Analyse deel II - WordPress.com · 2010. 12. 4. · Analyse deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik...

Analyse deel II

Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem

Cursus voorLatijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde

en Wetenschappen-Wiskunde

Hoofdstuk 1

Exponentiele en logaritmischefuncties

1.1 Exponentiele functies

1.1.1 Rationale exponenten

1.1.1.1 Natuurlijke exponenten

De meetkundige rij met algemene term un = k.an, k, a ∈ R is een afbeelding van deverzameling van de natuurlijke getallen N0 in de verzameling van de reele getallen R. Hetgetal a is de reden van de meetkundige rij. Nemen we bijvoorbeeld de meetkundige rijen

• 1, 2, 4, 8, . . . , 2n−1, . . . is een meetkundige rij met reden 2;

• 1, 15, 1

25, . . . , 1

5n−1 , . . . is een meetkundige rij met reden 15;

• 1, 10, 100, . . . , 10n−1, . . . is een meetkundige rij met reden 10;

• 1,−3, 9,−27, 81, . . . , (−3)n−1, . . . is een meetkundige rij met reden −3, deze rij iseen alternerende rij.

Als we deze rijen in grafiek brengen zien we dat het zal mogelijk zijn ze uit te breiden vanN naar R met behoud van het voorschrift voor de eerste drie voorbeelden. De alternerendemeetkundige rij kunnen we wel uitbreiden maar niet met behoud van het voorschrift. Omdit in te zien herhalen we de definities van natuurlijke, gehele en rationale exponenten.Om de termen van een meetkundige rij te bepalen moeten we natuurlijke machten van

3

4 HOOFDSTUK 1. EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES

een reeel getal kunnen berekenen. Dit is steeds mogelijk volgens de definitie van eennatuurlijke macht:

(∀n ∈ N0, ∀a ∈ R : an = a.a . . . a︸︷︷︸n×

) ∧ ∀a 6= 0 : a0 = 1.

Voorbeelden:25 = 32, (−2)2 = (−2)(−2) = 4, (1

5)0 = 1, (−3)3 = −27, 00 is onbepaald, (−π)0 = 1.

1.1.1.2 Gehele en rationale exponenten

Willen we een meetkundige rij uitbreiden dan zullen we elke reele macht van een reeelgetal moeten kunnen bepalen. We herhalen de definitie van gehele machten en rationalemachten:

∀n ∈ N,∀a ∈ R0 : a−n =1

an.

∀z ∈ Z, n ∈ N,∀a ∈ R+0 : a

zn = n√az.

Voorbeelden: 2−5 = 132

, (−3)−3 = − 127

, (37)−1 = 7

3, 0−5 /∈ R.

534 = 4√

125, 8−13 = 1

2, 375

23 = 25 3

√9, (−5)

16 /∈ R.

Opmerking: Een rationale macht van een negatief getal zal niet altijd mogelijk zijnomdat een evenmachtswortel uit een negatief getal niet bestaat in R.

1.1.1.3 Rekenregels met rationale machten

∀a ∈ R+0 ,∀p, q ∈ Q : ap.aq = ap+q

∀a ∈ R+0 ,∀p, q ∈ Q :

ap

aq= ap−q

∀a, b ∈ R+0 ,∀p ∈ Q : ap.bp = (a.b)p

∀a, b ∈ R+0 , ∀p ∈ Q :

ap

bp= (

a

b)p

∀a ∈ R+0 ,∀p, q ∈ Q : (ap)q = apq

Opmerking: De eerste eigenschap betekent voor een meetkundige rij met eerste terma dat de (p + q)de term bekomen wordt door de pde term en de qde term met elkaarte vermenigvuldigen. Vermits een meetkundige rij een functie is, kunnen we zeggen dathet beeld van de som gelijk is aan het product van de beelden. Dit laatste kunnen wegemakkelijk op grafiek zien.

1.1. EXPONENTIELE FUNCTIES 5

Figuur 1.1: beeld van de som is het product van de beelden: bvb. 1, 52 · 1, 53 = 1, 55

1.1.2 Groeiprocessen – groeifactor

1. Het is bekend dat de eerste week na de geboorte een baby aan gewicht verliest. Vol-gens de normen van het kinderwelzijn moet de baby na deze week, als het voldoendevitamine C,D en A inneemt in gewicht toenemen. Elke week neemt het gewicht met5 percent toe. Suna is een schattige baby die bij de leeftijd van een week 2,75 kgweegt.

(a) Wat zal het gewicht zijn van baby Suna bij een leeftijd van 13 weken?We schrijven het gewicht g (in kg) op in functie van het aantal weken t:gewicht na 1 week: g(1) = 2, 75gewicht na 2 weken: g(2) = 2, 75+ 5

1002, 75 = 2, 75(1+0, 05) = 2, 75·1, 05 = 2, 88

gewicht na 3 weken: g(3) = 2, 88 + 5100

2, 88 = 2, 88(1 + 0, 05) = 2, 88 · 1, 05 =2, 75 · 1, 052 = 3, 03...gewicht na 13 weken: 2, 75 · 1, 0512 = 4, 94We kunnen nu algemeen het voorschrift opstellen van het gewicht van Suna infunctie van de tijd.

g(t) = 2, 75 · 1, 05t−1

Deze functie g(t) is een meetkundige rij met reden 1, 05.


Elke week wordt de hoeveelheid met een factor 1,05 vermenigvuldigd. Daaromnoemen we 1,05 de groeifactor over de periode van 1 week en de gegevenp = 5% noemen we de procentuele groei per week.

(b) Reken nu eens uit hoeveel Suna volgens deze regel vandaag zou moeten wegen!

(c) Hoeveel is de groeifactor over een periode van twee weken en wat is dan deprocentuele groei?Over een periode van twee weken moeten we het gewicht twee maal vermenig-vuldigen met 1,05, d.w.z. dat we de hoeveelheid moeten vermenigvuldigen met1, 052. De groeifactor over de periode van 2 weken is dus 1, 052 = 1.1025en de procentuele groei per twee weken is p = (1, 1025− 1) · 100% = 10.25%.

(d) Hoeveel is de groeifactor over een periode van een maand en wat is dan deprocentuele groei?De groeifactor over de periode van een maand ≈ 4, 5 weken is gelijkaan 1, 054,5 = 1, 246. De procentuele groei per maand is p = (1, 246− 1) ·100% = 24, 6%.

(e) Hoeveel is de groeifactor over een periode van een dag en wat is dan de pro-centuele groei?De groeifactor over de periode van een dag is gelijk aan 1, 05

17 = 1, 007.

De procentuele groei per dag is p = (1, 007− 1) · 100% = 0, 7%.

(f) Na hoeveel dagen is het gewicht van Suna verdrievoudgd of m.a.w. is het ge-wicht 8.25 kg.We maken de grafiek van de meetkundige rij a.d.h.v. een tabel met enkelewaarden.We breiden de meetkundige rij uit naar R.Zo verkrijgen we de zogenaamde exponentiele functie

y = 2, 75 · 1, 05x−1.

Voor de grafiek van deze exponentiele functie moeten alle punten door eenvloeiende lijn verbonden worden. De functiewaarde is nu bepaald voor elkereele waarde. Op de grafiek lezen we af dat Suna ongeveer 23,5 weken jongis op moment dat het gewicht verdrievoudgd is. We hebben de exponentielevergelijking

2, 75 · 1, 05x−1 = 8, 25

grafisch opgelost.

Bij zo een groeiproces is de groei evenredig met de bestaande hoeveelheid. Wenoemen deze groei een exponentiele groei (meetkundige rij). Deze groei is anders


Figuur 1.2: groei van Suna met de tijd in weken uitgedrukt

dan de lineaire groei waar er steeds een constante bedrag bijkomt onafhankelijk vanwat er reeds aanwezig is (rekenkundige rij).

2. De groei van een bevolkingsgroep is ook een exponentiele groei.Deze bevolkingsgroep verdubbelt om de 21 jaar. Op een bepaald moment zijn er10000 mensen. Hoeveel mensen zijn er na 10 jaar?

We willen de functie bepalen van het aantal mensen in functie van de tijd uitgedruktin jaren. Het aantal mensen N(t) drukken we best uit per duizend.

N(t) = 10 · 2t21

De groeifactor per jaar is 2121 = 1, 0336. Hieruit volgt dat de procentuele groei per

jaar gelijk is aan 3, 36%. Per 21 jaar is het een groei van 100%.

Voor t = 10 verkrijgen we 10 · 2 1021 = 13, 911. Na 10 jaar zijn er 13911 mensen in

deze bevolkingsgroep.Opmerking: Bij een lineaire groei met dezelfde voorwaarden zouden er na 10 jaarreeds bijna 15000 mensen zijn. De functie voor lineaire groei is N(t) = 10 + 10

21· t.

Eens de 25 jaar overschreden zal de exponentiele groei groter zijn dan de lineairegroei. Bijvoorbeeld, na 25 jaar zijn er met de exponentiele groei 22823 inwoners enmet de lineaire groei 21905. En na 40 jaar resp. 37445 en 29048 inwoners. Vergelijkdeze twee soorten groeiprocessen op grafiek.

3. Andere voorbeelden van gelijkaardige groeiprocessen zijn de groei van een bacte-rienpopulatie en de groei van het aantal cellen.In een laboratorium is er op 12 oktober een cultuur van 3 150 000 000 bacterien.Op 28 oktober zijn er reeds 4 238 000 000.

(a) Hoeveel bacterien zullen er zijn op 14 november?


We drukken bij voorkeur de tijd uit in dagen en het aantal bacterien in miljard.

N(t) = 3, 15 ·(

4, 238

3, 15

) t16

Op 14 november zullen er 3, 15 ·(

4,2383,15

) t16

= 5, 808506783 bijna 6 miljard bac-

terien zijn.

(b) Teken de grafiek van de functie met de computer. Leid hieruit af hoeveel tijder nodig is om het aantal bacterien te verdubbelen, te verdrievoudigen en teverzesvoudigen. Wat kan je hieruit besluiten?We beschouwen een tabel met enkele aantallen:

t 12.9 34.7 50.3 72.3 87.6 109.5N(t) 4 6 8 12 16 24

We merken eerst op dat de tijd nodig om het aantal te verdubbelen van 4 naar8 dezelfde is als de tijd nodig om het aantal te verdubbelen van van 6 naar 12en ook van 8 tot 16. Deze tijd is ongeveer 37.4 dagen. Om de hoeveelheid teverdrievoudigen is er ongeveer 59.4 dagen nodig en om te verzesvoudigen is er96.6 dagen nodig.We merken op dat de tijd nodig voor het verdubbelen van de hoeveelheid plusde tijd nodig voor het verdrievoudigen gelijk is aan de tijd nodig voor hetverzesvoudigen van de hoeveelheid. Dit is als volgt te verklaren:{

NOat1 = 2N0

NOat2 = 3N0

⇔{at1 = 2at2 = 3

⇒ at1at2 = 6⇔ at1+t2 = 6⇔ N0at1+t2 = 6N0

4. Stephanie houdt van ballonvaren. Stephanie heeft een ballon gehuurd. De ballonheeft een volume van 15 liter en verliest een vierde van zijn draaggas in 3 dagen tijd.Na 30% volumevermindering kan de ballon niet meer omhoog vliegen. Na hoeveeldagen kan Stephanie niet meer vliegen?Oplossing:De verliesfactor over 3 dagen is 1 − 0, 25 = 0, 75. De verliesfactor over een dag is0, 75

13 . Het procentueel verlies per dag is

p = (1− (0, 75)13 · 100% = 9, 14%.

De meetkundige rij heeft als algemene term

15 · 0, 75n3

Hierin is n uitgedrukt in dagen en het volume gas in liter.


Figuur 1.3: verlies van het volume van een ballon in dagen uitgedrukt

De uitbreiding van deze rij naar R is de exponentiele functie

y = 15 · 0, 75n3 .

We tekenen de grafiek van deze functie met de computer. Nu kunnen we de expo-nentiele vergelijking

15 · 0, 75x3 = 0, 7 · 15 = 10, 5

grafisch oplossen. Nu kunnen we bij benadering de waarde aflezen waarvoor hetvolume nog 10,5 liter is. Deze waarde is 3, 6. Na ongeveer 3,6 dagen kan Stephanieniet meer vliegen.

* Nog een voorbeeld van negatieve groei is de radioactieve desintegratie. De radioacti-viteit van een stof neemt af met de tijd. Na een aantal jaren is de radioactiviteit totde helft herleid. Dit aantal jaren noemt men de halveringstijd T van de radioactievestof. Voor uranium 238 is T = 4, 5.109j, voor koolstof 14 is T = 5745 j, voor radium226 is T = 1620j, voor polonium 214 is T = 1, 6.10−4j en voor cesium is T = 30j.Is het aantal radioactieve stof op het tijdstip t = 0 gelijk aan A0, dan wordt hetaantal radioactieve stof op het tijdstip t gegeven door

A = A0.2− t

T

waarbij t uitgedrukt is in jaren.

5. Suna beschikt over 2500 EUR en zet het geld uit op de bank. Na anderhalf jaar isdat bedrag toegenomen met 250 EUR. Hoeveel is de jaarlijkse rente van de bankvan Suna?Oplossing: De groeifactor over anderhalf jaar is 1 + 0, 1 = 1, 1. Het voorschriftvan de functie waarin de tijd uitgedrukt wordt in jaar is

y = 1, 1x

1,5 = 1, 12x3 = (1, 1

23 )x


De groeifactor over een jaar is

1, 123 = 1, 0656

waaruit volgt dat de jaarlijkse rente gelijk is aan

(1, 0656− 1) · 100 = 6, 56%.

Om je even te helpen realizeren dat een groeiprocess op korte tijd enorme afmetingen kan aannemen,ziehier een kleine anekdote, gebaseerd op een waar verhaal.

Er was eens een land met een enorm leger. De koning had het gemunt op alle buurlanden, de buurlandendaarvan, enz. Een voor een veroverde hij ze allemaal tot wanneer het land van de koning zich uitstrektevan zee tot oceaan. Al dat vechten was een zeer prettig en aangenaam tijdverdrijf geweest voor de koning,en nu er geen land meer was om te veroveren verveelde de koning zich. Hij liet een bericht verspreidendat wie hem kon vermaken een fikse beloning kreeg. . .

Op een dag meldde zich een oud vrouwtje Stephanie aan het hof aan en vroeg om de koning te spreken.Zij werd in audientie ontvangen en zei dat ze de koning kon vermaken. “Hoe wil je dat doen?” vroegde koning. “We gaan vechten, sire”, antwoordde Stephanie vastberaden. “Wat????!!!!, Vechten?” lachtede koning, “maar vrouwtje, daar ben jij veel te oud voor, en bovendien sla ik geen vrouwen!”. “Meneerde edelachtbare koning, ik bedoel natuurlijk dat we gaan vechten met MIJN spelregels. Kijk, hier is eenbord, en daar zijn pionnen, een koning, een dame, een toren, een loper,. . . ” en Stephanie legde uit hoeeen schaakspel in elkaar zat, want dat had ze bedacht. De koning verloor eerst wel een paar keren, maarna een tijdje vond hij het zo plezant dat hij al zijn ex-buurlanden vergat en schaken de nationale sportwerd.

Toen sprak de koning tot Stephanie: “Ik denk wel dat jij erin geslaagd bent mij te vermaken. Wel, kieszelf je beloning!”. Stephanie antwoordde: “Ach, edele heer de koning, ik vraag niet veel, al wat ik wilis een schaakbord, met op het eerste vierkantje een graantje; op het tweede twee graantjes; op het derdevier; op het vierde acht, en zo verder steeds het aantal graantjes verdubbelend.” De koning lachte evenen zei: “Kom binnen tien minuten eens terug, mij dienaren zijn al bezig.” Na tien minuten waren erechter nog niet eens tien vakjes gevuld en de koning zei: “Ja, ’t is nogal veel telwerk, maar we hebbenalles onder controle. Kom misschien morgen eens weer, dan krijg je wat je vroeg.” Maar ook de volgendemorgen was het nog niet klaar. Na enkele dagen werd het duidelijk dat het land niet genoeg graan bezatom het schaakbord te vullen. Gelukkig had de koning al die buurlanden veroverd. Alle landen moesten alhun graan inleveren om het schaakbord te helpen vullen, maar nog was er geen genoeg. Ontgoocheld lietde koning Stephanie roepen en sprak: “Tot mijn grote spijt kan ik U niet geven wat U vroeg!”. Stephanieantwoordde: “Is dit niet contradictorisch en vooral zielig? Ik schenk U een boeiend spel, ontsprotenuit een geniaal brein, een spel dat de eeuwen zal trotseren, en als beloning vraag ik iets heel eenvoudig,maar onze machtige de koning kan niet eens zijn belofte houden! Zie hoe relatief alles is: wat ben je metlanden veroveren, als je niet eens een simpele wens van een oud vrouwtje kunt vervullen? Nog een gelukdat ik het damspel niet heb uitgevonden, want daar zijn er 100 in plaats van 64 vakjes!” De koning hadhet begrepen. In plaats van wilde veroveringen ging hij zich nu toeleggen op edele wetenschappen metWiskunde op kop. Een gevecht met de denkwereld schonk hem na een overwinning ook meer voldoeningdan vroeger met zijn buurlanden. . .

OPGAVEN — 1 Als je weet dat 10 gr. graan 500 korrels telt bereken dan hoeveel ton graan er theo-retisch nodig is om het schaakbord van de koning volledig te vullen.


2 * Kristof leent een bebrag K aan een intrest van 12% per jaar. Elk jaar betaalt Kristof een vast bedragX terug. Dit bedrag vertegenwoordigt de verschuldigde intrest en een gedeeltelijke kapitaalaflossing.

a. Wat is het nog verschuldigde kapitaal na 1 jaar, 2 jaar, 3 jaar, 20 jaar?

b. Veronderstel dat de lening over 20 jaar loopt, welk is dan het verband tussen het kapitaal K ende vaste aflossing X?

c. Kristof wil een lening aangaan over 20 jaar en kan jaarlijks 5000 EUR aflossen. Hoeveel kan Kristoflenen?

Oplossingen:2 a. K.1, 12 − X, K.1, 122 − X.1, 12 − X, K.1, 123 − X.1, 122 − X.1, 12 − X, K.1, 1220 − X.1, 1219 −X.1, 1218 − · · · −X;b. K.1, 1220 −X.( 1,1220−1

1,12−1 ) = 0;c. K = 37 347, 72EUR.

TAAK ♣ 3 Tom zet een kapitaal van 20000 EUR uit tegen 4.6% intrest per jaar. Watis het kapitaal van Tom na 7 jaar?

Oplossing: 3 27400,08 EUR.

1.1.3 Reele exponenten

Beschouwen we alle rationale machten van 2, dan kunnen we de functie

f : R −→ R, x 7−→ 2x

met domein Q beschouwen.

De irrationale getallen zijn plakpunten van het domein Q van de functie y = 2x. Wekunnen dus de limiet beschouwen in deze plakpunten. We aanvaarden dat die limietenbestaan

limx→d

2x = 2d

waarbij 2d de notatie is voor deze limiet.B.v. 2

√2 is de limietwaarde voor x naderend naar

√2 van y = 2x. Deze limietwaarde

vinden we op (afgerond) de rekenmachine: 2√

2 = 2, 665144143. Op die manier is eenreeel exponent van 2 gedefinieerd.

We veralgemenen deze definitie voor alle positieve grondtallen verschillend van 0 en ver-schillend van 1. We aanvaarden de volgende stellingen zonder bewijs:

STELLING 1.1 Elke functie y = ax met a ∈ R+0 is continu in elk rationaal getal, dus

in elk punt van haar domein.

STELLING 1.2 De limiet in elk irrationaal getal van de functie y = ax met domein Qbestaat en is gelijk aan een reeel getal (a ∈ R+

0 ).


1.1.4 Definitie van exponentiele functie

De functie y = ax met domein Q is continu in elk punt van haar domein, dus voor elkrationaal getal. Deze functie bezit een eigenlijke limiet in elk irrationaal getal. In elkirrationaal getal geeft deze limietwaarde een continue uitbreiding van de functie.

We breiden de functie y = ax met domein Q uit tot een functie y = ax met domein Rdoor met elk irrationaal getal d de limietwaarde ad te laten corresponderen.

De functie y = ax met domein R, die elk reeel getal x afbeeldt op de macht x van a ∈ R+0

wordt de exponentiele functie met grondtal a genoemd.

expa : R −→ R+0 : x 7−→ ax

Veelgebruikte exponentiele functies: y = 10x en y = ex met e = 2, 7182818 . . ..

De exponentiele functie y = (32)x is een stijgende functie want

∀x1, x2 ∈ R : x1 < x2 =⇒ (3

2)x1 < (

3

2)x2 .

We merken op dat (32)x nadert naar +∞ van zodra x nadert naar +∞ en nadert naar nul

als x nadert naar −∞.

limx→+∞

(3

2)x = +∞

limx→−∞

(3

2)x = 0.

Uit de laatste limiet volgt dat y = 0 een horizontale asymptoot is voor de grafiek van deexponentiele functie.De exponentiele functie y = (2

3)x is een dalende functie want

∀x1, x2 ∈ R : x1 < x2 =⇒ (2

3)x1 > (

2

3)x2 .

De functies y = (32)x en y = (2

3)x liggen symmetrisch t.o.v. de y-as want

∀x ∈ R : (3

2)−x = (

2

3)x.

Dit betekent dat beide functies voor tegengestelde x-waarden gelijke functiewaarden heb-ben.


Hieruit leiden we af:

limx→+∞

(2

3)x = 0

limx→−∞

(2

3)x = +∞.

Hieruit volgt ook dat de x-as een horizontale asymtoot is voor de grafiek van de exponen-tiele functie.

Om de grafieken te tekenen, maken we een tabel met speciale punten en enkele anderepunten.

Figuur 1.4: grafiek van y = (32)x y = (2

3)x


1.1.5 Eigenschappen van exponentiele functies

STELLING 1.3 a. De grafiek van elke exponentiele functie met grondtal a gaat doorde punten (0, 1), (1, a) en (−1, 1

a), ligt boven de X-as en heeft de X-as als horizontale

asymptoot.

b. Elke exponentiele functie is continu in elke reele x-waarde.

c. De exponentiele functie y = ax is stijgend als a groter is dan 1 en dalend als a ligttussen 0 en 1 (met 0 en 1 niet inbegrepen).

Bewijs:

a.∀a ∈ R+

0 : a0 = 1

∀a ∈ R+0 ,∀x ∈ R : ax > 0

∀a ∈]0, 1[: lim+∞

ax = 0 ∧ ∀a ∈]1,+∞[: lim−∞

ax = 0

Hieruit volgt dat elke exponentiele functie de y = 0 dit is de x-as als horizontaleasymptoot heeft.

b. De limietwaarde in elk reeel getal is de functiewaarde (geen bewijs).

c.∀a ∈]1,+∞[,∀x1, x2 ∈ R : x1 < x2 =⇒ ax1 < ax2 .

∀a ∈]0, 1[,∀x1, x2 ∈ R : x1 < x2 =⇒ ax1 > ax2 .

�

STELLING 1.4 Elke exponentiele functie is een isomorfisme van de groep R,+ voor deoptelling in de groep R+

0 , . voor de vermenigvuldiging.

Bewijs:

1. Elke exponentiele functie is een bijectie.Inderdaad, elke exponentiele functie is continu en strikt monotoon over een intervalnl. ]−∞,+∞[. Dit volgens een stelling over continue functies.

2. We bewijzen dat∀a ∈ R+

0 ,∀r, s ∈ R : ar+s = ar.as.


a. Zijn beide getallen r en s rationaal dan is de stelling bewezen.

b. Een van de getallen r en s is rationaal, de andere is irrationaal.

∀r ∈ Q, s ∈ R \Q : ar.as = ar. lims ax = lims a

r.ax

= lims ar+x = limr+s a

x′

= ar+s

Hier in het bewijs zijn r en x rationale getallen en geldt ar.ax = ar+x volgensde rekenregels met rationale exponenten.limr+s a

x′ = ar+s is geldig omdat de exponentiele functie een continue functieis.

c. Beide getallen r en s zijn irrationaal.

∀r, s ∈ R \Q : ar.as = ar. lims ax = lims a

r.ax

= lims ar+x = limr+s a

x′

= ar+s

Hier in het bewijs is r irrationaal en x rationaal en geldt ar.ax = ar+x volgenshet voorgaande deel van het bewijs.limr+s a

x = ar+s is geldig omdat de exponentiele functie een continue functieis.

�

OPMERKING: Door het feit dat elke exponentiele functie een bijectie is, is elk striktpositief reeel getal op juist een manier te schrijven als een reele macht van elk striktpositief getal a verschillend van 1.

Voorbeeld: Willen we 10 schrijven als een macht van 5 dan moeten we de volgende verge-lijking beschouwen.

5x = 10

Om x op te lossen uit deze vergelijking moeten we beschikken over de inverse functie vande functie y = 5x. Deze inverse functie zullen we in een van de volgende paragrafen delogaritmische functie met grondtal 5 noemen.

1.1.6 Rekenregels met reele exponenten

∀a ∈ R+0 ,∀r, s ∈ R : ar.as = ar+s

∀a ∈ R+0 , ∀r, s ∈ R :

ar

as= ar−s

∀a, b ∈ R+0 ,∀r ∈ R : ar.br = (a.b)r


∀a, b ∈ R+0 ,∀r ∈ R :

ar

br= (

a

b)r

∀a ∈ R+0 , ∀r, s ∈ R : (ar)s = ars

De eerste rekenregel werd bewezen in de vorige stelling. De andere rekenregels worden opanaloge wijze bewezen. We geven nog het bewijs van de derde rekenregel.

∀a, b ∈ R+0 ,∀r ∈ R : ar.br = (a.b)r

Voor r rationaal geldt de rekenregel. We onderstellen r irrationaal.

∀a, b ∈ R+0 ,∀r ∈ R : ar.br = limr a

x. limr bx = limr a

x.bx

= limr(a.b)x = (a.b)r

Hier in het bewijs is x rationaal en geldt ax.bx = (a.b)x volgens de rekenregels met rationalemachten r en s.limr(a.b)

x = (a.b)r is geldig omdat de exponentiele functie y = (a.b)x een continue functieis. �

1.2 Grafieken

Om de grafiek te tekenen van een samengestelde functie met een exponentiele functie,bepalen we eerst speciale punten, vervolgens maken we een tabel en tenslotte gaan weopzoek naar asymptoten. We illustreren met voorbeelden.

• Gegeven de functies f : y = x en g : y = −2(32)x.

Teken de grafieken (zonder computer) van f en g en de asymptoot voor de grafiekvan g. Zet vooraf beide functies in een tabel met enkele speciale punten voor degrafieken. Los dan de volgende ongelijkheid grafisch op. Controleer je resultatenmet de computer.

−2(3

2)x < x

Oplossing: Speciale x-waarden voor de grafiek van de functie g zijn de waarden 1,−1 en 0. Speciale punten zijn ook altijd de eventuele snijpunten met de x-as en dey-as. We kunnen de tabel nog aanvullen met nog enkele extra punten naar keuze.Tabel.

x −2 −1 0 1 2y = x −2 −1 0 1 2y = −2(3

2)x − −8

9− −4

3− −2 − −3 − −9

2−

1.2. GRAFIEKEN 17

De functie is negatief over R en de x-as is horizontale asymptoot omdat

lim−∞−2

(3

2

)x= −2 · 0 = 0

. De grafiek zit bijgevolg volledig onder de x-as.Om de ongelijkheid op te lossen, kijken we op grafiek en schatten we voor welkex-waarde de grafieken y = x en y = −2(3

2)x elkaar snijden. In de tabel zien we dat

het nulpunt zich bevindt tussen −2 en −1.

−2(3

2)x = x⇐⇒ x = −1, 22

De x-waarden waarvoor de grafiek van de functie onder de grafiek van y = x zit:

−2(3

2)x < x⇐⇒ x > −1, 22

Figuur 1.5: grafiek van y = x en y = −2(32)x


• Gegeven is de functies f : y = 12x en g : y = 3 · 4x−2. Teken de grafieken van fen g en de asymptoten van de grafieken van deze functies. Bepaal vervolgens deoplossing(en) van de volgende vergelijking grafisch en door berekening.

12x = 3 · 4x−2

Oplossing:

Figuur 1.6: grafiek van y = 12x en y = 3 · 4x−2

1. De x-as is horizontale asymptoot voor de grafieken van beide functies wantlim−∞ 12x = 0 en lim−∞ 4x−2 = 0;

2. We brengen de vergelijking in de vorm van een standaardvergelijking (zie pa-gina 32).

12x = 3.4x−2 ⇔ 12x = 3.4x.4−2 ⇔ 12x

4x=

3

16⇔ 3x =

3

16⇒ x = log3

3

16= −1, 524

(de inverse functie van y = 3x en dat is y = log3 x).

• Teken de grafiek van de functie f : y = (34)2x+8 − 5.

De grafiek van f is de verschuiving over de vector (−4,−5) van de grafiek van defunctie y = (3

4)2x vermits

(3

4)2x+8 − 5 = (

3

4)2(x+4) − 5.

1.2. GRAFIEKEN 19

Bijgevolg is de vergelijking van de horizontale asymptoot y = −5 (enkel aan de kantvan +∞). We kunnen de asymptoot ook rechtstreeks bepalen.

lim−∞

(3

4)2x+8 − 5 = (

3

4)−∞ − 5 = +∞− 5 = +∞

en

lim+∞

(3

4)2x+8 − 5 = (

3

4)+∞ − 5 = 0− 5 = −5

Speciale x-waarden voor de grafiek van de functie zijn x-waarden waarvoor de functiey = 2x + 8 de waarden 1, −1 en 0 aanneemt. Speciale punten zijn ook altijd deeventuele snijpunten met de x-as en de y-as.Tabel.

x −6, 8 −4, 5 −4 −3.5 02x+ 8 − −5, 6 − −1 − 0 + 1 + 8 +(3

4)2x+8 − 5 + 0 − 4

3− 5 − 1− 5 − 3

4− 5 − (3

4)8 − 5 −

Uit de grafiek kunnen we afleiden dat het nulpunt van de functie ligt tussen −7 en−6 en ongeveer −6, 8 bedraagt.

Figuur 1.7: grafiek van y = 2x+ 8 en y = (34)2x+8 − 5


• * Teken de grafiek van de functie y = 32−x2.

De grafiek van deze functie is niet de verschuiving van een exponentiele functie.Om deze functie te tekenen, maken we gebruik van het feit dat deze functie desamenstelling is van twee functies, nl. een kwadratische functie gevolgd door eenexponentiele functie.

We tekenen eerst de parabool y = 2− x2 en duiden op de grafiek de punten aan diespeciaal zijn voor de exponentiele functie y = 3x.

lim∞

32−x2

= 3−∞ = 0

Hieruit volgt dat y = 0 horizontale asymptoot is voor de grafiek van de gegevenfunctie aan de kant van zowel −∞ als +∞.

Tabel.

x −√

3 −√

2 −1 0 1√

2√

32− x2 − −1 − 0 + 1 + 2 + 1 + 0 − −1 −32−x2

+ 13

+ 1 + 3 + 9 + 3 + 1 + 13

+

Figuur 1.8: * grafiek van y = 2− x2 en y = 32−x2

1.2. GRAFIEKEN 21

• * Teken de grafiek van de functie y = 23−2xx+1 .

We tekenen eerst de homografische functie y = 3−2xx+1

en duiden op de grafiek depunten aan die speciaal zijn voor de exponentiele functie y = 2x. Om asymptotenop te sporen kijken we naar de plakpunten van het domein. De plakpunten zijn−∞, +∞ en −1.

lim∞

23−2xx+1 = 2−2 =

1

4

Hieruit volgt dat y = 14

horizontale asymptoot is voor de grafiek van de gegevenfunctie aan de kant van zowel −∞ als +∞.

lim−1−

23−2xx+1 = 2−∞ = 0 en lim

−1+2

3−2xx+1 = 2+∞ = +∞.

Hieruit volgt dat de rechte x = −1 verticale asymptoot is voor de grafiek van degegeven functie echter enkel aan de rechterkant.Tabel.

x −1 0 23

32

43−2xx+1

− −∞|+∞ + 3 + 1 + 0 − −1 −2

3−2xx+1 + 0|+∞ + 8 + 2 + 1 + 1

2+

Figuur 1.9: grafiek van y = 3−2xx+1

en y = 23−2xx+1


OPGAVEN — 4 Voor welke exponentiele functie geldt dat f(x+ 2) = 49f(x).

5 Maak een tabel met enkele bijzondere punten en teken de grafiek van de volgende functie (gebruik decomputer enkel ter controle):

1. y = 3x+3 3. y = 2x + 2−x 5. y = 1− 1023x

2. y = 2|3x−8| 4. y = −6( 43 )x 6. y = 1

2 ( 134 )−x+2 − 3

6 Los grafisch op, maak hierbij gebruik van de grafieken uit opgave 5:1. 3x+3 < 9 3. 2x + 2−x < 17

4 5. 1− 1023x > −9

2. 2|3x−8| < x2 − 1 4. −6( 43 )x > 1

2 (x+ 4)(2x− 1) 6. 12 ( 13

4 )−x+2 − 3 < 2x− 10

7 Bereken met behulp van een rekenmachine:

1. π3 3. e300 5. 7√

2 7.5√

7,776·10142·tan 0,02′′·7173

e300

2. (0, 8)−π 4. 20010 + 1 6. 98−57 8. e120cotg22′′1740

(10!)101245

8 * Gegeven de functies f : y = 3x1−4x2 en g : y = ( 3

4 )f(x).Gevraagd:

1. Teken met Derive de grafieken van f en g. Geef het domein van f en g;

2. Bereken zonder computer de asymptoten voor de grafiek van g.

3. Bepaal de beeldverzameling van g. Neemt de functie g de waarde 0 aan?

Oplossingen:

7 1. 31, 006; 2. 2, 0158; 3. 1, 9424264 · 10130; 4. 1, 024.1023; 7. 3, 0086 · 1037; 5. 15, 673; 6. 3, 163.10−114;8. 0, 001582.

AN II HUISTAAK 1 1. Gegeven zijn de functies f : y = −6x + 18 en g : y =124−x+2.

