Analytická geometrie - SGOmatematika.sgo.cz/.../Analyticka_geometrie.pdf · Analytická geometrie...
Transcript of Analytická geometrie - SGOmatematika.sgo.cz/.../Analyticka_geometrie.pdf · Analytická geometrie...
Analytická geometrie
Stránka 1096
Obsah
8. Analytická geometrie ................................................................................................... 1097
8.1. Vektory .................................................................................................................. 1097
8.2. Analytické vyjádření přímky ................................................................................. 1105
8.3. Analytické vyjádření roviny .................................................................................. 1109
8.5. Kuželosečky ........................................................................................................... 1117
8.5.1 Kružnice ......................................................................................................... 1117
8.5.2 Vzájemná poloha přímky a kružnice .............................................................. 1123
8.5.3 Elipsa .............................................................................................................. 1133
8.5.4 Vzájemná poloha přímky a elipsy .................................................................. 1142
8.5.5 Parabola .......................................................................................................... 1149
8.5.6 Hyperbola ....................................................................................................... 1163
Analytická geometrie
Stránka 1097
8. Analytická geometrie
8.1. Vektory
1. Vypočítejte vzdálenost bodů:
a) 4;1 , 7;5A B
b) 1;2 , D 13;7C
c) 2; 3 , 10;3A B
d) 3; 2;6 , D 5; 1; 3C
Řešení:
a)
2 2
1 1 2 2
2 2 2 27 4 5 1 3 4 25 5
AB b a b a
AB
b)
2 2
1 1 2 2
2 2 2 213 1 7 2 12 5 169 13
CD d c d c
CD
c)
2 2
1 1 2 2
2 2 2 210 2 3 3 8 6 100 10
AB b a b a
AB
d)
2 2 2
1 1 2 2 3 3
2 2 2 22 25 3 1 2 3 6 2 1 9 85
CD d c d c d c
CD
2. Vypočítejte délku úsečky AB:
a) 2;1;1 , 4;3;1A B b) 6;1; 2 , 4;0;2A B
Řešení:
a)
2 2 2
1 1 2 2 3 3
2 2 2 24 2 3 1 0 6 2 40 2 10
AB b a b a b c
AB
b)
2 2 2
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 24 6 0 1 2 2 2 1 4 21
AB b a b a b a
AB
3. Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB:
a) 4;3 , 6;5A B
b) 4;1 , 1;3A B
c) 2;1; 3 , 4;3;1A B
d) 2; 4; 5 , 6; 9; 11A B
Řešení:
a)
1 1 2 2;2 2
4 3 6 5;
2 2
5;4
AB
AB
AB
a b a bS
S
S
Analytická geometrie
Stránka 1098
b) 1 1 2 2;
2 2
4 1 1 3;
2 2
3;2
2
AB
AB
AB
a b a bS
S
S
c)
1 1 2 2 3 3; ;2 2 2
2 4 3 1 3 1; ;
2 2 2
1;2; 1
AB
AB
AB
a b a b a bS
S
S
d) 3 31 1 2 2; ;
2 2 2
2 6 4 9 5 11; ;
2 2 2
134; ; 8
2
AB
AB
AB
a ba b a bS
S
S
4. Vypočítejte souřadnice vektoru u , který je určen počátečním bodem A a koncovým
bodem B, jestliže:
a) 3;1 , 1;4A B
b) 1; 5;3 , 2; 1;1A B
Řešení:
a)
1 1 2 2;
1 3;4 1
2;3
u B A b a b a
u
u
b)
1 1 2 2 3 3; ;
2 1; 1 5;1 3
3;4; 2
u B A b a b a b a
u
u
5. Vypočítejte souřadnice vektoru v , který je určen počátečním bodem C a koncovým
bodem D, jestliže:
a) 2;1 , 4; 2C D
b) 1;3; 4 , D 3;1; 4C
Řešení:
a)
1 1 2 2;
4 2; 2 1
6; 3
v D C d c d c
v
v
Analytická geometrie
Stránka 1099
b)
1 1 2 2 3 3; ;
3 1;1 3; 4 4
2; 2;0
v D C d c d c d c
v
v
6. Vypočítejte velikost vektoru u , jestliže:
a) 5; 12u
b) 8;6u
c) 2; 1;3u
d) 12; 3;4u
Řešení:
a)
2 2
1 2
2 25 12 25 144 169 13
13
u u u
u
u
b)
2 2
1 2
2 28 6 64 36 100 10
10
u u u
u
u
c)
2 2 2
1 2 3
22 22 1 3 4 1 9 14
14
u u u u
u
u
d)
2 2 2
1 2 3
22 212 3 4 144 9 16 169 13
13
u u u u
u
u
7. Je dán vektor u a bod A , který je počátečním bodem tohoto vektoru. Vypočítejte
souřadnice koncového bodu B vektoru u , jestliže:
a) 3;1u , 4; 1A
b) 5;2u , 4; 1A
c) 2; 3;1u , 4;3; 2A
d) 3;4; 1u , 8; 1;0C
Řešení:
a)
4 3 ; 1 1
1;0
u B A B A u
B
B
b)
4 5; 1 2
1;1
u B A B A u
B
B
Analytická geometrie
Stránka 1100
c)
4 2;3 3 ; 2 1
6;0; 1
u B A B A u
B
B
d)
8 3 ; 1 4;0 1
5;3; 1
u B A B A u
B
B
8. Body 1;2 , 4;1A B určují vektor u . Určete koncový bod vektoru C, jestliže počátek
vektoru umístíme do počátku soustavy souřadnic.
Řešení:
1 ! 2 2, ;
5; 1
5; 1
u B A C O u C b a b a
u
C
9. Body 3; 1;2 , 1;0;1A B určují vektor u . Určete koncový bod vektoru C, jestliže
počátek vektoru umístíme do počátku soustavy souřadnic.
Řešení:
1 ! 2 2 3 3, ; ;
4; 1;1
4; 1;1
u B A C O u C b a b a b a
u
C
10. Jsou dány body 2;1 , 0; 3 , 5; 2K L M . Určete souřadnice bodu X tak, aby
čtyřúhelník KLMX byl rovnoběžník.
Řešení:
2;4
5 2 ; 2 4
3;2
LK MX
u K L
X M u
X
X
Analytická geometrie
Stránka 1101
11. Jsou dány body 2;1 , 0; 3 , 5; 2K L M . Určete souřadnice bodu X tak, aby
čtyřúhelník KLXM byl rovnoběžník.
Řešení:
2; 4
5 2; 2 4
7; 6
KL MX
u L K
X M u
X
X
12. Jsou dány body 2;1 , 0; 3 , 5; 2K L M . Určete souřadnice bodu X tak, aby
čtyřúhelník KXLM byl rovnoběžník.
Řešení:
5; 1
2 5 ;1 1
7;0
ML KX
u L M
X K u
X
X
13. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor w u v .
Řešení: 1 1 2 2; 3 4;4 2 1;2w u v u v u v
14. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor w u v .
Řešení: 1 1 2 2; 3 4;4 2 7;6w u v u v u v
15. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor 3w u v .
Řešení: 1 1 2 23 3 ;3 3 3 4;3 4 2 5;10w u v u v u v
16. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor 2 3w u v .
Řešení: 1 1 2 22 3 2 3 ;2 3 2 3 3 4;2 4 3 2 18;14w u v u v u v
17. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor 1
22
w u v .
Řešení: 1 1 2 2
1 1 1 1 12 2 ;2 2 3 4;2 4 2 4;7
2 2 2 2 2w u v u v u v
Analytická geometrie
Stránka 1102
18. Jsou dány body 2;0 , 2;1 , 6;2A B C . Zjistěte, zda body A, B, C leží v jedné přímce.
Řešení:
4;1
8;2
podmínka rovnoběžnosti vektorů:
14 8
2
11 2
2
body , , leží na jedné přímce
AB
AC
AB k AC
k k
k k
A B C
19. Jsou dány body 2;4 , 1;2 , 10; 1A B C . Zjistěte, zda body A, B, C leží v jedné
přímce.
Řešení:
3; 2
12; 5
podmínka rovnoběžnosti vektorů:
13 12
4
22 5
5
body , , neleží na jedné přímce
AB
AC
AB k AC
k k
k k
A B C
20. Jsou dány body 3;2;1 , 6;5; 4 , 2;3;4A B C . Dokažte, že tyto body tvoří trojúhelník.
Řešení:
3;3; 5
1;1;3
podmínka rovnoběžnosti vektorů:
3 1 3
3 3
55 3
3
body , , neleží na jedné přímce body , , tvoří trojúhelník
u B A
v C A
AB k AC
k k
k k
k k
A B C A B C
Analytická geometrie
Stránka 1103
21. Jsou dány body 3;2;1 , 5;6; 4 , 7;10; 2A B C . Dokažte, že tyto body tvoří
trojúhelník.
