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Anexo 1.2 1.

Operacin Matriciales y Matrices en Sistemas de Potencia

Problema Resuelto

Considere la red mostrada en la Figura 1.1, y los siguientes datos.

1 2 3

4 5

6 7 8 Fig. 1.1.

Tabla. 1.2. Datos del Sistema

Lnea XL 0-1 0.010 0-2 0.015 1-2 0.084 0-3 0.005 2-3 0.122 2-4 0.084 3-5 0.037 1-6 0.126 6-7 0.168 4-7 0.084 5-8 0.037 7-8 0.140

Operacin Matriciales y Matrices en Sistemas de Potencia

Francisco M. Gonzalez-Longatt, Septiembre, 2005

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La matriz que caracteriza la red es formada por el ensamble de los elementos del sistema uno a la vez, y por la modificacin de la matriz para reflejar el cambio en la impedancia equivalente de la red por la adicin de la lnea. La lista de lneas ha sido reordenada desde una lista aleatoria a una secuencia tal que es posible conectar cada lnea al sistema cuando esta es seleccionada desde la lista de procesamiento.

1.1.1. Adicin de la Primera lnea. La primera lnea debe ser siempre una lnea conectada a referencia. Entonces la lnea 0-1 debe ser la primera lnea procesada. En este pinto, no hay red, no hay matriz, y no hay entrada en la lista de barras que describe el sistema. Las barras 0 y 1 son examinada y comparadas con la lista de barras del sistema para determinar el tipo de lnea y el algoritmo a ser usado. La linees es del tipo de una lnea conectada desde referencia a la barra 1. La barra 1 es comparada con las lista del sistema. En este punto no hay barras en el sistema. Esta lnea de tal modo, es una degeneracin del cado de la adicin de una nueva barra. Es imposible agregar una fila y columnas de ceros a la matriz debido a que no existe matriz en este punto. Los elementos de la diagonal del nuevo eje es la impedancia de la lnea a ser agregada, ujpZ .01.001 = . La nueva barra es agregada a la lista de barra. Luego de agregar esta primera lnea, se tiene: [ ]01.0=busZ Lista de barras = 1 El diagrama del sistema es mostrado abajo.

1

0

01.0

La matriz dice que una corriente inyectada a la barra 1 podra causar un voltaje de 0.01 p.u, en la barra 1 cuando se mide con respecto a la barra de referencia.

1.1.2. Adicin de la Segunda lnea. La prxima lnea (0-2) es seleccionada desde la lita de procesamiento. Examinando las barras de numero 0 y 2, y comparando con la lista de barras del sistema, se muestra que esta lnea se encuentra conectada entre referencia y una barra nueva, la barra 2. Esta operacin es tambin del tipo 1. Aumentando la matriz en una fila y una columna de ceros. El elemento de la diagonal de la nueva fila y columna es la impedancia de la nueva lnea, ujpZ .015.002 = . Agregando la barra 2 a la lista resulta:

=015.00001.0

21

busZ Lista de barras = 1,2

El diagrama del sistema es mostrado abajo.

1 2

0

01.0 015.0

Anexo Captulo 1

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La matriz muestra que una inyeccin de una corriente unitaria en la barra 1 y saliendo en referencia, causa un voltaje de 0.01 en la barra 1, y un voltaje cero aparezca en la barra 2. Y una inyeccin de corriente unitaria en la barra 2 producir un voltaje de 0.015 p.u, en la barra 2 y un voltaje cero en la barra 1.

1.1.3. Adicin de la Tercera lnea. La prxima lnea (1-2) es seleccionada desde la lista de procesamiento. Un examen en la lista de barras, muestra que esta lnea no posee una lnea a referencia. Comparando con los nmeros de barra de la lnea con las barras del sistema, se verifica que es una operacin del tipo 3 (cierre de un lazo, o agregar un elemento entre dos barras existentes). La matriz es aumentada por una fila y columna lazo, los cuales son matemticamente obtenidos sus elementos por la diferencia de las columnas (o filas) correspondientes a las barras 1 y 2. El elemento de la diagonal es obtenido por la respectiva ecuacin terica de Zlazo,lazo.

=

109.0015.001.0015.0015.0001.0001.0

21

loopZbus Lista de barras = 1,2

El diagrama del sistema es mostrado en la siguiente figura.

1 2

0

01.0 015.0

084.0

La matriz es reducida por la aplicacin de la reduccin de Kron. Como se conoce de teora, la reduccin de Kron es importantemente reducida cuando un solo orden (una fila una columna) esta involucrada en la reduccin. En este caso 14

Z se transforma en 1/Z4, y no se requiere invertir una matriz (con todas las complicaciones asociadas). La modificacin de los elementos que estn fuera de la columna y fila lazo puede ser mas fcilmente llevada a cabo elemento a elemento, ms que empleando la ecuacin en su versin matricial. Se puede verificar fcilmente que la modificacin para un elemento, Zij es simplemente:

jlooplooploop

loopiijij ZZZZZ

=

,

1'

looploopjloop

loopiij

ZZ

ZZ

loopj

loop

i|

Aplicando la ecuacin antes definida, se procede a modificar todos los elementos que no pertenecen al orden del loop. En este caso, la fila y columna lazo son eliminados.

