Chile: Merkén, Blanca Villalobos y Gina Leonelli, Universidad Católica de Temuco (spanish)
Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.
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Antonio Leonelli
MATEMATICAPER LE SCIENZE
SPERIMENTALI
Editore JAPADRE
Testo consigliato
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Spazi euclideie funzioni
Titolo
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P (3,2)
Q (2,3)
Piano cartesiano
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Se A e B sono due insiemi, si chiama Prodotto Cartesiano di A per B l’insieme, indicato con A x B , i cui elementi sono le coppie ordinate (x,y) dove il primo termine x viene scelto in A e il secondo termine y viene scelto in B .
Prodotto cartesiano
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Se A = B ,
invece di AxAsi usa scrivere:
A2
Quadrato cartesiano
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RRxRRRR
22
R2
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RR22
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Spazio cartesiano
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x
y
z
3
2
4
PP(3,2,4)
RR33
R3
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0 1 2 3-1-2 RRspazio euclideo di dimensione 1
RR22
spazio euclideo di dimensione 2
RR33
spazio euclideodi dimensione 3
Dimensioni
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nn
( )x x x xn1 2 3
, , ,...,n-uple ordinate di numeri realiennuple
spazio euclideo n-dimensionale
RR
Rn
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analisi su un campione sperimentale:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10unità campionarie
• risultati analisi del colesterolo: (a )1, ,...,a a
2 10
• risultati analisi della glicemia: (b )1, ,...,b b
2 10
• risultati analisi dell’azotemia: (c )1, ,...,c c
2 10
Analisi su un campione
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Correlazione Peso-Altezza
x (peso in Kg.) 70 66 74 72 76 72 76 73y (altezza in cm.) 168 167 172 175 177 169 176 175
Peso - altezza
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peso
alte
zza
x
y
60 65 70 75 80
160
165
17
0
1
75
1
80
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x
y
0
A
tgx
y
y = m x
m = tg
y
x
coefficiente angolare
m
Equazione della retta
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x
y
0
A
m CRESCENTE
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x
y
0
A
m < 0 :
DECRESCENTE
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x
y
0
Q
q
x
m x
q
mx+q
y = m x
y = m x + q
intercetta q m coefficiente angolare
Coeff. angolare e intercetta
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x
y
0
Q
q
x
m x
q
mx+q
y = m x+q
m coefficiente angolare
q intercetta
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peso
alte
zza
x
y
60 65 70 75 80
160
165
17
0
1
75
1
80
m
q
y = x + 100
equazione
vari
abile
in
dip
end
ente
variabile dipendente
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altezza
peso
y = x 100
60
65
7
0
7
5
80
equazione
y
160 165 170 175 180x
vari
abile
dip
end
ente
variabile indipendente
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altezza
peso
x
y
y = ax2 bx c
equazione
vari
abile
dip
end
ente
variabile indipendente
F U N Z I O N E
parabola
x
y
y varia in funzione di x
Concetto di funzione
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A Bf
DOMINIODOMINIO CODOMINIOCODOMINIO
xf(x)
immagine di x mediante f
valore di f su xargomento
Immagini o valori
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A Bf
f (A)f (A)
immagine di A f
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x
y
z
Traiettoria
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x
y
z
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x
y
z
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x
y
z
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x
y
z
![Page 32: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/32.jpg)
x
y
z
![Page 33: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/33.jpg)
x
y
z
![Page 34: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/34.jpg)
x
y
z
![Page 35: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/35.jpg)
x
y
z
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x
y
z
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x
y
z
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x
y
z
f (t)
3RR :f )t(z),t(y),t(x
t
posizione dell’aereo
nell’istante t
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T ( x, y, z, t )
RR 4:T
(x, y, z)
Temperatura in °C
nel punto (x, y, z)
nell’istante t
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OPERAZIONI ALGEBRICHE
addizione :
add (x , y) = x + y
addRR22 RR
moltiplicazione :moltRR22 RR
yx)y,x(molt
Operazioni come funzioni
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A A
IDENTITA’ di A
idA
x x
id (x) = xA
Identità
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SUCCESSIONERRfNN*
f(1) = a1
f(2) = a2
f(n) = an
n
2
1
Successioni
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SUCCESSIONERRfNN*
Esempio :