Řešení:
2;4; 5
4;8; 10
podmínka rovnoběžnosti vektorů:
12 4
2
14 8
2
15 10
2
body , , leží na jedné přímce body , , netvoří trojúhelník
u B A
v C A
AB k AC
k k
k k
k k
A B C A B C
22. Dokažte, že vektory a u v jsou navzájem kolmé, jestliže:
a) 3
4;2 , ;32
u v
b) 1
3; , 1; 62
u v
c) 1; 3;4 , 5; 1;2u v
d) 2;1; 3 , 3;0; 2u v
e) 3 1; 2 , 3 1; 2u v
Řešení:
a) 1 1 2 2
34 2 3 6 6 0
2
u v u v u v
u v
u v
b)
1 1 2 2
13 1 6 3 3 0
2
u v u v u v
u v
u v
c)
1 1 2 2 3 5
1 5 3 1 4 2 5 3 8 16
vektory a nejsou navzájem kolmé
u v u v u v u v
u v
u v
d)
1 1 2 2 3 5
2 3 1 0 3 2 6 0 6 0
u v u v u v u v
u v
u v
e)
1 1 2 2
3 1 3 1 2 2 3 1 2 0
u v u v u v
u v
u v
Analytická geometrie
Stránka 1104
23. Jsou dány vektory a u v Vypočítejte vektorový součin w u v , jestliže:
a) 3;1;2 , 2;4;1u v
b) 3;1;0 , 2;0;1u v
c) 3; 1;2 , 6; 2;4u v
d) 1;0;0 , 0;1;0u v
e) 1;2 , 3;4u v
f) 2;1 , 3; 2u v
Řešení:
a)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;
1 8;4 3;12 2 7;1;10
w u v u v u v u v u v u v u v
w
b)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;
1 0;0 3;0 2 1; 3; 2
w u v u v u v u v u v u v u v
w
c)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;
4 4;12 12; 6 6 0;0;0
w u v u v u v u v u v u v u v
w
d)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;
0;0;0 1 0;0; 1
w u v u v u v u v u v u v u v
w
e)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;
1;2 1;2;0 , 3;4 3;4;0
0;0;4 6 0;0; 2
w u v u v u v u v u v u v u v
u v
w
f)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;
2;1 2;1;0 , 3; 2 3; 2;0
0;0;4 3 0;0;1
w u v u v u v u v u v u v u v
u v
w
24. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže:
a) 5;1;0 , 3;5;0 , 6;4;5A B C
b) 1; 1;2 , 3;2;1 , 2;0;3A B C
c) 2;1 , 0; 3 , 5; 2A B C
Řešení:
a)
22 22;4;0 1 1
20;10; 10 20 10 102 21;3;5
1 10 6 600 5 6
2 2
u B AS u v u v S
v C A
b)
22 24;3; 1 1 1
4;3; 7 4 3 72 21;1;1
1 74 74
2 2
u B AS u v u v S
v C A
c)
2
2; 4;0 1 1 10;0;22 22 22 11
2 2 27; 3;0
u B AS u v u v S
v C A
Analytická geometrie
Stránka 1105
8.2. Analytické vyjádření přímky
1. Napište parametrické vyjádření přímky, která je dána bodem A a směrovým vektorem u ,
jestliže:
a) 2;3A , 2; 1u
b) 3;1A , 3; 2u
c) 3;2; 1A , 1;2; 1u
d) 4;1; 1A , 3; 5; 3u
Řešení:
a) ,
2 2
3
X A tu t R
x t
y t
b) ,
3 3 ,
1 2
X A tu t R
x t t R
y t
c) ,
3 ,
2 2
1
X A tu t R
x t t R
y t
z t
d) ,
4 3 ,
1 5
1 3
X A tu t R
x t t R
y t
z t
2. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A a její směrový vektor je u ,
jestliže:
a) 3;1A , 1;5u
b) 4; 3A , 2; 3u
Řešení:
a)
: 0
;
1;5 5; 1
: 5 0
: 5 3 1 0
16
: 5 16 0
p ax by c
n a b
u n
p x y c
A p c
c
p x y
Analytická geometrie
Stránka 1106
b)
: 0
;
2; 3 3; 2
: 3 2 0
: 3 4 2 3 0
18
: 3 2 18 0
p ax by c
n a b
u n
p x y c
A p c
c
p x y
3. Jsou dány body 2; 1 , 4;3A B .Napište parametrické vyjádření rovnice, obecnou
rovnici, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky p, která prochází těmito body.
Řešení:
parametrické vyjádření rovnice přímky
1;5
: ,
: 2 ,
1 5
u B A
p X A tu t R
p x t t R
y t
obecná rovnice přímky
: 0, ;
1;5 5; 1
5 0
: 5 2 1 1 0
11
: 5 11 0
p ax by c n a b
u n
x y c
A p c
c
p x y
směrnicový tvar rovnice přímky
: , ; , ,
: 5 11 0
: 5 11
a cp y kx q n a b k q
b b
p x y
p y x
úsekový tvar rovnice přímky
: 1
: 5 11 0
5 11 /:11
5 11
11 11
111 11
5
x yp
r q
p x y
x y
x y
x y
4. Jsou dány body 3; 4 , 6;2A B . Napište parametrické vyjádření rovnice, obecnou
rovnici, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky p, která prochází těmito body.
Řešení:
/
/
parametrické vyjádření rovnice přímky
9;6 3;2
: ,
: 3 3 ,
4 2
u B A u
p X A tu t R
p x t t R
y t
/
obecná rovnice přímky
: 0, ;
3;2 2; 3
2 3 0
: 2 3 3 4 0
6
: 2 3 6 0
p ax by c n a b
u n
x y c
A p c
c
p x y
Analytická geometrie
Stránka 1107
směrnicový tvar rovnice přímky
: , ; , ,
: 2 3 6 0
2: 2
3
a cp y kx q n a b k q
b b
p x y
p y x
úsekový tvar rovnice přímky
: 1
: 2 3 6 0
2 3 6 /:6
1 11
3 2
13 2
x yp
r q
p x y
x y
x y
x y
5. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici výšky vc.
Řešení:
/8; 2 4; 1
: 4 0
: 4 7 5 0
23
: 4 23 0
cv
c
c
c
n B A n
v x y c
C v c
c
v x y
6. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici výšky vb.
Řešení:
/6;6 1;1
: 0
:9 3 0
6
: 6 0
bv
b
b
b
n C A n
v x y c
B v c
c
v x y
7. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici výšky va.
Řešení:
/2;8 1;4
: 4 0
: 1 4 0
5
: 4 5 0
av
a
b
a
n C B n
v x y c
A v c
c
v x y
Analytická geometrie
Stránka 1108
8. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici těžnice tc.
Řešení:
5; 2
2;7 7; 2
: 7 2 0
: 7 7 2 5 0
39
: 7 2 39 0
c c
AB
t AB t
c
c
c
S
u C S n
t x y c
C t c
c
t x y
9. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici těžnice tb.
Řešení:
/
4;2
5; 5 5;5 1;1
: 0
: 9 3 0
6
: 6 0
b b b
AC
t AC t t
b
b
b
S
u B S n n
t x y c
B t c
c
t x y
10. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici těžnice ta.
Řešení:
8;1
7; 2 2; 7
: 2 7 0
: 2 7 0
9
: 2 7 9 0
a b
BC
t BC t
a
a
a
S
u A S n
t x y c
A t c
c
t x y
Analytická geometrie
Stránka 1109
8.3. Analytické vyjádření roviny
1. Napište obecnou rovnici roviny ABC, jestliže:
a) 1; 1; 1 , 5; 1;3 , 2;0; 2A B C
b) 1;2;3 , 1;1; 2 , 1;1;0A B C
c) 1;2;3 , 0; 1;2 , 2;3;8A B C
d) 2;3;1 , 0;1;0 , 1;2; 1A B C
e) 2;3;1 , 0;1;0 , 4;5;2A B C
Řešení:
a)
/
/ / / / / / /
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
: 0; ; ;
4;0;4 1;0;1
1;1; 1
; ;
1; 2; 1
: 2 0
:1 2 1 0
4
2 4 0
: 2
ax by cz d n a b c
u B A u
v C A
n u v u v u v u v u v u v u v
n
x y y d
A d
d
x y y
x y z
4 0
b)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
/
: 0; ; ;
2; 1; 5
0; 1; 3
; ;
2; 6;2 1;3; 1
: 3 0
:1 6 3 0
4
: 3 4 0
ax by cz d n a b c
u B A
v C A
n u v u v u v u v u v u v u v
n n
x y y d
A d
d
x y z
Analytická geometrie
Stránka 1110
c)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
/
: 0; ; ;
1; 3; 1
1;1; 5
; ;
16; 4; 8 4; 1; 2
: 4 2 0
: 4 2 6 0
12
: 4 2 12 0
ax by cz d n a b c
u B A
v C A
n u v u v u v u v u v u v u v
n n
x y z d
A d
d
x y z
d)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
: 0; ; ;
2; 2; 1
3; 1; 2
; ;
3; 1; 2
: 3 2 0
: 6 3 2 0
1
: 3 2 1 0
ax by cz d n a b c
u B A
v C A
n u v u v u v u v u v u v u v
n
x y z d
A d
d
x y z
e)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
: 0; ; ;
2; 2; 1
2;2;1
; ;
0;0;0
Body leží na jedné přímce a neurčují tak jednoznačně rovinu.
1
ax bz cz d n a b c
u B A
v C A
n u v u v u v u v u v u v u v
n
u v u v
2. Napište obecnou rovnici roviny , jestliže:
a)
: 1 3 2 ; ,
2 2
3 3
x t s t s R
y t s
z t s
b)
: 3 3 ; ,
2 2
2
x t s t s R
y t s
z t s
Řešení:
a)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
: ; ,
: 0; ; ;
1; 2; 3
3; 1;1; ; 5; 7;8
2; 2; 3
X A t u s v t s R
ax by cz d n a b c
A
un u v u v u v u v u v u v u v n
v
Analytická geometrie
Stránka 1111
: 5 7 8 0
: 5 14 24 0
5
: 5 7 8 5 0
x y z d
A d
d
x y z
b)
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
: ; ,
: 0; ; ;
3; 2;2
1;2; 1; ; 1; 4; 7
3; 1;1
: 4 7 0
:3 8 14 0
3
: 4 7 3 0
X A t u s v t s R
ax by cz d n a b c
A
un u v u v u v u v u v u v u v n
v
x y z d
A d
d
x y z
3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin, jestliže:
a) : 2 3 6 0
: 3 2 2 0
x y z
x y z
b) : 2 3 6 0
: 3 6 9 20 0
x y z
x y z
c) : 2 3 6 0
: 4 2 6 12 0
x y z
x y z
Řešení:
a)
1;2; 3
3;2; 1
normálové vektory rovin nejsou lineárně závislé, tzn roviny jsou různoběžné,
vypočítáme parametrické vyjádření průsečnice
n
n
2 3 6 0
3 2 2 0
2 3 6 0 / 3
3 2 2 0
4 8 16 0
4 2
2 4 2 3 6 0
8 4 3 6 0
2
: 2 ;
x y z
x y z
z t
x y t
x y t
y t
y t
x t t
x t t
x t
x t t R
4 2
y t
z t
Analytická geometrie
Stránka 1112
b)
1;2; 3
3;6; 9
3
normálové vektory rovin jsou lineárně závislé, tzn roviny jsou totožné
nebo rovnoběžné různé. Určíme množinu společných bodů.
