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Análisis Numérico para Ingeniería
Clase Nro. 11
Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 2
Aproximación de Funciones
Temas a tratar:
Funciones Aproximantes.
Criterios de Aproximación.
Aproximación por Interpolación.
Error en la Interpolación.
Polinomios de Lagrange.
Polinomios de Newton.
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Dada una función discreta (puntos dato), se desea obtener una función contínua que aproxime a la primera, de acuerdo a un cierto criterio de aproximación.
CRITERIO DE INTERPOLACIÓN
Problema a resolver
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Interrogantes
CON QUÉ APROXIMO ?
Elección de la función aproximante.
CÓMO APROXIMO ?
Elección del criterio de aproximación.
DÓNDE APROXIMO ?
Elección del intervalo de aproximación.
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Funciones Aproximantes
Sea el conjunto S tal que:
S={f(x) tal que f(x) pueda expresarse exactamente como combinación lineal ( o no ) de ciertas funciones coordenadas {h
k(x)}, k=1, 2, …, m}
Se selecciona un conjunto apropiado de funciones coordenadas g
0(x), g
1(x), …, g
n(x)
Sea el conjunto Sn tal que: S
n = {p(x) tal que p(x)
pueda ser expresada exactamente como combinación lineal ( o no ) de funciones coordenadas {g
k(x)}, k=0, 1, 2,..., n}
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Funciones Aproximantes
Sn={ p
n(x) tal que p
n(x) pueda expresarse exactamente como
combinación lineal de 1, x, x2, …, xn }. En este caso gk(x) = xk,
k=0, 1, 2, …, n. Y las componentes pn(x) del conjunto S
n son
polinomios de grado menor o igual a n.
Si el objetivo es aproximar una cierta f(x) ∈ S, se selecciona en S
n una función p(x) cuyas
propiedades se acerquen lo más posible a las propiedades conocidas de f(x).
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f x ≈ pnx = a0⋅g0xa1⋅g1x⋯an⋅gn x
f x ≈ pnx =a0⋅g0x a1⋅g1x⋯am⋅gmx
b0⋅g0x b1⋅g1x⋯bk⋅gk x
En general, una función aproximante lineal, tendrá la forma:
En cambio, una función aproximante de tipo racional, tendrá la forma:
Posibles Funciones Aproximantes
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Criterios de Aproximación
La base del problema de aproximación es el criterio utilizado para determinar las constantes de la función aproximante.
Algunos de los criterios de aproximación son:
Aproximación por Interpolación.
Aproximación por Splines Cúbicos.
Aproximación por Mínimos Cuadrados.
Aproximación por Error Mínimo (MiniMax).
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Aproximación por Taylor
Esta aproximación encuentra un polinomio de grado n que ”aproxima bien” a f(x) alrededor del punto x
0.
p x0=f x0
pnk
x0=f k x0 para k=1,2,3, ...
”Aproximar bien” significa que pn(x) coincide con f(x) en el
punto x0 y esto también se cumple para sus k derivadas.
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Aproximación por Taylor
Expresando el desarrollo de Taylor de f(x) alrededor del punto x
0, tenemos :
p(x)=f (x0)+ f ' (x0)⋅(x−x0)+f ' ' (x0)⋅(x−x0)
2
2!+⋯+
f (n)(x0)⋅(x−x0)
n
n !
Cuyo término de error es :
px −f x =Rnx =f n1x ⋅x−x0
n1
n1!
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Problema a resolver
Se tiene un conjunto de 4 puntos pertenecientes a una función f(x) desconocida.
i x f(x) p(x)0 -4,00 -7,38 -7,381 -2,00 0,52 0,522 0,00 2,00 2,003 2,00 14,52 14,52
Se desea obtener un polinomio p(x) que pase por todos los puntos dato.
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Polinomio Interpolante
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Interpolación Polinómica
POLINOMIO DE COLOCACIÓN
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Problema a resolverSe tiene un conjunto de 5 puntos pertenecientes a una función f(x) desconocida.
i x f(x) p(x)0 -5,00 25,92 25,921 -3,00 -5,36 -5,362 -1,00 2,58 2,583 1,00 3,59 3,594 2,00 14,52 14,52
Se desea obtener un polinomio p(x) que pase por todos los puntos dato.
