Angulo Diedro

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Angulo diedro Angulo diedro es el ángulo formado por dos planos que se cortan. El ángulo diedro se mide en un plano perpendicular a la línea de intersección de los dos planos. Ilustración 1 Angulo diedro 

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    Angulo diedro

    Angulo diedro es el ngulo formado por dos planos que se cortan. El ngulo diedro se mide

    en un plano perpendicular a la lnea de interseccin de los dos planos.

    Ilustracin 1 Angulo diedro

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    A.- Con la lnea de interseccin dada

    Anlisis: Una vista que muestre la lnea de. Interseccin de dos planos como un punto,

    tambin mostrar los dos planos como filos. El ngulo entre las dos vistas de filo de los

    planos representa la amplitud real del ngulo diedro.

    Ejemplo: (Ilustracin -2.) Se desea encontrar el ngulo diedro entre los planos ABD y ACD, dada la

    lnea de interseccin de los dos planos. Se dibuja una vista de elevacin auxiliar que muestre la

    lnea de interseccin AD en su longitud verdadera. Luego se dibuja la vista inclinada 2 para mostrar

    la lnea de interseccin como un punto. Esta vista muestra tambin los dos planos dados como filos.

    El ngulo diedro se mide entre las dos vistas de filo. Puesto que la vista inclinada 2 muestra ambos

    planos como filos, una vista adicional proyectada a partir de cada vista de filo mostrar el tamao

    verdadero de cada plano. La vista inclinada 3 muestra el tamao verdadero del plano ACD.

    Ilustracin 2 Angulo diedro con la lnea de interseccin dada

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    B. La lnea de interseccin no es dada

    Anlisis:Si ambos planos pueden verse como filos en una vista, el ngulo diedro puede

    medirse entre las dos vistas de fi1o.

    Ejemplo: En la (Ilustracion-3) se dan los planos ABC y DEF en la vista de planta y en La vista de

    elevacin frontal. Se dibuja na vista de elevacin auxiliar que muestre el plano DEF como un filo.

    El plano ABC tambin se proyecta sobre esta vista. Luego se dibuja una vista inclinada 2 para

    mostrar el tamao verdadero del plano DEF. Cualquier vista que se proyecte a partir de la vista 2

    mostrar el plano DEF corno un filo. Para que el plano ABC aparezca como un filo en la vista

    inclinada 3, una lnea situada en este plano debe aparecer como un punto en esta vista. Para lograr

    esto se traza una lnea desde B hasta Y paralela a la lnea de pliegue 1-2, en la vista 1, de modo que

    la lnea BY

    aparecer en su longitud verdadera en la vista 2. Esta lnea en longitud verdadera en la vista 2

    establece la lnea de mira para la vista inclinada 3, puesto que muestra la lnea BY como un punto

    situado sobre la vista de filo del plano ABC. Cualquiera de los dos ngulos formados por las dos

    vistas de filo puede considerarse el ngulo diedro.

    Ilustracin 3 Angulo diedro cuando la lnea de interseccin no es dada

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    ngulos poliedros

    Un ngulo poliedro es una figura geomtrica formada por infinitos rayos que tienen el

    origen comn y contienen a los puntos de un polgono que est en un plano que no contiene

    ha dicho origen.

    Ilustracin 4 Angulo poliedro

    Vrtice: Es el origen comn O

    Aristas: Son los rayos que pasan por los vrtices del polgono: OA, OB, OC,

    Caras: Son las regiones angulares formadas por dos aristas consecutivas: a, b, c, d,

    Diedros: Son los ngulos diedros formados por dos caras consecutivas: x, y, z, w

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    CLASIFICACIN

    Los ngulos poliedros se clasifican de acuerdo a su nmero de caras de la siguiente manera:

    NGULO TRIEDRO : Si tiene 3 caras

    NGULO TETRAEDRO : Si tiene 4 caras

    NGULO PENTAEDRO : Si tiene 5 caras

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    NGULO TRIEDRO

    Es aquel ngulo poliedro que tiene 3 caras.

    Vrtice: O

    Aristas:

    Caras: a, b, c D

    Diedros: x, y, z

    PROPIEDADES

    1. En todo ngulo triedro se cumple que la suma de lastres caras es mayor que 0 y menor

    que 360

    2. En todo ngulo triedro se cumple que una cara es menor que la suma y mayor que la

    diferencia de las otras dos.

