδει:

1

2 2 2 2 2 2

1

p h

o o s ss

x x

A s A B X s X sX X X

s s s s s sω ω ω

+ − = + = + ⇒ = − + + +

(47)

Στην Εξ.(47) αναγνωρίζουµε τη µερική λύση p

x (ο αντίστοιχος όρος έχει προκύψει από την

επιβολή της εξωτερικής βηµατικής διέγερσης Heaviside) και την οµογενή λύση h

x (ο

αντίστοιχος όρος έχει προκύψει από την ελεύθερη ταλάντωση του δυναµικού συστήµατος).

Εφαρµόζοντας τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(47), και αξιοποιώντας

τους µετασχηµατισµούς Laplace των Εξ.(8,9), προκύπτει:

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

1 1

s s s

s s s

s sX X X X

s s s s

s sX X X X

s s s s

ω ω

ω ω

− − − −

− − − − −

− = − = + ⇒ + +

⇒ = − = − ⇒ + +

L L L L

L L L L L

( )( ) ( ) ( ) ( ). 8 *

. 9cossx t X H t t

ξξ ωΕ

Ε → = − (48)

Μετασχηµατισµός Laplace και συµπεριφορά πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος

Σε ένα σύστηµα πολλών Βαθµών Ελευθερίας και µε απόσβεση, η εξίσωση ισορροπίας είναι:

M x C x K x F+ + =

(49)

Για λόγους απλότητας, έστω ότι οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές. Η εφαρµογή του

Μετασχηµατισµού Laplace στην Εξ.(34) επιτυγχάνεται εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό

Laplace σε κάθε µία συνιστώσα του διανύσµατος x

. Με άλλα λόγια, σε ένα δυναµικό

σύστηµα µε N Βαθµούς Ελευθερίας, η διάσταση του διανύσµατος x

θα είναι 1N × και ο

Μετασχηµατισµός Laplace θα πρέπει να εφαρµοσθεί σε κάθε έναν Βαθµό Ελευθερίας (άρα,

συνολικά θα εφαρµοσθεί N φορές). Σε µητρωϊκή γραφή, ισχύει:

( ) ( ) M x C x K x F t M x C x K x F t+ + = ⇒ + + =

L L L L L L (50)

Εκτελώντας πράξεις (αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα Ε), προκύπτει:

( ) ( ) ( )2

o o os M X sC X K X f s M sx x C x+ + = + + +

(51)



- 12.15 -

όπου ( )X X s=

είναι ένα διάνυσµα, κάθε στοιχείο του οποίου προέρχεται από την εφαρµογή

του Μετασχηµατισµού Laplace στον αντίστοιχο Βαθµό Ελευθερίας:

( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

1 1

2 2

......

NN

x t X s

x t X sX s

X sx t

= =

L

L

L

(52)

Οµοίως, ( )f s

είναι ένα διάνυσµα κάθε στοιχείο του οποίου προέρχεται από την εφαρµογή

του Μετασχηµατισµού Laplace στην εξωτερική διέγερση του αντίστοιχου Βαθµού

Ελευθερίας.

( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

1 1

2 2

......

NN

F t f s

F t f sf s

f sF t

= =

L

L

L

(53)

Αξιοποιώντας την έννοια της Συνάρτησης Μεταφοράς (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10):

( ) ( ) ( )X s H s f s=

(54)

όπου ( )H s είναι ο πίνακας των Συναρτήσεων Μεταφοράς του συστήµατος.

Αντιστρέφοντας τον πίνακα ( )H s , προκύπτει:

( ) ( ) 12H s s M sC K

−= + + (55)

Για να είναι δυνατή η αντιστροφή του πίνακα ( )H s , πρέπει η ορίζουσά του να είναι

διαφορετική του µηδενός. Η εν λόγω ορίζουσα µηδενίζεται όταν ισχύει:

( )2det 0s M sC K+ + = (56)

∆ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις:

• Η απόσβεση του συστήµατος είναι µηδενική

Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει:

0C = (57)


( )2det 0s M K+ = (58)

Από την Εκπαιδευτική Ενότητα 07 (Εξ.43), προκύπτει ότι:

( )2det 0M Kω− + = (59)



- 12.16 -

Συγκρίνοντας τις Εξ.(58,59) µεταξύ τους, προκύπτει ότι ισχύει:

( )2 212 2 2 2 2j

s s j j s jω ω ω ω=−= − → = = ⇒ = ± (60)

Για την ειδική περίπτωση µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος, βλ. Σχήµα 1 και

Παράρτηµα ∆.

• Η απόσβεση του συστήµατος είναι µη-µηδενική

Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει:

0C ≠ (61)

Και πάλι καταλήγουµε σε πολυωνυµικές εξισώσεις, οι ρίζες των οποίων καλούνται ‘πόλοι

του πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος’ και είναι, εν γένει, µιγαδικοί αριθµοί. Το

διάγραµµα για τη θέση των πόλων ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος (βλ. Σχήµα

1) επεκτείνεται και στην περίπτωση των πολυβάθµιων δυναµικών συστηµάτων. Οι πόλοι

ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος προκύπτουν από την επίλυση της Εξ.(51), ενώ

η θέση τους στο µιγαδικό επίπεδο χαρακτηρίζουν τη δυναµική συµπεριφορά του

συστήµατος. ∆ιευκρινίζεται ότι σε κάθε Βαθµό Ελευθερίας αντιστοιχεί ένα ζεύγος πόλων,

το οποίο τοποθετείται στο µιγαδικό επίπεδο σύµφωνα µε έναν από τους πέντε

διαφορετικούς τρόπους που απεικονίζονται στο Σχήµα 1. Για παράδειγµα, ένα διβάθµιο

δυναµικό σύστηµα µε υποκρίσιµη απόσβεση, διαθέτει δύο Βαθµούς Ελευθερίας, σε κάθε

έναν από τους οποίους αντιστοιχεί ένα ζεύγος πόλων. Η, δε, θέση κάθε ζεύγους πόλων

στο µιγαδικό επίπεδο αποτυπώνεται, ποιοτικά, στο Σχήµα 3.

Σχήµα 3: Πόλοι διβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k− − µε υποκρίσιµη απόσβεση

Στην περίπτωση, λοιπόν, πολυβάθµιων δυναµικών συστηµάτων, η Συνάρτηση Μεταφοράς

είναι µιγαδική. Εάν, δε, αντικαταστήσουµε στην εν λόγω Συνάρτηση Μεταφοράς τη

µεταβλητή s του Μετασχηµατισµού Laplace µε την µιγαδική ποσότητα jΩ , τότε προκύπτει:

( ) ( ) ( )1

2 s jH s s M sC K H j

− → Ω= + + → Ω (62)



- 12.17 -

Αποδεικνύεται (βλ. Παράρτηµα ΣΤ) ότι η ποσότητα ( ) ( )H s H j= Ω περιγράφει τον Πίνακα

µε τις Συναρτήσεις Μεταφοράς ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος (για την έννοια της

Συνάρτησης Μεταφοράς, βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10). Την ίδια έννοια συναντούµε και στη

Θεωρία του Αυτοµάτου Ελέγχου, στα λεγόµενα ∆ιαγράµµατα Bode, τα οποία εκφράζουν τις

συναρτήσεις µόνιµης απόκρισης ενός δυναµικού συστήµατος σε αρµονική διέγερση.