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Interpolación Polinómica
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Polinomios Aproximantes
Para calcular los polinomios interpolantes vistos anteriormente, se ha utilizado el siguiente criterio:
f xi=pn xi para i=1,2,3, ... , n
Es decir, dados n+1 puntos, debemos hacer coincidir los valores del polinomio aproximante p
n(x)
con la función aproximada f(x), en cada punto xi .
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Determinación de los coeficientes
Se tiene un conjunto de 4 puntos pertenecientes a una función f(x) desconocida.
0 -4,00 -7.38 -7.381 -2,00 0.52 0.522 0,00 2,00 2,003 2,00 14,52 14,52
i x f(x) p(x)
Se desea calcular los coeficientes del polinomio p(x) que pase por todos los puntos dato.
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Polinomios Aproximantes
Para calcular los coeficientes del polinomio aproximante :
pn x = a0a1⋅xa2⋅x2⋯an⋅x
n
Podemos plantear las siguientes ecuaciones:
[1.00 −4.00 16.00 −64.001.00 −2.00 4.00 −8.001.00 0.00 0.00 0.001.00 2.00 4.00 8.00
]⋅[a0
a1
a2
a3] = [
−7.380.522.00
14.52]
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Polinomios Aproximantes
Resolviendo el sistema obtenemos los valores de los coeficientes :
a0=2; a1=2.045 ; a2=1.38 ; a3=0.36375
Por lo que el polinomio aproximante queda de la forma :
p3 x = 0.36375⋅x31.38⋅x22.045⋅x2
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Interpolación Polinómica
p3 x = 0.36375⋅x31.38⋅x22.045⋅x2
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Unicidad del Polinomio Interpolante
Dados n+1 puntos de la función f(x), el polinomio interpolante que pasa por todos ellos es único:
Demostración por el absurdo:
1) Supongamos que existan dos polinomios interpolantes p
n(x) y q
n(x) que pasan por los n+1 puntos de f(x).
2) Entonces creamos un polinomio dn(x) = p
n(x) – q
n(x)
3) Dado que dn(x) proviene de la diferencia de dos
polinomios de grado n, el grado del mismo será menor o igual a n.
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Unicidad del Polinomio Interpolante
Dados n+1 puntos de la función f(x), el polinomio interpolante que pasa por todos ellos es único:
Continuación de la Demostración por el absurdo:
4) Las raíces de dn(x) coinciden con las abscisas de los
puntos dato, en cuyo caso, dn(x) debería tener n+1 raíces.
Por lo tanto, es imposible que siendo dn(x) un polinomio
de grado n, el mismo posea n+1 raíces.
A menos que se trate del polinomio nulo, en cuyo caso se cumplirá que p
n(x) = q
n(x).
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Sea el polinomio :
A x = x−x0⋅x−x1⋯ x−xn =∏i=0
n
x−x i
Por lo tanto todos los xi serán ceros de dicho polinomio.
