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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Elektrische Schaltungen I• Diese Vorlesung diskutiert die mathematische
Modellierung einfacher elektrischer linearer Schaltungen.
• Die Modellierung führt zunächst immer auf ein System impliziter Algebrodifferentialgleichungen, das dann durch horizontales sowie vertikales Sortieren auf einen Satz expliziter Algebro- differentialgleichungen zurückgeführt werden kann.
• Durch Elimination der algebraischen Variablen kann sodann eine Zustandsraumdarstellung gewonnen werden.
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Inhaltsverzeichnis
• Die Komponenten und ihre Modelle
• Die Netzwerktopologie und ihre Gleichungen
• Ein Beispiel
• Horizontales Sortieren
• Vertikales Sortieren
• Zustandsraumdarstellung
• Umformung in die Zustandsraumdarstellung
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Lineare Netzwerkkomponenten I
• Widerstände
• Kapazitäten
• Induktivitäten
Riva vb
u
Civa vb
u
Liva vb
u
u = va – vb
u = R·i
u = va – vb
i = C· dudt
u = va – vb
u = L· didt
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Lineare Netzwerkkomponenten II
• Spannungsquellen
• Stromquellen
• Erde
U0 = vb – va
U0 = f(t)
I 0I
va vb
u
0 u = vb – va
I0 = f(t)
V0
V0 V0
-V0 = 0
U 0
iva vb
U0
|
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Schaltungstopologie
• Knoten
• Maschen
va = vb = vc
ia + ib + ic = 0va vb
ia ib
ic
vc
va vb
vc
uab
ubcucauab + ubc + uca = 0
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Ein Beispiel I
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für Gleichungssysteme I
• Die Komponenten- und Topologiegleichungen enthalten eine gewisse Redundanz.
• So können z.B. sämtliche Potentialvariablen (vi) ohne weiteres eliminiert werden.
• Die Stromknotengleichung für den Erdknoten ist redundant und wird nicht benötigt.
• Die Maschengleichungen werden nur benötigt, falls die Potentialvariablen eliminiert werden. Andernfalls sind die Maschengleichungen redundant.
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für Gleichungssysteme II
• Falls die Potentialvariablen eliminiert werden, definiert jede Netzwerkkomponente zwei Variablen: den Strom (i) durch das Element und die Spannung (u) über dem Element.
• Somit werden zwei Gleichungen benötigt, um diese Variablen zu ermitteln.
• Eine der Gleichungen ist die konstituierende Gleichung des Elements selbst, die andere stammt von der Topologie.
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Ein Beispiel IIKomponentengleichungen:
U0 = f(t) iC = C· duC/dt
u1 = R1· i1uL = L· diL/dt
u2 = R2· i2
Knotengleichungen:
i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC
Maschengleichungen:
U0 = u1 + uC uL = u1 + u2
uC = u2
Das Netzwerk enthält 5 Komponenten
Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für horizontales Sortieren I• Die Zeit t darf als bekannt angenommen werden.
• Die Zustandsvariablen (Variablen, die in abgeleiteter Form vorkommen) dürfen als bekannt angenommen werden.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für horizontales Sortieren II
• Gleichungen, die nur eine Unbekannte enthalten, müssen nach dieser aufgelöst werden.
• Die so ermittelten Variablen sind nun bekannt.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für horizontales Sortieren III
• Variablen, die nur in einer Gleichung auftreten, müssen aus dieser ermittelt werden.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für horizontales Sortieren IV
• Alle Regeln können rekursiv angewandt werden.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
Der Algorithmus wird fortgesetzt, bis jede Gleichung genau eine Variable definiert, die daraus ermittelt wird.
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für horizontales Sortieren V
• Das horizontale Sortieren kann nun mittels symbolischer Formelmanipulation durchgeführt werden.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
i1 = u1 /R1
i2 = u2 /R2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
i0 = i1 + iL
iC = i1 - i2
u1 = U0 - uC
u2 = uC
uL = u1 + u2
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für vertikales Sortieren
• Die Gleichungen sind unterdessen Zuweisungen. Sie können so sortiert werden, dass keine Variable verwendet wird, bevor sie definiert wurde.