Περί της Συνάρτησης Μεταφοράς ( )H s σε µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα

Για µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα και για µηδενικές αρχικές συνθήκες, η Συνάρτηση

Μεταφοράς ( )H s ισούται µε (βλ. Παράρτηµα Α, Εξ.(Α.15)):

( )2

2 22H s

s s

ωζω ω

= + +

(63)

Η µεταβλητή s είναι ένας µιγαδικός αριθµός. Θεωρώντας ότι η µεταβλητή s έχει µόνο

φανταστικό µέρος (δηλαδή ότι s j= Ω ), τότε η Εξ.(63) γράφεται ως εξής:

( )( )

( )2

2 21

2 2 22 22

jH j H j

jj j

ω ωζω ωζω ω

=− Ω = → Ω = −Ω + Ω +Ω + Ω +

(64)

Στην Εκπαιδευτική Ενότητα 02 (βλ. Εξ.18), είχε ορισθεί ο λόγος q ως εξής:

qωΩ =

(65)

Μετά από πράξεις και εισάγοντας την Εξ.(65) στην Εξ.(64), προκύπτει:

( ) ( )2

22 2

1 1

2 12 1

q

H j H jq jq

j

ωωω ζ

ζω ω

Ω =

Ω = → Ω = − + +Ω Ω − + +

(66)

Ισοδύναµα, η Εξ.(66) γράφεται ως εξής:

( )( ) ( )2

1

1 2H j

q q jζ

Ω = − +

(67)

Στην Εξ.(67) παρατηρούµε ότι ο αριθµητής είναι πραγµατικός αριθµός, ενώ ο παρονοµαστής

είναι µιγαδικός αριθµός. Σύµφωνα µε τη Θεωρία των Μιγαδικών Αριθµών, µια πιο βολική

γραφή της Εξ.(67) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεξί µέλος της Εξ.(67)

µε τον συζυγή του µιγαδικού παρονοµαστή:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

2 2

1 21

1 2 1 2

q q jH j

q q j q q j

ζ

ζ ζ

− − Ω = − + − −

(68)



- 12.18 -


( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

2 2

2 2 22 2 22 2 2

Re Im

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

H j H j

q q j q qH j H j j

q q q q q q

ζ ζ

ζ ζ ζ

Ω Ω

− − − − Ω = ⇒ Ω = + − + − + − +

(69)

Υπενθυµίζεται ότι το γινόµενο ενός µιγαδικού αριθµού επί τον συζυγή του ισούται µε το

µέτρο του εν λόγω µιγαδικού αριθµού. Στην Εξ.(69) αναγνωρίζουµε το πραγµατικό (Re) και

το φανταστικό (Im) µέρος της συνάρτησης ( )H jΩ . Με βάση αυτές τις πληροφορίες, θα

υπολογισθεί το µέτρο και η πολική γωνία της ( )H jΩ (πολική γραφή). Ειδικότερα, ισχύει:

• Για το µέτρο ( )H jΩ :

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

2 22 22 2

2 2 22 2 22 2 22

1 1 22

1 2 1 2 1 2

q q qqH j

q q q q q q

ζζ

ζ ζ ζ

− − + −− Ω = + = ⇒ − + − + − +

( )( ) ( )

2 221 2q qH j

ζ− + −⇒ Ω =

( ) ( )( )2 22 21 2q qζ− +( )

( ) ( )2 22

1

1 2

H j

q qζ⇒ Ω =

− + (70)

Παρατηρούµε ότι η Εξ.(70) εκφράζει το µέτρο της Συνάρτησης Μεταφοράς ( )H jΩ και

ισούται µε τον Συντελεστή ∆υναµικής Ενίσχυσης του µονοβάθµιου δυναµικού

συστήµατος, όπως αυτός είχε ορισθεί στην Εκπαιδευτική Ενότητα 03/ Εξ.21.

• Για την πολική γωνία (διαφορά φάσης µεταξύ διέγερσης και απόκρισης):

( )( )( )( )

( )

( ) ( )2 22

1 1

2

1 2Imtan tan

Re

q

q qH j

H j

ζ

ζϑ − −

−

− + Ω= =

Ω ( )( ) ( )

2

2 22

1

1 2

q

q qζ

−

− +

( )1

2

2tan

1

q

q

ζϑ −

⇒ = −

−

(71)

Παρατηρούµε ότι η Εξ.(71) εκφράζει την πολική γωνία της Συνάρτησης Μεταφοράς

( )H jΩ και ισούται µε τη διαφορά φάσης διέγερσης-αποκρίσεως του µονοβάθµιου

δυναµικού συστήµατος, όπως αυτή (η διαφορά φάσης) είχε ορισθεί στην Εκπαιδευτική

Ενότητα 03/Εξ.30.

Ειδικά για την περίπτωση µηδενικού λόγου απόσβεσης ( 0ζ = ), η Εξ.(63) γράφεται:



- 12.19 -

( ) ( )2 2

0

2 2 2 22H s H s

s s s

ζω ωζω ω ω

= = → = + + +

(72)

Για την εύρεση των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου, το οποίο εµφανίζεται στον

παρονοµαστή της Εξ.(72), ισχύει:

02 2 2 2 2 22 0 0s s s s s jζζω ω ω ω ω=+ + = → + = ⇒ = − ⇒ = ± (73)

Οι πόλοι του συστήµατος, σε αυτήν την περίπτωση και για απεικόνιση στο µιγαδικό επίπεδο,

βρίσκονται επί του άξονος των φανταστικών αριθµών (βλ. Σχήµα 1, περίπτωση (c)).

Περί της Συνάρτησης Μεταφοράς ( )H s σε πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα

Σε ένα πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα, ισχύει (βλ. Παράρτηµα Ε, Εξ.(Ε.9)):

( ) ( ) ( )2

o o oM s X sx x C sX x K X f s− − + − + =

(74)

Για µηδενικές αρχικές συνθήκες ( 0o ox x= =

), η Εξ.(74) γράφεται ως εξής:

( ) ( ) ( )2 2s M X sC X K X f s s M s C K X f s+ + = ⇒ + + =

(75)

Με βάση την Εξ.(75), η απόκριση X

του συστήµατος ισούται µε:

( )1

2X s M sC K f s−

= + + (76)

Από την Εξ.(76) και µε βάση την έννοια της Συνάρτησης Μεταφοράς (βλ. Εκπαιδευτική

Ενότητα 10), προκύπτει:

( )1

2H s s M sC K−

= + + (77)

όπου ( )H s είναι ένας πίνακας, κάθε στοιχείο ( )ijH s του οποίου αποτελεί την αντίστοιχη

Συνάρτηση Μεταφοράς. Στην περίπτωση αρµονικής διέγερσης, η µεταβλητή s έχει µόνο

φανταστικό µέρος (δηλαδή s j= Ω ), οπότε η Εξ.(77) γράφεται ως εξής:

( ) ( )

1

12 2

ImRe

H j M j C K H j K M j C

−

− Ω = −Ω + Ω + ⇒ Ω = −Ω + Ω

(78)

Συνοψίζοντας, στην περίπτωση αρµονικής διέγερσης, υπολογίζοντας τον πίνακα ( )H s και

γνωρίζοντας την αρµονική διέγερση, µέσω της Εξ.(76) είναι δυνατόν να υπολογισθεί η

απόκριση του συστήµατος στο πεδίο συχνότητας. Στη συνέχεια, µέσω του αντίστροφου

µετασχηµατισµού Laplace, είναι δυνατόν να υπολογισθεί η απόκριση του συστήµατος στο

πεδίο του χρόνου. Ένας τρόπος υπολογισµού του πίνακα ( ) ( )H s H j= Ω παρουσιάζεται στο

Παράρτηµα ΣΤ.



- 12.20 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηµατισµός Laplace µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος

m c k− − σε αρµονική διέγερση και Συνάρτηση Μεταφοράς

Η εξίσωση ισορροπίας ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος σε αρµονική διέγερση είναι

(βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03, Εξ.(8)):

( )cosomx cx kx F t+ + = Ω (Α.1)

όπου m είναι η µάζα του συστήµατος, c είναι η σταθερά απόσβεσης, k είναι η σταθερά του

ελατηρίου, x είναι η απόκριση του συστήµατος, oF είναι το πλάτος της διέγερσης και Ω

είναι η συχνότητα του διεγέρτη. ∆ιαιρώντας την Εξ.(Α.1) δια της µάζας m , προκύπτει:

( )cosoFc kx x x t

m m m

+ + = Ω

(Α.2)

Από τον ορισµό του λόγου απόσβεσης ζ , προκύπτει:

22

2criticalc m

critical

c c c

c m m

ωζ ζ ζωω

= = → = ⇒ =

(Α.3)

Από την επίλυση της εξίσωσης ισορροπίας του απλού αρµονικού ταλαντωτή, προκύπτει:

22 1k

m m k

ωω

= ⇒ =

(Α.4)

Σχετικά µε το πλάτος της δύναµης διέγερσης, ισχύει:

( )

2. .4 2 21

S

Ao o o oo o s

X

F F F FF F X

m m m k k m

ξ ωω ωΕ = → = = ⇒ =

(Α.5)

Στην Εξ.(Α.5) αναγνωρίζουµε τον όρο ( )S oX F k= ως το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος (βλ.

