Análisis de error en estado estacionario -...
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ERROR DE ESTADO
ESTACIONARIO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA
CÁTEDRA: CONTROL I
(Bioingeniería e Ingeniería Electrónica)
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Error de estado estacionario
Los errores en un sistema de control pueden ser efecto de diversas
causas:
Los cambios en la entrada de referencia provocan errores
inevitables durante los períodos transitorios y también pueden
producir errores en estado estable.
Las imperfecciones en los componentes del sistema (fricción
estática, juego o bamboleo, deriva térmica, envejecimiento o
deterioro)
Estudiaremos el Error de Estado Estacionario (Ess), provocado por
la incapacidad del Sistema de seguir ciertos tipos de Entradas.
Por ejemplo: un sistema puede no tener un Ess para una entrada escalón,
pero exhibir un Ess distinto de cero ante una entrada rampa.
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Error de estado estacionario
En general, los errores en estado estable de sistemas de control
lineales, dependen de la SEÑAL DE REFERENCIA y del TIPO DEL
SISTEMA.
SEÑAL DE REFERENCIA
Impulso
Escalón
Rampa
Parábola
TIPO DE SISTEMA
(Sist. con Realimentación Unitaria)
FTLA
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Error de estado estacionario
Señal de
Referencia
Nombre Interpretación física Función Transformada
de Laplace
Escalón Posición constante f(t)=1 F(s)=1/s
Rampa Velocidad f(t)=t F(s)=1/s2
Parábola Aceleración f(t)= 1/2* t2 F(s)=1/s3
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Error de estado estacionario
TIPO DE SISTEMA: Es la cantidad de integradores puros o polos en el origen que posee la Función
de Transferencia del Trayecto Directo G(s). Se define para sistemas de
Realimentación Unitaria.
Para identificar el tipo de sistema la FTLA debe estar factorizada, en función de
sus ceros y polos.
n cantidad de integradores puros del sistema
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Error de estado estacionario
Si n=0, el sistema se denomina Tipo Cero,
Si n=1, el sistema se denomina Tipo Uno, y así sucesivamente.
Comentarios:
1. El Tipo de Sistema me indica el orden de la señal de referencia que el sistema
puede seguir con error nulo en régimen estacionario.
2. Esta clasificación es diferente e independiente a la del orden del sistema.
3. Al aumentar el tipo, disminuye el error en estado estable pero empeora la
estabilidad relativa.
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Error de estado estacionario
Sistema de lazo cerrado
Error Verdadero= Unidades: ºC; rad/seg; m/s
Error Actuante = Unidades: Volts
Si el sistema tiene realimentación unitaria H(S) = 1, o bien H(S) ≠ 1, pero la ganancia
estática de realimentación KH = 1 (KH=limS→0 H(S)=1); G1(s)=1, SR(s)=R(s) y
B(s)=C(s), luego
Error Verdadero= Error Actuante
)(sG+ -
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)(sB
)(1 sG)(sSR
)s(C)s(SR
)()( sBsR
)()( sBsR
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Error en estado estacionario
Ess en el dominio temporal:
Ess en el dominio de Laplace:
+ -
B(s)=C(s)
E(s) C(s) Sr(S)=R(s) G(s)
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Error en estado estacionario
Utilizando el Teorema del Valor Final podemos hallar el valor del Ess:
Empleando estas expresiones calcularemos el Ess para distintos tipos
de sistema aplicando diferentes Señales de Referencia.
Entrada Impulso: Se puede probar que para esta entrada el Ess es
cero para cualquier tipo de sistema.
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Error de estado estacionario
Entrada Escalón: r(t)=1 → R(s)=1/s
a) Sistema Tipo cero:
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Error en estado estacionario
b) Sistema Tipo uno:
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Error en estado estacionario
c) Sistema Tipo dos:
Un sistema tipo uno o más puede seguir una
entrada escalón con error cero.
𝐸𝑠𝑠 =1
1 +∞= 0
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Entrada Rampa: r(t)=t → R(s)=1/s2
a) Sistema Tipo cero:
Error en estado estacionario
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b) Sistema Tipo uno:
Error en estado estacionario
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c) Sistema Tipo dos:
Error en estado estacionario
Un sistema tipo dos o más puede seguir una
entrada rampa con error cero.
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Error en estado estacionario
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Error en estado estacionario
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Error en estado estacionario
Ejemplo:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
plit
ude
Ess(escalón)=0 Ess(rampa)=1/kv=0,14
¿Tipo del sistema?
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Error en estado estacionario
Sistemas con Perturbaciones de tipo escalón
El Error en Estado Estable de la respuesta total del sistema se calcula
como la suma del error de la respuesta a la entrada de referencia y el error
debido a la entrada de perturbación:
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Expresión del Error para
una perturbación, anulando
la entrada de referencia.
Error debido a la perturbación
Error en estado estacionario
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Aplicando el Principio de Superposición y modificando el diagrama de bloques se tiene:
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Error en estado estacionario
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Error en estado estacionario
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Respuesta del sistema sin controlador
Time [s]
Volts [
V]
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Respuesta del sistema con controlador proporcional
Time [s]
Volts [
V] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Respuesta con controlador Proporcional-Integral
Time [s]
Volts [
V]
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Error en estado estacionario
Error en sistemas con realimentación No Unitaria - Error Verdadero
- Error Actuante
2 métodos para calcular Error Verdadero
G equivalente
Usando coeficientes de FTLC
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Cálculo del Error Verdadero mediante el método de G equivalente:
Error en estado estacionario
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A partir de este sistema equivalente aplicamos todos los conceptos
vistos para el cálculo del error en sistemas con realimentación unitaria
(tipo de sistema, entrada de referencia, coeficientes de error, etc.)
Considerar como error del sistema al “error verdadero” significa
tomar como salida verdadera del sistema la Variable Controlada C(s) y
compararla con la Señal de Referencia SR(s).
Error en estado estacionario
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Error en estado estacionario
Cálculo del Error Verdadero mediante coeficientes de la FTLC
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Error en estado estacionario
Error Actuante:
Se puede calcular en la misma unidad que sale del comparador (volts)
o bien en las unidades de la Señal de Referencia.
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Error en estado estacionario
Error Actuante en unidades de la Señal de Referencia:
Considerar como error del sistema al “error actuante” significa
tomar como salida a la medición de la variable controlada verdadera
B(s) y compararla con la Señal de Referencia SR(s).
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Resolución ejemplo 1:
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