Analyse Numerique

INTRODUCTION LANALYSE NUMRIQUERsum du cours

Jean-Antoine Dsidri, INRIA

Version compile le 7 septembre 2009

Table des matires

1 Complments dAlgbre Linaire 71.1 Disques de Gershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Thorme de Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Approximation Polynomiale 112.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Polynmes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Polynmes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2 Polynmes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Approximation par Moindres Carrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Meilleure Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Oscillations de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Diffrentiation et Intgration Numriques 193.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Diffrentiation Numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Drive premire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Drives dordre suprieur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Intgration Numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.1 Rgles dintgration lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Rgles dintgration composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.3 Rgles dintgration de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Equations Diffrentielles 274.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Equation diffrentielle dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.3 Equation diffrentielle linaire homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.4 Equation diffrentielle linaire homogne coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.5 Equation diffrentielle linaire non homogne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.6 Analogie quations diffrentielles/quations aux diffrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Intgration numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.1 Intgration numrique par dveloppement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.2 Mthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 Mthodes Multipas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.4 Mthodes prdicteur-correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.5 Notion de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.6 Un exemple danalyse de mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

Nota Bene

Les chapitres 1, 2 et 3 qui suivent ne constituent pas un cours mais rassemblent les principaux rsultats (gnralementsans dmonstration, ni illustration) dun premier cours sur lapproximation numrique des fonctions, de leurs driveset de leurs intgrales, et prparent au chapitre 4 portant sur la rsolution numrique des quations diffrentielles.

4

Notations densembles :

N les entiers naturelsR les relsC les complexesCn(]a, b[) les fonctions de ]a, b[ dans R n fois continment drivables

5

Chapitre 1

Complments dAlgbre Linaire

1.1 Disques de Gershgorin

Dfinition 1.1 Disques de Gershgorin. Etant donn une matrice carreA dont les lments {ajk} (j = 1, 2, ..., n ; k =1, 2, ..., n) sont des complexes, on associe chaque ligne j le disque ferm Dj dont le centre est llment diagonalajj et le rayon la somme des modules des lments extra-diagonauxRj =

nk=1; k 6=j |ajk|.

Thorme 1.1 Thorme de Gershgorin. Avec les notations prcdentes :Toute valeur propre de la matrice A appartient lun au moins des disques de Gershgorin, i.e. :

Sp (A) , j tel que Dj .

De manire quivalente, ce thorme prcise que le spectre de A, not Sp (A), est globalement inclus dans la runiondes disques de Gershgorin, ce qui permet dexclure la rgion du plan complexe qui est extrieure cette runion :

Sp (A) n

j=1

Dj .

Exemple 1.1 La matrice relle

A =

4 2 11 5 32 4 7

est diagonale dominante stricte car chaque lment diagonal dpasse strictement la somme (des valeurs absolues)des lments extra-diagonaux de la mme ligne. En construisant les disques de Gershgorin,

D1 : disque de centre 4 de rayon 2+1=3



on constate ici que D1 D2 D3. Par consquent, Sp (A) D3 et en particulier = 0 nest pas une valeurpropre de A. La matrice A est donc inversible.

7

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-5 0 5 10 15

D3D2D1

1.2 Thorme de Bendixon

Dfinition 1.2 Matrice Adjointe. Etant donn une matrice carre A dont les lments sont complexes, la matriceadjointe de A est note A et sobtient par transposition et conjugaison de la matrice A :

A = AT

(En dautres termes, si on poseA = {ajk} et A = {ajk} (j = 1, 2, ..., N , k = 1, 2, ..., N), alors j , k , ajk =akj .)

En particulier, si les lments de A sont rels, A = AT (matrice transpose).

Dfinition 1.3 Matrice Hermitienne. Une matrice carre H dont les lments sont complexes est dite hermitien-ne si elle est gale sa matrice adjointe :

H = H

En particulier, une matrice relle hermitienne S est une matrice relle-symtrique (ST = S).

Dfinition 1.4 Matrice Unitaire. Une matrice U est dite unitaire si elle est inversible et si son inverse est gal son adjoint, ou de manire quivalente ssi :

U U = U U = I .

Ceci signifie que les vecteurs colonnes de la matrice U sont orthonorms (orthogonaux et normaliss) ; ils formentdonc une base orthonormale. En particulier, une matrice relle unitaire O est une matrice orthogonale (OT O =OOT = I).

Thorme 1.2 Toute matrice hermitienneH est diagonalisable par une transformation unitaire et ses valeurs propressont relles :

H = U U (U U = U U = I , diagonale et relle)

De plus, si on dfinit pour tout vecteur non-nul z CN , le quotient de Rayleigh suivant

R(z) =zHz

z z

8

(o z est le vecteur ligne zT ), et si on note min et max la plus petite et la plus grande valeurs propres de H , on a :

min = minzCN , z 6=0

R(z) , max = maxzCN , z 6=0

R(z) ,

le minimum (resp. maximum) tant atteint lorsque le vecteur z est prcisement un vecteur propre non-nul de Hassoci la valeur propre min (resp. max).

Thorme 1.3 (Corollaire.) Toute matrice relle-symtriqueS est diagonalisable par une transformation orthogonaleet ses valeurs propres sont relles :

S = ODOT (O, D relles, OT O = OOT = I , D diagonale)

De plus, si on dfinit pour tout vecteur non-nul x RN , le quotient de Rayleigh suivant

R(x) =xT Sx

xT x

et si on note min et max la plus petite et la plus grande valeurs propres de S, on a :

min = minxRN , x 6=0

R(x) , max = maxxRN , x 6=0

R(x) ,

le minimum (resp. maximum) tant atteint lorsque le vecteur x est prcisment un vecteur propre non-nul de S associ la valeur propre min (resp. max).

Thorme 1.4 (Bendixson.) Soit A une matrice carre quelconque dont les lments sont complexes. On pose :

H1 =A+A

2, H2 =

AA2i

de sorte que H1 et H2 sont des matrices hermitiennes et

A = H1 + iH2 .

Soient a, b, c, d les rels suivants :

a = min(H1) , b = max(H1)c = min(H2) , d = max(H2) .

Alors, pour toute valeur propre de la matrice A, on a :

a () bc () d .

Dans le cas dune matrice relle A = A, les matrices H1 et iH2 sont les parties symtrique et anti-symtrique deA :

H1 =A+AT

2

df= S , iH2 =

AAT2

df= ,

ST = S , T = .Le rectangle [a, b] [c, d] est alors symtrique par rapport laxe des imaginaires, comme le schmatise la figureci-dessous :

9

Sp()

Rectangle contenant Sp(A)

Sp(S)

a b

d

c = d

FIG. 1.1 Illustration du thorme de Bendixon dans le cas dune matrice relle

10

Chapitre 2

Approximation Polynomiale

2.1 Formule(s) de Taylor

Thorme 2.1 Si f Cm([0, T ]) on a

f(x) =

m1

k=0

xk

k!f (k)(0) +

1

(m 1)!

x

0

(x y)m1 f (m)(y) dy

pour tout x [0, T ]. (Reste intgral).

Dfinition 2.1 Soient u et v des fonctions de la variable relle x dfinies dans un voisinage de x = a (a est un relou lun des symboles +, ou ). De plus, v est valeurs dans R.

(1) Grand O. On dit queu(x) = O (v(x))

quand x a, ssi le rapport u(x)/v(x) reste born dans cette limite, i.e. il existe un rel positif B et un voisinage Vade a tels que :

x Va : u(x) B |v(x)| .

(2) Petit o. On dit queu(x) = o

(v(x)

)

quand x a, ssi le rapport u(x)/v(x) tend vers 0 dans cette limite.

Thorme 2.2 (Mmes hypothses sur f .) On a

f(x) m1

k=0

xk

k!f (k)(0) = O

(xm

)

quand x 0.

Thorme 2.3 (Mmes hypothses sur f .) On a

f(x) m

k=0

xk

k!f (k)(0) = o

(xm

)

quand x 0. (Attention la sommation va jusqu m.)

11

Thorme 2.4 (Thrm de la moyenne) Soient et C([a, b]

), valeurs dans R, et 0. On a :

c [a, b] t-q. b

a

(t)(t) dt = (c)

b

a

(t) dt.