Εκπαιδευτική Ενότητα 03, Εξ.(10)). Ο συνδυασµός των Εξ.(Α.2,Α.3,Α.4,Α.5) δίδει:

( )2 22 cosSx x x X tζω ω ω+ + = Ω (Α.6)

Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(Α.6), προκύπτει:

( ) ( ) 2 2 2 22 cos 2 cosS Sx x x X t x x x X tζω ω ω ζω ω ω+ + = Ω ⇒ + + = Ω ⇒ L L L L L L

( ) 2 22 cosSx x x X tζω ω ω⇒ + + = Ω L L L L (Α.7)

Για τον υπολογισµό της Εξ.(Α.7), αρκεί να υπολογισθεί κάθε ένας όρος. Ειδικότερα, ισχύει:

• Για την πρώτη χρονική παράγωγο:

ox sX x= −L (Α.8)



- 12.21 -

• Για τη δεύτερη χρονική παράγωγο, θεωρώντας την ως την πρώτη χρονική παράγωγο της

ποσότητας x και εφαρµόζοντας την Εξ.(Α.8), προκύπτει:

( )

2

.( .8)

x

o o o o o oA

x

x s s x x s sX x x s X sx xχ

ξ χ χ χ=Ε

→ = − = − = − − = − −

L

L L L L (Α.9)

• Για τον συνηµιτονικό όρο:

( ) 2 2cos

st

s

Ω = + Ω L (Α.10)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Α.7,Α.8,Α.9,Α.10) δίδει:

( )2 2 2

2 22o o o S

ss X sx x sX x X X

sζω ω ω − − + − + = + Ω

(Α.11)

Η Εξ.(Α.11) γράφεται και ως εξής:

( )2 2 2

2 22o o o S

ss X sx x sX x X X

sζω ω ω

ω − − + − + = +

(Α.12)

Για µηδενικές αρχικές συνθήκες, η Εξ.(Α.12) γράφεται και ως εξής:

2 2 2

2 22 S

ss X sX X X

sζω ω ω

ω + + = +

(Α.13)

Επιλύοντας την Εξ.(Α.13) ως προς ( )X X s= , προκύπτει:

( )

( ) ( )

2

2 2 2 22S

F sH s

sX s X

s s s

ωζω ω ω

= + + +

(Α.14)

Συνεπώς, µε την εφαρµογή του Μετασχηµατισµού Laplace στην εξίσωση ισορροπίας ενός

µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k− − σε αρµονική διέγερση, προέκυψε η Εξ.(Α.14),

η οποία περιγράφει την απόκριση του συστήµατος στο πεδίο των συχνοτήτων.

Τέλος, στο αριστερό µέλος της Εξ.(Α.14) αναγνωρίζουµε την απόκριση του συστήµατος

( )X s , ενώ στο δεξί µέλος της ίδιας εξίσωσης αναγνωρίζουµε µία αρµονική δύναµη

διέγερσης ( )F s πλάτους SX . Από τον ορισµό της Συνάρτησης Μεταφοράς (βλ.

Εκπαιδευτική Ενότητα 10, Εξ.(14)) και από την Εξ.(Α.14) προκύπτει:

( )2

2 22H s

s s

ωζω ω

= + +

(Α.15)

Η Εξ.(Α.15) περιγράφει τη Συνάρτηση Μεταφοράς ενός µονοβάθµιου δυναµικού

συστήµατος.



- 12.22 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B: Χρήσιµοι Αντίστροφοι Μετασχηµατισµοί Laplace στη ∆υναµική

Στο παρόν Παράρτηµα θα εξετασθούν δύο Αντίστροφοι Μετασχηµατισµοί Laplace, οι οποίοι

είναι εξαιρετικά χρήσιµοι στη ∆υναµική. Πρόκειται για τους µετασχηµατισµούς:

1

2 2

1

2s sζω ω−

+ +

L (Β.1)

και

1

2 22

s

s sζω ω−

+ +

L (Β.2)

Για τον µετασχηµατισµό της Εξ.(Β.1) ισχύει:

( )( )

( ) ( ) ( )2

1 1 1

2 2 2 22 2 2 2 2

1 1 1

2 2

s

s s s s s

ζω

ζω ω ζω ζω ζω ω ζω ω ζω− − −

+

= = + + + + − + + + −

L L L (Β.3)

Ωστόσο, ισχύει:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2

22 2 2 2 2 21 1 1ω ζω ω ζ ω ζ ω ζ− = − = − = − (Β.4)

Στην Εξ.(Β.4) έχουµε υποθέσει ότι ισχύει:

2 21 0 1 1 1ζ ζ ζ− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ≥ − (Β.5)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Β.3, Β.4) δίδει:

( ) ( )( )1 1

22 22 2

1 1

21

s ss

ζω ω ζω ω ζ

− −

= + + + + −

L L (Β.6)

Θέτουµε:

a ζω= και ( )21b ω ζ= − (Β.7)

Εισάγοντας την Εξ.(Β.7) στην Εξ.(Β.6), προκύπτει:

( ) ( )1 1 1

2 22 2 2 2

1 1 1

2

b

s s bs a b s a bζω ω− − −

= = + + + + + + L L L (Β.8)

Από Πίνακες Μετασχηµατισµών Laplace, βρίσκουµε ότι ισχύει:



- 12.23 -

( )( )1

2 2sinatb

e bts a b

− −

= + +

L (Β.9)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Β.7,Β.8, Β.9) δίδει:

( )( )

( )( )1 1 2

2 2 2 22

1 1 1 1sin sin 1

2 2 1

at te bt e t

s s b s s

ζω ω ζζω ω ζω ω ω ζ

− − − −

= ⇒ = − + + + + −

L L (Β.10)

Ωστόσο, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 02, Εξ.(16)):

( )21nω ω ζ= −

(Β.11)

Υπενθυµίζεται ότι ως nω συµβολίζεται η συχνότητα αποσβενόµενης ταλάντωσης (βλ.

Εκπαιδευτική Ενότητα 03, Πίνακα 2). Εισάγοντας την Εξ.(Β.9) στην Εξ.(Β.8), προκύπτει:

( ) ( )1 2

2 2

1 1sin , 1

2

t

n n

n

e ts s

ζω ω ω ω ζζω ω ω

− − = = −

+ +

L (Β.12)

Για τον µετασχηµατισµό της Εξ.(Β.2) ισχύει:

( )

( ) ( ). .6, .71 1 1

2 22 2 2 22

B Bs s s a a

s s s a b s a b

ξ

ζω ωΕ− − −

+ − → = =

+ + + + + + L L L

( )( )

( ) ( )1 1 1

2 2 22 2 2

s as a a a

s a b s a b s a b

− − − ++ −

= = − + + + + + +

L L L (Β.13)

Από Πίνακες Μετασχηµατισµών Laplace, βρίσκουµε ότι ισχύει:

( )( )

( )1

2 2cosat

s ae bt

s a b

− − +

= + +

L (Β.14)

Επίσης, ισχύει:

( ) ( )1 1

2 22 2

a a b

bs a b s a b

− − =

+ + + + L L (Β.15)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Β.9, Β.15) δίδει:

( )( )1

2 2sinata a

e btbs a b

− − =

+ + L (Β.16)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Β.13, Β.14, Β.16) δίδει:



- 12.24 -

( ) ( ) ( ) ( )1

2 2cos sin cos sin

2

at at ats a ae bt e bt e bt bt

s s b bζω ω− − − − = − = − + + L (Β.17)

Αντικαθιστώντας στην Εξ.(Β.17) µε τις Εξ.(Β.7), προκύπτει:

