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Matemática atuarial
Anuidades Vitalícia (aula10)
Danilo Machado [email protected]
Leonardo Henrique [email protected]
https://atuaria.github.io/portalhalley/
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Anuidades
Anuidade é um produto atuarial ligado a previdência. Plano de previdência: A ideia é formar uma reserva financeira para lidar
com situações futuras.
Anuidade (renda sobre a vida) Sucessão de pagamentos equidistantes (1 ano), efetuados por uma dada
entidade a outrem, no caso, um segurado. Aposentadoria: pagamentos até o momento da morte
Cobertura: por período determinado.
A serie de Prêmios pagos pelo segurado, seja para financiar um seguro devida, seja para financiar a aposentadoria, também podem ser reconhecidoscomo anuidades.
O valor pago em cada período é chamado de termo .
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Pagamentos Antecipados ( 4 pagamentos iguais (𝑏) ). Os pagamentos começam no primeiro período
Pagamentos Postecipados ( 4 pagamentos iguais (𝑏)). Os pagamentos começam no final de cada período
Anuidades
Pagamentos 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏Pagamentos
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Relembrando: Soma finita de 𝑛∗ + 1 elementos de uma progressão geométrica, onde𝑟 ≠ 1:
Assim dado a progressão geométrica 1,3,9,27,81,243 , temos:
𝑆5 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 =1 − 35+1
1 − 3= 364
Anuidades
𝑆𝟑 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟𝟑
𝑆𝑛 =𝑎 1 − 𝑟𝑛+1
1 − 𝑟
Contagem começa em 𝑛 = 0
𝑋0 + 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5
* Uma progressão onde n indica a posição do elemento.
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Anuidades vitalícia
Apenas termina com a morte da pessoa segurada.
Anuidades Temporária
Termina no fim do prazo estipulado ou com a morteda pessoa segurada.
Anuidades
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São aquelas anuidades onde os termos são exigíveis a partir doprimeiro período, elas não têm período de carência.
É suposto que a reserva necessária ao primeiro pagamento nãoteve tempo para capitalizar.
É como se o contrato de “aposentadoria “ fosse feito no momentoem que a aposentadoria fosse começar. Não é uma prática usual, na prática o valor presente necessário ao primeiro
pagamento é menor que o benefício.
São interrompidos em caso de morte.
Anuidades imediatas
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Anuidades imediatas
Pagamentos Antecipados Pagamentos Postecipados
Anuidades vitalícia Anuidades Temporária Anuidades vitalícia Anuidades Temporária
Apenas termina com a morte da pessoasegurada.
Termina no fim do prazo estipuladoou com a morte da pessoa segurada.
Os pagamentos começamno primeiro período.
Os pagamentos começamno final de cada período.
São aquelas anuidades onde os termos sãoexigíveis a partir do primeiro período. Não têmperíodo de carência.
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São aquelas anuidades onde os termos são exigíveis a partir do primeiroperíodo, elas não têm período de carência.
Pagamentos Antecipados ( 4 pagamentos iguais a “b”)
Os pagamentos começam no primeiro período.
No momento do primeiro pagamento o valor presente necessário temque ser igual ao próprio benefício.
Anuidades imediatas
Pagamentos.
Valor presente necessário a cada pagamento.
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
𝒃
𝒃𝒗
𝒃𝒗𝟐
𝒃𝒗𝟑
𝐹0 = 𝒃1
1 + 𝑖
𝑡
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São aquelas anuidades onde os termos são exigíveis a partir do primeiroperíodo, elas não têm período de carência.
Pagamentos Postecipados ( 4 pagamentos iguais a “b”) Os pagamentos começam no final de cada período
Diferente do antecipado a seguradora tem carência de um ano. É considerado que o valor presente necessário ao primeiro pagamento teve 1
ano de atualização, assim ele começa em 𝑏𝑣.
