Anna Maria Facenda Paola Fulgenzi Janna Nardi Floriana Paternoster Sezione Mathesis Pesaro.
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Anna Maria Facenda Paola Fulgenzi
Janna Nardi Floriana Paternoster
Sezione Mathesis Pesaro
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Consegna 1
1 2 3 4
• Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed elementi geometrici) .• Articolando il modello n.1 quale e quante figure interne si formano?
Perché?• Articolando i modelli n.2, n.3, n.4 quali e quante figure interne si
formano? Perché?• Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna e le diagonali e le
mediane dalla figura esterna?
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Consegna 2
1 2 3 4
• Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed elementi geometrici) .• Considerate il modello n.3, articolandolo quali e quante figure
interne si formano e perché?• Considerate i modelli n.2 e n.4, articolandoli quali e quante figure
interne si formano e perché?• Ora sai giustificare perché articolando il modello n.1 la figura
interna è sempre un parallelogramma?• Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna e le diagonali e le
mediane dalla figura esterna?
![Page 4: Anna Maria Facenda Paola Fulgenzi Janna Nardi Floriana Paternoster Sezione Mathesis Pesaro.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8db12d/html5/thumbnails/4.jpg)
una interessante proprietàunendo consecutivamente i punti medi dei lati di un qualsiasi quadrilatero anche concavo, si ottiene sempre un parallelogramma.
Prendiamo in considerazione i triangoli ACD e PSD.Essi hanno un angolo in comune e i lati che lo comprendono in proporzione, infatti, poiché P ed S sono punti medi, DP/DA = DS/DC = 1/2 (Teorema di Talete), pertanto sono simili per il secondo criterio. Segue che PS//AC. Per lo stesso motivo anche QR//AC e dunque QR//PS. Da cui si deduce che i segmenti PQ e SR, essendo paralleli a DB, lo sono anche tra loro (proprietà transitiva). La dimostrazione vale anche per le coppie di triangoli DBC-SRC e ABD-AQP.
A
B
CD
Q
R
S
P
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Il rapporto di similitudine fra le coppie di triangoli prese in esame è sempre 1/2, pertanto i lati del parallelogramma inscritto sono sempre la metà delle diagonali di quello circoscritto.
Il parallelismo tra lati del parallelogramma e diagonali del quadrilatero esterno fa si che se quest’ultimo ha le diagonali perpendicolari, le sue mediane sono congruenti perché il quadrilatero interno è un rettangolo.
Se il quadrilatero esterno ha le diagonali congruenti le sue mediane sono perpendicolari perché il quadrilatero interno è inevitabilmente un rombo.
Se si verificano entrambe le condizioni di cui sopra il parallelogramma interno è un quadrato.
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Le mediane si bisecano in tutti i quadrilateri
Sono congruenti in quelli a diagonali perpendicolari
Sono perpendicolari in quelli a diagonali congruenti
Le Mediane nei quadrilateriLe Mediane nei quadrilateri
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perpendicolari
congruenti
non perpendicolari
non congruenti perpendicolari
congruenti
non perpendicolari
non congruenti
MedianeMedianeDiagonaliDiagonali
"se le diagonali sono perpendicolari allora le mediane sono congruenti", "se le mediane sono congruenti allora le diagonali sono perpendicolari"che si possono riunire nella doppia implicazione:"le diagonali sono perpendicolari se e solo se le mediane sono congruenti".Analoghe considerazioni portano a formulare la seguente doppia implicazione"le diagonali sono congruenti se e solo se le mediane sono perpendicolari".
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Le mediane del quadrilatero esterno sono diagonali di quello interno, le mediane del quadrilatero interno fanno parte delle diagonali di quello esterno; nella deformazione, il poligono esterno conserva solo le diagonali come assi di simmetria, quindi quello interno solo le mediane.
La figura esterna modifica gli angoli ma non i lati; quella interna i lati ma non gli angoli.
Parallelogramma inscritto nel romboParallelogramma inscritto nel rombo
Quando il quadrilatero esterno è un quadrato, lo è anche quello interno. In tutte le altre posizioni il poligono esterno è un rombo, quello interno un rettangolo.
