Andamento da apresenta˘c~aoprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/logica/Slides...Linguagem do c...
Transcript of Andamento da apresenta˘c~aoprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/logica/Slides...Linguagem do c...
Linguagem do calculo de predicados
Andamento da apresentacao
1 Linguagem do calculo de predicadosDiscussao informalLinguagem formalAbreviaturasExemplos de linguagens de primeira ordemVariaveis livres e ligadas; substituicao de variaveisTeoremas de unicidade de representacao
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
O que queremos formalizar?
Todos os passaros tem pena.
Nem todos os passaros voam.
Todos os passaros sao mais leves que algum mamıfero.
Todo aluno e mais novo que algum professor.
Pode ser tratado no calculo sentencial, o qual nao captura todaestrutura da sentenca. Os alvos do discurso (sujeito e ojeto) temqualidade e mantem relacoes.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Argumentos nao validados pela logica proposicional
Premissa Todos os felinos sao mamıferosPremissa Alguns felinos sao ferozes
Conclusao Alguns mamıferos sao ferozes
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Argumentos nao validados pela logica proposicional
Premissa Qualquer amigo de Maria e amigo de JoaoPremissa Pedro nao e amigo de Joao
Conclusao Pedro nao e amigo de Maria
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Argumentos nao validados pela logica proposicional
Premissa O sucessor de um inteiro par e ımparPremissa 2 e um inteiro par
Conclusao O sucessor de 2 e ımpar
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
O que procuramos
Uma linguagem mais rica que leva em conta a estrutura internadas sentencas
sujeito – predicado – objeto
na qual sujeito e objetos de quem se fala sao elementos de umuniverso do discurso e sao representados por constantes, porobjetos genericos e nao especificados (pronomes) que saorepresentados por variaveis; os predicados e as relacoes saoexplicitados. Incorpora o “para todo” e o “existe” comoprimitivas da linguagem.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos I
Num universo far, far away ....
As constantes a := Armando, d := Daniel, j := Jair
Os predicados P para “e professor”, A para “e aluno”.
As relacoes J para “lecionam juntos” e N para “e mais novo”.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos II
P(a) representa a sentenca “Armando e professor”
¬A(j) representa a sentenca “Jair nao e aluno”
J(a, d) representa a sentenca “Armando e Daniel lecionam juntos”
M(d , a) representa a sentenca “Daniel e mais novo que Armando”
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos III
Obervemos que
J(a, d) e J(d , a) tem o mesmo significado
mas
M(a, d) e M(d , a) nao tem o mesmo significado
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos IV
Variaveis
P(x) representa “x e professor”
M(x , y) que representa “x e mais novo que y”
Nao sao sentencas. Nao tem valor logico
Sao chamadas de sentencas abertas.
Tornam-se sentencas substituindo as variaveis por constantes ou sequantificamos.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos V
Quantificacao
Os quantificadores ∀ le-se “para todo” e ∃ le-se “existe”
∀x P(x) representa “para todo x , x e professor”
∃x P(x) representa “existe x , x e professor”
Sao sentencas. Tem valor logico
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos VI
Notemos que, por exemplo
∀x M(x , y) e uma sentenca aberta
∃y ∀x M(x , y) e ∀x ∃y M(x , y) tem significados diferentes.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos VII
“Todo aluno e mais novo que algum professor”:
∀x ∃y(A(x) ∧ P(y)→ M(x , y))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos VIII
“Todo aluno e mais novo que algum professor”:
∀x ∃y(A(x) ∧ P(y)→ M(x , y))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos IX
“Ha um professor tal que todo aluno aprende algo com ele”
B(x , y , z) representa “y aprende z com x”
H(x) representa “x e um assunto”
∃x(P(x) ∧ ∀y
(A(y)→ ∃z (H(z) ∧ B(x , y , z))
))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos X
“Todos os passaros tem pena.”
∀x (passaro(x)→ pena(x))
“Nem todos os passaros voam.”
∃x (passaro(x) ∧ ¬voa(x))
“Todos os passaros sao mais leves que algum mamıfero.”
∀x (passaro(x)→ ∃y (mamifero(y) ∧Maisleve(x , y)))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos XI
“Todos os homens sao sabios”
∀x (Homem(x)→ Sabio(x))
“Nenhum homem e sabio”
∀x (Homem(x)→ ¬Sabio(x))
“Alguns homens sao sabios”
∃x (Homem(x) ∧ Sabio(x))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos XII
“Se x e inteiro igual a zero ou maior que zero e se todo inteiro edivisıvel por x , entao x e igual a um”
0 e 1 sao constantes.
I (x) representa “x e inteiro”
>(x , y) representa “x e maior que y”
=(x , y) representa “x e igual a y”
d(y , x) representa “y e divisıvel x”
∀x(I (x) ∧
(>(x , 0)∨ =(x , 0)
)∧ ∀y (I (y)→ d(y , x)) →=(x , 1)
)Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos XIII
Premissa Qualquer amigo de Maria e amigo de JoaoPremissa Pedro nao e amigo de Joao
Conclusao Pedro nao e amigo de Maria
Premissa ∀x (Amigo(x ,m)→ Amigo(x , j))Premissa ¬Amigo(p, j)
Conclusao ¬Amigo(p,m)
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Discussao informal
Exemplos XIV
Premissa O sucessor de um inteiro par e ımparPremissa 2 e um inteiro par
Conclusao O sucessor de 2 e ımpar
Premissa ∀x (Inteiro(x) ∧ Par(x)→ Impar(s(x))Premissa Inteiro(2) ∧ Par(2)
Conclusao Impar(s(2))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Linguagem formal
A logica de predicados
A logica de predicados, ou logica de primeira ordem, e constituıdapor:
linguagem que trata dos sımbolos utilizados e da regra deformacao de formulas,
semantica que interpreta a linguagem, dando-lhe umsignificado, e
axiomatizacao ou sistema de axiomas, que dita as regras parademonstracoes de teoremas.
A linguagem da logica de primeira ordem nao e unica.
Ha sımbolos comuns a todas e outros especıficos (e.g., ∈, +).
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Linguagem formal
Constituintes de uma linguagem de primeira ordem
alfabeto sao os sımbolos utilizados,
termos sao as sequencias finitas de sımbolos que representamindivıduos do universo a que se refere a linguagem, e
formulas sao as sequencias finitas de sımbolos querepresentam assercoes sobre os indivıduos.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Linguagem formal
Alfabeto
Variaveis x1, x2, x3, . . .
Conectivos logicos ¬, ∨, ∧, →, ↔
Quantificadores ∀, ∃
Pontuacao os parenteses ( e ) e a vırgula ,
Sımbolo de igualdade =
Constantes c1, c2, c3, . . .
Sımbolos relacionais n-arios Rn1 ,R
n2 ,R
n3 , . . . para cada inteiro n > 1
Sımbolos funcionais n-arios F n1 ,F
n2 ,F
n3 , . . . para cada inteiro n > 1
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Linguagem formal
Alfabeto
As constantes, os sımbolos relacionais e funcionais sao especıficosde cada linguagem de primeira ordem.
O conjunto das constantes pode ser vazio, o conjuntos dossımbolos relacionais pode ser vazio e o conjunto sımbolosfuncionais pode ser vazio.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Linguagem formal
Alfabeto — Simplificacoes
Variaveis x , y , z ,w
Constantes a, b, c , d ,
Sımbolos relacionaisP,Q,R, <,6,Amigo,Maisleve,mamifero,passaro
Sımbolos funcionais F ,G ,H,+, ·
Por exemplo, na linguagem da aritmetica
a funcao soma, + , e usada como x + y ao inves de +(x , y).
a relacao menor que < e escrita a < b ao inves de < (a, b).
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Linguagem formal
Expressao
Uma sequencia finita de sımbolos do alfabeto e chamado deexpressao.
Por exemplox1, ∀(c1c100∃p30
1 →
e uma expressao
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Linguagem formal
Termos
Termo e qualquer expressao que respeita as regras
1 Constantes sao termos.
2 Variaveis sao termos.
3 se t1, t2, . . . , tn sao termos e F funcao n-aria, entaoF (t1, t2, . . . , tn) e termo.
4 Todos os termos tem uma das formas acima.
ExemploSao termos: c1, F 1
2 (x1), x101
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Linguagem formal
Formulas
Formula e qualquer expressao obtida a partir das regras
1 Se t e s sao termos, entao (t = s) e uma formula.
2 Se t1, . . . , tn sao termos e R e um sımbolo relacional n-ario,entao R(t1, . . . , tn) e uma formula.
3 Se α e β sao formulas, entao (¬α), (α→ β), (α ∧ β),(α ∨ β), (α↔ β) sao formulas.
4 Se α e formula e x e uma variavel, entao (∀x α) e (∃x α) saoformulas.
5 Todas as formulas tem uma das formas acima.
Exemplo: (R11 (x1) ∨ R3
2 (x4, x2, c1))→ (∀x1(∃x2 R32 (c4, x2, c1)))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Abreviaturas
Mais simplificacoes I
Abriviaturas
Para resultados teoricos (metamatematicos) e vantajosopossuirmos o mınimo possıvel de sımbolos.
Para expressarmos de maneira clara e sucinta quanto maissımbolos, melhor.
Tratando alguns sımbolos como abreviaturas de outros ganhamosdos dois lados.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Abreviaturas
Mais simplificacoes II
1 (diferente) t 6= s e abreviatura de ¬(t = s);
2 (nao existe) 6 ∃x α e e abreviatura de ¬∃x α;
3 (ou) α ∨ β e abreviatura de ¬((¬α) ∧ (¬β));
4 (implica) α→ β e abreviatura de ¬(α ∧ ¬β);
5 (sse) α↔ β e abreviatura de (¬(α ∧ ¬β)) ∧ (¬(β ∧ ¬α));
6 (existe) ∃x α e abreviatura de ¬∀x ¬α.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Abreviaturas
Omissao de parenteses
Omitimos os parenteses externos de uma formula, recolocandoquando a usamos para compor outras formulas. Por exemplo,escrevemos α ∧ β no lugar de (α ∧ β), mas recolocamos osparenteses quando escrevemos, por exemplo, ∀x(α ∧ β).
Em sequencias de conjuncoes e em sequencias de disjuncoes,omitimos o uso sucessivo de parenteses. Isto e, escrevemosα ∧ β ∧ γ no lugar de α ∧ (β ∧ γ), o mesmo valendo para oconectivo ∨.
Quando nao houver riscos de mas interpretacoes, omitimos osparenteses externos em subformulas do tipo ∀xα, ∃xα e ¬α.Por exemplo, escrevemos ¬∀x∃yα, em vez de ¬(∀x(∃yα)).
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Exemplos de linguagens de primeira ordem
Exemplos I
Uma linguagem de primeira ordem tem os sımbolos logicos(comum as linguagens)
x1, x2, x3, . . . ¬ ∧ ∀ ( ) , =
e os sımbolos extralogicos (especıficos de cada linguagem)
Constantes, Sımbolos relacionais e Sımbolos funcionais
Para definir uma linguagem explicitamos so os sımbolosextralogicos.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Exemplos de linguagens de primeira ordem
Exemplos II
Exemplo 1: A linguagem da igualdade pura, L=:
Nao ha sımbolos extralogicos.
Exemplo 2: Uma linguagem para Corpos LF :
Constantes: 0, 1Sımbolos funcionais binarios: +, ·
Exemplo 3: Uma linguagem para Teoria dos Conjuntos LST :
Sımbolo relacional binario: ∈
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Exemplos de linguagens de primeira ordem
Exemplos III
Exemplo 4: Uma linguagem para Aritmetica LN :
Constante: 0Sımbolo funcional unario: S
Sımbolos funcionais binarios: +, ·, E
A constante 0 pretende representar o numero zero, S a funcaosucessor (isto e, S(n) = n + 1), e E representa a funcaoexponencial (isto e, E(n,m) = nm).
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Exemplos de linguagens de primeira ordem
Exemplos IV
Exemplo 5: Outra linguagem para Aritmetica
Constantes: 0, 1Sımbolos funcionais binarios: +, ·
Sımbolo relacional binario: <, |
Nesse caso, sao termos da linguagem:
0, 1, +(1, 1),+(1,+(1, 1)), +(1,+(1,+(1, 1))),+(1,+(1,+(1,+(1, 1)))), e assim por diante. Representam osnumeros naturais.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Exemplos de linguagens de primeira ordem
Exemplos V
Sao formulas da linguagem:
< (·(1, 1),+(1, 1))
∀x (+(0, x) = x)
∀x ∀y ((+(1, x) = +(y , 1))→ x = y)
∀x ∀y (|(x , y)→ (<(x , y) ∨ x = y))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Variaveis livres e ligadas; substituicao de variaveis
Variaveis Livres e Variaveis Ligadas I
Uma formula e atomica se e formada pelas 2 primeiras regras.
A ocorrencia de uma variavel x e livre em uma formula α se, e sose,
1 α e atomica e x ocorre em α;
2 α e da forma (¬β) e x ocorre livre em β;
3 α e da forma (β ∧ γ) e x ocorre livre em β ou γ;
4 α e da forma ∀xkψ e x e diferente de xk e x ocorre livre em ψ.
Uma ocorrencia de x em α que nao e livre e dita ligada.
Uma formula α sem ocorrencia de variaveis livre e dita sentenca.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Variaveis livres e ligadas; substituicao de variaveis
Variaveis Livres e Variaveis Ligadas II
O item 4 e a chave: a ocorrencia de uma variavel x e ligada se elaesta no escopo de uma ocorrencia de ∀x .
Por exemplo,
1 Em ∀x7(x5 = x7) a ocorrencia de x5 e livre e a ocorrencia dex7 e ligada.
2 Em ∀x0 ((x0 = F 13 (x6))→ (¬∀x6 R
19 (x6)))a primeira
ocorrencia de x6 e livre e a segunda ocorrencia e ligada.
3 Em ∀z (∀x (P(x)→ R(z)))→ (Q(y)→ P(x)) a variavel x elivre e ligada, y e livre e z e ligada.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Variaveis livres e ligadas; substituicao de variaveis
Variaveis Livres e Variaveis Ligadas III
O item 4 e a chave: a ocorrencia de uma variavel x e ligada se elaesta no escopo de uma ocorrencia de ∀x .
Por exemplo,
1 Em ∀x7(x5 = x7) a ocorrencia de x5 e livre e a ocorrencia dex7 e ligada.
2 Em ∀x0 ((x0 = F 13 (x6))→ (¬∀x6 R
19 (x6))) a primeira
ocorrencia de x6 e livre e a segunda ocorrencia e ligada.
3 Em ∀z (∀x (P(x)→ R(z)))→ (Q(y)→ P(x)) a variavel x elivre e ligada, y e livre e z e ligada.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Variaveis livres e ligadas; substituicao de variaveis
Substituicao de variaveis I
Se α e uma formula, x e uma variavel e t e um termo, definimos[α]tx a formula obtida substituindo todas as ocorrencias livres davariavel x pelo termo t.
Denotamos por
[α]t1...tnx1...xn
a formula obtida pela substituicao em α de todas as ocorrenciaslivres das variaveis x1, . . . , xn pelos termos t1, . . . , tn,respectivamente.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Variaveis livres e ligadas; substituicao de variaveis
Substituicao de variaveis II
Exemplos:
1 [(x = y)]xy e (x = x)
2 [(x = y)]yx e (y = y)
3 [∀x (x = y)]yx e ∀x (x = y),
4 [∀x (x = y)]xy e ∀x (x = x),
5 [∀x P(x)→ P(x)]τx e ∀x P(x)→ P(τ),
6 [∀x (¬∀y (x = y))→ (¬∀y (x = y))]yx e∀x (¬∀y (x = y))→ (¬∀y (y = y)),
7 [∀x (P(x , y)→ (¬Q(y) ∨ ∃y P(x , y)))]F (y ,z)y e
∀x (P(x ,F (y , z))→ (¬Q(F (y , z)) ∨ ∃y P(x , y)))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Variaveis livres e ligadas; substituicao de variaveis
Substituicao de variaveis III
Exemplos:
1 [(x = y)]xy e (x = x)
2 [(x = y)]yx e (y = y)
3 [∀x (x = y)]yx e ∀x (x = y),
4 [∀x (x = y)]xy e ∀x (x = x),
5 [∀x P(x)→ P(x)]τx e ∀x P(x)→ P(τ),
6 [∀x (¬∀y (x = y))→ (¬∀y (x = y))]yx e∀x (¬∀y (x = y))→ (¬∀y (y = y)),
7 [∀x (P(x , y)→ (¬Q(y) ∨ ∃y P(x , y)))]F (y ,z)y e
∀x (P(x ,F (y , z))→ (¬Q(F (y , z)) ∨ ∃y P(x , y)))
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Teoremas de unicidade de representacao
Teorema da unicidade de representacao dos termos
Se t e um termo de uma linguagem, entao uma, e apenas uma,das assercoes abaixo e verdadeira:
t e uma variavel;
t e uma constante;
t e da forma F (t1, . . . , tn), onde t1, . . . , tn sao termos e F eum sımbolo funcional n-ario.
Alem disso, se t e da forma F (t1, . . . , tn) e, ao mesmo tempo, e daforma G (s1, . . . , sm) entao:
n = m;
F e G sao o mesmo sımbolo funcional;
ti e o mesmo termo que si , para todo i 6 n.
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Teoremas de unicidade de representacao
Teorema da unicidade de representacao das formulas I
Seja α uma formula de uma linguagem. Entao α satisfaz uma, eapenas uma, das condicoes abaixo
α e uma formula atomica da forma R(t1, . . . , tn), onde R eum sımbolo relacional n-ario e t1, . . . , tn sao termos;
α e uma formula atomica da forma (s = t) onde s e t saotermos;
α e da forma ¬β, para uma unica formula β;
α e da forma β ∧ γ para unicos β e γ formulas;
α e da forma ∀xβ, para uma unica formula β e uma unicavariavel x .
Professor : [email protected]
Logica Basica
Linguagem do calculo de predicados
Teoremas de unicidade de representacao
Teorema da unicidade de representacao das formulas II
Alem disso, valem:
α e e da forma (s = t) e, ao mesmo tempo, e da forma(u = v) entao s e o mesmo que u e t e o mesmo que v ;
se α e da forma R(t1, . . . , tn) e, ao mesmo tempo, e da formaS(s1, . . . , sm) entao:
n = m;
R e S sao o mesmo sımbolo relacional;
ti e o mesmo termo que si , para todo i 6 n.
Professor : [email protected]
Logica Basica