Anuidades imediatas
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 Pagamentos
Valor presente necessário a cada pagamento𝒃𝒗
𝒃𝒗𝟐
𝒃𝒗𝟑
𝐹0 = 𝑏1
1 + 𝑖
𝑡
𝒃𝒗𝟒
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Pagamentos Antecipados (4 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠) Os pagamentos começam no primeiro período.
Pagamentos Postecipados (4 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠) Os pagamentos começam no final de cada período.
Anuidades imediatas
Pagamentos
Valor presente necessário a cada pagamento
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
𝑏 𝑏𝑣 𝑏𝑣2 𝑏𝑣3
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 Pagamentos
Valor presente necessário a cada pagamento𝑏𝑣 𝑏𝑣2 𝑏𝑣3
𝑭𝟎 = 𝒃𝟏
𝟏 + 𝒊
𝒕
𝑏𝑣4
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Anuidades imediatas
A soma de uma anuidade antecipada1 composta por 𝟒 pagamentos com 𝑏 = 1.será:
1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 =
𝑡=0
4−1
𝑣𝑡
A soma de uma anuidade antecipada1 composta por 𝒏 pagamentos com 𝑏 = 1.será:
1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑛−1 =
𝑡=0
𝑛−1
𝑣𝑡 =1 − 𝑣 𝑛−1 +1
1 − 𝑣=𝟏 − 𝒗𝒏
𝟏 − 𝒗= 𝒂𝒏|
1) Os pagamentos começam no primeiro período.
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Anuidades imediatas
A soma de uma anuidade postecipada2 composta por 4 pagamentos com 𝑏 = 1.Será:
𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣4 =
𝑡=1
4
𝑣𝑡
A soma de uma anuidade postecipada2 composta por 𝒏 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 com b =1. Será:
𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑛 = 𝑣 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑛−1 = 𝑣
𝑡=0
𝑛−1
𝑣𝑡
𝑣 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑛−1 = 𝑣1 − 𝑣 𝑛−1 +1
1 − 𝑣= 𝒗
𝟏 − 𝒗𝒏
𝟏 − 𝒗= 𝒂𝒏|
2) Os pagamentos começam no final de cada .
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Anuidades imediatas
A soma de uma anuidade antecipada1 composta por 𝒏 pagamentos com 𝑏 = 1será:
𝒂𝒏| =1 − 𝑣𝑛
1 − 𝑣
A soma de uma anuidade postecipada2 composta por 𝒏 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 com 𝑏 =1 será:
𝑎𝑛| = 𝑣1 − 𝑣𝑛
1 − 𝑣
1) Os pagamentos começam no primeiro período.
2) Os pagamentos começam no final de cada .
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𝑎𝑛| − 𝑎𝑛−1| = 1
Pois :
1 − 𝑣𝑛
1 − 𝑣−𝑣 1 − 𝑣𝑛−1
1 − 𝑣= 1
Note que 𝑛 representa o maior valor inteiro contido no tempo futuro de vida. Trata-se de uma variável discreta.
Anuidade Postecipada
Anuidade Antecipada
Anuidades imediatas
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Estamos trabalhando com o valor presente de uma série depagamentos.
Não existe, nos exemplos acima, o reconhecimento de uma variável comotendo “natureza” aleatória.
De fato, as anuidades apresentadas são anuidades certas. Uma série depagamentos sendo realizados ao longo do tempo.
Anuidades vitalícias imediatas
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No processo de compra de um produto atuarial ou de concessãode benefício, existe risco.
A seguradora não sabe se vai receber todos os prêmios do segurado (estepode morrer antes do período de cobertura).
A seguradora não sabe ao certo quanto irá gastar com previdência uma vezque uma pessoa se aposentou e entrou em gozo de benefício.
Reconhecer a anuidade como um produto atuarial é reconhecerque: A seguradora (ou fundo de pensão) não saberá ao certo quanto que, o
valor de hoje, um segurado irá custar.