f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3
f(4) = 5 f(5) = 8 f(6) = 13
f(n+2) = f(n) + f(n+1)definizione ricorsiva :
successione di Fibonaccisuccessione di Fibonacci
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SUCCESSIONERRfNN
Esempio :
f(0) = 3 f(1) = 5 f(2) = 7
f(3) = 9 f(4) = 11 f(5) = 13
f(n) = a n + b
progressione aritmeticaprogressione aritmetica
2 3
Progressione aritmetica
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f( n ) = a n + b
RRf
NNRR
x xfunzione lineare
y = a x + b
x
y
linea
ret
ta
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x
y
mxx
yy
o
o
yo
xo x
y
y yo = m (xxo) coefficiente angolare(rapidità di crescita)
y yo
x xo
y = f(x) lineare
f(xo)
Rapidità di crescita
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x
y
yo
)h(f
h
mxx
yy
o
o coefficiente angolare
(rapidità di crescita)
xo+ h
f(xo+ h)
xo
yo
f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h
f(xo)
m h
y = f(x) lineare
y yo = m (xxo) h)h(f
Previsione
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x
y
xo
f(xo)
y = f(x) non lineare
y = m x + q
x1
y = m 1 x + q 1
m varia in funzione di x )x('fconindicasiperciòe
DERIVATA di f
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x
y
xo
f(xo)
y = f(x) non lineare
xo+ hh
)x('f o
f(xo+ h)
??
h
)x(f)hx(f oo
rapporto incrementale
y = m x + q
f(xo+h) f(xo)
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h
f(xo+ h) f(xo)
h
)x(f)hx(f oo
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h
)x(f)hx(f oo
h
f(xo+ h) f(xo)
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h
f(xo+ h) f(xo)
h
)x(f)hx(f oo
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h
f(xo+ h) f(xo)
h
)x(f)hx(f oo
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)x('f oh
)x(f)hx(flim oo
0h
Definizione di derivata
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h
xahaxalim
0h
bxa)x(f Esempio
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
h
bxab)hx(alim
0h
h
halim
0h
aalim0h
funzioni lineari
a)x('f
y = a x + b
coefficiente angolare
Esempio
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2x)x(f Esempio
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
h
x)hx(lim
22
0h
h
xhxh2xlim
222
0h
h
h)hx2(lim
0h
x2x2xD 2
funzione
Derivate fondamentali
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1nn xnxD
più in generale:
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0)x('f 0)x('f
x
y
y = f(x) non lineare
x1 x2
Crescenza e decrescenza
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ttsin tsin t
Rt
Funzione seno
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Rt
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Rt
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Rt
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Rt
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Rt
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Rt
![Page 67: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/67.jpg)
Rt
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Rt
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Rt
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Rt
![Page 71: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/71.jpg)
Rt
![Page 72: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/72.jpg)
Rt
![Page 73: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/73.jpg)
Rt
![Page 74: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/74.jpg)
Rt
![Page 75: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/75.jpg)
Rt
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Rt
![Page 77: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/77.jpg)
Rt
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Rt
![Page 79: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/79.jpg)
Rt
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Rt
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Rt
![Page 82: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/82.jpg)
y = sin x
y = cos x
Grafici di seno e coseno
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Grafico della funzione tangente
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crescente
decrescente
??Una strana “funzione”
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ox
0)x('f o
0)x('f o
?? NON E’ UNA FUNZIONE ! NON E’ UNA FUNZIONE !
Non è una funzione
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La definizione corretta di funzione
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![Page 88: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/88.jpg)
ox
la funzionela funzione senoseno non ènon è invertibileinvertibile
Non invertibilità
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x1
x2
FUNZIONE NON INVERTIBILE
b y = b
21 xx però )x(f)x(f 21
perché f sia invertibile occorre che :
)x(f)x(fxx 2121 FUNZIONE INIETTIVAFUNZIONE INIETTIVA
Iniettività
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A Bf
INIETTIVA
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A Bf
INIETTIVA
![Page 92: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/92.jpg)
A Bf - 1
inversa di f
f(A)
??
