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ANTECEDENTES HISTRICOS

INTRODUCCIN

La palabra clculo proviene del latn calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del clculo, o de las matemticas.

Las matemticas son una de las ciencias ms antiguas, y ms tiles. El concepto de matemticas, se comenz a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llev a la creacin de sistemas de numeracin que inicialmente se componan con la utilizacin de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementacin de sistemas ms avanzados y que pudieran resolver la mayora de los problemas que se presentaban con continuidad.

CIVILIZACIONES ANTIGUAS

En este momento de la historia, la Civilizacin Egipcia, llevaba la pauta con el avance en sus conocimientos matemticos. Segn varios papiros escritos en esa poca, los egipcios inventaron el primer sistema de numeracin, basado en la implementacin de jeroglficos. El sistema de numeracin egipcio, se basaba en sustituir los nmeros clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras humanas...), los dems nmeros eran escritos por la superposicin de estas mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy conocemos como el sistema romano.

Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilnica, crearon otros sistemas de numeracin. En la Antigua Babilonia, la solucin al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la implementacin de un mtodo sexagesimal. Este mtodo tena la particularidad de escribir un mismo signo como la representacin de varios nmeros diferenciados por el enunciado del problema.

Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal jeroglfico, con la cualidad de que estas implementaron el nmero cero.

Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numrico, an son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolucin a ecuaciones de tipo . La correcta implementacin de la regla aritmtica de clculo, por parte de los Indios, aument el conocimiento matemtico, y la creacin de los nmeros irracionales, a dems

que ayud a la resolucin de sistemas de ecuaciones de la forma .

En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de nmero inverso, a dems de las soluciones a distintos problemas logartmicos, e incluso lograron la solucin a sistemas de ecuaciones de la forma , y . Su avance fue tal que crearon algoritmos para el clculo de sumas de progresiones. Y en geometra, se cree que conocan el teorema de Pitgoras, aunque no como un teorema general.

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China sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemtico. Su aporte principal se basaba en la creacin del "mtodo del elemento celeste", desarrollado por Chou Shi Hi, con el cual era posible la resolucin de races enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.

RENACIMIENTO Y MATEMTICAS MODERNAS

En relacin con el anlisis matemtico en este siglo, se fundamento en un conjunto de procedimientos y mtodos de solucin de numerosos problemas que creca rpidamente. Todos estos mtodos aun podan dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el clculo diferencial, el clculo integral y la teora de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se lleg a lo

que se conoce como teora de lmites y de funciones, que fueron el tema central en este siglo.

Bernard Bolzano, fue el pionero en el anlisis de funciones, en sus trabajos estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definicin rigurosa de continuidad de funciones. Estudi profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostr en relacin con stas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una funcin continua toma todos los valores comprendidos entre su mximo y su mnimo.

Tambin ampli la clase de curvas continuas, aplicando el mtodo de acumulacin de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la funcin que no tiene derivada en ningn punto y conocida actualmente como funcin de Bolzano.

Otro de los grandes avances obtenidos en esta poca, fue la introduccin de la variable compleja, con ella se pudieron resolver los clculos de integrales, lo que ejerci una grandsima influencia sobre el desarrollo de la teora de funciones de variable compleja. Matemticos como Laplace acudieron a la interpretacin en variable compleja, con lo que fue desarrollando el mtodo de resolucin de ecuaciones lineales diferenciales.

Ya en el siglo VII, es cuando se hacen populares la construccin de academias reconocidas en el mbito de las matemticas, como la Academia de Londres y Pars. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas matemticas actuales, como la geometra analtica, los mtodos diferenciales e infinitesimales, y el clculo de probabilidades.

La aparicin del anlisis infinitesimal fue la culminacin de un largo proceso, cuya esencia matemtica interna consisti en la acumulacin y asimilacin terica de los elementos del clculo diferencial e integral y la teora de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el lgebra; las tcnicas de clculo; introduccin a las matemticas variables; el mtodo de coordenadas; ideas infinitesimales clsicas, especialmente de Arqumedes; problemas de cuadraturas;

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bsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer trmino, las exigencias de la mecnica, la astronoma y la fsica. En la resolucin de problemas de este gnero, en la bsqueda de problemas generales de resolucin y en la creacin del anlisis infinitesimal tomaron parte muchos cientficos: KEPLER, GALILEO, CAVALIERI, TORRICELLI, PASCAL, WALIS, ROBERVAL, FERMAT, DESCARTES, BARROW, NEWTON, LEIBNIZ y EULER.

El clculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vaci ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeo.

En 1666, el cientfico ingls ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar mtodos matemticos para resolver problemas de esta ndole. Casi al mismo tiempo el filsofo y matemtico alemn GOTTFRIED LEIBNIZ realiz investigaciones similares e ideando smbolos matemticos que se aplican hasta nuestros das. De igual forma, otros matemticos destacan por haber hecho trabajos importantes relacionados con el clculo diferencial, entre ellos sobresale PIERRE FERMAT, matemtico francs, quien en su obra habla de los mtodos diseados para determinar los mximos y mnimos acercndose as al descubrimiento

del Clculo diferencial. Isaac Newton (1642-1727)

FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella poca era comn entre los matemticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el mtodo propio de solucin, con el fin de reservarse el xito para s mismo y para su nacin; ya que haba una gran rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razn por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido.

NICOLAS ORESME, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableci que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera mxima o mnima, dicha ordenada vara ms pausadamente. JOHANNES KEPLER tiempo despus, coincide con lo establecido por ORESME, conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de mximos y mnimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la funcin, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la funcin tiene su mximo o su mnimo, es decir, la funcin es paralela al eje x donde la pendiente de la tangente es nula.

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ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del triangulo caracterstico, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco. NEWTON concibi el mtodo de las fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina momento de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeo, llamando la razn del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad. Por lo tanto, fluente es la cantidad variable que se identifica como funcin; fluxin es la velocidad o rapidez de variacin de la fluente que se identifica como la derivada; al incremento infinitesimal o instantneo de la fluente se le llama momento que se identifica como la diferencial. El principio establece que: los momentos de las funciones son entre s como sus derivadas.

La concepcin de LEIBNIZ se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basndose en el tringulo caracterstico de BARROW, observando que el tringulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, as mismo, es igual al tringulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los smbolos dx, dy/dx, la palabra derivada y el nombre de ecuaciones diferenciales se deben a LEIBNIZ.

AGUSTIN LUIS CAUCHY matemtico francs, impulsor del clculo diferencial e integral autor de la teora de las funciones de las variables complejas, basndose para ello en el mtodo de los lmites; las definiciones de funcin de funcin y la de funcin compuesta, Gottfried Leibniz (1646-1716) tambin se deben a CAUCHY. JACOBO BERNOULLI introduce la palabra funcin en el clculo diferencial y la simbologa f(x) se debe a LEONARD EULER; ambos matemticos suizos. JOHN SIMON LHUILIER; el smbolo tiende a lo implant J.G LEATHEM. Los procesos generales y las reglas prcticas sencillas del clculo diferencial se deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por ms de 150 aos el clculo diferencial contino basndose en el concepto de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases ms firmes y lgicas al margen de lo infinitamente pequeo.

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El clculo diferencial se ha ido desarrollando a travs de los aos, consolidndose en una herramienta tcnico-cientfica que se utiliza en el anlisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo; la velocidad de las reacciones qumicas, los cambios atmosfricos, los desarrollos sociales y econmicos de las naciones, en la astronoma, la estadstica, etc.

A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del clculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geomtrico fundamental del clculo diferencial, que se denomina: Problema de las Tangentes en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada.

La acumulacin de resultados del clculo diferencial transcurri rpidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual.

Introducir el clculo integral, se logr con el estudio de J.Bernoulli, quien escribi el primer curso sistemtico de clculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llev la integracin hasta sus ltimas consecuencias, de tal forma que los mtodos de integracin indefinida alcanzaron prcticamente su nivel actual. El clculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllev el descubrimiento de una serie de resultados de la teora de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elpticas.

ste es el desarrollo que las matemticas han obtenido desde que el hombre vio la necesidad de contar, hasta nuestros das. Actualmente gran cantidad de matemticos siguen en el desarrollo de las matemticas denominadas matemticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales.

EJERCICIOS:

I.- Conteste las siguientes preguntas:

1.-Mencione el significado de la palabra clculo. 2.- Que bases dieron origen al clculo diferencial? 3.-Nombre de los fundadores del clculo diferencial. 4.- Describa la aportacin de GOTTFRIED LEIBNIZ al clculo diferencial. 5.-Escriba los conceptos que estableci NICOLAS ORESME en el estudio de los mximos y mnimos. 6.-Escriba el estudio de ISAAC BARROW sobre el tringulo caracterstico.

7.- Explique los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el mtodo de las fluxiones.