2 3 6 0 / -3
3 6 9 20 0
n
n
n n
x y z
x y z
2 0
Roviny nemají společné body, jsou tedy rovnoběžné různé.
c)
: 2 3 6 0
: 4 2 6 12 0
2;1; 3
4;2; 6
2
normálové vektory rovin jsou lineárně závislé, tzn roviny jsou totožné
nebo rovnoběžné různé. Určíme množinu společných bodů.
2 3 6 0 /
x y z
x y z
n
n
n n
x y z
-2
4 2 6 12 0
0=0
Roviny mají nekonečně mnoho společných bodů, jsou tedy totožné.
x y z
4. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a je kolmá k přímce p , jestliže:
a) 12; 3;1A , : , 2 3 , 1 ; p t t t t R
b) 3;5; 1A , 2 ; 3 2 ; 3 ;p t t t t R
Řešení:
a)
12; 3;1
: ;
2 3
1
1;3; 1
: 3 0
:12 3 3 1 0
2
: 3 2 0
p
p
A
p x t t R
y t
z t
u
p u n
x y z d
A d
d
x y z
Analytická geometrie
Stránka 1113
b)
3;5; 1
2 ;3 2 ; 3 ;
1; 2; 3
: 2 3 0
: 3 2 5 3 1 0
10
: 2 3 10 0
p
p
A
p t t t t R
u
p u n
x y z d
A d
d
x y z
5. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem 2;8; 3A a je kolmá k vektoru
1;2;1n .
Řešení:
2;8; 3
1;2;1
: 2 0
: 2 2 8 3 0
11
: 2 11 0
A
n
n n
x y z d
A d
d
x y z
6. Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem 1;2;3A a přímkou
: , 2 3 , 1 ; p t t t t R .
Řešení:
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1;2;3
: ;
2 3
1
; 0;2;1
1; 3;1
1;0; 2
; ;
6;1; 3
: 6 3 0
: 6 2 3 3 0
1
: 6 3
A
p x t t R
y t
z t
B p B
u
v B A
n u v u v u v u v u v u v u v
n
x y z d
A d
d
x y z
1 0
Analytická geometrie
Stránka 1114
7. Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem 1; 1; 3A a přímkou
2 2 ; 1 ; 2 3 ; p t t t t R .
Řešení:
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1; 1; 3
2 2 ; 1 ; 2 3 ;
; 2;1; 2
2; 1;3; ; 7;5; 3
1;2;1
: 7 5 3 0
: 7 5 3 3 0
3
: 7
A
p t t t t R
B p B
un u v u v u v u v u v u v u v n
v B A
x y z d
A d
d
5 3 3 0x y z
8. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny , jestliže:
a) : 2 , 3 4 , 3 ; p t t t t R , : 4 5 6 0x y z
b) : 3 2 , 1 , 1 3 ; p t t t t R , : 3 3 13 0x y z
c) : 4 , 3 2 , 8 3 ; p t t t t R , : 2 7 3 0x y z
d) : 1 6 , 4, 1 2 ; p t t t R , : 2 3 4 0x y z
e) : 2 , 3 , 3 4 ; p t t t t R , : 5 4 6 0x y z
Řešení:
a)
: 4 5 6 0
: 2 ;
3 4
3
: 2 4 3 4 5 3 6 0
2 12 16 15 6 0
16 2
x y z
p x t t R
y t
z t
p t t t
t t t
t
8
přímka je různoběžná s rovinou, mají jeden společný bod
: 2 8 10
3 4 8 29
3 8 24
10; 29; 24
t
P
P p x
y
z
p P
Analytická geometrie
Stránka 1115
b)
: 3 3 13 0
: 3 2 ;
1
1 3
: 3 3 2 3 1 1 3 13 0
9 6 3 3 1 3 13 0
0 0
rovnice má nekonečně
x y z
p x t t R
y t
z t
p t t t
t t t
mnoho řešení,
přímka má s rovinou nekonečně mnoho společných bodů
přímka leží v rovině
p
c)
: 2 7 3 0
: 4 ;
3 2
8 3
: 2 4 3 2 7 8 3 3 0
8 2 3 2 56 21 3 0
21t 42
x y z
p x t t R
y t
z t
p t t t
t t t
2
rovnice má jedno řešení,
přímka je různoběžná s rovinou, mají jeden společný bod
: 4 2 2
3 2 2 7
8 3 2 2
2;7;2
t
P
P p x
y
z
p P
d)
: 2 3 4 0
: 1 6 ;
4
1 2
:1 6 2 4 3 1 2 4 0
1+6 8 3 6 4 0
0 0
rovnice má nekonečn
x y z
p x t t R
y
z t
p t t
t t
ě mnoho řešení,
přímka má s rovinou nekonečně mnoho společných bodů
přímka leží v rovině
p
Analytická geometrie
Stránka 1116
e)
: 5 4 6 0
: 2 ;
3
3 4
: 2 5 3 4 3 4 6 0
2 15 12 16 6 0
8 0
rovnice nemá řešení,
přímka nemá s rovinou s
x y z
p x t t R
y t
z t
p t t t
t t t
polečné body,
jsou rovnoběžné různé
p
p
Analytická geometrie
Stránka 1117
8.5. Kuželosečky
8.5.1 Kružnice
1. Napište středovou a obecnou rovnici kružnice ;k S r , jestliže:
a) 1; 3S , 3r b) 2;1S , 4r
Řešení:
a)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
; ,
:
1; 3 , 3
: 1 3 9
2 1 6 9 9 0
: 2 6 1 0
S m n r
k x m y n r
S r
k x y
x x y y
k x y x y
b)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
; ,
:
2;1 , 4
: 2 1 16
4 4 2 1 16 0
: 4 2 9 0
S m n r
k x m y n r
S r
k x y
x x y y
k x y x y
2. Určete střed a poloměr kružnice k , jestliže:
a) 2 2: 4 8 15 0k x y x y
b) 2 2: 6 5 0k x y x
c) 2 2: 6 12 6 0k x y x y
d) 2 2: 4 2 12 0k x y x y
Řešení:
a)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
:
; ,
: 4 8 15 0
4 8 15 0
4 4 4 8 16 16 15 0
2 4 5
2; 4 , 5
k x m y n r
S m n r
k x y x y
x x y y
x x y y
x y
S r
Analytická geometrie
Stránka 1118
b)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
:
; ,
: 6 5 0
6 5 0
6 9 9 5 0
3 4
3;0 , 2
k x m y n r
S m n r
k x y x
x x y
x x y
x y
S r
c)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
:
; ,
: 6 12 6 0
6 12 6 0
6 6 6 12 12 122 2 6 0
2 4 4 2 4 4
6 423
2 4
6 42; 3 ,
2 2
k x m y n r
S m n r
k x y x y
x x y y
x x y y
x y
S r
d)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
:
; ,
: 4 2 12 0
4 2 12 0
4 4 4 2 1 1 12 0
2 1 7
7
nejedná se o rovnici kružnice
k x m y n r
S m n r
k x y x y
x x y y
x x y y
x y
r
3. Napište středový tvar rovnice kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB, jestliže:
a) 0;1 , 4;3A B
b) 3;2 , 1;6A B
Analytická geometrie
Stránka 1119
Řešení:
a)
1 1 2 2
22
2 2
0;1 , 4;3
2;2;
2 2
2 1 5
: 2 2 5
A B
Sa b a bS
r SA
k x y
b)
1 1 2 2
2 2
2 2
3;2 , 1;6
1;4;
2 2
2 2 8
: 1 4 8
A B
Sa b a bS
r SA
k x y
4. Napište středový tvar rovnice kružnice opsané trojúhelníku ABC, jestliže:
a) 1; 3 , 2;0 , 1;1A B C b) 5; 5 , 4;2 , 3;1A B C
Řešení:
a)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
1; 3 , 2;0 , 1;1
:
: 1 3
: 2
: 1 1
1 2 9 6
4 4
1 2 1 2
2 6 10
4 4
A B C
k x m y n r
A k m n r
B k m n r
C k m n r
m m n n r
m m n r
m m n n r
m n m n r
m n m r
m n
2
22
2 2
2 2 2
2 6 6 2
4 8 8
32 32 1
2 6 6 0 : 1 5
1 6 10 5
m n r
m n
m n
n n
m m k x y
r r
Analytická geometrie
Stránka 1120
b)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
5; 5 , 4;2 , 3;1
:
: 5 5
: 4 2
: 3 1
25 10 25 10
16 8 4 4
9 6 1 2
10 10 50
8 4 20
6 2 10
A B C
k x m y n r
A k m n r
B k m n r
C k m n r
m m n n r
m m n n r
m m n n r
m n m n r
m n m n r
m n m n r
2 2
2 2
2 14 30 8
16 12 40
100 200 2
2 28 30 1 : 1 2 5
1 4 10 20 50 5
m n
m n
n n
m m k x y
r r
5. Napište rovnici kružnice, která se osy x dotýká v bodě 6;0A a osu y protíná v bodě
0; 8B .