La figura interna è sempre un rettangolo poiché i suoi lati sono paralleli alle diagonali del rombo che sono sempre perpendicolari.
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Definizione di quadrato e rombo con le medianeDefinizione di quadrato e rombo con le mediane
Le mediane: •Si bisecano• Sono congruenti• Non modificano la loro misura• Sono parallele ai lati • Nel quadrato sono perpendicolari• Nel quadrato sono assi di simmetria
Def. Rombo: ?
Def. Quadrato: ?
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Def. Rombo: quadrilatero a mediane congruenti e che si bisecano
Def. Quadrato: quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e che si bisecano.Sono definizioni corrette?
Def. Rombo: quadrilatero a mediane congruenti e a diagonali che si bisecano. quadrilatero a mediane congruenti e parallele ai lati. Def. Quadrato: quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e a diagonali che si bisecano. quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e parallele ai lati.
Controesempi
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Def. Rombo: parallelogramma a mediane congruenti.
Def. Quadrato: parallelogramma a mediane congruenti e perpendicolari.
Def. Quadrato: rombo a mediane perpendicolari.
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Quando il quadrilatero esterno è un rettangolo, quello interno è un rombo. In tutte le altre posizioni sia il poligono esterno che quello interno sono parallelogrammi.
Parallelogramma inscritto nel parallelogrammaParallelogramma inscritto nel parallelogramma
Le mediane del quadrilatero esterno sono diagonali di quello interno, le mediane del quadrilatero interno fanno parte delle diagonali di quello esterno; nella deformazione, il poligono interno perde le diagonali come assi di simmetria, quello esterno le mediane.
La figura esterna modifica gli angoli ma non i lati; quella interna lati ed angoli.
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Le mediane:• Si bisecano• Non sono congruenti• Non modificano la loro misura• Sono parallele ai lati• Nel rettangolo sono perpendicolari• Nel rettangolo sono assi di simmetria
Def. Rettangolo: ?
Def. parallelogramma: ?
Definizione di rettangolo e parallelogramma con le medianeDefinizione di rettangolo e parallelogramma con le mediane
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Def. Rettangolo: ? Quadrilatero a mediane perpendicolari che si bisecano
Def. parallelogramma: ? Quadrilatero a mediane che si bisecano
Sono definizioni corrette?
Def. Rettangolo: Quadrilatero a mediane perpendicolari e diagonali che si bisecano. Quadrilatero a mediane perpendicolari e parallele ai lati
Def. parallelogramma: Quadrilatero a mediane parallele ai lati
Controesempio
![Page 15: Anna Maria Facenda Paola Fulgenzi Janna Nardi Floriana Paternoster Sezione Mathesis Pesaro.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8db12d/html5/thumbnails/15.jpg)
Def. Rettangolo: parallelogramma a mediane perpendicolari.
![Page 16: Anna Maria Facenda Paola Fulgenzi Janna Nardi Floriana Paternoster Sezione Mathesis Pesaro.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8db12d/html5/thumbnails/16.jpg)
Modelli per medianeModelli per mediane
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Diagonali congruenti e non perpendicolari con inscritto il rombo
Diagonali non congruenti e perpendicolari con inscritto il rettangolo
Al modello a diagonali scanalate si può sovrapporre il parallelogramma inscritto realizzato in cartoncino, con i lati uguali alla metà delle diagonali e gli angoli della stessa misura di quelli formati dall’intersezione delle diagonali stesse. Modificando il punto di intersezione delle diagonali, conservandone la reciproca posizione, si può controllare, sovrapponendo al modello il parallelogramma in cartoncino, che quest’ultimo è sempre quello inscritto nel quadrilatero di partenza.
Mentre il quadrilatero esterno subisce deformazioni di tipo proiettivo, quello interno trasla.
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Articolando le diagonali quali trasformazioni subisce il parallelogramma inscritto?Cosa hanno in comune i parallelogrammi che si ottengono?
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In un modello con diagonali non scanalate e fissate in un punto è possibile collegare con fermacampioni i lati del parallelogramma inscritto nel punto medio di ciascuno dei quattro bracci delle diagonali.