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NOTACIN Y DEFINICIN DE FUNCION El concepto de funcin es de suma importancia en la matemtica, debido a esto vamos a estudiar este tema de una manera un poco detallada. Dos conjuntos de nmeros, por ejemplo, pueden estar relacionados de varias maneras mediante alguna regla o frmula determinada; empero nos interesa una forma particular de relacin entre dichos conjuntos, la cual recibe el nombre de funcin. (A continuacin, se observa la grfica de una funcin f de dos variables independientes). Definicin de funcin: Una funcin, denotada por f, es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos de tal forma que a cada elemento de un conjunto X se asocia un nico elemento de otro conjunto Y. Al conjunto X se llama dominio de la funcin y al conjunto Y, contradominio o dominio de imgenes de la funcin. La notacin utilizada para indicar que "f es una funcin de X en Y " es la siguiente: : X Y Si x X, el elemento de Y que le corresponda a x se llama imagen de x, se denota por (x) y se lee de x. Funcin de n variables independientes: Una funcin de de n variables es un conjunto de pares ordenados (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento. P es un punto en el espacio numrico n dimensional y w es un # real. El conjunto de todos los valores posibles de P se llama dominio de y el conjunto de los posibles valores de w se llama contradominio, codominio o dominio de imgenes de . Una funcin de de n variable se puede definir con la siguiente ecuacin: w = (x 1, x 2,.xn).

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Las variables x 1, x 2,.xn se conocen como variables independientes y w como variable dependiente. Grfica de una funcin de n variables: Si es una funcin de n variables, entonces la grfica de es el conjunto de todos los puntos (x 1, x 2,.xn, w).

FUNCIONES FUNCIONES ALGEBRAICAS Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un nmero finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin) aplicadas a la funcin identidad, f (x) = x, y a la funcin constante, f (x) = k.

En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explcitas. FUNCIN POLINOMIAL:

El dominio de la funcin polinomial es el conjunto de los nmeros reales.

Ejemplos particulares de la funcin polinomial son, la funcin lineal (funcin polinomial de grado uno), la funcin cuadrtica (funcin polinomial de segundo grado), funcin cbica (funcin polinomial de tercer grado). FUNCIN LINEAL: La funcin lineal (funcin polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son nmeros dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los nmeros reales. La grfica de cualquier funcin lineal es una lnea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sola lnea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la grfica de una funcin lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto

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con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuacin de la funcin a 0 y se despeja el valor respectivo para x. FUNCIN CONSTANTE: Se puede considerar a la funcin constante como un caso particular de la funcin lineal cuando se hace x = 0. La funcin constante se define como: El dominio de la funcin constante es el conjunto de los nmeros reales y el

codominio es k. La grfica de la funcin constante es una lnea recta paralela al eje x, y corta

al eje y en y = k. FUNCIN IDENTIDAD: La funcin identidad es una funcin lineal con a = 1 y b = 0. La funcin lineal se define por:

El dominio y el codominio de la funcin identidad es el conjunto de los nmeros reales. La funcin identidad biseca los cuadrantes I y III. Observe la siguiente grfica: FUNCIN CUADRTICA: La forma general de una funcin cuadrtica (funcin polinomial de segundo grado) es:

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Para trazar la grfica de una funcin cuadrtica es conveniente construir

una tabla de valores, con por lo menos cuatro valores, uno para el vrtice, dos para los interceptos con el eje x y un cuarto para el intercepto con el eje y.

FUNCIONES RACIONALES: Una funcin racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. sto es, una funcin racional es de la forma:

Donde P y Q son polinomios El dominio de la funcin polinomial consiste de todos los nmeros reales, a excepcin de aquellos para los cuales Q(x) = 0. A continuacin de presenta un ejemplo demostrativo:

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EJERCICIOS:

I.- CONTESTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

1.- Mencione la definicin de funcin. 2.- Qu son las funciones algebraicas? 3.-Mencione la definicin de funcin cuadrtica. 4.- Mencione la definicin de funcin identidad. 5.- A qu se le considera una funcin constante?

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DOMINIO Y CONTRADOMINIO DE FUNCIONES

DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES

Una funcin es una regla de asociacin que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociacin dos conjuntos las funcin se define como una regla de asociacin entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, tambin dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociacin no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

Figura 1. Definicin de funcin que se ampara bajo una regla de asociacin de elementos del dominio con elementos del condominio, imponiendo la restriccin de relacionar un elemento del dominio con uno del condominio, sin importar si los elementos del condominio puedan estar relacionados con dos o ms del condominio.

Donde se dice que f: A B (f es una funcin de A en B, o f es una funcin que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B). Al definir la funcin como el conjunto de pares ordenados de nmeros reales (x, y) tales que dos pares distintos no tienen el mismo primer elemento; al conjunto de todos los valores de los primeros elementos (x) de los pares ordenados, se le denomina DOMINIO DE LA FUNCIN y se denota por Df; al conjunto de todos los valores de los segundos elementos (y) y de los pares ordenados, se le denomina RANGO DE LA FUNCIN y se denota por Rf. Tambin la funcin se define como la relacin entre dos variables, en donde la primera (y) depende de la otra variable (x); si a cada valor de x le corresponde un solo valor de y se establece que y es funcin de x; as tenemos que x es la variable independiente y y es la variable dependiente o funcin.

El dominio de una funcin puede describirse de manera explcita, o bien puede describirse implcitamente mediante una ecuacin usada para definir la funcin.

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El dominio implcito es el conjunto de todos los nmeros reales para los que la ecuacin est definida, en tanto que un dominio definido de manera explcita es aquel que se da con la funcin. Por ejemplo, el dominio de la funcin f (x) =

1x es el conjunto de todos los valores que x 1 > 0, el cual es el intervalo [0, )], como se indica en la siguiente figura:

A continuacin se presenta un problema demostrativo de dominio y contradominio:

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EJERCICIOS: I.- S f es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los nmeros reales y con regla de correspondencia f (x) = 3x - 2x + 5, hallar:

a) f (2) b) f (-2/3) c) f ( 2 ) d) f (x + h) e) f (a/5)

II.- En los siguientes ejercicios, encuentre el dominio y rango de la funcin. 1.- h (x) = - 3+x 2.- (x) = 1/x 3.- g (x) = x - 5 4.- g (x) = 2 . x - 1 III.- En los ejercicios siguientes, trace una grfica de la funcin y encuentre su dominio y su rango. Use un medio para construir grficas con el fin de verificar la que usted obtuvo. 1.- (x) = 4 x 2.- h (x) = 1x 3.- g (x) = 4/x 4.- (x) = x + 2

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GRFICAS DE LAS FUNCIONES MS COMUNES EN CLCULO La grfica de funcin y = f (x) consta de todos los puntos (x, f (x)), donde x es en el dominio de f. En la figura de abajo observe que: x = distancia dirigida a partir del eje y f (x) = distancia dirigida a partir del eje x.

Al trazar una recta vertical sobre la grfica esta puede cortar a la funcin de x solo una vez. Esta observacin proporciona una prueba visual conveniente (llamada prueba de la recta vertical) para las funciones de x. Por ejemplo , en la figura de abajo puede verse que la grfica no define y como una funcin x, por que una recta vertical corta la grfica dos veces, en tanto que en las graficas si definen y como una funcin de x.

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En la figura de abajo se muestran las grficas de ocho funciones bsicas.

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Algunas familias de grficas tienen la misma forma bsica. Por ejemplo, compare la grfica de y = x con las de las otras cuatro funciones cuadrticas que se muestran en la siguiente figura:

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Cada una de las grficas de la figura anterior, son una transformacin de la grafica de y = x. Los tres tipos bsicos de transformaciones ilustrados por estas grficas son desplazamientos verticales, horizontales y reflexiones. La notacin de funciones se presta bien para describir las transformaciones de las grficas en el plano. Por ejemplo, si f (x) = x se considera como la funcin original de la figura anterior, las transformaciones mostradas pueden representarse por las ecuaciones siguientes: Y = f(x) + 2 Desplazamiento vertical hacia arriba en 2 unidades y = f(x +2) Desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades y =- f(x) Reflexin con respecto al eje x. y =- f(x+3) + 1 Desplazamiento hacia la izquierda en 3 unidades, Reflexin respecto al eje x y desplazamiento hacia arriba en 1. Tipos bsicos de transformaciones (c >0) Grfica original: y = f(x) Desplazamiento horizontal c unidades hacia a la derecha: y =- f(x-c) Desplazamiento horizontal c unidades hacia a la izquierda: y =- f(x+c ) Desplazamiento vertical c unidades hacia abajo: y =- f(x ) -c Desplazamiento vertical c unidades hacia arriba: y =- f(x ) + c Reflexin (respecto al eje x): y =- f(x ) Reflexin (respecto al eje y): y = f-(x ) Reflexin (respecto al origen): y =- f(- x )

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ANLISIS GRFICO DE LAS FUNCIONES

LA GRFICA DE UNA ECUACIN En 1637, el matemtico francs Descartes revolucion el estudio de las matemticas al unir sus dos campos principales: el lgebra y la geometra. Con el plano coordenado o cartesiano, los conceptos de la geometra pudieron formularse analticamente y los conceptos algebraicos pudieron contemplarse en forma grfica. Es de tal magnitud el poder de este enfoque que en menos de un siglo, se haba desarrollado gran parte del clculo. El lector puede acrecentar su posibilidad de xito en el clculo al seguir el mismo enfoque, es decir, al contemplar el clculo desde mltiples perspectivas grfica, analtica y numricamente- aumentar su comprensin de los conceptos centrales. Considere la ecuacin 3x + y = 7. El punto (2,1) es un punto de solucin de la ecuacin porque sta se satisface (es verdadera) cuando x se sustituye por 2 y, y por 1. Esta ecuacin tiene muchas otras soluciones, como (1,4) y (0,7). Para hallar de manera sistemtica otras soluciones, despeje y en la ecuacin original. y = 7 3x Enfoque analtico Despus construya una tabla de valores sustituyendo varios valores de x.

