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Ângulos
Dimas Crescencio
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Arcos e Ângulos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
Recordando alguns conceitos...
A
B
O
A B
Oarco AB
• arco geométrico: é uma das partes da
circunferência delimitada por dois pontos. Se
os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo
ou arco de uma volta.
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Arcos e Ângulos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3
• arco e ângulo central: todo arco de
circunferência tem um ângulo central que o
subtende.
AO
B
CO
D
arco: ABângulo central: AÔB
arco: CD
ângulo central: CÔD
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Arcos e Ângulos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
• comprimento da circunferência de raio r: C= r.2π
• comprimento e medida de arco: a medida de
um arco é a medida do ângulo central que o
subtende, independentemente do raio da
circunferência que contém o arco. Usam-se
geralmente unidades como o grau e o radiano
para medir arcos.• O comprimento do arco é a medida linear do
arco, sendo usadas unidades como “metro”,
“centímetro”, etc.
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Unidades para medir arcos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
• Grau: quando dividimos uma circunferência
em 360 partes congruentes, cada uma dessas
partes é um arco de um grau (1°).Considere o arco AB, que vai de A para B no
sentido anti-horário:
arco: AB de 90°
(um quarto de volta)
arco: AB de 180°
(meia volta)
arco: AB de 270°
(três quartos de volta)
arco AB de 360° ou 0°
(volta inteira ou nulo)
A
B
A BAA B
B
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Conversão de unidades
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
Sabe-se que um ângulo de radianos equivale
a um ângulo de 180°.
π
radianos? 4
3 em temos graus quantos Então,π
radianos? 6
em Eπ
135xx.345
.x4
.3180
x4
3
180
ππ
ππ
ππ
03yy30
.y6
.180
y6
180
ππ
ππ
π
π
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Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
1) Converta em graus:
rad 3
2 c)
rad 4
b)
rad 6
5 a)
π
π
π
2) Converta em radianos:
240 c)
330 b)
300 a)150
45
120
rad 3
5
rad 6
11
rad 3
4
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Medindo arcos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
O método mais prático para se medir arcos é
fazendo uma regra de três simples. Para isso,
algumas informações que já vimos são muito
importantes, vamos enfatizá-las novamente:
• O comprimento C da circunferência de raio r é
dado por:
• 1 rad = 180°
r2C π
π
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rad 8
5 a)
π
Exemplos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
Calcule as medidas dos arcos AB a seguir
dessa circunferência cujo raio mede 5 cm.
30 b)
B
A
B
A
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Resolução
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10
cm8
25
8
cm) (55
8
r5AB
rad8
5
AB
rad 2
r2 a)
πππ
ππ
π
cm6
5
6
rAB
12
r2AB
360
r.302ABr.302AB360
30
AB
360
r2 b)
πππ
ππ
π
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Exercício
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11
Qual seria, em radianos, a medida do ângulo
central correspondente a um arco de
comprimento 15 cm contido numa circunferência
de raio 3 cm?
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Resolução
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12
x
15
rad 2
r2
π
π
O comprimento de uma circunferência de raio r
é dado por .r2π
Um ciclo completo tem a medida
do ângulo central de radianos. 2π
Sabemos que o
arco mede 15 cm.
Acharemos o ângulo x, em
radianos, para esse arco.
rad. 5x3)2
rad (15)2x
(π
π
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Exercício
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13
Qual é o comprimento de um arco
correspondente a um ângulo central de 45°
contido numa circunferência de raio 2 cm?
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Resolução
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14
Sabemos que o comprimento de uma
circunferência de raio r é dado por . Isso,
para um ciclo completo, ou seja, 360°. Como
temos 45°, vamos fazer uma regra de três e
descobrir o valor x desse arco:
r2π
45
x
360
r2π
cm 24
(2)
4
r
8
r2
360
r.452x
πππππ
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Resolução
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15
Poderíamos resolver isso de forma mais
rápida, pois sabemos que 45° representa um
oitavo de volta, então, é só dividir o
comprimento de uma volta por oito para achar
esse arco, sem precisar fazer regra de três.
cm 24
(2)
4
r
8
r2x
ππππ
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Exercício
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16
O ponteiro dos minutos de um relógio de
parede mede 12 cm. Quantos centímetros sua
extremidade percorre durante 25 minutos?
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Resolução
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17
Vamos ilustrar a situação para facilitar o nosso
entendimento:
raio: 12 cm
Faremos a regra de três, já que
sabemos que o ponteiro percorreu
150° (30° a cada 5 minutos).
12
r5.2
360
r.2150x
150
x
360
r2 πππ
cm6
60x
6
(12cm)5.x
ππ
A extremidade do ponteiro percorreu cm. 10
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Exercício
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18
Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no
seu movimento, suas posições extremas
formam um ângulo de 60°. Qual o comprimento
do arco que a extremidade do pêndulo
descreve?
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Resolução
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19
Mais uma vez, vamos ilustrar a situação para
facilitar a compreensão do enunciado:
30° 30°
60°
Pêndulo
Posições extremas do pêndulo
60
x
360
r2π
360
r.260x
π
O comprimento do arco que a extremidade do
pêndulo descreve mede
3
(15)x
6
(15)2 ππ
cm. 5x π
cm. 5π
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Exercício
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20
Ao projetar prédios muito altos, os
engenheiros devem ter em mente o
movimento de oscilação, que é típico de
estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais
alto de um edifício de 400 m descreve um
arco de , qual é a medida do arco descrito
por esse ponto em metros?0,5
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400m
(1/2)º
Resolução
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21
0,5°
400 m
Apesar de ser pequena, a
oscilação de 0,5° forma um arco.
Para acharmos sua medida,
aplicaremos a regra de três:
m. 9
10
36
40
360
(400)x
360
r
360
r.20,5x
0,5
x
360
r2
πππ
πππ
O arco descrito mede metros.9
10π