Anr Algo Ak Lille
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Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Raisonnements et algorithmes: Exemplestirés des procédures pour extraire la racinecarrée dans la littérature mathématique en
Sanskrit
Agathe Keller(SPHère, CNRS-Université Denis Diderot )
ANR AlgoLille
22 octobre 2009
Keller Raisonnements et algorithmes
Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle
Un algorithme qui utilise les ressources de la numérationpositonelle décimale
105 104 103 102 101 100
1 8 6 6 2 4
186624 = 1× 105 + 8× 104 + 6× 103 + 6× 102 + 2× 101 + 4× 100
L’objectif de l’algorithme d’extraction de racine carrée, nous pouvons lecomprendre comme une tentative pour retrouver dans ce dévelopement, le
dévelopement d’un carré du type:
a2 + 2ab + b2
Par conséquent, l’algorithme comportera de nombreuses soustraction decarré et de division par 2.
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Sources utilisées
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La règle compacte d’Aryabhat.a
bhagam. hared avargan nityam. dvigun. ena vargamulena| vargad vargesuddhe labdham. sthanantare mulam‖
One doit diviser, sans cesse, la 〈place〉 non-carré par deux fois laracine-carré| Lorque le carré à été soustrait de la 〈place〉 carré, lerésultat est une racine dans une autre place‖
Shukla, K. S. (1976) Aryabhat.ıya of Aryabhat.a, with the commentary ofBhaskara I and Somesvara. Delhi: Indian National Science Academy.
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La règle “pratique” de Srıdhara
vis. amat padas tyaktyva vargam. sthanacyutena mulena| dvigun. enabhajec ches. am. labdham. vinivesayet panktau ‖ tadvargam.sam. sodhya dvigun. am. kurvıt purvaval labdham| utsarya tato vibhajecses. am. dvigun. ıkr.tam. dalayet‖
PG.24. Ayant retiré le carré du terme impair, on doit diviser le restepar deux fois la racine qui a goutté à sa place|On dispose le reste sur la ligne ‖PG.25. Ayant soustrait le carré de celà, on doit diviser le résultatprécédent|Qui à été doublé 〈au préalable〉. Ainsi, encore et encore.〈Finalement〉 on doit diviser la moitié du reste.‖
Shukla, K. S. (1959) The Pat.igan. ita of Srıdhara with an anonymouscommentary, edited, translanted with notes. Lucknow, University of LucknowPublications.
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Utiliser différentes ressources de la notation positionelle
avarga varga avarga varga avarga varga
sa vi sa vi sa vi
105 104 103 102 101 100
1 8 6 6 2 4
186624 = 1× 105 + 8× 104 + 6× 103 + 6× 102 + 2× 101 + 4× 100
Figure: La disposition telle qu’elle apparaTt dans l’édition d’ APG
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Soustraire le carré du carré: le point de vue d’ Aryabhat.a etBhaskara
∗105 104 103 102 101 100
4/2 6 6 2 4
186624 = 42× (102)2 +2×104 +6×103 +6×102 +2×101 +4×100
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Soustraire le carré du carré: le point de vue d’APG
2 6 6 2 48
186624 = 42× (102)2 +2×104 +6×103 +6×102 +2×101 +4×100
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On doit diviser par deux fois la racine carrée
Suryadeva
tena dvigun. enanantarad avargasthanad bhagam. haret
On doit diviser la prochaine position/place non-carée par deux foiscette 〈racine〉.
Bhaskara∗ 103 102 101 100
4 3/2 6 2 4
186624 =42×(102)2+2×(4×102)(3×101)+2×103+6×102+2×101+4×100
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Quand doit on doubler la racine (en suivant APG)?
ca tena tatraiva sthitena uparis. t.at bhagam apaharet labdham. panktauvinivesayet
Et l’on doit diviser ce qui se tient au dessus par deux fois cela, à cet endroit.Le quotient doit être inséré sur une ligne.
adho bhagalabdhakas trayaste panktyam. nivesyah.
En dessous le quotient est trois. Ayant entré ces 〈trois unités〉 sur une ligne-il doivent être placés sous 〈la place〉 fait de six 〈unités〉.