Enfoque numrico

En la tabla puede verse que (0,7), (1,4) (2,1), (3,-2) y (4, -5) son soluciones de la ecuacin original 3x + y = 7. Como muchas ecuaciones, sta tiene un nmero infinito de soluciones. El conjunto de todos los puntos solucin es la grfica de la ecuacin, como se muestra en la figura de la izquierda P.1.

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EJEMPLO 1 TRAZADO DE UNA GRFICA MEDIANTE LA SITUACIN DE PUNTOS Trace la grfica de y = x - 2. Solucin: En primer lugar, construya una tabla de valores. Enseguida, grafique los puntos dados en la tabla.

Por ltimo, una los puntos con una curva suave, como se muestra en la figura de abajo P.2. Esta grfica es una parbola.

Una desventaja de situar puntos en una grfica es que para obtener una idea acerca de la forma de sta tal vez sea necesario situar muchos de ellos. Con slo algunos puntos, podra representarse la grfica de manera equivocada. Por ejemplo, suponga que, para trazar la grfica de: y = 1/30 x (39 10x + x) . Se grafican slo cinco puntos: (-3, -3), (-1,-1), (0,0), (1,1) y (3,3), como se muestra en la figura P.3a. A partir de stos cinco puntos, podra concluirse que la grfica es una recta. Sin embargo, esto no es correcto. Al graficar varios puntos ms, puede verse que la grfica es ms complicada, como se muestra en la figura P.3b.

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INTERSECCIONES DE UNA GRFICA CON LOS EJES En especial son tiles dos tipos de puntos solucin, los que tienen cero como su coordenada en x o los que tienen cero como su coordenada en y. Estos puntos se conocen como intersecciones con los ejes porque son aquellos en los que la grfica se interfecta con el eje x o con el y. El punto (a, 0) es una interseccin con el eje x de la grfica de una ecuacin si es un punto de solucin de sta. Para hallar las intersecciones de una grfica con el eje x, haga y igual a cero y resuelva la ecuacin para x. El punto (0. b) es una interseccin con el eje y de la grfica de una ecuacin si es un punto de solucin de sta. Para hallar las intersecciones de una grfica con el eje y, haga x igual a cero y resuelva la ecuacin para y. Es posible que una grfica no tenga intersecciones con los ejes, o bien, podra tener varias. Por ejemplo, considere las cuatro grficas que se muestran en la figura P.5.

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EJEMPLO 2 DETERMINACIN DE LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES X Y Y Encuentre las intersecciones con los ejes x y y de la grfica de y = x - 4x. Solucin: Para hallar las intersecciones con el eje x, haga y igual a cero y resuelva la ecuacin para x. x - 4x = 0 Haga y igual a cero x (x 2) (x + 2) = 0 Factorice x = 0, 2 o -2 Resuelva para x Debido a que esta ecuacin tiene tres soluciones, puede concluir que la grfica tiene tres intersecciones con el eje x: (0,0), (2,0) y (-2, 0). Intersecciones con el eje x Para hallar las intersecciones con el eje y, haga x = 0. Si se hace esto, produce y=0. Por consiguiente, la interseccin con el eje y es: (0,0) Interseccin con el eje y SIMETRA DE UNA GRFICA Es til saber que una grfica tiene simetra antes de intentar trazarla porque ayuda a determinar un rectngulo de visin apropiado. Es posible usar los tres tipos siguientes de simetra para ayudar a trazar la grfica de una ecuacin. (Vase la figura P.7)

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1.- Una grfica es simtrica respecto al eje y siempre que (x, y) sea un punto de la grfica, y (-x, y) tambin lo sea. Esto significa que la parte de la grfica a la izquierda del eje y es una imagen especular de la parte a la derecha del mismo eje. 2.- Una grfica es simtrica respecto al eje x siempre que (x, y) sea un punto de la grfica, y (x, -y) tambin lo sea. Esto significa que la parte de la grfica que est arriba del eje x es una imagen especular de la parte que est abajo del mismo eje. 3.- Una grfica es simtrica respecto al origen siempre que (x, y) sea un punto de la grfica, y (-x, -y) tambin lo sea. Esto significa que la grfica permanece inalterada por una rotacin de 180 alrededor del origen.

La grfica de un polinomio tiene simetra respecto al eje y y si cada uno de los trminos tiene un exponente par (o es una constante). Por ejemplo, la grfica de:

y = 2x - x + 2 Simetra respecto al eje y

Tiene simetra respecto al eje y. De manera anloga, la grfica de un polinomio tiene simetra respecto al origen si cada uno de los trminos tiene un exponente impar. EJERCICIOS: Trace la grafica de la ecuacin e identifique las intersecciones con los ejes.

1.- 3 2y x= + 2.- 1y

x=

3.- 1 42

y x= 4.- 3x y= 5.- 21y x= 6.- 6y x= 7.- 2( 3)y x= + 8.- 2y x x= +

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OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la funcin definida por: Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la funcin: Para que esto sea posible es necesario que f y g estn definidas en un mismo intervalo. Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama funcin producto de f y g a la funcin definida por: Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama funcin cociente de f y g a la funcin definida por:

(La funcin f/g est definida en todos los puntos en los que la funcin g no se anula.) Producto de un nmero por una funcin Dado un nmero real a y una funcin f, el producto del nmero por la funcin es la funcin definida por: EJERCICIO: c Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la funcin f + g y calcular las imgenes de los nmeros 2, -3 y 1/5. Resolucin: La funcin f + g se define como: (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

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(f + g) (2) = 5 2 - 3 = 7 (f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 (f + g) (1/5) = 5 1/5 - 3 = -2 Obsrvese que si se calculan las imgenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2,

d Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la funcin (f - g)(x). Calcular las imgenes de 1/3, -2 y 0 mediante la funcin f - g. Resolucin:

Calculando las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

Resolucin:

Calculando las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando despus, se obtienen los mismos resultados. f Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

Resolucin:

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La funcin f/g est definida para todos los nmeros reales, salvo para x = -3/2, donde la funcin g se anula.

Calculando por separado las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g, y despus efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

Obtener las imgenes de los nmeros 2, 1 y 0 mediante la funcin 3 f. Resolucin:

EJERCICIOS:

1. Dada ( ) 3 2f x x= y ( ) 2 4g x x= + ; hallar la ecuacin para la funcin resultante ( )f g+ .

2. Dada ( ) 3 2f x x= y ( ) 2 4g x x= + ; hallar la ecuacin para la funcin resultante ( )f g .

3. Dada ( ) 23f x x= y ( ) 3g x x= ; hallar la ecuacin para la funcin resultante ( )/f g .

4. Dada ( ) 23f x x= y ( ) 3g x x= ; hallar la ecuacin para la funcin resultante ( )*f g .

5. Dada ( ) 3 2f x x= y ( ) 2 4g x x= + ; hallar la ecuacin para la funcin resultante ( )*f g .

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NOCIN INTUITIVA DE LMITE LMITES: El concepto de lmite es la base fundamental con la que se construye el clculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el lmite es el valor al que tiende una funcin cuando la variable independiente tiende a un nmero determinado o al infinito. Definicin de lmite Antes de establecer la definicin formal del lmite de una funcin en general vamos a observar qu sucede con una funcin particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado. Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la funcin f (x):

Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez ms a 3; y cuanto ms cerca est x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es ms pequea as mismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez ms pequea. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). O sea, la funcin se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima tambin a un valor constante.

EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE La nocin de lmite es fundamental para el estudio del clculo. Las breves descripciones de dos problemas clsicos del clculo el problema de la recta tangente y el problema del rea- que se presentan enseguida deben de darle cierta idea de cmo se usan los lmites en esta disciplina.

En el problema de la recta tangente, se da una funcin f y un punto P de su grfica y se pide hallar una ecuacin de la recta tangente a sta en ese punto P, como se muestra en la figura de la izquierda. Excepto para los casos que comprenden una recta tangente vertical, el problema de

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hallar la recta tangente en un punto P es equivalente a hallar la pendiente de esa recta en P. Usted puede obtener una aproximacin de esta pendiente usando una recta que pase por el punto de tangencia y un segundo punto de la curva, como se muestra en la figura siguiente:

Conforme el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la recta tangente, como se muestra en la figura (b). Cuando existe esa posicin lmite, se dice que la pendiente de la recta tangente es el lmite de la pendiente de la recta secante. Esta recta se llama recta secante. Si P (c, f (c)) es el punto de tangencia y Es un segundo punto de la grfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por estos dos puntos se expresa por

EL PROBLEMA DEL REA En el problema de la recta tangente se vio como puede aplicarse el proceso de hallar el lmite a la pendiente de una recta con el fin de hallar la pendiente de una curva general. Un segundo problema clsico del clculo es encontrar el rea de una regin plana acotada por las grficas de funciones. Este problema tambin puede resolverse con el proceso de hallar el lmite. En tal caso, este proceso se aplica al rea de un rectngulo para hallar el rea de una regin general.

