Anjolina Grisi de Oliveira obs: muitos slides foram cedidos por Adolfo Almeida Duran (UFBA) 2005.
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Anjolina Grisi de Oliveiraobs: muitos slides foram cedidos por
Adolfo Almeida Duran (UFBA)
2005
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 2
• Determine se os seguintes grafos são bipartidos
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 3
Grafo bipartido?
v1
v2v4
v3
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Determine se os seguintes grafos são bipartidos
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 5
Grafo cíclico (ou simplesmente Ciclo)Um grafo conectado que é regular de grau 2 é um grafo cíclico (= ciclo)
Cn é um grafo cíclico com n vértices
Outros tipos de grafos
C6
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 6
Grafo rodaO grafo obtido a partir de Cn-1 através da ligação de cada vértice a um novo vértice v é um grafo roda em n vértices, Wn
C5 W6
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 7
Grafos n-cúbicos
Os grafos n-cúbicos, denotados por Qn, são grafos cujos vértices representam as 2n cadeias de bits de tamanho n.
Dois vértices são adjacentes se e somente se as cadeias de bits que eles representam diferem em exatamente uma posição de bit.
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Grafos Orientados ou Dígrafos
Um dígrafo G(V,A) é um conjunto finito não vazio V de vértices, e um conjunto A de pares ordenados de elementos de V. Chamamos o conjunto A de arcos (também podemos chamar de arestas).
Multigrafo Orientado G(V,A)
Consiste de um conjunto V não vazio de vértices, um conj. A de arestas e uma função f de A em {(u,v) | u,vV}.As arestas e1 e e2 são múltiplas se f(e1) = f(e2).
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 9
Revisando
Tipo Arestas Múltiplas? Laços?
-------------------------------------------------------------------
Simples não dir. Não Não
Multigrafo não dir. Sim Não
Pseudografo não dir, Sim Sim
Direcionado dir. Não Sim
Multigrafo dir. dir. Sim Sim
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 10
• Os vértices de um dígrafo possuem:
– Grau de entrada: número de arcos que chegam no vértice (grauent(v))
– Grau de saída: número de arcos que partem do vértice (grausai(v))
Proposição
grauent(vi) = grausai(vi) = | A |
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Embora seja conveniente a representação de grafos através de
diagramas de pontos ligados por linhas, tal representação é
inadequada se desejamos armazenar grandes grafos em um computador
Representação de grafos
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Lista de adjacência
Uma maneira simples de armazenar grafos, é listando os vértices adjacentes a cada vértice do grafo
u: v,yv: u,y,ww: v,x,yx: w,yy: u,v,w,x
u
y v
x w
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Lista de adjacência em grafos direcionados
Tabela com vértices iniciais e finais (terminais)
Inic. Terminaisu: u,vv: w: vx: y,wy:
y
x
wv
u
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Matriz de adjacência
Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n}, sua matriz de adjacência é a matriz n X n cujo elemento ij é o número de arestas ligando o vértice i ao vértice j
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Matriz de adjacência
Se G é um grafo direcionado com vértices {1,2,3,...,n}, sua matriz de adjacência é a matriz n X n cujo elemento ij é o 1 se existe uma arestas onde vi é o vértice inicial e vj é o vértice final.Já estudamos esse tipo de matriz na representação de relações. Se G é um multigrafo direcionado com vértices {1,2,3,...,n}, sua matriz de adjacência é a matriz n X n cujo elemento ij é o número de arestas onde vi é o vértice inicial e vj é o vértice final.A matriz de adjacência para grafos com direção não é necessariamente simétrica.
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Matriz de incidência
Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n} e arestas {1,2,3,...,m}, sua matriz de incidência é a matriz n X m cujo elemento ij é igual a
– 1 se a aresta ej é incidente ao vértice vi, ou– 0, caso contrário
Arestas múltiplas são representadas usando colunas com entradas idênticas.
Laços são representados usando colunas com extamente uma entrada igual a 1.
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Caminho em um grafo não orientado– Um caminho de tamanho n de u para v, onde n é um
inteiro positivo, em um grafo não orientado é uma seqüência de arestas e1,...,en do grafo de forma que f(e1) = {x0,x1}, f(e2) = {x1,x2}...f(en)={xn-1,xn}, onde x0=u e xn=v.