( ) ( ) ( )1 2

2 2cos sin , 1

2

t

n n n

n

se t t

s s


ζω ω ω− −

= − = − + +

L (Β.18)



- 12.25 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace στην απόκριση µονοβάθµιου

δυναµικού συστήµατος m c k− − υποκρίσιµης απόσβεσης και υπό

αρµονική διέγερση

Με τη βοήθεια του Μετασχηµατισµού Laplace, η απόκριση ενός µονοβάθµιου δυναµικού

συστήµατος m c k− − υπό αρµονική διέγερση (µόνον) ισούται µε (βλ. Εξ.(14) ή Εξ.(18)):

( ) 2

2 2 2 2

1

2s

sX s X

s s sω

ζω ω = + + + Ω

(Γ.1)

Εφαρµόζοντας την τεχνική των µερικών κλασµάτων, η απόκριση ( )X s γράφεται όπως

φαίνεται στην Εξ.(19), η οποία επαναλαµβάνεται εδώ για λόγους πληρότητας του κειµένου:

( ) 1 1

2 2 2 2

1 2

2

o o

ό ό

A s A B s BX s

s s s


ζω ω + + = + + Ω + +

(Γ.2)

Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(Γ.2), προκύπτει:

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

2 2 2 2

1 11 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

3 2 2 2 2

1 1 1

2

2 2

2 2

2

2 2

o oo o

o o

o o o o

A s A s s B s B sA s A B s B

s s s s s s

A s s s A s s B s s B s

s s s

A s A s A s A s A s A B

ζω ω

ζω ω ζω ω

ζω ω ζω ω

ζω ω

ζω ω ζω ω

+ + + + + + Ω + + + = = + Ω + + + Ω + +

+ + + + + + + Ω + + Ω = = + Ω + +

+ + + + + +=

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3 2 2 2

1 1

2 2 2 2

3 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

2

2 2

2

o

o o o o o

s B s B s B

s s s

A B s A A B s A A B s A B

s s s

ζω ω

ζω ω ζω ω

ζω ω

+ Ω + + Ω = + Ω + +

+ + + + + + + Ω + + Ω = + Ω + +

(Γ.3)

Εξισώνοντας τα δεξιά µέλη των Εξ.(Γ.1, Γ.3), προκύπτει:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 2 2 2 221 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

o o o o osA B s A A B s A A B s A BX s

s s s s s s

ζω ω ζω ωωζω ω ζω ω

+ + + + + + + Ω + + Ω = ⇒ + + + Ω + Ω + +

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

0 0

2 0 2 0

2 2

0 0

o o o o

o o

o o s o o s

A B A B

A A B A A B

A A B X A A B X

A B A B

ζω ζωω ζω ω ζω ω ω

ω ω

+ = + = + + = + + =

⇒ ⇒ + + Ω = + + Ω =

+ Ω = + Ω =

(Γ.4)

Η Εξ.(Γ.4), σε µητρωϊκή µορφή, γράφεται ως εξής:



- 12.26 -

1

2 2 2

1

2 2

0 1 0 1 0

1 2 1 0 0

2 0

0 0 0

o

s

o

A

A

B X

B

ζωζω ω ωω

= Ω

Ω

(Γ.5)

Η ορίζουσα του συστήµατος της Εξ.(Γ.5) ισούται µε:

( ) ( )( )

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2

2 2 22

0 1 0 11 1 0 1 2 1

1 2 1 02 0 2 0

2 00 0

0 0

1 1 1 220 4

20

D

ζωζω

ζω ζω ωζω ω

ω ωω

ζωζω ωω ω ω ζ ω

ω ζω ωω

= = − Ω − =Ω

Ω ΩΩ

= − −Ω − + Ω = Ω Ω − − − + Ω − ⇒ Ω

24 2 2

4 4 2 2 2 2 2 42 2 2 1 2 2q

D ωω ω ω ζ ω ζω ω ω

Ω =

Ω Ω Ω ⇒ = Ω + − Ω + Ω = + − + →

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )2

2

22 2 24 4 2 4 4 2 4 2

1

1 2 2 2 1 2 1 2

q

D q q q q q q D q qω ζ ω ζ ω ζ

−

= + − + = − + + ⇒ = − +

(Γ.6)

Ο αριθµητικός συντελεστής 1A ισούται µε:

22 2 2

2

22 2 3 2

1

0 1 0 1

1 0 10 2 1 0

2 1 00 2 1

0 00 0 0 0 2

ss

s

s

XXX

XA

D D D D

ζωω ζωω ω ζω

ωζω

Ω

ΩΩ Ω Ω= = = = (Γ.7)

Ο αριθµητικός συντελεστής oA ισούται µε:

( )2 222 2

2 2 22 22 22 2

0

0 0 0 1

1 0 11 0 1 0

0 22 02 0

0 000 0

s sss

s

X XXX

XA

D D D D

ω ζω ωζω ωζω ωω ωωωω

Ω+ Ω −ΩΩΩ = = − = − = − (Γ.8)

Ο αριθµητικός συντελεστής oB ισούται µε:

22 2 2

2 2

22 5

1

0 1 0 1

0 1 11 2 0 0

1 2 02 1 1

0 00 0 0 2 0 2

ss

s

s

XXX

XB

D D D D

ζωω ζωζω ω ω

ω ωωω ζω ζω

Ω

= = = = − (Γ.9)

Ο αριθµητικός συντελεστής 1B ισούται µε:



- 12.27 -

( )22 2

22 2 22 22 2 2 2

0 1 0 0

0 1 01 2 1 0

1 2 12 0 1 1

00 0

ss

ss

o

XXX

XB

D D D D

ζωω ζωζω ω ω

ω ω ωωω ω Ω −ΩΩ Ω= = − = = (Γ.10)

Εισάγοντας την Εξ.(Γ.6) στις Εξ.(Γ.7, Γ.8, Γ.9, Γ.10), προκύπτει:

3 2 3

1

2 2sXA

D

ζω ζ ωΩ= =

2

4

sX

ω

Ω

( ) ( )( ) ( ) ( )( )12 22 22 2

2

1 2 1 2

qsq X

A

q q q q

ω ζ

ζ ζ

Ω = Ω

→ =− + − +

(Γ.11)

( )4

2 2 2

s

o

XA

D

ωω ωΩ −

= − = −

2

4

1 sXω

ω

Ω −

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )2

2 22 22 2

1

1 2 1 2

qs

o

q XA

q q q q

ω

ζ ζ

Ω =

−→ =

− + − + (Γ.12)

5 4

1

2 sXB

D

ζω ω= − = −

4

2 sXζω

ω ( ) ( )( ) ( ) ( )( )12 22 22 2

2

1 2 1 2

sXB

q q q q

ζω

ζ ζ

−⇒ =

− + − + (Γ.13)

( )4

2 2 2

s

o

XB

D

ωω ωΩ −

= =

2

4

1 sXω

ω

Ω −

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )2

2 22 22 2

1

1 2 1 2

qs

o

q XB

q q q q

ω

ζ ζ

Ω =

−→ ⇒ =

− + − + (Γ.14)

Συνεπώς, έχουν πλέον προσδιορισθεί οι αριθµητικοί συντελεστές της Εξ.(Γ.2). Με

αντικατάσταση των εν λόγω συντελεστών στην Εξ.(Γ.2), προκύπτει η απόκριση ( )X s του

δυναµικού συστήµατος στο πεδίο των συχνοτήτων:

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 2 22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

1 2

1 12 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2

s ss s

ό ό

q X q Xq X Xs s

q q q q q q q q

X ss s s


ζ ζω

ζ ζ ζ ζ

ζω ω

− −Ω + − − + − + − + − + = + + Ω + +

(Γ.15)

Η αντίστροφη πορεία, δηλαδή εκκίνηση από την έκφραση της απόκρισης ( )X s στο πεδίο

των συχνοτήτων και κατάληξη στην απόκριση ( )x t του δυναµικού συστήµατος στο πεδίο

του χρόνου, υλοποιείται εφαρµόζοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace. Για την