Thorme 2.5 (Mmes hypothses sur f .) On suppose de plus que f est valeurs dans R. Alors :

x [0, T ], c [0, x], t-q. f(x) m1

k=0

xk

k!f (k)(0) =

xm

m!f (m)(c) .

2.2 Interpolation de Lagrange

Thorme 2.6 Soit f une fonction de la variable relle x, valeurs dans R et dfinie sur lintervalle [a, b] ; soit n unentier et {x0, x1, ..., xn} n+ 1 points distincts de [a, b] ; il existe un polynme et un seul Pn(x) de degr au plus gal n tel que :

i N et i n : Pn(xi) = f(xi)

Dfinition 2.2 Le polynme Pn(x) est appel polynme dinterpolation de Lagrange de la fonction f aux points{x0, x1, ..., xn}. (Le PIL.)

Expression du PIL :

Pn(x) =

n

i=0

f(xi)Li(x)

o :

Li(x) =(x x0)(x x1)...(x xi1)(x xi+1)...(x xn)

(xi x0)(xi x1)...(xi xi1)(xi xi+1)...(xi xn)=

j=0,...,n et j 6=i

x xjxi xj

Thorme 2.7 Mmes hypothses, mais on suppose de plus que f Cn+1([a, b]

). Alors :

x [a, b] , c ]a, b[ t-q. : f(x) Pn(x) = (x x0)(x x1)...(x xn)f (n+1)(c)

(n+ 1)!

(La quantit en(x) = f(x) Pn(x) est appele erreur dinterpolation de f au point x.)

2.3 Forme de Newton

Dfinition 2.3 (Diffrences divises) Soient y0, y1, ... des symboles reprsentant des abscisses toutes distinctes dudomaine de dfinition [a, b] de la fonction f . On introduit rcursivement les dfinitions suivantes :

f [y0] = f(y0) ( y0 [a, b])

f [y0, y1] =f [y1] f [y0]y1 y0

( y0, y1 [a, b] distincts)

f [y0, y1, y2] =f [y1, y2] f [y0, y1]

y2 y0( y0, y1, y2 [a, b] distincts)

...

f [y0, y1, ..., yk+1] =f [y1, y2, ..., yk+1] f [y0, y1, ..., yk]

yk+1 y0( y0, y1, ..., yk+1 [a, b] distincts)

La quantit f [y0, y1, ..., yk] ainsi calcule est appele k-me diffrence divise de f aux points y0, y1, ..., yk.

12

A partir dune suite particulire de valeurs deux deux distinctes {xi}, on peut construire ainsi une Table des Diffrences Divisescomme suit :

xi f [.] f [., .] f [., ., .] f [., ., ., .]

x0 f [x0]f [x0, x1]

x1 f [x1] f [x0, x1, x2]f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]

x2 f [x2] f [x1, x2, x3]f [x2, x3]

x3 f [x3]

Thorme 2.8 Le polynme dinterpolation de Lagrange de la fonction f aux points {x0, x1, ..., xn}, Pn(x), peut semettre sous la forme suivante dite forme de Newton du PIL base sur les points {x0, x1, ..., xn1} :

Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1] (x x0) + f [x0, x1, x2] (x x0)(x x1) + ...+f [x0, x1, ..., xn] (x x0)(x x1)...(x xn1)

=

n

i=0

f [x0, x1, ..., xi]

i1

j=0

(x xj)

o par convention1

j=0 (x xj) = 1.

Thorme 2.9 Soit [a, b] une valeur particulire de x. On pose

ai = f [x0, x1, ..., xi]

et on construit la suite {bi} comme suit :{bn = anbi = ai + ( xi) bi+1 (i = n 1, n 2, ..., 1, 0)

Alors :b0 = Pn() .

2.4 Polynmes orthogonaux

Dans cette section, w est une fonction dfinie-continue et valeurs strictement positives sur ]a, b[. De plus, lint-grale

b

a

w(x) dx

existe.

Dfinition 2.4 (Produit Scalaire) Etant donn deux fonctions continues sur [a,b], on dfinit leur produit scalairecomme suit :

< u, v >w =

b

a

u(x) v(x)w(x) dx .

13

Dfinition 2.5 (Orthogonalit) Deux fonctions u et v dfinies-continues sur [a, b] sont dites orthogonales ssi :

< u, v >w = 0 .

Thorme 2.10 Il existe une suite infinie de polynmes (deux deux) orthogonaux {i(x)} tels que deg (i(x)) =i, i. Cette suite est unique une normalisationprs.

Construction : (Processus dorthogonalisation de Gram-Schmidt) On cherche i(x) sous la forme

i(x) = Ki(xi + ci,i1 i1(x) + ci,i2 i2(x) + ...+ ci,0 0(x)

)

Les constantes ci,i1, ci,i2, ..., ci,0 sont dtermines de manire unique par les conditions :

< i, i1 >w =< i, i2 >w = ... =< i, 0 >w = 0

et la constante (non-nulle) de normalisationKi est arbitraire.

Thorme 2.11 La famille {0(x), 1(x), ..., k(x)} forment une base des polynmes de degr au plus gal k.

Thorme 2.12 Si p est un polynme de degr strictement infrieur k, alors p est orthogonal k.

Thorme 2.13 Les k zros du polynme k sont simples, rels et appartiennent lintervalle ouvert ]a, b[.

Thorme 2.14 Les polynmes orthogonaux satisfont la relation de rcurrence trois niveaux suivante :

i+1(x) = Ai (xBi) i(x) Ci i1(x) (i = 0, 1, ..., k 1)o :

Ai = Ki+1/Ki1(x) = 0 (conventionnellement)Bi =< xi , i >w /SiCi = Ai Si/ (Ai1 Si1)Si =< i , i >w .

2.4.1 Polynmes de Legendre

Notation : Lk(x). Ces polynmes correspondent au cas o [a, b] = [1, 1] etw(x) = 1

de sorte quici :

< u, v >=

1

1

u(x) v(x) dx .

Ils satisfont la relation de rcurrence suivante :

Lk+1(x) =(2k + 1)xLk(x) kLk1(x)

k + 1.

k Lk(x)

0 11 x2 (3/2) (x2 1/3)3 (5/2) [x3 (3/5)x]4 (35/8) [x4 (6/7)x2 + 3/35]

14

2.4.2 Polynmes de Tchebychev

Notation : Tk(x). Ces polynmes correspondent au cas o [a, b] = [1, 1] et

w(x) =1

1 x2

de sorte quici :

< u, v >=

1

1

u(x) v(x)1 x2

dx .

Ils satisfont la relation de rcurrence suivante :

Tk+1(x) = 2xTk(x) Tk1(x) .

On a galement :

k N , R : Tk (cos ) = cos k .

k Tk(x) xk

0 1 T01 x T12 2x2 1 (T0 + T2)/23 4x3 3x (3T1 + T3)/224 8x4 8x2 + 1 (3T0 + 4T2 + T4)/235 16x5 20x3 + 5x (10T1 + 5T3 + T5)/246 32x6 48x4 + 18x2 1 (10T0 + 15T2 + 6T4 + T6)/257 64x7 112x5 + 56x3 7x (35T1 + 21T3 + 7T5 + T7)/26

2.5 Approximation par Moindres Carrs

Thorme 2.15 Soit f C ([a, b]). Il existe un polynme p de degr au plus gal k qui ralise un minimum globalde la quantit :

E(p) = f p2 =< f p , f p >w = b

a

(f(x) p(x))2 w(x) dx ;

ce polynme sexprime de la manire suivante dans la base orthogonale {i(x)} :

p(x) =

k

i=0

i i(x)

o :

i =< f , i >w

Si

(o Si =< i , i >w).

15

2.6 Meilleure Approximation

Soit f une fonction (au moins) dfinie-continue sur [a, b]. On souhaiterait identifier le choix des points dinterpo-lation {xi} (i n) pour lequel le PIL, Pn(x), ralise la meilleure approximation de f au sens de la norme infinie,cest--dire le minimum de la quantit :

e(x0, x1, ..., xn) = maxx[a,b]

|f(x) Pn(x)|

La solution de ce problme nest pas connue en gnral. Cependant, lorsque f Cn+1 ([a, b]), la forme connue delerreur dinterpolation en(x) = f(x) Pn(x) suggre dintroduire dans ce cas la dfinition suivante :

Dfinition 2.6 (Meilleure Approximation.) On appelle meilleure approximation de f par un polynme de degrau plus gal n, le PIL de f , Pn(x), associ aux points dinterpolation {x0, x1, ..., xn} pour lesquels la quantitsuivante est minimale :

maxx[a,b]

|(x x0)(x x1)...(x xn)| .