G1
Conectividade
Se o grafo é simples, denotamos o caminho por sua seqüência de vértices: x0, x1 ,...xn
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• Caminho em um multigrafo direcionado– Um caminho de tamanho n de u para v, onde n é um
inteiro positivo, em um multigrafo direcionado é uma seqüência de arestas e1,...,en do grafo de forma que f(e1) =(x0,x1), f(e2) = (x1,x2)...f(en)=(xn-1,xn), onde x0=u e xn=v.
Quando não existem arestas múltiplas, o caminho pode se denotado por um seqüência de vértices: (x2, x5, x4, x1)
Conectividade
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Circuito ou ciclo
– Um caminho é um circuito se ele começa e termina no mesmo vértice.
G1
Conectividade
Circuito: x1,x2,x5,x4,x1
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Exemplos de ciclos
1 2
3 4
1 2
3 4
Ciclo de tamanho 31 2 4 1
Ciclo de tamanho 31 2 3 1
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• Ciclo (ou circuito)
A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x4, x1)
é um exemplo de ciclo
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Caminho (ou circuito) simples
Um caminho ou circuito é chamado de simples se ele não contem a mesma aresta mais de uma vez.
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Definição para grafos não orientados– Um grafo não orientado é chamado de conexo
(ou conectado) se existe um caminho entre cada par de vértices distintos do grafo.
G1
Conectividade
Em uma rede de computadores, quaisquer dois computadores podem se comunicar se e somente se o grafo da rede é conexo.
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• Grafo desconexo
– O grafo mostrado a seguir não é conexo pois, por exemplo, não existe um caminho entre x3 e x5.
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• Componente conexa
– Um grafo G(V,A) desconexo é formado por pelo menos dois subgrafos conexos, disjuntos em relação aos vértices
– Cada um destes subgrafos conexos é dito ser uma componente conexa de G.
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Vértice de corte (ou pontos de articulação)Um vértice é dito ser um vértice de corte se sua remoção (juntamente com as arestas a ele conectadas) produz um grafo com mais componentes conexos. (se o grafo original é conexo, ele se torna desconexo).
X2 é um vértice de corte
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PonteUma aresta é dita ser uma ponte se sua remoção produz um grafo com mais componentes conexos.
(X1,X4) é uma ponte
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• Grafo fortemente conexo– No caso de grafos orientados (digrafos), um grafo é dito ser fortemente
conexo se existe um caminho de a para b e de b para a, para cada par a,b de vértices do grafo.
– ou seja, se cada par de vértices participa de um circuito. – Isto significa que cada vértice pode ser alcançável partindo-se de
qualquer outro vértice do grafo.
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•Grafo fracamente conexoUm grafo direcionado G(V,A) é chamado de fracamente conexo se existe um caminho entre cada par de vértices no grafo não orientado subjacente.
Cada um destes subgrafos é fortemente conexo. No entanto, o grafo todo é apenas fracamente conexo.
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Um circuito euleriano em um grafo G é um circuito simples que contem cada aresta de G.
Circuito Euleriano
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Teorema (Euler 1736)Um multigrafo conectado G possui um circuito euleriano se e somente se o grau de cada vértice de G é par.
Prova:
Ida: Seja G um grafo euleriano. Por cada ocorrência de vértice do circuito euleriano, existe uma aresta que chega nesse vértice e outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do circuito, isto é, nenhuma aresta fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 32
Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja vi um vértice do grafo. Tentemos, a partir
de vi, construir um caminho que não passa duas vezes
pela mesma aresta, e até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice vi onde o caminho vai
terminar. Se esse caminho, que chamaremos C1,
contém todas as arestas de G, temos um ciclo euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de C1. No grafo resultante G', todos os
vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de C1, senão o grafo não seria
conexo.
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 33
Volta (cont.): Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C1,
obtendo assim um novo circuito C2. A figura abaixo
mostra que dois circuitos que têm um vértice em comum podem formar um circuito único: chegando no vértice comum em um dos dois circuitos, continuamos o percurso no outro circuito. Continuando esse processo, necessariamente obteremos um circuito único que contém todas as arestas de G.