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Como un ejemplo sencillo, considere la regin limitada por la grfica de la funcin y = f (x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, como se muestra en la figura 1.3

Es posible obtener una aproximacin del rea de la regin con varias regiones rectangulares, como se muestra en la figura 1.4. A medida que se incrementa el nmero de rectngulos, la aproximacin tiende a ser cada vez mejor debido a que la cantidad de rea no cubierta por los rectngulos disminuye. La meta es determinar el lmite de la suma de las reas de los rectngulos conforme el nmero de rectngulos aumenta sin cota.

INTRODUCCIN A LOS LMITES Suponga que se le pide trazar la grfica de la funcin f dada por:

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Para todos los valores diferentes de x = 1, es posible aplicar tcnicas estndar de trazado de curvas. Pero en x = 1 no resulta claro qu puede esperarse. Para formarse una idea del comportamiento de la grfica de f cerca de x = 1, se pueden utilizar dos conjuntos de valores de x: uno que se aproxime a 1 desde la izquierda y el otro desde la derecha, como se muestra en la tabla:

Cuando se traza la grfica de la funcin, parece que la grfica de f es una parbola que tiene una abertura en el punto (1,3), como se muestra en la figura 1.5. Aunque x no puede ser igual a 1, usted puede moverse arbitrariamente cerca de 1 y, como resultado, f (x) se mueve, tambin de modo arbitrario, cerca de 3. Si utiliza la notacin de lmites, se puede escribir

Esto se lee como el lmite de f (x), cuando x tiende a 1, es 3.

Esta explicacin conduce a una descripcin informal de lmite. Si f (x) se hace arbitrariamente cercana a un solo nmero L cuando x se aproxima a c desde cualquiera de los dos lados, el lmite de f (x), cuando x tiende a c, es L. Este lmite se escribe como:

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Ejemplo 1 EVALUACIN NUMRICA DE UN LMITE

Solucin: En la tabla se listan los valores de f (x) para varios valores x cercanos a 0.

A partir de los resultados que se muestran en la tabla, puede estimar el lmite como 2. Este lmite se esfuerza por la grfica de f (vase la figura 1.6) En el ejemplo 1, observe que la funcin no est definida en x = 0 y, sin embargo, f (x) parece estar aproximndose a un lmite cuando x tiende a 0. sto sucede a menudo y es importante darse cuenta de que la existencia o la

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inexistencia de f (x) en x = c no tiene relacin con la existencia del lmite de f (x) cuando x tiende a c. Ejemplo 2 DETERMINACIN DE UN LMITE Encuentre el lmite de f (x) cuando x tiende a 2 f se define como: Solucin: Debido a que f (x) = 1 para todo x diferente de x = 2, puede concluir que el lmite es 1, como se muestra en la figura 1.7. Por tanto, puede escribir El hecho de que f (2) = 0 no guarda relacin con la existencia o el valor del lmite cuando x tiende a 2. Por ejemplo, si la funcin se definiera como: el lmite sera el mismo.

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LMITES QUE NO EXISTEN En los tres ejemplos siguientes se examinarn algunos lmites que no existen. Ejemplo 3 COMPORTAMIENTO QUE DIFIERE DESDE LA DERECHA Y DESDE LA IZQUIERDA. Demuestre que el lmite no existe.

Solucin: Considere la grfica de la funcin f (x) = |x| /x. En la figura 1.8 puede verse que, para los valores positivos de x:

y, para los valores negativos de x:

sto significa que no importa cun cerca est x de 0, habr valores de x positivos negativos que producirn f (x) = 1 y f (x) = -1. Especficamente, si (la letra griega delta minscula) es un nmero positivo, entonces para los valores de x que satisface la

desigualdad 0 < | x | < , usted puede clasificar los valores de | x | / x como sigue: Esto implica que el lmite no existe.

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Ejemplo 4 COMPORTAMIENTO NO ACOTADO Analice la existencia del lmite

Solucin: Sea f (x) = 1/x. En la figura 1.9 puede ver que, cuando x tiende a 0 desde la derecha o desde la izquierda, f (x) crece sin cota. Esto significa que, al elegir x suficientemente cercano a 0, puede forzar a que f (x) sea tan grande como desee. Por ejemplo, f (x) ser mayor que 100 si elige que x est a menos de 1/10 de 0. Esto es,

De manera anloga, puede forzar a que f (x) sea mayor que 1 000 000, como sigue:

En virtud de que f (x) no se est aproximando a un nmero real L cuando x tiende a 0, puede concluir que el lmite no existe.

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Ejemplo 5 COMPORTAMIENTO OSCILATORIO Examine la existencia del lmite

Solucin: Sea f (x) = sen (1/x). En la figura 1.10 puede ver que, cuando x tiende a 0, f (x) oscila entre -1 y 1. Por tanto, el lmite no existe porque no importa cun pequeo elija ; es posible elegir x1 y x2 a menos de unidades de 0 tales que sean (1/x1) = 1 y sen (1/x2) = -1, y como se indica en la tabla:

Existen muchas otras funciones interesantes que tienen un comportamiento inusual en relacin con el proceso de hallar el lmite. Una que se cita con frecuencia es la funcin de Dirichlet:

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CLCULO DE LMITE DE FUNCIONES PROPIEDADES DE LOS LMITES.- Al explicar la definicin de lmite se utilizaron sin mencin formal, algunas propiedades fundamentales de la nocin de los lmites; una relacin de las mismas se presenta a continuacin. 1.- Si c es una constante, el lmite de de c cuando x tiende a a, es igual a c.

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CLCULO DEL LMITE DE FUNCIONES Existen varios casos para calcular el lmite de una funcin; en los ejemplos anteriores se ha aplicado el primer caso que establece: CASO I.- S la funcin dada, est totalmente simplificada, se sustituye directamente el valor a que tiende la variable independiente en la funcin, dando ligar al lmite buscado. Al ir aplicando las propiedades de los lmites en la determinacin del lmite de funciones se ha observado que al sustituir directamente la variable independiente de la funcin, por el valor a que tiende dicha variable, se encuentra el lmite de la funcin. EJEMPLOS:

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FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0 / 0) Al calcular el lmite de un cociente, se ha observado que: a).- S el numerador y el denominador tienen lmite distinto de cero, el lmite del cociente es igual al cociente de los lmites. b).- S el lmite del numerador es cero y el del denominador es diferente de cero, el lmite del cociente es igual a cero. c).- S el lmite del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, el cociente no tiene lmite y se establece que tiende a ms o menos infinito ( ), segn el caso. d).- S los lmites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se tiene la forma (0 / 0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor numrico que se ponga como cociente cumple con la condicin de que multiplicado por el divisor da lugar al dividendo. La indeterminacin se puede eliminar mediante operaciones algebraicas sencillas, por ejemplo:

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De este ejemplo se obtiene: CASO III.- Para calcular el lmite de una funcin dada, es necesario simplificarla mediante la racionalizacin del numerador o del denominador, antes de sustituir el valor de la variable independiente directamente en la expresin, ya que el no hacerlo, da lugar a la indeterminacin (0, 0) EJEMPLOS:

Uno de los lmites ms importantes en el estudio del clculo diferencial para cualquier funcin se determina por la frmula:

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EJEMPLOS:

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INFINITO EN LMITES S el valor de una funcin llega a crecer sin lmite cuando x tiende a a, se establece que la funcin se hace infinita, es decir:

S la funcin crece sin lmite POSITIVAMENTE cuando la variable tiende a a, la funcin se hace infinita positivamente; si la funcin decrece sin lmite negativamente, cuando la variable tiende a a, la funcin se hace infinita negativamente, es decir:

EJEMPLO:

S una funcin tiende hacia un lmite cuando la variable independiente tiende a infinito, es decir:

De lo anterior se concluye en que existen ciertos lmites que generalmente se presentan cuando la variable x tiende a cero al infinito, los cuales se enuncian a continuacin:

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FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO ( /) Estas formas se presentan al hacer que la variable x tienda al infinito en el cociente de polinomios, por ejemplo. a).- S el numerador tiende a infinito y el denominador tiene lmite, el cociente tiende a infinito. b).- S el numerador tiene lmite y el denominador tiende a infinito, el cociente tiende a cero. c).- S los lmites del numerador y del denominador son ambos iguales a infinito, se tiene la forma indeterminada ( /). La indeterminacin se puede eliminar dividiendo ambos trminos por la variable de mxima potencia que interviene en la expresin; por ejemplo:

Lo anterior da lugar: Cuando se desea obtener el lmite de un cociente de polinomios y s la variable independiente tiende a infinito, es este caso es necesario dividir el numerador y denominador por la variable de mayor exponente que entra en el cociente, antes de sustituir directamente el valor a que tiende dicha variable. EJEMPLOS:

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EJERCICIOS: CLCULO DE LMITE DE FUNCIONES I.- Calcule el lmite de funciones de los siguientes ejercicios: 1.- lm (x + 3) x2 2.-lm (2x + 5) x-3 3.- lm (1/2x 1) x -4 4.- lm (2/3x + 9) x1 5.- lm 3 x6 6.- lm (-1) x2 7.- lm | x 2| x -2 8.- lm |x 3| x3 9.- lm (x + 1) x1 FORMA INDETERMINADA (0/0) II.- Resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo a la forma indeterminada (0/0). 1.- lm x - 5 x5 x - 25 2.- lm 2 - x x2 x - 4 3.- lm x + x - 6 x-3 x - 9 4.- lm x - 5x + 4 x4 x - 2x - 8 5.- lm + 5x 5 x0 x

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6.- lm + x2 2 x0 x 7.-lm x4 x - 4 FORMA INDETERMINADA (/) III.- Resuelva los siguientes lmites que presentan la forma indeterminada de (/). 1.- lm 2t - 3t + 4 t 5t t - 7t 2.- lm 7 3x x 5x + 9x 3.- lm 6x + 2 x 3x + 5 4.- lm 8x - 3x + 1 x 4x + 5x - 7 5.- lm . 2x + 3 . x 4 + x 5x 6.- lm 4x + 2 x 8x - 3

5+x

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN

CRITERIOS DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN EN UN NMERO

Se dice que una funcin f es continua en el nmero a si y slo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

Si una cualesquiera de estas condiciones no se satisfacen la funcin es discontinua para el valor de x=a. Una funcin que no es continua en un nmero, se dice que es discontinua en dicho nmero. En la grfica de una funcin que es discontinua en el nmero a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. Las discontinuidades eliminables se denominan tambin discontinuidad de "hueco": en la grfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)). Las discontinuidades esenciales tambin reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los lmites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el lmite de f cuando x tiende a a es infinito.

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T E O R E M A S D E C O N T I N U I D A D

Nocin de continuidad de una funcin: una funcin es continua si su grfica presenta la ausencia de vacos o saltos, es decir, que se traza sin despegar el lpiz del papel. Una funcin es continua en un intervalo abierto o cerrado, cuando es continua en todos sus puntos, es decir, es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio de definicin; toda funcin polinomial es funcin continua, tambin lo son expresiones como ex , Sen x y Cos x. Una funcin es continua sobre un intervalo cerrado (a,b) si:

1. f(x) es continua por la derecha en a. 2. f(x) es continua en cada punto del intervalo abierto (a,b). 3. f(x) es continua por la izquierda en b.

Propiedades de las funciones continuas. Si f(x) y g(x) son continuas para x=a, las funciones siguientes son tambin continuas en a.

1. f(x) +- g(x). 2. c f(x), donde c es una constante arbritraria. 3. f(x) * g(x). 4. f(x) / g(x). siempre que g(a) 0 5. f (g(x)), suponiendo que f(x) es contina en g(x).

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La continuidad de una funcin la podemos identificar de dos formas: grficamente, la grfica de la funcin debe ser ininterrumpida, es decir, sin despegar el lpiz; y otra forma es verificando que se cumplan las tres condiciones para la continuidad de funciones.

EJERCICIO: ESTUDIO DE LA DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIN

RESOLUCIN: Para probar la discontinuidad de la funcin en x0 = 3 hay que ver cul de las tres condiciones de continuidad no se cumple. En este caso es la primera, ya que no existe el lmite de la funcin cuando x tiende a 3; los lmites laterales no coinciden: Por lo tanto, la funcin es discontinua en x0 = 3

RESOLUCIN: En este caso existe el lmite de la funcin cuando x tiende a 3, y es 1; los dos lmites laterales coinciden:

Sin embargo, la funcin no est definida en x0 = 3; no existe f (3). Por tanto, la funcin es discontinua en x0 = 3.

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RESOLUCIN: Existe el lmite de la funcin cuando x tiende a 2, ya que los dos lmites laterales coinciden: La funcin est definida para x = 2 y vale 5: f (2) = 5. Sin embargo, el valor del lmite de la funcin cuando x 2 no coincide con f (2): Por tanto, la funcin es discontinua en x0 = 2 EJERCICIOS:

I.- Determine si la funcin es continua o discontinua. 1.- f (x) = 4x + 8x + 4 2.- f (x) = 1 . x 1 3.- f (x) = x - 5 . x - 25 4.- f (x) = x - 49 . x - 7 5.- f (x) = x + 4 . x + x - 12

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INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA.

Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos que comienzan a estudiar la derivada de una funcin es la comprensin de su significado geomtrico. Mientras que el clculo de derivadas les suele resultar sencillo e incluso atractivo, la aplicacin de la interpretacin geomtrica de la derivada en un punto se convierte en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no han conseguido adquirir el concepto con claridad.

La derivada como pendiente de una curva: La pendiente de una recta que pasa por dos puntos cualesquiera M(x1 , y1) y N (x2 , y2) se determina por: M = tg = y/x = y2 y1 / x2 x1.

La pendiente de una recta es constante en cualquiera de sus puntos que la constituyen, es decir, tiene la misma pendiente en M que en N.

Para una curva que no es recta, la pendiente no es constante en ningn punto de la curva, es decir, la pendiente varia de un punto a otro punto.

La pendiente de la curva la podemos calcular con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. La pendiente de la curva f(x) es la misma pendiente de la recta tangente en dicho punto.

La pendiente de la recta tangente es el valor lmite de las pendientes de las rectas secantes, cuando N tiende a M.

La pendiente de la recta secante por M y N es:

M sec = y/x = (f(x + x) f(x))/ x. Cuando N tiende a M, es decir, x 0 , la pendiente de la recta tangente es: M tg = lim y/x = lim (f(x + x) f(x))/ x. x 0 x 0

La pendiente de una curva en un punto: En un punto de coordenadas ( x, f(x)) la pendiente m de la grfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en dicho punto y se determina por:

M = lim y/x = lim (f(x + x) f(x))/ x. x 0 x 0

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Suponiendo que el lmite existe, este lmite nos permite definir la derivada , como un elemento fundamental del clculo diferencial.

El valor de la derivada de una funcin en un punto p(x, y), se representa geomtricamente por la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

La derivada de una funcin en una variable, es el lmite del cociente del incremento de la funcin al incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero. Si este lmite existe se establece que f(x) es diferenciable o que tiene derivada.

M = tg = y/x = y2 y1 / x2 x1 Pendiente de la tangente. M = lim y/x = lim (f(x + x) f(x))/ x x 0 x 0

Notacin de la derivada: la derivada de f(x), se representa utilizando el smbolo f (x) o el smbolo dy/dx. A continuacin algunas formas de representar la derivada:

F (x) = dy/dx = y=d(f(x))/dx = Dx f(x).

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EJEMPLOS:

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EJERCICIOS: I.- Resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo a la interpretacin de la derivada:

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LA DERIVADA COMO RAZN DE CAMBIO. VELOCIDAD PROMEDIA Y VELOCIDAD INSTANTNEA

Si se conduce un vehculo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.

Pero, durante el viaje, el velocmetro con frecuencia marc lecturas diferentes de 50 Km. /h. Inicialmente marco 0; a veces subi hasta 60 y al final volvi a marcar 0.

Surge entonces la siguiente pregunta: Qu es lo que en realidad marca el velocmetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantnea.

Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vaco. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en cada libre, la posicin S del objeto, como funcin del tiempo viene dada por:

: S en pies t en segundos

As, en el primer segundo, cae 16 pies. En el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies.

En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 16) pies.

As que su velocidad promedio ser:

En el intervalo de t =1 seg. a t =1.5 seg., P cae (16(1.5)2 16) pies.

Su velocidad promedio ser de:

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg. A t =1.1 seg., y de t =1 seg. A t =1.01 seg., P caer respectivamente: (16(1.1)2 16) pies y (16(1.01)2 16) pies.

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Sus velocidades promedio sern respectivamente:

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero prximos a 1 seg. Cuanto ms nos aproximamos a t = 1 seg., mejor ser la aproximacin a la velocidad (instantnea) en el instante t = 1 seg.

Los nmeros: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar" que la velocidad instantnea es de 32 pies/seg.

El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantnea.

Supngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posicin S en cada instante t es una funcin S = f (t).

En el instante t = c, el objeto est en f (c).

En el instante prximo t = c + h, el objeto est en f (c + h) (Ver fig. 9.7.)

Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:

Se define la velocidad instantnea V en el instante t = c as:

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La interpretacin fsica de la derivada.

MOVIMIENTO RECTILNEO

Se denomina movimiento rectilneo, aqul cuya trayectoria es una lnea recta.