Řešení:
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
22
Osa je tečnou ke kružnici, proto bude střed kružnice 6;
: 6 6 0
: 0 6 8
36 64 16
100 2516 100
16 4
625
16
25 625: 6
4 16
x S n
A k n r
B k n r
n n n
n n
r n
k x y
Analytická geometrie
Stránka 1121
6. Napište rovnici kružnice, která se osy y dotýká v bodě 0;3A a osu x protíná v bodě
4;0B .
Řešení:
2 2 2
2 2 2
2 2
22
2 2
Osa je tečnou ke kružnici, proto bude střed kružnice ;3
: 0 3 3
: 4 0 3
16 8 9
2525 8
25 6258: 3
625 8 64
64
y S m
A k m r
B k m r
m m m
m m
k x y
r n
7. Napište rovnici kružnice, která prochází body 2; 3 , 4; 1M N a dotýká se osy y.
Řešení:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2; 3 , 4; 1 , L 0;n
: 2 3
: 4 1
: 0
4 4 9 6
16 8 1 2
m
4 6 13 0
8 2 17 0
m
M N
M k m n r
N k m n r
L k m n n r
m m n n r
m m n n r
r
m n r m n
m n r m n
2
2
2
2
2
1,2
2 22
1 1 1 1
2 2
0
4 4 4 0 1
4 6 13 0
1 4 6 1 13 0
1 2 4 6 6 13 0
12 20 0
12 144 806 4
2
10, 1 10 9, r 100 : 10 9 100
2,
r
m n n m
n m n
m m m
m m m m
m m
m
m n k x y
m n
2 22
2 21 2 1, 4 : 2 1 4r k x y
Analytická geometrie
Stránka 1122
8. Napište rovnici kružnice, která prochází body 3; 2 , 1; 4M N a dotýká se osy x.
Řešení:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
3; 2 , 1; 4 , L m;0
: 3 2
: 1 4
: 0
9 6 4 4
1 2 16 8
n
6 4 13 0
2 8 17 0
M N
M k m n r
N k m n r
L k m m n r
m m n n r
m m n n r
r
m n r m n
m n r m n
n
2
2
2
2
2
1,2
2
1 1 1
2 2 2
0
4 4 4 0 1
6 4 13 0
1 6 1 4 13 0
1 2 6 6 4 13 0
12 20 0
12 144 806 4
2
2, m 1 2 1, r 4
10, m 1 10 9,
r
m n m n
m m n
n n n
n n n n
n n
n
n
n r
2
2 2
1
2 2
2
100
: 1 2 4
: 9 10 100
k x y
k x y
9. Napište rovnici kružnice, která je obrazem kružnice 2 2
: 3 2 16l x y ve středové
souměrnosti podle bodu 3; 5S .
Řešení:
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
je střed úsečky , kde 3; 5 a 3;2
;2 2
2 ;2 6 3 ; 10 2 9; 12
: 9 12 16
k l l
l k l k
k l l k k
S S S S S
s s s sS
S s s s s S S
k x y
Analytická geometrie
Stránka 1123
8.5.2 Vzájemná poloha přímky a kružnice
1. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 1 0p x y .
Řešení:
2 222
2 2
2
2
2
1,2
1 1
2 2
1 2
: 25: 1 25
: 1 0 1
2 1 25 0
2 2 24 0
12 0
4
1 4 1 12 49 0
přímka je sečnou kružnice
1 47
2 2
3 3 1 4
4 4 1 3
3; 4 , 4;3
k x yk p x x
p x y y x
x x x
x x
x x
D b ac
D
p k
b Dx
a
x y
x y
P P
2. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 7 25 0p x y .
Řešení:
2 2
22
2 2
2
2
2
1,2
1 1
2 2
1
: 25: 25 7 25
: 7 25 0 25 7
625 350 49 25 0
50 350 600 0
7 12 0
4
49 4 1 12 1 0
přímka je sečnou kružnice
7 1
2 2
4 25 28 3
3 25 21 4
4;
k x yk p x x
p x y y x
x x x
x x
x x
D b ac
D
p k
b Dx
a
x y
x y
P
23 , 3;4P
Analytická geometrie
Stránka 1124
3. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 7 25 0p x y .
Řešení:
2 22 2
2 2
2
2
2
1,2
1 1
2 2
1
: 25: 25 7 25
: 7 25 0 25 7
625 350 49 25 0
50 350 600 0
7 12 0
4
49 4 1 12 1 0
přímka je sečnou kružnice
7 1
2 2
3 25 7 3 4
4 25 28 3
k x yk p y y
p x y x y
y y y
y y
y y
D b ac
D
p k
b Dy
a
y x
y x
P
24; 3 , 3; 4P
4. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2
: 3 2 25k x y a přímky : 7 14 0p x y .
Řešení:
2 22 2
2 2
2 2
2
2
2
1,2
1
: 3 2 25: 7 14 3 2 25
: 7 14 0 7 14
7 11 2 25 0
49 154 121 4 4 25 0
50 150 100 0
3 2 0
4
9 4 1 2 1 0
přímka je sečnou kružnice
3 1
2 2
1
k x yk p y y
p x y x y
y y
y y y y
y y
y y
D b ac
D
p k
b Dy
a
y x
1
2 2
1 2
7 1 14 7
2 7 2 14 0
7; 1 , 0; 2
y x
P P
Analytická geometrie
Stránka 1125
5. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2
: 3 2 25k x y a přímky : 2 0q x y .
Řešení:
2 22 2
2 2
2 2
2
2
2
1,2
1 1
2 2
: 3 2 25: 2 3 2 25
: 2 0 2
1 2 25 0
2 1 4 4 25 0
2 6 20 0
3 10 0
4
9 4 1 10 49 0
přímka je sečnou kružnice
3 7
2 2
5 5 2 7
2
k x yk q y y
q x y x y
y y
y y y y
y y
y y
D b ac
D
q k
b Dy
a
y x
y x
1 2
2 2 0
7;5 , 0; 2P P
6. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2
: 3 2 25k x y a přímky :3 4 1 0r x y .
Řešení:
2 22
2
22
2 2
2
2
2
: 3 2 254 1
: 3 2 254 1 3: 3 4 1 03
16 8 18 2 9 4 4 25 0
9
16 8 1 72 18 81 9 36 36 225 0
25 100 125 0
4 5 0
4
16 4 1 5 36 0
přímka je sečnou kr
k x yy
k r yyr x y x
y yy y y
y y y y y
y y
y y
D b ac
D
r
1,2
1 1
2 2
1 2
užnice
4 6
2 2
4 5 15 7
3
4 1 11 1
3
7;5 , 1; 1
k
b Dy
a
y x
y x
P P
Analytická geometrie
Stránka 1126
7. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 4 3 25 0p x y .
Řešení: 2 2
2
2
22
2 2
2
2
2
: 2525 3
: 2525 34: 4 3 25 0
4
625 150 925 0
16
625 150 9 16 400 0
25 150 225 0
6 9 0
4
36 4 1 9 0
přímka je tečnou ke kružnici
6
2 2
25 93
k x yy
k p yyp x y x
y yy
y y y
y y
y y
D b ac
D
p k
by
a
y x
44
4;3T
8. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky :3 4 25 0p x y .
Řešení: 2 2
2
2
22
2 2
2
2
2
: 254 25
: 254 253: 3 4 25 0
3
16 200 62525 0
9
16 200 625 9 225 0
25 200 400 0
8 16 0
4
64 4 1 16 0
přímka je tečnou ke kružnici
8
2 2
164
k x yy
k p yyp x y x
y yy
y y y
y y
y y
D b ac
D
p k
by
a
y x
253
3
3;4T
9. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 4 3 25 0p x y .
Analytická geometrie
Stránka 1127
Řešení:
2 22
2
22
2 2
2
2
2
: 253 25
: 253 254: 4 3 25 0
4
9 150 62525 0
16
9 150 625 16 400 0
25 150 225 0
6 9 0
4
36 4 1 9 0
přímka je tečnou ke kružnici
6
2 2
3
k x yy
k p yyp x y x
y yy
y y y
y y
y y
D b ac
D
p k
by
a
y x
3 3 254
4
4; 3T
10. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2
: 3 2 25k x y a přímky : 4 3 7 0s x y .
Řešení:
2 22
2
22
2 2
2
2
2
: 3 2 253 7
: 3 2 253 7 4: 4 3 7 04
9 42 49 18 429 4 4 25 0
16 4
9 42 49 72 168 144 16 64 64 400 0
25 50 25 0
2 1 0
4
4 4 1 1 0
přímka je tečno
k x yy
k s yys x y x
y y yy y
y y y y y
y y
y y
D b ac
D
s
u ke kružnici
2
2 2
3 1 71 1
4
1; 1
k
by
a
y x
T
Analytická geometrie
Stránka 1128
11. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2
: 3 2 25k x y a přímky
: 4 3 19 0a x y .
Řešení:
2 22
2
22
2 2
2
2
2
: 3 2 253 19
: 3 2 253 19 4: 4 3 19 04
9 114 361 18 1149 4 4 25 0
16 4
9 114 361 72 456 144 16 64 64 400 0
25 250 625 0
10 25 0
4
100 4 1 25 0
přím
k x yy
k a yya x y x
y y yy y
y y y y y
y y
y y
D b ac
D
ka je tečnou ke kružnici
10
2 2
3 5 195 1
4
1;5
a k
by
a
y x
T
12. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 3 18 0p x y .
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2
2
2
: 25: 3 18 25
: 3 18 0 3 18
9 108 324 25 0
10 108 299 0
4
108 4 10 299 296 0
přímka je vnější přímkou ke kružnici
k x yk p y y
p x y x y
y y y
y y
D b ac
D
p k
Analytická geometrie
Stránka 1129
13. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 10 0p x y .