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Algoritmo de HierholzerAlgoritmo para a construção de um ciclo euleriano
sugerido a partir da prova do teorema de Euler
Comece em qualquer vértice u e percorra aleatoriamente as arestas ainda não visitadas a cada vértice visitado até fechar um ciclo
Se sobrarem arestas não visitadas, recomece a partir de um vértice do ciclo já formado
Se não existem mais arestas não visitadas, construa o ciclo euleriano a partir dos ciclos formados, unindo-os a partir de um vértice comum
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Algoritmo de HierholzerAlgoritmo para a construção de um ciclo euleriano
sugerido a partir da prova do teorema de Euler
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• As pontes de Königsberg
É possível sair de uma das ilhas, passar uma única vez por cada uma das pontes e retornar ao ponto de origem ?
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 37
• As pontes de Königsberg
Como nem todos os vértices têm grau par, o grafo não é euleriano. Logo, é impossível atravessar todas as pontes uma só vez e voltar ao lugar de partida
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Algoritmo de FleuryAlgoritmo para a construção de um ciclo euleriano
em um grafo euleriano
Comece em qualquer vértice u e percorra as arestas de forma aleatória, seguindo sempre as seguintes regras:
I – apague as arestas depois de passar por elasII – se aparecer algum vértice isolado, apague-o tambémIII – passe por uma ponte somente se não houver outra alternativa
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 39
Algoritmo de FleuryAlgoritmo para a construção de um ciclo euleriano
em um grafo euleriano
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Um caminho (ou circuito) em um grafo G(V,E) é dito ser hamiltoniano se ele passa exatamente uma vez em cada um dos vértices de G
Caminhos, circuitos Hamiltonianos
Apenas caminho hamiltoniano
Caminho e circuito hamiltoniano
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Mais exemplos
Circuito e caminho caminho não hamiltoniano
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 42
Grafo hamiltoniano
Não existe uma caracterização para identificar grafos hamiltonianos como existe para os eulerianos
A busca de tal caracterização é um dos maiores problemas ainda não solucionados da teoria dos grafos
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Grafo hamiltoniano
Muito pouco é conhecido dos grafos hamiltonianos
A maioria dos teoremas existentes são da forma: “Se G possui arestas suficientes, então G é hamiltoniano”
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Circuito hamiltoniano em grafos completos
Todo grafo completo, que contém mais de 2 vértices contem um circuito hamiltoniano
Seja v1,v2,...,vn os vértices de G. Como existe uma aresta entre qualquer par de vértices, é possivel, a partir de v1 percorrer essa sequência até vn e voltar para v1
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Teorema (Dirac 1952)Uma condição suficiente, mas não necessária,
para que um grafo conexo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que o
grau de todo vértice de g seja n/2
O grafo abaixo, possui um circuito hamiltoniano mas não respeita a condição do teorema de Dirac
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Teorema (Ore 1960)Uma condição suficiente, mas não necessária, para que um grafo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que a soma dos graus de cada par de vértices não adjacentes seja no mínimo n.
Permite identificar mais grafos com circuitos hamiltonianos que o anterior, mas demora muito para efetuar os
cálculos. Uma busca por tentativa e erro pode ser mais eficiente em alguns casos
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O adjetivo "hamiltoniano" deve-se ao matemático irlandês Sir William Rowan Hamilton (1805-1865). Diz-se que ele inventou um jogo que envolve um dodecaedro (sólido regular com 20 vértices, 30 arestas e 12 faces). Hamilton rotulou cada vértice do dodecaedro com o nome de uma cidade conhecida. O objetivo do jogo era que o jogador viajasse "ao redor do mundo" ao determinar uma viagem circular que incluísse todas as cidades exatamente uma vez, com a restrição de que só fosse possível viajar de uma cidade a outra se existisse uma aresta entre os vértices correspondentes.
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 48
A figura abaixo mostra um grafo que representa este problema, ou seja os vértices e arestas de um dodecaedro.
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 49
Como explorar um grafo
Como obter um processo sistemático para caminhar pelos vértices e arestas de um grafo?
Como caminhar no grafo de modo a visitar todos os vértices e arestas evitando repetições desnecessárias de visitas a um mesmo vértice ou aresta?
Que recursos adicionais são necessários?
Alguns Problemas
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 50
Como explorar um grafoNecessidade de ‘’marcar’’ quando um vértice e uma aresta já foram visitados ou não
Busca Geral G(V,E)1. Escolher e marcar um vértice inicial;2. Enquanto existir algum vértice v marcado e incidente a uma aresta (v,w), não explorada, efetuar: a) escolher o vértice v; b) explorar a aresta (v,w). Se w não é marcado então marcar w.