(a) Maak voor de functies een tabel met enkele speciale punten voor de grafiek vang;

(b) Teken de grafiek (zonder computer) van f en g;

(c) Los de volgende ongelijkheid grafisch op (oplossingen op 2 cijfers na de kommanauwk).

1

24−x+2 > −6x+ 18

Duid de oplossingenverzameling aan op de tekening.

2. Bereken op 6 cijfers nauwkeurig met behulp van een rekenmachine:

(esin 12031′+sin 0,52rad)4.(sin(20, 320 + 45012′15′′))3

1.3. LOGARITMISCHE FUNCTIES 23

1.3 Logaritmische functies

1.3.1 Inleiding

De exponentiele vergelijking

2, 75 · 1, 05x = 8, 25

die we grafisch opgelost hebben, kunnen we algebraısch oplossen als we zouden beschikkenover de inverse relatie van de exponentiele functie y = 1, 05x. Deze functie is een injectieen de restrictie tot R+ is een bijectie. Bijgevolg is de inverse relatie een bijectie.

1.3.2 Definitie van een logaritmische functie

De logaritmische functie met grondtal a ∈ R+0 \ {1} is de inverse functie van de

exponentiele functie met grondtal a.We noteren loga : R+

0 −→ R, x 7−→ loga x

y = loga x⇐⇒ x = ay.

We lezen “logaritme a van x”.Definitie van logaritmische functie met grandtal a met woorden:De logaritmische functie met grondtal a beeldt elk strikt positief reeel getal af op deexponent van zijn schrijfwijze als een macht van a.Voorbeeld: log3 27 = log3 33 = 3

Veelgebruikte logaritmische functies:

1. De Briggse logaritme is de logaritme met grondtal 10.We noteren log10 = log.

De Briggse logaritme beeldt elk positief getal af op de exponent voor zijn schrijfwijzeals een macht van 10.

Getallen tussen 10 en 100 worden afgebeeld op getallen tussen 1 en 2.Voorbeeld: log 50 = 1, 698970004⇐⇒ 50 = 101,698970004.Getallen tussen 100 en 1000 worden afgebeeld op getallen tussen 2 en 3.Voorbeelden: log 500 = 2, 698970004⇐⇒ 500 = 102,698970004;log 942, 6 = 2, 974327435⇐⇒ 942, 6 = 102,974327435;Getallen tussen 0,001 en 0,01 worden afgebeeld op getallen tussen -3 en -2.Voorbeeld: log 0, 00125 = −2, 903089987⇐⇒ 0, 00125 = 10−2,903089987;


De Briggse logaritme geeft ons een middel om op eenvoudige wijze het aantal cijfersvan grote natuurlijke getallen te bepalen.

∀n ∈ N : aantal cijfers van n = dlog ne

Voorbeeld: aantal cijfers van 52009 = dlog 52009e = d1404, 23e = 1405.Inderdaad, 52009 = 1, 7 · 101404.

2. De Neperiaanse logaritme of de natuurlijke logaritme is de logaritme metgrondtal e = 2, 7182818285 . . . We noteren: loge = ln.

Aangezien de logaritmische functie met grondtal a en de exponentiele functie met grondtala inverse functies zijn gelden de volgende gelijkheden:

*∀x ∈ R+

0 : expa(loga x) = x

of∀x ∈ R+

0 : aloga x = x

Bijzonder geval:∀x ∈ R+

0 : elnx = x

*∀x ∈ R : loga(expax) = x

of∀x ∈ R : loga(a

x) = x

Bijzonder geval:∀x ∈ R : ln(ex) = x

De grafieken van de logaritmische en exponentiele functies met eenzelfde grondtal liggensymmetrisch t.o.v. de rechte y = x.


Figuur 1.10: y = 2x en y = log2 x — y = ex en y = lnx


1.3.3 Eigenschappen van logaritmische functies

Volgende stellingen volgen uit de eigenschappen van de exponentiele functies.

STELLING 1.5 a. De grafiek van elke logaritmische functie met grondtal a gaat doorde punten (1, 0), (a, 1) en ( 1

a,−1) want

loga 1 = 0 loga a = 1 loga1

a= loga a

−1 = −1

en heeft de y-as als vertikale asymptoot.

lim0

(loga x) = (loga 0) =

{−∞ als a > 1+∞ als 0 < a < 1

b. Elke logaritmische functie is continu in elke strikt positieve reele x-waarde.

c. De logaritmische functie met grondtal a is stijgend als a groter is dan 1 en dalendals a ligt tussen 0 en 1 (met 0 en 1 niet inbegrepen).

Opmerking: Zoals een vierkantswortel werkt elke logaritmische functie alleen in op po-sitieve reele getallen.Voorbeeld: Het domein van de functie y = log3(2x− 1) is ]1

2,+∞[ want de bestaansvoor-

waarde is 2x− 1 > 0.

OPGAVEN — 9 Bepaal het domein, de asymptoten, een tabel met bijzondere punten, het tekenver-loop en teken de grafiek van de volgende functie:

1. y = ln(−x) 3. y = ln |x|2. y = 2 ln(x− 1) 4. y = log(3x+ 2) + 3

2

10 Bepaal van volgende functies het domein, de asymptoten, een tabel met bijzondere punten, hettekenverloop, het voorschrift van de inverse functie en teken de grafieken:

1. y = 3x+2 3. y = log3 2x2. y = −2( 3

2 )x 4. y = 124−x+2 − 3

Oplossingen:10 1. y = log3 x− 2; 2. y = log 3

2(−x2 ); 3. y = 0, 5.3x; 4. y = 3

2 − log4(x+ 3).

TAAK ♣ 11 Bepaal van volgende functie het domein, de asymptoten, een tabel met bijzondere punten,het tekenverloop, de inverse functie en teken de twee grafieken t.o.v. eenzelfde assenstelsel. Bepaal ookde beeldverzameling van de functie en haar inverse. :

1. y = 15 (2− 4

23x) 2. y = log(x2 − 1)− 1

2 3. y = ( 13 )

13x


♣ 12 Bepaal het voorschrift van de logaritmische functies waarvan het voorschrift van de gedaantey = loga(x− b) + c is en waarvan hieronder de grafieken getekend staan.

STELLING 1.6 Elke logaritmische functie is een isomorfisme van de groep R+0 , . voor

de vermenigvuldiging in de groep R,+ voor de optelling.

1.3.4 Rekenregels met logaritmen

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R+

0 : loga x.y = loga x+ loga y

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R+

0 : logax

y= loga x− loga y

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R−0 : loga x.y = loga(−x) + loga(−y)

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R−0 : loga

x

y= loga(−x)− loga(−y)

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x ∈ R+

0 , ∀r ∈ R : loga xr = r loga x

∀a ∈ R+0 \ {1}, ∀x ∈ R−0 ,∀r ∈ R : loga x

r = r loga(−x)


(De laatste regel geldt voor alle x-waarde waarvoor xr bestaat.)

We kunnen bovenstaande regels nog als volgt samenvatten. Zij zijn analoog met derekenregels voor evenmachtswortels.

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga |x|+ loga |y|

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R0 : loga

x

y= loga |x| − loga |y|

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x ∈ R0, ∀r ∈ R : loga x

r = r loga |x|

Deze rekenregels volgen onmiddellijk uit de rekenregels met reele exponenten. We geveneen bewijs van bvb. de rekenregel:

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x ∈ R+

0 ,∀r ∈ R : loga xr = r loga x

Bewijs: Stel s = loga x, hieruit volgt x = as. Uit de rekenregel

(as)r = ars

volgt datloga x

r = loga(as)r = loga a

rs = rs = r. loga x.

Bewijs zelf op analoge wijze de andere rekenregels. �

OPGAVEN — 13 Bepaal zonder gebruik te maken van een rekenmachine:1. log5 125 3. log0,5 4 5. log8 642. log16 8 4. log√2 2 6. log2

√3 12

14 Bepaal het grondtal a als gegeven is:1. loga 125 = 3 3. loga 0, 5 = 52. loga 8 = −1, 5 4. loga

√5 = 2

15 Bewijs dat de volgende uitdrukkingen onafhankelijk zijn van het grondtal a. Bereken daartoe dewaarde van elk van de volgende uitdrukkingen.

1. 5 loga 9loga 3 3. 3 loga 25+2 loga 8

loga 5+loga 2

2. loga3536 − loga

2125 − 3 loga

56 − loga 2 4. loga 27+loga 275+3 loga 0,125

2 loga 3−loga 2

16 Bepaal in functie van log a, log b, log c:1. log(ab2c) 3. log a2√b

c 5. log 3√a5b3c

2. log(a2 5√b2c3) 4. log 3

√a4b√c 6. log(ab

3

√a2

b )


17 a. Gegeven: log 2 = 0, 30103 en log 3 = 0, 47712Bepaal:

1. log 5 4. log 8 7. log 0, 82. log 1250 5. log 2, 88 8. log 0, 753. log 13, 5 6. log 3

√2

b. Gegeven: log 3, 5 = 0, 54407; log 3, 25 = 0, 51188 en log 2, 45 = 0, 38917Bepaal: (i) log 7; (ii) log 5; (iii) log 13.

18 Verifieer zonder rekenmachine log 13365 + 2 log 13

7 − log 14390 + log 77

171 = log 2

19 Bereken met behulp van een rekenmachine: ln(201001742).

Oplossingen:13 1. 3; 2. 0, 75; 3. −2; 4. 2; 5. 2; 6. 2;

14 1. 5; 2. 0, 25; 3. 15√2

; 4. 4√

5;

15 1. 10; 2. 0; 3. 6; 4. 9.

16 1. log a+ 2 log b+ log c; 2. 2 log a+ 15 (2 log b+ 3 log c); 3. 2 log a+ 0, 5 log b− log c; 4. 1

3 (4 log a+ log b+12 log c); 5. 1

3 (5 log a+ 3 log b+ log c);6. 1

3 (5 log a− 4 log b).

17 a. 1. log 5 = log 10− log 2; 2. log 1250 = 4 log 10− 3 log 2; 3. log 13, 5 = log 272 = 3 log 3− log 2;

4. log 8 = 3 log 2; 5. log 2, 88 = log 25.9100 = 5 log 2 + 2 log 3− 2;

6. log 3√

2 = 13 log 2. 7. log 0, 8 = 3 log 2− 1; 8. log 0, 75 = log 3− 2 log 2.

b. (i) log 7 = log 24535 = log 245− log 35; (ii) log 5 = log 35

7 = log 35− log 7; (iii) log 32525 = log 325− 2 log 5.

19 100 ln 20 + 16 ln 17 = 344, 90464.

1.3.5 Verband tussen verschillende logaritmische functies

We beschouwen twee logaritmen met grondtal a en met grondtal b.

loga x = r ⇐⇒ x = ar

enlogb x = s⇐⇒ x = bs

We combineren deze twee betrekkingen:

loga x = loga bs = s. loga b = logb x.logab

Is gegeven de logaritme met grondtal a dan vinden we de logaritme met grondtal b metde volgende formule:

logb x = loga xloga b

(1.1)

Gevolgen:


•∀a, b ∈ R+

0 : logb a =loga a

loga b=

1

loga b

Als we een getal met het grondtal verwisselen dan gaat de logaritme over in zijnomgekeerde.

• Willen we de logaritme met een grondtal a berekenen met de rekenmachine danmoeten we overgaan op de Briggse logaritme of op de Neperiaanse logaritme.

loga x =log x

log a=

lnx

ln a

Voorbeeld: log5 10 = log 10log 5

= ln 10ln 5

= 1, 430676558.

OPGAVEN — 20 Bewijs de volgende betrekkingen:

a. loga b. logb c. logc a = 1;

b. 1loga x

+ 1logb x

= 1logab x

.

21 Bereken met behulp van een rekenmachine:

(i) log7 13;

(ii) log0,5 372;

(iii) log13 0, 78;

(iv) * log4 |a+ba−b | met log5 a− log5 b = −2, 71;

(v) log5((7, 239 − 5, 1919)15 · (e20 · ln 0, 4)5);

(vi) cos(0,25rad+12052′′).(1,43)−7,32.e−2,17. cot(25042′12′′+25,1230)

(1,32)−15 . log4(tan 120o·cos 1050)·ln(tan4 1200·cos6 1050)

.

22 Tom zet een bedrag van 2500 EUR uit aan een jaarlijkse intrest van 12%. Na hoeveel tijd is hetspaargeld van Tom verdubbeld? Beantwoord dezelfde vraag als de jaarlijkse intrest 6% is

23 Suna wil een motor kopen. Suna heeft 4500 EUR gespaard, maar heeft haar oog laten vallen opeen motor die nu 5OOO EUR. kost. Door de inflatie echter wordt de motor jaarlijks 1% duurder. Sunabesluit haar spaargeld op de bank vast te zetten tot het vereiste bedrag zal zijn bereikt. De rente perjaar is 4,6% en haar spaargeld staat uit bij samengestelde intrest.

a. Hoe lang moet Suna nog wachten?

b. Na een jaar is zo een ding minder waard. ’Afschrijving‘ heet zoiets. Kenners hebben Suna vertelddat haar motor per jaar een derde van zijn waarde verliest. Zij wil uiteindelijk de motor wegdoenvoor ongeveer 500 EUR. Hoeveel jaar kan zij op haar motor rijden?


Oplossingen:21 (i) 1, 3181232; (ii) −8, 539; (iii) −0, 096868; (iv) 0, 01840727; (v) 353, 4662447; (vi) 0, 001878577.22 6j 1m 12d; 11j 10m 22d.23 a. 3 jaar; b. ongeveer 6 jaar

AN II HUISTAAK 2 1. Bepaal zonder gebruik te maken van een rekenmachine:1. log1,5

278

2. log0,25 16 3. log0,2 6254. log0,5 4 5. log9 27

2. Bepaal het grondtal a als gegeven is:1. loga 2 = −2 2. loga

√3 = 3 3. loga 0, 1 = 1

3. Bewijs dat de volgende uitdrukking onafhankelijk is van het grondtal a.√4 loga 3 + loga 128− loga 0, 5

loga 2 + loga 6

4. Bepaal in functie van log a, log b, log c: log 5

√ab2

c3.

5. Bepaal het aantal cijfers van 2963 zonder het getal zelf uit te rekenen.

6. Bewijs de volgende betrekking: logb a. loga1b2

= −2.

7. Bereken met de rekenmachine:

log6(cos6 1050). sin(15052′3′′ + (0, 2 + π)rad)

e−0,02.cotg(15023′12′′ + 22015′′). ln(− cos 1050.e−0,75)

8. Thomas zet een kapitaal van 2100 EUR uit. Na 5 jaar heeft Thomas 2700 EUR,hoeveel bedraagt dan de intrest per jaar? Na hoeveel tijd (in jaren maanden endagen) is het geld van Thomas verdubbeld?

9. Bij een kernramp is een hoeveelheid jodium 131 vrijgekomen. De radioactieve neer-slag heeft een in de buurt gelegen weide besmet. Metingen wijzen uit dat de toege-stane hoeveelheid becquerel 10 maal overschreden is. Hoeveel dagen moet men hetvee uit de weide houden, als je weet dat de halveringstijd van jodium 131 8 dagenis.


1.4 Eenvoudige logaritmische en exponentiele verge-

lijkingen

1.4.1 Standaardvergelijkingen

loga f(x) = r

loga f(x) = loga g(x)

af(x) = r

af(x) = ag(x)

Deze standaardvergelijkingen worden opgelost door gebruik te maken van de correspon-derende inverse functie.

loga f(x) = r ⇐⇒ f(x) = ar

loga f(x) = loga g(x)⇐⇒ f(x) = g(x) met f(x) > 0 ∧ g(x) > 0

∀a ∈ R+0 \ {1} : af(x) = r ⇐⇒ f(x) = loga r met r > 0

af(x) = ag(x) ⇐⇒ f(x) = g(x) ∨ a = 1

Alle andere logaritmische en exponentiele vergelijkingen zijn tot deze twee standaardvor-men terug te brengen.

1.4.2 Vergelijkingen die na toepassing van de eigenschappen on-middellijk te herleiden zijn tot een van de standaardvor-men

Voorbeelden:

* log(7x− 9)2 + 2 log(3x− 4) = 2.We beginnen met de bestaansvoorwaarden van de vergelijking te bepalen.

7x− 9 6= 03x− 4 > 0

}⇐⇒ x >

4

3

We lossen de vergelijking als volgt op:

2 log |7x− 9|+ 2 log(3x− 4) = 2 =⇒ log(|7x− 9|(3x− 4)) = 1

⇐⇒ |7x− 9|(3x− 4) = 10⇐⇒ 21x2 − 55x+ 26 = 0 ∨ 21x2 − 55x+ 46 = 0

⇐⇒ x = 2 ∨ x =13

21

De oplossing x = 1321

moet uitgesloten worden gezien de bestaansvoorwaarden.

1.4. EENVOUDIGE LOGARITMISCHE EN EXPONENTIELE VERGELIJKINGEN33

* log2 x = log8(7x− 6)De bestaansvoorwaarden van de vergelijking zijn:

x > 07x− 6 > 0

}⇐⇒ x >

6

7


log2 x = log8(7x− 6)⇐⇒ log2 x =log2(7x− 6)

log2 8

⇐⇒ log2 x =log2(7x− 6)

3⇐⇒ 3 log2 x = log2(7x− 6)

⇐⇒ log2 x3 = log2(7x− 6) =⇒ x3 = 7x− 6⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = −3

De oplossing x = −3 moet uitgesloten worden gezien de bestaansvoorwaarden.

1.4.3 Vergelijkingen die aanleiding geven tot een algebraıschevergelijking in loga f(x) of ef(x)

Voorbeelden:

* logx 2 + log2x 16 = 116

De bestaansvoorwaarden zijn x > 0, x 6= 1 en x 6= 12.


logx 2 + log2x 16 =11

6⇐⇒ logx 2 + 4 log2x 2 =

11

6

=⇒ logx 2 + 4logx 2

logx 2x=

11

6⇐⇒ logx 2 + 4

logx 2

logx 2 + 1=

11

6

=⇒ (logx 2 + 1) logx 2 + 4 logx 2 =11

6(logx 2 + 1)

⇐⇒ 6 log2x 2 + 6 logx 2 + 24 logx 2 = 11 logx 2 + 11

⇐⇒ 6 log2x 2 + 19 logx 22− 11 = 0⇐⇒ logx 2 =

1

2∨ logx 2 = −11

3

⇐⇒ x = 4 ∨ x =11

√1

8= 0, 82775328.


* 3x+1 + 18.3−x = 29

3x+1 + 18.3−x = 29⇐⇒ 3.3x + 18.1

3x= 29⇐⇒ 3.32x − 29.3x + 18 = 0

⇐⇒ 3x = 9 ∨ 3x =2

3⇐⇒ x = 2 ∨ x = log3

2

3= −0, 369070246

OPGAVEN — 24 Los de volgende vergelijkingen opa. log64(logx 16)2 = 1 b. log x = 2 log 10 + log 28− log 9− log 35c. 2 log x+ 2 log 30 = 4 log 3 + 2 log 5 + log 100 d. 1

2 log(x− 3) = 3 log 2f. 5 log x = log 288 + 4 log x

2 g. 2 log x− 1 = log(x− 2510 )

h. log(x2 − 1)− log(x2 − 7x+ 12) = log 4 i. log(35−x3)log(5−x) = 3

j. 4 log x2 + 3 log x

3 = 5 log x− log 12 k. log√

7x+ 5 + log√

2x+ 3 = 1 + log 4, 5l. 2 log x

3 + 3 log x2 = 3 log x

5 + log 15, 625 m. log33√x+ 2 = log27(x− 2) + 1

3n. log3 x = logx+1 x o. logx 3 = logx(x+ 1)

25 Los de volgende vergelijkingen op:a. log2 x+ 12 = log x7 b. log x2 + log3 x = 4 log2 x

c. log3 x− 4 log2 x+ log x = 0 d. log3 x2 = 2, 83.

26 Los de volgende vergelijkingen op:a.√

27x = 19 b. (5x+4)3x−2 = 1

c. 23+x.57+4x = 35+2x.46+3x d. 4x−2.83x−1 =√

2e. a7x−3 = a2x−1

a5x f. 3x + 3x+1 = 4g. 16

13x−1 = 4

1x+1

27 Los de volgende vergelijkingen opa. 22x − 9.2x + 8 = 0 b. 9.32x − 3x+2 = 54 c. 3.9x − 26.3x = 3

28 Los de volgende vergelijkingen op:(i) ln(2x+ 3) + ln(x− 1) = ln(x2 + 9) (ii) 2 log x+ 1 = log(19x+ 2)(iii) 3

√x+1 = 3x−5 (iv) 4x − 5 · 2x − 24 = 0

(v) log2 x · log4 x · log8 x = 43 (vi) x6+log x = (0, 24)9(3 log 2+log 3)

(vii) log2(2x − 1) + x = log4 144 (viii) 2x + 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 3(ix) log5(5x − 7)− log25 324 = 2− x (x) logx+3(2x− 1) = 1(xi) (logx+6 x)−1 + logx(x− 1) = 2 + (log2 x)−1 (xii) (0, 79)x = (2, 6)3−x

1.4. EENVOUDIGE LOGARITMISCHE EN EXPONENTIELE VERGELIJKINGEN35

29 Los de volgende stelsels op:

1.{

logx+2 y = 2logy x = 0, 25 7.

{log tanx+ log tan y = 02 tanx = 3

cos y

los later op in volgend hfdst.

2.{x+ y = 70log x+ log y = 3 8.

{7x = 2y2x = 7y

3. [{

2x = 8y+1

9y = 3x−9 9.{

x√x+ y = 2

(x+ y).3x = 279936

4.

zx = y2x

2z = 2.4x

x+ y + z = 010.

{x√y + 10 = 2

2 log22y3 = x

5.{

2 log x− log y = 2x2 − 19y2 = 25 11.

{(y + 1)x = 3

√3

(y + 1)3x = y2 − 1

6.{xy = yx

100x = 10y 12.

2y−1 = 16x−1

31x = 9

1z

x√

2y−3 = 2x√

8z−2

Oplossingen:24 a. x =

√2 ∨ x =

√2

2 ; b. x = 809 ; c. x = 15; d. x = 67; e. x = 2; f. x = 18; g. x = 5; h. x = 7 ∨ x = 7

3 ;i. x = 2 ∨ x = 3; j. x = 6; k. x = −31+

√113521

28 ; l. x = 3; m. x = 4; n. x = 2 ∨ x = 1; o. x = 2 .

25 a. x = 1000 ∨ x = 10000; b. x = 1 ∨ x = 102±√

2; c. x = 1 ∨ x = 102±√

3; d. x = ±5, 1.26 a. x = −1, 33; b. x = −4 ∨ x = 2

3 ; c. x = 0, 6005756; d. x = 1522 ; e. x = 1

5 ; f. x = 0; g. x = 3.27 a. x = 0 ∨ x = 3; b. x = 1; c. x = 1, 98

28 (i) x = 3; (ii) x = 2; (iii) x = 9; (iv) x = 3; (v) x = 4; (vi) x = 10−3±3√

1+log 24·log 0,24; (vii) x = 2;(viii) x = log2

4831 ; (ix) x = 2; (x) x = 4; (xi) x = 2 ∨ x = 3; (xii) x = 3 log 2,6

log 0,79+log 2,6 .

29 1. (2, 16); 2. (20, 50) en (50, 20); 3. (21, 6); 4. (− 49 ,

13 ,

19 ) en (0,−1, 1); 5. (10

√5, 5) en (10

√519 ,

519 );

6. (2, 4); 7. (π3 + kπ, π6 + k′π); 8. (−1, 114 ); 9. (7, 27 − 7); 10. (4, 6); 11. ( 1

3 , 2); 12. (3, 9, 6).

AN II HUISTAAK 3 1. Welke betrekking bestaat er tussen x en y, als

log(x+ y) = log x+ log y

Bepaal de grenzen van x en van y en stel het verband tussen x en y grafisch voor.

2. Los de volgende vergelijkingen op:

(i) (x+ 3)x2−9 = 1;

(ii) 4x − 3.2x+1 − 16 = 0;

(iii) log2(log2 x) = log2(log2 x2 − 1) + 1.


1.5 Grafieken

1. Gegeven is de functie y = log(x+ 34)2 + 2 log(3x− 4).

(a) Teken de grafiek van deze functie met DERIVE;

(b) Bepaal het domein van de functie, eerst grafisch en dan door een kleine bere-kening;

(c) Bepaal tevens de verticale asympto(o)t(en) voor de grafiek van de functie;

(d) Bepaal de oplossing(en) van de vergelijking log(x+ 34)2 +2 log(3x−4) = 2 eerst

grafisch en dan door berekening. Wat merk je op?

Oplossing:

(a) De grafiek (zie hierboven)

(b) De bestaansvoorwaarden zijnx 6= −3

4

3x− 4 > 0}x > 4

3het domein is dus ]4

3,+∞[.

(c) Enkel x = 43

is kandidaat verticale asymptoot omdat 43

een plakpunt is van hetdomein.

lim43

log(x+3

4)2 + 2 log(3x− 4) = −∞ −→ x =

4

3is verticale asymtoot

1.5. GRAFIEKEN 37

(d)

log(x+3

4)2 + 2 log(3x− 4) = 2⇐⇒ 2 log |x+

3

4|+ 2 log(3x− 4) = 2

⇐⇒ log |x+3

4|+ log(3x− 4) = 1⇐⇒ (∗) log(|x+

3

4|(3x− 4)) = 1

⇐⇒ |x+3

4|(3x− 4) = 10⇐⇒ 3x2 − 7

4x− 13 = 0 ∨ 3x2 − 7

4x+ 7 = 0

⇐⇒ x = 2, 39 ∨ x = −1, 81

De oplossing x = −1, 81 moet verworpen worden wegens de bestaansvoorwaar-den. Deze oplossing is binnen geslopen bij de overgang (*).

2. Gegeven is de functie y = 5x2−1.

(a) Teken de grafiek van y = 5x2−1;

(b) Bepaal de oplossingen van de vergelijking 5x2−1 = 3 grafisch en met een bere-

kening.

Oplossing:

Figuur 1.11: oplossingen van de vergelijking 5x2−1 = 3

(a)

(b) De vergelijking is een standaardvorm (zie pagina 1.4.1)

5x2−1 = 3⇐⇒ x2 − 1 = log5 3⇐⇒ x = ±

√1 + 0, 682606194 = ±1, 297153111


1.6 Logaritmische schaal *

1.6.1 Logaritmische schaalverdeling

Bij een lineaire schaalverdeling vormen de getallen op de as een rekenkundige rij.Bij een logaritmische schaalverdeling met grondtal 10 vormen de getallen op de as eenmeetkundige rij met reden 10. Als we van de getallen x op een logaritmische schaal-verdeling de logaritme met grontal 10 nemen dan verkrijgen we op deze as een lineaireschaalverdeling met absissen x′. Er geldt:

10x′= x⇐⇒ x′ = log x

Voorbeelden:

• Bij het vergelijken van grootheden die zeer ver uit elkaar liggen, is de gewone lineaireschaal onbruikbaar. Nemen we de volgende afstanden:

afstand x in km x′ = log xstraal van de aarde 6, 73 · 103 3,83straal van de zon 6, 95 · 105 5,84afstand aarde - zon 1, 50 · 108 8,18afstand tot de dichtsbijzijnde ster 4, 05 · 1013 13,61diameter van de melkweg 9, 45 · 1016 16,98afstand tot de Andromedanevel 1, 90 · 1018 18,28

1. Plaats deze afstanden op een logaritmische schaal met grondtal 10;

2. Waar ligt x = 0 op deze schaal?

3. Stel het interval x ∈ [100, 102] voor door een lijnstuk van 20 cm. Duid nu bijbenadering de punten x = 2, x = 3, x = 4 enz. x = 9 aan op de schaal 1.12bvb. log 2 = 0, 3

4. Hoe kunnen we uit deze merkpunten die afleiden voor x = 20, x = 30, x = 40enz. x = 90? Duid deze punten ook aan op de schaal 1.12: bvb. log 20 =log(2 · 10) = log 2 + 1.Elke twee getallen waarvan de verhouding 10 is liggen op de logaritmischeschaal op de afstand 1 van elkaar.

5. Met welk getal x ∈ [100, 102] op de logaritmische schaal komt x′ = 0, 5 enx′ = 1, 75 overeen? Duid deze getallen eveneens aan op de schaal 1.12: bvb.100,5 = 3, 16

1.6. LOGARITMISCHE SCHAAL * 39

Figuur 1.12: Logaritmische schaal

• Thomas studeert wiskunde krijgt een cursus astrofysica. Thomas leert het volgende.De Griekse sterrenkundige Hipparchos deelde de sterren op in zes klassen volgenshun schijnbare helderheid vanop aarde: de helderste ster kreeg magnitude 1, dezwakste sterren die nog net met het blote oog waarneembaar zijn hadden magnitude6. Uit deze indeling ontstond de huidige, meer uitgebreide en verfijnde magnitude-schaal. Bovendien zijn de huidige metingen nauwkeuriger. De magnitudeschaal is‘omgekeerd’ in die zin dat hoe kleiner de magnitude m van een ster, hoe helderder dester voor ons lijkt. De schaal is zo ontwikkeld dat een verschil van 5 op de magnitu-deschaal overeenkomt met een factor 100 in de schijnbare helderheid: heeft een sterbijvoorbeeld magnitude 10, dan betekent dit dat deze ster 100 keer helderder lijktvoor ons dan een ster met magnitude 15. Een verschil van 1 in de magnitudeschaalkomt dus overeen met een factor 5

√100 = 2, 512 in helderheid. Beschouwen we twee

sterren met magnitudes m1 en m2, en schijnbare helderheden vanop aarde b1 en b2,dan geeft dit in een formule:

b1b2

= 100m2−m1

5 = 10−2m1−m2

5 .

y = 10−2x5 ⇐⇒ x = −5

2log y

waarbij x het verschil is in magnitude van twee sterren S1 en S2 en y de verhoudingvan de lichtsterkte van S1 en S2.De zon heeft een magnitude van −26, 8 en de zwakste zichtbare ster een magnitudevan +24. De verhouding van de lichtsterkte van de zon t.o.v. de zwakste ster is:

y = 10−2(−26,8−24)

5 = 2 · 1020 = 1020,32

De zon is schijnbaar 1020 maal zo lichtsterk dan de zwakste ster.

De magnitude van de ster die een miljoen keer minder helder is dan de zon:

x = −5

2log 10−6 ⇐⇒ x = 15

De magnitude van de ster is −26, 8 + 15 = −11, 6.


1.6.2 Grafieken met logaritmische schaal

Grafieken werden tot nu toe steeds getekend t.o.v. een assenstelsel met lineaire schaalver-deling zowel op de x-as als op de y-as. Soms is het interessant grafieken te tekenen t.o.v.een assenstelsel waarvan een van de assen of beide assen een logaritmische schaalverde-ling bezitten. Zo verkrijgen we grafieken die getekend zijn t.o.v. een enkellogaritmischeschaal of t.o.v. een dubbellogaritmische schaal.

De bedoeling van logaritmische schaalverdeling voor het tekenen van grafieken is de gra-fieken te herleiden tot rechten.

Voorbeeld: enkellogaritmische schaalTeken de grafiek van de functie y = 5 · 3x t.o.v. een enkellogaritmische schaal waarbij dex-as een lineaire schaal heeft en de y-as een logaritmische schaal heeft met grondtal 10.Omdat de y-as logaritmisch is, is y′ = log y. De grafiek van de functie t.o.v. de enkelvou-dige logaritmische schaal is de grafiek van de functie y′ = log(5 ·3x)⇔ y′ = log 5+log 3 ·x.Dit is een eerstegraadsfunctie.

Voorbeeld: dubbellogaritmische schaalTeken de grafiek van de functie y = 5 · x3 t.o.v. een dubbellogaritmische schaal waarbijde x-as en de y-as een logaritmische schaal hebben met grondtal 10.Omdat de x-as en y-as logaritmisch zijn, is y′ = log y en x′ = log x.De grafiek van de functie t.o.v. een dubbellogaritmische schaal is de grafiek van de functiey′ = log(5 · (10x

′)3)⇔ y′ = log 5 + 3x′. Dit is een eerstegraadsfunctie.

OPGAVEN — 30 Welk soort logaritmische schaal moeten we gebruiken opdat de grafieken van devolgende functies rechten zouden voorstellen? Teken deze rechten t.o.v. het enkellogaritmisch of hetdubbellogaritmisch papier.

1. y = 2x 3. y = 42x 5. y = x2 7. y = 3ex

2. y = log x 4. y = log 14x 6. y =

√x 8. y = 2x3

31 We beschouwen de vleugelbelasting in gram per vierkante centimeter in functie van de lichaamsmassavan enerzijds een vlinder en anderzijds een boeing. De grafieken van deze twee functies zijn twee rechtenin dubbellogaritmische schaal met grondtal 10. De rechte van de boeing gaat door de punten (3, 0) en(−3,−2). De rechte van de vlinder gaat door het punt (1;−1, 5). .

1. Bereken de vleugelbelasting van een vlinder met massa 0,1 gram.

2. De massa van de boeing is gelijk aan 3, 2 · 108 g. Bepaal de vleugelbelasting van de boeing.

Oplossing:30: enkelvoudig logaritmisch: 1-2-3-4-7 31: 1) 0,0068 g/cm2; 2) 68,40 g/cm2.


32 Welke transformaties zijn er nodig om de functie f : y = log 12

x4 om te vormen tot de functie

g : y = 2x+2?

33 De sterkte van het geluid dat we horen, noemen we het geluidsniveau N . Dit wordt uitgedruktin decibel (dB). Om het geluidsniveau te bepalen wordt de geluidsintensiteit I gematen in Watt pervierkante meter (W/m2).Van het geluid op een rustige dag buiten is de intensiteit ongeveer 10−7 W/m2.Het geluidsniveau kan je berekenen met de formule N = 120 + 10 log I.

1. Bereken het geluidsniveau op een rustige dag;

2. Op een rustige dag rijd een bromfiets voorbij. Het geluidniveau neemt op dat moment toe met30 dB. Hoe groot is de geluidsintensiteit op dat moment?