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2
2
2
: 25: 10 25
: 10 0 10
20 100 25 0
2 20 75 0
4
20 4 2 75 200 0
přímka je vnější přímkou ke kružnici
k x yk p y y
p x y x y
y y y
y y
D b ac
D
p k
14. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky :5 4 40 0p x y .
Řešení: 2 2
2
2
22
2 2
2
2
2
: 255 40
: 255 404:5 4 40 0
4
25 400 160025 0
16
16 25 400 1600 400 0
41 400 1200 0
4
400 4 41 1200 36800 0
přímka je vnější přímkou ke kružnici
k x yx
k p xxp x y y
x xx
x x x
x x
D b ac
D
p k
15. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2
: 3 2 25k x y a přímky : 5 0b x y .
Řešení:
2 22 2
2 2
2 2
2
2
: 3 2 25: 5 3 2 25
: 5 0 5
8 2 25
16 64 4 4 25 0
2 12 43 0
4
144 4 2 43 200 0
přímka je vnější přímka ke kružnici
k x yk b y y
b x y x y
y y
y y y y
y y
D b ac
D
b k
Analytická geometrie
Stránka 1130
16. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2
: 3 2 25k x y a přímky
: 4 3 20 0c x y .
Řešení:
2 22
2
22
2 2
2
2
: 3 2 253 20
: 3 2 253 20 4: 4 3 20 04
9 120 400 18 1209 4 4 25 0
16 4
9 120 400 72 480 144 16 64 64 400 0
25 256 688 0
4
65536 4 25 688 3264 0
přímk
k x yy
k c yyc x y x
y y yy y
y y y y y
y y
D b ac
D
a je vnější přímkou ke kružnici c k
17. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2
: 3 2 25k x y a přímky : 3 15 0d x y .
Řešení:
2 22 2
2 2
2 2
2
2
: 3 2 25: 3 15 3 2 25
: 3 15 0 3 15
3 12 2 25
9 72 144 4 4 25 0
10 68 123 0
4
4624 4 10 123 296 0
přímka je vnější přímkou ke kružnici
k x yk d y y
d x y x y
y y
y y y y
y y
D b ac
D
d k
18. Je dána kružnice 2 2
: 2 4 8k x y . Napište rovnici tečny v bodě 0;6A .
Řešení:
0 0
2 2 2
2
0 0
2 2
1
1
; , ; , ; , ,
:
: 0
: 2 4 8, 0;6
: 2 0 2 4 6 4 8 0 2 4 2 8 8 0
: 6 0
k S r S m n T x y T k t k T
k x m y n r
t x m x m y n y n r
k x y A
t x y x y
t x y
Analytická geometrie
Stránka 1131
19. Je dána kružnice 2 2
: 2 4 8k x y . Napište rovnici tečny v bodě 4;6B .
Řešení:
0 0
2 2 2
2
0 0
2 2
2
2
; , ; , ; , ,
:
: 0
: 2 4 8, 4;6
: 2 4 2 4 6 4 8 0 2 4 2 8 8 0
: 10 0
k S r S m n T x y T k t k T
k x m y n r
t x m x m y n y n r
k x y B
t x y x y
t x y
20. Je dána kružnice 2 2
: 2 4 8k x y . Napište rovnici tečny v bodě 4;2C .
Řešení:
0 0
2 2 2
2
0 0
2 2
3
3
; , ; , ; , ,
:
: 0
: 2 4 8, 4;2
: 2 4 2 4 2 4 8 0 2 4 2 8 8 0
: 2 0
k S r S m n T x y T k t k T
k x m y n r
t x m x m y n y n r
k x y C
t x y x y
t x y
21. Je dána kružnice 2 2: 29k x y . Napište rovnici tečny v bodě 5;2A .
Řešení:
0 0
2 2 2
2
0 0
2 2
1
1
; , 0;0 , ; , ,
:
: 0
: 29, 5;2
: 5 2 29 0
: 5 2 29 0
k S r S T x y T k t k T
k x y r
t xx yy r
k x y A
t x y
t x y
22. Je dána kružnice 2 2: 29k x y . Napište rovnici tečny v bodě 2; 5B .
Řešení:
0 0
2 2 2
2
0 0
2 2
2
2
; , 0;0 , ; , ,
:
: 0
: 29, 2; 5
: 2 5 29 0
: 2 5 29 0
k S r S T x y T k t k T
k x y r
t xx yy r
k x y B
t x y
t x y
Analytická geometrie
Stránka 1132
23. Je dána kružnice 2 2: 29k x y . Napište rovnici tečny v bodě 2; 5C .
Řešení:
0 0
2 2 2
2
0 0
2 2
3
3
; , 0;0 , ; , ,
:
: 0
: 29, 2; 5
: 2 5 29 0
: 2 5 29 0
k S r S T x y T k t k T
k x y r
t xx yy r
k x y C
t x y
t x y
Analytická geometrie
Stránka 1133
8.5.3 Elipsa
1. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech 1 23;1 , 5;3F F a
hlavní vrchol 4;3A .
Řešení:
1 2 1 2
1 2 2
2 2
;2 2
1;3 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou
41 3
5 : 125 9
3
F F F Fx x y yS
S x
e SFx y
a SA
b a e
E
2. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech 1 23;3 , 7;3F F a hlavní
vrchol 9;3B .
Řešení:
1 2 1 2
1 2 2
2 2
;2 2
5;3 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou
25 3
4 : 116 10
10
F F F Fx x y yS
S x
e SFx y
a SA
b a e
E
3. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohnisko v bodě 1 2;3F a vedlejší vrcholy
1;5 , 1;1C D .
Řešení:
1 2 2
2 2
;2 2
1;3 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou
31 3
2 : 113 4
13
C D C Dx x y yS
S x
e SFx y
b SC
a b e
E
Analytická geometrie
Stránka 1134
4. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech 1 23; 2 , 3;6F F a
hlavní vrchol 3;7A .
Řešení:
1 2 1 2
1 2 2
2 2
;2 2
3;2 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou
43 2
5 : 19 25
3
F F F Fx x y yS
S y
e SFx y
b SA
a b e
E
5. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohnisko v bodě 1 4;3F a hlavní vrcholy
4;6 , 4; 2A B .
Řešení:
1 2 2
2 2
;2 2
4;2 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou
14 2
4 : 115 16
15
A B A Bx x y yS
S y
e SFx y
b SA
a b e
E
6. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má hlavní vrcholy 1;5 , 1;1A B a vedlejší
vrchol 2;2C . Napište souřadnice bodů S, F1, F2 a D.
Řešení:
2 2
2 2
1 1
2 2
;2 2
1;2 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou
51 2
3 : 19 25
13
; 1;6
; 1; 2
a; 4;2
A B A B
S S
S S
S S
x x y yS
S y
b SAx y
a SC
e b a
F x y e F
F x y e F
D x y D
E
Analytická geometrie
Stránka 1135
7. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrcholy 2;2 , 4;2C D a hlavní
vrchol 3;8A . Napište souřadnice bodů S, F1, F2 a B.
Řešení:
2
2
2 2
1 1
2 2
;2 2
3;2 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou
63
1 : 2 136
35
; 3;2 35
; 3;2 35
; 3; 4
C D C D
S S
S S
S S
x x y yS
S y
b SAx
a SC y
e b a
F x y e F
F x y e F
B x b y B
E
8. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrchol 1;0C , hlavní vrchol
3;8A a její hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x. Napište souřadnice bodů S, F1, F2, D
a B.
Řešení:
2 2
2 2
1 1
2 2
hlavní polosa je rovnoběžná s osou ;
1; 3 , 1 3
6 : 136 9
3
27 3 3
; 1 3 3; 3
; 1 3 3; 3
; 7; 3
; 1; 6
C A
S S
S S
S S
S S
x S x y
Sx y
a SA
b SC
e a b
F x e y F
F x e y F
B x a y B
D x y b D
E
Analytická geometrie
Stránka 1136
9. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrchol 2;4C , ohnisko 1 5;6F
a její hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y. Napište souřadnice bodů S, F2, D, A a B.