Thorme 2.16 La meilleure approximation de f par un polynme de degr au plus gal n est ralise par le choixsuivant des points dinterpolation :

xi =b+ a

2+b a

2i (i = 0, 1, ..., n)

o 0, 1, ...n sont les zros du polynme de Tchebychev de degr n+ 1, savoir :

i = cos(2i+ 1)

2(n+ 1)(i = 0, 1, ..., n) .

16

2.7 Oscillations de Gibbs

On examine lapproximation dune fonction f sur [-1,1] par une suite de PIL de degr n = 2, 4, 8 et 16. Les pointsdinterpolation (au nombre de 3, 5, 9 et 17) sont :

(a) uniformment rpartis ( gauche), et (b) les zros de Tn+1 ( droite).Les qui reprsentent les 17 valeurs interpoles pour n = 16, servent aussi visualiser la fonction f .

Cas I : f(x) =1

1 + x2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

fort.1 [1,2]fort.2 [1,2]fort.3 [1,2]fort.4 [1,2]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Cas II : f(x) =1

1 + 5 x2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

17

Cas III : f(x) =1

1 + 20 x2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Agrandissement du cas III.(a) :

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

18

Chapitre 3

Diffrentiation et Intgration Numriques

3.1 Introduction

Ce chapitre traite de lapproximation numrique dune quantit de la forme

L(f)

o f Ck([a, b]

)(k n + 1) (au moins) et L est un oprateur linaire. En particulier, on sintresse aux problmes

gnraux suivants :

- approximation de drives telles que f (a), f (a), etc : diffrentiation numrique ;

- approximation dintgrales dfinies telles que b

af(x) dx,

b

af(x)w(x) dx,

1

2

0 f(x) sin (kx) dx, etc : intgration numrique.

La mthode gnrale consiste dabord approcher f par un polynme dinterpolation :

f(x) = Pn(x) + en(x) .

On considrera presque toujours une interpolation de Lagrange aux points {x0 , x1 , ... , xn} :

Pn(x) =

n

i=0

f(xi)Li(x)

Li(x) =

j=0,1,...,n; j 6=i

x xjxi xj

en(x) =

n

i=0

(x xi)fn+1()

(n+ 1)!

(Exceptionnellement on considrera plutt une interpolation hermitienne.) Par linarit de loprateur L on a :

L (f) = L (Pn) + En

o

L (Pn) =n

i=0

ai f(xi)

19

est lapproximation de L(f) dans laquelle interviennent les coefficients ou poids suivants :

ai = L(Li)

et

En = L(en)

est lerreur commise. Cette erreur sanalysera cas par cas en faisant une hypothse de rgularit plus ou moins fortesur f .

Dun point de vue algorithmique, on note que dans lapproximation L (Pn), les poids ai ne dpendent pas de f ,mais seulement du type et du degr de linterpolation et de la localisation des points dinterpolation : en ce sens, on ditque la formule est une rgle (de diffrentiation, dintgration, etc).

3.2 Diffrentiation Numrique

Il convient de noter que la diffrentiation numrique est une opration instable en gnral ; la justification des for-mules qui suivent repose donc sur une hypothse de rgularit aussi, et suivant le cas, plus forte que f C n+2

([a, b]

).

3.2.1 Drive premire

En appliquant la mthode gnrale au cas o :

L (f) = f (xk)

on obtient :

f (xk) = Pn(xk) + En(xk)

En(xk) = en(xk) =

i / 0in, i6=k

(xk xi)

fn+1(k)

(n+ 1)!

Ltudiant est invit identifier les valeurs de n, k et {xi} pour lesquelles la formule ci-dessus fournit les rsultatssuivants :

f (a) =f(a+ h) f(a)

h h

2f (c1)

=3f(a) + 4f(a+ h) f(a+ 2h)

2h+h2

3f (c2)

=f(a+ h) f(a h)

2h h

2

6f (c3)

3.2.2 Drives dordre suprieur :

Les formules dapproximation des drives dordre suprieur sobtiennent gnralement par manipulation directede dveloppements limits (formule de Taylor avec reste de Lagrange). On obtiendra par exemple, les deux formules

20

suivantes :

f(a) =f(a h) 2f(a) + f(a+ h)

h2 h

2

12f (4)(c4)

=f(a+ 2h) 2f(a+ h) + f(a)

h2 f (c5)h

3.3 Intgration Numrique

3.3.1 Rgles dintgration lmentaires

Ce sont des formules dapproximation de lintgrale dfinie

I(f) =

b

a

f(x) dx

dans lesquelles on utilise un nombre fixe de valeurs de f(x).

La mthode gnrale donne :

I(f) = I(Pn) + En

o :

I(Pn) =

b

a

Pn(x) dx

est lapproximation numrique de lintgrale, et

En =

b

a

en(x) dx ,

est lerreur dintgration.

Notons que lintgration numrique est une opration stable : il suffit que linterpolation soit prcise pour quelintgration le soit. En effet, on a limplication :

> 0 tel que x [a, b] , |en(x)| = |En| (b a) .

Pour diffrents choix du type et du degr de linterpolation et des points dinterpolation, on obtient diffrentesrgles dintgration classiques :

21

Rgle du Rectangle Rgle du Point Milieu Rgle du TrapzeI(Pn) = (b a) f(a) I(Pn) = (b a) f(a+b2 ) I(Pn) = (b a) [f(a) + f(b)] /2En =

12 f

(c)(b a)2 En = 124 f (c)(b a)3 En = 112 f (c)(b a)3

o

a b

o

a b

o

o

a bRgle de Simpson Rgle du Trapze CorrigeI(Pn) =

16 (b a) I(Pn) = (b a) [f(a) + f(b)] /2[

f(a) + 4 f(a+b2 ) + f(b)]

+ 112 (b a)2 [f (a) f (b)]En = 190f (c)

(ba2

)5En =

1720 f

(c) (b a)5

o

o

o

a b

o

o

a bNota Bene : Dans le cas de la rgle du trapze corrige, on a utilis une interpolation hermitienne.

3.3.2 Rgles dintgration composes

Il sagit encore dapprocher numriquement lintgrale dfinie

I(f) =

b

a

f(x) dx

mais ici, on subdivise dabord lintervalle [a, b] :

xi = a+ ih , h =b aN

, i = 0, 1, ..., N ,

22

et on note :

fi = f(xi) , fi 12

= f

[

a+ (i 12)h

]

.

On applique alors une rgle dintgration lmentaire chaque sous-intervalle [xi1, xi] et on somme les quationsobtenues pour obtenir la rgle dintgration compose (dans laquelle le terme derreur est simplifi au moyen du tho-rme de la moyenne).

Rgle compose du rectangle :

I(f) = hN

i=1

fi1 +(b a)f (1)

2h

Rgle compose du point central :

I(f) = h

N

i=1

fi 12

+(b a)f(2)

24h2

Rgle compose du trapze :

I(f) = h

N1

i=1

fi +h

2(f0 + fN )

(b a)f(3)12

h2

Rgle compose de Simpson :

I(f) =h

6

[

f0 + 2

N1

i=1

fi + fN + 4

N

i=1

fi 12

]

(b a)f(4)(4)

180

(h

2

)4

Rgle compose et "corrige" du trapze :

I(f) = h

N1

i=1

fi +h

2(f0 + fN ) +

h2

12[f (a) f (b)] + (b a)f

(4)(5)

720h4

3.3.3 Rgles dintgration de Gauss

Pour aboutir aux formules des deux sections prcdentes, on a suppos implicitement que la fonction f intgrertait continment drivable sur [a, b] au moins une fois et gnralement plusieurs fois. Or on sait bien que lintgraledfinie

I(f) =

b

a

f(x) dx

existe sous des hypothses bien moins fortes. Par exemple, il est suffisant que :

f C0 (]a, b[) , etdans un voisinage de x = a+ : f(x) = O

(1

(x a))

, < 1 , et

dans un voisinage de x = b : f(x) = O

(1

(b x))

, < 1 .