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1111111'

= loop

looplooploop ZZ

ZZZ

109.001.001.001.0'11

=Z upZ .00908257.0'11 =

2112121'

= loop

looplooploop ZZ

ZZZ

109.0015.000'12

=Z upZ .00137615.0'12 =

2222221'

= loop

looplooploop ZZ

ZZZ

109.0015.0015.0015.0'22

=Z upZ .01293579.0'22 = La matriz modificada es:

=01293579.000137615.000137615.000908257.0

21

busZ Lista de barras = 1,2

1.1.4. Reduccin Matricial - Una conversin Delta-Estrella. La reduccin matricial puede ser vista como una reduccin delta-estrella de la red. Es decir, los tres enlaces en la operacin anterior forma una delta cuyos vrtices son referencia, barra 1 y barra 2, la cual puede ser transformada empleando la conversin estndar delta estrella.

084.0015.001.0015.001.0

1 ++=Z 00137615.01 =Z

084.0015.001.0084.001.0

2 ++=Z 00770642.02 =Z

084.0015.001.0084.0015.0

3 ++=Z 001155964.03 =Z

Si la red de la siguiente figura, se le inyecta una corriente unitaria en la barra 1, la impedancia en el punto de inyeccin Z11, es la suma de Z1 y Z2.

00908257.00077062.000137615.011 =+=Z

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1 2

01Z

2Z 3Z

El voltaje de la barra 2 es igual a la cada de voltaje en la impedancia Z1 = 0.00137615. Esta es la impedancia de transferencia, Z12. En el punto de inyeccin de la barra 2, se obtiene una impedancia por el drenado de una corriente de uno por unidad en la barra 2 de:

01293579.03122 =+= ZZZ Esos valores concuerdan con la matriz obtenida por la reduccin de Kron. Entonces la reduccin puede ser vista como una reduccin de red o como una manipulacin algebraica.

1.1.5. Adicin de la Cuarta Lnea. Continuando con el algoritmo de construccin se procede a procesar la seleccin de la prxima lnea, 0-3. Esta lnea es identificada como una lnea de tipo 1, es decir una lnea entre referencia y una barra nueva, 3. La matriz es aumentada en una fila y una columna de ceros y la diagonal de esta, es el valor de la lnea a agregar

ujpZ .005.003 = . La nueva barra es agregada a la lista de barras.

=

005.000001293579.000137615.0000137615.000908257.0

321

busZ Lista de barras = 1,2,3

1 2

001.0 015.0

084.0

3

005.0

1.1.6. Adicin de la Quinta Lnea. La prxima lnea en la lista de datos (2-3) es una lnea que cierra lazo, debido a que ambas barras estan en la lista de barras del sistema. La fila y columna de lazo es la diferencia de las columnas correspondientes a las barras 2 y 3. El elemento de la diagonal es dado por:

232333222 ZZZZZ looploop ++=

122.002005.001293578.0 ++=looploopZ

13993578.0=looploopZ

La matriz aumentada es:

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=13935579.0

005.0005.001293579.0001293579.000137615.000137615.0000137615.000908257.0

321

loop

Zbus Lista de barras = 1,2,3

Aplicando la reduccin de Kron:

=

00482135.000046220.000004917.000046220.001178999.000124893.000004917.000124893.000906904.0

321

busZ Lista de barras = 1,2,3

El diagrama del sistema es mostrado como sigue:

1 2

001.0 015.0

084.0

2

015.0

122.0

1.1.7. Adicin de la Sexta Lnea. La lnea 2-4, es identificado como una lnea del tipo 2, es decir, una lnea entre una barra existente (2) y una barra nueva (4). Una nueva fila y columna deben ser agregadas la matriz. El elemento de la diagonal es dado por:

095739999.0084.0011739999.0242244 =+=+= ZZZ Los elementos fuera de la diagonal son obtenidos de maneta muy sencilla. La columna correspondiente a la barra 4 es idntica a la columna de la barra 2.

=

09573999.000046220.001178999.000124893.000046220.000482135.000046220.000004917.001178999.000046220.001178999.000124893.000124893.000004917.000124893.000906904.0

4321

busZ Lista de barras = 1,2,3,4

El diagrama del sistema resulta.