Řešení:
1
1 2 2
2 2
2 2
hlavní polosa je rovnoběžná s osou ;
5;4 ,
25 4
3 : 14 9
13
; 5;2
; 5;4 13
; 5;4 13
; 8;4
F C
S S
S S
S S
S S
y S x y
S
e SFx y
a SC
b a e
F x y e F
A x y b A
B x y b B
D x y a D
E
10. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 5 9 45 0x y E . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu a souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů
a ohnisek.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
: 5 9 45 0
5 9 45 / : 45
19 5
0;0
3,
5
9 5 4 2
3;0 , 0;3 , 0; 5 , 0; 5 ,
2;0 , 2;0
x y
x y
x y
S
a o x
b
e a b
A B C D
E F
E
Analytická geometrie
Stránka 1137
11. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 3 2 6 0x y E . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu a souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů
a ohnisek.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
: 3 2 6 0
3 2 6 / : 6
12 3
0;0
3,
2
3 2 1
hlavní vrcholy 0; 3 , 0; 3 ,
vedlejší vrcholy 2;0 , 2;0 ,
ohniska 0; 1 , 0;1
x y
x y
x y
S
a o y
b
e b a
A B
C D
E F
E
12. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 9 4 5 0x y x E . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu a souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů
a ohnisek.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
: 9 4 5 0
4 4 4 9 5 0
2 9 9 / : 9
21
9
2;0
3,
1
9 1 8
hlavní vrcholy 3;0 , 3;0 ,
vedlejší vrcholy 0;1 , 0; 1 ,
ohniska 8;0 , 8;0
x y x
x x y
x y
xy
S
a o x
b
e a b
A B
C D
E F
E
Analytická geometrie
Stránka 1138
13. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 9 16 36 96 396 0x y x y E . Určete souřadnice
středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
: 9 16 36 96 396 0
9 36 16 96 396 0
9 4 16 6 396 0
9 4 4 36 16 6 9 144 396 0
9 2 16 3 576 / : 576
2 31
64 36
2; 3
8,
6
64 36 28 2 7
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a o x
b
e a b
E
14. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 2 4 2 0x y x y E . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
: 2 4 2 1 0
2 4 2 1 0
2 2 2 1 0
2 2 1 2 2 1 1 1 0
2 1 1 4 / : 4
1 11
2 4
1; 1
2
2,
4 2 2
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a
b o y
e b a
E
Analytická geometrie
Stránka 1139
15. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 16 25 96 100 156 0x y x y E . Určete souřadnice
středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
:16 25 96 100 156 0
16 96 25 100 156 0
16 6 25 4 156 0
16 6 9 144 25 4 4 100 156 0
16 3 25 2 400 / : 400
3 21
25 16
3;2
5,
4
25 16 9 3
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a o x
b
e a b
E
16. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 2 10 4 23 0x y x y E . Určete souřadnice středu
elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
: 2 10 4 23 0
10 2 4 23 0
10 2 2 23 0
10 25 25 2 2 1 2 23 0
5 2 1 4 / : 4
5 11
4 2
5; 1
2,
2
4 2 2
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a o x
b
e a b
E
Analytická geometrie
Stránka 1140
17. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 2 4 4 0x y x y E . Určete souřadnice středu elipsy,
velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
: 2 4 4 0
2 4 4 0
2 2 4 0
2 2 1 2 4 4 4 0
2 1 2 6 / : 6
1 21
3 6
1;2
3
6,
6 3 3
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a
b o y
e b a
E
18. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 4 4 24 24 0x y x y E . Určete souřadnice středu
elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
: 4 4 24 24 0
4 4 24 24 0
4 4 6 24 0
4 4 4 4 6 9 36 24 0
2 4 3 16 / :16
2 31
16 4
2;3
4,
2
16 4 12 3 2
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a o x
b
e a b
E
Analytická geometrie
Stránka 1141
19. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 144 169 864 1690 18815 0x y x y E . Určete
souřadnice středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
:144 169 864 1690 18815 0
144 864 169 1690 18815 0
144 6 169 10 18815 0
144 6 9 1296 169 10 25 4225 18815 0
144 3 169 5 24336 / : 24336
3 51
169 144
3;5
13,
12
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a o x
b
e a
E
2 2 169 144 25 5b
Analytická geometrie
Stránka 1142
8.5.4 Vzájemná poloha přímky a elipsy
1. Je dána elipsa 2 2
: 140 24
x y E . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě 1 5;3T .
Řešení:
2 2
0 02 2
0 0
2 2
2 2
1
1
1
: 1, 0;0 , ; ,
: 1 0
: 1, 5;340 24
5 3: 1 0 1 0
40 24 8 8
: 8 0
x yS T x y T t
a b
xx yyt
a b
x yT
x y x yt
t x y
E E
E
2. Je dána elipsa 2 2
: 140 24
x y E . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě 2 5;3T .
Řešení:
2 2
0 02 2
0 0
2 2
2 2
2
2
2
: 1, 0;0 , ; ,
: 1 0
: 1, 5;340 24
5 3: 1 0 1 0
40 24 8 8
: 8 0
x yS T x y T E t
a b
xx yyt
a b
x yT
x y x yt
t x y
E
E
Analytická geometrie
Stránka 1143
3. Je dána elipsa
2 22 4
: 140 10
x y E . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě
1 4;7T .
Řešení:
2 2
0 02 2
0 0
2 2
2 2
1
1
1
: 1, ; , ; ,
: 1 0
2 4: 1, 2;4 , 4;7
40 10
4 2 2 7 4 4 2 4 3 12: 1 0 1 0
40 10 40 10
2 3 121 0 2 6 24 20 0
20 10
: 6 46 0
x m y nS m n T x y T t
a b
x m x m y n y nt
a b
x yS T
x y x yt
x yx y
t x y
E E
E
4. Je dána elipsa
2 22 4
: 140 10
x y E . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě
2 8;5T .
Řešení:
2 2
0 02 2
0 0
2 2
2 2
2
2
2
: 1, ; , ; ,
: 1 0
2 4: 1, 2;4 , 8;5
40 10
8 2 2 5 4 4 6 12 4: 1 0 1 0
40 10 40 10
3 6 41 0 3 6 2 8 20 0
20 10
:3 2 34 0
x m y nS m n T x y T E t
a b
x m x m y n y nt
a b
x yS T
x y x yt
x yx y
t x y
E
E
Analytická geometrie
Stránka 1144
5. Je dána elipsa
2 22 4
: 140 10
x y E . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě
3 4;5T .
Řešení:
2 2
0 02 2
0 0
2 2
2 2
3
2
2
: 1, ; , ; ,
: 1 0
2 4: 1, 2;4 , 4;5
40 10
4 2 2 5 4 4 6 12 4: 1 0 1 0
40 10 40 10
3 6 41 0 3 6 2 8 20 0
20 10
: 3 2 22 0
x m y nS m n T x y T E t
a b
x m x m y n y nt
a b
x yS T
x y x yt
x yx y
t x y
E
E
6. Určete vzájemnou polohu elipsy 2 2:3 5 120 0x y E a přímky :3 5 0p x y .
Řešení:
2 22
2
2 2
2
2
1 2
1
2
1 2
: 3 5 120 05
: 3 5 120 053: 3 5 0
3
25 15 360 0
40 360 0
9 0
3; 3
přímka je sečna
53 5
3
53 5
3
5;3 , 5; 3
x y
p y yp x y x y
y y
y
y
y y
p
x
x
P P
E
E
Analytická geometrie
Stránka 1145
7. Určete vzájemnou polohu elipsy 2 2:3 5 120 0x y E a přímky : 9 0q x y .
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2
2
: 3 5 120 0:3 9 5 120 0
: 9 0 9
3 54 243 5 120 0
8y 54 123 0
54 4 8 123 1020 0
přímka je vnější přímka
x yq y y
q x y x y
y y y
y
D
q
EE
8. Určete vzájemnou polohu elipsy 2 2:3 5 120 0x y E a přímky : 8 0r x y .
Řešení:
2 22 2
2 2
2
2
2
: 3 5 120 0: 3 8 5 120 0
: 8 0 8
3 48 192 5 120 0
8 48 72 0
6 9 0
6 4 1 9 0
přímka je tečna
3; 3 8 5
3; 5
x yq y y
r x y x y
y y y
y y
y y
D
q
y x
T
EE
9. Určete vzájemnou polohu elipsy
2 28 4
: 164 48
x y E a přímky 1 : 2 16 0p x y .
Řešení:
2 22 2
1
1
2 2
2 2
2 2
2
2
2
1
8 42 16 8 4: 1
: 1 64 4864 48
: 2 16 0 2 16
2 8 41
64 48
3 4 32 64 4 8 16 192 0
12 96 192 4 32 64 192 0
16 64 64 0
4 4 0
4 4 1 4 0
přímka je tečna
42;
2
x yy y
p
p x y x y
y y
y y y y
y y y y
y y
y y
D
p
y x
EE
1
2 2 16 12
12; 2T
Analytická geometrie
Stránka 1146
10. Určete vzájemnou polohu elipsy
2 28 4
: 164 48
x y E a přímky 2 : 2 32 0p x y .
Řešení:
2 22 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
8 42 32 8 4: 1
: 1 64 4864 48
: 2 32 0 2 32
2 24 41
64 48
3 4 96 576 4 8 16 192 0
12 288 1728 4 32 64 192 0
16 320 1600 0
20 100 0
20 4 1 100 0
přímka
x yy y
p
p x y x y
y y
y y y y
y y y y
y y
y y
D
p
EE
2
je tečna
2010; 2 10 32 12
2
12; 10
y x
T
11. Určete vzájemnou polohu elipsy
2 28 4
: 164 48
x y E a přímky 3 : 2 8 0p x y .
Řešení:
2 22 2
3
3
2 2
2 2
2 2
2
2
2
3
1,2
1 1
8 42 8 8 4: 1
: 1 64 4864 48
: 2 8 0 2 8
2 41
64 48
3 4 4 8 16 192 0
12 4 32 64 192 0
16 32 128 0
2 8 0
2 4 1 8 36 0
přímka je sečna
2 6
2
2;
x yy y
p
p x y x y
y y
y y y
y y y
y y
y y
D
p
y
y x
EE
2 2
1 1
2 2 8 12
4; 2 4 8 0
12;2 ; 0; 4
y x
P Q
Analytická geometrie
Stránka 1147
12. Určete vzájemnou polohu elipsy
2 28 4
: 164 48
x y E a přímky 4 :3 2 32 0p x y .
Řešení:
22 2
2
4
4
2
2
22
2 2
2
2
2
2 328 48: 1 4364 48 : 1
64 482 32: 3 2 32 0
3
2 8
431
64 48
4 32 643 4 8 16 192 0
9
4 32 64 12 96 192 576 0
16 128 320 0
8 20 0
8 4 1 20
yx yy
py
p x y x
y
y
y yy y
y y y y
y y
y y
D
E
E
4
1,2
1 1
2 2
2 2
144 0
přímka je sečna
8 12
2
2 2 322; 12
3
2 10 3210; 4
3
12;2 ; 4; 10
p
y
y x
y x
P Q
13. Určete vzájemnou polohu elipsy
2 28 4
: 164 48
x y E a přímky 5 : 2 17 0p x y .