Ricerca dell’inversa
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FUNZIONE NON INVERTIBILE
y = sin x + 3
b y = b
??
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A B
f(A)
f
f (A) = B f SURIETTIVA
INIETTIVA SURIETTIVA BIETTIVA
Suriettività e biettività
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A Bf 1
![Page 96: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/96.jpg)
Grafico della funzione arcoseno
2
2
![Page 97: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/97.jpg)
Inversione parziale
![Page 98: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/98.jpg)
Grafico della funzione arcocoseno
Grafico dell’arcocoseno
![Page 99: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/99.jpg)
Grafico della funzione arcotangente
2y
2y
Grafico dell’arcotangente
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A
B
C
fg
x
f(x)
g( f(x) )
g f g COMPOSTO f
COMPOSIZIONE
Composizione
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f : RR RR f(x) = x + 1
Esempio :
)x(fg
g : RR RR g(x) = x2
)x(fg 1xg
21x 1x2x2
)x(gf )x(gf 2xf 1x2
gffg
L’OPERAZIONE DI COMPOSIZIONE
NON È COMMUTATIVA
Non commutatività
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)x('f))x(f('g)x)(fg(D
Esercizio
regola della catena
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Esempiox5)x(f xsin)x(g
)x('f))x(f('g)x)(fg(D
)x('f)x(fcos
5x5cos
x5cos5x5sinD
x5sin)x(fg
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Regole di derivazione
![Page 105: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/105.jpg)
Esempio xsin)x(f xcos)x(g
xcos
xsinDxtgD
xcos
xsinxtg
xcos2
xcosDxsinxcosxsinD )xsin(xsinxcosxcos xsinxcos 22
xcos
12
xcos
xsin
xcos
xcos2
2
2
2
xtg1 2
Esercizio
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h
aalim
xhx
0h
0a,a R 1a xa a:)x(exp
h
)1a(alim
hx
0h h
1alima
h
0h
x
xx aaD
1n
11lima
n
n
e
numero di Nepero
xx eeD
e = 2.71828...
funzione esponenziale di base a
esponenziale naturale
Funzioni esponenziali
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Studiare la funzione:
Esercizio
xe)x(f
xe)x('f R x,0
Dominio: R
la funzione è sempre crescente
xe)x("f R x,0Il grafico volge sempre la concavità verso l’alto
x
xelim
x
xelim
0
[,]
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![Page 110: Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE Testo consigliato.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062418/5542eb4f497959361e8be3fd/html5/thumbnails/110.jpg)
base naturale e
xloge logaritmo naturale xln xlog
x
1xlogD Rx
Logaritmo naturale
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o 1
y = log x
8
8+
0 < x < 1 log x < 0
x > 1 log x > 0
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Tabella 4.1
Pagina 308
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2x3xx4lim 23
x
3
xx4lim
3
233
x x4
2x3xx4x4lim
== ??FORMA INDETERMINATA FORMA INDETERMINATA ∞ ∞ ∞ ∞
323
x x4
2
x4
3
x4
11x4lim
Forme indeterminate
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6xx5
2x4x3lim 2
2
x
1x10
4x6lim
x
10
6lim
x
10
6
5
3
6xx5
2x4x3lim 2
2
x
FORMA INDETERMINATA FORMA INDETERMINATA ∞ ∞ ∞ ∞
)x('g
)x('flim
)x(g
)x(flim
oo xxxx
)x('g
)x('flim
)x(g
)x(flim
oo xxxx
Teorema di De L’HospitalTeorema di De L’Hospital
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x
xsinlim
0x
x
xsinlim
0x 1
xcoslim
0x 1
Teorema di De L’HospitalTeorema di De L’Hospital
FORMA INDETERMINATA FORMA INDETERMINATA 00 00
1
Limite notevole
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2
x
x x
elim
x2
elim
x
x 2
x
x x
elim
2
elim
x
x
ex infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio
FORMA INDETERMINATA FORMA INDETERMINATA ∞ ∞ ∞ ∞
Teorema di De L’HospitalTeorema di De L’Hospital
:xper
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Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 326
Esercizi sugli integrali definiti
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