Anuidades vitalícias imediatas
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O valor atuarial de anuidade imediata vitalícia e com pagamentoANTECIPADO para uma pessoa de idade 𝑥 corresponde ao valoresperado da anuidade imediata antecipada:
𝑎𝑥
O valor atuarial de anuidade imediata vitalícia e com pagamentoPOSTECIPADO para uma pessoa de idade 𝑥 corresponde ao valoresperado da anuidade imediata postecipada:
𝑎𝑥
Anuidades vitalícias imediatas
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𝑇 é a variável aleatória associada ao tempo adicional de vida, edetermina a quantidade de pagamentos. No caso vitalício, em tese não se sabe o número de pagamentos.
O valor atuarial da anuidade pode ser calculada diretamente, combase nos valores das anuidades e na distribuição de 𝑇.
Anuidades vitalícias imediatas
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Imagine que um segurado deseja comprar uma anuidade (antecipada)que paga 1 u.m. ao segurado até que ele faleça. Qual deverá ser o valor a ser pago(Prêmio Puro Único) pelo segurado por essa anuidade ( suponha o tempodiscreto)?
𝑎 𝑡| = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3+. . . +𝑣𝑡−1 =1 − 𝑣𝑡
1 − 𝑣
𝑎 𝑡| corresponde a reserva total que a “seguradora” deve ter no inicio dospagamentos para uma pessoa que viva por um período fixo 𝑡.
Assim para o caso de uma pessoa de idade 𝑥 viver somente 1 ano a reservaserá de:
𝑎 1| =1 − 𝑣0+1
1 − 𝑣= 1
Viver por 2 anos:
𝑎 2| =1 − 𝑣1+1
1 − 𝑣= 1 + 𝑣
Viver por 3 anos:
𝑎 3| =1 − 𝑣2+1
1 − 𝑣= 1 + 𝑣 + 𝑣2
...
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Ao se considerar o tempo de vida 𝑇 como uma variável aleatóriatemos que para uma pessoa de idade 𝑥 a probabilidade dela vivero primeiro de pagamento:
𝑃 𝑇𝑥 = 0 = 0 𝑝𝑥𝑞𝑥
Viver por 2 anos:𝑃 𝑇𝑥 = 1 = 𝑝𝑥𝑞𝑥+1
Viver por 3 anos:𝑃 𝑇𝑥 = 2 = 2 𝑝𝑥𝑞𝑥+2
...
Anuidades vitalícias imediatas
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Assim vemos que cada termo 𝑎𝑇+1| tem probabilidade associado
de 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡.
N° do Pagamentos
Tempo de vida adicional (anos)
Probabilidade do tempo de vida adicional.
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 necessários.
1 𝑡 = 0 𝑃 𝑇𝑥 = 0 = 0 𝑝𝑥𝑞𝑥 𝑎 1| =
1 − 𝑣0+1
1 − 𝑣= 1
2 𝑡 = 1 𝑃 𝑇𝑥 = 1 = 𝑝𝑥𝑞𝑥+1 𝑎 2| =
1 − 𝑣1+1
1 − 𝑣= 1 + 𝑣
3 𝑡 = 2 𝑃 𝑇𝑥 = 2 = 2 𝑝𝑥𝑞𝑥+2 𝑎 3| =
1 − 𝑣2+1
1 − 𝑣= 1 + 𝑣 + 𝑣2
… … ... ...
𝑛 = 𝑡 + 1 𝑡 𝑃 𝑇𝑥 = 𝑡 = 𝑡 𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 𝑎𝑛| = 𝑎𝑡+1| =
1 − 𝑣𝑡+1
1 − 𝑣
Anuidades imediatas
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Então para o caso do VPA pago por uma anuidade imediatavitalícia antecipada, para uma pessoa de idade 𝑥, será:
𝑎𝑥 =
𝑡=0
∞
𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =
𝑡=0
∞1 − 𝑣𝑡+1
1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡
Anuidades vitalícias imediatas
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Aula 11 - Anuidades
Danilo Machado [email protected]
Leonardo Henrique [email protected]
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Exemplo 1
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calculeo Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essaanuidade com pagamento imediato.