3. Met hoeveel decibel neemt het geluidsniveau toe als de geluidsintensiteit verdubbelt?

4. Hoe verandert de geluidsintensiteit als het geluidsniveau verdubbeld?

5. T.o.v. welk logaritmische schaal stelt deze functie een rechte voor?

34 Een zwart lichaam is een lichaam dat alle straling die erop valt absorbeert. Het oppervlak ervanzendt een hoeveelheid stralingsenergie uit die de emissiesterkte E (in W/m2) wordt genoemd. Dezeemissiesterkte hangt alleen af van de temperatuur T (in graden Kelvin) van het lichaam. Er geldt datE = σ · T 4. Hierbij stelt σ een constante voor.

1. Druk logE uit in functie van log T ;

2. Welke rechte stelt de functie voor t.o.v. een dubbellogaritmische schaal.

3. Bereken σ op een miljardsten nauwkeurig als log σ = −7, 25;

35 De kracht van een aardbeving wordt gemeten met behulp van seismografen. Deze toestellen metende zogenaamde magnitude M op de schaal van Richter. Uit de waarde van M kan men de vrijgekomenenergie E berekenen met behulp van de formule 1, 5M = log E

25000 met E uitgedrukt in Joule.

1. Druk E uit in functie van M ;

2. Op 24 februari 2003 deed zich een zware aardbevibg voor in het westen van China. De beving hadeen kracht van 6,8 op de schaal van Richter. Bereken E;

3. Als de magnitude op de schaal van Richter met 1 toeneemt, hoeveel keer groter is dan de vrijge-komen energie?

4. In de tweede wereldoorlog werd op 6 augustus 1945 de eerste atoombom gegooid op Hiroshima.Door deze ontploffing kwam ongeveer 7 · 1013 Joule energie vrij. Veronderstel dat deze ontploffingondergronds gebeurde, hoeveel zou de magnitude op de schaal van Richter dan bedragen?

36 De populatiedichtheid van dieren (in aantal per vierkante kilometer) in functie hun lichaamslengte(in meter) stelt t.o.v. een dubbellogaritmisch.schaal een rechte voor bepaald door de punten (1; 1, 1) en(2, 0) en de populatiedichtheid in functie van hun lichaamsmassa (in kg) stelt t.o.v. een dubbellogaritmischschaal een rechte voor door de punten (−6; 15, 5) en (− 8

3 , 8).


1. Stel de vergelijking op van elk van de rechten;

2. Leid daaruit de relatie tussen de massa en de lichaamslengte van dieren af.

3. Bepaal de functie die uitdrukt hoe snel het aantal dieren per vierkante kilometer afneemt bijtoenemende lichaamslengte.

4. Bepaal de functie die uitdrukt hoe snel het aantal dieren per vierkante kilometer afneemt bijtoenemende massa van de dieren.

1.7 De afgeleide functie van een logaritmische functie

STELLING 1.7 De afgeleide functie van de logaritmische functie y = loga x is de rati-onale functie y = k. 1

xmet x > 0 en k = loga e = 1

ln a.

d loga x

dx= (loga x)′ = loga e.

1

x=

1

x. ln a

Bewijs: We bepalen de afgeleide van de logaritmen met grondtal a in een punt x van zijndomein R+

0 .

(loga x)′ = limh→0loga(x+h)−loga x

h= limh→0

logax+h

x

h

= limh→01h

loga(1 + hx) = limh→0 loga(1 + h

x)

1h

We gaan nu over naar een nieuwe veranderlijke n door de substitutie h = nx.

(loga x)′ = limn→0 loga(1 + n)1

nx = limn→01x

loga(1 + n)1n

= 1x

limn→0(loga(1 + n)1n ) = 1

xloga(limn→0(1 + n)

1n )

= 1x

loga e

In dit laatste is x een constante voor de limiet en komt 1n

als exponent na de logaritmevolgens een eigenschap van logaritme.Omdat de logaritmische functie continu is in elk punt van haar domein en volgens derekenregel lima g(f(x)) = g(lima f(x)) geldt

limn→0

(loga(1 + n)1n = loga(lim

n→0(1 + n)

1n

Bovendien geldt:

lim+∞

(1 +1

m)m = e

n= 1m=⇒ lim

0(1 + n)

1n = e.

�

1.7. DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN LOGARITMISCHE FUNCTIE 45

Figuur 1.13: de logaritmische functie y = log0,5 x en haar afgeleide functie

GEVOLG 1.1 De afgeleide functie van de Neperiaanse logaritmische functie is de rati-onale functie y = 1

xmet x > 0.

Inderdaad,d lnx

dx= (lnx)′ =

1

x ln e=

1

x

want ln e = 1.


Opmerking: De richtingscoefficient van de raaklijn in (1, 0) aan de grafiek van y = loga xis gelijk aan

loga e =1

ln a

In de volgende tabel zie je het verloop van de richtingscoefficient in functie van de waardenvan het grondtal.

a 0 1 e +∞ln a | −∞ ↗ 0 ↗ 1 ↗ +∞

1ln a

|0 ↘ −∞ | +∞ ↘ 1 ↘ 0

1| ln a| |0 ↗ +∞ | +∞ ↘ 1 ↘ 0

Figuur 1.14: de richtingscoefficient van de raaklijn in (1, 0) aan de grafiek van een loga-ritmische functie

1.8. AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN EXPONENTIELE FUNCTIE 47

1.8 Afgeleide functie van een exponentiele functie

De afgeleide functie van de exponentiele functie zal ons leren hoe snel de functie verandert.Dit is belangrijk bij de exponentiele groei van bepaalde processen. We hebben reeds geziendat zo een groei afhankelijk is van wat er reeds aanwezig is. We zullen nu zien dat degroeisnelheid verloopt zoals de functie zelf.

STELLING 1.8 De afgeleide functie van de exponentiele functie met grondtal a is gelijkaan een veelvoud van de functie zelf. Dit veelvoud is ln a.

dax

dx= (ln a) · ax

Bewijs: De afgeleide functies van inverse functies voor de samenstelling zijn elkaars om-gekeerden.

dax

dx= 1

d loga y

dy

met y = ax

= 11

y ln a

met y = ax

= ln a.ax

�

GEVOLG 1.2 De afgeleide functie van de exponentiele functie met grondtal e is deexponentiele functie zelf.

OPGAVEN — 37 Bepaal de afgeleide functie van de volgende functies:

1. y = ln(4x− 3) 9. y = ln√

3− x2 17. y = ln x2

x2

2. y = ln2 x 10. y = xln |x| 18. y = 1

5x5(lnx− 1

5 )3. y = x. lnx 11. y = lnx2 19. y =

√x lnx

4. y = ln 1x 12. y = 1

ln x 20. y =√

lnx5. y = ln x+1

x−1 13. y = lnx− ln(x− 1) 21. y = ln√x

6. y = ln(x+√x2 + 4) 14. y = ln 3

√1 + x2 22. y = log( x

x−1 )7. y = ln |x| 15. y = 2 lnx− 1 + 1

x 23. y = ln x1+x2

8. y = ln | lnx| 16. y = ln(x2 + 1) 24. y = ln√

3x+23x−2

38 Bepaal de algeleide functie van elk van de volgende functies:

1. y = e5x 5. y = 1ex

2. y = ex2

6. y = 51−3x

3 ln 5

3. y = (ax2 + bx+ c).ex 7. y =(

(3x− 180) 3√x2 − 15(x− 24) 3

√x+ 60x− 360

).e

3√x

4. y = ex + e−x 8. y = xax


Figuur 1.15: de exponentiele functie y = 2x en haar afgeleide functie

39 Bepaal de afgeleide functie van elk van de volgende functies:

1. y = 3−x2

3. y = log3(log2 x)2*. y = (lnx− 1)

√1 + x2 − 1

2 ln√x2+1−1√x2+1+1

4*. y = ln(e2x +√e4x + 1)

40 Gegeven de functies f : y = 3x en g : y = x3.Gevraagd:

1. Teken de grafieken van de functies f en g.

2. De exponentiele functie gaat sneller omhoog dan de veeltermfunctie g. Echter voor kleine x-waarden zit de grafiek van de exponentiele functie eerst boven de grafiek van g en voor x = 3snijden ze elkaar. Hoe is het verloop dan verder? Gaat de exponentiele functie dan weer onder deveeltermfunctie of raken ze elkaar voor x = 3? In het eerste geval moet er nog een tweede snijpuntzijn. Hoe kan je dat nagaan? Indien er een tweede snijpunt is, bepaal dit dan met de methode vanNewton op 4 decimalen nauwkeurig.

3. Los de ongelijkheid x3 > 3x op.

41 Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P (1, 10) aan de grafiek van y = 10x.

42 Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van y = e−x loodrecht op de rechte 2x− y = 8.

1.8. AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN EXPONENTIELE FUNCTIE 49

Figuur 1.16: de richtingscoefficient van de raaklijn in (0, 1) aan de grafiek van een expo-nentiele functie

Oplossingen:37

1. y′ = 44x−3 9. y′ = − x

3−x2 17. y′ = 2−4 ln xx3

2. y′ = 2 ln xx 10. y′ = ln |x|−1

ln2 |x| 18. y′ = x4 lnx3. y′ = 1 + lnx 11. y′ = 2

x 19. y′ = 2+ln x2√x

4. y′ = − 1x 12. y′ = − 1

x ln2 x20. y′ = 1

2x√

ln x

5. y′ = − 2x2−1 13. y′ = 1

x(1−x) 21. y′ = 12x

6. y′ = 1√x2+4

14. y′ = 2x3(1+x2) 22. y′ = − 1

x(x−1) ln 10

7. y′ = 1x 15. y′ = 2x−1

x2 23. y′ = 1+x2−2x2 ln xx(1+x2)2

8. y′ = 1x ln x 16. y′ = 2x

x2+1 24. y′ = − 6(3x−2)(3x+2)

381. y′ = 5e5x 5. y′ = − 1

ex

2. y′ = 2xex2

6. y′ = −51−3x

3. y′ =(ax2 + (2a+ b)x+ b+ c

).ex 7. y′ = x.e

3√x

4. y′ = ex − e−x 8. y′ = 1−x ln aax

39

1. y′ = −2 ln 3.x.3−x2

3. y′ = 1ln(3)x ln x

2*. y′ = x4 lnx 4*. y′ = 2 e2x√e4x+1

41: y − 10 = 10 ln 10(x− 1); 42: y − 12 = − 1

2 (x− ln 2)


1.9 Logaritmisch afleiden*

Als een functie f het product is van verschillende factoren, kan het afleiden vereenvoudigdworden als we alvorens af te leiden de natuurlijke logaritmen nemen van de functie:

d ln(f)

dx=

1

f.df

dx⇐⇒ df

dx= f.

d ln(f)

dx.

Voorbeeld:dxx

dx= xx.

d lnxx

dx= xx

dx lnx

dx= xx(1 + ln x).

OPGAVEN — 43 Bepaal de afgeleide functie van elk van de volgende functies1. y = (lnx)x. 2. y = x

1ln x

44 Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P van de grafiek van1. y = xln x in P (e, e) 2. y = (x+ 1)x in P (1, 2)

Oplossingen:

431. y = (lnx)x−1(ln(lnx) + 1

ln x ). 2. y = 044

1. y − e = 2(x− e) 2. y − 2 = (2 ln 2 + 1)(x− 1)

1.10 Limieten en continuıteit van de exponentiele en

logaritmische functies

1.10.1 De standaardlimieten

De exponentiele en logaritmische functies zijn continu in alle punten van hun domein.

Het domein van een exponentiele functie is R en het domein van een logaritmische functieis ]0,+∞[. Plakpunten van het domein van een exponentiele functie zijn −∞ en +∞,voor een logaritmische functie is dat 0 en +∞. De limiet in −∞ is dus zinledig voor eenlogaritmische functie.

Onthoud heel goed de volgende limieten aan de hand van de grafieken van de verschillendesoorten exponentiele en logaritmische functies afhankelijk van de waarde van het grondtala.

∀a ∈]0, 1[: lim−∞ ax = +∞ lim+∞ a

x = 0 lim0 loga x = +∞ lim+∞ loga x = −∞∀a ∈]1,+∞[: lim−∞ a

x = 0 lim+∞ ax = +∞ lim0 loga x = −∞ lim+∞ loga x = +∞

1.10. LIMIETEN EN CONTINUITEIT VAN DE EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES51

1.10.2 Limieten waarin een exponentiele en logaritmische func-tie voorkomt

Voorbeelden:

•lim+∞

ex

x= (

+∞+∞

) = lim+∞

ex

1= +∞

•lim+∞

(x.e1−x2

) = (+∞.0)

We hebben hier twee mogelijkheden, ofwel brengen we de onbepaaldheid in de vorm00

ofwel in de gedaante ∞∞ . Hier kiezen we voor de tweede mogelijkheid.

lim+∞

(x.e1−x2

) = lim+∞

x

ex2−1= (∞∞

)

= lim+∞

1

2xex2−1= 0

• *lim±∞

(e1

x+3 − 1).x = 0 · ∞

We brengen de onbepaaldheid in de vorm 00.

lim±∞

(e1

x+3 − 1).x = lim±∞

e1

x+3 − 11x

=0

0

Met de regel van de l’Hospital zullen we de onbepaaldheid niet wegkrijgen omwillevan het feit dat we de afgeleide van een quotient weer een quotient oplevert. Omdat te verhelpen kunnen we een substitutie uitvoeren.

∀x 6= 0 : u =1

x+ 3⇐⇒ x =

1− 3u

u⇐⇒ 1

x=

u

1− 3u

lim±∞

(e1

x+3 − 1).x = lim0

eu − 1u

1−3u

= lim0

eu

1(1−3u)2

= 1

OPGAVEN — 45 Bepaal de volgende limieten:1. lim0(x. lnx) 4. lim0

ax−1x 7. lim0 3

1x

2. lim0loga(1+x)

x 5. lim∞ log2(x2 − 2x) 8. lim∞ 10x

10x+1

3. lim1 ln | lnx | 6. lim∞ xln|x| 9. lim∞ ex

e2x+e−x


Oplossingen: 45 1. 0; 2. 1/ ln a; 3. −∞; 4. ln a; 5. +∞; 6. ∞; 7. RL:+∞, LL:0;8. in +∞: 1, in −∞: 0; 9. 0.

AN II HUISTAAK 4 1. Bereken de afgeleide functie van de volgende functies:a. y = logx 5 d. y =

√2x

g. y = ln(√x−√x− 1)

b. y = 1−lnx1+lnx

e. y = ex lnx h. y = (1, 6x + x1,6)

c.* y = ln |x3 − x2| f.* y = xex

i.* y = (xx)x

2. Bereken de volgende limieten:

a. lim0(x · lnx) c. lim0ln(1−x)2

x

b. lim∞ 52x+5 d. lim∞2x−2−x

2x+3·2−x

3. Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P (0, ln 2) aan de grafiek vany = ln(1 + ex).

4. Maak gebruik van de afgeleiden om het verloop van de functie y = xln |x| te bestuderen

en teken de grafiek zonder computer;

5. Maak gebruik van de afgeleiden om het verloop van de functie f : y = 14(32x−8 ·3x)

te bestuderen en teken de grafiek zonder computer;

6. Los de volgende vergelijking op: y4 − 585y + 584 = 0. Leid hieruit de oplossingenaf van x1,2 − 585x0,3 + 584 = 0.

1.11. HYPERBOLISCHE FUNCTIES* 53

1.11 Hyperbolische functies*

1.11.1 Definities

sinushyperbolicusfunctie: sinhx = ex−e−x

2;

cosinushyperbolicusfunctie: coshx = ex+e−x

2;

tangenshyperbolicusfunctie: tanhx = sinhxcoshx

= ex−e−x

ex+e−x ;

cotangenshyperbolicusfunctie: cothx = 1tanhx

= ex+e−x

ex−e−x ;

secanshyperbolicusfunctie: sechx = 1coshx

= 2ex+e−x ;

cosecanshyperbolicusfunctie: cosechx = 1sinhx

= 2ex−e−x ;

1.11.2 Hyperbolische identiteiten

cosh2 x− sinh2 x = 1

sinh 2x = 2 sinh x. coshx

cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x = 2 cosh2 x− 1 = 1 + 2 sinh2 x

sinh2 x =cosh 2x− 1

2

cosh2 x =cosh 2x+ 1

2

1− tanh2 x = sech2x

coth2 x− 1 = cosech2x


Figuur 1.17: de kettinglijn: y = 2 cosh x2− 5

6en y = 17

54x2 + 7

6

1.12 De inverse hyperbolische functies

Om het voorschrift van de inverse functie van een gegeven functie te vinden vervangen wein het voorschrift van de gegeven functie x door y en y door x en lossen we de bekomen

1.12. DE INVERSE HYPERBOLISCHE FUNCTIES 55

vergelijking op naar y.

De sinushyperbolicus

y =ex − e−x

2

is een stijgende bijectie. De inverse functie van de sinushyperbolicusfunctie is tevens eenstijgende bijectie.

x =ey − e−y

2⇐⇒ e2y − 2x.ey − 1 = 0

De laatste vergelijking is een kwadratische vergelijking in ey. Hieruit kunnen we ey oplos-sen.

ey = x+√x2 + 1⇐⇒ y = ln(x+

√x2 + 1)

De inverse functie van de sinushyperbolicus is de functie

y = arg sinh = ln(x+√x2 + 1),

de argumentsinushyperbolicus.De cosinushyperbolicus is geen bijectie. We nemen de restrictie van de cosinushyperbolicustot R+.

y =ex + e−x

2∧ x ≥ 0

Deze restrictie is een stijgende bijectie. De inverse functie is tevens een stijgende bijectie.

x =ey + e−y

2∧ y ≥ 0⇐⇒ e2y − 2x.ey + 1 = 0 ∧ y ≥ 0

Hieruit kunnen we ey oplossen.

ey = x+√x2 − 1 ∧ y ≥ 0⇐⇒ y = ln(x+

√x2 − 1) ∧ y ≥ 0

De functiewaarden van deze laatste functie zijn positief als x groter is dan 1. De inversefunctie van de cosinushyperbolicus is de functie

y = arg cosh = ln(x+√x2 − 1) ∧ x ≥ 1,

de argumentcosinushyperbolicus.Op analoge wijze kunnen we de inverse functies bepalen van de overige hyperbolischefuncties.

De inverse functie van de tangenshyperbolicus is de argumenttangenshyperbolicus

y = arg tanh =1

2ln

1 + x

1− xmet x2 < 1


De inverse functie van de cotangenshyperbolicus is de argumentcotangenshyperboli-cus

y = arg coth =1

2lnx+ 1

x− 1met x2 > 1

De inverse functie van de secanshyperbolicus is de argumentsecanshyperbolicus

y = arg sech = ln1 +√

1− x2

xmet 0 ≤ x ≤ 1

De inverse functie van de cosecanshyperbolicus is de argumentcosecanshyperbolicus

y = arg cosech = ln(1

x+

√1 + x2

|x|) met x 6= 0

1.13 Afgeleide functies

1.13.1 Afgeleide functies van de hyperbolische functies

d sinhx

dx= coshx

d coshx

dx= sinhx

d tanhx

dx= sech2x

d cothx

dx= −cosech2x

dsechx

dx= −sechx. tanhx

dcosechx

dx= −cosechx. cothx

1.13.2 De afgeleide functies van de inverse functies van de hy-perbolische functies

d ln(x+√x2 + 1)

dx=

1√x2 + 1

d ln(x+√x2 − 1)

dx=

1√x2 − 1

met x > 1

1.14. WISKUNDE-CULTUUR 57

1

2

d ln 1+x1−x

dx=

1

1− x2met x2 < 1

1

2

d ln x+1x−1

dx=

1

1− x2met x2 > 1

d ln 1+√

1−x2

x

dx= − 1

x√

1− x2met 0 < x ≤ 1

d ln( 1x

+√

1+x2

|x| )

dx= − 1

|x|√

1 + x2met x 6= 0

1.14 Wiskunde-Cultuur

Simon STEVIN (1585), een boekhouder uit Brugge, zette in zijn boekje ‘De Thiende’ hetgehele toenmaals verwarde stelsel van maten en gewichten om in een decimaal stelsel.Daarbij liet Stevin zien hoe men met decimale breuken even gemakkelijk kan rekenen alsmet gehele getallen. Stevins manier om decimale breuken te schrijven is nogal omslachtig.Onze tegenwoordige notatie is ontstaan als een gevolg van een andere grote verbetering inde rekentechniek, de uitvinding van de logaritmen. Gedurende de zestiende eeuw haddenwiskundigen met de mogelijkheid gespeeld, een rekenkundige met een meetkundige reeksin correspondentie te plaatsen (bv. STIFEL), vaak met de bedoeling het werk met deingewikkelde trigonometrische tafels te vergemakkelijken. Dit was het doel van de Schotseburchtheer John NEPIER (of NEPER), die in 1614 een boek uitgaf over logaritmen.Met de logaritmen kon Neper een vermenigvuldiging terugvoeren tot een optelling. Ditvereenvoudigde het rekenen met trigometrische waarden. Nepers eerste poging was nogalonbeholpen, aangezien zijn corresponderende reeksen in moderne schrijfwijze waren

y = a · e−x/a en x = ln y

zodat x1+x2 correspondeert met y1·y2a

. Zijn bewonderaar Henry BRIGGS, een professoraan het nieuwe Gresham College in Londen, besloot een decimaal systeem op te bouwen,berustende op wat wij als y = 10x zouden schrijven, zodat x1+x2 correspondeert met y1·y2.Neper heeft de decimale breuken van Stevin overgenomen, doch de schrijfwijze gewijzigd:gehelen en breukdeel werden door een punt gescheiden. Met Stevins decimale breuken enBriggs’ decimale logaritmen was zodoende het Hindoe-Arabisch stelsel tot dezelfde graadvan vervolmaking gebracht als het nu bezit. De nieuwe uitvinding werd onmiddellijk doorastronomen en wiskundigen met vreugde begroet, vooral door KEPLER, die een lange enpijnlijke ervaring met gecompliceerde berekeningen achter de rug had. De exponentielefuncties die we hier gebruikt hebben voor dde notatie werden eerste in het laatste deelvan de zeventiende eeuw ingevoerd. De fundamentele betekenis van de Neperiaanse enBriggse logaritmen werd eerst begrepen toen de differentiaal- en integraalrekening reedsontwikkeld was.

Hoofdstuk 2

Goniometrische functies

De goniometrische functies zijn belangrijke functies die op diverse terreinen hun toepas-sing vinden.In de fysica worden goniometrische functies gebruikt om periodieke verschijnselen te be-schrijven zoals voortplanting van geluidsgolven, slingerbewegingen, cirkelbewegingen enwisselstromen.In de geneeskunde wordt de hartslag beschreven door het cardiogram, de luchtstroom-snelheid bij het ademhalen is eveneens een periodiek verschijsel. In de weersvoorspellingis de temperatuur benaderend een periodieke functie van de tijd.

2.1 De sinusfunctie

2.1.1 Definitie

De sinusfunctie is de reele functie die elk reeel getal x afbeeldt op sin(x rad).Met symbolen:

sin : R −→ R, x 7−→ sinx = sin(x rad).

Het voorschrift van de functie isy = sinx.

2.1.2 De grafiek

De grafiek van de sinusfunctie noemen we de sinusoıde. Enkele punten van de sinusoıdezijn de punten (0, 0), (π/2, 1), (π, 0), (3π/2,−1) en (2π, 0) (teken in figuur 2.1).

59

60 HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES

Figuur 2.1: de sinusoıde en de cosinusoıde

2.1.3 Kenmerken van de sinusfunctie

• Het domein van de sinusfunctie is R. De beeldverzameling is [−1, 1], d.w.z. dat dewaarden van de sinusfunctie varieren tussen −1 en 1.

* De sinusfunctie is een periodieke functie met periode 2π want 2π is hetkleinste positief getal waarvoor

∀x ∈ R : sin(x± 2π) = sin x.

De sinusoıde gaat dus over in zichzelf onder een verschuiving met vector −→v (−2π, 0)of met vector −→v (2π, 0)

• Punten van symmetrieDe sinusoıde heeft oneindig veel punten van symmetrie, nl. de punten met coordinaat(kπ, 0) met k ∈ Z.Bewijs: Twee punten (x, y) en (x′, y′) liggen symmetrisch t.o.v. het punt (kπ, 0) endit voor elke k ∈ Z als{

x+x′

2= kπ

y+y′

2= 0

⇐⇒{x+ x′ = 2kπy + y′ = 0

⇐⇒{x = 2kπ − x′y = −y′

We moeten aantonen dat als (x, y) een punt is van de sinusoıde het punt (x′, y′)eveneens een punt is van de sinusoıde.

y = sinx⇐⇒ −y′ = sin(2kπ − x′)⇐⇒ y′ = − sin(−x′)⇐⇒ y′ = sinx′

Dit laatste geldt omdat de sinussen van tegengestelde hoeken tegengesteld zijn.

2.2. DE COSINUSFUNCTIE 61

In het bijzonder is de oorsprong een punt van symmetrie (voor k = 0). Bijgevolg isde sinusfunctie een oneven functie.

∀x ∈ R : sin(−x) = − sinx.

• Assen van symmetrieDe sinusoıde heeft oneindig veel assen van symmetrie, nl. de rechten met vergelijking

x =π

2+ kπ met k ∈ Z

Bewijs: Twee punten (x, y) en (x′, y′) liggen symmetrisch t.o.v. de rechte x = π2

+kπen dit voor elke k ∈ Z als{

x+x′

2= π

2+ kπ

y = y′⇐⇒

{x+ x′ = π + 2kπy = y′

⇐⇒{x = π + 2kπ − x′y = y′

We moeten aantonen dat als (x, y) een punt is van de sinusoıde het punt (x′, y′)eveneens een punt is van de sinusoıde.

y = sinx⇐⇒ y′ = sin(π + 2kπ − x′)⇐⇒ y′ = sin(π − x′)⇐⇒ y′ = sinx′

Dit laatste geldt omdat de sinussen van supplementaire hoeken gelijk zijn.

2.2 De cosinusfunctie

2.2.1 Definitie

De cosinusfunctie is de reele functie die elk reeel getal x afbeeldt op cos(x rad).Met symbolen: cos : R −→ R, x 7−→ cosx = cos(x rad).

Het voorschrift van de cosinusfunctie is

y = cosx.

2.2.2 De grafiek

De grafiek van de cosinusfunctie noemen we de cosinusoıde. We kunnen de cosinusoıdeafleiden uit de sinusoıde en dat op twee manieren.


1. Uitcosx = sin(

π

2− x) (2.1)

leiden we af dat de cosinusoıde het beeld is van de sinusoıde onder een spiegelingom de rechte x = π

4. Bewijs dit met de transformatieformules van de spiegeling.

2. Uitcosx = sin(x+

π

2) (2.2)

leiden we af dat de cosinusoıde het beeld is van de sinusoıde onder een verschuivingmet vector ~v(π

2, 0)

TAAK ♣ 46 1. Teken de grafiek van de cosinusfunctie op figuur 2.1;

2. Bepaal de elementen van symmetrie voor de cosinusoıde;

3. Waarom is de cosinusfunctie een even functie? Wat is dan het kenmerk op grafiek?

2.3 De functie y = a sin(bx + c) + d

We beschouwen de beweging van een propellertip van een vliegtuig (uiteinde van eenschroef). Bij een stilstaand vliegtuig beschrijft de propellertip een cirkelbeweging, bij eenbewegend vliegtuig met constante snelheid wordt een schroeflijn beschreven. Kijken wefrontaal naar de schroef dan zien we de propellertip een cirkel beschrijven, kijken we vanopzij dan zien we de propellertip een kromme beschrijven die gelijkt op de sinusoıde.

Figuur 2.2: De beweging van een propellertip

We onderstellen dat L de afstand is afgelegd door het vliegtuig gedurende een omwente-ling van de schroef. We zetten de uitwijking |PQ| van de propellertip t.o.v. de horizontalestand uit in functie van de afstand x afgelegd door het vliegtuig (zie figuur 2.2).

2.3. DE FUNCTIE Y = A SIN(BX + C) +D 63

Figuur 2.3: y = sin 2x, y = sin(x/3), y = 2 sin(x/3)

a. We onderstellen dat de lengte van de propeller gelijk is aan 1.De uitwijking van de propellertip is |PQ| = sinϕ waarbij ϕ de hoek is die depropeller insluit met zijn horizontale stand (zie figuur 2.2). We drukken ϕ uit infunctie van x:

Na een afstand L is ϕ = 2π.Na een afstand x is ϕ = 2π

Lx

Het voorschrift van de uitwijking van de propellertip in functie van x is

y = sin(2π

Lx)

waarbij L de periode is van de functie want

sin(2π

L(x+ L)) = sin(

2π

Lx+ 2π) = sin(

2π

Lx)

Voor de functie y = sin(bx) kunnen we het volgende zeggen.

1. De functie is een periodieke functie met periode L = 2πb

vermits b = 2πL

.

2. De grafiek is een uitrekking langs de x-as van de sinusoıde met factor 1b

alsb < 1 en een inkrimping met factor b als b > 1.

3. Om de grafiek van de functie te tekenen, tekenen we eerst de grafiek van defunctie over een periode. Dit deel van de grafiek zit in de rechthoek met hoek-punten (0, 1), (0,−1), (L,−1) en (L, 1).

Voorbeeld: De periode van y = sin 2x en y = sin(x/3) zijn resp. π en 6π (zie figuur2.3).

b. We onderstellen dat de lengte van de propeller gelijk is aan a.De bewegingsvergelijking is

y = a sin(bx).

We verkrijgen een uitrekking van de grafiek van y = sin(bx) langs de y-as met eenfactor a als a > 1 en een inkrimping met factor 1

aals a < 1.


De maximale uitwijking van de propellertip is gelijk aan a, die de amplitude wordtgenoemd.

De grafiek van de functie y = a sin(bx) over over een periode zit in de rechthoek methoekpunten (0, a), (0,−a), (L,−a) en (L, a).

Voorbeeld: De amplitude van y = 2 sin(x3) is gelijk aan 2 (zie figuur 2.3). De periode

is 6π.

c. We onderstellen dat bij de start van het vliegtuig de propeller niet horizontaal staatmaar een hoek c maakt met de horizontale stand. De uitwijking voor x = 0 is dana sin c.De bewegingsvergelijking is:

y = a sin(bx+ c) = a sin(b(x+c

b)).

Dit laatste betekent dat de grafiek van de functie y = a sin(bx) verschoven wordtover de vector (− c

b, 0) = (e, 0).

De grafiek van de functie y = a sin(bx+ c) over een periode zit in de rechthoek methoekpunten (e, a), (e,−a), (e+ L,−a) en (e+ L, a).

Voorbeeld: De grafiek van y = 12

sin(3x− 6) is de verschuiving met vector (2, 0) vande grafiek van y = 1

2sin(3x) (zie figuur 2.4).

Figuur 2.4: y = 12

sin(3x− 6)

2.3. DE FUNCTIE Y = A SIN(BX + C) +D 65

d. Meten we de uitwijking van de propellertip niet t.o.v. het middelpunt van de schroefmaar bijvoorbeeld vanaf de grond en is d de afstand van het middelpunt tot de gronddan ziet de bewegingsvergelijking er als volgt uit

y = a sin(bx+ c) + d

.

Besluit: Voor de functie y = a sin(bx+ c) + d bepalen we

1. de periode: L = 2πb

2. de amplitude: a

3. de vector van verschuiving: (− cb, d) = (e, d)

4. de grafiek van de functie over een periode en die zit in de rechthoek met hoek-punten (e, a+ d), (e,−a+ d), (L+ e,−a+ d) en (L+ e, a+ d).

Voorbeeld: y = 3 sin(x2

+ π8) + 1 Om de grafiek van de functie te tekenen (in figuur

2.5, bepalen we:

1. de periode: L = 2π1/2

= 4π

2. de amplitude: a = 3

3. de vector van verschuiving: (−π8/1

2, 1) = (−π

4, 1)

We tekenen

1. De rechte y = 1 (middenparallel van de rechthoek);

2. De vector van verschuiving (−π4, 1);

3. De hoekpunten van de rechthoek nl. (−π4, 4), (−π

4,−2), (−π

4+ 4π,−2) en (π

4+

4π, 4);

4. We verdelen deze rechthoek in 4 gelijke delen. De drie verdelingspunten zijn(−π

4+ π, 1), (−π

4+ 2π, 1) en (−π

4+ 3π, 1) (dit zijn punten van symmetrie).

De rechten x = −π4

+ π en x = −π4

+ 3π zijn assen van symmetrie.


Figuur 2.5: y = 3 sin(x2

+ π8) + 1

OPGAVEN — 47 Teken de grafiek van de volgende functies. Bepaal vervolgens de punten van sym-metrie en de symmetrieassen van de grafiek.

1. y = sin 2x 3. y = 2 sinx− 22. y = sin x

3 4. y = 12 sin(3x+ 1)

3. y = −0, 75 sin( 32x−

23π)

48 Elk van de grafieken van de volgende goniometrische functies is de grafiek van een sinusfunctiesy = a sin(bx+ c) + d. Bepaal dat voorschrift en breng dit in verband met het gegeven voorschrift.

1. y = sinx+ cosx 3. y = sin2(π8 + x2 )− sin2(π8 −

x2 )

2. y = 1tan x+cot x 4. y = 2 tan x

1+tan2 x

49 Elk van de grafieken van de volgende goniometrische functies is de grafiek van een sinusfunctiesy = a sin(bx+ c) + d. Bepaal dat voorschrift en breng dit in verband met het gegeven voorschrift.

1. y = cos 2x1−tan2 x 3. y = sin22x

2. y = cos4 x− sin4 x

2.4. DE FUNCTIE Y = A SIN(ωT + ϕ0) 67

AN II HUISTAAK 5 1. Teken de grafiek van de volgende functie. Bepaal vervol-gens de punten van symmetrie en de symmetrieassen van de grafiek.

y = 20 sin(πx

40− 3

4π) + 30

2. Teken met de computer de grafieken van de volgende functies. Leid daaruit eenander voorschrift af voor elk van de functie. Toon het verband aan tussen beidevoorschriften.