Algoritmo Geral
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O problema do Caminho mais curto
Um motorista deseja encontrar o caminho, mais curto possível, entre duas cidades do Brasil
Caso ele receba um mapa das estradas de rodagem do Brasil, no qual a distância entre cada par adjacente de cidades está exposta, como poderíamos determinar uma rota mais curta entre as cidades desejadas?
Uma maneira possível é enumerar todas as rotas possíveis que levam de uma cidade à outra, e então selecionar a menor.
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 52
O problema do menor caminho consiste em determinar um menor caminho entre um vértice de origem s V e todos os vértices v de V.
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O problema do Caminho mais curtoUma maneira mais eficiente:
Percorra o grafo, partindo do vértice de origem s, associando a cada vértice um número l(v) indicando a menor distância entre s e v.
Isso significa que quando chegamos ao vértice v, na figura abaixo, l(v) será min ( l(u)+6 , l(x)+4 )
6
5
u
3s
6
2 7
v
x y
4123
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 54
6
5
u
3
s
6
2 7
v
x y
412
3
0
5
3
11
9
Grafos com pesos: - Cada aresta possui um número associado (peso) - O tamanho do caminho é a soma dos pesos das arestas do caminho
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 55
Como obter um caminho mínimo partindo de s para y?
6
5
u
3
s
6
2 7
v
x y
412
3
0
5
3
11
9
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 56
Outra possibilidade:
6
5
u
3
s
6
2 7
v
x y
412
3
0
5
3
11
9
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 57
O algoritmo de Dijkstra
O algoritmo de Dijkstra aqui descrito identifica o menor caminho entre dois vértices de um grafo não orientado.
Se desejamos calcular o menor caminho de a para z em um grafo conexo simples com pesos, primeiro encontramos um menor caminho entre a e um primeiro vértice, depois entre a e um segundo vértice, esse procedimento é repetido até que seja encontrado um menor caminho entre a e z.
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 58
O algoritmo de Dijkstra
Um conjunto S de vértices é construído inserindo-se um vértice a cada iteração.
A cada iteração também é adotado um procedimento para rotular vértices: um vértice w é rotulado com o tamanho do menor caminho de a até ele, e que contem somente vértices do conjunto S.
O vértice a ser inserido em S é aquele com o menor rótulo.
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 59
O algoritmo de Dijkstra
O algoritmo começa rotulando a com 0 e os demais vértices com . Usamos a notação L0(a)=0 e L0(v)= . (na iteração 0).
A notação Sk é usada para denotar o conjunto S após a iteração k. Começamos com S0=. O conjunto Sk é formado a partir de Sk-1 adicionado-se um vértice u que não está em Sk-1 e possui o menor rótulo.
Após a inclusão de u em Sk, atualizamos os rótulos de todos os vértices que não estão nesse conjunto da seguinte maneira: L k(v) é o tamanho do menor caminho de a até v que contem apenas os vértices de Sk.
.
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 60
O algoritmo de Dijkstra
Seja v um vértice que não está em Sk. Para atualizar o rótulo de v, observe que Lk(v) é o tamanho do menor caminho de a para v e que contém apenas os vértices que estão em Sk..
Esse caminho ou é o menor caminho que contem apenas os elementos de Sk-1 (sem a inclusão de u) ou éo menor caminho de a até u no passo k-1 com adição da aresta (u,v).
Lk(v) = min(Lk-1(v),Lk-1(u)+ peso(u,v))
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 61
O algoritmo de Dijkstraprocedimento Dijkstra
Para i := 1 até n:L(v)= .
L(a) = 0 S=Enquanto z S
u := Elemento que S e L(u) é mínimo S := S {u} Para cada vértice v S :
Se L(u) + peso(u,v) < L(v) entãoL(v) = L(u) + peso(u,v)
(observe que L(v) = min(L(v),L(u)+ peso[u,v]) Retornar L(z)
Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 62
Exemplo: Menor caminho de A até D0: L(A)=0 e todos os outro é ; S=;1: S={A}; L(B)=4; L(F)=2;2: S={A,F}; L(B)=3; L(C)=10; L(E)=12;3: S={A,F,B}; L(C)=8; 4: S={A,F,B,C}; L(D)=14; L(E)=10;5: S={A,F,B,C,E}; L(D)=13;6: S={A,F,B,C,E,D}
A
F
B C
D
E
1 8 2
54
10
2
6
3