    3. En todo ngulo triedro se cumple que la suma de los tres diedros es mayor que 180y

    menor que 540.

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    4. En todo ngulo triedro se cumple que a caras iguales se oponen diedros iguales.

    CLASIFICACIN DE NGULOS TRIEDROS

    1. Triedro escaleno: 2. Triedro issceles: 3. Triedro equiltero: 4. Triedro uni-rectngulo:

    5. Triedro bi-rectngulo: 6. Triedro tri-rectngulo:

    CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS

    Los poliedros se clasifican de acuerdo al nmero de caras, de la siguiente manera:

    POLIEDRO N DE CARAS

    Pentaedro 5

    Hexaedro 6

    Heptaedro 7

    Octaedro 8

    Nonaedro 9

    Decaedro 10

    Endecaedro 11

    Dodecaedro 12

    Pentaedro 15

    Icosaedro 20

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    PROPIEDADES

    1. TEOREMA DE EULER:

    En todo poliedro se cumple que la suma entre los nmeros de vrtices y caras es igual al

    nmero de aristas aumentado en dos:

    Donde:

    V = Numero de vrtices

    C = Numero de caras

    A = Numero de aristas

    2. En todo polgono se cumple que la suma de las medidas de los ngulos internos de todas

    las caras es igual a 360 multiplicado por el nmero de vrtices menos dos:

    Donde:

    3. El nmero de diagonales de un poliedro se determina mediante la siguiente formula

    Donde:

    V = Numero de vrtices

    A = Numero de aristas

    D.C = Numero de diagonales de todas las caras

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    PRISMA RECTO

    Las caras laterales de un prisma recto son rectngulos o cuadrados.

    La altura de un prisma recto coincide con su arista lateral.

    ALTURA de un prisma es la distancia entre las bases, en el caso del prisma recto coincide

    con la arista de las caras

    El rea de un prisma es la suma de las reas de todas las caras laterales; como las caras

    laterales son paralelogramos sus reas su calcularan como Base x Altur a; ms las

    bases, es decir:

    Area (ABCD) + Area (BFGH) + Area (AHGD) + Area (ABEH) + Area (CFGD) = Area

    Total

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    Los volmenes de los prismas rectos se calcularn siempre de la misma forma:

    Calcularemos el rea basal y lo multiplicaremos por la Altura, es

    decir

    Frmulas de los ngulos diedros

    El diedro se nombra colocando las letras de los extremos de la arista entre las letras

    que se designan a los semiplanos.

    Notacin:

    ngulo diedro ngulo diedro H FXOY: ngulo plano o rectilneo del ngulo diedro.

    : medida del ngulo diedro.

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    Planos perpendiculares

    Plano bisector de un ngulo diedro

    rea de proyeccin ortogonal de una figura plana sobre un plano dado

    A: rea de la regin plana.

    Ap.: rea de la proyeccin ortogonal de la regin sobre el plano H.

    : medida del ngulo diedro determinado por los planos Q y H.

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    FORMULAS ANGULOS POLIEDROS

    Teorema

    En todo ngulo poliedro la suma de las caras es menor que 360 y mayor que 0.

    Teorema ngulos triedros:

    Cuando dos triedros son suplementarios o polares se cumple que las caras de uno de ellos

    son los suplementos de los diedros del otro triedro, y recprocamente.

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    PROPIEDADES DE LOS ANGULOS TRIEDROS

    PROPIEDAD 1

    En todo triedro una cara es menor que la suma de la otras dos y mayor que la diferencia.

    PROPIEDAD 2

    En todo triedro la suma de las caras es menor que 360 y mayor que 0.

    PROPIEDAD 3

    En todo triedro la suma de los ngulos diedros es mayor que 180 y menor que 540

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    PROPIEDAD 4

    En todo triedro la suma de los dos diedros es menor al tercero aumentando en 180

    FORMULAS DE EL PRISMA RECTO

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    EJERCICIOS

    1. Se ubica un punto exterior a un plano rectangular

    ABCD. PA = a, PB = b, PC = c.

    Demuestre que:

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    Calcula el rea lateral, el rea total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de

    diagonales 12 y 18 cm.

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    Bibliografa