Plaons-nous donc dans le cadre o ces hypothses sont vrifies et choisissons une fonction poids w(x) de laforme :

w(x) =(x)

(x a)(b x)

23

o la fonction (x) est continue sur [a, b], valeurs strictement positives et suffisamment simple pour que les intgralesdfinies

b

a

xi w(x) dx

(i N) dont les hypothses garantissent lexistence, aient des valeurs connues. Supposons enfin que la fonctionquotient

g(x) =f(x)

w(x)

(dont on sait quelle est borne) soit une fonction rgulire cest--dire au moins continue sur lintervalle ferm [a, b]et de prfrence de classe C ([a, b]).

Ainsi I(f) apparat comme lintgrale pondre suivante :

I(f) = Jw(g) =

b

a

g(x)w(x) dx .

En introduisant sur les fonctions continues sur [a, b] le produit scalaire suivant :

u, v C0 ([a, b]) : < u, v >w = b

a

u(x) v(x)w(x) dx ,

on peut aussi crireI(f) =< g, 1 >w .

La technique de quadrature gaussienne pour approcher I(f) consiste alors effectuer les tapes suivantes :

1. Construire la suite {0(x), 1(x), ..., n+1(x)} des polynmes orthogonaux au sens du produit scalaire dfinici-dessus.

2. Choisir les n + 1 zros du polynme n+1(x) (dont on sait quils appartiennent tous ]a,b[) comme pointsdinterpolation :

x0 = 0 , x1 = 1 , ..., xn = n ,

et construire le polynme dinterpolation Pn(x) de g :

g(x) Pn(x) = g(x0)L0(x) + g(x1)L1(x) + ...+ g(xn)Ln(x)

oLi(x) =

j/0jn, j 6=i

x xjxi xj

Alors :

I(f) = Jw(g) Jw(Pn) = A0 g(0) +A1 g(1) + ...+An g(n)= a0 f(0) + a1 f(1) + ...+ an f(n)

o :

Ai = Jw(Li) =

b

a

Li(x)w(x) dx ; ai =Ai

w(xi)

Consquences :

- Dun point de vue algorithmique, si a, b, w(x) ont des valeurs "standard", les polynmes {i(x)} et {Li(x)} sontconnus lavance indpendamment de f . De mme pour les coefficientsAi (ou ai) de la formule finale que lontrouve dans une table douvrage spcialis. Seules les valeurs de g (ou de f ) sont calculer (= notion de rgle).

24

- Du point de vue de la prcision de lapproximation, le rsultat suivant sapplique :

Thorme 3.1 Si g C 2n+2 ([a, b]), lerreur commise sur lintgrale de f peut se mettre sous la forme :

En = cn g2n+2()

(2n+ 2)!

o cn = b

a

[n+1(x)/Kn+1]2 w(x) dx, Kn+1 est le coefficient du terme en xn+1 de n+1(x) et ]a, b[.

En particulier, la formule est exacte lorsque g est un polynme quelconque de degr au plus gal 2n+ 1.

Zros des polynmes de Legendre, i, et poids de Gauss, Ai,associs la formule de quadrature en ces points

Le tableau suivant est tir de Conte & de Boor. Il donne les zros {i} des premiers polynmes de Legendre et lespoids {Ai} qui interviennent dans la formule de quadrature de Gauss associe ces points :

Points et Poids de Gauss pour n = 1, 2, 3, 4.

n {i} (i = 0, 1, ..., n) {Ai} (i = 0, 1, ..., n)

1 1 = 0 = 0.57735027 A1 = A0 = 1.2 1 = 0 A1 = .88888889

2 = 0 = .77459667 A2 = A0 = .555555563 2 = 1 = .33998104 A2 = A1 = .65214515

3 = 0 = .86113631 A3 = A0 = .347854854 2 = 0 A2 = .56888889

4 = 0 = .90617985 A4 = A0 = .236926893 = 1 = .53846931 A3 = A1 = .47862867

(Des donnes plus compltes sont fournies par les ouvrages donnant des tables numriques.)

Ces donnes sont utilisables lorsque la famille de polynmes orthogonaux est bien celle des polynmes de Le-gendre. Ceci exige que le produit scalaire soit dfini comme suit :

< u, v >w =

1

1

u(x) v(x) dx .

En dautres termes, les choix suivants sont imposs :

a = 1 , b = 1 , w(x) = 1 .

Le cas chant, on doit donc au pralable, se ramener ce cas par changement de variable, et crire I(f) sous laforme :

I(f) =

1

1

g(t) dt

Alors la formule de quadrature gaussienne scrit comme suit :

I(f) A0 g(0) +A1 g(1) + ...+Ak g(n)

o les {Ai} et les {i} sont fournis ci-dessus.

25

A titre dillustration, considrons lexemple suivant tir de Conte & De Boor :

Soit calculer une approximation de lintgrale

I =

1

0

ex2

dx .

Lintgrande nayant aucune singularit, on peut choisir la fonction poids

w(x) = 1

de sorte que g = f est bien une fonction rgulire. De plus, afin que a = 1 et b = 1, on se ramne lintervalledintgration [a, b] = [1, 1] par le changement de variable x = (t+ 1)/2, de sorte que :

g(t) = (1/2) exp[(t+ 1)2/4

].

Dans le cas de n = 4, on prend comme points dintgration les 5 zros du polynme de Legendre de degr 5,L5(x) ; ceux-ci sont fournis par le tableau prcdent, et la formule de quadrature gaussienne scrit :

I 4

i=0

Ai g(i) = (0.56888889) [g(0)] + (.23692689) [g(.90617985) + g(.90617985)]

+(.47862867) [g(.53846931) + g(.53846931)]

= .74682413

Daprs Conte et De Boor, les 8 chiffres aprs la virgule de cette approximation sont exacts, et pour atteindre uneprcision comparable il aurait fallu subdiviser lintervalle en 20 dans le cas dune application de la rgle de Simpson,et en 2800 dans le cas dune application de la rgle du trapze, alors quici, seulement 5 valuations de la fonction ontsuffi. (Ltudiant est invit vrifier ce rsultat partir des expressions connues des termes derreur.)

26

Chapitre 4

Equations Diffrentielles

4.1 Rappels

4.1.1 Equation diffrentielle dordre n

(n N)On dit que la fonction y = f(x) est une solution de lquation diffrentielle dordre n

y(n) = (

x, y, y, , y(n1))

()

dans laquelle est une fonction rgulire de ses arguments, sur lintervalle [a, b], ssi : f Cn(]a, b[), et x ]a, b[, (*) est vrifie lorsquon substitue f(x) y, f (x) y, ..., f (n)(x) y(n).

4.1.2 Forme canonique

En posant

Y =

yy

...y(n1)

Rn

on ramne (*) une quation diffrentielle dordre 1 dans laquelle linconnue est une application de R dans Rn

{Y : R RnY = (x, Y ) ()

o

(x, Y ) =

y

y

...y(n1)

(x, y, y, , y(n1))

Remarque : Pour dfinir compltement un problme diffrentiel, il convient dadjoindre lquation diffrentielleun systme compatible et complet de conditions qui peuvent tre :

- initiales

27

Exemple : Equation du pendule :{J +mg sin = 0(0) = 0,

(0) = 0 (n = 2, 2 conditions)

(Plus gnralement le problme :{

()y(a) = ya, y

(a) = ya, , y(n1)(a) = y(n1)a

ou bien {()Y (a) = Ya

est appel problme de Cauchy)

- aux limitesExemple :

{y = (x, y, y)y(0) = , y(1) = (n = 2, 2 conditions)

4.1.3 Equation diffrentielle linaire homogne

:Dfinitions :

(*) est linaire homogne lorsque est linaire par rapport y, y, , y(n1), ou de manire quivalente,(**) est linaire homogne lorsque (x, Y ) est linaire par rapport Y

(x, Y ) = A(x)Y

NB : Cette dfinition nexclut pas la possibilit que (ou ) dpende de x.

Lquation diffrentielle peut alors scrire sous la forme :

Ly df= an(x)y(n) + an1(x)y(n1) + + a0(x)y = 0

Thorme : Lensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension n,Si y1(x), y2(x), , yn(x) sont n solutions indpendantes de lquation diffrentielle (*) suppose linaire, alors lasolution gnrale de cette quation est de la forme :

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + + Cnyn(x)

o C1, C2, , Cn sont des constantes arbitraires.