1. y = 3 sin 2x− 4 sin 2x1+cot2 2x

2. y = sin 3xsinx− cos 3x

cosx

2.4 De functie y = a sin(ωt + ϕ0)

We kunnen de uitwijking van de propellertip in functie van de tijd beschouwen. We on-derstellen dat T de tijd is nodig voor een omwenteling van de propeller. De uitwijking vande propellertip is a sinϕ waarbij ϕ de hoek is die de propeller insluit met zijn horizontalestand.We drukken ϕ uit in functie van de tijd t:

Na een tijd T is ϕ = 2π.Na een tijd t is ϕ = 2π

Tt = ωt

Is voor t = 0 de hoekuitwijking gelijk aan ϕ0 dan is de bewegingsvergelijking

y = a sin(ωt+ ϕ0).

De begrippen bij deze functie van de tijd:

1. de amplitude: a d.i. de maximale uitwijking van de propellertip.

2. de periode: T = 2πω

d.i de tijd nodig voor 1 omwenteling.

3. de hoeksnelheid: ω d.i. een constante snelheid.

4. de beginfase: ϕ0

5. de frequentie: f = 1T

d.i. het aantal omwentelingen per tijdseenheid (eenheid vanfrequentie is 1 Hertz=1/sec).


Opmerking: Men kan nu ook uitgaande van de grafiek van een algemene sinusfunctie hetvoorschrift bepalen. Dat is bijvoorbeeld interessant als we gemiddelde dagtemperatuurvan een bepaalde streek willen weten op een bepaalde dag van het jaar. In de loopvan de jaren zien we dat de gemiddelde dagtemperatuur verloopt volgens een algemenesinusfunctie. Als we het voorschrift van deze functie bepalen kunnen we voor de toekomstvoorspellingen doen i.v.m. de gemiddelde dagtemperatuur.

Praktisch voorbeeld voor de muziekliefhebbers:

Een van de langste pijpen van een kerkorgel is gestemd op de la vier octavenonder de stemvork-la. Indien de geluidsgolf voortgebracht door deze pijp,afgebeeld wordt op een oscilloscoop, zien we de grafiek van de functie

y = sin(56πt).

Hierbij stelt t de tijd voor in seconden. Bij zo’n zuivere sinusgrafiek spreektmen van een harmonische trilling. Bepaal zelf de periode en de frequentievan deze trilling.In een ander register van het kerkorgel zit een pijp die dezelfde noot aanblaast.Deze pijp is onzuiver gestemd en de toon klinkt iets te laag en veroorzaakt deharmonische trilling

y = sin(54πt).

Bepaal zelf de frequentie van deze toon.

Wanneer beide pijpen van het orgel samen aangeblazen worden dan brengtdit een trilling voort die niet meer harmonisch is. Deze samenklank wordtdissonant genoemd en wordt beschreven door de functie

y = sin(56πt) + sin(54πt).

Als we de grafiek van deze functie bekijken dan zien we dat de amplitude vandeze trilling veranderlijk is. Bij het luisteren klinkt deze afwisselend sterke enzwakke toon vals in de oren. Men noemt dit ook een zweving.

Om de wisselende amplitude en de frequentie van de resulterende trillings-functie te berekenen, passen we de formules van Simpson toe en we verkrijgen

y =(2 cos(πt)

)sin(55πt).

De factor 2 cos(πt) stelt de wisselende amplitude voor. Bij een amplitude 0is het geluid niet hoorbaar en bij een maximale amplitude 2 is het geluid hetbest hoorbaar. Hoeveel zwevingen hoor je per seconde?De frequentie van de trilling is gelijk aan de frequentie van de harmonischetrilling y = sin(55πt). Hoe is deze frequentie af te leiden uit de frequentiesvan de tonen van de twee afzonderlijke pijpen?

2.5. DE STANDAARDLIMIET LIM0SINXX

= 1 69

Figuur 2.6: de grafiek van y = sinxx

in de omgeving van 0

2.5 De standaardlimiet lim0sinxx = 1

We proberen de functie y = sinxx

te begrenzen door twee andere functies waarvan we delimiet in 0 gemakkelijk kunnen bepalen.

∀x ∈]− π

2,π

2[\{0} : cosx <

sinx

x< 1

Vul de figuur 2.6 aan met de grafieken van de functies y = cosx en y = 1.

lim0

cosx = 1 en lim0

1 = 1

Uit de Sandwich Regel volgt dat

lim0

sinx

x= 1.

Betekenis van lim0sinxx

= 1: Voor hoeken waarvan het maatgetal uitgedrukt in radialendicht bij nul ligt kan de sinus benaderd worden door het maatgetal zelf.Voorbeeld: sin 0, 05 ≈ 0, 05 of sin(−0, 075) ≈ −0, 075

OPGAVEN — 50 Bepaal de volgende limieten:a. lim1

sin(x−1)x−1 b. lim0

sin 3xx c. lim0

2 sin x−sin 2x2x3


Figuur 2.7: de grafiek van y = x sin 1x

Oplossingen:50 a. 1 b. 3 c. 12

De limiet lim0 x sin 1x .

De lim0 x betaat maar de lim0 sin 1x bestaat niet. De limiet van het product kan echter wel bestaan.

We proberen deze functie te begrenzen door twee andere functies waarvan we de limiet in 0 gemakkelijkkunnen zien. De sinus is steeds begrensd tussen −1 en 1.

∀x ∈ R0 : −1 ≤ sin1x≤ 1

m

∀x ∈ R0 : −|x| ≤ x sin1x≤ |x|

We weten dat

lim0

(−|x|) = 0 en lim0|x| = 0.

Uit de Sandwich Regel volgt dat

lim0x sin

1x

= 0.

2.6. DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN DE SINUSFUNCTIE EN DE COSINUSFUNCTIE71

Figuur 2.8: de sinusfunctie en haar afgeleide functie

2.6 De afgeleide functie van de sinusfunctie en de

cosinusfunctie

STELLING 2.1 De afgeleide functie van de sinusfunctie is de cosinusfunctie.

D sinx =d sinx

dx= cosx

Bewijs: We beschouwen de sinusfunctie y = sinx.

d sinx

dx= lim

h→0

sin(x+ h)− sinx

h

m

D sinx = limh→0

2 sin x+h−x2

. cos x+h+x2

h

m

D sinx = limh→0

2 sin h2. cos(x+ h

2)

h

m

D sinx = limh→0

sin h2

h2

. cos(x+h

2)

m

D sinx = cosx.

�


Figuur 2.9: de cosinus functie en har afgeleide functie

GEVOLG 2.1 De afgeleide functie van de cosinusfunctie is de tegengestelde functie vande sinusfunctie.

Bewijs:

D cosx = D sin(π

2− x) = cos(

π

2− x) ·D(

π

2− x) = sinx · (−1) = − sinx.

�

Voorbeelden:

• D cos(x2 − 1) = −2x sin(x2 − 1);

• D cos2 x = 2 cos x(− sinx);

• D 8cos(1−x) = −8D cos(1−x)

cos2(1−x) = 8 sin(1−x)cos2(1−x)

OPGAVEN — 51 Bepaal door gebruik te maken van de afgeleide functies de extrema en de buigpuntenvan de sinusfunctie en van de cosinusfunctie (Maak een tabel met tekenverloop over 1 periode).

2.6. DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN DE SINUSFUNCTIE EN DE COSINUSFUNCTIE73

52 Bereken de afgeleide van volgende functies:

1. y = sin 3x 9. y =√

sin 5x

2. y = cos2 2x 10. y = 6 cos2 x+ 6 cosx

3. y =√

sinx 11. y = cos2 x− sinx cosx

4. y = 3√

cos2 x 12. y = cosx(sin2 x+ 2)

5. y = cos3(2x3 + 3x)2 13. y = cos x1+cos2 x

6. y = sinx(sinx− cosx) 14. sin 3√x2

7. y =√

1+sin x1−sin x 15. y = sin x√

2 cos2 x−sin2 x

8. y = esin x 16. y = ax. cosx

53 * Bereken de afgeleide functies van de volgende functies:

1. y = x− sinx cosx 3. y = 2x sinx− (x2 − 2) cosx

2. y = sin x−x cos xcos x+x sin x 4. y =

√x sin x1−cos x

Oplossingen:52

1. y′ = 3 cos 3x 9. y′ = 5 cos 5x2√

sin 5x

2. y′ = −2 sin 4x 10. y′ = −6 sinx(1 + 2 cosx)

3. y′ = cos x2√

sin x11. y′ = −(sin 2x+ cos 2x)

4. y′ = −2 sin x3 3√cos x

12. y′ = −3 sin3 x

5. y′ = −18(2x3 + 3x)(2x2 + 1)cos2(2x3 + 3x)2 sin(2x3 + 3x)2 13. y′ = − sin3 x(1+cos2 x)2

6. y′ = sin 2x− cos 2x 14. y′ = 23

cos3√x2

3√x

7. y′ = cos x(1−sin x)‖ cos x| 15. y′ = 2 cos x√

(2 cos2 x−sin2 x)3

8. y′ = cosxesin x 16. y = ax · (ln a · cosx− sinx)

531. y′ = 2 sin2 x 3. y′ = x2 sinx2. y′ = x2

(cos x+x sin x)2 4. y′ = sin x−x2√x sin x(1−cos x)


2.7 Limietberekening

1.

lim0

x− sinx

x3=

(0

0

)= lim

0

1− cosx

3x2=

(0

0

)= lim

0

sinx

6x=

1

6

2.

lim0

sin2 3x

3 sin2 x= (

0

0)

= lim0

6 sin 3x cos 3x

6 sinx cosx= lim

0

sin 6x

sin 2x= (

0

0)

= lim0

6 cos 6x

2 cos 2x= 3

OPGAVEN — 54 Bewijs de volgende limieten met de regel van de l’Hospital indien mogelijk:1. lim0

2 sin x−sin 2xx2 = 0 3. lim0

1−cos xx+sin x = 0

2. lim+∞( cos x−x2

x2 ) = −1 4. lim0( 1sin x −

1x ) = 0

2.8 De tangensfunctie en cotangensfunctie

AN II groepswerk 1 Gegeven zijn de tangensfunctie y = tan(x) = sinxcosx

en de cotan-gensfunctie y = cotx = cosx

sinx

1. Bepaal het domein en de periode van tan en cot;

2. Ga het even - en oneven zijn na van tan en cot;

3. Stel de vergelijkingen op van de verticale asymptoten voor de grafieken van tan encot. Schrijf de limieten op;

4. Bewijs dat de afgeleide functie van de tangensfunctie gelijk is aan het kwadraat vande secansfunctie y = secx = 1

cosx.

D tanx = sec2 x = 1 + tan2 x.

5. Bewijs dat de afgeleide functie van de cotangensfunctie gelijk is aan de tegengesteldefunctie van het kwadraat van de cosecansfunctie y = cscx = 1

sinx.

D cotx = − csc2 x = −1− cot2 x.

2.8. DE TANGENSFUNCTIE EN COTANGENSFUNCTIE 75

6. Maak voor elk van de twee functies tan en cot een tabel met de tekenverlopen vande functie en haar afgeleide functie over een periode;

7. Schets de grafieken van tan en cot;

8. Bepaal de beeldverzameling van tan en cot;

9. Zoek de punten van symmetrie van tan en geef het bewijs;

10. Zoek de punten van symmetrie van cot en geef het bewijs;

11. Welke transformatie beeldt de grafiek van tan af op de grafiek van cot? Bewijs dat.

OPGAVEN — 55 Gegeven zijn de zogenaamde secansfunctie y = secx = 1cos x en de cosecans-

functie y = cosecx = 1sin x .

1. Bepaal het domein en de periode van sec en csc;

2. Ga het even - en oneven zijn na van sec en csc;

3. Stel de vergelijkingen op van de verticale asymptoten voor de grafieken van sec en csc;

4. Bewijs dat de afgeleide functie van de secansfunctie het product is van de secansfunctie en detangensfunctie.

D secx = secx. tanx.


5. Bewijs dat de afgeleide functie van de cosecansfunctie de tegengestelde functie is van het productvan de cosecansfunctie en de cotangensfunctie.

D cscx = − cscx. cotx.

6. Maak voor elk van de twee functies sec en csc een tabel met de tekenverlopen van de functie enhaar afgeleide functie over een periode;

7. Schets de grafieken van de functies;

8. Bepaal de beeldverzameling van sec en csc;

9. Zoek de punten van symmetrie van sec en geef het bewijs;

10. Zoek de assen van symmetrie van csc en geef het bewijs;

11. Welke transformatie beeldt de grafiek sec af op de grafiek van csc? Bewijs dat.

56 Bepaal de algeleide functie van elk van de volgende functies:

1. y = 2 tan 2x. 5. y = tan2 2x2. y = cos2 2x

tan x 6. y = eax(a sin bx−b cos bx)a2+b2

3. y = tan 2xtan x 7. y = cosx csc3 x+ 2 cotx

4. y = sin x1+tan2 x 8. y = 2 cosx+ ln(tan x

2 )

57 Onderzoek het verloop van de functie y = tanx− cotx en teken de grafiek.

58 Onderzoek het verloop van de volgende functies en teken de grafiek.

2.9. LIMIETBEREKENING 77

Oplossingen: 561. y′ = 4

cos2 2x 5. y′ = 4 sin 2xcos3 2x

2. y′ = − sin 2x sin 4x−cos2 2xsin2 x

6. eax sin bx3. y′ = 2 sin 2x

cos2 2x 7. y′ = −3 cosec4 x4. y′ = cos3 x+ sin3−1 8. cos 2x

sin x


1. lim0tanxx

= 00

lim0

tanx

x= lim

0

1cos2 x

1= lim

0

1

cos2 x= 1

2. lim+∞( 2x

cot 1x) = 0.∞

Hier kunnen we best eerst overgaan op een nieuwe veranderlijke door de substitutieu = 1

x.

lim+∞

(2

xcot

1

x) = lim

0(2u. cotu) = lim

0

2u

tanu= lim

0

2tanuu

= 2

OPGAVEN — 59 Bewijs de volgende limieten:1. limπ/4( tan x

cot 2x ) =∞ 5. lim0etan x−cos x√1+x−

√1−x = 1

2. lim0( 1tan x −

1x ) = 0 6. limπ/2((x− π

2 ). tanx) = −1

3. lim1/3(9x2 − 1) cot(3x− 1) = 2 7. lim+∞( 1x . csc 1

x ) = 1

4. limπ/4tan xtan 2x = 0 8. lima(sin a− sinx) tan xπ

2a = 2a cos aπ

AN II HUISTAAK 6 1. Bepaal de volgende limieten:1. lim0

log4(1+sinx)tanx

(= 1ln 4

) 2. limπ/4(1− tanx). sec 2x (=1)

2. Bereken de afgeleide functies van1. y = 1+tanx

1−tanx4. y = sin 2x

1+cos 2xcosx

1+cosx

2. y = 2 cos x+ ln(tan x2) 5. y = log4(sinx)

3. y = sin(π4

ln(ex + e−x))

6. y = sin2 xa−cosx

met a ∈ R

Oplossingen:

1. y′ = 21−sin(2x) 4. y′ = 1

1+cos x

2. y′ = −2 sinx+ 1sin x 5. y′ = 4

ln 10 cotx log3(sinx)

3. y′ = π4ex−e−x

ex+e−x cos(π4 ln(ex + e−x)

)6. y′ = (− cos2 x+2a cos x−1) sin x

(a−cos x)2


2.10 Extremumvraagstukken

2.10.1 Uitgewerkte oefeningen

• Iemand leest een boek, dat op de rand ligt van een ronde tafel met een middellijnvan 2m. Hoe hoog boven het middelpunt van de tafel moet men de lamp ophangen,om de sterkste belichting te krijgen? De lichtsterkte is omgekeerd evenredig methet kwadraat van de afstand r tot de lichtbron, en recht evenredig met de cosinusvan de invalshoek θ van de lichtstralen.

I = kcos θ

r2

met k een reele konstante.

Oplossing: We noemen A een punt van de rand van de tafel, M het middelpuntvan de tafel en P het punt waar de lamp zich bevindt.

In de gegeven formule voor de lichtsterkte zijn θ en r veranderlijk. We drukken nuI uit in functie van een veranderlijke, we kiezen θ.In de rechthoekige driehoek MAP is |MA| = 1 en proberen we r uit te drukken infunctie van θ.

We passen daartoe de sinusregel toe in deze rechthoekige driehoek:

sin θ =1

r⇐⇒ r =

1

sin θ.

We substitueren deze waarde van r in de formule van de lichtsterkte:

I = k cos θ sin2 θ.

We bepalen de waarde van θ waarvoor I een maximum bereikt:

dI

dθ= k sin θ(3 cos2 θ − 1).

De lichtsterkte is maximaal voor een invalshoek θ = arccos√

33

rad = 54o44′08′′, 2.De lamp hangt dan op een hoogte van 70 cm.

2.10. EXTREMUMVRAAGSTUKKEN 79

• Het systeem van de bloedsomloop moet zodanig werken dat de energie opgebrachtdoor het hart minimaal is. Een van de wetten van Poiseuille geeft de weerstand vanhet bloed in de volgende formule:

R = CL

r4

waarin L de lengte is van de ader, r is de straal van de ader en C is een positieveconstante bepaald door de viscositeit van het bloed. De figuur toont een ader metstraal r1 die vertakt met een hoek θ in een smallere ader met straal r2.

1. Gebruik de wet van Poiseuille om aan te tonen dat de weerstand van het bloedlangs de baan ABC is

R = C(a− b cot θ

r41

+b csc θ

r42

)

waarin a en b de afstanden zijn aangeduid in de figuur.

2. Bewijs dat de weerstand minimaal is als

cos θ =r42

r41

.

3. Zoek de optimale vertakkingshoek (nauwkeurig op de graad) als de straal vande smalste ader twee derden is van de straal van de grotere ader.

Figuur 2.10: adervertakking

OPGAVEN — 60 Bepaal de tophoek van een gelijkbenige driehoek met een gegeven oppervlakte K2

waarvan de straal van de ingeschreven cirkel extremaal is.


2.11 Wiskunde-Cultuur

De gonio- en trigonometrie was een gebied waarin de wis- en sterrekundigen van de Ara-bische wereld bijzonder waren geınteresseerd. Zo vinden we heel wat tabellen van wat wenu de goniometrische functies noemen. Met de Indiers voerden ze de sinus in als halvekoorde van de dubbele hoek. Dit Latijnse woord “sinus”, dat “bocht” of “boezem” bete-kent, is een letterlijke vertaling van het Arabische woord “gaib”, dat uit “gib” ontstond,een woord dat de Arabische manier was om het Indische woord “jya”, koorde, te spellen.

Men vindt heel wat gonio- en trigonometrie in de geschriften van de astronoom AL-BATTANI (858-929), als ALBATEGNIUS beroemd om zijn planetentheorie. Hij be-schouwde niet alleen sinussen, doch beschouwde ook als hoekmaat de schaduw van eengegeven staaf voor invalshoeken van de zon die van graad tot graad opklommen. Deze“umbra extensa” was dus een cotangens. Het werk van Al-Battani toont dat de geleer-den in de cultuurwereld van de Islam niet alleen kopieerde, doch ook kwamen tot nieuweresultaten door hun kennis van Griekse, Indische, inheemse en misschien ook Chinesemethoden. Dit geldt ook voor ABOE-I-WAFA (940-998), die zijn kennis van de trigono-metrie gebruikte om sinustabellen voor intervallen van 15 samen te stellen, met waardentot in acht decimalen nauwkeurig. Hij werkte ook met tangensen en voerde in studiesover zonnewijzers de secans en de cosecans in.

Hoofdstuk 3

Cyclometrische functies

3.1 De inverse relatie van de sinusfunctie

De sinusfunctie is een afbeelding die geen injectie is, want elke waarde tussen −1 en 1wordt door de functie oneindig veel keer aangenomen. De inverse relatie is bijgevolg geenfunctie.Beschouwen we een y-waarde van het interval [−1, 1], dan zien we gemakkelijk op desinusoıde dat er oneindig veel x-waarden zijn die als beeld de waarde y hebben. M.a.w.de vergelijking

sinx = b met b ∈ [−1, 1]

heeft oneindig veel oplossingen. Met de rekenmachine of computer vinden we voor xslechts een waarde met een functie waarvoor verschillende notaties bestaan zoals:

sin−1 b = invsinb = arcsin b = Bgsinb = asinb

De laatste notatie wordt gebruikt door DERIVE.

1. Is b ∈ [0, 1] dan krijgen we voor x een waarde behorende tot [0, π2] (eerste kwadrant);

2. Is b ∈ [−1, 0] dan krijgen we voor x een waarde behorende tot [−π2, 0] (vierde

kwadrant);

De inverse relatie van y = sinx is

x = sin y ⇔ y = arcsinx+ 2kπ ∨ y = π − arcsinx+ 2kπ

De grafische voorstelling van de inverse relatie van de sinusfunctie is het spiegelbeeld vande sinusoıde om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x. Teken degrafische voorstelling van de inverse relatie in de figuur.

81

82 HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES

Voorbeelden:

1. Is sinx = 13

dan vinden we met de rekenmachine x = 0, 339836909. De oneindigveel oplossingen zijn dan alle maatgetallen van de hoek (uitgedrukt in radialen) enook alle maatgetallen van de supplementaire hoek.

sinx =1

3⇐⇒ x = 0, 34 + 2kπ ∨ x = π − 0, 34 + 2kπ = 2, 80 + 2kπ

3.1. DE INVERSE RELATIE VAN DE SINUSFUNCTIE 83

2.

sin 2x =

√3

2⇔ 2x =

π

3+ 2kπ∨ ⇔ 2x =

2π

3+ 2kπ ⇔ x =

π

6+ kπ ∨ x =

π

3+ kπ

De vergelijking heeft 4 reeksen oplossingen, de oneindig veel maatgetallen uitgedruktin radialen van vier hoeken.

3. De ongelijkheid sinx > 12

heeft ook oneindig veel oplossingen. De verzameling vande oplossingen is de unie van oneindig veel intervallen.

sinx >1

2⇐⇒ x ∈]

π

6+ 2kπ,

5π

6+ 2kπ[.


3.2 De arcussinusfunctie

3.2.1 Definitie

We beschouwen de restrictie van de sinusfunctie tot het gesloten interval [−π2, π

2] (komt

overeen met I en IV). Deze restrictie is een injectie omdat elke waarde tussen -1 en 1 juisteen keer door de sinus wordt aangenomen in het interval [−π

2, π

2]. Beperken we het doel

tot [−1, 1], dan is die restrictie een bijectie.

restr(sin) : [−π2,π

2] −→ [−1, 1], x 7−→ sinx. (3.1)

De inverse functie van deze restrictie noemen we de arcussinusfunctie (gedef. in ZRM).

arcsin : [−1, 1] −→ [−π2,π

2], x 7−→ arcsinx

waarvoor geldt

y = arcsinx⇐⇒ x = sin y ∧ y ∈ [−π2,π

2].

We zeggen dat y de boog (of hoek) is waarvoor de sinus x is. In y = arcsinxis x een sinuswaarde en is y het maatgetal van een hoek (in radialen) ( diein een eenheidscirkel gelijk is aan de lengte van de corresponderende boog).

3.2. DE ARCUSSINUSFUNCTIE 85

Gevolgen van de definitie:

• Omdat deze restrictie van de sinus en de arcsinus inverse functies zijn, levert desamenstelling van beide functies de identieke functie op:

∀x ∈ [−π2,π

2] : arcsin(sin x) = x

∀x ∈ [−1, 1] : sin(arcsin x) = x

• De arcussinusfunctie is als inverse functie van een stijgende bijectie, een stijgendebijectie van [−1, 1] in [−π

2, π

2].

OPGAVEN — 61 Werk uit met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:a. arcsin 3

4 ; b. arcsin(−0, 752); c. arcsin(0, 2).

62 Werk uit zonder rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:

1. arcsin(sin 1) 4. arcsin(sin 7π6 )

2. sin(arcsin(−2)) 5. arcsin(sin 2)

3. arcsin(sin 3π4 ) 6. sin(arcsin(− 1

3 ))

63 * Toon aan op de goniometrische cirkel dat

1. ∀x ∈ [π2 ,3π2 ] : arcsin(sinx) = π − x;

2. ∀x ∈ [ 3π2 ,5π2 ] : arcsin(sinx) = x− 2π;

3.2.2 De grafiek van de arcussinusfunctie

• De grafiek van de arcussinusfunctie is het spiegelbeeld van de grafiek van de restrictie3.1 van de sinusfunctie om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x(de loodrechte spiegeling in geval van een orthonormale basis).

• De grafiek van de arcussinusfunctie ligt symmetrisch t.o.v. de oorsprong, de arcus-sinusfunctie is dus een oneven functie:

∀x ∈ [−1, 1] : arcsin(−x) = − arcsinx.


• Tabel met de speciale waarden voor de arcussinusfunctie:

x −1 −√

32

−√

22

−12

0 12

√2

2

√3

21

arcsinx ||| −π2− −π

3− −π

4− π

6− 0 + π

6+ π

4+ π

3+ π

2|||

Figuur 3.1: Duid de speciale punten aan op de grafiek van de arcussinusfunctie

OPGAVEN — 64 * Bepaal de inverse functie van een gepaste restrictie van de functie en teken degrafieken van de functie en haar inverse

1. y = sin 2x 3. y = sin(x+ π4 )

2. y = sinx+ 1 4. y = sin x2

65 * Bepaal het domein van de volgende functie, bepaal de inverse functie en teken de grafieken indienmogelijk:

1. y = 12 arcsin(x− 1) 2. y = arcsin 3x− π

3.3. DE INVERSE RELATIE VAN DE COSINUSFUNCTIE 87

3.3 De inverse relatie van de cosinusfunctie

AN II groepswerk 2 1. Maak analoge redeneringen voor de inverse relatie van decosinusfunctie zoals we gedaan hebben voor de sinusfunctie.

2. Bekijk op de rekenmachine welke waarden worden aangenomen door cos−1.

3. Los de volgende vergelijking op: cos x = −34. Bekijk de oplossingen op grafiek en

op de goniometrische cirkel.

4. Los de volgende vergelijking op: cos x3

= 0, 4. Bekijk de oplossingen op grafiek enop de goniometrische cirkel.

3.4 De arcuscosinusfunctie

3.4.1 Definitie van de arcuscosinusfunctie

We beschouwen de restrictie van de cosinusfunctie tot het gesloten interval [0, π]. Dezerestrictie is een injectie omdat elke waarde tussen -1 en 1 juist een keer door de cosinuswordt aangenomen in het interval [0, π]. Beperken we het doel tot [−1, 1], dan is dierestrictie een bijectie.

restr(cos) : [0, π] −→ [−1, 1], x 7−→ cosx. (3.2)

De inverse functie van deze restrictie noemen we de arcuscosinusfunctie

arccos : [−1, 1] −→ [0, π], x 7−→ arccosx


waarvoor geldty = arccosx⇐⇒ x = cos y ∧ y ∈ [0, π].

We zeggen dat y de boog (of hoek) is waarvoor de cosinus x is. In y =arccosx is x een cosinuswaarde en is y het maatgetal van een hoek (in ra-dialen), die in een eenheidscirkel gelijk is aan de lengte van de corresponderende boog.

Gevolgen van de definitie

• Omdat deze restrictie van de cosinus en de arccosinus inverse functies zijn levert desamenstelling van beide functies de identieke functie op:

∀x ∈ [0, π] : arccos(cos x) = x

∀x ∈ [−1, 1] : cos(arccos x) = x

• De arcuscosinusfunctie is als inverse functie van een dalende bijectie, een dalendebijectie van [−1, 1] in [0, π].

OPGAVEN — 66 Werk uit met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:a. arccos 3

4 ; b. arccos(−0, 824); c. arccos(0, 31).

67 Werk uit zonder rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:

1. arccos(cos 1) 3. arccos(cos 7π6 )

2. cos(arccos(−0, 2)) 4. arccos(cos 2)


1. ∀x ∈ [−π, 0] : arccos(cosx) = −x;

2. ∀x ∈ [−2π,−π] : arccos(cosx) = x+ 2π;

• Uit de grondformule van de goniometrie

sin2 x+ cos2 x = 1

leiden we op de goniometrische cirkel af dat

∀x ∈ [0, 1] : arcsin x = arccos√

1− x2

Hieruit leiden we af dat

∀x ∈ [0, 1] : cos(arcsin x) =√

1− x2

3.4. DE ARCUSCOSINUSFUNCTIE 89

Om redenen van symmetrie t.o.v. sinus en cosinus geldt

∀x ∈ [0, 1] : arccos x = arcsin√

1− x2

en

∀x ∈ [0, 1] : sin(arccos x) =√

1− x2

Voor negatieve x-waarden geldt:

∀x ∈ [−1, 0] : arcsin x = − arccos√

1− x2

Hieruit leiden we af dat

∀x ∈ [−1, 0] : cos(arcsin x) =√

1− x2

∀x ∈ [−1, 0] : arccos x = π − arcsin√

1− x2

en

∀x ∈ [−1, 0] : sin(arccos x) =√

1− x2

We besluiten:

∀x ∈ [−1, 1] : cos(arcsin x) =√

1− x2

∀x ∈ [−1, 1] : sin(arccos x) =√

1− x2

De samenstelling van de arcussinusfunctie gevolgd door de cosinusfunctie is gelijkaan de samenstelling van de arcuscosinusfunctie gevolgd door de sinusfunctie en isgelijk aan een irrationale functie.

OPGAVEN — 69 Werk uit zonder rekentoestel. Stel alles voor op de goniometrische cirkel.1. sin(arccos 3

4 ) 3. cos(arcsin(− 13 ))

2. arcsin(cos 0, 75) 4. arccos(sin(−1, 75))


3.4.2 De grafiek van de arcuscosinusfunctie

• De grafiek van de arcuscosinusfunctie is het spiegelbeeld van de grafiek van de re-strictie tot [0, π] van de cosinusfunctie, met spiegelingsas de rechte met vergelijkingy = x en spiegelingsrichting de richting van de rechte met vergelijking y = −x.

• De grafiek van de arcuscosinusfunctie verkrijgen we ook door de grafiek van dearcussinus te spiegelen t.o.v. de rechte y = π

4. Schrijf de tranformatieformules

hierbij.

arccosx =π

2− arcsinx

We verkrijgen aldus de formule die het verband uitdrukt tussen de arcussinus- ende arcuscosinusfunctie:

arccosx+ arcsinx = π2

(3.3)

Inderdaad, hebben sinus en cosinus dezelfde waarde x dan zijn de hoeken comple-mentair of de cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van de complementairehoek.

• Tabel met de speciale waarden voor de arcuscosinusfunctie:

x −1 −√

32

−√

22

−12

0 12

√2

2

√3

21

arcsinx ||| π + 5π6

+ 3π4

+ 2π3

+ π2

+ π3

+ π4

+ π6

+ 0 |||

Opmerking: De arcuscosinusfunctie neemt enkel positieve waarden aan.

OPGAVEN — 70 * Bepaal de inverse functie van een gepaste restrictie van de functie en teken degrafieken van de functie en haar inverse

1. y = cos 3x 3. y = cos(x− π3 )

2. y = cosx− 12 4. y = cos 2x

3

71 * Bepaal het domein van de volgende functie, bepaal de inverse functie en teken de grafieken:

1. y = 12 arccos(x− 1) 3. y = arccos 1

3x+ π3

2. y = arccos√x 4. y = arccos 1

x

3.4. DE ARCUSCOSINUSFUNCTIE 91

Figuur 3.2: Duid de speciale waarden aan op de grafiek van de arcuscosinusfunctie


AN II HUISTAAK 7 1. Werk uit met de rekenmachine en stel voor op de gonio-metrische cirkel:a. arcsin 5

6; b. arccos(−0, 1); c. arccos(−

√3

3).

2. Werk uit zonder rekenmachine, stel voor op de goniometrische cirkel en controleermet de rekenmachine:1. sin(arcsin 0.6) 3. arcsin(sin 2, 5)

2. arccos(cos(−π4

)) 4. cos(arccos(−13))

5. arccos(sin 17π6

) 6. arccos16

+ arccos(0, 2)

7. arcsin(cos 7, 5) 8. arccos(sin(− π15

))

9. sin(arccos 34) 10. cos(arcsin(−2

3))

3. * Bepaal de inverse functie van een gepaste restrictie van de functie en teken degrafieken van de functie en haar inverse:1. y = −2 cosx 2. y = 4

3cos 2x+ 3

3. y = 3 sin(π4− x) 4. y = −1

2sin 4x− 2

4. * Bepaal het domein van de volgende functie, bepaal de inverse functie en teken degrafieken:1. y = arccos(x2 − 4) 2. y = arccos 1−x

1+x

3. y = arcsin√x 4. y = arcsin 1−x

1+x

5. * Schrijf de volgende reele getallen in termen van arcussinus en arcuscosinus:

−4, 27 −2, 533131 −10, 03 5, 6

6. * Teken met de computer de grafieken van volgende functies en zeg waarom hetdomein begrensd is:1. y = 2 arccos |x(x− 1)| 2. y = arcsin 2x−3

x+1

3.5. DE INVERSE RELATIE VAN DE TANGENSFUNCTIE EN DE COTANGENSFUNCTIE93

3.5 De inverse relatie van de tangensfunctie en de

cotangensfunctie

AN II groepswerk 3 1. Welke waarde geeft de rekenmachine als oplossing voor

tanx = 3 en voor tan x = −5?

2. Toon aan dat alle oplossingen van de vergelijking

tanx = −3

gegeven worden door x = −1, 25 + kπ met k ∈ Z. Stel de oplossingen voor op degoniometrische cirkel;

3. Bepaal de inverse relatie van y = tanx en gebruik daartoe de notatie arctan. Welkenotatie gebruikt jouw rekentoestel en welke notatie gebruikt DERIVE?

4. Teken de grafische voorstelling van de inverse relatie van de tangensfunctie;

5. Teken de grafische voorstelling van de inverse relatie van de cotangensfunctie.

3.5. DE INVERSE RELATIE VAN DE TANGENSFUNCTIE EN DE COTANGENSFUNCTIE95


3.6 De arcustangensfunctie en de arccotangensfunc-

tie

AN II groepswerk 4 1. Welke restrictie van de tangensfunctie moeten we nemenom om een bijectie te verkrijgen?