περίπτωση της Εξ.(Γ.15), ισχύει:

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 2 22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

1 2

1 12 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2

s ss s

ό ό

q X q Xq X Xs s

q q q q q q q q

X ss s s

ος οςρος

ζ ζω

ζ ζ ζ ζ

ζω ω

− − Ω

+ − − + − + − + − +

= + + Ω + +

ρος

⇒



- 12.28 -

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 2 22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 12 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

s ss s

s

q X q Xq X Xs s

q q q q q q q q

Xs s s s s s

ζ ζω

ζ ζ ζ ζ

ζω ω ζω ω

− − Ω

− + − + − + − +

⇒ = + + − ⇒+ Ω + Ω + + + +

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2

2 2 2 22 22 22 2

2

2 2 2 22 22 22 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1

2 21 2 1 2

s s

s s

q X qXsX s

s sq q q q

q X Xs

s s s sq q q q

ζ

ζ ζ

ζωζω ω ζω ωζ ζ

− Ω ⇒ = + + +Ω + Ω − + − +

− − ⇒ + + + + − + − +

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2

1 1

2 2 2 22 22 22 2

2

2 2 2 22 22 22 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1

2 21 2 1 2

s s

s s

q X qXsX s

s sq q q q

q X Xs

s s s sq q q q

ζ

ζ ζ


− −

− Ω ⇒ = + + + Ω + Ω − + − +

−

+ − ⇒ + + + + − + − +

L L

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2

1 1 1

2 2 2 22 22 22 2

. . 8 . . 7

2

1 1

2 2 22 22 22 2

. . 15

1 2

1 2 1 2

1 2 1

2 21 2 1 2

s s

s s

q X qXsX s

s sq q q q

q X Xs

s s s sq q q q

βλ ξ βλ ξ

βλ ξ

ζ

ζ ζ


− − −

Ε Ε

− −

Ε

− Ω ⇒ = + + Ω + Ω − + − +

− + − + + + + − + − +

L L L

L L

( )

2

. . 16βλ ξΕ

⇒

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

2

2 22 22 2

2

2 22 22 2

1 2cos sin

1 2 1 2

1 2 1cos sin

1 2 1 2

p

s s

x t

s t tsn n

n n

q X qXx t t t

q q q q

q X Xe t t e

q q q q

ζω ζω

ζ

ζ ζ

ζωζωω ω

ω ωζ ζ

− −

−

⇒ = Ω + Ω + − + − +

−

+ − − − + − +

( )

( )

sin

h

n

x t

tω

(Γ.16)

όπου 2

1nω ω ζ= − (βλ. Εξ.(15,16)) και 1 1ζ≥ ≥ − (βλ. Εξ.(Β.5)). Ο όρος ( )px t αντιστοιχεί

στη µόνιµη απόκριση, ενώ ο όρος ( )hx t αντιστοιχεί στη µεταβατική απόκριση.

Υπενθυµίζεται ότι η Εξ.(Γ.16) προέκυψε θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες. Οι όροι

( )px t και ( )hx t είναι δυνατόν να γραφούν και µε πιο συνοπτικό τρόπο. Πιο συγκεκριµένα:

• Για τον όρο ( )px t (µερική λύση ή απόκριση στη µόνιµη κατάσταση)

Αξιοποιώντας βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες, ο όρος ( )px t της Εξ.(Γ.16) είναι

δυνατόν να γραφεί ως:

( ) ( )cospx t X tω ϑ= − (Γ.17)



- 12.29 -

Ειδικότερα, ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sin sin cos cos sin sinp

x t X t X t t X t X tω ϑ ω ϑ ω ϑ ϑ ω ϑ ω= − = + = + (Γ.18)

Ορίζουµε τις εξής µεταβλητές:

( )cossA X ϑ= και ( )sinsB X ϑ= (Γ.19)

Από την Εξ.(Γ.19), προκύπτει ότι:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos sins s s sA B X X X X X A Bϑ ϑ ϑ ϑ+ = + = + = ⇒ = + (Γ.20)

Επίσης, διαιρώντας κατά µέλη τις Εξ.(Γ.19), προκύπτει:

( )( )

( ) 1sin

tan tancos

s s s

s s s

XB B B

A X A A

ϑϑ ϑ

ϑ−

= ⇒ = ⇒ =

(Γ.21)

Με βάση τα παραπάνω, ο όρος ( )px t της Εξ.(Γ.16) είναι δυνατόν να γραφεί ως εξής:

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2

2 22 22 2

1 2cos sin

1 2 1 2

s s

s s

A B

q X qXx t t t

q q q q

ζ

ζ ζ

−

= Ω + Ω ⇒ − + − +

( ) ( ) ( )cos sins sx t A t B t⇒ = Ω + Ω (Γ.22)

όπου

( )( ) ( )( )

2

2 22

1

1 2

s

s

q XA

q qζ

−=

− + και

( ) ( )( )2 22

2

1 2

ss

qXB

q q

ζ

ζ=

− + (Γ.23)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Γ.20, Γ.23) δίδει:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

2 2

2

2 2

2 22 22 2

2 22 222 2 2

22 22

1 2

1 2 1 2

1 21 2

1 2

s s

s s

s

q X qXX A B

q q q q

q qq X q XX X

q q

ζ

ζ ζ

ζζ

ζ

−

= + = + ⇒ − + − +

− +− +⇒ = =

− + ( ) ( )( )2 22 21 2q qζ− +⇒

( ) ( )2 22

1

1 2sX X

q qζ

⇒ = − +

(Γ.24)



- 12.30 -

Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεξί µέλος της Εξ.(Γ.24) µε την ποσότητα 2ω ,

προκύπτει:

( ) ( )

22

2 22 222 2

4 41 2

1 2

qs

s

XX X X

q q

ω ωω

ω ζω ω ζ

ω ω

Ω =

= → = ⇒ − + Ω Ω − +

( ) ( )

2 2

2 22 22 22 2

2 2 2 2 21 2 2

s sX XX

ω ω

ω ω ζ ω ω ζωω ω ω ω

⇒ = = ⇒ Ω Ω Ω Ω − + − +

( ) ( )

2

2 22 2 2

sXX

ω

ω ζω

⇒ = −Ω + Ω

(Γ.25)

Υπενθυµίζεται ότι ως SX συµβολίζεται το Στατικό Πλάτος της ταλάντωσης. ∆ιαπιστώνουµε

ότι η Εξ.(Γ.25) είναι ίδια µε εκείνην, η οποία εµφανίζεται στον Πίνακα 3 της Εκπαιδευτικής

Ενότητας 03 και χρησιµεύει για τον υπολογισµό του πλάτους ταλάντωσης X λόγω

εξωτερικής αρµονικής διέγερσης.

Επίσης, ο συνδυασµός των Εξ.(Γ.21, Γ.23) δίδει:

( ) ( )( )2 22

1 1

2

1 2

tan tan

s

s

s

qX

q qB

A

ζ

ζϑ − −

− +

= =

( )( ) ( )( )

2

2 22

1

1 2

sq X

q qζ

−

− +

( )1 1

22

22

tan tan1

1

qq

q

ω

ζζ ωϑ

ω

Ω = − −

Ω = → = − Ω −

(Γ.26)

Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεξί µέλος της Εξ.(Γ.26) επί την ποσότητα 2ω ,

προκύπτει:

( )

2

1 1

2 2 2

2

22

tan tan

1

ζ ωζωωϑ ϑ

ωω

ω

− −

Ω Ω = ⇒ = −ΩΩ −

(Γ.27)



- 12.31 -

∆ιαπιστώνουµε ότι η Εξ.(Γ.27) είναι ίδια µε εκείνην, η οποία εµφανίζεται στον Πίνακα 3 της

Εκπαιδευτικής Ενότητας 03 και χρησιµεύει για τον υπολογισµό της διαφοράς φάσης στη

µόνιµη κατάσταση, µεταξύ της συχνότητας του διεγέρτη και της απόκρισης του συστήµατος.