1 2

001.0 015.0

084.0

3

005.0

4

084.0

Anexo Captulo 1

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1.1.8. Adicin de la Lnea Siete. La adicin de la lnea 3-5, es una lnea de tipo 2, es decir entre una barra existente (3) y una barra nueva (5). Resulta:

04182135.0037.000482135.0353355 =+=+= ZZZ La columna 5 es el duplicado de la columna 5, resultando:

=

04182135.000046220.000482135.000046220.000004917.000046220.009573999.000046220.001178999.000124893.000482135.000046220.000482135.000046220.000004917.000046220.001178999.000046220.001178999.000124893.000004917.000124893.000004917.000124893.000906904.0

54321

busZ

Lista de barras = 1,2,3,4,5

1.1.9. Adicin de la Lnea Ocho. La adicin al sistema de la lnea 1-6 la cual es desde la barra existente 1 a la nueva barra 6, y es llevado a cabo como se indico en la lnea 3-5 (lnea tipo 2).

1.1.10. Adicin de la Lnea Nueve. La lnea 6-7, es tambin del tipo 2, en la cual la lnea esta entre una barra existente la 6 y una barra nueva la 7. el proceso ya ha sido ilustrado en detalles en pasos anteriores. Luego de estos dos pasos, la matriz debe incluir las dos lneas ya descritas, siendo la matriz definitiva en estos pasos:

=

00124893.000004917.000124893.000906904.000124893.000004917.000124893.000906904.000046220.000482135.000046220.000004917.009573999.000046220.001178999.000124893.000046220.000482135.000046220.000004917.001178999.000046220.001178999.000124893.000124893.000004917.000124893.000906904.0

7654321

busZ

30306904.013506904.000004917.013506904.013506904.000004917.000004917.000004917.004182135.000124893.000124893.000046220.000004917.000004917.000482135.000906904.000906904.000046220.000906904.000906904.000004917.0

L

Lista de barras = 1,2,3,4,5,6,7

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1.1.11. Adicin de la Lnea Diez. La lnea 4-7 es una lnea que cierra lazo, debido a que ambas barras ya estn dentro del sistema. La columna lazo son obtenida tomando la diferencia entre la columnas 4 y 7. El elemento de la diagonal, queda dado por:

474777442 ZZZZZ looploop ++=

084.000124893.0230306904.009573999.0 ++=looploopZ

La fila y columna lazo se luego eliminada por el uso de la reduccin de Kron, lo cual ya fue ilustrado, en pasos anteriores.

1.1.12. Adicin de la Lnea Onceava. La lnea 5-8 es del tipo 2, es decir que una lnea entre una barra existente (5) y una barra nueva (8), cuyo procedimiento ya ha sido ilustrado.

1.1.13. Adicin de la ltima Lnea. La ltima lnea 7-8, es una lnea que cierra lazo. El mtodo ha sido ilustrado. Puede ser visto fcilmente que sin importar la complejidad de la red, esta puede ser ensamblada por este simple medio, de agregar un elemento a la vez. La matriz completa del ejemplo dado para propsitos de referencia queda dada por:

=

01464439.00375267.000220239.000102639.004007839.000184769.000532152.000275695.001834370.000085568.000303974.000626215.000792254.000425613.000137805.000056903.006620613.000120070.000833387.000204268.000120070.000475959.000055371.00011167.000833387.000055371.001134623.000132842.000204268.00011167.000132842.000889104.0

87654321

busZ

06023255.002708638.001219496.003199261.002708638.007483526.003364765.001446703.001219496.003364765.008999879.000652532.003199261.001446703.000652532.003662437.001464439.004007839.001834370.000792254.000375267.000184769.000085568.000425613.000220239.000532152.000303974.000137805.000102639.000275695.00062615.000056903.0

1.1.14. Anlisis de Falla Un completo anlisis de falla del sistema es posible una vez que la matriz impedancia de barra Zbus del sistema esta completada. Usando los valores que estn dentro de la matriz de la red de ejemplo, para propsitos ilustrativos, considere el nodo 3, el cual esta en condiciones de falla.

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El elemento de la matriz, Z33 = 0.00475959, significa que, si un voltaje de ese valor es aplicado entre la barra 3 y referencia, una corriente toral de 1.0 por unidad fluir a travs de la red. El voltaje completo del generador causar una corriente que puede ser determinado considerando.

EE

II '' =

En donde I = 1.0 cuando E = 0.00475959. Se desea conocer el valor de 'I cuando 'E = 1.0 p.u.

upI .10.21000475959.0

0.1' == En forma ms general, para cualquier valor de voltaje de barra resulta:

33

''ZEI =

La corriente de falla total puede ser obtenida ya sea en p.u, o MVA dividiendo los amperes base, pu, o la base de MVAR de los datos de lnea por el correspondiente elemento de la diagonal. La contribucin a la falla por una lnea es calculada muy simplemente. La contribucin desde la barra 2 a la falla en la barra 3 viene dada por:

3323

322323

' Z

EZ

ZZI = Sustituyendo los respectivos valores, se obtiene:

00475959.0122.000055371.000475959.0'

33233223

23 ==

ZE

ZZZI

upI .2.723 =

Nota: La base aqu fue 1.0 y el flujo estn en por unidad. La base en amperes o MVA tambin se pudo haber empleado.

1.1.15. Voltajes en Barra Durante la Condicin de Falla El voltaje en la barra 2, cuando una corriente unitaria es eyectada en la barra 3, es Z23 = 0.00055371. El voltaje en la barra 3 en ese momento es 0.00475959. La diferencia en el voltaje es Z33 Z32 = 0.00475959 0.00055371 = 0.00420588. La diferencia ocurre si una corriente es de 1.0 pero la corriente de falla fue determinada por 1/Z33. La diferencia de voltaje entre las barras 2 y 3 es entonces:

upZ

ZZ .8835.000475959.000420588.0

33

3233 == Pero el voltaje en la barra 3 durante la falla es cero. De tal modo que el voltaje en la barra 2 es = 0.8835.

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1.2 Abriendo una Lnea Durante un Estudio

Una lnea de un sistema puede ser abierta o removida agregando una lnea en paralelo con la lnea existente. La impedancia de la nueva lnea a ser agregada es el negativo de la lnea original. En este caso se esta agregando una lnea entre dos barras ya existentes de modo, que las ecuaciones empleadas para cerrar un lazo y la reduccin de kron deben ser empleadas. En el curso de una estudio de falla completo es frecuentemente deseable abrir cada lnea conectada a la barra fallada, una a la vez para obtener la nueva falla total y al contribucin de las lneas remanentes. Es deseable modificar la matriz del sistema total debido a que el gran objetivo de calculo no debe ser hecho en elementos innecesarios que no son requeridos en el anlisis. Sin embargo, es indeseable (debido al redondeo), remover una lnea, y regresarla, luego remover otra, y volver a agregarla, y as sucesivamente. Errores pueden acumularse en los elementos de la matriz impedancia de barra debido a las repetitivas modificaciones de la matriz. El mejor mtodo es extraer una pequea matriz, de la matriz total, que incluye el punto de inters y las impedancias de transferencia a la barra a ser fallada, y sus barras inmediatamente vecinas. Por ejemplo, si la barra 3 se considera fallada, se extrae la pequea matriz

03662437.000137805.000425613.000137805.001134623.000055371.000425613.000055371.000475959.0

321

Para abrir la lnea 3-5, se agrega una lnea (cerrando lazo) cuya impedancia es el negativo de la impedancia de lnea original -0.037. El elemento de la diagonal de la fila y comuna lazo queda dado por:

353555332 ZZZZZ looploop ++=

037.000425613.0203662437.000475959.0 +=looploopZ

upZ looploop .00412830.0=

La columna lazo es obtenida restando la columna 5 de la columna 3.

00412830.003236834.003236834.000050346.003236834.003662437.000137805.000425613.000082434.000137805.001134623.000055371.0

00050346.000425613.000055371.000475959.0

532

loop

En el inters de la eficiencia, la reduccin de kron es usada para modificar solamente la columna 3, debido a una falla en 3 puede ser completamente analizada con solamente esos valores. El vector fila modificado que refleja la lnea abierta 3-5 es: [ ]00030870.00045317.000482099.03 La nueva corriente de falla es:

Anexo Captulo 1

Francisco M. Gonzalez-Longatt, Septiembre, 2005

11

Solo

par

a se

r em

plea

do c

on o

bjet

ivo

de e

valu

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icos

. Pro

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oduc

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tota

l o p

arci

al d

e es

te d

ocum

ento

.

upZbase .43.207

00482099.01

33==

La contribucin desde la barra 2, se determina que es 7.4 p.u. El flujo desde la barra 5 a la 3 sobre la lnea de X = 0.037 p.u., es la misma magnitud que la que fluye por la lnea de X = -0.037, pero con signo opuesto. La contribucin neta desde 5 a 3 es de tal modo cero. Teniendo el vector fila, el cual da el valor de la corriente en la barra 3 con la lnea 3 a 5 fuera de servicio, permite una excelente oportunidad de determinar la magnitud de la corriente de falla que fluira si la falla fuese removida desde la barra 3 y colocada en el extremo de la lnea del interruptor abierto en la barra 5, en la lnea 3-5 (ver Figura siguiente).

1 2 3

4 5

6 7 8

9

El vector columna provee la impedancia del punto de inters y las impedancias de transferencia de la barra 3 con la lnea en abierto. La impedancia del punto de inyeccin de la barra 9 es obtenido. Debido a que la lnea 3-9 es una lnea radial desde la barra 3, resulta:

04182099.03533 =+= ZZZqq La corriente de falla en el punto 9 es = base/0.04182099 = -23.91 p.u.