2. Definieer de zogenaamde arcustangensfunctie;

3. Vervolledig de zin: We zeggen dat y · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

4. Als y = arctanx welke waarden kan y aannemen als x > 0 en welke als x < 0. Duidde juist kwadranten aan op de goniometrische cirkel;

5. Hieronder zie je de grafiek van arctan. Waarom heeft de grafiek twee horizontaleasymptoten?

lim+∞

arctanx = · · · · · · · · · · · ·

lim−∞

arctanx = · · · · · · · · · · · ·

Teken de asymptoten op de figuur;

6. Maak de samenstelling van de arctan en de tan in de twee volgorden met de nodigebeperkingen voor x;

7. Bepaal het punt van symmetrie voor de grafiek van arctan;

8. Stel een tabel op met alle speciale waarden van arctan;

3.6. DE ARCUSTANGENSFUNCTIE EN DE ARCCOTANGENSFUNCTIE 97

OPGAVEN — 72 Bereken met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:

1. arctan 3 3. arctan(−0, 589)

2. arctan 79 4. arctan(−10)

73 Bereken zonder rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:

1. arctan(tan π12 ) 6. tan(arctan(−0, 589))

2. arctan(tan(−1)) 7. arctan(tan(− 3π4 ))

3. arctan(tan 4) 8. arctan(tan 5π4 )

4. arctan(cosπ) 9. arccos(tan 5π4 )

5. sin(arctan√

3) 10. cot(arctan√

33 )


a. ∀x ∈]− 5π2 ,−

3π2 [: arctan(tanx) = x+ 2π;

b. ∀x ∈]− π2 ,

3π2 [: arctan(tanx) = x− π;

75 * Bepaal de inverse functie van de gepaste restrictie van de functie en teken van beide functies degrafiek

1. y = tan 2x 3. y = 3 tanx+ 2

2. y = tan( 2π3 − x) 4. y = −0, 75 tan 2x

3

76 * Bepaal de inverse functie van de functie en teken van beide functies de grafiek

1. y = arctan 2x 3. y = 3 arctanx− 2

2. y = arctanx+ 2π3 4. y = −0, 75 arctan 2x

3

77 * Bepaal het domein van de functie

1. y = arctan√x 3. y = − arctan 1

x − 2

2. y = arctan√

1− x2 4. y = arctan xx2−3x+2


AN II groepswerk 5 1. Beantwoord al de vragen van groepswerk 4 maar voorarccot;

2. Los de vergelijking cotx = −3 op en stel voor op de goniometrische cirkel;

3. Welke transformatie moet je toepassen om de grafiek van y = arctanx af te beeldenop de grafiek van y = arccotx. Met welk verband tussen goniometrische getallenkomt dat overeen?

4. Teken in de figuur de grafiek van arccot als beeld van arctan onder deze transfor-matie.

OPGAVEN — 78 Bereken met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:

1. arccot5 3. arccot(−2, 589)

2. arccot22, 8 4. arccot(−4)

79 Bereken zonder rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:


1. arccot(cot 7π12 ) 7. cot(arccot(−2, 589))

2. arccot(cot(−1)) 8. arccot(cot(− 3π4 ))

3. arccot(cot 5) 8. arccot(cot 7π6 )

4. arccot(cosπ) 9. arccos(cot 5π4 )

5. sin(arccot(−7)) 10. tan(arccot√

33 )

6. arccot(tan π3 ) 11. arccot(tan(−1))


a. ∀x ∈]π, 2π[: arccot(cotx) = x− π;

b. ∀x ∈]− 4π,−3π[: arccot(cotx) = x+ 4π;

81 * Bepaal de inverse functie van de gepaste restrictie van de functie en teken van beide functies degrafiek

1. y = cot 2x 3. y = 3 cotx+ 2

2. y = cot( 2π3 − x) 4. y = −0, 75 cot 2x

3

82 * Bepaal de inverse functie van de functie en teken van beide functies de grafiek

1. y = arccot2x 3. y = 3arccotx− 2

2. y = arccotx+ 2π3 4. y = −0, 75arccot 2x

3

83 * Bepaal het domein van de functie

1. y = arccot√x− 1 3. y = 2arccot 2x

3x+1 − 2

2. y = arccot√

1−x2

x 4. y = arccotx2−3x+2

5x2−x−4


AN II groepswerk 6 1. Stel het verband op tussen arctan en arccot. Redeneer opde goniometrische cirkel. Beschouw ook de formule geldig tussen goniometrischegetallen die daarmee overeenstemt.

2. Beschouw ook de samenstellingen cot(arctan) en anderzijds tan(arccot).

OPGAVEN — 84 Werk uit en stel de verschillende stappen voor op de goniometrische cirkel:

1. tan(arccot(− 34 )) 3. cot(arctan 0, 33)

2. arctan(cot 7, 5) 4. arccot(tan(− π12 ))

85 * Bestudeer de arcussecansfunctie en de arcuscosecansfunctie op analoge wijze als de hiervoor be-handelde cyclometrische functies.


Herhalingsoefeningen:

86 * Bepaal met behulp van de rekenmachine x en k zodat

arccot13

+ arccot2 = arctanx+ kπ.

Stel alles voor op de goniometrische cirkel.

87 * Schrijf de volgende reele getallen in termen van elk van de cyclometrische functies.

1 7, 3 3, 75 −0, 68

88 Bepaal zonder rekenmachine en stel alle stappen voor op de goniometrische cirkel.

1. tan(arcsin 13 ) 9. tan(arccos(− 5

6 ))

2. cot(arctan(−3, 1)) 10. cot(arcsin(−0, 15))

3. sin (arccot 65 ) 11. tan(arccot(−9, 4))

4. cot(arccos(−0, 95)) 12. sin(arctan 11)

5. cos(arcsin(−0, 43)) 13. cot(arctan(0, 9))

6. arctan(cot 13 ) 14. arctan(tan(− 5π

6 ))

7. arccot(tan(−3, 1)) 15. arccos(sin(−0, 15))

8. arccot(tan 6π5 ) 16. arcsin(cos(−9, 4))

89 * In welk van de volgende intervallen bezit y = 2 cos(x2 − π) een inverse functie: [0, π], [0, 2π], [0, π2 ]en [0, 4π] ?

90 * Bepaal het domein van de volgende functies

1. y = 2 arccosx3 2. y = 4(arcsin(3x− 4) + π2 )

91 * Bepaal de inverse functie van y = arctan 1x . Teken de functie en haar inverse functie.


AN II HUISTAAK 8 1. Bereken met de rekenmachine

1. arccot(sin 11π8

) 3. arccot13

+ arccot2

2. arcsin(cot 7, 5) 4. arccos(tan(− π12

))

2. Bepaal zonder rekenmachine en stel alle stappen voor op de goniometrische cirkel.

1. sin(arccos 34) 4. cos(arctan(−2

3))

2. cot(arccos 0, 71) 5. tan(arccos(−0, 95))

3. arctan(cot 7, 5) 6. arccot(tan(− π12

))

3. * Bepaal zonder rekenmachine x en k zodat

arcsin3

4+ arctan(−4) = arccotx+ kπ.

Stel alles voor op de goniometrische cirkel.

4. * Schrijf de volgende reele getallen in termen van van de arcustangens en de arcus-cotangens.

−4, 27 −2, 533131 10, 03 5, 6

3.7. DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN CYCLOMETRISCHE FUNCTIE 103

3.7 De afgeleide functie van een cyclometrische func-

tie

STELLING 3.1 De afgeleide functie van een cyclometrische functie is een algebraıschefunctie.

1. De afgeleide functie van de arcussinusfunctie

D arcsinx = 1D sin y

met y = arcsinx

= 1cos y

met y = arcsinx

= 1cos(arcsinx)

= 1√1−x2

2. De afgeleide functie van de arcuscosinusfunctie

D arccosx = 1D cos y

met y = arccosx

= 1(− sin y)

met y = arccosx

= − 1sin(arccosx)

= − 1√1−x2

3. De afgeleide functie van de arcustangensfunctie

D arctanx = 1D tan y

met y = arctanx

= cos2 y met y = arctanx

= cos2(arctanx)

= 11+x2

4. De afgeleide functie van de arcuscotangensfunctie

Darccotx = 1D cot y

met y = arccotx

= − sin2 y met y = arccotx

= − sin2(arccotx)

= − 11+x2



1. lim1

√1−x

arccosx= (0

0)

lim1

√1− x

arccosx= lim

1

−12√

1−x−1√1−x2

= lim1

√1− x2

2√

1− x=

0

0= lim

1−

√1 + x

2=

√2

2

2. lim−∞ x(π2

+ arctanx) = (−∞.0)

lim−∞

x(π

2+arctanx) = lim

−∞

π/2 + arctanx

1/x= (

0

0) = lim

−∞

1/(1 + x2)

−1/x2= lim−∞

−x2

1 + x2= −1

OPGAVEN — 92 Bereken de afgeleide functies van de volgende functies:

1. y = arctan(2x2 + 1) 5. y = arcsin 2x2. y = (arccosx)3 6. y = arccos(sinx)3. y = arccosx2 7. y = arctan

√x

4. y = arcsin ex 8. y = 1√3

arctan x√

31−x2

93 Bereken de volgende limieten: a*. lim0( 1arcsin x −

1x ); b. lim0

2 arctan x−x2x−arcsin x

Oplossingen:92

1. y′ = 2x2x4+2x2+1 5. y′ = 2√

1−4x2

2. y′ = − 3 arccos x)2√1−x2 6. y′ = 1 als cosx < 0 en y′ = −1 als cosx > 0

3. y′ = − 2x√1−x4 7. y′ = 1

2(1+x)√x

AN II HUISTAAK 9 Bereken de afgeleide functies van de functies:

1. y = 1√3

arctan x√

31−x2 3. y = x

1+x2 − arctanx

2. y = arctanxx

4. y = arcsin(−x2−6x+4x2−4x+4

)

3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN 105

3.9 Vergelijkingen en ongelijkheden

3.9.1 Standaardvergelijkingen

1. Voor goniometrische vergelijkingen

sin f(x) = r en sin f(x) = sin g(x)

cos f(x) = r en cos f(x) = cos g(x)

tan f(x) = r en tan f(x) = tan g(x)

cot f(x) = r en cot f(x) = cot g(x)

Hierbij zijn y = f(x) en y = g(x) meestal algebraısche functies van x. Door opbeide leden de inverse functie te laten inwerken, zijn we meestal herleid tot eenalgebraısche vergelijking in x.

sin f(x) = r ⇐⇒ f(x) = arcsin r + 2kπ ∨ f(x) = π − arcsin r + 2kπ met k ∈ Z

sin f(x) = sin g(x)⇐⇒ f(x) = g(x) + 2kπ ∨ f(x) = π − g(x) + 2kπ met k ∈ Z.

en

cos f(x) = r ⇐⇒ f(x) = arccos r + 2kπ ∨ f(x) = − arccos r + 2kπ met k ∈ Z

cos f(x) = cos g(x)⇐⇒ f(x) = g(x) + 2kπ ∨ f(x) = −g(x) + 2kπ met k ∈ Z

tan f(x) = r ⇐⇒ f(x) = arctan r + kπ met k ∈ Z

tan f(x) = tan g(x)⇐⇒ f(x) = g(x) + kπ met k ∈ Z

en

cot f(x) = r ⇐⇒ f(x) = arccot r + kπ met k ∈ Z

cot f(x) = cot g(x)⇐⇒ f(x) = g(x) + kπ met k ∈ Z

2. Voor cyclometrische vergelijkingen

arcsin f(x) = r en arcsin f(x) + arcsin g(x) = r

arccos f(x) = r en arccos f(x) + arccos g(x) = r

arctan f(x) = r en arctan f(x) + arctan g(x) = r

arccot f(x) = r en arccot f(x) + arccot g(x) = r


Hierbij zijn y = f(x) en y = g(x) meestal algebraısche functie van x. Door op beideleden de inverse functie zijn we meestal herleid tot een algebraısche vergelijking inx.

arcsin f(x) = r ⇐⇒ f(x) = sin r ∧ r ∈ [−π2,π

2]

arccos f(x) = r ⇐⇒ f(x) = cos r ∧ r ∈ [0, π].

arctan f(x) = r ⇐⇒ f(x) = tan r ∧ r ∈]− π

2,π

2[

arccot f(x) = r ⇐⇒ f(x) = cot r ∧ r ∈]0, π[.

Opmerking: Let op het feit dat de sinusen cosinusfunctie geen bijecties zijn.Zo kunnen oplossingen ingevoerd worden als we op beide leden de inverse functielaten inwerken. Dit wordt geıllustreerd aan de hand van de volgende uitgewerktevoorbeelden.


1. sinx = −23⇐⇒ x = −0, 72972766 + 2kπ ∨ x = 3, 8713203 + 2kπ.

De vergelijking heeft 2 reeksen oplossingen, de oneindig veel maatgetallen uitgedruktin radialen van twee hoeken.

2. sin(3x− 1) = sin 2x.sin(3x− 1) = sin 2x

m

3x− 1 = 2x+ 2kπ ∨ 3x− 1 = π − 2x+ 2kπ

m

x = 1 + 2kπ ∨ 5x = π + 1 + 2kπ

m

x = 1 + 2kπ ∨ x =π + 1

5+

2kπ

5


3. arcsinx+ arcsin 45

= π2.

arcsinx+ arcsin4

5=π

2

m

arcsinx =π

2− arcsin

4

5

⇓

x = sin(π

2− arcsin

4

5)

m

x = cos(arcsin4

5) =

√1− 16

25=

3

5.

4. arcsin√

3x+ arcsinx = π2.

Het is gunstiger om van beide leden de cosinus te nemen. De algebraısche vergelij-king is dan een meer eenvoudige irrationale vergelijking dan als we van beide ledende sinus nemen. Ook de aanwezigheid van π

2in het tweede lid is interessant om de

cosinus te nemen.cos(arcsin

√3x+ arcsinx) = 0

m

cos(arcsin√

3x). cos(arcsinx)− sin(arcsin√

3x). sin(arcsinx) = 0

m√

1− 3x2√

1− x2 −√

3x2 = 0

m√

1− 3x2√

1− x2 −√

3x2 = 0

⇓

(1− 3x2)(1− x2) = 3x4

m


1− 4x2 = 0

m

x = ±1

2De oplossing x = −1

2moet verworpen worden.

5. 6 sin2 x− 5 sinx+ 1 = 0.We beschouwen deze vergelijking als een kwadratische vergelijking in sinx. De tweewortels zijn 1

3en 1

2.

sinx =1

3∨ sinx =

1

2De vergelijking is herleid tot twee standaardvergelijkingen. De oplossingen zijn

x = 0, 33983691 + 2kπ ∨ x = 2, 8017557 + 2kπ ∨ x =π

6+ 2kπ ∨ x =

5π

6+ 2kπ.

6. 4 sin4 x− 5 sin2 x+ 1 = 0.We beschouwen deze vergelijking als een bikwadratische vergelijking in sinx. De

vier wortels zijn ±√

5±38

.

sinx = −1 ∨ sinx = −1

2∨ sinx =

1

2∨ sinx = 1

De vergelijking is herleid tot vier standaardvergelijkingen. Ze geven acht oplossin-genreeksen van zes hoeken, die op de goniometrische cirkel een regelmatige zeshoekbepalen. De oplossingen zijn

x =π

6+

2kπ

6⇐⇒ x =

π

6+kπ

3


7. cos 4x− 2 sin2 2x+ 3 sin 2x = 0.Deze vergelijking wordt een kwadratische vergelijking in sin 2x als we cos 2x uit-drukken in functie van de sinus van de halve hoek..

1− 2 sin2 2x− 2 sin2 2x+ 3 sin 2x = 0

m

−4 sin2 2x+ 3 sin 2x+ 1 = 0

m

sin 2x = 1 ∨ sin 2x = −1

4

m

2x =π

2+ 2kπ ∨ 2x = −0, 25268026 + 2kπ ∨ 2x = 3, 3942729 + 2kπ

m

x =π

4+ kπ ∨ x = −0, 12634013 + kπ ∨ x = 1, 6971365 + kπ

8. sinx ≤ −12⇐⇒ −5π

6+ 2kπ ≤ x ≤ −π

6+ 2kπ met k ∈ Z.


9. 1−sinx1−2 sinx

< 1+sinx1−4 sin2 x

.

Bestaansvoorwaarden: sinx 6= ±12.

We brengen alle termen van de ongelijkheid naar het eerste lid.

1− sinx

1− 2 sinx− 1 + sin x

1− 4 sin2 x< 0

m(1− sinx)(1 + 2 sinx)− (1 + sin x)

1− 4 sin2 x< 0

m−2 sin2 x

1− 4 sin2 x< 0

m1− 4 sin2 x > 0 met sin x 6= 0

m

−1

2< sinx <

1

2met sinx 6= 0

m

−π6

+ kπ < x < 0 ∨ 0 < x <π

6+ kπ

10. cos 2x = −12.

cos 2x = −1

2m

2x =2π

3+ 2kπ ∨ 2x = −2π

3+ 2kπ

m

x =π

3+ kπ ∨ x = −π

3+ kπ

De vergelijking heeft 4 reeksen oplossingen, de oneindig veel maatgetallen uitgedruktin radialen van vier hoeken.


11. cos 2x = sin 4x tanx.De bestaansvoorwaarden zijn: x 6= π

2+ kπ.

cos 2x = sin 4x tanx

m

cos 2x = 2 sin 2x cos 2x tanx

m

cos 2x(1− 2 sin 2x tanx) = 0

m

cos 2x(1− 4 sinx cosxsinx

cosx) = 0

m

cos 2x(1− 4 sin2 x) = 0

m

cos 2x = 0 ∨ sin2 x =1

4

m

cos 2x = 0 ∨ sinx = ±1

2

m

2x =π

2+ kπ ∨ x = ±π

6+ kπ.

m

x =π

4+kπ

2∨ x = ±π

6+ kπ.

Alle oplossingen mogen aanvaard worden.


12. cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x = 0.We herschikken de termen om de formules van Simpson toe te passen.

(cosx+ cos 3x) + (cos 2x+ cos 4x) = 0

m

2 cos 2x cosx+ 2 cos 3x cosx = 0

m

2 cosx(cos 2x+ cos 3x) = 0

m

cosx = 0 ∨ cos 2x+ cos 3x = 0

m

cosx = 0 ∨ cos 2x = − cos 3x

m

cosx = 0 ∨ cos 2x = cos(π − 3x)

m

x =π

2+ kπ ∨ 2x = π − 3x+ 2kπ ∨ 2x = 3x− π + 2kπ

m

x =π

2+ kπ ∨ 5x = π + 2kπ ∨ x = π + 2kπ

m

x =π

2+ kπ ∨ x =

π

5+

2kπ

5∨ x = π + 2kπ.


13. cosx = 2 tanx1+tan2 x

.De x-waarden waarvoor cosx = 0⇐⇒ x = π

2+ kπ is moeten uitgesloten worden.

cosx =2 tanx

1 + tan2 x

⇓

cosx = sin 2x

m

cosx = cos(π

2− 2x)

m

x =π

2− 2x+ 2kπ ∨ x = −π

2+ 2x+ 2kπ

m

3x =π

2+ 2kπ ∨ x =

π

2+ 2kπ

m

x =π

6+

2kπ

3∨ x =

π

2+ 2kπ

In beide reeksen oplossingen komen maatgetallen voor van de twee hoeken van π2

radialen en −π2

radialen. Die moeten uitgesloten worden. De werkelijke oplossingenvan de gegeven vergelijking zijn:

x =π

6+ 2kπ ∨ x =

5π

6+ 2kπ.

14. secx = 2(sinx+ cosx).Bestaansvoorwaarden: cosx 6= 0⇐⇒ x 6= π

2+ kπ.

1

cosx= 2(sinx+ cosx)

⇓

2 sinx cosx+ 2 cos2 x = 1

m

sin 2x+ cos 2x+ 1 = 1

m

sin 2x+ cos 2x = 0


m

sin 2x = − cos 2x

m

2x = −π4

+ kπ

m

x = −π8

+ kπ

2.

Alle oplossingen mogen aanvaard worden.

15. cos 3x > 13.

cos 3x >1

3

m

− arccos1

3+ 2kπ < 3x < arccos

1

3+ 2kπ

m

−1

3arccos

1

3+

2kπ

3< x <

1

3arccos

1

3+

2kπ

3

De ongelijkheid heeft 3 reeksen intervallen die oplossing zijn.

16.√

2 cosx− 2 cos2 x > 0. √2 cosx− 2 cos2 x > 0

m√

2 cosx(1−√

2 cosx) > 0

Het eerste lid is een kwadratische vorm in cos x. We maken hiervan een tekenverloop.

cosx 0√

22√

2 cosx− 2 cos2 x − 0 + 0 −


De kwadratische vorm in cosx is positief als en slechts als

0 < cosx <

√2

2

m(−π

2+ 2kπ < x < −π

4+ 2kπ

)∨(π

4+ 2kπ < x <

π

2+ 2kπ

)

17. sinx+cosx1−cosx

> 0.De noemer van het eerste lid van deze ongelijkheid is steeds groter dan nul. Debreuk is strikt groter dan nul als de teller tevens strikt groter is dan nul.

sinx+ cosx > 0 met cos x 6= 1

m

sinx+ sin(π

2− x) > 0 met cos x 6= 1

m

2 sinπ

4cos(x− π

4) > 0 met cos x 6= 1

m

cos(x− π

4) > 0 met cos x 6= 1

m

−π2

+ 2kπ < x− π

4<π

2+ 2kπ en cosx 6= 1

m

−π4

+ 2kπ < x <3π

4+ 2kπ en x 6= 2kπ


18. tan x3

= 2.

tanx

3= 2

mx

3= 1, 1071487 + kπ

m

x = 3, 3214462 + 3kπ.

De vergelijking heeft 2 reeksen oplossingen, oneindig veel maatgetallen uitgedruktin radialen van twee hoeken maar niet alle maatgetallen van die hoeken.

19. arctan x = arctan 2− arccot3.

arctanx = arctan 2− arccot3

m

arctanx = arctan 2− arctan1

3

m

x = tan(arctan 2− arctan1

3)

m


x =tan(arctan 2)− tan(arctan 1

3)

1 + tan(arctan 2). tan(arctan 13)

m

x =2− 1

3

1 + 23

= 1.

20. arctan x = arcsin 35

+ arccos 1213

.

arctanx = arcsin3

5+ arccos

12

13

m

x = tan(arcsin3

5+ arccos

12

13)

m

x =tan(arcsin 3

5) + tan(arccos 12

13)

1− tan(arcsin 35). tan(arccos 12

13)

m

x =34

+ 512

1− 34. 512

=56

33.


21. tan 3x = − cot(x− π3).

tan 3x = − cot(x− π

3)

m

tan 3x = − tan(π

2− x+

π

3)

m

tan 3x = − tan(5π

6− x)

m

tan 3x = tan(x− 5π

6)

m

3x = x− 5π

6+ kπ

m

2x = −5π

6+ kπ

m

x = −5π

12+ k

π

2

22. arctan(x+ 1) = 3 arctan(x− 1).We nemen van beide leden de tangens.

x+ 1 = tan(3 arctan(x− 1))

m

x+ 1 =3(x− 1)− (x− 1)3

1− 3(x− 1)2

m

x = 0 ∨ x = ±√

2

De oplossing x = −√

2 moet verworpen worden.


23. sin4 x+ cos4 x = sinx cosx.

sin4 x+ cos4 x = sinx cosx

Deze vergelijking is niet homogeen in sinus en cosinus. We kunnen ze echter ho-mogeen maken door te vermenigvuldigen met de factor sin2 x+ cos2 x daar waar degraad 2 lager is dan de graad van de andere termen.

sin4 x+ cos4 x = sinx cosx(sin2 x+ cos2 x)

m

sin4 x− sin3 x cosx− sinx cos3 x+ cos4 x = 0

m

tan4 x− tan3 x− tanx+ 1 = 0

m

tan3 x(tanx− 1)− (tanx− 1) = 0

m

(tan3 x− 1)(tanx− 1) = 0

m

(tanx− 1)2(tan2 x+ tanx+ 1) = 0

m

tanx = 1

m

x =π

4+ kπ


24. Lossen we een vergelijking op door over te gaan naar de tangens van de halve hoekdan kunnen we oplossingen verliezen omdat de formules die de sinus en de cosinusuitdrukken in de tangens van de halve hoek niet geldig zijn voor de maatgetallenvan de hoeken waarvoor de cosinus van de halve hoek gelijk is aan nul.

∀x 6= π

2+ kπ : sin 2x =

2 tanx

1 + tan2 x

∀x 6= π

2+ kπ : cos 2x =

1− tan2 x

1 + tan2 x

Om dit te illustreren lossen we op deze manier de vorige vergelijking op.

cos 2x− sin 2x+ 1 = 0

⇓

1− tan2 x

1 + tan2 x− 2 tanx

1 + tan2 x+ 1 = 0

m

2 tanx− 1 + tan2 x− 1− tan2 x = 0

m

tanx = 1

m

x =π

4+ kπ

We zijn hier inderdaad de oplossingen van cosx = 0⇐⇒ x = π2

+ kπ verloren.

Dus controleer steeds of geen oplossingen verloren gegaan zijn na gebruik van det-formules.


25. Als een tangens voorkomt in de vergelijking gaan we niet slaafs overgaan naar sinusen cosinus. Dit kan de berekeningen overbodig ingewikkeld maken.

cot2 x− tan2 x =2

sinx cosx

De bestaansvoorwaarden zijn

x 6= kπ

2.

Het is korter als we alle termen uitdrukken in tangens i.p.v. in sinus en cosinus.

1

tan2 x− tan2 x =

4

sin 2x

m

1− tan4 x

tan2 x= 4

1 + tan2 x

2 tanx

m

1− tan2 x = 2 tan x

m

tanx = −1±√

2

m

x = arctan(−1±√

2) + kπ.


26. 0 < | tan x4| < 0, 25.

Bestaansvoorwaarden: x 6= 2π + 4kπ.

0 < | tanx

4| < 0, 25

m(arctan(−0, 25) + kπ <

x

4< 0)∨(

0 <x

4< arctan(0, 25) + kπ

)m

(4 arctan(−0, 25) + 4kπ < x < 0) ∨ (0 < x < 4 arctan(0, 25) + 4kπ)

27.√

3 cosx−3 sinxcosx

≥ 0.Bestaansvoorwaarden: cosx 6= 0.

√3 cosx− 3 sinx

cosx≥ 0

m√

3− 3 tanx ≥ 0

m

tanx ≤√

3

3

m

−π2

+ kπ ≤ x ≤ π

6+ kπ.


28. cot(x+ π4) = −0, 2.

cot(x+π

4) = −0, 2

m

x+π

4= 1, 7681919 + kπ

m

x = −π4

+ 1, 7681919 + kπ = 0, 98279372 + kπ

De vergelijking heeft 2 reeksen oplossingen, de oneindig veel maatgetallen uitgedruktin radialen van twee hoeken.

29. 8 cos3 x− 14 cos2 x sinx+ 5 cosx sin2 x = 0.

8 cos3 x− 14 cos2 x sinx+ 5 cosx sin2 x = 0

m

cosx(8 cos2 x− 14 cosx sinx+ 5 sin2 x) = 0

m

cosx = 0 ∨ 8 cot2 x− 14 cotx+ 5 = 0

m

cosx = 0 ∨ cotx =5

4∨ cotx =

1

2

m

x =π

2+ kπ ∨ x = 0, 67474094 + kπ ∨ x = 1, 1071487 + kπ


30. 2 cosx+ sinx = 1.2 cosx+ sinx = 1

m

2(cos2 x

2− sin2 x

2) + 2 sin

x

2cos

x

2= 1

m

2(cos2 x

2− sin2 x

2) + 2 sin

x

2cos

x

2= cos2 x

2+ sin2 x

2

m

cos2 x

2− 3 sin2 x

2+ 2 sin

x

2cos

x

2= 0

m

cot2 x

2+ 2 cot

x

2− 3 = 0

m

cotx

2= 1 ∨ cot

x

2= −3

mx

2=π

4+ kπ ∨ x

2= arccot(−3) + kπ

m

x =π

2+ 2kπ ∨ x = 5, 6396842 + 2kπ.

AN II HUISTAAK 10 1. Los op

1. sinx+ sin 3x = sin 2x 4. sin6 x+ cos6 x = 58

2. sin2(x+ π8)− sin2(x− π

8) = 1

25. arcsin x

2+ arcsin(2x) = π

6

3. sinx−1cosx

≤ cosx

2. Los op:

1. 1−tanx1+tanx

= 2 cos 2x 3. tanx cot 2x = 2 sin x(1 + tanx tan x2)

2. tan(4 cos x) = cot(3 sinx) 4. tanx−√

3tan2 2x−1

< 0

5. arctan 2x3

+ arctanx = π4

Hoofdstuk 4

Verloop van functies

4.1 Verloop van functies met exponentiele of logarit-

mische functie


1. * Het verloop van y = ln |x+1x−1|.

a. Domein.De logaritmische functies werken alle in op strikt positieve reele getallen. Debestaansvoorwaarde voor de functie is

x 6= 1 ∧ |x+ 1

x− 1| > 0⇐⇒ x 6= 1 ∧ x 6= −1 −→ domf = R \ {−1, 1}.

b. Asymptoten.Voor de vertikale asymptoten zoeken we naar reele x-waarden waarvoor degegeven functie nadert naar ∞.De functie y = lnx nadert naar −∞ als x nadert naar 0 en nadert naar +∞als x nadert naar +∞.De functie y = |x+1

x−1| nadert naar 0 als x nadert naar −1 en nadert naar +∞

als nadert x naar 1. Hieruit volgt:

lim−1

(ln |x+ 1

x− 1|) = ln(lim

−1|x+ 1

x− 1|) = ln(0) = −∞ −→ x = −1 is verticale asymptoot

lim1

(ln |x+ 1

x− 1|) = ln(lim

1|x+ 1

x− 1|) = ln(+∞) = +∞ −→ x = 1 is verticale asymptoot

125

126 HOOFDSTUK 4. VERLOOP VAN FUNCTIES

lim±∞|x+ 1

x− 1| = 1 =⇒ lim

±∞ln |x+ 1

x− 1| = ln 1 = 0 −→ y = 0 is horizontale asymptoot

c. Eerste en tweede afgeleide functie. y′ = −2(x+1)(x−1)

en y′′ = 4x(x2−1)2

.

d. Tabel.x −1 0 1y′ − −∞|+∞ + 2 + +∞| −∞ −y′′ − | − 0 + | +y − −∞| −∞ − 0 + +∞|+∞ +↘ ↗ ↗ ↘⋂ ⋂ ⋃ ⋃

Figuur 4.1: y = ln |x+1x−1|

4.1. VERLOOP VAN FUNCTIES MET EXPONENTIELE OF LOGARITMISCHE FUNCTIE127

2. * Het verloop van de functie y = x · e1

x+3

a. Domein.De exponentiele functie y = ex werkt in op alle reele x-waarden. De functie

y = 1x+3

bestaat niet voor x = −3. De gegeven functie y = x.e1

x+3 bestaat dusvoor alle reele x-waarden uitgezonderd voor x = −3.

domf = R \ {−3}

b. Asymptoten.Voor de vertikale asymtoten zoeken we naar reele x-waarden waarvoor de gege-ven functie nadert naar ±∞. De functie y = ex nadert naar +∞ als x nadertnaar +∞. De functie y = 1

x+3nadert naar +∞ als x nadert naar −3 van langs

de rechterkant.

lim−3+

1

x+ 3= +∞

Hieruit volgt:

lim−3+

e1

x+3 = +∞

m

lim−3+

x.e1

x+3 = (−3)(+∞) = −∞

De functie y = x.e1

x+3 heeft dus een vertikale asymptoot aan de kant van −∞,nl. x = −3.Ga nu zelf na dat lim−3− x.e

1x+3 = 0.

De grafiek van de functie heeft geen horizontale asymptoten, want

lim±∞

x.e1

x+3 = ±∞.e0 = ±∞.

De grafiek van de functie kan wel nog schuine asymptoten hebben.

a = lim±∞

x.e1

x+3

x= lim±∞

e1

x+3 = e0 = 1;

b = lim±∞(x.e1

x+3 − x)

= lim±∞ x.(e1

x+3 − 1) = ±∞.0= lim±∞

e1

x+3−11x

= lim±∞e

1x+3−1.

(−1)(x+3)2

− 1x2

= lim±∞x2

(x+3)2.e

1x+3 = 1.e0 = 1

De functie heeft een schuine asymptoot, nl. y = x+ 1.


c. Eerste en tweede afgeleide functie.

y′ = x2+5x+9(x+3)2

.e1

x+3 en y′′ = − 5x+18(x+3)4

.e1

x+3 .

d. Tabel.x −18/5 −3 0y′ + 2, 08 + 0|+∞ + 3

√e +

y′′ + 0 − | − −y − −0, 68 − 0| −∞ − 0 +↗ ↗ ↗ ↗⋃ ⋂ ⋂ ⋂

Figuur 4.2: y = x · e1

x+3


OPGAVEN — 94 Bestudeer het verloop van elk van de volgende functies:1. y = x.ex 5. y = lnx2 9. y = ln2 x

2. y = x. lnx 6. y = ln | lnx| 10. y = e−x2+1

3. y = ex

|x−1| 7. y = x+ ex 11. y = ln(5x+ 1)

4. y = e−x2+10x−21 8. y = x

ln |x| 12. y = ex−e−x

ex+e−x

95 Gegeven de functie g : y = log51−xx−5 .

1. Bepaal van de functie f : y = 1−xx−5 het domein, een tabel met bijzondere punten, de asymptoten,

de eerste afgeleide functie en de grafiek;

2. Vul de tabel van (a) aan met bijzondere punten van f , bepaal de asymptoten van f en tekenhiermee de grafiek van g = log5 f ;

3. Toon aan dat de restrictie van g tot ]1, 5[ een bijectie is en bepaal het voorschrift en de grafiek vande inverse functie g−1 = h;

4. Bepaal h(1) en h′(1) steunend op de bijzondere punten van de grafiek van g uit (b) (zonder h′ temoeten berekenen). Controleer je resultaten door h(1) en h′(1) effectief te berekenen.