• Για τον όρο ( )hx t (οµογενής λύση ή απόκριση στη µη-µόνιµη κατάσταση)

Αξιοποιώντας βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες, ο όρος ( )hx t της Εξ.(Γ.16) είναι

δυνατόν να γραφεί ως:

( ) ( )sint

hx t Ae tζω ω ϕ−= + (Γ.28)

Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(Γ.28), προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sin sin cos cos sint t

hx t Ae t Ae t tζω ζωω ϕ ω ϕ ω ϕ− −= + = + ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )cos sin sin cos sin cos

s s

t t

h h s s

A B

x t e A t A t x t e A t B tζω ζωϕ ω ϕ ω ω ω− −

⇒ = + ⇒ = +

(Γ.29)

Κατ’ αντιστοιχία µε τις Εξ.(Γ.20, Γ.21), ισχύει:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos sins s s sA B A A A A A A Bϕ ϕ ϕ ϕ+ = + = + = ⇒ = + (Γ.30)

( )( )

( ) 1sin

tan tancos

s s s

s s s

AB B B

A A A A

ϕϕ ϕ

ϕ−

= ⇒ = ⇒ =

(Γ.31)

Επίσης, από την Εξ.(Γ.16), ισχύει:

( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

2

2 22 22 2

1 2 1cos sin sin

1 2 1 2

s t tsh n n n

n n

q X Xx t e t t e t

q q q q

ζω ζωζωζωω ω ω

ω ωζ ζ

− −

−

= − − ⇒ − + − +

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )2 2

2 2 22 2 22 2 2

1 1 2 1cos sin

1 2 1 2 1 2

s st t sh n n

n n

q X q X Xx t e t e t

q q q q q q

ζω ζω ζωζωω ω

ω ωζ ζ ζ

− −

− −

⇒ = − + ⇒ − + − + − +

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )2 2

2 2 22 2 22 2 2

1 1 2cos sin

1 2 1 2 1 2

s st t sh n n

n

q X q X Xx t e t e t

q q q q q q

ζω ζω ζωω ω

ωζ ζ ζ

− −

− −

⇒ = − + ⇒ − + − + − +

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )2 2

2 22 22 2

1 1 2cos sin

1 2 1 2

s st t

h n n

n

q X q Xx t e t e t

q q q q

ζω ζω ζωω ω

ωζ ζ

− −

− − +

⇒ = − ⇒ − + − +

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )2 2

2 22 22 2

1 1cos sin

1 2 1 2

s st t

h n n

n

q X q Xx t e t e t

q q q q

ζω ζω ζωω ω

ωζ ζ

− −

− +

⇒ = − ⇒ − + − +



- 12.32 -

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )2 2

2 22 22 2

1 1cos sin

1 2 1 2

s st

h n n

n

q X q Xx t e t t

q q q q

ζω ζωω ω

ωζ ζ

−

− − +

⇒ = + − + − +

(Γ.32)

Συγκρίνοντας µεταξύ τους τις Εξ.(Γ.29, Γ.32), προκύπτει:

( )( ) ( )( )

2

2 22

1

1 2

s

s

q XA

q qζ

−

= − +

και ( )

( ) ( )( )2

2 22

1

1 2

s

s

n

q XB

q q

ζωω ζ

− +

= − +

(Γ.33)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Γ.30,Γ.33) δίδει:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

22

2 2

2 22 22 2

1 1

1 2 1 2

s s

n

q X q XA

q q q q

ζωωζ ζ

− − +

= + − + − +

(Γ.34)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Γ.30,Γ.31) δίδει:

( )2

1

1

tan

s

n

q Xζωω

ϕ −

− +

=( ) ( )( )2 221 2q qζ− +

( )2 1 sq X

−

( ) ( )( )2 221 2q qζ− +

( )

( )

2

1

2

1

tan1

n

q

q

ζωω

ϕ −

− + ⇒ = −

(Γ.35)



- 12.33 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ∆: Αναλυτικός υπολογισµός της γωνίας στην πολική αναπαράσταση στο

µιγαδικό επίπεδο µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k− − µε

υποκρίσιµη απόσβεση

Κατά τα γνωστά (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 01), η εξίσωση ισορροπίας ενός µονοβάθµιου

δυναµικού συστήµατος m c k− − είναι:

0mx cx kx+ + = (∆.1)

Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(Β.1), προκύπτει:

0 0

0

mx cx kx mx cx kx

m x c x k x

+ + = ⇒ + + = ⇒

⇒ + + =

L L L L L L

L L L L (∆.2)

Για τον υπολογισµό της Εξ.(∆.2), αρκεί να υπολογισθεί κάθε ένας όρος. Ειδικότερα, ισχύει:

• Για την πρώτη χρονική παράγωγο:

ox sX x= −L (∆.3)

• Για τη δεύτερη χρονική παράγωγο, θεωρώντας την ως την πρώτη χρονική παράγωγο της

ποσότητας x και εφαρµόζοντας την Εξ.(∆.3), προκύπτει:

( )

2

.( .3)

x

o o o o o oB

x

x s s x x s sX x x s X sx xχ

ξ χ χ χ=Ε

→ = − = − = − − = − −

L

L L L L (∆.4)

• Για τον µηδενικό όρο, εξ ορισµού ισχύει:

0 0=L (∆.5)

Ο συνδυασµός των Εξ.(∆.2,Β.3,Β.4,Β.5) δίδει:

( ) ( )2 0o o om s X sx x c sX x kX− − + − + = (∆.6)

Για µηδενικές αρχικές συνθήκες ( 0o ox x= = ), η Εξ.(∆.6) δίδει:

( )2 20 0ms X csX kX ms cs k X+ + = ⇒ + + = (∆.7)

Για να ισχύει η Εξ.(∆.7) για κάθε χρονική στιγµή, δηλαδή για κάθε τιµή X , πρέπει να ισχύει:

( )2 0ms cs k+ + = (∆.8)

Οι ρίζες του τριωνύµου στην Εξ.(∆.8) ισούνται µε:

2 2

1,2

4 4

2 2 2

c c mk

m

β β αγβλ

α α− ± −− ± ∆ − ± −

= = = (∆.9)

Στην περίπτωση όπου η διακρίνουσα X είναι αρνητική (υποκρίσιµη απόσβεση), ισχύει:



- 12.34 -

( ) ( )2 12 2 2 20 4 0 4 0 4 0jc mk mk c j mk c

=−∆ < ⇒ ∆ = − < ⇒ ∆ = − − < →∆ = − < (∆.10)

Ο συνδυασµός των Εξ.(∆.9, Β.10) δίδει:

( )22

1,2

44

2 2 2

c j mk c

m

β β αγβλ

α α

− ± −− ± −− ± ∆= = = ⇒

( )2

1,2

4

2 2

mk ccj

m mλ

− ⇒ = − ±

(∆.11)

Η Εξ.(∆.11) περιγράφει δύο συζυγείς µιγαδικές ρίζες, µε αρνητικό πραγµατικό µέρος, οι

οποίες απεικονίζονται, ως κόκκινοι αστερίσκοι, στο Σχήµα ∆.1.