4.1.4 Equation diffrentielle linaire homogne coefficients constants

:On rajoute lhypothse de linarit celle dindpendance de x. (*) peut alors scrire sous la forme

Ly df= any(n) + an1y(n1) + + a0y = 0

o les coefficients an, an1, , a0 sont ici des constantes, et (**) devient :

Y = AY

28

o

A =

0 10 1

. . .. . .0 1

a0an a1an

an1an

= matrice constante

Dans ce cas on cherche des solutions particulires de la forme :

y(x) = erx (r C)

Par simple substitution dans lquation diffrentielle on obtient la condition sur r pour que y(x) soit une solution.Cette condition scrit aprs simplification

P (r)df= anr

n + an1rn1 + + a0 = 0

ce qui constitue lquation caractristique.Lorsque les solutions r1, r2, , rn en sont distinctes, on obtientn solutions indpendantes y1(x), y2(x), , yn(x)

avec yi(x) = erix qui forment une base de lespace vectoriel de dimension n des solutions. La solution gnrale estune combinaison linaire arbitraire de ces solutions particulires.

Dans le cas contraire, notons r1, r2, ..., rk (k < n) les racines distinctes et 1, 2, ...,k leurs multiplicitsrespectives de sorte que :

1 + 2 + + k = nOn peut montrer (Exo.) que les fonctions :

er1x, xer1x, x2er1x, , x11er1x,er2x, xer2x, x2er2x, , x21er2x,

...erkx, xerkx, x2erkx, , xk1erkx,

sont en nombre n, sont indpendantes, et sont solutions de (*), et forment donc une base de lespace vectoriel dedimension n des solutions. La solution gnrale est une combinaison linaire arbitraire de ces solutions particulires.

Exo. : Etablir le lien entre les solutions de lquation caractristique et les valeurs propres de la matrice A.

4.1.5 Equation diffrentielle linaire non homogne.

SiLy df= an(x)y(n) + an1(x)y(n1) + + a0(x)y = 0

est une quation diffrentielle linaire homogne, lquation

Ly = b(x) ( )

o b est une fonction donne, est dite linaire non homogne.Si y0(x) est une solution particulire,

Ly0(x) = b(x)et si y1(x), y2(x), , yn(x) sont n solutions indpendantes de lquation linaire homogne associe,

Ly1(x) = Ly2(x) = = Lyn(x) = 0

29

alors la solution gnrale de (***) est donne par :

y(x) = y0(x) + C1y1(x) + C2y2(x) + + Cnyn(x)

cest--dire :

solution gnrale de lquation linaire non-homogne=

solution particulire de lquation linaire non-homogne+

solution gnrale de lquation linaire homogne associe

4.1.6 Analogie quations diffrentielles/quations aux diffrences

Etant donne une suite {yi} (i N, yi R), on dfinit loprateur de diffrence avance par :

yi = yi+1 yi

de sorte que :

2yi = (yi) = yi+1 yi = yi+2 2yi+1 + yi3yi = (

2yi) = 2yi+1 2yi = yi+3 3yi+2 + 3yi+1 yi

...nyi =

n1yi = n1yi+1 n1yi = yi+n nyi+n1 + n(n+1)2 yi+n2 + + (1)nyi

Exo. : Vrifier les formules.On appelle quation aux diffrences dordre n toute quation de la forme :

nyi = (i, yi,yi, ,n1yi)

dans laquelle la suite {yi} est linconnue, et qui doit tre satisfaite pour tout i.

Cas particulier : Equation linaire homogne coefficients constants.Aprs quelques manipulations, lquation scrit :

anyi+n + an1yi+n1 + + a0yi = 0 (an 6= 0)

dont on cherche des solutions particulires de la forme

yi = ri (r C)

Aprs substitution et simplification, la condition sur r devient :

P (r)df= anr

n + an1rn1 + + a0 = 0

qui constitue lquation caractristique.Si les racines r1, r2, , rn sont distinctes, on obtient ainsi n solutions indpendantes et la solution gnrale en

dcoule :yi = C1r

i1 + C2r

i2 + + Cnrin

30

Exo. : Par analogie avec les quations diffrentielles linaires homognes, trouver n solutions indpendantes dansle cas o les racines ne sont pas distinctes, et donner la forme de la solution gnrale.

Equation non homogne :Une telle quation scrit :

anyn+n + an1yi+n1 + + a0yi = bi (an 6= 0)

dans laquelle la suite {bi} (i IN, bi IR) est donne.Alors si yi est une solution particulire,

anyi+n + an1yi+n1 + + a0yi = bi

la solution gnrale est de la forme :yi = yi + zi

o zi est la solution gnrale de lquation linaire homogne associe gnralement de la forme :

zi = C1ri1 + C2r

i2 + + Cnrin

A nouveau :

solution gnrale de lquation linaire non-homogne=

solution particulire de lquation linaire non-homogne+

solution gnrale de lquation linaire homogne associe

4.2 Intgration numrique

Remarque prliminaire : nous avons vu quune quation diffrentielle dordre n gnrale :

y(n) = (

x, y, y, , y(n1))

pouvait par le changement de variable

Y =

yy

...y(n1)

se ramener la forme canonique suivante :Y = (x, Y )

(pour une dfinition approprie de (x, Y )), cest--dire une quation diffrentielle du 1er ordre o cette fois-cilinconnue est une application Y (x) de R dans Rn.

On rappelle que lon distingue alors deux types de problme :(a) Problmes de Cauchy : le vecteur Y est spcifi initialement, disons en x = x0 ; pour ces problmes il est suffi-samment gnral de traiter le cas n = 1.(b) Problmes aux limites : k (k < n) composantes du vecteur Y sont spcifis en x = a, et n k en x = b ; cesproblmes peuvent sapprocher par exemple par des mthodes de diffrences finies ou des mthodes de tir.

31

Dans ce cours, on se limite l ETUDE DES PROBLEMES DE CAUCHY. Les mthodes numriques que lonprsente sappliquent aussi bien au cas o linconnue est un vecteur quau cas scalaire. Pour ces raisons, il est suffi-samment gnral de traiter le cas o lquation est du 1er ordre :

{y = (x, y)y(a) = y0

intgrer sur [a, b]. La solution exacte de ce problme de Cauchy sera note y(x).

4.2.1 Intgration numrique par dveloppement de Taylor

.On suppose que la fonction (x, y) est suffisamment diffrentiable par rapport ses variables x et y et que la

solution exacte du problme, y(x), est de classe C(k+1)([a, b]). Un dveloppement limit lordre k de la solutiony(x) autour dun point quelconque x0 [a, b] scrit :

y(x) = y0 + (x x0)y(x0) + (xx0)2

2! y(x0) +

+(x x0)k

k!y(k)(x0) +

(x x0)k+1(k + 1)!

y(k+1)()

o ]x0, x[.Or

y(x) = (x, y(x))y(x) = x (x, y(x)) + y (x, y(x)) y

(x)= (x + y) (x, y(x))df= (x, y(x))

y(x) = (xx + xyy) + (yx + yyy

) + y(x + yy)

= xx + 2xy+ yy2 + xy +

2y

df= (x, y(x))

etc ...

On obtient donc les drives successives de y en fonction de x et de y(x) en prenant les drives totales de (x, y(x)) par rapport x :

y(x) = (x, y(x))y(x) = (x, y(x))y(x) = (x, y(x))

...etc ...

On cherche faire avancer la solution pas pas. Le pas, ou incrment spatial, est not h = x. On est conduit introduire loprateur suivant :

Tk(x, y)df= (x, y) + h2!