5. Bepaal de buigpunten van g met de computer.

Oplossingen: 941. y = x.ex, domf = R, H.A. y = 0 (−∞), y′ = (x+ 1).ex, y′′ = (x+ 2).ex

x −2 −1 0y′ − −1/e2 − 0 + 1 +y′′ − 0 + + +y − −2/e2 − −1/e − 0 +

↘ ↘ ↗ ↗⋂ ⋃ ⋃ ⋃3. y = ln | lnx|, domf = R+

0 \ {0, 1}, V.A.: x = 0 en x = 1, y′ = 1x ln x , y′′ = 1+ln x

x2 ln2 x,

x 0 1/e 1 ey′ ||| −∞ − −e − −∞|+∞ + 1/e +y′′ ||| + 0 − | − −y ||| +∞ + 0 − −∞| −∞ − 0 +

↘ ↘ ↗ ↗⋃ ⋂ ⋂ ⋂4. y = ex

|x−1| , domf = R \ {1}, V.A.: x = 1, H.A.: y = 0, y′ = x−2(x−1)2 e

x, y′′ = x2−4x+5(x−1)3 ex,

5. y = ln(5x+ 1), domf =]− 15 ,+∞[, V.A.: x = − 1

5 (−∞), y′ = 55x+1 , y′′ = − 25

(5x+1)2 ,x 0 1 2y′ + 2 + +∞| −∞ − 0 +y′′ + + | + +y + 1 + +∞|+∞ + e2 +

↗ ↗ ↘ ↗⋃ ⋃ ⋃ ⋃

x −1/5 0y′ ||| |+∞ + 5 +y′′ ||| | −∞ − −y ||| | −∞ − 0 +

↗ ↗⋂ ⋂


6. y = xln |x| , domf = R\{0,−1, 1}, V.A. x = −1 en x = 1, de functie is oneven, y′ = ln |x|−1

ln2 |x| , y′′ = 2−ln |x|x ln3 |x| ,

x −e2 −e −1 0 1 e e2

y′ + 1/4 + 0 − −∞| −∞ − 0|0 − −∞| −∞ − 0 + 1/4 +y′′ + 0 − − + | − + + 0 −y − −e2/2 − −e − −∞|+∞ + 0|0 − −∞|+∞ + e + e2/2 +

↗ ↗ ↘ ↘ ↘ ↘ ↗ ↗⋃ ⋂ ⋂ ⋃ ⋂ ⋃ ⋃ ⋂7. y = lnx2, domf = R0, V.A.: x = 0, de functie is even, y′ = 2

x , y′′ = − 2x2 .

x −1 0 1 ey′ − −2 − −∞|+∞ + 2 + 2/e +y′′ − − −∞| −∞ − − −y + 0 − −∞| −∞ − 0 + 2 +

↘ ↘ ↗ ↗ ↗⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂8. y = x. lnx, domf = R+

0 , geen asymptoten, y′ = 1 + lnx, y′′ = 1x .

x 0 1/e 1y′ ||| | −∞ − 0 + 1 +y′′ ||| |+∞ + + +y ||| |0 − −1/e − 0 +

↘ ↗ ↗⋃ ⋃ ⋃9. y = e−x

2+1, domf = R, H.A.: y = 0, de functie is even, y′ = −2x.e−x2+1, y′′ = (4x2 − 2).e−x

2+1,

x −1 −√

2/2 0√

2/2 1y′ + 2 + 2, 3 + 0 − −2, 3 − −2 −y′′ + + 0 − − 0 + +y + 1 + 1, 6 + e + 1, 6 + 1 +

↗ ↗ ↗ ↘ ↘ ↘⋃ ⋃ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃10. y = x+ ex, domf = R, S.A.: y = x voor −∞, y′ = 1 + ex, y′′ = ex,

x −0, 55 0y′ + 1, 55 + 2 +y′′ + + +y − 0 + 1 +

↗ ↗ ↗⋃ ⋃ ⋃11. y = e−x

2+10x−21, domf = R, H.A.: y = 0, x = 5 is een as van symmetrie, y′ = (−2x+10)e−x2+10x−21,


y′′ = (4x2 − 40x+ 98)e−x2+10x−21,

x 0 5−√

2/2 5 5 +√

2/2 10y′ + 8.10−9 + 46, 8 + 0 − −46, 8 − −8.10−9 −y′′ + + 0 − − 0 + +y + 7, 5.10−10 + 33, 1 + 54, 6 + 33, 1 + 7, 5.10−10 +

↗ ↗ ↗ ↘ ↘ ↘⋃ ⋃ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃


4.2 Verloop van functies met goniometrische of cy-

clometrische functie

4.2.1 Uitgewerkte oefening

Voorbeeld: y = sin 2x− 2 cosx

1. Domf = R; periode 2π; we werken in het interval [−π, π];

2. y′ = 2 cos 2x+ 2 sinx; nulpunten: −5π6

, −π6

en π2

3. y′′ = −4 sin 2x+ 2 cosx; nulpunten: −π2, π

2, arcsin 1

4en π − arcsin 1

4.

4. Tabel:

x −π −5π/6 −π/2 −π/6 0 0, 25 π/2 2, 88 πy′ + 2 + 0 − −4 − 0 + 2 + 9/4 + 0 + 9/4 + 2 +y′′ − − − 0 + + + 0 − 0 + 0 − −y + 2 + 3

√3/2 + 0 − −3

√3/2 − −2 − −3

√15/8 − 0 + 3

√15/8 + 2 +

↗ ↗ ↘ ↘ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗⋂ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃ ⋃ ⋂ ⋃ ⋂ ⋂5. Extrema:

minima: −π6

+ 2kπ,−3√

32

;

maxima: (−5π6

+ 2kπ, 3√

32

).

6. Buigpunten: (−π2+2kπ, 0) met richtingscoefficient van de buigraaklijn −4 en (0, 25+

2kπ;−3√

158

), (2, 88 + 2kπ; 3√

158

) met richtingcoefficient van de buigraaklijn 94.

4.2. VERLOOP VAN FUNCTIES MET GONIOMETRISCHE OF CYCLOMETRISCHE FUNCTIE133

OPGAVEN — 96 Bepaal het verloop en de grafiek van de volgende functies:1. y = 1+2 cos x

1−2 cos x 5. y =√

1+sin x1−sin x

2. y = 2 cosx+ sin2 x 6. y = x tanx

3. y = sinx− tanx 7. y = cos x2+sin x

4. y = sinx+ 13 sin 3x+ 1

5 sin 5x 8. y = 33 sin x+sin 3x

97 Bepaal het verloop en de grafiek van de volgende functies:1. y = x− 2 arctanx 4. y = arccos(x2 − 1)2. y = arcsin 1−x

1+x 5. y = sin2 x√

3− 4 sin2 x

3. y = 2 cosx+ ln(tan x2 )

Oplossingen:961. Domf = R \ {π3 + 2kπ,−π3 + 2lπ} ; periode is 2π; We werken in [−π, π]; y′ = 4 sin x

(1−2 cos x)2 ; y′′ =−4(2 cos2 x+cos x−4)

(1−cos x)3 ;Tabel:

x −π −2π/3 −π/2 −π/3 0 π/3 π/2 2π/3 π

y′ − 0 +√

3/2 + 4 + +∞|+∞ + 0 − −∞| −∞ − −4 − −√

3/2 − 0 +y′′ + + + + − − −∞|+∞ + + + +y − −1/3 − 0 + 1 + +∞| −∞ − −3 − −∞|+∞ + 1 + 0 − −1/3 −

↘ ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ ↘ ↘⋃ ⋃ ⋃ ⋃ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃ ⋃Extrema: maxima: (2kπ,−3); minima: (π + 2kπ,− 1

3 ).Buigpunten: geen

2. Domf = R \ {π2 + 2kπ} ; periode is 2π; We werken in [−π, π]; V.A.: x = π2 + 2kπ y′ = cos x

(1−sin x).| cos x| ;

y′′ = | cos x|(1−sin x)2 ;

x −π −π/2 0 π/2 πy′ − −1 − −1/2|1/2 + 1 + +∞| −∞ − −1 −y′′ + + | + + | + +y + 1 + 0 + 1 + +∞|+∞ + 1 +

↘ ↘ ↗ ↗ ↘ ↘⋃ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃971. Domf = R; de functie is een oneven functie; S.A.: y = x − π voor +∞ en y = x + π voor −∞;y′ = x2−1

x2+1 ; y′′ = 4x(x2+1)2 ; De nulpunten van de functie worden grafisch bepaald. De nulpunten zijn de

absissen van de snijpunten van de rechte y = x2 en de grafiek van de arcustangensfunctie. We vinden

x ≈ 2, 25, x ≈ −2, 25 en x = 0.


Tabel:x −2, 25 −1 0 1 2, 25y′ + 0, 67 + 0 − −1 − 0 + 0, 67 +y′′ − − − 0 + + +y − 0 + π/2− 1 + 0 − 1− π/2 − 0 +

↗ ↗ ↘ ↘ ↗ ↗⋂ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃ ⋃Extrema: maximum: (−1, π2 − 1); minimum: (1, 1− π

2 ). Buigpunt: (0, 0) met richtingscoefficient van debuigraaklijn −1.

5. Domf =⋃k∈Z[−π3 +kπ, π3 +kπ]; periode is π; We werken in [−π2 ,

π2 ]; de functie is even; y′ = 3 sin 4x

2√

1+2 cos 2x;

y′′ = 6(3 cos3 2x+2 cos2 2x−cos 2x−1)

(1+2 cos 2x)√

1+2 cos 2x; De teller, beschouwd als een derde graad in cos 2x heeft 1 nulpunt nl.

cos 2x = 0, 65.Tabel:

x −π/2 −π/3 −π/4 −0, 43 0 0, 43 π/4 π/3 π/2y′ ||| | ||| |+∞ + 0 − −0, 98 − 0 + 0, 98 + 0 − −∞ ||| | |||y′′ ||| | ||| | − − 0 + + 0 − − ||| | |||y ||| |3 ||| 0 + 1/2 + 0, 27 + 0 + 0, 27 + 1/2 + 0 ||| | |||

↗ ↘ ↘ ↗ ↗ ↘⋂ ⋂ ⋃ ⋃ ⋂ ⋂Extrema: minima: (kπ, 0); maxima: (−π4 + kπ, 1

2 ) en (π4 + kπ, 12 )

Buigpunten: (−0, 43 + kπ; 0, 27) en (0, 43 + kπ; 0, 27). met r.c. van de buigraaklijn resp. −0, 98 en 0, 98.

3. y = 2 cosx + ln(tan x2 ), domf =

⋃k∈Z]2kπ, π + 2kπ[, periode 2π, we werken in ]0, π[, V.A.: x = 0 en

x = π, punt van symmetrie (π2 , 0), y′ = 1−2 sin2 xsin x , y′′ = − (2 sin2 x+1) cos x

sin2 x,

x 0 π/11 π/4 π/2 3π/4 10π/11 πy′ ||| +∞ + 2, 9 + 0 − −1 − 0 + 2, 9 + +∞ |||y′′ ||| − − − 0 + + + |||y ||| −∞ − 0 + 0, 5 + 0 − −0, 5 − 0 + +∞ |||

↗ ↗ ↘ ↘ ↗ ↗⋂ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃ ⋃

Hoofdstuk 5

Differentialen

5.1 Differentialen en foutberekening

5.1.1 De differentiaal

De notatie van Leibniz dy/dx voor afgeleide stelt in eerste instantie geen quotient voor.We zullen nu aan dy en dx een betekenis geven zodat we deze notatie wel als een quotientkunnen opvatten, m.a.w. dat het quotient dy/dx gelijk is aan de afgeleide .We beschouwen een afleidbare functie y = f(x).De grootheid dx is een onafhankelijke variabele grootheid, die dus alle reele waarden kanaannemen zoals ∆x. We kunnen daarom dx = ∆x nemen. Deze grootheid dx = ∆xnoemen we de differentiaal van x. De grootheid dy = f ′(x).dx noemen we de differen-tiaal van de functie f . De differentiaal is een afhankelijk veranderlijke grootheid, zehangt af van de waarde van dx alsook van het punt van het domein van de functie waarde afgeleide functie beschouwd wordt.

Voorbeeld: We beschouwen de functie y = x2 − 1. De differentiaal van de functie is

dy = 2xdx

Nemen we het punt 2 van het domein en dx = 0, 5 dan is de waarde van de differentiaaldy gelijk aan 2× 2× 0, 5 = 2.

5.1.2 Rekenregels met differentialen

STELLING 5.1 Zijn voor de functies f en g de voorwaarden voor continuıteit en af-leidbaarheid vervuld dan gelden de volgende regels:

∀r, s ∈ R : d(rf + sg) = rdf + sdg

135

136 HOOFDSTUK 5. DIFFERENTIALEN

d(f.g) = f.dg + g.df

d

(f

g

)=g · df − f · dg

g2

d(g ◦ f) = g′(f).df

Bewijs: De rekenregels voor het differentieren volgen onmiddellijk uit de rekenregels voorafgeleiden waarbij we rekening houden met de definitie f ′dx = df en g′dx = dg.

5.1.3 Differentialen van de voornaamste functies

∀q ∈ Q : dxq = qxq−1dx ∀q ∈ Q : df q = qf q−1df

In het bijzonder is

d√x = dx

2√x

d√f = df

2√f

d sinx = cosx.dx d sin f = cos f.dfd cosx = − sinx.dx d cos f = − sin f.df

d tanx =dx

cos2 x= sec2 x.dx = (1 + tan2 x).dx

d tan f =df

cos2 f= sec2 f.df = (1 + tan2 f).df

d cotx = − dx

sin2 x= − csc2 x.dx = −(1 + cot2 x)dx

d cot f = − df

sin2 f= − csc2 f.df = −(1 + cot2 f)df

d secx = secx. tanx.dx d sec f = sec f. tan f.dfd cscx = − cscx. cotx.dx d csc f = − csc f. cot f.df

d arcsinx = dx√1−x2 d arcsin f = df√

1−f2

d arccosx = − dx√1−x2 d arccos f = − df√

1−f2

d arctanx = dx1+x2 d arctan f = df

1+f2

d arccotx = − dx1+x2 d arccot f = − df

1+f2

5.1. DIFFERENTIALEN EN FOUTBEREKENING 137

Figuur 5.1: y = lnx en y′ = 1x

y = ln |x| en y′ = 1x

d(loga x) = dxx ln a

(x > 0) d(loga f) = dff ln a

(f > 0)

d lnx = dxx

(x > 0) d ln f = dff

(f > 0)

d(loga |x|) = dxx ln a

d(loga |f |) = dff ln a

d ln |x| = dxx

d ln |f | = dff

Opmerking: De functie y = loga x met a ∈ R \ {0} zijn restricties tot R+ van de functiey = loga |x|. De afgeleide functie van y = loga |x| is y = 1

x ln aen de afgeleide functie van

y = loga x is de restrictie daarvan tot R+.

dax = ax. ln a.dx daf = af . ln a.dfdex = ex.dx def = ef .df

d sinhx = coshx.dx d sinh f = cosh f.dfd coshx = sinhx.dx d cosh f = sinh f.dfd tanhx = sech2x.dx d tanh f = sech2f.dfd cotx = −cosech2x.dx d cot f = −cosech2f.dfdsechx = −sechx. tanhx.dx dsechf = −sechf. tanhf.dfdcosechx = −cosechx.cotanhx.dx dcosechf = −cosechf.cotanhf.df

d sinh−1 x = d ln(x+√x2 + 1) =

dx√x2 + 1

d sinh−1 f = d ln(x+√f2 + 1) =

df√f2 + 1

d cosh−1 x = d ln(x+√x2 − 1) =

dx√x2 − 1


d cosh−1 f = d ln(f +√f2 − 1) =

df√f2 − 1

d tanh−1 x = d(12

ln1 + x

1− x) =

dx1− x2

(x2 < 1)

d tanh−1 f = d(12

ln1 + f

1− f) =

df1− f2

(f2 < 1)

d coth−1 x = d(12

lnx+ 1x− 1

) =dx

1− x2(x2 > 1)

d coth−1 f = d(12

lnf + 1f − 1

) =df

1− f2(f2 > 1)

dsech−1x = d(ln1 +√

1− x2

x) =

−dxx√

1− x2(0 < x ≤ 1)

dsech−1f = d(ln1 +√

1− x2

f) =

−df

f√

1− f2(0 < f ≤ 1)

dcosech−1x = d ln(1x

+√

1 + x2

|x|) =

−dx|x|√

1 + x2(x 6= 0)

dcosech−1f = d ln(1f

+

√1 + f2

|f |) =

−df

|f |√

1 + f2(f 6= 0)

Berekenen we de volgende differentialen zonder de beperkingen voor x dan verkrijgen wede volgende formules:

d ln(x+√x2 + 1) = dx√

x2+1d ln(f +

√f 2 + 1) = df√

f2+1

d ln(x+√x2 − 1) = dx√

x2−1d ln(f +

√f 2 − 1) = df√

f2−1

d(12

ln |1+x1−x |) = dx

1−x2 d(12

ln |1+f1−f |) = df

1−f2

d(1+√

1−x2

x) = −dx

x√

1−x2 d(1+√

1−f2

f) = −df

f√

1−f2

d(1+√

1+x2

x) = −dx

x√

1+x2 d(1+√

1+f2

f) = −df

f√

1+f2


OPGAVEN — 98 Bepaal de differentiaal van de volgende functies:1. y =

√x−3x 10. y = x. sinx

2. y = xx 11. y = x2e2x cos 3x

3. y = arctan 3x2 12. y = arccot 1+x1−x

4. y = x√a2 − x2 + a2. arcsin x

a 13. y = 1ab arctan( ba tanx)

5. y = ln2(x+ 3) 14. y = ln((x3 + 2)(x2 + 3))

6. y = ln(sin 3x) 15. y = a3x2

7. y = e−12x 16. y = e−x.lnx

8. y = sec3√x 17. y =

√csc 2x

9. y = cos xx 18. y =

√x+√

2x− 1

Oplossingen: 98

1. dy = 6−x2x2√x−3

dx 10. dy = (x. cosx+ sinx)dx2. dy = xx(1 + lnx)dx 11. dy = x2e2x cos 3x( 2

x + 2− 3 tan 3x)dx3. dy = 6x

1+9x4 dx 12. dy = −dx1+x2

4. dy = 2√a2 − x2dx a > 0; dy = −2x2

√a2−x2 dx a < 0 13. dy = dx

a2 cos2 x+b2 sin2 x

5. dy = 2 ln(x+3)x+3 dx 14. dy = ( 3x2

x3+2 + 2xx2+3 )dx

6. dy = 3 cot 3xdx 15. dy = 6 ln a.x.a3x2dx

7. dy = − 12e− 1

2xdx 16. dy = ( e−x

x − e−x lnx)dx

8. dy = 32√x

sec3√x. tan

√xdx 17. dy = −

√csc 2x. cot 2x.dx

9. dy = −x sin x−cos xx2 dx 18. dy =

√2x−1+1

2√

(2x−1)(x+√

2x−1)dx


5.1.4 Meetkundige betekenis van de differentiaal

De meetkundige betekenis van de differentiaal wordt getoond in figuur 5.2.

Figuur 5.2: De meetkundige betekenis van de differentiaal

De afgeleide f ′(x) is de richtingscoefficient van de raaklijn in het punt (x, f(x)) aan degrafiek van de functie. Bij een toename ∆x = dx van x hebben we op de raaklijn eentoename van dy vermits f ′(x) = dy/dx. We zien dat voor een toename dx = ∆x van xde toename ∆y van de functie f meestal niet dezelfde is als de toename op de raaklijn.We zien ook dat voor heel kleine toenamen van x de waarde van dy een benadering kanzijn voor ∆y.We kunnen dus zeggen dat als dx = ∆x en dx nadert naar nul geldt

dy ≈ ∆y

We kunnen de differentiaal van een functie dus gebruiken om een benadering te geven vaneen functietoename.

∆f = f(x+ ∆x)− f(x)

endy ≈ f(x+ ∆x)− f(x)

Voorbeelden:

• We vergelijken de toename van de functiewaarde en de differentiaal van de functiey = x2 − 1 in het punt 2 bij een toename van de x-waarde met 0,1.

∆y = (2, 12 − 1)− (22 − 1) = 0, 41


endy = 2xdx = 2× 2× 0, 1 = 0, 4.

De benadering is reeds goed maar zal nog beter zijn als ∆x nog kleiner genomenwordt. Beschouwen we in het punt 2 nu een toename 0,01.

∆y = (2, 012 − 1)− (22 − 1) = 0, 0401

endy = 2xdx = 2× 2× 0, 01 = 0, 04.

• We spannen een koord rond de aarde langs de evenaar, vervolgens maken we dezekoord met 1m groter. Hoeveel mm zal men de koord overal op aarde kunnen optillen?

Oplossing: De omtrek y van cirkel is functie van de straal R.

y = 2πR

dy = 2πdR

Hier wordt de toename van de functie gegeven.

dy = 2πdR = 1

Waaruit volgt dat de toename van de straal gelijk is aan

dR =1

2π= 0, 16m = 16cm

Deze toename van de straal is onafhankelijk van de straal van de cirkel. Voor eenkleine cirkel vergroot de straal ook met 16cm als we de omtrek met 1m groter maken.Werken we met de exacte toenamen dan is

∆y = 2π(R + ∆R)− 2πR = 2π∆R = 1

Hier zijn de benaderde waarden gelijk aan de exacte waarden. Dit is omdat defunctie een eerstegraadsfunctie is en daar is de toename op de raaklijn dezelfde alsvoor de functie.


5.1.5 Benaderen van functiewaarden

Is een functie y = f(x) een afleidbare functie en kennen we van deze functie de functie-waarde in een bepaalde x-waarde, dan kunnen we een benadering geven van een naburigefunctiewaarde d.m.v. de differentiaalrekening.

f(x+ ∆x) ' f(x) + df

Met deze benadering vervangen we in feite de grafiek van de functie in de omgeving vanhet beschouwde punt door de raaklijn in dat punt aan de grafiek. De benadering van eennaburige functiewaarde is de corresponderende waarde y-waarde op de raaklijn.

Voorbeelden:

• Bereken de volgende uitdrukking tot op drie beduidende cijfers nauwkeurig√

1 + 10−12 − 1.

Oplossing: Op de rekenmachine krijgen we voor deze uitdrukking de waarde nul.We beschouwen de functie y =

√1 + x. Voor x = 0 kennen we de functiewaarde,

nl. f(0) = 1. De gevraagde waarde is de toename van de functiewaarde voor eentoename van x gelijk aan dx = 10−12.

f(0 + 10−12)− f(0) ' df

waarbij de differentiaal van de functie moet genomen worden in 0.√

1 + 10−12 − 1 ' d√

1 + x

waarbij de differentiaal van de functie moet genomen worden in 0.

De differentiaal van de functie y =√

1 + x is

dy =1

2√

1 + xdx

We nemen de raaklijn voor x = 0.

dy =10−12

2= 5.10−13

• Bereken een benaderde waarde voor 3√

1001.

Oplossing: We beschouwen de functie y = 3√x. De functiewaarde voor x = 1000

is gekend en gelijk aan 10. We moeten de functiewaarde kennen in 1001. Dit is vooreen toename van de x-waarde dx = 1.

f(1000 + 1) ' f(1000) + df



3√

1001 ' 3√

1000 + d 3√x


Een benadering voor de toename van de functiewaarde wordt gegeven door

dy =1

33√x2

dx =1

300= 0, 0033333...

3√

1001 = 10, 0033333...

De waarde op de rekenmachine geeft 10,00333222.

OPGAVEN — 99 Gebruik differentialen om een benadering te vinden voor de verandering of de toe-name

a. van 3x als x verandert van 2 tot 2,5;

b. van x3 als x verandert van 5 tot 5,01.

100 Een cirkelvormige metalen plaat zet uit onder invloed van de warmte zodat de straal toeneemt van5 cm tot 5,06 cm. Bereken een benadering voor de toename van de oppervlakte van de plaat.

Oplossingen:

99 a. 1,5; b. 0,75100 0,6π cm2 = 1,88 cm2.


5.1.6 Absolute, relatieve fout en procentuele fout bij metingen

Voeren we een berekening uit met grootheden die met een zekere nauwkeurigheid ±∆xgemeten worden dan zit op het resultaat N van deze berekening een maximale fout die wede absolute fout op N noemen. De absolute fout is een positieve grootheid die berekendkan worden door middel van de differentiaal.De relatieve fout op N is de fout gezien t.o.v. de grootte van het resultaat N , de relatievefout is het quotient van de absolute fout op N en |N |.

RF =AF

|N |.

De procentuele fout is het produkt van de relatieve fout met 100.

PF = 100× RF.

Voor absolute en relatieve fouten zijn volgende rekenregels geldig:

AF(x± y) = AF(x) + AF(y)

RF(x.y) = RF(x) + RF(y)

RF(x

y) = RF(x) + RF(y).

Om de absolute fout van een som, een verschil, een produkt en een quotient te berekenenkunnen we de rekenregels voor differentialen als volgt aanwenden: De rekenregel

d(x± y) = dx± dy

wordt voor absolute fouten

AF(x± y) = AF(x) + AF(y).

De rekenregeld(x.y) = x.dy + ydx


AF(x.y) = |x|AF(y) + |y|AF(x).

De rekenregel

d(x

y) =

y.dx− xdy

y2


AF(x

y) =|y|AF(x) + |x|AF(y)

y2.


Voorbeelden:

• De zijde van een kubus is 28 cm, gemeten met een nauwkeurigheid van 1mm. Be-reken de absolute fout op de het volume van de kubus en de oppervlakte van dekubus.

Oplossing: Het volume V van de kubus is

V = z3 = 283 cm3 = 21952 cm3 = 21, 952 l

De absolute fout op het volume is

AF(z3) = 3z2 · AF(z) = 3× 282 × 0, 1 cm3 = 235, 2 cm3 = 0, 2352 l.

V = 21, 9 l± 0, 3 l

De relatieve fout is

RF(V ) =0, 3

21, 9= 0, 013.

De procentuele fout isPF(V ) = 1, 3%.

• Beschouwen we nu in het vorig voorbeeld een kleinere kubus met een zijde van 5cmdan zal de absolute fout kleiner zijn maar de relatieve fout en de procentuele foutzal veel groter zijn. We verkrijgen

AF(V ) = 3× 52 × 0, 1 cm3 = 7, 5 cm3

V = 53 cm3 = 125 cm3 ± 8 cm3.

RF(V ) = 0, 064

PF(V ) = 6, 4%.

Bereken zelf de AF, RF en PF op de oppervlakte van de kubus.

• Een bol ijs met een omtrek van 31cm is gemeten met een nauwkeurigheid van 5mm.Bereken de absolute fout op het volume van de bol ijs.Oplossing: Het volume V van de bol is{

V = 43πR3

T = 2πR=⇒ V =

T 3

6π2

De absolute fout op het volume is

AF(T 3

6π2) =

3T 2

6π2· AF(T ) =

312

2π2× 0, 5 cm3 = 24, 3 cm3


Het volume van de bol ijs is

V = 503 cm3 ± 25 cm3

De relatieve fout is

RF(V ) =25

503= 0, 05.

De procentuele fout isPF(V ) = 5%.

• Van een holle cilinder is gegeven:

a. de binnendiameter Di: 25 cm ± 0,01 cm;

b. de buitendiameter Du: 30 cm ± 0,02 cm;

c. de hoogte h: 1 m ± 1 mm;

d. de massadichtheid ρ: (7,80 ± 0,02) kg/dm3.

Bereken de absolute fout, de relatieve fout en de procentuele fout op de massa vande holle cilinder.Oplossing: De massa M van de holle cilinder is:

M =π

4(D2

u −D2i ) · h · ρ

De massa van de holle cilinder is gelijk aan 168,467906 kg.De absolute fout op de massa is:

AF(M) =π

4

((AF(D2

u) + AF(D2i )) · h · ρ+ (D2

u −D2i )AF(h) · ρ+ (D2

u −D2i ) · h · AF(ρ)

)=

π

4

((2Du · AF(Du) + 2Di · AF(Di)) · h · ρ+ (D2

u −D2i )AF(h) · ρ

+(D2u −D2

i ) · h · AF(ρ))

=π

4

((2.30 · 0, 02 + 2 · 25 · 0, 01) · 100 · 0, 0078

+(900− 625) · 0, 1 · 0, 0078 + (900− 625) · 100 · 0, 00002)

kg

= 1, 641874861 kg

De massa van de holle cilinder is

168 kg± 2 kg

De relatieve fout:

RF(M) =2

168= 0, 01

De procentuele fout isPF(V ) = 1%.


OPGAVEN — 101 De straal van een cirkel is te meten en de oppervlakte te berekenen. Als de straalkan gemeten worden op 0,001 m nauwkeurig en de oppervlakte moet nauwkeurig zijn op 0,1 m2, welke isdan de maximale straal waarvoor deze nauwkeurigheid voor de oppervlakte nog kan voldaan zijn.

102 De snelheid (m/sec) bereikt door een vallend lichaam op een hoogte van h m wordt gegeven doorv =√

64, 4h. Bereken de fout op de snelheid bij een hoogte van 100 m als de fout op de hoogtemeting0,5 m bedraagt.

103 Een bol ijs met straal 10 cm smelt tot een bol met straal 9,8 cm. Geef een benadering voor devermindering in volume en oppervlakte.

104 Als PV = 20 en P = 5, 00± 0.02, zoek dan V en de fout op V .

105 Als F = 1r2 en F = 4, 00± 0, 05, zoek dan r en de fout op r.

Oplossingen:101 16m (15,915 m)102 0,2 m/sec, v = 80, 2± 0, 2103 80π cm3 en 16πcm2

104 V = 4, 00± 0, 02105 r = 0, 500∓ 0, 003

AN II HUISTAAK 11 1. Gegeven: x = 5, 321± 0, 001 en y = 0, 1523± 0, 0001.Bereken: x

log yen bepaal bij benadering de absolute en relatieve nauwkeurigheid van

het resultaat.

2. Van een balk zijn de afmetingen a, b en c: a = 7, 14m, b = 1, 12m en c = 2, 17m.Elke afmeting vergroten we met 1cm. Bereken de totale oppervlakte van de balk engeef de maximale absolute, relatieve en procentuele toename van deze oppervlakted.m.v. de differentiaalrekening.

Hoofdstuk 6

Integralen

6.1 Inleidende voorbeelden

Het begrip afgeleide werd ingeleid met de snelheid van een beweging. Op een tijdstip t isde snelheid de richtingscoefficient van de raaklijn in het punt (t, x) aan de grafiek van deplaatsfunctie x(t). De snelheidsfunctie v(t) is de afgeleide functie is van de plaatsfunctiex(t) naar de tijd.Met de notatie van Leibniz kunnen we schrijven:

vx =dx

dt

waarbij het tweede lid werkelijk een quotient voorstelt.De afgeleide functie van een functie is een hellingsfunctie of snelheidsfunctie.

We zullen aantonen met de volgende voorbeelden dat omgekeerd geldt:Een primitieve functie van een functie is een oppervlaktefunctie.

1. Twee fietsers Stephanie en Kristof fietsen met een snelheid van resp. 20 km per uuren 28 km per uur langs de ’Vlaanderen fietsroute’ van Gent naar Brugge. In Aalterop tijdstip t = 0 rijdt Stephanie daar voorbij. Na 20 min rijdt Kristof op dezelfdeplaats voorbij. Waar en na hoeveel tijd zal Kristof Stephanie ingehaald hebben?

Oplossing: De snelheidsfunctie vx(t) is gegeven en we willen daaruit de plaats-functie x(t) bepalen.

dx = vxdt. (6.1)

In het voorbeeld zijn de snelheden van de fietsers constant. Drukken we de snelheiduit in km/min dan hebben de snelheidsfuncties als voorschrift resp.

vx(t) =20

60=

1

3en vx(t) =

28

60=

7

15.

149

150 HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN

T.o.v. een (t, x)-coordinatenstelsel is de grafiek van elk van deze snelheidsfunctieseen rechte parallel met de t-as. Het verband (6.1) wordt

dx =1

3dt voor Stephanie en dx =

7

15dt voor Kristof.

Deze betrekkingen tonen aan op grafiek dat de afgelegde weg voor een toename vande tijd gelijk is aan de oppervlakte tussen de grafiek van de snelheidsfunctie en det-as in het beschouwde tijdsinterval.

Voor Stephanie is de positie gelijk aan 0 op tijdstip t = 0.De afgelegde weg tussen t = 0 en bvb. t = 5 is gelijk aan 1

3· 5.

Dit is de oppervlakte onder de grafiek van de snelheidsfunctie v(t) = 13

in het interval[0, 5].De afgelegde weg tussen t = 0 en bvb. t = 15 is gelijk aan 1

3· 15 = 5.

Dit is de oppervlakte onder de grafiek van de snelheidsfunctie v(t) = 13

in het interval[0, 15].

Voor Kristof is de positie gelijk aan 0 op tijdstip t = 20. De afgelegde weg tussent = 20 en bvb. t = 25 is gelijk aan 7

15· (25 − 20) = 7

3. Dit is de oppervlakte onder

de grafiek van de snelheidsfunctie v = 715

in het interval [20, 25]. De afgelegde wegtussen t = 20 en bvb. t = 35 is gelijk aan 7

15· (35 − 20) = 7. Dit is de oppervlakte

onder de grafiek van de snelheidsfunctie v(t) = 715

in het interval [20, 35].

In wiskunde hebben we voor deze oppervlakte een speciale notatie.Voor Stephanie is de positie x op tijdstip t1 gelijk aan∫ t1

0

1

3· dt =

1

3t1

Voor Kristof is de positie op tijdstip t1 gelijk aan∫ t1

20

7

15· dt =

7

15(t1 − 20)

6.1. INLEIDENDE VOORBEELDEN 151

De grafieken van de plaatsfuncties zijn twee rechten die elkaar snijden op het tijdstipdat

1

3t =

7

15(t− 20)⇐⇒ t = 70

Dit is 703≈ 23, 3 · · · km verwijderd van Aalter.

