Análisis de Fourier aplicado a Telecomunicaciones
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Análisis de Fourier aplicado a Telecomunicaciones
Mag. Ing. Javier More
24 de abril de 2021
Objetivo: Al terminar la sesión, comprenderá el siguiente esquema
Datos binarios (tren de bits)
Mapper_1
Mapper_N
Mapper_2
Mapper_N-1
DAC
Tran
sfo
rmad
a R
ápid
a In
vers
a d
e Fo
uri
er
IFFT
(N P
un
tos)
…110000100100100
100100
000100
000000
100111
Si por ejemplo, se trabaja con 64-QAM: 6 bits por
símbolo.
Señal digital
Señal analógica
Por ejemplo: AWS
CPRI
𝐴1𝑒𝑗𝜃1
𝑓𝑁 = 𝑓1 + 𝑁 ∗ ∆𝑓
FH
Fuente: Elaboración propia usando información de [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13] y [14]
Constellation Mapper
Señal RF𝐴2𝑒
𝑗𝜃2
𝐴𝑁−1𝑒𝑗𝜃𝑁−1
𝐴𝑁𝑒𝑗𝜃𝑁
Etapa de RF
Co
nve
rso
r d
e S
eri
ea
Par
ale
lo
IQ stream
𝑓𝑐
𝐸𝑛 4𝐺: ∆𝑓 = 15𝑘𝐻𝑧
𝑓1
𝑓𝑁
𝑓2
𝑓𝑁−1
BB Discreta
ℱ 𝑥(𝑘) = 𝑥(𝑛) =
𝑘=0
𝑁−1
𝑥(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑁
∗𝑛
A
RRU
ANT
Co
nve
rso
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e P
aral
elo
a Se
rie
N Subportadoras: En 20 MHz, hay 1200 subportadoras
PROFESORES
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
LagrangeLaplace
Libro disponible en: https://archive.org/details/bub_gb_TDQJAAAAIAAJ/
1807/1808
• Procesamiento de imágenes
• Procesamiento de señales
• Medicina
• Economía - Finanzas
• TELECOMUNICACIONES
Ap
licac
ion
es:
Series y transformada de Fourier
Hay mucha bibliografía sobre el tema:
Para aplicación en telecomunicaciones, buscar bibliografía relacionada a
señales, comunicaciones
Señal senoidal
𝑠 𝑡 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜃)
𝐴: 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠)
𝑓: 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧)
𝜃: 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 (𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)
𝑠 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)
𝑠 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(4𝜋𝑡)
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 1 𝐻𝑧
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 2 𝐻𝑧
1 segundo
1 segundo
1 Hz = 1 oscilación por segundo
2 Hz = 2 oscilaciones por segundo
𝑓 =1
𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜=1
𝑇
T = 0.5s
T = 1s
𝑠 𝑡 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃)
𝜔 =2𝜋
𝑇= 2𝜋𝑓
𝑠 𝑡 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑆𝑖 𝜃 = 0
Equipamiento usado en Telecomunicaciones
𝑀𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
t
f
Osciloscopio Analizador de espectro
Fuente: Las fotos del Osciloscopio y del Analizador de espectro se obtuvieron de Google imágenes.