(x, y) + h2

3! (x, y)

+ + hk1

k!(k1)(x, y)

de sorte que pour la solution exacte on a :

y(x0 + h) = y0 + hTk(x0, y0) + E

o

E =hk+1

(k + 1)!y(k+1)()

32

On est amen considrer lalgorithme dintgration approch suivant :

ALGORITHME DE TAYLOR DORDRE k :

1. Initialisation : Choisir un pas h = baN . Poser x0 = a, xn = a+ nh, xN = b de sorte que y(xn) = y(a+ nh).

2. Intgration : Calculer des approximations yn de y(xn) en appliquant la formule de rcurrence suivante :

yn+1 = yn + hTk(xn, yn)(n = 0, 1, 2, , N 1)

La quantit

Elocdf=

hk+1

(k + 1)!y(k+1)()

est appel erreur locale. En gnral, Eloc 6= E, car en principe on a accumul des erreurs aux pas prcdents etyn 6= y(xn). Eloc est au contraire lerreur hypothtique qui serait commise sur yn+1 si linformation provenant du pasn, cest--dire yn, tait exacte. Nous allons voir comment cette erreur locale saccumule en une erreur globale (ouerreur de troncature, ou erreur de discrtisation)

Eglodf= en+1 = y(xn+1) yn+1

cest--dire lcart qui existe vraiment entre la valeur exacte et la valeur calcule.A cette fin, on considre le cas particulier trs important qui correspond k = 1. On obtient la

METHODE DEULER :yn+1 = yn + h(xn, yn)

pour laquelle lerreur locale se rduit :

Eloc =h2

2y() = 0(h2)

Nous allons estimer lerreur de troncature de cette mthode

en = y(xn) yn

On a :yn+1 = yn + h(xn, yn)

par dfinition de la mthode, et

y(xn+1) = y(xn) + h (xn, y(xn)) +h2

2y(n)

o le dernier terme est lerreur locale. Par soustraction :

en+1 = en + h ( (xn, y(xn)) (xn, yn)) + h2

2 y(n)

= en + hy(xn, yn)en +h2

2 y(n)

o yn est une valeur intermdiaire satisfaisant

Min (yn, y(xn)) < yn < Max (yn, y(xn))

33

(thorme des accroissements finis).On considre le cas normal o les fonctions qui interviennent sont sans pathologie spciale et sont en particulier

continues. Elle admettent alors des bornes suprieures sur lintervalle dtude. Pour fixer les ides, on suppose que

|y(x, y)| < A et |y(x)| < B

Alors :

|en + 1| |en| + hA|en| +Bh2

2

et

|en+1| (1 + hA)|en| +Bh2

2

Ceci donne :|e1| Bh

2

2 car e0 = y(a) y0 = 0|e2| (1 + hA)|e1| + Bh

2

2

(1 + hA)Bh22 + Bh2

2

[1 + (1 + hA)]Bh22|e3| (1 + hA)|e2| + Bh

2

2

(1 + hA)[1 + (1 + hA)]Bh22 + Bh2

2

[1 + (1 + hA) + (1 + hA)2

]Bh2

2etc...

On aboutit :|en|

[1 + (1 + hA) + + (1 + hA)n1

]Bh2

2

|en| (1 + hA)n 1(1 + hA) 1

hA

Bh2

2

|en| B

2A[(1 + hA)n 1] h

NOTER QUE la sommation a fait apparatre un h au dnominateur, ce qui a pour effet de diminuer dune unit lexposant de h.

Remarque : La tangente lorigine de la courbe dquation y = log(1 + x) est la droite y = x :

x0 210-1

y

0

2

1

0

-1

x0 210-1

y

0

2

1

0

-1

x0 210-1

y

0

2

1

0

-1

Courbe y = log(1 + x), son asymptote et sa tangente lorigine.

Etant donn la concavit uniformment ngative de cette courbe, on en conclut que :

x > 0 , log(1 + x) x et (1 + x)n enx .

Ceci nous permet dobtenir lingalit suivante :

(1 + hA)n enhA = eA(xnx0)

34

Finalement :

|en| B2A [eA(xnx0) 1] h

Le terme [eA(xnx0) 1] est born lorsquon raffine la discrtisation (h 0), et cette majoration nous permet deconclure :

CONCLUSION : Lerreur locale est en O(h2) ; son accumulation produit une erreur globale en 0(h). On dit que lamthode dEuler est du 1er ordre.

Remarques : La borne que nous venons dtablir ne constitue pas ncessairement une estimation prcise de lerreur, ce nest

quune borne.Dune manire gnrale nous dirons quune mthode est prcise lordre k si lerreur localeEloc est de la forme :

Eloc = const. hk+1y(k+1)()

et nous admettrons que ceci implique que lerreur globale ou erreur de troncature

Eglo = en = y(xn) yn = O(hk)

ce qui est vrai de lalgorithme de Taylor dordre k, outil thorique auquel on compare les autres mthodes pour mesurerleur prcision.

On voit que la mthode dEuler qui est du 1er ordre, converge lentement puisquil faut grosso modo doubler lenombre de pas de discrtisation pour diviser lerreur par 2. On est tent dutiliser une mthode dordre plus lev et no-tamment lalgorithme de Taylor dordre k, pour lequel lerreur globale qui est en O(hk) est asymptotiquement divisepar 2k par doublement du nombre dintervalles de discrtisation. Cependant, cet algorithme est souvent trs compliqu mettre en oeuvre cause de la ncessit dvaluer formellement les drives successives , , , . Pour cetteraison, bien quil garde un intrt thorique essentiel car il nous a permis de dfinir la notion dordre de prcision, onlui prfre en pratique des mthodes de Runge-Kutta, ou des mthodes multipas.

4.2.2 Mthodes de Runge-Kutta

En remplacement de lalgorithme de Taylor dordre 2 on propose la formule de rcurrence suivante :

yn+1 = yn + a k1 + b k2

ok1 = h(xn, yn)

k2 = h(xn + h, yn + k1)

et a, b, et sont des constantes reglables.Un dveloppement de Taylor de k2/h nous donne :

k2/h = (xn + h, yn + k1)

= (xn, yn) + hx + k1y +2h2

2 xx + hk1xy +2k21

2 yy + 0(h3)

En effectuant les substitutions correspondantes, on obtient :

yn+1 = yn + (a+ b)h+ bh2(x + y)

+bh3(

2

2 xx + xy +2

2 2yy + 0(h

4))

35

Ce dveloppement est comparer celui (dj obtenu) de la solution exacte :

y(xn+1) = y(xn) + h(xn, yn) +h2

2 (x + y)h3

6 (xx + 2xy + yy2 + xy +

2y) + 0(h

4)

On voit que lon est amen choisir les constantes de telle sorte que

a+ b = 1b = b = 12

ce qui permet didentifier les trois premiers termes. On constate quaucun rglage des coefficients ne permet didenti-fier le terme suivant.

On a donc plusieurs solutions. On choisit gnralement :

a = b =1

2 = = 1

ce qui donne la mthode suivante :

METHODE DE RUNGE-KUTTA DORDRE 2 :

yn+1 = yn +1

2(k1 + k2)

ok1 = h (xn, yn)

k2 = h (xn + h, yn + k1)

En examinant nouveau les dveloppements limits de yn+1 et de y(xn+1) on voit que lerreur locale (cest--direce que vaudrait la diffrence y(xn+1) yn+1 si linformation provenant du pas n tait exacte, cest--dire si on avaityn = y(xn)) est de la forme :

Eloc = 0(h3)

Il en rsulte que|en| = |y(xn) yn| = 0(h2)

(erreur globale), et la mthode est du second-ordre.

Gnralisation : En utilisant la mme technique dajustement de coefficients, on peut obtenir une famille de m-thodes prcises au troisime-ordre et une famille de mthodes prcises au quatrime-ordre. La plus utilise est lasuivante :

METHODE DE RUNGE-KUTTA DORDRE 4.

yn+1 = yn +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

ok1 = h (xn, yn)k2 = h

(xn +

h2 , yn +

12k1

)

k3 = h(xn +

h2 , yn +

12k2

)

k4 = h (xn + h, yn + k3)

Lerreur locale est ici en O(h5) et lerreur globale 0(h4) ; il en rsulte que la mthode est du 4me ordre. Cetteprcision accrue est au prix de quatre valuations de la fonction par pas.

36

4.2.3 Mthodes Multipas

On a vu dans la mthode de Runge-Kutta quune prcision globale du 4me ordre (erreur locale = 0(h5)) pouvait

tre atteinte par une formule combinant judicieusement quatre approximations de la fonction (x)df= (x, y(x)).

Ces approximations obtenues lors dtapes intermdiaires du passage de (xn, yn) (xn+1, yn+1) sont inutilises parla suite, ce qui est une source dinefficacit.

Dans une mthode multipas au contraire, on cherche construire une formule utilisant (en mme nombre) lesvaleurs de dj calcules aux pas prcdents.