Anuidades vitalícias imediatas
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Exemplo 1
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calculeo Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essaanuidade com pagamento imediato.
𝑎40 = 𝐸 𝑎𝑇+1| =
𝑡=0
∞
𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 = 𝑎 1| 0𝑝40𝑞40 + 𝑎 2| 𝑝40𝑞41 + 𝑎 3| 2𝑝40𝑞42 +⋯
𝑎40 =1 − 𝑣1
1 − 𝑣 0𝑝40𝑞40 +1 − 𝑣2
1 − 𝑣𝑝40𝑞41 +
1 − 𝑣3
1 − 𝑣 2𝑝40𝑞42 +⋯
𝑎40 = 17,67𝑢.𝑚.
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Exemplo 1Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que
paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento imediato.
AnuidAnt1<-function(i,idade,b){
f.desconto <- 1/(1+i)px <- 1-qxpxx <- c(1, cumprod( px[(idade+1):idademaxima]) )t <- (0:(length(pxx)-1))a <- (1-f.desconto^(t+1))/(1-f.desconto)ax <- b*sum(a*pxx*qx[(idade+1):(idademaxima+1)])return(ax)}
Anuidades vitalícias imediatas
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Outra alternativa para o calculo do V.P.A. será dado por:
𝑎𝑥 = 0𝐸𝑥 + 1𝐸𝑥 + 2𝐸𝑥 + 3𝐸𝑥+. . .
Como vimos que 𝑛𝐸𝑥 = 𝑣𝑛 𝑛𝑝𝑥, então:
𝑎𝑥 = 𝐸 𝑎𝑇+1| =
𝑡=0
∞
𝑡𝐸𝑥 =
𝑡=0
∞
𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥
Anuidades vitalícias imediatas
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Exemplo 2
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calculeo Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essaanuidade com pagamento imediato.
𝑎40 =
𝑡=0
∞
𝑡𝐸40 = 1 + 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 2𝑝40 + 𝑣3 3𝑝40 +⋯
𝑎40 = 1 + 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 𝑝40𝑝41 + 𝑣3𝑝40𝑝41𝑝42 +⋯ = 17,67𝑢.𝑚.
Anuidades vitalícias imediatas
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Exemplo 2Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que
paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento imediato.
AnuiAnt2<-function(i,idade,b){
f.desconto <- 1/(1+i)px <- 1-qxpxx <- c(1, cumprod(px[(idade+1):idademaxima]) )t <- (0:(length(pxx)-1))bx <- b*sum(f.desconto^(t)*pxx)return(bx)}
Anuidades vitalícias imediatas
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17,67𝑢.𝑚. 17,67𝑢.𝑚.
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Então para o caso do VPA pago por uma anuidade imediata vitalíciapostecipado, para uma pessoa de idade 𝑥, será:
𝑎𝑥 = 𝐸 𝑎𝑇| =
𝑡=1
∞
𝑎 𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =
𝑡=1
∞𝑣 1 − 𝑣𝑡
1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡
Anuidades vitalícias imediatas
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Exemplo 3Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que
paga 1 u.m. com pagamento Postecipado. Considerando a tábua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento imediato.
𝑎40 =
𝑡=1
∞
𝑎 𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 = 𝑎 1| 𝑝40𝑞41 + 𝑎 2| 2 𝑝40𝑞42 + 𝑎 3| 3𝑝40𝑞43 +⋯
𝑎40 =𝑣 1 − 𝑣1
1 − 𝑣𝑝40𝑞41 +
𝑣 1 − 𝑣2
1 − 𝑣 2𝑝40𝑞42 +𝑣 1 − 𝑣3
1 − 𝑣 3𝑝40𝑞43 +⋯
𝑎40 = 16,67u.m.