𝑀𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑓1 𝑓3 𝑓5 𝑓7 𝑓9 𝑓11 𝑓13 𝑓15 𝑓17 𝑓19
Oscilador: Generador de ondas electromagnéticas
A
B
El osciloscopio permite visualizar las señales en el mundo del tiempo
Ejemplo: Transmisión de señal AM
Tiempo
Frecuencia
Imagen AM: https://laser.physics.sunysb.edu/_doug/koch/787.jpg
Señal portadora: 11 kHz
Señal con la información:
1 kHz
Señal AM
El mundo de la frecuencia
Imagen de radio: https://www.flickr.com/photos/theslowlane/9104380056 Imagen de TV: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Televisi%C3%B3n_peque%C3%B1a_blanco_y_negro.JPG
92.5 MHz 485.1 MHz730 kHz
Serie de Fourier
𝑆 𝑡 =1
2𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔𝑡) + 𝑏𝑛 s𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡) 𝜔 =2𝜋
𝑇
𝑎0 =2
𝑇න−𝑇
𝑇
𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑛 =2
𝑇න−𝑇
𝑇
𝑠 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑏𝑛 =2
𝑇න−𝑇
𝑇
𝑠 𝑡 sen 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡
Permite expresar una señal periódica como una suma de señales senos y cosenos:
𝑆 𝑡 =1
2𝑎0 + 𝑎1 cos(𝜔𝑡) + 𝑏1 s𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝑎2 cos(2𝜔𝑡) + 𝑏2 s𝑒𝑛(2𝜔𝑡) + 𝑎3 cos(3𝜔𝑡) + 𝑏3 s𝑒𝑛(3𝜔𝑡)
Por ejemplo, si desarrollamos la serie hasta n = 3
Amplitudes de cada señal
2 veces la Frecuencia fundamental(2° armónico)
3 veces la Frecuencia fundamental(3° armónico)
Frecuencia fundamental(1° armónico)
DC
Ejemplo: Serie de Fourier de una onda cuadrada
T = 1sA = 2V
-A = -2V
tt=0
𝑆 𝑡 =4 ∗ 𝐴
𝜋s𝑒𝑛(𝜔𝑡) +
1
3s𝑒𝑛(3𝜔𝑡) +
1
5s𝑒𝑛(5𝜔𝑡) +
1
7s𝑒𝑛(7𝜔𝑡) + ⋯
Fácilmente se obtiene la serie de Fourier de una señal cuadrada:
𝑛 = 1 𝑛 = 5 𝑛 = 10
𝑭𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 𝑭𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 + 3° + 5°+7°+9° 𝑭𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 + 3° + 5° + 7° + 9°+. . . +19°
Al ser una función impar, todas las componentes cosenoidales se hacen cero.
*Serie de Taylor*
1685 - 1731
Libro disponible en: https://books.google.co.ve/books?id=r-Gq9YyZYXYC
1712
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 +𝑓′′ 𝑥02!
𝑥 − 𝑥02 +⋯+
𝑓 𝑛 𝑥0𝑛!
𝑥 − 𝑥0𝑛 + ℎ𝑛(𝑥)(𝑥 − 𝑥0)
𝑛+1 𝑓 𝑥 =
𝑛=0
𝑛𝑓 𝑛 𝑥0
𝑛!𝑥 − 𝑥0
𝑛
𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝑥 −𝑥3
3!+𝑥5
5!−𝑥7
7!+ ⋯+ (−1)𝑛
𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
𝐬𝐢𝐧 𝒙 =
𝑛=0
𝑛
(−1)𝑛𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
Caso especial de la serie de Taylor: Maclaurin (𝑥0 = 0)
Aprende más sobre Taylor: https://www.ugr.es/~acanada/docencia/matematicas/definitivoAlejandraTorresMartinezTFG.pdf
*Fórmula de Euler*
1707-1783
𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sen 𝑥
𝑒𝜋𝑖 + 1 = 0
𝒆𝒙 = 1 +𝑥
1!+𝑥2
2!−𝑥3
3!+ ⋯+
𝑥𝑛
𝑛!
𝐬𝐞𝐧𝒙 = 𝑥 −𝑥3
3!+𝑥5
5!−𝑥7
7!+ ⋯+ (−1)𝑛
𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 1 −𝑥2
2!+𝑥4
4!−𝑥6
6!+ ⋯+ −1 𝑛
𝑥2𝑛
2𝑛!
𝒆𝒙 =
𝑛=0
∞𝑥𝑛
𝑛!
𝐬𝐞𝐧𝒙 =
𝑛=0
∞
(−1)𝑛𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
𝐜𝐨𝐬 𝒙 =
𝑛=0
∞
(−1)𝑛𝑥2𝑛
2𝑛!