U0 = f(t)
i1 = u1 /R1
i2 = u2 /R2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
i0 = i1 + iL
iC = i1 - i2
u1 = U0 - uC
u2 = uC
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = U0 - uC
i1 = u1 /R1
i0 = i1 + iL
u2 = uC
i2 = u2 /R2
iC = i1 - i2
uL = u1 + u2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Regeln für Gleichungssysteme III
• Alternativ kann sowohl mit den Spannungen wie auch mit den Potentialvariablen gearbeitet werden.
• In diesem Fall müssen zusätzliche Gleichungen für die Knotenpotentiale gefunden werden. Dabei handelt es sich um die Potentialgleichungen der Komponenten sowie um die Potentialgleichungen der Knoten. Diese Gleichungen sind im vorher gezeigten Verfahren ignoriert worden.
• Die Maschengleichungen sind in diesem Falle redundant und können ignoriert werden.
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Ein Beispiel III
v1
v2
v0
Das Netzwerk enthält 5 Komponenten und 3 Knoten.
Wir benötigen 13 Gleichungen in 13 Unbekannten.
Komponentengleichungen:
U0 = f(t) U0 = v1 – v0
u1 = R1· i1 u1 = v1 – v2
u2 = R2· i2 u2 = v2 – v0
iC = C· duC/dt uC = v2 – v0
uL = L· diL/dt uL = v1 – v0
v0 = 0
Knotengleichungen:
i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Sortieren• Das Sortieren geht gleich vor sich wie beim vorherigen
Algorithmus.• Der Sortieralgorithmus ist bereits rein informatisch
abstrakt und hat nichts mehr mit dem elektrischen Schaltkreis zu tun.
• Somit kann die Modellierungsaufgabe in zwei Teil-aufgaben zerlegt werden:
1. Abbildung der physikalischen Topologie auf ein differential- algebraisches Gleichungssystem.
2. Umformung des Gleichungssystems in eine ausführbare Programmstruktur.
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Zustandsraumdarstellung
• Lineare Systeme:
• Nichtlineare Systeme:
dxdt = A · x + B · u
y = C · x + D · u
x(t0) = x0;
dxdt = f(x,u,t)
y = g(x,u,t)
; x(t0) = x0
x n
u m
y p
x = Zustandsvektor
u = Eingangsgrössenvektor
y = Ausgangsgrössenvektor
n = Anzahl Zustandsvariabeln
m = Anzahl Eingangsgrössen
p = Anzahl Ausgangsgrössen
A n n
B n m
C p n
D p m
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Umwandlung in Zustandsform IU0 = f(t)
u1 = U0 - uC
i1 = u1 /R1
i0 = i1 + iL
u2 = uC
i2 = u2 /R2
iC = i1 - i2
uL = u1 + u2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
duC/dt = iC /C
= (i1 - i2 ) /C
= i1 /C - i2 /C
= u1 /(R1 · C) – u2 /(R2 · C)
= (U0 - uC) /(R1 · C) – uC /(R2 · C)
diL/dt = uL /L
= (u1 + u2) /L
= u1 /L + u2 /L
= (U0 - uC) /L + uC /L
= U0 /L
Für jede Gleichung, welche eine Zustandsableitung definiert, sub- stituieren wir die Variabeln auf der rechten Seite ihrer Definitions- gleichungen, bis die Zustands- ableitungen nur noch von Zustands- variabeln und Eingangsgrössen abhängig sind.
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Umwandlung in Zustandsform IIx1 = uC
x2 = iL
u = U0
y = uC
Wir setzen:
x1 = -
R1 · C
R2 · C
[ ] x1 R1 · C u
x2 = 1
Lu
y = x1
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Ein Beispiel IV
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20. Oktober, 2004Anfang Präsentation
Referenzen
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 3.
• Cellier, F.E. (2001), Matlab code of circuit example.