Anuidades vitalícias imediatas
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Exemplo 3Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que paga 1 u.m. com
pagamento Postecipado. Considerando a tábua de mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa dejuros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidadecom pagamento imediato.
AnuidPost1<-function(i,idade,b){
f.desconto <- 1/(1+i)px <- 1-qxpxx <- cumprod( px[(idade+1):idademaxima])
## pxx <- c(1, cumprod( px[(idade+1):idademaxima]))t <- (1:(length(pxx)))## t <- (0:(length(pxx)-1))a <- f.desconto *(1-f.desconto^t)/(1-f.desconto)## a <- (1-f.desconto^(t+1))/(1-f.desconto)ax <- b*sum(a*pxx*qx[(idade+2):(idademaxima+1)])
## ax <- b*sum(a*pxx*qx[(idade+1):(idademaxima+1)])return(ax)
}
Anuidades vitalícias imediatas
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Para o caso do VPA pago por uma anuidade imediata vitalíciaPostecipada:
𝑎𝑥 = 𝑣 𝑝𝑥 + 𝑣2 2𝑝𝑥 + 𝑣3 3𝑝𝑥+. . .
Então:
𝑎𝑥 =
𝑡=1
∞
𝑡𝐸𝑥 =
𝑡=1
∞
𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥
Anuidades imediatas-Vitalícia
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Exemplo 4
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento Postecipado. Considerando a tábuade mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a.,calcule o Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado para compraressa anuidade com pagamento imediato.
𝑎40 =
𝑡=1
∞
𝑡𝐸40 = 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 2𝑝40 + 𝑣3 3𝑝40 +⋯
𝑎40 = 𝑣 𝑝40 + 𝑣2 𝑝40𝑝41 + 𝑣3𝑝40𝑝41𝑝42 +⋯ = 16,67𝑢.𝑚.
Anuidades vitalícias imediatas
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Exemplo 4
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que paga 1u.m. com pagamento Postecipado. Considerando a tábua de mortalidade AT-2000masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a ser pagopelo segurado para comprar essa anuidade com pagamento imediato.
AnuiPost2<-function(i,idade,b){
f.desconto <- 1/(1+i)
px <- 1-qx
pxx <- cumprod(px[(idade+1):idademaxima])
## pxx <- c(1, cumprod(px[(idade+1):idademaxima]) )
t <- (1:(length(pxx)))
## t <- (0:(length(pxx)-1))
bx <- b*sum(f.desconto^(t)*pxx)
return(bx)
}
Anuidades vitalícias imediatas
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16,67𝑢.𝑚.16,67𝑢.𝑚.
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Então, para o caso discreto, o V.P.A. será dado por:
Anuidade Antecipada ( Variável aleatória discreta)
𝑎𝑥 =
𝑡=0
∞
𝒕𝑬𝒙 =
𝑡=0
∞
𝒗𝒕 𝒕𝒑𝒙 =
𝑡=0
∞
𝑎𝑡+1| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =
𝑡=0
∞1 − 𝑣𝑡+1
1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡
Anuidade Postecipada ( Variável aleatória discreta)
𝑎𝑥 =
𝑡=1
∞
𝑡𝐸𝑥 =
𝑡=1
∞
𝑣𝑡 𝑡𝑝𝑥 =
𝑡=1
∞
𝑎 𝑡| 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡 =
𝑡=1
∞
𝑣1 − 𝑣𝑡
1 − 𝑣 𝑡𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑡
Anuidades vitalícias imediatas
𝜔 − 𝑥 − 1
𝜔 − 𝑥
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𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 + 1
Anuidades vitalícias imediatas
Valor atuarial de uma anuidade vitalícia
antecipada.
Valor atuarial de uma anuidade vitalícia
Postecipada.