Además podemos definir otro polinomio Ak, en el cuál
todos los xi serán ceros de dicho polinomio, menos x
k :
Ak x = x−x0⋅x−x1⋯x−xk−1⋅x−xk1⋯x−xn =∏i=0i≠k
n
x−xi
Polinomio de Lagrange
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Método de Lagrange
Por lo tanto, definimos a los coeficientes Lk(x) del
polinomio de LAGRANGE como:
Lk( x) =Ak( x)
Ak (xk)=
(x−x0)⋅(x−x1)⋯(x−xk−1)⋅(x−xk+1)⋯(x−xn)
( xk−x0)⋅(xk−x1)⋯( xk−xk−1)⋅(xk−xk+1)⋯(xk−xn)
Lk xi = {0 i≠k1 i=k
Donde los coeficientes Lk(x) del polinomio de LAGRANGE
sólo dependen de los nodos y toman los siguientes valores :
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Método de Lagrange
Por lo tanto el polinomio de LAGRANGE nos queda como :
pnx = ∑k=0
n
Lk x⋅f xk = ∑k=0
n
[∏i=0i≠k
n x−xi
xk−xi ]⋅yk
Donde se cumple la condición :
f x i =pnx i = y i
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Ejemplo de Aplicación
0 -4,00 -7,38 -7,381 -2,00 0,52 0,522 0,00 2,00 2,003 2,00 14,52 14,52
i x f(x) p(x)Dado este conjunto de puntos, se desea calcular el polinomio de interpolación de LAGRANGE
pn(x)=(x+2)(x−0)(x−2)
(−4+2)(−4−0)(−4−2)⋅(−7.38) +
(x+4)(x−0)(x−2)
(−2+4)(−2−0)(−2−2)⋅(0.52) +
+(x+4 )(x+2)(x−2)
(0+4)(0+2)(0−2)⋅(2.00) +
(x+4)(x+2)(x−0)
(2+4)(2+2)(2−0)⋅(14.52) =
= 0.36375 x3+1.38 x2+2.045 x+2
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Método de Lagrange
Para nodos equiespaciados, la expresión anterior puede simplificarse, reemplazando x = x
0 + sh :
pn(s)= ∑k=0
n
Lk (x0+s⋅h)⋅f (xk )= ∑k=0
n(−1)
n+k
n! (nk )⋅∏i=0i≠k
n
(s−i)⋅yk =
=(−1)n
n !⋅s⋅(s−1)⋯(s−n)∑
k=0
n (−1)k⋅(nk )(s−k )
⋅yk
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Error en la Interpolación
La expresión del error de Interpolación es :
E x = x−x0⋅x−x1⋯x−xn⋅f n1
n1!
Como se puede apreciar, el error es nulo en cada uno de los nodos, pues p
n(x
i ) coincide con f(x
i ).
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Error en la Interpolación
TEOREMA
Si x0, x
1, …, x
n, son distintos en el intervalo [a, b] y
si f ∈ Cn+1 [a, b], entonces, para cada x en [a, b] existe un número ξ (x) en (a, b) tal que:
f x = P x f n1
n1!⋅x−x0⋅x−x1⋯x−xn
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Error en la Interpolación
DEMOSTRACIÓN
Vemos que si x=xk, para k = 0, 1, …, n entonces f(x
k)=P(x
k)
y eligiendo ξ (xk) arbitrariamente en (a, b), se satisface la
ecuación anterior.Si x≠x
k para cualquier k = 0, 1, …, n definimos la función
g( t ) en [a, b] mediante:
g(t )=f (t )−P(t)−[ f (x)−P(x)]⋅(t−x0)⋅(t−x1)⋯(t−xn)
(x−x0)⋅(x−x1)⋯(x−xn)
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Error en la Interpolación
g t = f t −P t −[ f x −P x ]⋅∏i=0
n t−x i
x−xi
Como f ∈ Cn+1 [a, b], P ∈ C∞ [a, b], y x≠xk , para
cualquier k se sigue que g ∈ Cn+1 . Para t=xk
g xk = f xk −P xk −[ f x−P x]⋅∏i=0
n xk−x i
x−x i=
= 0−[ f x −P x ]⋅0 = 0
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Error en la Interpolación
Además
g x = f x−P x−[ f x −Px ]⋅∏i=0
n x−x i
x−x i=
= f x −P x −[ f x −P x ] = 0
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Teorema de ROLLE
Establece que si :
f es una función contínua en un intervalo [a, b]
f es derivable en un intervalo (a, b)
f(a) = f(b)
Entonces:
Existe al menos un valor c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f ' (c) = 0.
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Error en la Interpolación
Por lo tanto g ∈ Cn+1 [a, b], y g se anula en los n+2 números distintos x, x
0, x
1, …, x
n. Por el
teorema de ROLLE generalizado existe ξ ≡ ξ (x) en (a, b) tal que g(n+1)(ξ )=0. Evaluando g(n+1)(ξ ) da :
0 = g(n+1)(ξ) =
= f (n+1)(ξ)−P(n+1)
(ξ)−[ f (x)−P(x)]⋅dn+1
dtn+1⋅(∏i=0
n (t−xi)
(x−xi))t=ξ
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Error en InterpolaciónComo P es un polinomio de grado, como máximo n, la derivada (n+1), es decir, P(n+1) debe ser igual a cero.