Pour cela on remarque quen intgrant lquation diffrentielle :

y = (x, y(x)) = (x)

de xn xn+1 on obtient :

yn+1 yn = xn+1

xn

(x, y(x))

(x)

dx

ce qui quivaut :

yn+1 = yn +

xn+1

xn

(x) dx

On peut donc utiliser la procdure habituelle dapproximation numrique des intgrales.Supposons que les n premiers pas de lintgration numrique aient dj t effectus de sorte que lon dispose des

approximationsy0 (donn), y1, y2, , yn

de la fonction inconnue y(x) aux points

x0 = a, x1 = a+ h, x2 = a+ 2h, , xn = nh

(o h est le pas), mais aussi de la fonction (x) = (x, y(x)) = y(x) :

0 = (x0, y0), 1 = (x1, y1), 2 = (x2, y2), , n = (xn, yn)

En vue de lintgration numrique de (x) sur lintervalle [xn, xn+1] approchons cette fonction par le polynmedinterpolation de Lagrange Pm(x) (m N fix) aux (m+ 1) points de discrtisation prcdant xn+1 cest--dire :xn, xn1, xn2, , xnm (en pratique on prendram = 3) :

Pm(x) = n + [xn, xn1](x xn) + [xn, xn1, xn2](x xn)(x xn1)+ + [xn, xn1, , xnm](x xn)(x xn1) (x xnm+1)

Pour simplifier lcriture on poserak = (xk) = (xk, yk)

de sorte quen = n

[xn, xn1] =n n1

h

[xn, xn1, xn2] =n 2n1 + n2

2h2

[xn, xn1, xn2, xn3] =n 3n1 + 3n2 + n3

6h3...

On est donc conduit dfinir la mthode dintgration par lquation :

yn+1 = yn +

xn+1

xn

Pm(x) dx

37

On obtient donc dans le cas gnral :

yn+1 = yn+n.h

+[xn, xn+1]

xn+1

xn

(x xn) dx

+[xn, xn1, xn2]

xn+1

xn

(x xn)(x xn1) dx+ +[xn, xn1, , xnm]

xn+1

xn

(x xn)(x xn1) (x xnm+1) dx

On fait le changement de variable x = xn + h (0 1) afin dobtenir :

yn+1 = yn + h{n + h[xn, xn1] 1

0

d

+ h2 [xn, xn1, xn2]

1

0

( + 1) d

+ h3 [xn, xn1, xn2, xn3]

1

0

( + 1)( + 2) d

+ + hm [xn, xn1, , xnm] 1

0

( + 1) ( +m 1) d}

On a 1

0 d =12 ,

1

0 ( + 1)d =56 ,

1

0 ( + 1)( + 2) d =94 , .

Cas Particulier : METHODE MULTIPAS A 4 PAS :Dans le cas particulier o m = 3, yn+1 dpend des valeurs de y aux 4 pas prcdents. On obtient :

yn+1 = yn +h

{

n +n n1

1.1

2+n 2n1 + n2

2

5

6

+n 3n1 + 3n2 n3

6

9

4

}

soit

yn+1 = yn +h24 (55n 59n1 + 37n2 9n3)

Erreur locale - PrcisionSi toutes les informations sur [x0, xn] taient exactes, on aurait :

(x) = y(x) = Pm(x) +y(5)()

4!(x xn)(x xn1) (x xn3)

do par intgration

y(xn+1) = yn +

xn+1

xn

Pm(x) dx

yn+1

+

xn+1

xn

y(5)()

4!(x xn) (x xn3) dx

Eloc

ce qui fournit lerreur locale :

Eloc =

xn+1

xn

y(5)()

4!(x xn) (x xn3) dx

38

Or sur [xn, xn+1] tous les facteurs (x xn), , (x xn3) sont positifs de sorte que la formule de la moyennesapplique :

Eloc =y(5)()

4!

xn+1

xn

(x xn) (xn3) dx =h5y(5)()

4!

1

0

( + 1)( + 2)( + 3)d

Finalement :

Eloc =251

720h5y(5)() = 0(h5)

Lerreur globale est donc en 0(h4). La mthode est prcise au 4me ordre.Son inconvnient majeur rside dans le fait quelle ne peut sappliquer qu partir du 4me pas, les 3 premires

approximations devant tre obtenues par une autre mthode. Lautre inconvnient rside dans la ncessit de stockerplusieurs valeurs de ce qui peut tre prohibitif dans le cas vectoriel (y Rp, ou Rp, p 1). Son avantageprincipal est que lon value quune seule fois la fonction par pas.

4.2.4 Mthodes prdicteur-correcteur

Dans les mthodes multipas examines dans la section prcdente, le polynme dinterpolation de Lagrange de(x) = y(x) = (x, y(x)) est bas sur linformation en amont du point calcul cest--dire sur les valeurs auxpoints xn, xn1, , xnm pour un certain m.

Pour des raisons lies la prcision mais aussi la stabilit, une notion que nous examinerons dans une sectionultrieure, il est souvent prfrable de construire un polynme dont la forme dpend aussi de valeur en xn+1.

Par exemple si dans la formule :

yn+1 = yn +

xn+1

xn

(x, y(x)) dx

on approche lintgrale par la formule du trapze on obtient :

yn+1 = yn +h

2[(xn, yn) + (xn+1, yn+1)]

Ce qui constitue une quation implicite cest--dire dans laquelle linconnue yn+1 apparat gauche mais aussi droite, et gnralement nonlinairement, et quil faut donc rsoudre par rapport cette inconnue, directement ouitrativement. Dans ce dernier cas, au pas n, on cherche construire une suite y(0)n+1, y

(1)n+1, , y

(k)n+1, , qui converge

vers la solution yn+1 de lquation prcdente.

On peut appliquer la mthode dEuler pour dfinir le premier lment de la suite y(0)n+1. Cest le

Prdicteur :

y(0)n+1 = yn + h(xn, yn)

Aux itrations suivantes, on dfinite le

Correcteur : (k 1) :y(k)n+1 = yn +

h

2

[

(xn, yn) + (xn+1, y(k1)n+1

]

Litration au correcteur est prolonge jusqu satisfaction dun critre de convergence qui peut tre de la forme :

arrt si :

y(k)n+1 y

(k1)n+1

y(k)n+1

<

o est un nombre petit prcisant la tolrance.

39

Erreur locale A convergence lerreur locale est celle de la formule dintgration du trapze cest--dire de la forme :h312y() = 0(h3). Par accumulation, lerreur globale est donc en O(h2) : il en rsulte que la mthode est donc du second-ordre.

Convergence du correcteurLitration intervenant au correcteur est de la forme :

uk = G(uk1)

o uk = y(k)n+1 et G(uk) = const. +

h2(xn+1, uk1).

Le thorme du point fixe qui nest pas au programme de ce cours, nous rvle quune condition suffisante pourquune telle itration converge est que la fonctionG satisfasse une hypothse de contraction du type :

K < 1 tel que u, |G(u)| K < 1

Ici G(u) = h2fy (xn+1, u). Il en rsulte le thorme suivant :

Thorme : Si (x, y) et y sont continues en x et y sur lintervalle ferm [a, b], litration intervenant au correcteurconverge pourvu que h soit suffisamment petit pour que limplication suivante soit vraie :

|y yn+1| |y(0)n+1 yn+1| =

y(xn+1, y)

h

2

< 1

4.2.5 Notion de stabilit

Afin deffectuer une analyse simple et complte dans un cas particulier, on commence par dfinir une mthodedAdams-Bashforth du second-ordre plus simple.

Une mthode dAdams-Bashforth du second-ordre

y(xn+1) = y(xn1) +

xn+1

xn1

y(x)

(x,y(x))

dx

Or la formule dintgration du point central nous donne :

xn+1xn1

y(x) dx = 2hy(xn) +(2h)3(y)

24 (n)

= 2hy(xn)

n

+ y(n)

3 h3

Do :

y(xn+1) = y(xn1) + 2hn +y(n)

3h3

40

Ceci nous conduit dfinir la

METHODE DADAMS-BASHFORTH DORDRE 2 :

yn+1 = yn1 + 2hn

o n = (xn, yn).

erreur locale Eloc =y(n)

3 h3.

erreur globale Eglo = |e(xn)| = |y(xn) yn| = 0(h2).