2. Een ballon bevindt zich op 800 m hoogte. Een pakje wordt gedropt uit de ballon.Wat is de afstand afgelegd na 2 seconden? Hoelang duurt het voor het pakje op degrond valt?

Oplossing: De valbeweging is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging, ditbetekent dat de snelheid eenparig toeneemt met de tijd volgens de wet (we houdengeen rekening met de wrijving):

vx(t) = 9, 81 · t

De snelheid wordt uitgedrukt in meter per seconde. De waarde v = 9, 81 · t groeitlineair met de tijd. De grafiek van de snelheid is een rechte door de oorsprong meteen richtingscoefficient gelijk aan 9, 81. De positie van het pakje is 0 op tijdstipt = 0. De positie op t = 2 is gelijk aan de oppervlakte tussen de grafiek van vx ende t-as in het interval [0, 2]. Dit vlakdeel is een driehoek waarvan de oppervlaktegelijk is aan

1

22 · 9, 81 · 2 = 19, 62

De positie op t = 2 is gelijk aan 19,62.Algemeen is de positie op t seconde:∫ t

0

(9, 81 · t)dt =1

29, 81 · t2.

De oppervlakte groeit echter niet gelijkmatig met de tijd maar evenredig met hetkwadraat van de tijd.

Het pakje valt op de grond als zijn positie gelijk is aan 800.

1

29, 81 · t2 = 800⇐⇒ t2 = 163, 09

Na 13 seconden is het pakje reeds op de grond gevallen.


3. Water stroomt met een debiet van 20 liter per minuut in een recipient. Na 5 minutenis het vol. Gedurende 1 minuut draai je de kraan zacht dicht. Na 10 minuten laatje het water weg met een debiet van 10 liter per minuut.Gevraagd: Hoeveel water is er in het recipient na 1, 5, 6, 15, 20 minuten? Teken degrafiek van het watervolume.

4. Een lichaam verplaatst zich rechtlijnig over een afstand ∆x onder invloed van eenconstante kracht in de richting van de beweging. De arbeid verricht door het lichaambij deze verplaatsing is gelijk aan het produkt van de krachtcomponent F en degetalcomponent ∆x van de verplaatsing.

W = Fx.∆x

Zetten we de kracht uit in functie van de positie dan is de kracht als functie van deverplaatsing een constante functie. De arbeid geleverd om een lichaam te verplaatsenvan een positie xA naar een positie xB is gelijk aan de oppervlakte van het vlakdeeltussen de grafiek van de constante functie Fx en de x-as in het interval [xA, xB] metxB − xA = ∆x.

Beschouwingen bij de voorbeelden

Voor een willekeurige rechtlijnige beweging geldt

dx = vx.dt (6.2)

We weten dat voor zeer kleine toenamen van de x-waarde de differentiaal van de functieeen goede benadering is van de toename van de functie. Dus

dx ≈ ∆x en dt = ∆t.

Zoals de differentiaal is de integraal een operator die de inverse is van de differentiaal.Nemen we van beide leden van 6.2 de integraal en houden we rekening met het feit dat

6.1. INLEIDENDE VOORBEELDEN 153

de integraal de differentiaal opheft dan kunnen we de notatie gebruikt in de voorbeeldenverklaren. Als op tijdstip t0 de positie gelijk is aan 0 dan is de positie op tijdstip t gelijkaan ∫ x

0

dx =

∫ t

t0

vx · dt

m

x =

∫ t

t0

vx · dt.

Hier is x de primitieve functie van vx die nul is voor t = t0.Bij Stephanie hebben we de primitieve functie gebruikt die 0 wordt voor t = 0. Deondergrens van de integraal is dan gelijk aan 0.Bij Kristof hebben we de primitieve gebruikt die 0 wordt voor t = 20. De ondergrens vande integraal is dan gelijk aan 20.

Om de aandacht te vestigen zullen we deze intuıtieve benadering nog eens toepassen opeen vraagstukje uit de fysica in verband met arbeid.De getalcomponent Fx van een kracht verandert als functie van de plaats volgens debetrekking: Fx = 3x2 − 5. Bereken de ontwikkelde arbeid op een voorwerp als hetbeweegt van x = 4 tot x = 7 (x wordt uitgedrukt in meter).

Oplossing: De geleverde arbeid is

W =

∫ 7

4

(3x2 − 5)dx

Een primitieve functie van f : y = 3x2 − 5 is de functie y = x3 − 5x. We berekenen defunctiewaarden van deze primitieve functie in de grenswaarden 4 en 7.Voor x = 7 is de waarde van de primitieve functie gelijk aan 73 − 35 = 308.Voor x = 4 is de waarde van de primitieve functie gelijk aan 43 − 20 = 44. De arbeid isdan gelijk aan het verschil van die functiewaarden.

W = 308− 44 = 264

De geleverde arbeid is 264 Joule.


6.2 Primitieve functies

We zullen een primitieve functie F van f moeten kunnen bepalen om de oppervlaktete bepalen onder de grafiek van de functie f . Zoals we bij het differentieeren van eenfunctie, de afgeleide functie bepalen, zullen we bij het integreren van een functie, eenprimitieve functie bepalen.Bij het differentieren bepalen we een snelheidsfunctie en bij het integreren bepalen we eenoppervlaktefunctie.

Het differentieren is een operatie op een functie en de operator stellen we voor door “d”.Het integreren is een operatie op een functie en de operator stellen we voor door “

∫”.

Deze twee operatoren zullen elkaar opheffen.

Het is onmiddellijk duidelijk dat, als twee functies slechts verschillen door een constantefunctie, ze dezelfde afgeleide functie hebben.

We hebben de volgende stelling gezien:

STELLING 6.1 Als een functie f continu is in een interval [a, b] en de afgeleide van fis gelijk aan 0 in [a, b] dan is de functie f constant in [a, b].

STELLING 6.2 Zijn twee functies continu in een interval [a, b] dan hebben ze dezelfdeafgeleide functie in dat interval [a, b] als en slechts als ze verschillen door een constantefunctie.

Voorbeeld: De functie y = x2 is de afgeleide functie van alle functies y = x3

3+k met k ∈ R.

Figuur 6.1: primitieve functies van y = x2

Een functie F is een primitieve functie van de functie f als en slechts als F ′ = f ofdF = fdx.

6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL 155

6.3 Onbepaalde integraal

6.3.1 Definitie

Is F een primitieve functie van de functie f , dan is de verzameling van alle primitievefuncties van f de onbepaalde integraal van f .

Met symbolen: ∫fdx = {F + k : dF = fdx}

We schrijven in ’t vervolg kort: ∫fdx = F + k

Het zoeken naar een primitieve functie noemen we de functie integreren. Kennenwe een primitieve functie dan kennen we alle primitieve functies. De functie na hetintegraalteken wordt de integrant genoemd. De reden waarom we eerder een differentiaaldan een functie zelf integreren is tweeerlei. Ten eerste is het handig voor de berekeningvan een integraal om over de dx te beschikken (zie later); ten tweede is het historischgegroeid: geschiedkundig volgt de onbepaalde integraal uit de bepaalde integraal en wezullen zien in het volgend hoofdstuk dat “dx” een overblijfsel is van een limietovergangbij verandering van notatie (zie later).

6.3.2 Eigenschappen van de onbepaalde integraal

STELLING 6.3 d(∫fdx) = fdx.

Bewijs: F is een primitieve functie van f . Hieruit volgt dat

dF = fdx

en ∫fdx = F + k

Nemen we van beide leden de differentiaal dan krijgen we

d

∫fdx = d(F + k) = fdx.

STELLING 6.4∫

dF = F + k.


Bewijs: Volgt onmiddellijk uit de definitie:∫fdx = F + k en dF = fdx.

STELLING 6.5∫

(r · f + s · g)dx = r ·∫fdx+ s ·

∫gdx.

Bewijs:1ste lid: ∫

(r · f + s · g)dx =∫

(r · dF + s · dG)=

∫d(r · F + s ·G)

= r · F + s ·G+ k

2de lid:r ·∫fdx+ s ·

∫gdx = r ·

∫dF + s ·

∫dG

= r · F + k′ + s ·G+ k′′

= r · F + s ·G+ k

of op een andere manier vertrekkende van de regel van de differentiaal van een lineairecombinatie:

d(r · F + s ·G) = r · dF + s · dG

We nemen van beide leden de integraal.∫d(r · F + s ·G) =

∫(r · dF + s · dG)

m

r · F + s ·G+ k =

∫(r · dF + s · dG)

m

r ·∫fdx+ s ·

∫g.dx = r ·

∫fdx+ s ·

∫gdx

�

STELLING 6.6 ∫f · dg = f · g −

∫g · df

Bewijs: We vertrekken terug van de regel van de differentiaal van een produkt van tweefuncties:

d(f · g) = f · dg + g · df

We nemen van beide leden de integraal∫d(f · g) =

∫f · dg +

∫g · df


m

f · g + k =

∫f · dg +

∫g · df

m∫f · dg = f · g −

∫g · df

De konstante k wordt opgeslorpt in∫g · df .

STELLING 6.7∫

(g ◦ f) · f ′dx =∫g(f) · df = G(f) + k met G′ = g

Bewijs:

d(G ◦ f) = G′(f) · df = g(f) · df = (g ◦ f) · f ′dx

Hierbij zijn f en g ◦ f functies van x, terwijl g een functie is van y = f(x). �

Opmerkingen:

* Uit stelling 6.3 een 6.4 volgt dat differentieren en integreren inverse bewerkingen zijn.De differentiaal en de integraal van een functie heffen elkaar op als het integraaltekenna het differentiaalteken komt en heffen elkaar op, op een reele constante term naals het differentiaalteken na het integraalteken komt.

* Kunnen we twee functies integreren, dan kunnen we tevens elke lineaire combina-tie van deze functies integreren, d.w.z. dat het interessant is van een functie tesplitsen in een lineaire combinatie van functies die gemakkelijker te integreren zijn.De integratie door toepassen van stelling 6.5 wordt de integratie door splitsinggenoemd.

* Is de integraal∫g · df gekend, dan kunnen we daaruit de integraal

∫f · dg bepa-

len met stelling 6.6. We kunnen dus een onbekende integraal∫f · dg gedeeltelijk

integreren door de functies f en g te verwisselen volgens stelling 6.6. De nieuwe in-tegraal

∫g · df mag niet moeilijker te bepalen zijn dan de oorspronkelijke integraal∫

f ·dg. De integratie door toepassen van stelling 6.6 wordt de partiele integratiegenoemd.

* Is de integrant een produkt van twee functies, waarbij de ene functie de samenstellingg ◦ f is van twee functies en de andere functie is de afgeleide functie van de functief , dan kunnen we de integratie vereenvoudigen door de tweede factor gedeeltelijk teintegreren, nl. f ′dx wordt df (we zeggen dat we f ′ na de ”d“ brengen). y = f(x) na


het differentiaalteken is dan de nieuwe veranderlijke bij het integreren. We moetennu nog enkel de functie g, die functie is van y, integreren.∫

(g ◦ f) · f ′dx =

∫g(f)df =

∫g(y)dy = G(y) + k met G′ = g

In het resultaat gaan we over naar de veranderlijke x, we vervangen y door f(x) enwe verkrijgen: ∫

(g ◦ f) · f ′dx = G(f) + k met G′ = g

De integratie door toepassing van stelling 6.7 wordt de integratie door substitutiegenoemd.

6.3.3 Basisintegralen

Uit de differentialen van de voornaamste functies leiden we alle basisintegralen af. Wegroeperen deze basisintegralen volgens het soort functie.

6.3.3.1 Basisintegralen om rationale functies te integreren

∀z ∈ Z \ {−1} :

∫xzdx =

xz+1

z + 1+ k ∀z ∈ Z \ {−1} :

∫f zdx =

f z+1

z + 1+ k

∫dx

1 + x2= arctanx+ k

∫df

1 + f 2= arctan f + k

∫dx

x= ln |x|+ k

∫df

f= ln |f |+ k

In deze formules stelt f een rationale functie voor.

6.3.3.2 Basisintegralen om irrationale functies te integreren

∀q ∈ Q \ {−1} :

∫xqdx =

xq+1

q + 1+ k ∀q ∈ Q \ {−1} :

∫f qdx =

f q+1

q + 1+ k

In het bijzonder is ∫dx√x

= 2√x+ k

∫df√f

= 2√f + k

∫dx√

1− x2= arcsinx+ k

∫df√

1− f 2= arcsin f + k

In deze formules stelt f een algebraısche functie voor.


6.3.3.3 Basisintegralen om goniometrische functies te integreren

∫sinxdx = − cosx+ k

∫sin fdf = − cos f + k∫

cosxdx = sinx+ k∫

cos fdf = sin f + k

∫dx

cos2 x=

∫sec2 xdx =

∫(1 + tan2 x).dx = tanx+ k

∫df

cos2 f=

∫sec2 fdf =

∫(1 + tan2 f).df = tan f + k

∫dx

sin2 x=

∫csc2 xdx =

∫(1 + cot2 x).dx = − cotx+ k

∫df

sin2 f=

∫csc2 fdf =

∫(1 + cot2 f).df = − cot f + k

∫secx. tanx.dx = secx+ k

∫sec f. tan f.df = sec f + k∫

cscx. cotx.dx = − cscx+ k∫

csc f. cot f.df = − csc f + k

6.3.3.4 Basisintegralen om exponentiele functies te integreren

∫axdx =

ax

ln a+ k

∫afdf =

af

ln a+ k

∫exdx = ex + k

∫efdx = ef + k

6.3.3.5 Basisintegralen om hyperbolische functies te integreren

∫sinhxdx = coshx+ k

∫sinh fdf = cosh f + k∫

coshxdx = sinhx+ k∫

cosh fdf = sinh f + k∫sech2x.dx = tanhx+ k

∫sech2f.df = tanh f + k∫

csch2x.dx = − cothx+ k∫

csch2f.df = − coth f + k∫sechx. tanhx.dx = −sechx+ k

∫sechf. tanh f.df = −sechf + k∫

cschx.cotanhx.dx = −cschx+ k∫

cschf.cotanhf.df = −cschf + k


6.3.4 Integratiemethodes

6.3.4.1 Integratie door substitutie

Voorbeelden:

1.∫

sin 2xdx = 12

∫sin 2xd2x = −1

2cos 2x+ k;

2.∫

lnxx

dx =∫

lnxd lnx = 12

ln2 x+ k, hier is 1x

de afgeleide van ln x;

3.∫

tanxdx =∫

sinxcosx

dx = −∫ d cosx

cosx= − ln | cosx|+ k = ln| secx|+ k;

4.∫

51−3xdx = −13

∫51−3xd(1− 3x) = − 1

3 ln 551−3x + k;

5.∫

cos2 x. sin 2xdx = 2∫

cos3 x sinxdx = −2∫

cos3 xd cosx = −12

cos4 x+ k;

6.∫x. cosx2dx = 1

2

∫cosx2dx2 = 1

2sinx2 + k;

7.∫ex cos(ex)dx =

∫cos exdex = sin(ex) + k;

8.∫

secx tanxa+b secx

dx = 1b

∫ d(a+b secx)a+b secx

= 1b

ln |a+ b secx|+ k;

OPGAVEN — 106 Bereken de volgende integralen:

1)∫

2−sin x2x+cos xdx 2)

∫xex

2dx 3)

∫x√

1−x2 dx 4)∫x arcsin x2√

1−x4 dx

5)∫ dxx√

1−ln2 x6)∫

sin(2x)√

1 + cos2 xdx 7)∫

(ex + 5)6exdx

6.3.4.2 Integratie door splitsing

Voorbeelden:

1.∫

(x− 1x)dx =

∫xdx−

∫ dxx

= x2

2− ln |x|+ k;

2.∫ √

x(1− x2)dx =∫ √

xdx−∫x

52 dx = 2

3x√x− 2

7x3√x+ k;

3.∫

sin 3x cos 2xdx = 12

∫(sin 5x+ sinx)dx = − 1

10cos 5x− 1

2cosx+ k;

4.∫

cos2 3xdx =∫

1+cos 6x2

dx = 12x+ 1

12sin 6x+ k;

OPGAVEN — 107 Bereken de volgende integralen:

1)∫

(ex + e3x)2dx 2)∫x3√x2 − a2dx


6.3.4.3 Partiele integratie

Voorbeelden:

1.∫x sinxdx = −

∫xd cosx = −x cosx+

∫cosxdx = −x cosx+ sinx+ k;

2.∫xexdx =

∫xdex = xex −

∫exdx = xex − ex + k;

3.∫x2 lnxdx = 1

3

∫lnxdx3 = 1

3x3 lnx− 1

3

∫x3d lnx

= 13x3 lnx− 1

3

∫x2dx = 1

3x3 lnx− 1

9x3 + k;

4.∫

sin(lnx)dx = x sin(lnx)−∫xd(sin(lnx))

= x sin(lnx)−∫

cos(lnx)dx = x sin(lnx)− x cos(lnx) +∫xd cos(lnx)

Uit∫

sin(lnx)dx = x sin(lnx)− x cos(lnx)−∫

sin(lnx)dx volgt dat∫sin(lnx)dx = 1

2(x sin(lnx)− x cos(lnx)) + k;

5.∫eax sin bxdx = 1

a

∫sin bxdeax = 1

aeax sin bx− 1

a

∫eaxd sin bx

= 1aeax sin bx− b

a

∫eax cos(bx)dx = 1

aeax sin bx− b

a2

∫cos(bx)deax

= 1aeax sin bx− b

a2 eax cos(bx) + b

a2

∫eaxd cos(bx)

= 1aeax sin bx− b

a2 eax cos(bx)− b2

a2

∫eax sin(bx)dx

Uit∫eax sin bxdx = 1

aeax sin bx− b

a2 eax cos bx− b2

a2

∫eax sin bxdx volgt dat

(1 + b2

a2 )∫eax sin bxdx = 1

aeax sin bx− b

a2 eax cos bx+ k of∫

eax sin bxdx = eax(a sin bx−b cos bx)a2+b2

+ k;

6.3.5 Integratie van veeltermfuncties

Om veeltermfuncties te integreren maken we gebruik van de integratie door splitsing ende integratie door substitutie om zodoende de integraal te herleiden tot de basisintegraal:

∀n ∈ N \ {−1} :

∫xndx =

xn+1

n+ 1+ k

Voorbeelden:

1)∫

(4x3 + 5x2 − x+ 5)dx = x4 + 53x3 − x2

2+ 5x+ k 2)

∫(a+ x)3dx = 1

4(a+ x)4 + k

3)∫

(x2 − 1)2dx = x5

5− 2x3

3+ x+ k 4)

∫(4− x2)2x2dx = 16

3x3 − 8

5x5 + 1

7x7 + k

5)∫

(x3 + 3)x2dx = 16(x3 + 3)2 + k 6)

∫(x2 − x)4(2x− 1)dx = 1

5(x2 − x)5 + k

7)∫

(1− x3)2x2dx = −19(1− x3)3 + k 8)

∫(x− 1)6xdx = (x−1)8

8+ (x−1)7

7+ k

9)∫

(3x2 − 6x+ 5)3(x− 1)dx = 124

(3x2 − 6x+ 5)4 + k


6.3.6 Integratie van een rationale breuk

1. De noemer is een eenterm of is door substitutie te herleiden tot een eenterm. Doorsplitsing kan men dan de volgende basisintegralen toepassen:

∀z ∈ Z \ {−1} :

∫xzdx =

xz+1

z + 1+ k

of ∫dx

x= ln |x|+ k

In het geval dat de graad van de teller 1 minder is dan de graad van de noemeren de teller de afgeleide functie is van de noemer (op een constante factor na), dangeeft de integraal ook aanleiding tot een natuurlijke logaritme mits het toepassenvan een substitutie.Voorbeelden:

(a)∫

x5+3x3−1x7 dx = − 1

x− 1

x3 + 16x6 + k;

(b)∫

xdx(1−6x2)3

= 124(1−6x2)2

+ k;

(c)∫ (3x+4)2

x2 dx

(d)∫ (3x+4)2

(x−3)2dx

(e)∫ dx

2x−1= 1

2ln |2x− 1|+ k;

(f)∫

x2dx1−2x3 = −1

6ln |1− 2x3|+ k.

(g)∫ dx

(2−x)5 = 14(2−x)4 + k;

(h)∫

x2−2x+3(x+1)4

dx =∫

u2−4u+6u4 du

= − 1x+1

+ 2(x+1)2

− 2(x+1)3

+ k.

(i)∫ dx

(1−3x)2= 1

3(1−3x)+ k.

Merk op dat in dit voorbeeld de noemer een volkomen kwadraat is.

2. Is de teller een constante en de noemer een kwadratische functie, waarvan de dis-criminant kleiner is dan nul, dan is de integraal te herleiden tot de volgende basis-integraal mits het toepassen van een substitutie.∫

dx

1 + x2= arctanx+ k

Voorbeelden:


(a)∫ dx

a2+b2x2 = 1ab

arctan bxa

+ k;

(b)∫ dx

2x2+2x+5= 1

3arctan 2x+1

3+ k;

Hier gebruiken we de substututie u = 2x+ 1

Het kan gebeuren dat door een substitutie de integraal te herleiden is tot het vorige.Voorbeeld:∫

xdx1+x4 = 1

2arctanx2 + k.

3. Zijn de voorwaarden van de vorige gevallen niet voldaan, dan kunnen we sommigeintegralen wel terug brengen tot deze gevallen door de breuk te schrijven als eensom van breuken die dan wel voldoen aan de voorwaarden van de vorige gevallen.We zeggen dat we de breuk splitsen in partiele breuken.

Methode voor het splitsen in partiele breuken.

Elk rationale breuk waarvan de graad van de teller kleiner is dan de graad van denoemer kan theoretisch geschreven worden als de som van meer eenvoudige breukenwaarvan de noemers van de gedaante zijn (ax + b)n en (ax2 + bx + c)n met n ∈ N.Volgens de aard van de factoren van de noemer kunnen we de volgende gevallenonderscheiden:

* Met elke factor die een keer voorkomt in de noemer correspondeert een partielebreuk van de vorm A

ax+bwaarbij A een te bepalen reeel getal is.

* Met elke lineaire factor die n keer voorkomt in de noemer correspondeert desom van n partiele breuken van de vorm:

A1

ax+ b+

A2

(ax+ b)2+ · · ·+ An

(ax+ b)n

waarbij de Ai te bepalen reele getallen zijn.

Met elke onontbindbare factor ax2 + bx+ c die een keer voorkomt in de noemercorrespondeert een partiele breuk van de vorm:

Ax+B

ax2 + bx+ c

waarbij A en B twee te bepalen reele getallen zijn.

* Met elke onontbindbare kwadratische factor die n keer voorkomt in de noemercorrespondeert de som van n partiele breuken van de vorm:

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Anx+Bn

(ax2 + bx+ c)n

waarbij de Ai en de Bi te bepalen reele getallen zijn.


Voorbeelden:

(a)∫ dx

4x−x2 = 14

ln | x4−x |+ k;

(b)∫ dx

1−x2 = 12

ln |1+x1−x |+ k

(c)∫

x−3x3−x2−2x

dx = 32

∫ dxx− 4

3

∫ dxx+1− 1

6

∫ dxx−2

= 16

ln | x9

(x+1)8(x−2)|+ k;

(d)∫ dx

a2−b2x2 = 12ab

ln |a+bxa−bx |+ k;

(e)∫

4x3−7x2+4x−3x4−2x3+2x2−2x+1

dx = 2∫ dx

x−1−∫ dx

(x−1)2+ 2

∫xdxx2+1

= ln |(x− 1)2(x2 + 1)|+ 1x−1

+ k;

(f)∫ dx

x4+1= 1

2

∫ x/√

2+1

x2+√

2x+1dx+ 1

2

∫ −x/√

2+1

x2−√

2x+1dx. We voeren voor de twee integralen

resp. de substituties u =√

2x+ 1 en u =√

2x− 1 door;∫ dxx4+1

= 14√

2ln x2+

√2x+1

x2−√

2x+1+ 1

2√

2arctan(

√2x+ 1) + 1

2√

2arctan(

√2x− 1) + k;

(g)∫

x5−x4+4x3−4x2+8x−4(x2+2)3

dx =∫

x−1x2+2

dx+ 4∫

x(x2+2)3

dx

= 12

ln(x2 + 2)−√

22

arctan x√2− 1

(x+2)2+ k;

4. * Integralen van de volgende gedaante:

• ∫x+ a

(x2 + px+ q)ndx

Als de teller niet de afgeleide is van x2 + px+ q, dan voeren we de substitutiedoor u = x+ p

2. De integraal krijgt de volgende gedaante:∫

u+ s

(u2 + r)ndu =

∫u

(u2 + r)ndu+

∫s

(u2 + r)ndu

De eerste integraal is onmiddellijk herleid tot een van de twee eerste basis-integralen, de tweede integraal is ingewikkelder en kan opgelost worden doorsplitsing, splitsen in partiele breuken of partiele integratie. Is n groter dan2, dan is het tijdbesparend gebruik te maken van een reductieformule dooropeenvolgend de partiele integratie toe te passen (zie volgend item).

Voorbeeld:∫x+1

x2−4x+8dx = 1

2ln(x2 − 4x + 8) + 3

2arctan x−2

2+ k, de substitutie: u = x − 2

of u = x−22

.


• Reductieformule voor de integralen van de gedaante:

In =

∫dx

(x2 + a2)n

Voorbeeld:∫ dx(x2+a2)n = 1

a2

∫ (x2+a2)−x2

(x2+a2)n dx

= 1a2

∫1

(x2+a2)n−1 dx− 12a2

∫ xd(x2+a2)(x2+a2)n

= 1a2 In−1 − 1

2a2(1−n)

∫xd( 1

(x2+a2)n−1 )

= 1a2 In−1 + x

2a2(n−1)(x2+a2)n−1 − 12a2(n−1)

∫ dx(x2+a2)n−1

= 1a2 (1− 1

2(n−1))In−1 + x

2a2(n−1)(x2+a2)n−1 .

De reductieformule is:

In =2n− 3

2a2(n− 1)In−1 +

x

2a2(n− 1)(x2 + a2)n−1

Vervangen we a2 door −a2 dan verkrijgen we voor de integraal∫dx

(x2 − a2)n

een analoge reductieformule

In = − 2n− 3

2a2(n− 1)In−1 −

x

2a2(n− 1)(x2 − a2)n−1.

Voorbeeld:∫ dx(x2+4)2

= x8(x2+4)

+ 18

∫ dxx2+4

= x8(x2+4)

+ 116

arctan x2

+ k

5. Is in een rationale breuk de graad van de teller groter dan de graad van de noemer,dan voeren we eerst de euclidische deling door. De integrant is herleid tot de som vaneen veeltermfunctie en een rationale breuk waarvan de graad van de teller kleiner isdan de graad van de noemer (geval 1.).

Voorbeelden:

(a)∫

x−1x+1

dx = x− 2 ln |x+ 1|+ k;

(b)∫

5x3−6x+3x2−1

dx = 52x2 + ln | x−1

(x+1)2|+ k;

(c)∫

x4

(1−x)3 dx = −x2

2− 3x− 6 ln |1− x| − 4

x−1+ 1

2(1−x)2 + k.


6.3.7 Integratie van goniometrische functies

1. Substitutiemethode bij het integreren van goniometrische functies

Voorbeeld:∫sin 8x

9+sin2 4xdx = 1

4ln(9+sin2 4x)+k, de substitutie: u = 9+sin2 4x =⇒ du = 4 sin 8x

2. De goniometrische identiteiten spelen een belangrijke rol bij het integreren van go-niometrische integralen. De omgekeerde formules van Simpson laten ons toe eenprodukt van twee goniometrische getallen om te zetten in een som van twee gonio-metrische getallen, de verdubbelingsformules zetten het kwadraat van een gonio-metrisch getal om in een som waarbij het goniometrisch getal in de eerste graadoptreedt, hierbij verdubbelt de hoek.

We herhalen de formules die we hier het meest zullen gebruiken:

sin2 x+ cos2 x = 1 sinx. cos y = 12(sin(x+ y) + sin(x− y))

1 + tan2 x = sec2 x sinx. sin y = −12(cos(x+ y)− cos(x− y))

1 + cot2 x = csc2 x cosx. cos y = 12(cos(x+ y) + cos(x− y))

sin2 x = 12(1− cos 2x) cos2 x = 1

2(1 + cos 2x)

sinx. cosx = 12

sin 2x

Voorbeelden:

(a)∫

cotxdx = ln | sinx|+ k;

(b)∫

secxdx = ln | secx+ tanx|+ k = ln | tan(π4

+ x2)|+ k;

(c)∫

cscxdx = ln | cscx− cotx|+ k = ln | tan x2|+ k;

(d)∫

sin2 xdx = 12x− 1

4sin 2x+ k;

(e)∫

cos5 xdx = sinx− 23

sin3 x+ 15

sin5 x+ k;

(f)∫

sin4 xdx = 38x− 1

4sin 2x+ 1

32sin 4x+ k;

(g)∫

sin4 x. cos2 x.dx = 116x− 1

64sin 4x− 1

48sin3 2x+ k;

(h)∫

sin 3x. cos 5x.dx = 14

cos 2x− 116

cos 8x+ k;

(i)∫

cos 4x. cos 2x.dx = 14

sin 2x+ 112

sin 6x+ k;

(j)∫ dx√

1−sin 2x=∫ dx| sinx−cosx| , we onderscheiden twee gevallen:

a. sinx > cosx⇐⇒ π4

+ 2kπ < x < 5π4

+ 2kπ.∫ dx√1−sin 2x

= −√

22

ln | csc(π4− x)− cot(π

4− x)|+ k

= −√

22

ln | tan(π8− x

2)|+ k.


b. sinx < cosx⇐⇒ −3π4

+ 2kπ < x < π4

+ 2kπ.∫ dx√1−sin 2x

=√

22

ln | csc(π4− x)− cot(π

4− x)|+ k

=√

22

ln | tan(π8− x

2)|+ k

3. * Reductieformule voor de integraal van de gedaante:

In =

∫tann xdx

We bepalen de integraal eerst voor n = 1 en n = 2.I1 =

∫tanxdx = ln | secx|+ k en

I2 =∫

tan2 xdx =∫

(sec2 x− 1)dx =∫

sec2 xdx−∫

dx = tanx− x+ k.∫tann xdx =

∫tann−2 tan2 xdx

=∫

tann−2 x(sec2 x− 1)dx=∫

tann−2 xd tanx−∫

tann−2 xdx= 1

n−1tann−1 x− In−2.

In = 1n−1

tann−1 x− In−2.

4. Overgang op een nieuwe veranderlijke d.m.v. de t-formules, de goniometrische func-tie wordt hierbij omgezet in een rationale functie.De substitutie is

t = tanx

2⇐⇒ x = 2 arctan t

⇓

dx =2dt

1 + t2

sinx =2t

1 + t2

cosx =1− t2

1 + t2

Voorbeelden:

(a)∫

cosx1+cosx

dx = − tan x2

+ x+ k;

(b)∫ dx

tanx+sinx= 1

2ln | tan x

2| − 1

4tan2 x

2+ k.

Is de integrant volledig uitgedrukt in tanx dan kunnen we ook deze substitutieuitvoeren.

tanx = t⇐⇒ x = arctan t+ kπ

⇓


dx =dt

1 + t2

Voorbeeld:∫tan3 x+5 tanx

tanx+1dx =

∫ (t3+5t)dt(t+1)(1+t2)

=∫

dt− 3∫ dt

t+1+∫

2t+2t2+1

dt= t− 3 ln |t+ 1|+ ln(t2 + 1) + 2 arctan t+ k= tanx− 3 ln | tanx+ 1|+ ln(tan2 x+ 1) + 2x+ k= x+ tanx+ ln tan2 x+1

| tanx+1|3 + k.

6.3.8 Integratie van irrationale functies

1. De integraal is door substitutie terug te brengen tot de gedaante van de eerstebasisintegraal.

∀q ∈ Q \ {−1} :

∫f qdf =

f q+1

q + 1+ k

In bijzonder: ∫dx√x

= 2√x+ k

∫df√f

= 2√f + k

Voorbeelden:

(a)∫

x2dx√x+1

= 25(1 + x)2

√x+ 1− 4

3(x+ 1)

√x+ 1 + 2

√x+ 1 + k;

(b)∫

x+3√x2+6x+5

dx = 12

∫ dt√t

=√x2 + 6x+ 5 + k.

2. De integraal is terug te brengen tot een van de volgende basisintegralen:∫dx√

1− x2= arcsinx+ k

∫df√

1− f 2= arcsin f + k

Voorbeelden:

(a)∫

xdx√1−x4 = 1

2arcsinx2 + k;

(b)∫ dx

x√

4−9 ln2 x= 1

3arcsin ln

√x3 + k.

3. Bevat de integrant een van de vormen

n√ax+ b,

n

√ax+ b

cx+ d


dan kan de integrant herleid worden tot een rationale functie door een gepastesubstitutie:

ax+ b = un

ofax+ b

cx+ d= un ⇐⇒ x =

dun − ba− cun

Merk op dat we hier onder het wortelteken het tweede lid hebben van het voorschriftvan een eerstegraadsfunctie of een homografische functie.

Voorbeelden:

(a)∫

x−2x−6

dx = 2∫

du+ 2∫ du

u−2− 2

∫ duu+2

= 2u+ ln |u−2u+2|+ k

= 2√x− 2 + ln |

√x−2−2√x−2+2

|+ k

(b)∫

x+ 3√x6√x+

√xdx = 2

3x√x− 6

7x 6√x+ 12

5

6√x5 − 4

√x+ 12 6

√x− 12 arctan 6

√x+ k;

(c)∫

3

√x+1x−3

dx = −12∫

u3

(u3−1)2= −4

∫ud(u3−1)

(u3−1)2= 4

∫ud( 1

u3−1)

= 4uu3−1− 4

∫ duu3−1

= 4uu3−1− 4

3

∫ duu−1

+ 43

∫u+2

u2+u+1du

= (x− 3) 3

√x+1x−3− 4

3ln | 3

√x+1x−3− 1|+ 2

3ln | 3

√(x+1x−3

)2 + 3

√x+1x−3

+ 1|

+ 4√

33

arctan 2√

33

( 3

√x+1x−3

+ 12) + k

d. Bevat de integrant een van de vormen

√a2 − b2x2,

√a2 + b2x2,

√b2x2 − a2

dan is de integraal een basisintegraal ofwel kan de integrant herleid worden tot eengoniometrische functie door een gepaste goniometrische substitutie.