Además :
∏i=0
n t−xi
x−xi
Esta productoria es un polinomio de grado (n+1), entonces :
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Error en Interpolación
∏i=0
n (t−xi)
(x−xi)=
t n+1
∏i=0
n
(x−xi)
+ (términos de menor grado en t)
y
dn1
dtn1⋅∏i=0
n t−x i
x−x i=
n1!
∏i=0
n
x−x i
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Error en Interpolación
0 = g(n+1)(ξ) =
= f (n+1)(ξ)−P(n+1)
(ξ)−[ f (x)−P(x)]⋅dn+1
dtn+1⋅(∏i=0
n (t−xi)
(x−xi))t=ξ
0=[ f n1−0]−[ f x −P x ]⋅
n1!
∏i=0
n
x−xi
La ecuación anterior se transforma en:
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Error en InterpolaciónY resolviendo para f(x) obtenemos finalmente :
f x = P x f n1
n1!⋅∏
i=0
n
x−xi
La fórmula anterior es un resultado teórico muy importante, ya que los polinomios de LAGRANGE son extensamente utilizados para desarrollar métodos numéricos de derivación e integración.
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Error en Interpolación
f n1x n1!
⋅ x−x0n1
Nótese que la forma del error para el polinomio de LAGRANGE es muy similar a la del polinomio de TAYLOR. El polinomio de TAYLOR de grado n alrededor de x
0 concentra toda la información
conocida en x0 y tiene un término de error de la
forma :
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Error en Interpolación
El polinomio de LAGRANGE de grado n utiliza la información de los diferentes valores x
0, x
1,...,
x
n,
en vez de (x - x0 )n su fórmula de error contiene un
producto de n+1 términos :
Error =f (n+1)(ξ(x))
(n+1)!⋅(x−x0)⋅(x−x1)⋯(x−xn)
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Error en InterpolaciónA pesar de que la fórmula del error en los polinomios de LAGRANGE constituye un resultado teórico importante, su uso práctico está restringido a aquellas funciones cuyas derivadas tengan cotas conocidas, como las funciones trigonométricas ó logarítmicas.
Error =s⋅(s−1)⋅(s−2)⋯(s−n)
(n+1)!⋅hn+1 f (n+1)(ξ)
Por último, para el caso de puntos equiespaciados, nos queda:
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Interpolación y Extrapolación
ZONA DE INTERPOLACIÓN
ZONA DE EXTRAPOLACIÓN
ZONA DE EXTRAPOLACIÓN
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Para puntos equiespaciados únicamente y utilizando diferencias ascendentes, tenemos :
Δ f (x)=f (x+h)−f (x)
Δ2 f (x)=Δ(Δ f (x))=Δ( f (x+h)−f (x))=
=Δ f (x+h)−Δ f (x)=f (x+2h)−f (x+h)−f (x+h)+ f (x)== f (x+2h)−2⋅f (x+h)+ f (x)
Δn=Δ(Δ
(n−1) f (x))
Interpolación con Diferencias Finitas
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Tabla de Diferencias
Δ0 -5 5,1 0,37798
0,090541 -4 5,2 0,46852 -0,00469
0,08585 -0,000842 -3 5,3 0,55437 -0,00553 0,00003
0,08032 -0,00081 0,000043 -2 5,4 0,63469 -0,00634 0,00007
0,07398 -0,000744 -1 5,5 0,70867 -0,00708
0,06695 0 5,6 0,77557
iASC
iDESC
xi
f(xi) Δ2 Δ3 Δ4 Δ5
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Esta expresión nos permite obtener el polinomio interpolante de Newton, con diferencias ascendentes. La misma puede utilizarse únicamente si los puntos dato son equiespaciados.