Intgration numrique dun exemple

A titre dexemple, on rsout numriquement le problme diffrentiel suivant :{y = 2y + 1 (x [0,+]y(0) = 1

dont la solution exacte est connue,

y(x) =e2x + 1

2

par la mthode dAdams-Bashforth de la section prcdente :

yn+1 = yn1 + 2hn= yn1 + 2h(2yn + 1)

que lon applique pour n = 1, 2, aprs avoir spcifi non seulement y0 = 1 mais aussi y1 = y(h).On constate que la solution numrique initialement proche de la solution exacte, oscille autour de celle-ci et sen

loigne de plus en plus quand x croit :

cest le phnomne dinstabilit

x0 2.521.510.50

y

0

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

x0 2.521.510.50

y

0

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Exemple dintgration numrique instable par la mthode dAdams-Bashforth(trait continu : solution exacte ; points : solution numrique pour h = 0.25).

41

Analyse du phnomne et dfinition de la stabilit

Dans ce cas particulier linaire, la suite des valeurs calcules au moyen du schma numrique, {yn} satisfaitlquation rcurrente linaire non-homogne suivante

yn+1 + 4hyn yn1 = 2h

ainsi que les conditions initiales suivantes :

y0 = 1, y1 = y(h)

Or, on connat une solution particulire de lquation non-homogne : yn = 1/2. On est donc amen poser :

yn =1

2+ zn

de sorte que la suite {zn} ainsi dfinie est solution de lquation linaire homogne associe :

zn+1 + 4hzn zn1 = 0

avec les conditions initiales suivantes :

z0 =1

2, z1 = y(h)

1

2

On sait quezn = C1r

n1 + C2r

n2

o r1, r2 sont les racines de lquation caractristique :

r2 + 4hr 1 = 0

cest--dire : {r1 = 2h+

1 + 4h2 = 1 2h+ 0(h2)

r2 = 2h

1 + 4h2 = (1 + 2h) + 0(h2)et les constantes C1 et C2 telles que les conditions initiales sont satisfaites.

Soit xn = nh fix. On a :

Log rn1 = n Log r1 =xnh Log(1 2h+ 0(h2))

= xnh [2h+ 0(h2)] (h 0)= 2xn + 0(h) (h 0)

etrn1 = e

2xne0(h)

= e2xn [1 + 0(h)]

Les coefficient C1 et C2 tant dtermin par les conditions initiales, le terme 12 + C1rn1 approche lorsque h 0

la solution exacte : cest le mode principal.Par contre,

Log|r2|n = xnh Log(1 + 2h+ 0(h2))= xnh [2h+ 0(h

2)]= +2xn + 0(h)

do|r2|n = e2xn [1 + 0(h)]

et, comme r2 < 0,rn2 = (|r2|)n = (1)ne2xn [1 + 0(h)]

Le terme C2rn2 napproche aucun terme de la solution exacte : cest unmode parasite.

42

Dans ce cas particulier qui illustre le phnomne dinstabilit, on constate que pour h fix, le mode parasite croitavec x pour devenir prpondrant par rapport au mode principal.

Exo. : Comment explique-t-on que la solution numrique oscille autour de la solution exacte ?On remarque quau dpart on avait une quation diffrentielle du 1er ordre dont la solution gnrale tait consti-

tue dun seul mode (une seule exponentielle). Afin dobtenir une mthode prcise au second-ordre, on a introduit uneformule trois niveaux (n+1, n et n1) reprsente par une quation aux diffrences du 2nd ordre ; on a donc accruartificiellement lordre, en approchant une quation diffrentielle du 1er ordre par une quation aux diffrences du 2ndordre ; la solution gnrale de cette dernire est la superposition dun mode principal approchant la solution exacteet dun mode parasite qui dans le cas particulier examin est instable. Ceci conduit poser la dfinition suivante :

Dfinition (Stabilit)On dit quune mthode numrique applique une EDO linaire est stable pour un certain pas h fix, si le ou les

modes parasites prsents dans la solution numrique et superposs aux modes principaux sont attnus par lintgra-tion (lorsque x ou n croit), et instable dans le cas contraire.

En gnral, les mthodes usuelles sont conditionnellement stable, cest--dire stables lorsque le pas h est suffisam-ment petit. Mais il existe aussi des mthodes inconditionnellement stables (enfin dautres, inutilisables, incondition-nellement instables).

Evaluation pratique de la stabilit

On examinera lapplication de la mthode propose une EDO linaire. Pour un schma numrique linaire, lasolution satisfait une quation rcurrente linaire gnralement non homogne + 1 niveaux :

ayn+ + a1yn+1 + + a0yn = bn

que lon associe lquation rcurrente linaire homogne suivante :

azn+ + a1zn+1 + + a0zn = 0

dont la solution gnrale est

zn = c1(r1)n + c2(r2)

n + + c(r)n

o r1, r2, , r sont les racines complexes de lquation caractristique :

ar + a1r

1 + + ao = 0

On imposera la condition suivante de STABILITE FORTE

i, |ri| < 1

En gnral, cette condition quivaut une restriction sur le pas davancement h du type

h < hmax

La mthode est alors conditionnellement stable. Cependant, pour certaines quations diffrentielles, il peut exister desmthodes dintgration pour lesquelles la condition de stabilit (SF ) est satisfaite h ; on dit alors que la mthode estinconditionnellement stable. (De telles mthodes sont gnralement implicites.)

43

4.2.6 Un exemple danalyse de mthode

On se propose de rsoudre numriquement le problme diffrentiel suivant :

y = (x, y) = y (x IR+)y(0) = 1

par la mthode prdicteur/correcteur suivante :

RUNGE-KUTTA 2 LINEARISE :{

Prdicteur : yn+1/2 = yn +h2 (xn, yn)

Correcteur : yn+1 = yn + h (xn +

h2 , yn+1/2

)

Il sagit danalyser la prcision et la stabilit de la mthode.Analyse

yn+1/2 = yn h2 yn =(1 h2

)yn

yn+1 = yn h yn+1/2 =[1 h

(1 h2

)]yn

yn+1 = (1 h+ h2

2 )yn

PrcisionOn value dabord lerreur locale, cest--dire ce que vaudrait la quantit

y(xn+1) yn+1 si on avait y(xn) = yn.

y(xn+1) = y(xn + h) = y(xn) + y(xn)h+ y

(xn)h2

2 + y(xn)

h3

6 + = y(xn) hy(xn) + h

2

2 y(xn) h3

6 y(xn) + o on a utilis lquation diffrentielle y = y pour obtenir

y = (y) = (y) = y, y = (y) = (y) = y, etc...On voit donc que dans le cas o y(xn) = yn on a :

y(xn+1) = yn+1 + O(h3)

Lerreur locale est donc O(h3) ; lerreur globale O(h2) : la mthode est du second-ordre.StabilitLquation aux diffrences est ici seulement 2 niveaux

yn+1 (

1 h + h2

2

)

yn = 0

Son quation caractristique associe est donc du 1er ordre :

r (

1 h + h2

2

)

= 0

do lunique racine :

r1 = 1 h(

1 h2

)

Ici r1 est un rel et la condition de stabilit forte|r1| < 1

se rduit 1 < r1 < 1

Soit

1 < 1 h(

1 h2

)

< 1

ce qui quivaut 0 < h < 2

44

Bibliographie

Quelques rfrences Mathmatiques de lingnieur : de trs nombreux ouvrages dont :

J. Bass, Mathmatiques, Tome I, II, III,...Masson. Interpolation, approximation, intgration, quations diffrentielles : tout ouvrage introductif danalyse num-

rique. En particulier : S. D. Conte et Carl de Boor, "Elementary Numerical Analysis - An algorithmic Approach", McGraw-Hill. P. Henrici, "Discrete Variable Methods in ODEs", John Wiley. M. Crouzeix, A. L. Mignot, "Analyse numrique des quations diffrentielles", Masson.

Analyse matricielle, optimisation : P. G. Ciarlet, Introduction lanalyse matricielle et loptimisation, Masson. P. Lascaux, R. Thodor, Analyse Numrique matricielle applique lart de lingnieur, Masson.

Ainsi que de trs nombreux autres ouvrages que lon trouve aux rubriques : Analyse Numrique, Approximation,Calcul Matriciel, Equations diffrentielles, Mthodes Directes/Itratives, Optimisation, Programmation Dynamique,Contrle Optimal, etc.

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