Řešení:
2 22 2
4
5
2 2
2 2
2 2
2
2
5
8 42 17 8 4: 1
: 1 64 4864 48
p : 2 17 0 2 17
2 9 41
64 48
3 4 36 81 4 8 16 192 0
12 108 243 4 32 64 192 0
16 76 115 0
76 4 16 115 5776 7360 1584 0
přímka je
x yy y
p
x y x y
y y
y y y y
y y y y
y y
D
p
EE
vnější přímka
Analytická geometrie
Stránka 1148
14. Určete vzájemnou polohu elipsy
2 28 4
: 164 48
x y E a přímky 6p : 6 12 0x y .
Řešení:
2 22 2
4
6
2 2
2 2
2 2
2
2
8 48 6 12 4: 1
: 1 64 4864 48
: 6 12 0 6 12
8 6 81
64 48
3 16 64 4 36 96 64 192 0
3 48 192 144 384 256 192 0
147 336 256 0
336 4 147 256 112896 150528 37632 0
x yx x
p
p x y y x
x x
x x x x
x x x x
x x
D
EE
6přímka je vnější přímkap
Analytická geometrie
Stránka 1149
8.5.5 Parabola
1. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly a rovnici řídící přímky, jsou-li dány body
4;2 , 4; 1F V .
Řešení:
2
4;2
4; 1
3 62
: 4
: 4 12 1
F
V
o y
pFV p
p Fd d y
x y
P
2. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly a rovnici řídící přímky, jsou-li dány body
4;0 , 4;1F V .
Řešení:
2
4;0
4;1
1 22
: 2
: 4 4 1
F
V
o y
pFV p
p Fd d y
x y
P
3. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 3;4F a rovnice řídící přímky
: 0d y .
Řešení:
1 2
2
3;4
: 0
4
;2
3;2
: 3 8 2
F
d y
o y
p Fd
pV f f
V
x y
P
Analytická geometrie
Stránka 1150
4. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 3; 2F a rovnice řídící přímky
: 1d y .
Řešení:
1 2
2
3; 2
: 1
3
;2
3; 0,5
: 3 6 0,5
F
d y
o y
p Fd
pV f f
V
x y
P
5. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 3; 2F a rovnice řídící přímky
: 1d x .
Řešení:
1 2
2
3; 2
: 1
2
;2
2; 2
: 2 4 2
F
d x
o x
p Fd
pV f f
V
y x
P
6. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 1;5F a rovnice řídící přímky
: 5d x .
Řešení:
1 2
2
1;5
: 5
4
;2
3;5
: 5 8 3
F
d x
o x
p Fd
pV f f
V
y x
P
Analytická geometrie
Stránka 1151
7. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 1; 2F a rovnice řídící přímky
: 1d x .
Řešení:
1 2
2
1; 2
: 1
2
;2
0; 2
: 2 4
F
d x
o x
p Fd
pV f f
V
y x
P
8. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 4; 3F a rovnice řídící přímky
: 2d x .
Řešení:
1 2
2
4; 3
: 2
2
;2
3; 3
: 3 4 3
F
d x
o x
p Fd
pV f f
V
y x
P
9. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 8y xP .
Řešení:
2 8
0;0
4
;2
2;0
: 22
y x
o x
V
p
pF m n
F
pd x m
Analytická geometrie
Stránka 1152
10. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 0,125 8y x P .
Řešení:
2
2
0,125 8 / : 0,125
64
0;0
32
; 16;02
: 162
y x
y x
o x
V
p
pF m n F
pd x m
11. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2
:8 2 4y x P .
Řešení:
28 2 4
0;2
1
4
1; ;2
2 8
1:
2 8
y x
o x
V
p
pF m n F
pd x m
12. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2
:5 1 4 1x y P .
Řešení:
2
2
5 1 4 1
1 0,8 1
1; 1
0,4
; 1; 1, 22
: 0,82
x y
x y
o y
V
p
pF m n F
pd y n
Analytická geometrie
Stránka 1153
13. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2
: 0,25 3x y P .
Řešení:
2
2
0,25 3
3 4 ; 3;0 ; 2
; 3;12
: 12
x y
x y o y V p
pF m n F
pd y n
14. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 4 6 10 0x x y P .
Řešení:
2
2
2
2
4 6 10 0
4 4 4 6 10
2 6 6
2 6 1 ; 2; 1 ; 3
; 2; 2,52
: 0,52
x x y
x x y
x y
x y o y V p
pF m n F
pd y n
15. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 6 8 41 0x x y P .
Řešení:
2
2
2
2
6 8 41 0
6 9 9 8 41
3 8 32
3 8 4 ; 3;4 ; 4
; 3;62
: 22
x x y
x x y
x y
x y o y V p
pF m n F
pd y n
Analytická geometrie
Stránka 1154
16. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2:10 40 8 48 0y y x P .
Řešení:
2
2
2
2
10 40 8 48 0
10 4 4 40 8 48
10 2 8 1
2 0,8 1 ; 1; 2 ; 0,4
; 1,2; 22
: 0,82
y y x
y x x
x x
x x o x V p
pF m n F
pd x m
17. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 10 9 52 0y y x P .
Řešení:
2
2
2
10 9 52 0
10 25 25 9 52
5 9 3 ; 3;5 ; 4,5
; 5,25;52
: 0,752
y y x
y x x
y x o x V p
pF m n F
pd x m
18. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 8 3 1 0x x y P .
Řešení:
2
2
2
2
6 8 41 0
6 9 9 8 41
3 8 32
3 8 4 ; 3;4 ; 4
; 3;62
: 22
x x y
x x y
x y
x y o y V p
pF m n F
pd y n
Analytická geometrie
Stránka 1155
19. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 8 4 4 0y y x P .
Řešení:
2
2
2
2
8 4 4 0
8 16 16 4 4
4 4 20
4 4 5 ; 4; 5 ; 2
; 4; 42
: 62
y y x
y y x
y x
y x o y V p
pF m n F
pd y n
20. Napište středový tvar rovnice paraboly, která prochází body 4;2 , 7; 1 , 3,1A B C
a její osa je rovnoběžná s osou x.
Řešení:
2
2
2
2
2
2
2
4;2 , 7; 1 , 3,1
: 2
: 2 2 4
: 1 2 7
: 1 2 3
4 4 8 2
1 2 14 2
1 2 6 2
3 6 6
9 6 6
16 12
2
3 2 1 2 2 1
10 2 3 3
2
13,1 ,
A B C
o x y n p x m
A P n p m
B P n p m
C P n p m
n n p pm
n n p pm
n n p pm
n p
n p
p p
n n n
m m
V p
2
2
: 1 3y x P
Analytická geometrie
Stránka 1156
21. Napište středový tvar rovnice paraboly, která prochází body 3;3 , 12;0 , 6,4A B C
a její osa je rovnoběžná s osou y.
Řešení:
2
2
2
2
2
2
2
3;3 , 12;0 , 6,4
: 2
: 3 2 3
: 12 2 0
: 6 2 4
9 2 6 2
144 24 2
36 12 8 2
135 18 6
27 6 2 / 3
54 12 4,5
27 6 9 6 3
A B C
o y x m p y n
A P m p n
B P m p n
C P m p n
m m p pn
m m pn
m m p pm
m p
m p
p p
m m
2
6 6
9 36 36 27 9 36 9 4
6,4 , 4,5
: 6 9 4
m
n n n
V p
x y
P
Analytická geometrie
Stránka 1157
8.5.6 Vzájemná poloha přímky a paraboly
1. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 8x yP a přímky 1 : 2 8 0p x y .
Řešení:
2
2
1
1
2
2
1
1
1
: 8: 8 2 8
: 2 8 0 2 8
16 64 0
16 4 1 64 256 256 0
není rovnoběžná s osou
přímka je tečna
8; 2 8 8 8
8;8
x yp x x
p x y y x
x x
D
p y
p
x y
T
PP
2. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 2 4 9 0x x y P a přímky 5 : 2 4 0p x y .
Řešení:
2
2
5
5
2
2
2
5
5
: 2 4 9 0: 2 4 2 4 9 0
: 2 4 0 2 4
2 8 16 9 0
10 25 0
10 4 1 25 0
není rovnoběžná s osou
přímka je tečna
105
2
2 5 4 6
5;6
x x yp x x x
p x y y x
x x x
x x
D
p y
p
x
y
T
PP
Analytická geometrie
Stránka 1158
3. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 2 4 9 0x x y P a přímky 6 : 2 0p x y .
Řešení:
2
2
6
6
2
2
2
6
6
: 2 4 9 0: 2 4 2 9 0
: 2 0 2
2 4 8 9 0
2 1 0
2 4 1 1 0
není rovnoběžná s osou
přímka je tečna
21
2
1 2 3
1;3
x x yp x x x
p x y y x
x x x
x x
D
p y
p
x
y
T
PP
4. Je dána obecná rovnice paraboly 2: 10 4 5 0x x y P . Určete obecnou rovnici tečny
v bodě 1 9; 1T .
Řešení:
2
0 0
0 0
2
2
1
1
1
: 2
; , ;
:
: 10 4 5 0
5 4 5
9; 1
: 9 5 5 2 1 5 2 5 4 20 8 2 10 4 2 38 0
: 2 19 0
x m p y n
V m n T x y
t x m x m p y n p y n
x x y
x y
T
t x y x y x y
t x y
P
P
Analytická geometrie
Stránka 1159
5. Je dána obecná rovnice paraboly 2: 10 4 5 0x x y P . Určete obecnou rovnici tečny
v bodě 2 1; 1T .