( )24

2

mk c

m

−

2

c

m

−

Σχήµα ∆.1: Αναπαράσταση στο µιγαδικό επίπεδο µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος

m c k− − µε υποκρίσιµη απόσβεση

Η εφαπτοµένη της γωνίας θ ισούται µε:

2tan

c

mθ

−

=( )24

2

mk c

m

−2 2 24

4 1 4 14 4

c c c

mk c c cmk mk

mk mk

= − = − = − ⇒ −

− −

2 2

44tan

1 14 4

cc

mkmk

c c

mk mk

θ

⇒ = − = −

− −

(∆.12)

Ωστόσο, ο λόγος απόσβεσης ζ ορίζεται ως ίσος µε:

2

22 42 4

k

mc c c c

m k mkm km

m m

ωζ ζ ζ

ω

== → = = ⇒ = (∆.13)



- 12.35 -

Ο συνδυασµός των Εξ.(∆.11, Β.12) δίδει:

( )2tan

1

ζθ

ζ= −

− (∆.14)

Από την Εξ.(∆.13) προκύπτουν τα ακόλουθα:

• Για γωνία 0θ = , η αντίστοιχη εφαπτοµένη έχει µηδενική τιµή, άρα ο αριθµητής του

κλάσµατος στο δεξί µέλος της Εξ.(∆.13) πρέπει να είναι µηδενικός. Έπεται, λοιπόν, ότι ο

αντίστοιχος λόγος απόσβεσης ζ ισούται µε:

0ζ = (∆.15)

• Για γωνία 90oθ = , η αντίστοιχη εφαπτοµένη απειρίζεται, άρα ο παρονοµαστής του

κλάσµατος στο δεξί µέλος της Εξ.(∆.13) πρέπει να είναι µηδενικός. Έπεται, λοιπόν, ότι ο

αντίστοιχος λόγος απόσβεσης ζ ισούται µε:

: 02 21 0 1 1ύεξ ορισµο ζζ ζ ζ≥− = ⇒ = → = (∆.16)



- 12.36 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε: Μετασχηµατισµός Laplace σε πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα

Από την Εξ.(49), προκύπτει:

( ) ( ) M x C x K x F t M x C x K x F t+ + = ⇒ + + =

L L L L L L L L (Ε.1)

Θα υπολογισθεί κάθε µετασχηµατισµός Laplace στο αριστερό µέρος της Εξ.(Ε.1).

• Για τον όρο x

L

Σύµφωνα µε την Εξ.(Α.9), για τη βαθµωτή ποσότητα x ισχύει:

2

o ox s X sx x= − − L (Ε.2)

Συνεπώς, για τη διανυσµατική ποσότητα x

, η Εξ.(Ε.2) λαµβάνει τη µορφή:

2

o ox s X sx x= − −

L (Ε.3)


L

Σύµφωνα µε την Εξ.(Α.8), για τη βαθµωτή ποσότητα x ισχύει:

ox sX x= −L (Ε.4)



ox sX x= −

L (Ε.5)


L

Εξ ορισµού, για τη βαθµωτή ποσότητα x ισχύει:

x X=L (Ε.6)



x X=

L (Ε.7)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Ε.1,Ε.3,Ε.5,Ε.7) δίδει:

( ) ( ) ( ) 2

o o oM s X sx x C sX x K X F t− − + − + =

L (Ε.8)

Εάν ορίσουµε ( ) ( )F t f s=

L , τότε προκύπτει:

( ) ( ) ( )2

o o oM s X sx x C sX x K X f s− − + − + =

(Ε.9)

Αναδιατάσσοντας τους όρους της Εξ.(Ε.9), προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( )2

o o os M sC K X f s M sx x C x+ + = + + +

(Ε.10)



- 12.37 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ: Συνάρτηση Μεταφοράς πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος

Ο τύπος του Euler για µιγαδικούς αριθµούς δίδεται από τη σχέση:

( ) ( )cos sin cos sintj j t

e j e t j tϑ ωϑ ωϑ ϑ ω ω== + → = + (ΣΤ.1)

Κατ’ αντιστοιχία, ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )cos sin cos sinj t j te t j t e t j t

ω ωω ω ω ω− −= − + − ⇒ = − (ΣΤ.2)

Αθροίζοντας κατά µέλη τις Εξ.(ΣΤ.1, ΣΤ.2), προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sin cos sin 2cosj t j t j t j te e t j t t j t e e t

ω ω ω ωω ω ω ω ω− −+ = − + − ⇒ + = (ΣΤ.3)

Αφαιρώντας κατά µέλη τις Εξ.(ΣΤ.1, ΣΤ.2), προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cos sin cos sin 2 sinj t j t j t j te e t j t t j t e e j tω ω ω ωω ω ω ω ω− −− = − − − ⇒ + = − (ΣΤ.4)

Έστω η ακόλουθη µιγαδική ποσότητα P

:

Re ImP P jP= +

(ΣΤ.5)

Η ποσότητα P

είναι ένα διάνυσµα, κάθε στοιχείο του οποίου ανήκει στο σύνολο των

µιγαδικών αριθµών. Ως ReP

συµβολίζεται το πραγµατικό µέρος του P

, ενώ ως ImP

συµβολίζεται το φανταστικό µέρος του P

. Από τον ορισµό του συζυγούς ενός µιγαδικού

αριθµού, έπεται ότι το συζυγές µιγαδικό διάνυσµα P

ισούται µε:

Re ImP P jP= −

(ΣΤ.6)

Αποδεικνύεται ότι η απόκριση ( )x t

ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος σε περιοδική

διέγερση, µε τη βοήθεια του µιγαδικού διανύσµατος P

, γράφεται ως εξής:

( ) ( ) ( )a j t a j tx t P e P e

ω ω+ += +

(ΣΤ.7)

Για την απόδειξη της Εξ.(ΣΤ.7), εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(ΣΤ.7), προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).( .5)

Re Im Re Im.( .6)

a j t a j t a j t a j tx t P e P e x t P jP e P jP e

ω ω ω ωξξ

+ + + +Ε ΣΤΕ ΣΤ

= + → = + + + ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re Im Re Im Re Im Re Im

a j t a j t a j t a j txy x y x t P jP e P jP e P jP e P jP eω ω ω ω+ + + −=→ = + + + = + + − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re Im Re Im

a j t a j t a j t a j tx t P e jP e P e jP e

ω ω ω ω+ + − −⇒ = + + − ⇒

( ) Re Im Re Im

at j t at j t at j t at j tx t P e e jP e e P e e jP e e

ω ω ω ω− −⇒ = + + − ⇒

( ) ( ) ( )Re Im

at j t j t at j t j tx t P e e e jP e e eω ω ω ω− −⇒ = + + −

(ΣΤ.8)

Ο συνδυασµός των Εξ.(ΣΤ.3, ΣΤ.4, ΣΤ.8) δίδει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

Re Im Re Im2cos 2 sin 2 cos 2 sinat at atx t P e t jP e j t x t e P t j P tω ω ω ω= + ⇒ = + ⇒



- 12.38 -

( ) ( ) ( )( )Re Im2 cos 2 sinatx t e P t P tω ω⇒ = −

(ΣΤ.9)

Ορίζουµε τις ακόλουθες µεταβλητές:

Re2CP P=

και Im2SP P= −

(ΣΤ.10)

Ο συνδυασµός των Εξ.(ΣΤ.9, ΣΤ.10) δίδει:

( ) ( ) ( )( )cos sinat

C Sx t e P t P tω ω= +

(ΣΤ.11)

Η Εξ.(ΣΤ.11), για 0a = , λαµβάνει την ακόλουθη µορφή:

( ) ( ) ( )( )cos sinC Sx t P t P tω ω= +

(ΣΤ.12)

Ωστόσο, η Εξ.(ΣΤ.12) περιγράφει την απόκριση ενός πολυβάθµιου συστήµατος υπό

περιοδική διέγερση. Συνεπώς, και η Εξ.(ΣΤ.7), από την οποία προέρχεται η Εξ.(ΣΤ.12), θα

εκφράζει την απόκριση ενός πολυβάθµιου συστήµατος υπό περιοδική διέγερση. Άρα, ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0cos sina j t a j t aat

C Sx t P e P e e P t P tω ω ω ω+ + == + = + →

( ) ( ) ( )cos sinj t j t

C Sx t P e P e P t P tω ω ω ω⇒ = + = +

(ΣΤ.13)

Συνεπώς, η απόκριση ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος υπό περιοδική διέγερση

είναι δυνατόν να περιγραφεί από την Εξ.(ΣΤ.13). Στην περίπτωση ενός πολυβάθµιου

δυναµικού συστήµατος υπό αρµονική διέγερση, η απόκριση του συστήµατος και πάλι

περιγράφεται από την Εξ.(ΣΤ.13), αφού πρώτα αντικατασταθεί η συχνότητα ω µε τη

συχνότητα Ω της αρµονικής διέγερσης:


C Sx t P e P e P t P tΩ Ω= + = Ω + Ω

(ΣΤ.14)

Ακριβώς µε το ίδιο σκεπτικό, η αρµονική διέγερση ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος

F

είναι δυνατόν να γραφεί ως εξής:


C SF t f e f e f t f tΩ Ω⇒ = + = Ω + Ω

(ΣΤ.15)

Σχετικά µε τις χρονικές παραγώγους της Εξ.(ΣΤ.14):

• Για την πρώτη χρονική παράγωγο ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )j t j t j t j td d dx t P e P e x t P e P e

dt dt dt

Ω Ω Ω Ω= + ⇒ = +

(ΣΤ.16)

Ο πρώτος όρος του δεξιού µέλους της Εξ.(ΣΤ.16) ισούται µε:

( ) ( )j td dP e P

dt dt

Ω =

( )j t j t j tde P e j P e

dtωΩ Ω Ω+ =

(ΣΤ.17)

Ο δεύτερος όρος του δεξιού µέλους της Εξ.(ΣΤ.16) ισούται µε:



- 12.39 -

( ) ( ) ( )j t j td d dP e P e P

dt dt dt

ω Ω= =

( ) ( ) ( ) ( )j t j t j t j t j td de P e P e j P e j P e

dt dtω ωΩ Ω − Ω − Ω Ω+ = = − = − ⇒

( ) ( )j t j tdP e j P e

dtωΩ Ω= −

(ΣΤ.18)


( ) ( ) ( )j t j t j t j tx t j P e j P e x t j P e P eΩ Ω Ω Ω= Ω − Ω ⇒ = Ω −

(ΣΤ.19)

• Για τη δεύτερη πρώτη χρονική παράγωγο ισχύει:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .18 j t j t j t j td d d dx t x t j P e j P e j P e j P e

dt dt dt dt

ξΕ ΣΤ Ω Ω Ω Ω= → Ω − Ω = Ω − Ω

(ΣΤ.20)


( ) ( ) ( )( ) 2 12 2 2 2 jj t j t j t j tx t j j P e j j P e j P e j P e=−Ω Ω Ω Ω= Ω Ω − Ω − Ω = Ω + Ω →

( ) ( )2 j t j tx t P e P eΩ Ω⇒ = −Ω +

(ΣΤ.21)

Η εξίσωση ισορροπίας ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος (βλ. Εξ.(49) είναι:

( ) ( ) ( )M x t C x t K x t F+ + =

(ΣΤ.22)

Εισάγοντας τις Εξ.(ΣΤ.13, ΣΤ.15, ΣΤ.19, ΣΤ.21 στην Εξ.(ΣΤ.22), προκύπτει:

( )( ) ( )( ) ( )2 j t j t j t j t j t j t j t j tM P e P e C j P e P e K P e P e f e f e

Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω−Ω + + Ω − + + = +

(ΣΤ.23)

Ωστόσο, για έναν µιγαδικό αριθµό z a jb= + , ισχύουν τα εξής:

• Το άθροισµα ενός µιγαδικού αριθµού µε τον αντίστοιχο συζυγή του, ισούται µε το

πραγµατικό µέρος του µιγαδικού αριθµού:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 Rez z a jb a jb a jb a jb a z z z+ = + + + = + + − = ⇒ + = (ΣΤ.24)

• Η διαφορά ενός µιγαδικού αριθµού από τον αντίστοιχο συζυγή του, ισούται µε το

φανταστικό µέρος του µιγαδικού αριθµού:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 Imz z a jb a jb a jb a jb jb z z z− = + − + = + − − = − ⇒ − = (ΣΤ.25)

Η εφαρµογή των ανωτέρω ιδιοτήτων (βλ. Εξ.(ΣΤ.24,ΣΤ.25)) στην Εξ.(23) δίδει:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 Re 2Im 2Re 2Rej t j t j t j tM P e j C P e K P e f e

Ω Ω Ω Ω−Ω + Ω + =

(ΣΤ.26)



- 12.40 -

Η ποσότητα ( )j tP e Ω

γράφεται και ως εξής:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re Im Re Im Re Imcos sin cos cos sin sinj tP e P jP t j t P t jP t P j t jP j tΩ = + Ω + Ω = Ω + Ω + Ω + Ω ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

Re Im Im Recos sin cos sinj tP e P t j P t j P t P tΩ⇒ = Ω + Ω + Ω + Ω ⇒

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

Re Im Im Re

Re Im

cos sin cos sin

j t j t

j t

P e P e

P e P t P t j P t P t

Ω Ω

Ω ⇒ = Ω − Ω + Ω + Ω ⇒

(ΣΤ.27)

Κατ’ αντιστοιχία, ισχύει:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

Re Im Im Re

Re Im

cos sin cos sin

j t j t

j t

f e f e

f e f t f t j f t f t

Ω Ω

Ω = Ω − Ω + Ω + Ω ⇒

(ΣΤ.28)

Εισάγοντας τις Εξ.(ΣΤ.27, ΣΤ.28) στην Εξ.(ΣΤ.26), προκύπτει:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2

Re Im Im Re

Re Im Re Im

2 cos sin 2 cos sin

2 cos sin 2 cos sin

M P t P t j C P t P t

K P t P t f t f t

ω − Ω − Ω + Ω Ω + Ω +

+ Ω − Ω = Ω − Ω

(ΣΤ.29)

Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(ΣΤ.29), προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2

Re Im Im Re

Re Im Re Im

cos sin cos sin

cos sin cos sin

MP t MP t j CP t j CP t

KP t KP t f t f t

−Ω Ω + Ω Ω + Ω Ω + Ω Ω +

+ Ω − Ω = Ω − Ω ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2

Re Im Re Re Im Re Im Imcos sin 0MP j CP KP f t MP j CP KP f t− Ω + Ω + − Ω + Ω + Ω − + Ω =

(ΣΤ.30)

Η Εξ.(ΣΤ.30) πρέπει να ισχύει για κάθε χρονική στιγµή t . Αυτό σηµαίνει ότι οι συντελεστές

των χρονικών (τριγωνοµετρικών) όρων στην Εξ.(ΣΤ.30) θα πρέπει να είναι µηδενικοί:

2

Re Im Re Re

2

Im Re Im Im

0

0

MP j CP KP f

MP j CP KP f

−Ω + Ω + − =

Ω + Ω − + =

(ΣΤ.31)

Ισοδύναµα, η Εξ.(ΣΤ.31) γράφεται και ως εξής:

2

Re Im Re Re

2

Im Re Im Im

MP j CP KP f

MP j CP KP f

−Ω + Ω + =

−Ω − Ω + =

(ΣΤ.32)

Η Εξ.(ΣΤ.32), σε µητρωϊκή γραφή, λαµβάνει την ακόλουθη µορφή:

2ReRe

2Im Im

P f

fPM K j C

P fj C M K

−Ω + Ω =

− Ω −Ω +

(ΣΤ.33)

Στην Εξ.(ΣΤ.33) αναγνωρίζουµε ότι η µιγαδική ποσότητα f

αφορά στην αρµονική διέγερση

του συστήµατος (βλ. Εξ.(ΣΤ.16)), ενώ η µιγαδική ποσότητα P

αφορά στην αντίστοιχη



- 12.41 -

απόκριση του δυναµικού συστήµατος (βλ. Εξ.(ΣΤ.14)). Επιλύοντας την Εξ.(ΣΤ.33) ως προς

P

, προκύπτει:

12

ReRe

2Im Im

P H f

fP M K j C

P fj C M K

− −Ω + Ω =

− Ω −Ω +

(ΣΤ.34)

Ο πίνακας H είναι ίδιος µε εκείνον της Εξ.(11) στην Εκπαιδευτικής Ενότητας 10. Επίσης,

( )

12

ReRe

2Im Im

P H s f

fP s M K sC

P fsC s M K

− + =

− +

(ΣΤ.35)

Ο πίνακας ( )H s εκφράζει τον Πίνακα των Συναρτήσεων Μεταφοράς ενός πολυβάθµιου

δυναµικού συστήµατος υπό αρµονική διέγερση και είναι εκείνος της Εξ.(62) και της Εξ.(77)

της παρούσας Εκπαιδευτικής Ενότητας.

∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ...

Documents

Transcript of ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ...