Analytická geometria kvadratických útvarov

Kužeľosečky

Kružnica

Geometrická definícia

Kružnica K(S;r) je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od daného bodu roviny S rovnakú vzdialenosť r>0.

Kružnica

Symbolický zápis

K = {XεE2; |X;S| = r}

• Kde E2 je dvojrozmerný Euklidovský priestor,

• S je ľubovoľný, pevne zvolený bod - stred kružnice

• r je nezáporné reálne číslo

Kružnica K [[0;0];1]

Nech S[0;0] a r=1.

Potom

A teda x2 + y2 = 1

Pozri nasledujúci obrázok:

122 yx

Kružnica 2 2 x + y = 1

Kružnica K [[1;2];1]

Nech S[1;2] a r=1.

Potom

A teda (x-1)2 + (y-2)2 = 1

Pozri nasledujúci obrázok:

121 22 yx

Kružnica 2 2 (x - 1) + (y - 2) = 1

Elipsa

Geometrická definícia

Elipsa je množina všetkých bodov roviny, pre ktoré platí, že súčet ich vzdialeností od dvoch daných rôznych bodov roviny G, F je konštantný a rovná sa kladnému číslu 2a, ktoré je väčšie ako vzdialenosť F,G.

Elipsa

Symbolický zápis

E = {XεE2; |X;G| + |X;F| = 2a}

Kde E2 je dvojrozmerný Euklidovský priestor

F,G sú ľubovoľné, pevne zvolené rôzne body vo vzdialenosti 2a

a je ľubovoľné kladné reálne číslo

Elipsa 2 2 x y

⎯⎯⎯⎯ + = 1⎯⎯⎯⎯ 16 9

Posunutá elipsa 2 2 (x - 1) (y - 2)

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + = 1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

16 9

Otočená elipsa 2 2 x y

⎯⎯⎯⎯ + = 1⎯⎯⎯⎯ 9 16

Hyperbola

Geometrická definícia

Hyperbola je množina všetkých bodov roviny, pre ktoré platí, že absolútna hodnota rozdielu ich vzdialeností od dvoch daných rôznych bodov roviny G, F je konštantný a rovná sa kladnému číslu 2a, ktoré je menšie ako vzdialenosť F,G.

Hyperbola

Symbolický zápis

H = {XεR; | |X;G| - |X;F| | = 2a}

Hyperbola

2 2 x y

⎯⎯⎯⎯ - = 1⎯⎯⎯⎯ 16 9

Posunutá hyperbola

2 2 (x - 1) (y - 2)

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - = 1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

16 9

Parabola

Geometrická definícia

Nech je daná priamka d a bod F, ktorý neleží na d. Množinu všetkých bodov X roviny dF, pre ktoré platí |X,d | = |F,X |, budeme nazývať parabola s ohniskom F a riadiacou priamkou d.

Vzdialenosť |F,d | = p, budeme nazývať parameter paraboly.

Parabola

Symbolicky

P = {XεR; |X;d| = |X;F| }

Parabola

2 y = 4·x

Parabola - posunutá

2 (y - 2) = 4·(x - 3)

Parabola

2 y = - 4·x

Parabola

2 x = 4·y

Parabola

2 x = - 4·y