En la recta situamos un origen O, dnde estar un observador que medir la posicin del mvil x en el instante t. Las posiciones sern positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est a la izquierda del origen.

POSICIN

La posicin x del mvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una funcin x=f (t).

DESPLAZAMIENTO

Supongamos ahora que en el tiempo t, el mvil se encuentra en posicin x, ms tarde, en el instante t' el mvil se encontrar en la posicin x'. Decimos que mvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

VELOCIDAD

La velocidad media entre los instantes t y t' est definida por:

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeo como sea posible, en el lmite cuando t tiende a cero.

Pero dicho lmite, es la definicin de derivada de x con respecto del tiempo t.

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Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio:

EJERCICIO

Una partcula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posicin en cualquier instante t est dada por x=5t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m t (s) x (m) x=x'-x t=t'-t

m/s 3 46 25 1 25 2.1 23.05 2.05 0.1 20.5 2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05 2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005 2.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005 ... ... ... ... ... 0 20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo t0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

La posicin del mvil en el instante t es: x=5t2+1 La posicin del mvil en el instante t+t es: x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1 El desplazamiento es: x=x'-x=10tt+5t2 La velocidad media es:

La velocidad en el instante t es el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

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La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posicin x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

ACELERACIN

En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del mvil es v, y en el instante t' la velocidad del mvil es v'. Se denomina aceleracin media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.

La aceleracin en el instante t es el lmite de la aceleracin media cuando el intervalo t tiende a cero, que es la definicin de la derivada de v.

EJEMPLO:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresin de:

La velocidad. La aceleracin del mvil en funcin del tiempo.

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EJERCICIOS: I.- Se lanza una pelota que tiene una trayectoria definida por la ecuacin y = x 0.02x, determinar: 1.- La distancia horizontal total que recorre la pelota. 2.- La grfica de la trayectoria. 3.- Por medio de la simetra de la trayectoria. Cul es el valor de x para que la pelota alcance su mxima altura? 4.- La ecuacin que indica la razn de cambio instantneo de la altura de la pelota respecto al cambio horizontal en x = 0, 10, 15, 25, 30, 50. 5.- Cul es la razn de cambio instantneo de la altura cuando la pelota alcanza su altura mxima?

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REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIN (REGLA DE LOS CUATRO PASOS) Como la pendiente de la recta tangente a la grfica de una funcin y la derivada de una funcin se definen por el mismo lmite, por lo tanto se puede calcular la derivada o coeficiente diferencial por la regla de los cuatro pasos, la cual se denomina regla general para la derivacin y comprende los siguientes pasos: 1.- En la funcin dada y = f (x), se sustituye x por (x + x), determinndose el nuevo valor de la funcin (y + y). 2.- Se resta el valor de la funcin dada del nuevo valor de la funcin, obtenindose el incremento de la funcin (y). 3.- El incremento de la funcin (y), se divide por el incremento de la variable independiente (x). 4.- Se determina el lmite de esta razn cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero (x 0); el lmite resultante es la derivada de la funcin dada.

REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIN

Primer paso.- Se sustituye en la funcin x por x + x, y se calcula el nuevo valor de la funcin y + y.

Segundo paso.- Se resta el valor dado de la funcin del nuevo valor y se obtiene y (incremento de la funcin).

Tercer paso.- Se divide y (incremento de la funcin) por x (incremento de la variable independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el lmite de este cociente cuando x (incremento de la variable independiente) tiende a cero. El lmite as hallado es la derivada buscada.

EJEMPLO.- Hallar la derivada de la funcin:

y = 3x2 + 5

(Primer paso) y + y = 3(x + x)2 + 5

= 3x2 + 6x.x + 3(x)2 + 5

(Segundo paso) y + y = 3x2 + 6x.x + 3(x)2 + 5

- y = - 3x2 -5

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y = 6x.x + 3(x)2 (Tercer paso) y = 6x + 3x x

(Cuarto paso) En el segundo miembro hagamos x ---->0. Y resulta:

dy = 6x. dx Ejercicios propuestos para ser desarrollados por medio de la regla general.

Resuelva Resultado

y = x3 - 2x + 7 3x2 - 2

y = c / x2 - 2c / x3 q = 2 / x + 1 - 2 / (x + 1)2

s = t + 4/t - 4/t2

y = 1/1-2x 2/(1 - 2x)2

Importancia de la regla general.- La regla general para derivacin es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definicin de derivada, y es muy importante familiarizarse con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolucin de problemas es largo o difcil; por consiguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia.

(Es importante no solo aprender de memoria cada frmula sino tambin poder enunciar en palabras la regla correspondiente).

Frmulas de Derivacin

I dc = 0 dx La derivada de una constante es cero.

II dx = 1 dx La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.

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III La derivada de la suma algebraica de un nmero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.

IV La derivada del producto de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la derivada de la funcin.

EJERCICIOS:

I.- De acuerdo a la regla general para la derivacin, resuelva los siguientes ejercicios: 1.- Hallar la derivada de la funcin y = x + 3 2.- Hallar la derivada de la funcin y = 8x 5 3.- Hallar la derivada de la funcin y = 2x - 3x + 9 4.- Hallar la derivada de la funcin y = 2x 5.- Hallar la derivada de la funcin y = 4 x 6.- Hallar la derivada de la funcin y = x - 3x 7.- Hallar la derivada de la funcin y = x + 2 x 8.- Hallar la derivada de la funcin y = ax

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REGLAS O FRMULAS DE DERIVACIN PARA LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS El proceso de calcular la derivada de una funcin en forma directa a partir de su definicin, es decir, estableciendo la diferencia y el cociente f (x + h) f (x) h y evaluando su lmite, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar instrumentos que nos permitan acortar el largo proceso (de hecho, eso nos permitir calcular derivadas de las funciones ms complicadas en forma casi instantnea). Recurdese que la derivada de una funcin f es otra funcin f . Por ejemplo, si f (x) = x es la frmula de f, entonces f (x)= 2x es la frmula de f . Tomar la derivada de f (diferenciar f ) consiste en operar sobre f para producir f . Con frecuencia usaremos la literal Dx para indicar esta operacin. Por lo tanto, escribiremos Dx f = f , Dx f (x), o en el ejemplo mencionado, Dx (x) = 2x. Todos los teoremas siguientes se han establecido tanto en la notacin funcional como con la notacin del operador Dx. REGLAS DE LAS FUNCIONES CONSTANTE Y POTENCIA

La grfica de la funcin constante f (x) = k es una recta horizontal (figura 1) que por lo tanto, tiene pendiente cero en todas partes. sta es una forma de comprender nuestro primer teorema.

Teorema A (Regla de la funcin constante.) Si f (x) = k, donde k es una constante, para cualquier x es f (x) = 0, es decir, Dx (k) = 0

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Demostracin:

La grfica de f (x) = x es una recta que pasa por el origen con pendiente 1 (figura 2); podramos esperar que la derivada de esta funcin sea 1 para todo x.

Demostracin:

Antes de establecer nuestro siguiente teorema, recordemos un poco de lgebra: cmo elevar a potencias un binomio. (a + b) = a + 2ab + b (a + b) = a + 3 b + 3ab + b (a + b) = a + 4a b + 6a b + 4ab + b (a + b) n = an + nan-1b + n (n 1) an-2 b + + nabn-1 + bn

Teorema B (Regla de la funcin identidad.) Si f (x) = x, entonces f (x) = 1; es decir,

Dx (x) = 1

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2 Demostracin:

Dentro de los parntesis, todos los trminos, con excepcin del primero, tienen a h como factor, por lo que cada uno de ellos tiene como lmite cero cuando h tiende a cero. Por lo tanto,

f (x) = nxn-1 . Como ilustraciones del teorema C, ntese que: Dx (x) = 3x, Dx (x9) = 9x8, Dx (x100) = 100x99 Dx, es un operador lineal. El operador Dx se comporta muy bien cuando se aplica mltiplos constantes de funciones o sumas de ellas.