Se demuestra fácilmente con la serie de Taylor de cada expresión:
𝑥 = 𝜋Que pasa si:
.x
Im
Re
Cos x
Sen x
𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sen 𝑥
1
i
Serie compleja de Fourier
𝑠 𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑒𝑗2𝜋𝑛𝑡𝑇
Usando las equivalencias del seno y coseno:
𝑐𝑛 =1
𝑇න0
𝑇
𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑛𝑡
𝑇 𝑑𝑡𝑠 𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑛𝑡
sen 𝑥 =1
2𝑖(𝑒𝑖𝑥 − 𝑒−𝑖𝑥) cos 𝑥 =
1
2(𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥)
Se demuestra fácilmente:
𝑐𝑛 =1
𝑇න0
𝑇
𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑛𝑡𝑑𝑡
Por ejemplo, si desarrollamos la serie hasta n = 3
𝑠 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡+ 𝑐2𝑒
𝑗4𝜋𝑓𝑡 + 𝑐3𝑒𝑗6𝜋𝑓𝑡
Amplitud
Frecuencia
Transformada de Fourier
s 𝑓 = TF 𝑠(𝑡) = ℱ 𝑠(𝑡) = න−∞
+∞
𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡La transformada de Fourier de
una señal s(t):
A
Función pulso unitario: (función rectangular):
t𝒕𝟏 𝒕𝟐
s 𝑓 = න−𝑑2
𝑑2𝐴 ∗ 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 s 𝑓 = 𝐴
𝑒−𝑗𝜔𝑡
−𝑗𝜔−𝒅
𝟐
s 𝑓 = 𝐴𝑒−𝑗𝜔𝑑2 − 𝑒
𝑗𝜔𝑑2
−𝑗𝜔
−𝒅
𝟐𝒅
𝟐
s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗sin(
𝜔𝑑2)
𝜔𝑑2
s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔𝑑
2)
𝒅
𝟐
𝒅
s 𝑓 = 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑑2 − 𝑒
−𝑗𝜔𝑑2
𝑗𝜔s 𝑓 =
2𝐴
𝜔
𝑒𝑗𝜔𝑑2 − 𝑒
−𝑗𝜔𝑑2
2𝑗s 𝑓 =
2𝐴
𝜔sin(
𝜔𝑑
2)
s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (2𝜋𝑓𝑑
2)
s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜋𝑓𝑑)
s 𝑓 = 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑓 =sin 𝜋𝑓
𝜋𝑓
𝜔 = 2𝜋𝑓
Si, d=1 y A=1f
¿Existe la frecuencia negativa?
Transformada de Fourier de una señal coseno
𝑠 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜𝑡)
TFt
f
Señal que oscila a una frecuencia 𝑓𝑜: Función delta de Dirac: 𝛿
−𝑓𝑜 𝑓𝑜
𝑠 𝑓 =1
2𝛿(𝑓 − 𝑓0) + 𝛿(𝑓 + 𝑓0)
Osciloscopio
Analizador de espectro
Fuente: Las fotos del Osciloscopio y del Analizador de espectro se obtuvieron de Google imágenes.
Ejemplo de Transformada de Fourier de una señal de audio
A E I O U
http://www.domingo-roman.net/vocales_esp_caract_acustica.html
Ejemplo de analizador de espectro en BNL (5 GHz)
El equipo calcula la Transformada de Fourier de todas las señales en el rango de 4920-5960 MHz
Transformada de Fourier y Transformada inversa de Fourier
s 𝑓 = TF 𝑠(𝑡) = ℱ 𝑠(𝑡) = න−∞
+∞
𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡
s 𝑡 = TIF 𝑠(𝑓) = ℱ 𝑠(𝑓) =1
2𝜋න−∞
+∞
𝑠 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓
TF
TIF
s 𝑓s 𝑡
s 𝑓 s 𝑡
Dominio del Tiempo
Dominio del Tiempo
Dominio de la frecuencia
Dominio de la frecuencia
Tran
sfo
rmad
a d
e
Fou
rier
(TF
)
Tran
sfo
rmad
a In
vers
ad
e F
ou
rier
(TI
F)
Relación entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier
s 𝑓 = TF 𝑠(𝑡) = න−∞
+∞
𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡
La transformada de Fourier de una señal s(t):
𝑠 𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑛𝑡
La serie de Fourier de una señal s(t):
𝑐𝑛 =1
𝑇න0
𝑇
𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑛𝑡𝑑𝑡
s 𝑡 = TIF 𝑠(𝑓) =1
2𝜋න−∞
+∞
𝑠 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓
La transformada inversa de Fourier de una señal s(t):
Ondas discretas
Periodo de muestreo Espacio entre una muestra y otra 𝐹𝑠 =1
𝑇𝑠Frecuencia de muestreo
𝑠 𝑡 𝑥 𝑛 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ ℤ𝑡 = 𝑛𝑇𝑠
𝑠 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡)
𝑁 = 8
𝑁 = 16 𝑁 = 32
𝑁 = 64 𝑁 = 128
𝑇𝑠
El mundo continuo y discreto
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
ℱ 𝑠(𝑡) = න−∞
+∞
𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑥 𝑘 = ℱ 𝑥 𝑛 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑥 𝑛 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑁
∗𝑛
Señal continua Señal discreta
Transformada de “N” puntos
ℱ{s 𝑓 } =1
2𝜋න−∞
+∞
𝑠 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓 𝑥 𝑛 = ℱ 𝑥 𝑘 =1
𝑛∗
𝑘=0
𝑁−1
𝑥 𝑘 𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑁 ∗𝑛
Transformada de Fourier (FT)
Transformada Discreta Inversa de Fourier (DIFT)Transformada Inversa de Fourier (IFT)
Mundo de señales continuas Mundo de señales discretas: Usado en los sistemas digitales
Transformada discreta de Fourier (DFT)
ℱ 𝑥(𝑛) = 𝑥(𝑘) =
𝑛=0
𝑁−1
𝑥(𝑛)𝑤𝑘𝑛𝑤 = 𝑒
−𝑗2𝜋𝑁
Tiene un alto “costo computacional”: No resulta aplicable para sistemas de telecomunicaciones en tiempo real
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑁2𝑆𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑘: 𝐷𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑘 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑘 = 𝑁 − 1
𝑥 𝑘 = 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑥 𝑘 = ℱ 𝑥 𝑛 =
𝑛=0
𝑁−1
𝑥 𝑛 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑁
∗𝑛
𝑥 𝑛 = 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑁 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠(𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 2: 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗. , 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝑒𝑛 4𝐺/5𝐺) 𝑛 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐷𝐹𝑇 = 40962 = 16,777,216
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐹𝐹𝑇 = 4096 ∗ 𝑙𝑜𝑔2(4096) = 49,152
Transformada rápida de Fourier (FFT) - 1965
John Wilder Tukey
1915-2000
James William Cooley
1926-2016
Paper disponible en: https://www.ams.org/journals/mcom/1965-19-090/S0025-5718-1965-0178586-1/S0025-5718-1965-0178586-1.pdfAprende más sobre John Tukey: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tukey/Aprende más sobre James Cooley: https://history.computer.org/pioneers/cooley.html
Inventó el término bit en 1947 (Bell)
Algoritmo utilizado para comunicaciones en tiempo real
Ejemplo 01: FFT e IFFT
Ejemplo 02: Limpieza de señal en un sistema de TX digital
Señal de entrada
Ruido
+ FFT Filtrado IFFT
Resultado: Señal de salida
Mundo del tiempo
“Mundo de la frecuencia”
Mundo del tiempo
Ejemplo 02 (Parte 01): Generar una señal en tiempo discreto
Se obtiene la gráfica en el tiempo (discreto):
Ejemplo 02 (Parte 02): Cálculo de la FFT
50𝐻𝑧
100𝐻𝑧
200𝐻𝑧
Se obtiene la gráfica en frecuencia
Ejemplo 02 (Parte 03): Recuperación de la señal con la IFFT
Formación de las subportadoras OFDM
න0
𝑇
𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 𝑑𝑡 = 02 funciones son ORTOGONALES en un intervalo [0, T] si:
0 T
Co
nve
rso
r d
e Se
rie
a P
aral
elo
𝐴1𝑒𝑗2𝜋𝑓1𝑡
𝐴2𝑒𝑗2𝜋𝑓2𝑡
𝐴𝑁𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑁𝑡
+Flujo de bits
𝑥(𝑛) =
𝑘=0
𝑁−1
𝑥(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑁
∗𝑛
𝑥(𝑛) =
𝑘=0
𝑁−1
𝑥(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑘∗𝑛
IFFT
“i”-ésima señal OFDM
X
Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia
“i”-ésima señal OFDM
Información del Símbolo
Tiempo de Símbolo
Fuente: Adaptado de “Introduction to LTE”, Qualcomm.
Permite ahorro de Hardware Revisar una patente relacionada: https://patentimages.storage.googleapis.com/05/a3/f0/7688767a3d24d0/US20080205351A1.pdf
𝑓 → 12 𝑠𝑢𝑏𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 15 𝑘𝐻𝑧 = 180 𝑘𝐻𝑧
t →
7 s
ímb
olo
sO
FDM
= 0
.5 m
s
𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝒔í𝒎
𝒃𝒐𝒍𝒐
=𝑇 𝑠 0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
Conversor de Serie a Paralelo
Bits de ingreso
𝑇 𝑠Toda la matriz FxT: 12 SC*7Ts = 1 Bloque de Recurso (PRB)
Elaboración Ing. Javier More.