pn(s)= y0+s⋅Δ y0+s⋅(s−1)
2!⋅Δ2 y0+⋯+
s⋅(s−1)⋯(s−n+1)
n !⋅Δn y0
Siendo: s=x−x0
h
Newton con Diferencias Ascendentes
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Diferencias Ascendentes
Δ0 -5 5,1 0,37798
0,090541 -4 5,2 0,46852 -0,00469
0,08585 -0,000842 -3 5,3 0,55437 -0,00553 0,00003
0,08032 -0,00081 0,000043 -2 5,4 0,63469 -0,00634 0,00007
0,07398 -0,000744 -1 5,5 0,70867 -0,00708
0,06695 0 5,6 0,77557
iASC
iDESC
xi
f(xi) Δ2 Δ3 Δ4 Δ5
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Esta expresión nos permite obtener el polinomio interpolante de Newton, con diferencias descendentes. La misma puede utilizarse únicamente si los puntos dato son equiespaciados.
pn(s)= y0+s⋅Δ y−1+s⋅(s+1)
2!⋅Δ2 y−2+⋯+
s⋅(s+1)⋯(s+n+1)
n!⋅Δn y−n
Siendo: s=x−x0
h
Newton con Diferencias Descendentes
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Diferencias Descendentes
Δ0 -5 5,1 0,37798
0,090541 -4 5,2 0,46852 -0,00469
0,08585 -0,000842 -3 5,3 0,55437 -0,00553 0,00003
0,08032 -0,00081 0,000043 -2 5,4 0,63469 -0,00634 0,00007
0,07398 -0,000744 -1 5,5 0,70867 -0,00708
0,06695 0 5,6 0,77557
iASC
iDESC
xi
f(xi) Δ2 Δ3 Δ4 Δ5
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Para puntos no equiespaciados se puede utilizar diferencias divididas.
Df xi=f x i1−f xi
x i1−x i
Dn f x i=Dn−1 f xi1−Dn−1 f x i
xin−xi
Interpolación con Diferencias Divididas
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Esta expresión nos permite obtener el polinomio interpolante de Newton, con diferencias divididas. La misma puede utilizarse con puntos dato equi-espaciados o no.
pn(x)= y0+(x−x0)⋅D y0+(x−x0)⋅(x−x1)⋅D2 y0+⋯+
+(x−x0)⋅(x−x1)⋯(x−xn−1)⋅Dn y0
Newton con Diferencias Finitas
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Tabla de Diferencias Divididas
D5,1 0,37798
0,90545,2 0,46852 -0,2345
0,8585 -0,145,3 0,55437 -0,2765 0,0125
0,8032 -0,135 0,033335,4 0,63469 -0,317 0,029167
0,7398 -0,123335,5 0,70867 -0,354
0,6695,6 0,77557
xi
f(xi) D2 D3 D4 D5
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Fórmula de Aitken
Está basada en la realización de interpolaciones lineales iteradas.Por ejemplo, para el polinomio de grado 1, tenemos:
P0,k=[ y0 x0−xyk xk−x ]xk−x0
Para k=1, 2, …, n
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Fórmula de Aitken
Desarrollando, obtenemos:
P0,k=[ y0 x0−xyk xk−x ]xk−x0
Para k=1, 2, …, n
P0,k=y0⋅xk−x − yk⋅x0−x
xk−x0
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Fórmula de Aitken
Y reagrupando términos, obtenemos el polinomio de LAGRANGE que pasa por los puntos (x
0, y
0 ) y
(xk,
yk ).
P0,k=y0⋅xk−x − yk⋅x0−x
xk−x0
P0,k=xk−x
xk−x0
⋅y0x−x0
xk−x0
⋅yk
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Fórmula de Aitken
A partir de la interpolación anterior y aplicando el mismo esquema, podemos obtener el polinomio de LAGRANGE que pasa por los puntos (x
0, y
0 ), (x
1, y
1 )
y (xk,
yk ).
P0,1,k=[P01 x1−xP0k xk−x ]
xk−x1
Para k=2, 3, …, n
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PREGUNTAS ...