Teorema C (Regla de potencias.) Si f (x) = xn, donde n es un entero positivo, entonces f (x) = nxn-1, es decir, Dx (xn) = nxn-1

Teorema D (Regla del mltiplo constante.) Si k es una constante y f es una funcin diferenciable, entonces (k f) (x) = k . f (x). Es decir, Dx k . f (x). = k . Dx f (x)

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En palabras, esto se dice que se puede pasar una constante k a travs del operador Dx. Demostracin:

El penltimo paso result crtico. Pudimos pasar a k a travs del signo de lmite por el teorema principal de lmites. A continuacin se presenta un ejemplo que ilustra este resultado:

En palabras, esto dice que la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Demostracin:

Teorema E (Regla de la suma.) Si f y g son funciones diferenciables, entonces (f + g) (x) = f (x) + g(x). Es decir, Dx f (x) + g (x). = Dx f (x) + Dx g (x)

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Demostracin:

EJEMPLO 1 Encuentre las derivadas de 5x + 7x 6 y 4x6 3x5 10x + 5x + 16. Solucin:

Para encontrar la siguiente derivada, observe que los teoremas sobre sumas y diferencias se extienden a cualquier nmero finito de trminos. Entonces,

Teorema F (Regla de la diferencia.) Si f y g son funciones diferenciables, entonces (f - g) (x) = f (x) - g(x). Es decir, Dx f (x) - g (x). = Dx f (x) - Dx g (x)

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El mtodo del ejemplo 1 nos permite encontrar la derivada de cualquier polinomial. Si se conoce la regla de potencias y se hace lo que procede con naturalidad, es casi seguro que se obtenga el resultado correcto. Si se puede escribir la respuesta sin ningn paso intermedio, tanto mejor. Este resultado se memoriza en palabras as: La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera por la derivada de la segunda ms la segunda por la derivada de la primera. Demostracin:

La deduccin recin propuesta descansa primero en el truco de sumar y restar una misma cosa, en concreto, f (x + h) g (x). En seguida, muy al final, usamos el hecho de que:

Teorema G (Regla del producto.) Si f y g son funciones diferenciables, entonces (f . g) (x) = f (x) g(x) + g(x) f (x) . Es decir, Dx f (x) g (x) = f (x) Dx g (x) + g (x) Dx f (x).

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Demostracin:

EJEMPLO 2

Teorema H (Regla del cociente.) Sean f y g dos funciones diferenciables, y g (x) 0. Entonces,

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REGLAS O FRMULAS DE DERIVACIN I dc = 0

dx La derivada de una constante es cero.

II dx = 1 dx

La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.

III d ( u + v w ) = du + dv - dw dx dx dx dx

La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.

IV d ( cv ) =c. dv dx dx

La derivada del producto de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la derivada de la funcin.

V d (uv) = u dv + v du dx dx dx

La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcin por la derivada de la segunda, ms el producto de la segunda por la derivada de la primera.

VI d (vn) = nvn-1 dv dx dx

La derivada de la potencia de una funcin de exponente constante es igual al producto del exponente por la funcin elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funcin.

VIa d (xn ) = nxn - 1 dx

Cuando v = x se convierte en la expresin anterior.

VII d ( u ) = v.du - u.dv dx v dx dx . v2

La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

VIIa d ( u ) = du dx c dx . c

La derivada del cociente de una funcin dividida por una constante es igual a la derivada de la funcin dividida por la constante.

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VIII dy = dy . dv siendo y funcin de v dx dv dx

IX dy = 1 siendo y funcin de x dx dx dy

EJERCICIOS:

I.- De acuerdo a la regla de derivacin para las funciones algebraicas, solucione los siguientes ejercicios: 1.- y = 8 2.- g(x) = 3x - 14 3.- y = x6 4.- y = t + 2t - 32 5.- y = 1/x7 6.- y = 8 x 7.- (x) = x + 1 8.- (x) = 2x - x + 3x 9.- g (x) = x + 4x

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REGLA DE LA CADENA La gran mayora de las funciones que se estudian en clculo estn construidas por una composicin de funciones, de aqu la importancia de conocer un mtodo sencillo para diferenciar dichas funciones; el mtodo utilizado para hallar la derivada de una funcin compuesta se conoce como: "regla de la cadena".

Cuando se aplica la regla de la cadena es ms prctico utilizar el smbolo Dx para indicar las derivadas de las funciones interiores. EJEMPLO 1

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Muchas veces sucede que hay que aplicar la regla de la cadena ms de una vez para derivar una funcin compuesta dada.

EJEMPLO 2

La regla de la cadena, se refiere a las funciones compuestas y aade una sorprendente variedad a las reglas. Por ejemplo, compare las funciones siguientes. Las de la izquierda pueden derivarse sin la regla de la cadena; las de la derecha se manejan mejor con esa regla.

Bsicamente, la regla de la cadena expresa que si y cambia dy/du veces tan rpido como u, y u cambia du/dx veces tan rpido como x, entonces y cambia (dy/du) (du/dx) veces tan rpido como x. EJEMPLO 1 LA DERIVADA DE UNA FUNCIN COMPUESTA

Se construye un juego de engranes, como se muestra en la figura de la izquierda, de tal modo que el segundo y el tercero estn sobre el mismo eje. A medida que gira el primer eje, impulsa el segundo, el cual, a su vez, impulsa al tercero. Sean y, u y x la cantidad de revoluciones por minuto del primero, segundo y tercer ejes, respectivamente.

Encuentre dy/du, du/dx y dy/dx, y demuestre que,

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Solucin: Debido a que la circunferencia del segundo engrane es tres veces la del primero, este ltimo debe realizar tres revoluciones para hacer que el segundo gire una vez. De manera anloga, el segundo eje debe realizar dos revoluciones para hacer girar una vez al tercero, y usted puede escribir:

Si se combinan estos dos resultados, usted sabe que el primer eje debe realizar seis revoluciones para hacer girar una vez al tercero. Por tanto, puede escribir:

En otras palabras, la razn de cambio de y con respecto a x es el producto de la razn de cambio de y con respecto a u y la razn de cambio de u con respecto a x. En el ejemplo 1 se ilustra un caso sencillo de la regla de la cadena. Enseguida se enuncia la regla general: Regla general: Si y = f (u) es una funcin diferenciable de u y u = g(x) es una funcin diferenciable de x, entonces y = f g(x) es una funcin diferenciable de x y. dy = dy . du dx du dx Demostracin: Sea h (x) = f (g (x). Entonces, si se aplica la forma alternativa de la derivada, es necesario demostrar que, para x = c,

Una consideracin importante en esta demostracin es el comportamiento de cuando x tiende a c. Se presenta un problema si existen valores de x, diferentes de c, tales que g (x) = g (c). Suponga que g (x) g (c) para los valores de x diferentes de c. En esta demostracin, se aplica la tcnica de multiplicar por y y dividir entre la misma cantidad (diferente de cero). Observe que, en virtud de que g es diferenciable, tambin es continua y se concluye que g (x) g (c) cuando x c.

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Cuando se aplica la regla de la cadena, es til pensar que la funcin compuesta f g tiene dos partes: una interior y otra exterior:

La derivada de y = f (u) es la derivada de la funcin exterior (en la funcin interior u) multiplicada por la derivada de la funcin interior:

EJEMPLO 2 DESCOMPOSICIN DE UNA FUNCIN COMPUESTA

EJEMPLO 3 USO DE LA REGLA DE LA CADENA Encuentre dy/dx para y = (x + 1) Solucin: Para esta funcin, puede considerar la funcin interior como u = x + 1

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REGLA GENERAL DE LA POTENCIA La funcin del ejemplo 3 es un ejemplo de uno de los tipos ms comunes de funciones compuestas, y = [u (x)] n. La regla para derivar este tipo de funciones se conoce como regla general de la potencia, y es un caso especial de la regla de la cadena. Si y = [u (x)] n , donde u es una funcin diferenciable de x y n es un nmero racional, entonces: dy = n[u (x)] n-1 du dx dx Demostracin: Debido a que y = u n, se aplica la regla de la cadena para obtener,

EJEMPLO 4 APLICACIN DE LA REGLA GENERAL DE LA POTENCIA Encuentre la derivada de f (x) = (3x 2x) Solucin:

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EJERCICIOS: I.- De acuerdo a la regla de la cadena, encuentre la derivada de las siguientes funciones. 1.- y = (2x 7) 2.- y = (2x + 1) 3. g(x) = 3 (4 9x)4 4.- y = 3 (4 x)5 5.- (x) = (9 x)2/3 6.- (t) = (9t + 2)2/3

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS La derivada de la funcin f(x) = sen x es f'(x) = cos x. La derivada de la funcin g(x) = cos x es g'(x) = - sen x . Las demostraciones son complejas y se tratarn ms adelante.

DERIVADA DE LA FUNCIN TG X

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si f(x) = sen x, f'(x) = cos x si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x Aplicando la frmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

DERIVADA DE LA FUNCIN SEC X

Si f(x) = 1, f'(x) = 0 Si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x Por la frmula de la derivada de un cociente, (sec x)' = sec x tg x DERIVADA DE LA FUNCIN COSEC X

Si f(x) = 1, f'(x) = 0 Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x Por la derivada de un cociente,

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(cosec x)' = - cosec x cotg x DERIVADA DE LA FUNCIN COTG X

Si f(x) = cos x, f'(x) = - sen x Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x

Por tanto,

EJEMPLOS:

Resolucin: Llamando f(x) = x cos x - 2, f'(x) = 1 cos x + x (- sen x) = cos x - x sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante) Si g(x) = x2, g'(x) = 2 x

Resolucin:

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Si f(x) = x tg x - cos x, f'(x) = 1 tg x + x(1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x(1 + tg2x) + sen x

DERIVADA DE LA FUNCIN LOGARITMO NEPERIANO Puesto que el logaritmo est definido slo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x. Para calcular la derivada de esta funcin se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0: a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeos, lo cual es posible pues se va a calcular el lmite cuando h tiende a cero. En estas condiciones:

Por tanto, si x > 0

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b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeo, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

Como se aprecia, se llega a la misma expresin que en el caso anterior y la demostracin se continuara de forma idntica.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES AX Y EX Sea la funcin y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta funcin en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Luego:

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En particular, cuando la constante a es el nmero e, la derivada de la funcin ex es:

(ex )' = ex ln e = ex 1 = ex

EJERCICIOS: I.- De acuerdo a la regla de derivacin para funciones trascendentes, resuelva los siguientes ejercicios 1.- y = ln (1 + x) 2.- y = ln (2x + 3x 5) 3.- y = x ln x 4.- ln (x + 1) 5.- y = ln 5 x 6.- y = ln (x + 3) CARCTER CRECIENTE Y DECRECIENTE DE UNA FUNCIN FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

En esta seccin se aprender como pueden usarse las derivadas para clasificar los extremos relativos como mnimos o mximos relativos. Se empezar por definir funciones crecientes y decrecientes.