Si el tiempo de la ventana (Ts) disminuye, se requiere incrementar el ancho de banda de la subportadoraA
t𝒕𝟏 𝒕𝟐
−𝒅
𝟐𝒅
𝟐𝒅 = 𝑻𝒔
s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜋𝑓𝑑) s 𝑓 = 𝑇𝑠 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜋𝑓𝑇𝑠)𝑠𝑖 𝐴 = 1 𝑦 𝑑 = 𝑇𝑠
Regla: A menor tiempo de símbolo (Ts), se requiere mayor ancho de banda de la subportadora
𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 = 1/𝑇𝑠
Esquema simplificado de la etapa de TX OFDM
Datos binarios (tren de bits)
Mapper_1
Mapper_N
Mapper_2
Mapper_N-1
DAC
Tran
sfo
rmad
a R
ápid
a In
vers
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e Fo
uri
er
IFFT
(N P
un
tos)
…110000100100100
100100
000100
000000
100111
Si por ejemplo, se trabaja con 64-QAM: 6 bits por
símbolo.
Señal digital
Señal analógica
Por ejemplo: 2100 MHz
CPRI
𝐴1𝑒𝑗𝜃1
𝑓𝑁 = 𝑓1 + 𝑁 ∗ ∆𝑓
FH
Fuente: Elaboración Ing. Javier More usando información de [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13] y [14]
Constellation Mapper
Señal RF𝐴2𝑒
𝑗𝜃2
𝐴𝑁−1𝑒𝑗𝜃𝑁−1
𝐴𝑁𝑒𝑗𝜃𝑁
Etapa de RF
Co
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Par
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lo
IQ stream
𝑓𝑐
𝐸𝑛 4𝐺: ∆𝑓 = 15𝑘𝐻𝑧
𝑓1
𝑓𝑁
𝑓2
𝑓𝑁−1
BB Discreta
ℱ 𝑥(𝑘) = 𝑥(𝑛) =
𝑘=0
𝑁−1
𝑥(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑁
∗𝑛
A
RRU
ANT
Co
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a Se
rie
N Subportadoras: En 20 MHz, hay 1200 subportadoras
Fuente: Elaboración Ing. Javier More usando información de [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13] y [14]
Ejemplo de señal LTE y 5G en el analizador de espectro de Matlab
LTE @ BW = 20 MHz 5G @ BW = 100 MHz
Bibliografía[1] O’Neil, Peter. “Matemáticas avanzadas para Ingeniería”.https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/191346/tema2.transf_fourier_v29may2009-2742.pdf
[2] Bonafonte, Antonio. “Señales y Sistemas I. Transformada de Fourier.”https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/191346/tema2.transf_fourier_v29may2009-2742.pdf
[3] Trinidad, Flor. “Transformada de Fourier y su aplicación en procesamiento digital de imágenes”:https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/FlorAngelicaTrinidadTorres.pdf
[4] De la Fraga, Luis Gerardo. “La Transformada Discreta de Fourier y la Transformada Rápida de Fourier”.http://cs.cinvestav.mx/~fraga/Cursos/PDI/tdf.pdf
[5] Carlson. “COMMUNICATION SYSTEMS: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication”
[6] Delmade, Amol. “Performance Analysis of Analog IF over Fiber Fronthaul link with 4G & 5G Co-existence”https://www.researchgate.net/publication/323226935_Performance_Analysis_of_Analog_IF_Over_Fiber_Fronthaul_Link_With_4G_and_5G_Coexistence
[7] M.Gopu. “Multicarrier modulation with OFDM for 4G networks”http://www.ijsrp.org/research_paper_jun2012/ijsrp-June-2012-72.pdf
[8] S. B. Weinstein. “The history of orthogonal frequency-division multiplexing [History of Communications]”https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=5307460
[9] Xie, Jiamin. “A constant envelope variation of OFDM waveform”https://www.researchgate.net/publication/321576662_A_constant_envelope_variation_of_OFDM_waveform
[10] Makni, Mariem. “Heterogeneous Multi-Core Architecture for a 4G Communication in High-Speed Railway”https://www.researchgate.net/publication/287996248_Heterogeneous_Multi-Core_Architecture_for_a_4G_Communication_in_High-Speed_Railway
[11] Rohde-Schwarz. “CPRI RE Testing-Application Note”https://cdn.rohde-schwarz.com/pws/dl_downloads/dl_application/application_notes/1gp78/1GP78_1E_CPRI_RE_Testing.pdf.
[12] MIT. “Principals of Digital Communications”https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-450-principles-of-digital-communications-i-fall-2006/lecture-notes/
[13] CPRI. “Common Public Radio Interface”http://www.cpri.info/downloads/eCPRI_Presentation_for_CPRI_Server_2018_06_22.pdf
[14] Equicom. “Understanding the Basics of CPRI Fronthaul Technology”http://www.equicom.hu/wp-content/uploads/EXFO_anote310_Understanding-Basics-CPRI-Fronthaul-Technology_en.pdf