∗2 6 6 2 48 3
186624 = 42×(102)2+2×(4×102)(3×101)+2×102+2×101+4×100
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Itération
Bhaskara etat eva sutram punar punar avartate yavat parisamaptamgan. itakarma iti Précisemment cette règle est itérée encore et encorejusqu’à ce que le processus mathématique parviennent à sa fin.Suryadeva evam. tavad kuryad yavan nisses. an. i vargavargasthananibhavanti De cette manière, on doit effectuer 〈le processus〉 jusqu’à cequ’il n’y ait plus aucune place carrée ou non-carrée .
APG tam utsarayet tato vibhajet labdham. panktau vinivesayed ity adipurvavat yavat utsarpan. asambhavah. On doit répêter ce 〈processus〉,ainsi on doit diviser, on doit insérer le quotient sur une ligne, etc.comme auparavant que cette progression serpentine est possible.
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Soustraire le carré de nouveau
Bhaskara∗ 103 102 101 100
4 3/1 7 2 4
186624 = 42 × (102)2 + 2× (4× 102)(3× 101) + 32 × (101)2 + 1×103 + 7× 102 + 2× 101 + 4× 100
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Quand doit-on doubler la racine (d’après APG)/2?
tatas tad vargam uparis. t.ac chodhayet tac ca dvigun. ıkuryat /
Ensuite, on doit soustraire son carré de ce qui se tient au dessus, et ceci doitêtre doublé.
(...)
s. at.kasyadhah. sthapyah. etasya vargo nava tad uparis. t.at s. ad. vim. sateh.sodhaytiva te (1724) trayo dvigun. itah. s. at. kartvyah. , adhah. s. od. asıtir jayate /es. a rasih. sarpati panktyam. dvayor adhah. (s. at.kam. ) bhavati, as. t.akam.saptadhah. / nyasah.
Son carré est neuf. On doit le soustraire de vingt-six au-dessus, ceux-ci(1724) 〈sont placés au-dessus〉, trois est multiplié par deux, six doit être fait.En-dessous, quatre vingt six est produit. Cette quantité glisse/serpente sur laligne en-dessous (de?) deux, (il y à six), en-dessous de sept, huit .
Disposition:1 7 2 4
8 6
186624 = 42 × (102)2 + 2× (4× 102)(3× 101) + 32 × (101)2 + 1×103 + 7× 102 + 2× 101 + 4× 100
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Division de la racine, soustraction du carré
Considering the next place on the right, 172, divide it by twice thepartial square root, 86: the quotient is 2 and there is no remainder.The square root is 432.
Bhaskara style:
∗ 100
4 3 2 4
APG style:4
8 6 2
186624 = 42× (102)2 + 2× (4×102)(3×101)+ 32× (101)2 + 2× (3×100)(4× 102 + 3× 101) + 4× 100 = (4× 102 + 3× 101 + 2× 100)2
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Extracting de la racine carré de 187724 (fin)
le style d’ Aryabhat.a et Bhaskara :
4 3 2
le style d’APG:8 6 4
186624 = (432)2
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Le processus tel que je le reconstruit
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Les différents pas donnés par Ab
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Les différents pas donnés par BAB
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Comparaison d’Ab avec BAB
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Les différents pas donnés par PG
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Comparaison d’Ab avec PG
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Les différents pas donnés par APG
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Comparaison de PG avec APG
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Les différents pas donnés par SYAB
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Comparaison d’Ab avec SYAB
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Comparaison de SYAB avec BAB
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Comparaison de PG avec SYAB
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Choisir des pas
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Règles et algorithmes
• sutra “règle” BAB, APG, SYAB• anayana “calcul” BAB, SYAB• gan. itakarma “processus mathématique” BAB• karan. asutra “règle algorithmique” APG
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Ab. Chapitre 2Vème siècle
BAB VIIème siècle
SYAB XIIème siècle
PGca Xème siècle
APG inconnue
BSS. Chapitre 12/18
VIIème siècle
PBSS IXème siècle
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