Řešení:
2
0 0
0 0
2
2
2
2
2
: 2
; , ;
:
: 10 4 5 0
5 4 5
1; 1
: 1 5 5 2 1 5 2 5 4 20 8 2 10 4 2 2 0
: 2 1 0
x m p y n
V m n T x y
t x m x m p y n p y n
x x y
x y
T
t x y x y x y
t x y
P
P
6. Je dána obecná rovnice paraboly 2: 10 4 5 0x x y P . Určete obecnou rovnici tečny
v bodě 3 3; 4T .
Řešení:
2
0 0
0 0
2
2
3
3
3
: 2
; , ;
:
: 10 4 5 0
5 4 5
3; 4
: 3 5 5 2 4 5 2 5 2 10 2 2 10 2 2 2 0
: 1 0
x m p y n
V m n T x y
t x m x m p y n p y n
x x y
x y
T
t x y x y x y
t x y
P
P
Analytická geometrie
Stránka 1160
7. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 8x yP a přímky 2 :3 2 8 0p x y .
Řešení:
2
2
1
2
2
2
2
1,2
1 1
2 2
1 2
: 83 8
: 8 3 82: 3 2 8 0
2
12 32 0
12 4 1 32 144 128 16 0
přímka je sečna
12 4
2
3 8 8168; 8
2 2
3 4 884; 2
2 2
8;8 , 4;2
x yx
p xxp x y y
x x
D
p
x
x y
x y
P P
P
P
8. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 8x yP a přímky 3 : 2 8 0p x y .
Řešení:
22
1
3
2
2
2
3
1,2
1 1
2 2
1 2
: 8: 8 2 8
: 2 8 0 8 2
64 32 4 8 0
10 16 0
10 4 1 16 100 64 36 0
přímka je sečna
10 6
2
168; 8 2 8 8
2
42; 8 2 2 4
2
8;8 , 4;2
x yp y y
p x y x y
y y y
y y
D
p
y
y x
y x
P P
PP
Analytická geometrie
Stránka 1161
9. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 2 4 9 0x x y P a přímky 1 : 2 7 0p x y .
Řešení:
22
1
1
2
2
2
2
3
1,2
1 1
2 2
1 2
: 2 4 9 0: 7 2 2 7 2 4 9 0
: 2 7 0 7 2
49 28 4 14 4 4 9 0
4 36 72 0
9 18 0
9 4 1 18 81 72 9 0
přímka je sečna
9 3
2
126; 7 2 6 5
2
63; 7 2 3 1
2
5;6 ,
x x yp y y y
p x y x y
y y y y
y y
y y
D
p
y
y x
y x
P P
PP
1;3
10. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 2 4 9 0x x y P a přímky 2 : 1 0p x y .
Řešení:
22
2
2
2
2
2
2
1 1
2 2
1 2
: 2 4 9 0: 1 2 1 4 9 0
: 1 0 1
1 2 2 2 4 9 0
8 12 0
8 4 1 12 64 48 16 0
přímka je sečna
8 46, 1 6 5
2
42, 1 2 1
2
5;6 , 1;2
x x yp y y y
p x y x y
y y y y
y y
D
p
y x
y x
P P
PP
Analytická geometrie
Stránka 1162
11. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 8x yP a přímky 4 : 2 5 4 0p x y .
Řešení: 2
2
4
4
2
2
2
2
4
: 85 4
: 8 5 42: 2 5 4 0
2
25 40 168 0
4
25 40 16 32 0
25 8 16 0
8 4 25 16 64 1600 1536 0
přímka je vnější přímka
x yy
p yyp x y x
y yy
y y y
y y
D
p
P
P
12. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 2 4 9 0x x y P a přímky 3 : 2 4 0p x y .
Řešení:
22
3
3
2
2
2
3
: 2 4 9 0: 2 4 2 2 4 4 9 0
: 2 4 0 2 4
4 16 16 4 8 4 9 0
4 8 17 0
8 4 4 17 64 272 208 0
přímka je vnější přímka
x x yp y y y
p x y x y
y y y y
y y
D
p
PP
13. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 2 4 9 0x x y P a přímky 4 : 1 0p x y .
Řešení:
22
4
4
2
2
2
4
: 2 4 9 0: 1 2 1 4 9 0
: 1 0 1
2 1 2 2 4 9 0
4 8 0
4 4 1 8 16 32 16 0
přímka je vnější přímka
x x yp y y y
p x y x y
y y y y
y y
D
p
PP
Analytická geometrie
Stránka 1163
8.5.7 Hyperbola
1. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2:5 9 18 54 0x y y H . Určete souřadnice středu
hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
22
22
22
2 2
: 5 9 18 54 0
5 9 2 54 0
5 9 1 9 54 0
5 9 1 45 / : 45
11
9 5
0;1
3
5,
9 5 14
x y y
x y y
x y
x y
yx
S
a
b o y
e a b
H
2. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2:9 16 36 96 684 0x y x y H . Určete souřadnice
středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
: 9 16 36 96 684 0
9 36 16 96 684 0
9 4 16 6 684 0
9 4 4 36 16 6 9 144 684 0
9 2 16 3 576 / : 576
2 31
64 36
2; 3
8,
6
64 36 10
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a o x
b
e a b
H
Analytická geometrie
Stránka 1164
3. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2: 2 4 2 7 0x y x y H . Určete souřadnice středu
hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
: 2 4 2 7 0
2 4 2 7 0
2 2 2 7 0
2 2 1 2 2 1 1 7 0
2 1 1 8 / :8
1 11
4 8
1; 1
2
8,
4 8 12 2 3
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a
b o y
e a b
H
4. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2:16 25 96 250 881 0x y x y H . Určete
souřadnice středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
:16 25 96 250 881 0
16 96 25 250 881 0
16 6 25 10 881 0
16 6 9 144 25 10 25 625 881 0
16 3 25 5 400 / : 400
3 51
25 16
3;5
5,
4
25 16 41
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a o x
b
e a b
H
Analytická geometrie
Stránka 1165
5. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2:9 4 18 16 43 0x y x y H . Určete souřadnice
středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.
Řešení:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
: 9 4 18 16 43 0
9 18 4 16 43 0
9 2 4 4 43 0
9 2 1 9 4 4 4 16 43 0
9 1 4 2 36 / : 36
1 21
4 9
1;2
2
3,
4 9 13
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y
S
a
b o y
e a b
H
Analytická geometrie
Stránka 1166
8.5.8 Vzájemná poloha přímky a hyperboly
1. Určete vzájemnou polohu hyperboly 2 2: 7 3 63 27 56 0x y x y H a přímky
1 : 3 19 0p x y .
Řešení:
2 22 2
1
1
2 2
2
2
2
1
1 1
: 7 3 63 27 56 0: 7 3 19 3 63 3 19 27 56 0
: 3 19 0 3 19
63 798 2527 3 189 1197 27 56 0
60 960 3780 0
16 63 0
16 4 1 63 256 252 4 0
přímka je sečna
16 29;
2
x y x yp y y y y
p x y x y
y y y y y
y y
y y
D
p
y x
HH
2 2
3 9 19 8
16 27; 3 7 19 2
2
8;9 , 2;7
y x
P Q
2. Určete vzájemnou polohu hyperboly 2 2: 7 3 63 27 56 0x y x y H a přímky
2 : 7 6 2 0p x y .
Řešení:
2 22
2
2
2
22
2 2
2
2
2
: 7 3 63 27 56 06 2 6 2
: 7 3 63 27 56 06 27 7: 7 6 2 0
7
36 24 43 9 6 2 27 56 0 / 7
7
36 24 4 21 378 126 189 392 0
15 165 270 0
11 18 0
11 4 1
x y x yy y
p y yyp x y x
y yy y y
y y y y y
y y
y y
D
H
H
1
1 1
2 2
18 121 72 49 0
přímka je sečna
11 7 6 9 29; 8
2 7
11 7 6 2 22; 2
2 7
8;9 , 2;2
p
y x
y x
P Q
Analytická geometrie
Stránka 1167
3. Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole 2 2: 4 5 20x y H v bodě dotyku
05; 0 .T y
Řešení:
2 2
0 02 2
0 0
2 2
2 2
0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
: 1; ;
: 1
: 4 5 20, 5; 0
: 4 5 5 20 0 80 5 16 , 0 4 5;4
: 4 5 5 4 20 0 20 20 20 0
: 1 0
x yT x y
a b
xx yyt
a b
x y T y
T y y y y y T
t x y x y
t x y
H
H
H
4. Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole 2 2:9 5 45x y H v bodě dotyku 05; 0T y .
Řešení:
2 2
0 02 2
0 0
2 2
2 2
0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
: 1; ;
: 1
:9 5 45, 5; 0
:9 5 5 45 0 180 5 36 , 0 6 5;6
:9 5 5 6 45 0 45 30 45 0
:3 2 3 0
x yT x y
a b
xx yyt
a b
x y T y
T y y y y y T
t x y x y
t x y
H
H
H
.
5. Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole
2 22 3
: 15 9
x y H v bodě dotyku
07; 0T y
Analytická geometrie
Stránka 1168
1,2
2 2
0 02 2
0 0
2 2
2 2
0
2 2
0
2
0 0
2
0 0
2
0 0
2
0 0
0
0 0
: 1; ; ; ;
: 1
2 3: 1, 7; 0
5 9
7 2 3: 1 / 45
5 9
9 25 5 6 9 45 0
225 5 30 45 45 0
5 30 135 0
6 27 0
6 12
2
0, 9, 7;9
7 2 2:
x m y nV m n T x y
a b
x m x m y n y nt
a b
x yT y
yT
y y
y y
y y
y y
y
y y T
xt
H
H
H
9 3 31 / 45
5 9
9 5 2 5 6 3 45 0
45 90 30 90 45 0
45 30 45 0
: 3x 2 y 3 0
y
x y
x y
x y
t
.