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La grfica de una funcin continua facilita claramente dnde o en qu intervalos la funcin es creciente, constante decreciente; por ejemplo, en la figura tenemos que:

a) De x = - hasta x = 0, la funcin es creciente. b) De x = 0 hasta x = 1, la funcin es decreciente. c) De x = 1 hasta x = 2, la funcin es constante. d) De x = 2 hasta x = + , la funcin es creciente.

Lo anterior, nos permite obtener las siguientes definiciones: FUNCIN CRECIENTE.- Una funcin y = f (x) es creciente si al aumentar algebraicamente x, tambin y aumenta, es decir, la funcin es creciente en un intervalo si es creciente en todos los valores del intervalo. FUNCIN DECRECIENTE.- Una funcin y = f(x) es decreciente si al aumentar algebraicamente x, la y disminuye, es decir, la funcin es decreciente en un intervalo si es decreciente en todos los valores del intervalo. EJEMPLOS GRFICOS

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Funcin creciente Funcin decreciente CRITERIO PARA INDICAR EL CARCATER CRECIENTE O DECRECIENTE DE UNA FUNCIN Al estudiar si una funcin es creciente o decreciente en un intervalo dado, la derivada de la funcin es importante ya que si la derivada es positiva, la tangente forma un ngulo agudo con el eje x y tiene pendiente positiva (FUNCIN CRECIENTE); si la derivada es negativa, la tangente forma un ngulo obtuso con el eje x y tiene pendiente negativa (FUNCIN DECRECIENTE); por lo anterior resulta el siguiente criterio para determinar su una funcin es creciente o decreciente:

Una funcin es creciente si, a medida que x se mueve hacia la derecha, su grfica se mueve hacia arriba, y es decreciente si su grfica se mueve hacia abajo. Por ejemplo la funcin de la figura de la izquierda, es decreciente sobre el intervalo (-, a) es constante sobre el intervalo (a, b), y es creciente sobre el intervalo (b, ).

PRUEBA PARA LAS FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTES Sea una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable sobre el intervalo abierto (a, b):

1. Si (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces es creciente sobre [a, b]. 2. Si (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces es decreciente sobre [a, b]. 3. Si (x) = 0 para todo x en (a, b), entonces es constante sobre [a, b].

Demostracin: Para demostrar el primer caso, suponga que (x) > 0 para todo x en el intervalo (a, b) y sean x1 < x2 dos puntos cualesquiera en el intervalo.

Una funcin es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su derivada es negativa.

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Como (c) > 0 y x2 - x1 > 0, se sabe que

lo cual implica que (x1) < (x2). Por tanto, es creciente sobre el intervalo. EJEMPLO 1 INTERVALOS SOBRE LOS QUE ES CRECIENTE O DECRECIENTE Encuentre los intervalos abiertos sobre los que es creciente o decreciente. Solucin: Observe que es continua sobre toda la recta real. Para determinar los nmeros crticos de , iguale (x) a cero.

En virtud de que no hay puntos para los que no est definida, puede concluir que x = 0 y x = 1 son los nicos nmeros crticos. En la tabla que sigue se resumen las pruebas de los tres intervalos determinados por estos puntos crticos:

De este modo, es creciente sobre los intervalos (-, 0) y (1, ) y decreciente sobre el intervalo (0, 1), como se muestra en la figura de abajo.

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En el ejemplo 1 se ilustra una manera de hallar los intervalos sobre los que una funcin es creciente o decreciente. En las directrices que se dan a continuacin se resumen los pasos seguidos en el ejemplo: Una funcin es estrictamente montona sobre el intervalo si es creciente sobre todo el intervalo, o bien, si es decreciente sobre todo el intervalo. Por ejemplo, la funcin (x) = x es estrictamente montona sobre toda la recta real porque es creciente sobre toda ella, como se muestra en la figura (1.a). La funcin que se muestra en la figura (1.b) no es estrictamente montona sobre toda la recta porque es constante sobre el intervalo [0, 1].

Directrices para hallar los intervalos sobre los que una funcin es creciente o decreciente

Sea continua sobre el intervalo (a, b). Con el fin de hallar los intervalos abiertos sobre los que es creciente o decreciente, siga estos pasos: 1.- Localice los nmeros crticos de en (a, b) y selos para determinar los intervalos de prueba. 2.- Determine el signo de (x) en un valor de prueba, en cada uno de los intervalos. Estas directrices tambin son vlidas si el intervalo (a, b) se sustituye por un intervalo de la forma (-, b) (a, ), o (-, ) .

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EJERCICIOS: I.- Determine los intervalos en que las funciones son crecientes o decrecientes. 1.- (x) = x - 6x 2.- (x) = x + 8x + 10 3.- (x) = - 2x + 4x + 3 4.- (x) = - (x + 8x + 12) 5.- (x) = 2x + 3x - 12x 6.- (x) = x - 6x + 15 7.- (x) = x (3 x) CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR MXIMOS Y MNIMOS RELATIVOS Aplicando la derivada de una funcin, determinamos los intervalos en que la funcin es creciente o decreciente; ahora la utilizaremos para analizar los puntos en que la funcin pasa de creciente a decreciente o viceversa.

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DEFINICIN DE LOS MXIMOS Y MNIMOS DE UNA FUNCIN Si f es una funcin cuyo valor es c, se tiene que:

a) f (c) se llama un Mximo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f (x) f (c) para todo x en dicho intervalo, es decir, si f (c) es mayor que cualquiera de los valores de f (x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

b) f (c) se llama un Mnimo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f (x) f (c) para todo x en dicho intervalo, es decir, si f (c) es menor que uno cualquiera de los valores de f (x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

De las anteriores definiciones se hace notar que no deben confundirse los Mximos y Mnimos relativos con los puntos mximos o mnimos de la funcin, que son aquellos donde la ordenada y es mayor o menor en la grfica, por lo que se denominan absolutos; por ejemplo:

La funcin f (x) en el intervalo [ a, d ] presenta un valor mnimo absoluto en x = a; el valor mximo absoluto se presenta en x = d; los extremos relativos se presentan en x = b (mximo) y x = c (mnimo). VALOR CRTICO S c es un nmero que est dentro del dominio de una funcin, entonces a c se le denomina Valor crtico de la funcin si f (c) = 0 f (c) no existe. El valor crtico de una funcin nos permite analizar si la funcin tiene un mximo o mnimo relativo.

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CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR LOS MXIMOS Y MNIMOS RELATIVOS La funcin y = f (x) presenta un mximo relativo para x = c, se observa en la grfica que antes del mximo la derivada es positiva, es decir, la pendiente es positiva; despus del mximo la derivada es negativa, es decir, la pendiente es negativa; como la derivada cambia de positiva a negativa, entonces la funcin es continua ya que pasa por cero, dando lugar al siguiente enunciado: Analticamente se deduce que la funcin cambia de creciente a decreciente, o sea, la derivada pasa de positiva a negativa, indicando el mximo relativo. La funcin y = f (x) presenta un mnimo relativo para x = c, se observa en la grfica que antes del mnimo la derivada es negativa, es decir, la pendiente es negativa; despus del mnimo la derivada es positiva, es decir, la pendiente es positiva; como la derivada cambia de negativa a positiva, entonces la funcin es continua ya que pasa por cero, dando lugar al siguiente enunciado:

La funcin y = f (x) tiene un mximo para x = c, donde la derivada para x = c es cero (f (c) = 0) y cambia de signo pasando de positiva o negativa.

La funcin y = f (x) tiene un mnimo para x = c, donde la derivada para x = c es cero (f (c) = 0) y cambia de signo pasando de negativa a positiva.

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El punto de cambio o valor crtico de la funcin se identifica fcilmente ya que la tangente a la curva es paralela al eje x. Si el signo de la derivada no cambia, la funcin no tiene ni mnimo para el valor crtico que se est analizando. Resumiendo todo lo anterior, tenemos: PRIMER METODO PARA CALCULAR LOS MXIMOS Y MNIMOS DE UNA FUNCIN (PASOS A SEGUIR PARA SU SOLUCIN) 1.- Se halla la primera derivada de la funcin dada. 2.- Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuacin resultante, determinndose las races reales o valores crticos de la variable. 3.- Se consideran los valores crticos uno por uno, con el fin de ha