Voor gebruik om te verkrijgen

√a2 − b2x2 bx = a sinu a

√1− sin2 u = a cosu

√a2 + b2x2 bx = a tanu a

√1 + tan2 u = a secu

√b2x2 − a2 bx = a secu a

√sec2−1 = a tanu

Opmerking:

* In het domein van de functie y =√a2 − b2x2 =

√a2(1− ( bx

a)2) ligt bx

atussen

−1 en 1, zoals ook sinu moet gelegen zijn tussen −1 en 1.

−1 ≤ bx

a≤ 1⇐⇒ −1 ≤ sinu ≤ 1


* In het domein van de functie y =√a2 + b2x2 mag bx

aalle reele waarden aan-

nemen, zoals ook tanu alle reele waarden kan aannemen.

* In het domein van de functie y =√b2x2 − a2 =

√a2( bx

a− 1)2 is bx

akleiner

dan −1 en groter dan 1, zoals ook secu zijn waarden heeft buiten het interval]− 1, 1[.

|bxa| ≥ 1⇐⇒ | secu| ≥ 1

Voorbeelden:

(a)∫ √

1− x2dx = −∫

sin2 udu = 12

∫(cos 2u− 1)du

= 14

sin 2u− 12u+ k = 1

2sinu. cosu− 1

2u+ k = 1

2x.√

1− x2− 12

arccosx+ k;

(b)∫ dx

x√x2−1

=∫

du = u+ k = arccos 1x

+ k (x > 1);

(c)∫ dx

x√x2−1

= −∫

du = −u + k = − arccos 1x

+ k (x < −1), de substitutie:

x = secu⇐⇒ u = arccos 1x.∫

dx√x2 + 1

= ln(x+√x2 + 1) + k

∫df√f2 + 1

= ln(x+√f2 + 1) + k

∫dx√x2 − 1

= ln(x+√x2 − 1) + k

∫df√f2 − 1

= ln(f +√f2 − 1) + k

∫dx

x√

1− x2= − ln

1 +√

1− x2

x+k

∫df

f√

1− f2= − ln

1 +√

1− x2

f+k

∫dx

x√

1 + x2= − ln

1 +√

1 + x2

x+k

∫df

f√

1 + f2= − ln

1 +√

1 + f2

f+k

Voorbeelden:

i.∫ dx√

x2−4x+13= ln(x− 2 +

√x2 − 4x+ 13) + k;

ii.∫ dx

x√

9−25x2 = −13

ln |3+√

9−25x2

5x|+ k.

* Hyperbolische substituties zijn in sommige gevallen meer interessant.Voorbeelden:

(a)∫ √

x2 + 1dx =∫

cosh2 udu = 12

∫(cosh 2u+ 1)du = 1

4 sinh 2u+ 12u+ k

= 12 sinhu. coshu+ 1

2u+ k = 12x.√

1 + x2 + 12 ln(x+

√x2 + 1) + k

(b)∫ √

x2 − 1dx =∫

sinh2 udu = 12

∫(cosh 2u− 1)du = 1

4 sinh 2u− 12u+ k

= 12 sinhu. coshu− 1

2u+ k = 12x.√x2 − 1− 1

2 ln(x+√x2 − 1) + k

e. Bevat de integrant de vorm√ax2 + bx+ c dan splitsen we de kwadratische vorm

ax2 + bx+ c in onafhankelijke kwadraten.

ax2 + bx+ c = a(x+b

2a)2 − D

4a


We voeren de gepaste substitutie door (verschuiving)

u = x+b

2a

De integrant komt in een van de volgende gedaanten:

(i) Is D > 0 en a > 0: B2u2 − A2;

(ii) Is D > 0 en a < 0: A2 −B2u2;

(iii) Is D < 0 en a > 0: A2 +B2u2.

Het geval D < 0 en a < 0 kan zich niet voordoen. In dit geval is de kwadratischevorm steeds negatief. Bijgevolg bestaat

√ax2 + bx+ c voor geen enkele waarde van

x. De integraal kan nu verder berekend worden met de goniometrische of hyperbo-lische substitutie.

Voorbeelden:

(a)∫ √

4x2 − 4x+ 3dx

4x2 − 4x+ 3 = 4(x2 − x+1

4) + 3− 1 = 4(x− 1

2)2 + 2 = 2((

1√2

(2x− 1)2 + 1).

Stel 2x−1√2

= t dan is dx = dt√2. We verkrijgen de volgende integraal:∫ √

t2 + 1dt.

We hebben deze integraal reeds berekend met de hyperbolische substitutie. Weverkrijgen het resultaat:

12t√t2 + 1 + 1

2ln(t+

√t2 + 1) + k = 1

4(2x− 1)

√4x2 − 4x+ 3

+12

ln(2x− 1 +√

4x2 − 4x+ 3) + k

(b)∫ dx√

4x2+4x−8

4x2 + 4x− 8 = 4(x2 + x+1

4)− 8− 1 = 4(x+

1

2)2 − 9 = 9((

2

3(x+

1

2)2 − 1).

Stel 2x+13

= t dan is dx = 3dt2

. We verkrijgen de volgende integraal:

1

2

∫dt√t2 − 1

.

We beschikken over het resultaat van deze integraal. We verkrijgen:12

ln(t+√t2 − 1) + k = 1

2ln |2x+ 1 +

√4x2 + 4x− 8|+ k.


(c)∫x√x2 + 4xdx

Om de integratie eenvoudiger te maken passen we eerst partiele integratie toe.∫x√x2 + 4xdx = 1

2

∫(2x+ 4− 4)

√x2 + 4xdx

= 12

∫(2x+ 4)

√x2 + 4xdx− 2

∫ √x2 + 4xdx

= 12

∫ √x2 + 4xd(x2 + 4)− 8

∫ √(x+2

2)2 − 1d(x+2

2)

= 13(x2 + 4x)

√x2 + 4x− (x+ 2)

√x2 + 4x

+4 ln |x+ 2 +√x2 + 4x|+ k

= x2+x−63

√x2 + 4x+ 4 ln |x+ 2 +

√x2 + 4x|+ k

AN II HUISTAAK 12 Bereken de volgende onbepaalde integralen:

1.∫

cosx cos 2x cos 3xdx 4.∫ dx

3+√x+2

2.∫ (ex−2)ex

ex+1dx 5.

∫eax sin(bx)dx

3.∫

x2

(x2+4)3/2 dx 6.∫ sin(x−a)

sin(x+a)dx

OPGAVEN — 108 Bereken de volgende onbepaalde integralen:

1.∫

sin2 x cos3 xdx 28.∫x2 arctanxdx 55.

∫cot3 2x csc3 2xdx

2.∫

sin x−cos xsin x+cos xdx 29.

∫3√x(1−

√x)dx 56.

∫(x+ sinx)2dx

3.∫

x√1−x2 dx 30.

∫ dxex−e−x 57.

∫earctan x

1+x2 dx

4.∫x3 lnxdx 31.

∫2x+5x−3 dx 58.

∫ dxx(x4+1)

5.∫ √

x−2x+2 dx 32.

∫1

x+ 3√xdx 59.∫t3e−2tdt

6.∫

x(x+2)2 dx 33.

∫sin2 x cos4 dx 60.

∫ √t

1+ 3√tdt

7.∫

ln(1 + x2)dx 34.∫

1√5−4x−x2 dx 61.

∫sinx sin 2x sin 3xdx

8.∫ √

1+ln xx ln x dx 35.

∫x

1−x2+√

1−x2 dx 62.∫| ln x

2 |dx

9.∫

(1 +√x)8dx 36.

∫1+cos x

sin x dx 63.∫ √

1+x1−xdx

10.∫

tan3 x sec4 xdx 37.∫

ex

e2x−1dx 64.∫

x ln x√x2−1

dx


11.∫

xx2−2x+2dx 38.

∫1

x3−8dx 65.∫

x+ax2+a2 dx

12.∫x arcsinxdx 39.

∫x5 coshxdx 66.

∫csc4 4xdx

13.∫ √

9−x2

x dx 40.∫ ln(tan x)

sin x cos xdx 67.∫

x4

x10+16dx

14.∫

xx2+3x+2dx 41.

∫|x3 + x2 − 2x|dx 68.

∫ √1 + x− x2dx

15.∫x2 cosh dx 42.

∫cos5 θdθ 69.

∫sin x

1+sin xdx

16.∫

x3+x+1x4+2x2+4xdx 43.

∫cotx ln sinxdx 70.

∫x+2

x2+x+2dx

17.∫

cos x1+sin2 x

dx 44.∫

1+ex

1−ex dx 71.∫x secx tanxdx

18.∫

cos√xdx 45.

∫x

(x2+1)(x2+4)dx 72.∫

xx4−a4 dx

19.∫

cosπx tanπxdx 46.∫ dx

4−5 sin xdx 73.∫

1√x+1+

√x

dx

20.∫

e2x

1+ex dx 47.∫x 3√x+ cdx 74.

∫1

1+2ex−e−x dx

21.∫e3x cos 5xdx 48.

∫e

3√xdx 75.∫ arctan

√x√

xdx

22.∫

cos 3x cos 5xdx 49.∫

1x+4+4

√x+1

dx 76.∫ ln(x+1)

x2 dx

23.∫ dxx3+x2+x+1 50.

∫x3+1x3−x2 dx 77.

∫1√

x2+4x+5dx

24.∫x2 ln(1 + x)dx 51.

∫(x2 + 4x− 3) sin 2xdx 78.

∫ex sinhxdx

25.∫x5e−x

3dx 52.

∫sinx cos(cosx)dx 79.

∫1

e3x−ex dx

26.∫

tan2 4xdx 53.∫

x√16−x4 dx 80.

∫1+cos2 x1−cos2 xdx

27.∫

1√9x2+12x−5

dx 54.∫

x3

(x+1)10 dx 81.∫

arcsin2 xdx


109 Bereken de volgende onbepaalde integralen:

1.∫

sec2 xetan xdx 17.∫ dx

cos x−1 33.∫ √

2− 2x− x2dx

2.∫

1−ln xx dx 18.

∫sin x

2 cos x+5dx 34.∫ dx

(4x2−25)3/2

3.∫

1x ln xdx 19.

∫sin x+1

sin x(2+sin x)dx 35.∫ √

x2+9x dx

4.∫

(3x2 + 2x)e−xdx 20.∫

cos x1+cos xdx 36.

∫(√x+ 2 + 1

3√x+2)dx

5.∫

x4

x3−3x2+2xdx 21.∫ dx

cos x+sin xdx 37.∫

3

√x+1x−3dx

6.∫

x2

x6−9dx 22.∫x 5√x+ 1dx 38.

∫x2

8+2x−x2 dx

7.∫x4−2x2−2x−5x3−x2−x−2 dx 23.

∫ dx4x2−12x+9 39.

∫sin 8x

9+sin4 xdx

8.∫ dx

cos3 x 24.∫

3x3+5x2+2x+8x2+1 dx 40.

∫ √9x2−4x dx

9.∫ dx

sin4 x25.

∫cot4 xdx 41.

∫ √2 + x− x2dx

10.∫

cos3 xsin2 x

dx 26.∫ √

1−x2

1−x2 dx 42.∫et√

9− e2tdt

11.∫ dx

cos2 x sin2 x27.

∫x2+cos2 x

x2 sin2 x+sin2 xdx 43.

∫ √x+√xdx

12.∫

cos2 x4 cos2 x−sin2 x

dx 28.∫

x(x4−6x2+9)2 dx 44.

∫ dxa2 cos2 x+b2 sin2 x

13.∫

(cos2 x+ cosx sinx− sin2 x)dx 29.∫

arctan√xdx 45.

∫ln xx3 dx

14.∫

cos3 3x cosxdx 30.∫ √

x+1x−1dx 46.

∫xe

3√xdx

15.∫

cos2 3x sin2 3xdx 31.∫ dx√

7x2+x+1dx 47.

∫x5√

1− x3dx

16.∫

sin 2x sinxdx 32.∫ dx√

4x2+x−848.

∫x ln x√1+x2 dx


Oplossingen:108

1. 13 sin3 x− 1

5 sin5 x+ k 41.

2. 42.

3. arcsinx+ k 43. 12 (ln sinx)2 + k

4. 44.

5. 2√x− 2− 4 arctan

√x−2

2 + k 45. 16 ln x2+1

x2+4 + k

6. 46.

7. x ln(1 + x2)− 2x+ 2 arctanx+ k 47. 37 (x+ c)7/3 − 3c

4 (x+ c)4/3 + k

8. 48.

9. 49. 3 ln(√x+ 1 + 3)− ln(

√x+ 1 + 1) + k

10. 50.

11. 12 ln(x2 − 2x+ 2) + arctan(x− 1) + k 51. 1

2 (x+ 2) sin 2x− 14 (2x2 + 8x− 7) cos 2x+ k

12. 52.

13. 3 ln | 3−√

9−x2

x |+√

9− x2 + k 53. 12 arcsin(x2/4) + k

14. 54.

15. (x2 + 2) sinhx− 2x coshx+ k 55. 16 csc3 2x− 1

10 csc5 2x+ k

16. 56.

17. arctan(sinx) + k 57. earctan x + k

18. 58.

19. 59. −e−2t 4t3+6t2+6t+38 + k

20. 60.


21. 134e

3x(5 sin 5x+ 3 cos 5x) + k 61. 124 cos 6x− 1

16 cos 4x− 18 cos 2x+ k

22. 62.

23. 12 ln |x+ 1| − 1

4 ln(x2 + 1) + 12 arctanx+ k 63. arcsinx−

√1− x2 + k

24. 64.

25. − 13e−x3

(x3 + 1) + k 65. 12 ln(x2 + a2) + arctan x

a + k

26. 66.

27. 67. 120 arctan x5

4 + k

28. 68.

29. 34x

4/3 − 611x

11/6 + k 69. x+ 21+tan(x/2) + k

30. 70.31. 2x+ 11 ln |x− 3|+ k 71. x secx− ln | secx+ tanx|+ k

32. 72.

33. 116 (x− 1

4 sin 4x+ 13 sin3 2x) + k 73. 2

3 ((x+ 1)3/2 − x3/2) + k

34. 74.

35. − ln(1 +√

1− x2) + k 75. 2√x arctan

√x− ln(1 + x) + k

36. 76.

37. 12 ln | e

x−1ex+1 |+ k 77. ln(x+ 2 +

√x2 + 4x+ 5) + k

38. 78.

39. 79. e−x + 12 ln | e

x−1ex+1 |+ k

40. 80. x arcsin2 x+ k


109

1. etan x + k 25. − 13 cot3 x+ cotx+ x+ k

2. lnx− ln2 x2 + k 26. arcsinx+ k

3. ln(lnx) + k 27. − arctanx− cotx+ k

4. (−3x2 − 8x− 8)e−x + k 28. − 16(x2−3)3 + k

5. x2

2 + 3x+ ln (x−2)8

|x−1| + k 29. (1 + x) arctan√x−√x+ k

6. 118 ln |x

3−3x3+3 |+ k 30. (x− 1)

√x+1x−1 + 2 ln |

√x+1x−1 + 1|

+ ln |x− 1|+ k

7. x+ x2

2 + 114 ln x2+x+1

(x−2)2 31.√

77 ln(14x+ 1 + 2

√7√

7x2 + x+ 1) + k

+ 197√

3arctan 2

√3

3 (x+ 12 ) + k

8. 14 ln | 1+sin x

1−sin x |+12 tanx secx+ k 32. 1

2 ln |8x+ 1 + 4√

4x2 + x− 8|+ k

= 12 ln | secx+ tanx|+ 1

2 tanx secx+ k

9. − cotx− 13 cot3 x+ k 33. 1

2 (x+ 1)√

2− 2x− x2

+ 32 arcsin

√3

3 (x+ 1) + k

10. − 1sin x − sinx+ k 34. − x

25√

4x2−25+ k

11. −2 cot 2x+ k 35. 32 ln |

√x2+9−3√x2+9+3

|+ k

12. 120 ln | 2+tan x

2−tan x |+x5 + k 36. 2

3 (x+ 2)√x+ 2 + 3

23√

(x+ 2)2 + k


13. 12 sin 2x− 1

4 cos 2x+ k = sinx cosx+ 12 sin2 x 37. (x− 3) 3

√x+1x−3 − 2 ln | 3

√x+ 1− 3

√x− 3|

+ 4√

33 arctan 1√

3(2 3

√x+1x−1 + 1) + k

14. 180 sin 10x+ 1

64 sin 8x+ 332 sin 4x+ 3

16 sin 2x+ k 38.∫

x2

8+2x−x2 dx

15. 18x−

196 sin 12x+ k 39. 1

12 arctan sin2 4x3 + k

16. − 16 sin 3x+ 1

2 sinx+ k 40.√

9− x2 − 2 arccos 23x + k

= 23 sin3 x+ k

17. cot x2 + k 41. 98 arcsin 2x−1

3

+ 14 (2x− 1)

√−x2 + x+ 2 + k

18. − 12 ln |2 cosx+ 5|+ k 42. 1

2et√

9− e2t + 9 arcsin et

3 + k

19. 12 ln | tan x

2 | 43. 112 (8x+ 2

√2− 3)

√x+√x

+√

33 arctan( 2

√3

3 tan x2 +

√3

3 ) + k + 18 ln |2

√x+√x+ 2

√x+ 1|+ k

20. x+ cotx− cscx+ k 44. 1ab arctan( ba tanx) + k

= x− tan x2 + k

21.√

22 ln | tan x/2−1+

√2

tan x/2−1−√

2|+ k 45. − 1

2ln xx2 − 1

4x2 + k

22. 511 (x+ 1)2 5

√x+ 1− 5

6 (x+ 1) 5√x+ 1 + k 46. (3x 3

√x2 − 15x 3

√x+ 60x− 180 3

√x2

+360 3√x− 360)e

3√x + k

23. − 12(2x−3) + k 47. − 2

9 (1− x3)√

1− x3 + 215 (1− x3)2

√1− x2 + k

24. 16 (3x+ 5)2 + 3 arctanx− 1

2 ln(x2 + 1) + k 48.√

1 + x2 lnx− 12 ln |

√x2+1−1√x2+1+1

−√

1 + x2 + k

Hoofdstuk 7

Bepaalde integraal

In het voorgaande hoofdstuk hebben we op intuıtieve wijze aangetoond dat er een verbandbestaat tussen het bepalen van een primitieve functie van een functie f en het bepalen vande oppervlakte onder de grafiek van f . In dit hoofdstuk gaan we dat verband wiskundigbewijzen.

7.1 Integraal van een trapfunctie in een gesloten en

begrensd interval

7.1.1 Verdelingen van een interval en trapfuncties

* Een verdeling van een gesloten en begrensd interval [a, b] is een eindige striktstijgende rij van elementen van [a, b], waarbij het eerste element van de rij a is enhet laatste element b.

We noteren: σ = (a = x0, x1, x2, . . . , xn = b), waarbij σ(i) = xi.De waarden x0, x1, x2, . . . en xn worden de verdelingspunten van σ genoemd.

* De som van twee verdelingen σ en σ′ is de verdeling σ ⊕ σ′ waarvan de verde-lingspunten deze zijn van σ en σ′.

* Een functie τ van [a, b] in R is een trapfunctie op [a, b] als en slechts als er eenverdeling σ bestaat van [a, b] zodanig dat de restrictie van τ op elk interval van degedaante ]xi−1, xi[ een constante functie is en waarbij de functiewaarde in elke xieender welke waarde is. We noemen σ de verdeling van [a, b] geassocieerd aande trapfunctie τ .

179

180 HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL

Als we bij een verdeling geassocieerd aan een trapfunctie een eindig aantal verde-lingspunten toevoegen dan verkrijgen we een fijnere verdeling geassocieerd aandie trapfunctie.

7.1.2 Integraal van een trapfunctie

7.1.2.1 Definitie

Zij [a, b] een gesloten en begrensd interval met a < b.

De integraal van een trapfunctie τ op het interval [a, b] geassocieerd aan een ver-deling σ = (a = x0, x1, x2, . . . , xn = b) van [a, b] is het reeel getal:

Iba(τ) =n∑i=1

(xi − xi−1)τ(ξi) met ξi ∈]xi−1, xi[

De waarde van Iba(τ) hangt niet af van de keuze van ξi ∈]xi−1, xi[ en ook niet van de keuzevan de verdeling van [a, b] geassocieerd aan τ .

7.1.2.2 Eigenschappen

a. Zijn τ en τ ′ twee trapfuncties op [a, b] en

τ a τ ′ ⇐⇒ ∀x ∈ [a, b] : τ(x) ≤ τ ′(x)

dan geldtIba(τ) ≤ Iba(τ

′)

Inderdaad, zijn σ en σ′ twee verdelingen geassocieerd aan resp. τ en τ ′ dan is σ⊕σ′weer een verdeling van zowel τ als τ ′. We bepalen Iba(τ) en Iba(τ

′) met de verdelingσ ⊕ σ′. Beide integralen bevatten even veel termen, zo kunnen we ze met elkaarvergelijken. Aangezien in elk deelinterval van σ ⊕ σ′ geldt dat τ a τ ′, is elke termin Iba(τ) kleiner dan elke term in Iba(τ

′). Hieruit volgt

Iba(τ) ≤ Iba(τ′)

b. Zijn τ en τ ′ twee trapfuncties op [a, b] geassocieerd aan resp. de verdelingen σ en σ′

van [a, b] dan geldt voor elke twee reele getallen r en s dat:

Iba(r.τ + s.τ ′) = r.Iba(τ) + s.Iba(τ′).

Een verdeling geassocieerd aan r.τ + s.τ ′ is σ ⊕ σ′.In elk deelinterval van σ ⊕ σ′ geeft de lineaire combinatie van een term in Iba(τ) eneen term in Iba(τ

′) een term van Iba(r.τ + s.τ ′).

7.1. INTEGRAAL VAN EEN TRAPFUNCTIE 181

7.1.2.3 Meetkundige interpretatie

a. Zij τ een positieve trapfunctie op [a, b] met a < b, dan stelt Iba(τ) t.o.v. een ortho-normale basis de oppervlakte voor begrensd door de grafiek van de trapfunctie, deX-as en de rechten x = a en x = b.

b. Zij τ een trapfunctie die zowel positief als negatief is in [a, b], dan is Iba(τ) gelijk aanhet verschil van de oppervlakte begrensd door het deel van de grafiek van τ bovende X-as en de X-as en de oppervlakte begrensd door het deel van de grafiek onderde X-as en de X-as.


7.2 Bepaalde integraal van een functie

Definitie van bepaalde integraal van een continue functieAan elke continue functie f gedefinieerd op een gesloten en begrensd interval [a, b] zijntwee rijen gedefinieerd. De eerste rij (un) is een rij waarvan de nde term de integraal isvan de trapfunctie behorende bij de verdeling van het interval [a, b] in n gelijke delen enopgebouwd met de ‘Rectangles Below’ (terminologie van Graphmatica).

un =n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1) met f(ξi) = min{f(xi−1), f(xi)}

De tweede rij (vn) is een rij waarvan de nde term de integraal is van de trapfunctiebehorende bij dezelfde verdeling van het interval [a, b] en opgebouwd met de ‘RectanglesAbove’ (terminologie van Graphmatica). Teken zelf deze trapfuncties.

vn =n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1) met f(ξi) = max{f(xi−1), f(xi)}

7.2. BEPAALDE INTEGRAAL VAN EEN FUNCTIE 183


Voorbeeld: We beschouwen de continue functie f : y = 14x4 − 2x3 + 5x2 − 4x + 2 in het

interval [1; 4, 5]. Zoals we zien is de eerste rij een stijgende rij die naar boven begrensd isdoor elke term van de tweede rij en de tweede rij is een dalende rij die naar onder begrensdis door elke term van de eerste rij (in het algemeen geldig vanaf een zeker rangnummer).In het voorbeeld zitten alle termen van de rij in het interval [4, 7] en alle termen van detweede rij in het interval [6, 20]. Vorig jaar hebben we gezien dat een monotone begrensderij steeds convergent is. In het geval van de stijgende rij is de limiet het supremum vande verzameling van de termen van de rij

sup{un : n ∈ N} = limn→+∞

n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1) met f(ξi) = min{f(xi−1), f(xi)}

en in het geval van de dalende rij is dat het infimum van de verzameling van de termenvan de rij.

inf{vn : n ∈ N} = limn→+∞

n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1) met f(ξi) = max{f(xi−1), f(xi)}

Is dat supremum gelijk aan dat infimum dan zeggen we dat de functie integreerbaar is inhet interval [a, b]. ∫ b

a

f(x)dx = limn→+∞

n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1)

De functie van het voorbeeld is integreerbaar in [1; 4, 5] en we kunnen schrijven:∫ 4,5

1

(1

4x4 − 2x3 + 5x2 − 4x+ 2)dx = 6, 391 · · ·

7.2. BEPAALDE INTEGRAAL VAN EEN FUNCTIE 185


7.2.1 Uitbreiding van het begrip van bepaalde integraal

Definitie van de integraal van b naar a van een functie f die integreerbaar is over [a, b]:De integraal van b naar a van een functie f is tegengesteld aan de integraal van a naar bvan de functie f .

Met symbolen: ∫ b

a

f(t)dt = −∫ a

b

f(t)dt

Voorbeeld:∫ bakdt = −

∫ abkdt = −k(a− b) = k(b− a).

7.3 Eigenschappen van de bepaalde integraal

7.3.1 Eigenschappen met betrekking tot het integratie-interval

STELLING 7.1 Is een functie f gedefinieerd in een punt a, dan is∫ a

a

f(t)dt = 0

Bewijs: De integralen van alle trapfuncties op [a, a] zijn nul.

Iaa (τ) = (a− a)τ(a)

�

STELLING 7.2 Is f continu in een gesloten en begrensd interval [p, q] en zijn a, b, cdrie punten van [p, q] dan geldt:∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ b

c

f(t)dt

Bewijs:

a. a < c < bIs φ een trapfunctie op [a, b] en φ a f over [a, b] en zijn φ′ en φ′′ de restricties van φtot resp. [a, c] en [c, b] dan is φ′ a f over [a, c] en φ′′ a f over [c, b]. Er geldt:

Iba(φ) = Ica(φ′) + Ibc (φ

′′)

7.3. EIGENSCHAPPEN VAN DE BEPAALDE INTEGRAAL 187

Beschouwen we alle functies φ dan geldt:

sup{Iba(φ)} = sup{Ica(φ′) + Ibc (φ′′)} = sup{Ica(φ′)}+ sup{Ibc (φ′′)}

Hierin is φ ∈ Tf [a,b], φ′ ∈ Tf [a,c] en φ′′ ∈ Tf [c,b]. Omdat f integreerbaar is, is∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ b

c

f(t)dt

b. a < b < cVolgens het eerste deel van het bewijs geldt:∫ c

a

f(t)dt =

∫ b

a

f(t)dt+

∫ c

b

f(t)dt

m∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt−∫ c

b

f(t)dt

m∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ b

c

f(t)dt

Dit laatste geldt volgens de uitbreiding van het begrip van integraal. Het bewijsverloopt op dezelfde manier voor elke volgorde waarin a, b en c voorkomen. �

Deze eigenschap laat toe steeds een punt tussen te voegen, als maar aan de voorwaardenvoor integreerbaarheid voldaan is, en op die manier de integraal te splitsen in de som vantwee integralen van eenzelfde functie.

Deze eigenschap is te vergelijken met de formule van Chasles-Mobius voor vectoren, nl.

~ab = ~ac+ ~cb

met a, b, c drie willekeurige punten van het vlak of de ruimte. In de goniometrie beschikkenwe over een gelijkaardige formule voor het optellen van georienteerde hoeken. En in dezecursus hebben we een analoge formule gezien met logaritmen

loga b. logb c = loga c.


7.3.2 Eigenschappen met betrekking tot de functie zelf

STELLING 7.3 Is een functie f continu in een gesloten en begrensd interval [a, b] meta < b en is de functie positief (negatief) in [a, b] dan is de integraal van f op [a, b] positief(negatief).

f ` 0 over [a, b] =⇒∫ b

a

f(t)dt ≥ 0

f a 0 over [a, b] =⇒∫ b

a

f(t)dt ≤ 0

Het omgekeerde van deze eigenschap is niet geldig. Het is mogelijk, als de integraal vaneen functie op een interval [a, b] positief is, dat de functie negatieve waarden aanneemt inhet interval [a, b].

Bewijs: De 0-functie op [a, b] is een trapfunctie van Tf [a,b]

∀ψ ∈ T f [a,b] : ψ ` 0 =⇒ Iba(ψ) ≥ Iba0

⇓ Iba0 = 0

inf({Iba(ψ)}) ≥ 0

Aangezien de functie f integreerbaar is, is∫ b

a

f(t)dt ≥ 0.

�

STELLING 7.4 Zijn f en g twee continue functies in het gesloten en begrensd interval[a, b] en zijn r en s twee willekeurige reele getallen, dan is:∫ b

a

(r · f + s · g)(t)dt = r ·∫ b

a

f(t)dt+ s ·∫ b

a

g(t)dt

Bewijs: Is φ een trapfunctie op [a, b] en

φ a f

en φ′ een trapfunctie op [a, b] enφ′ a g

dan is r · φ+ s · φ′ een trapfunctie op [a, b] en

r · φ+ s · φ′ a r · f + s · g

7.3. EIGENSCHAPPEN VAN DE BEPAALDE INTEGRAAL 189

en er geldtIba(r · φ+ s · φ′) = r · Iba(φ) + s · Iba(φ′).

Aangezien f en g continu zijn in [a, b] is r · f + s · g ook continu in [a, b]. De functier · f + s · g is bijgevolg integreerbaar.

sup{Iba(r · φ+ s · φ′)} = sup{r · Iba(φ) + s · Iba(φ′)}= sup{r · Iba(φ)}+ sup{s · Iba(φ′)}= r · sup{Iba(φ)}+ s · sup{Iba(φ′)}

Dit laatste geldt volgens de eigenschappen van supremum. Hiermee hebben we aange-toond dat ∫ b

a

(r · f + s · g)(t)dt = r ·∫ b

a

f(t)dt+ s ·∫ b

a

g(t)dt

�

STELLING 7.5 Zijn f en g twee continue functies in [a, b] en is f kleiner dan g dan isde integraal van f ook kleiner dan de integraal van g op [a, b].

Met symbolen: f a g =⇒∫ baf(t)dt ≤

∫ bag(t)dt.

Bewijs:f a g =⇒ (f − g) a 0

⇓ (stel 7.3)∫ b

a

(f − g)(t)dt ≤ 0

m (stel 7.4)∫ b

a

f(t)dt−∫ b

a

g(t)dt ≤ 0

m∫ b

a

f(t)dt ≤∫ b

a

g(t)dt

�

STELLING 7.6 Is f continu in het gesloten en begrensd interval [a, b], dan geldt:

|∫ b

a

f(t)dt| ≤∫ b

a

|f(t)|dt


Bewijs: f is continu in [a, b] =⇒ |f | is continu in [a, b]. Er geldt

−|f | a f a |f |

Volgens stelling 7.5 is

−∫ b

a

|f(t)|dt ≤∫ b

a

f(t)dt ≤∫ b

a

|f(t)|dt

Hieruit volgt dat

|∫ b

a

f(t)dt| ≤∫ b

a

|f(t)|dt

�

7.4 Middelwaardestelling van de integraalrekening

STELLING 7.7 Is een functie f continu in een gesloten en begrensd interval [a, b], danbestaat er minstens een x-waarde c in het interval [a, b] waarvoor geldt:∫ b

a

f(t)dt = f(c)(b− a)

Met symbolen: f is continu in [a, b]

=⇒ ∃c ∈ [a, b] :

∫ b

a


Bewijs: De functie f is continu in het gesloten en begrensd interval [a, b] en bereikt volgensWeierstrass een grootste waarde M en een kleinste waarde m in dat interval.

∀x ∈ [a, b] : m ≤ f(x) ≤M

Volgens stelling 7.5 geldt: ∫ b

a

mdt ≤∫ b

a

f(t)dt ≤∫ b

a

Mdt

m

m(b− a) ≤∫ b

a

f(t)dt ≤M(b− a)

7.5. BEPAALDE EN ONBEPAALDE INTEGRAAL 191

Delen we elk lid door b− a dan is in geval a < b

m ≤∫ baf(t)dt

b− a≤M.

Omdat de functie continu is in [a, b] bereikt ze dan ook elke waarde begrepen tussen men M in het interval [a, b].

∃c ∈ [a, b] : f(c) =

∫ baf(t)dt

b− am

∃c ∈ [a, b] :

∫ b

a


�

7.5 Verband tussen bepaalde en onbepaalde integraal

STELLING 7.8 Is f een continue functie in een gesloten en begrensd interval I en is aeen element van I dan is de functie die met elke x-waarde van I de waarde

∫ xaf(t)dt laat

corresponderen een van de primitieve functies van de functie f . Deze primitieve functiewordt nul voor x = a.

Bewijs: We bewijzen dat de afgeleide functie van de functie y =∫ xaf(t)dt de functie

y = f(x) is. We berekenen daartoe de afgeleide van deze functie in een punt x0 van I.We gebruiken de definitie van afgeleide in een punt.

Dx0 = ddx0

(∫ xaf(t)dt) = limx0

R xa f(t)dt−

R x0a f(t)dt

x−x0

= limx0

R xa f(t)dt+

R ax0f(t)dt

x−x0

= limx0

R xx0f(t)dtx−x0

Volgens de middelwaardestelling van de integraalrekening bestaat er voor elke x een c inhet interval [x0, x] zodat

f(c) =

∫ xx0f(t)dt

x− x0

Omdat c mede varieert met x in het interval I is f(c) = f(x). Aangezien de functiecontinu is in I en x0 een element is van I is f continu in x0. De limiet van de functie inx0 is bijgevolg gelijk aan de functiewaarde in x0:

limx0

f(x) = f(x0)


Dx0 =d

dx0

(

∫ x

a

f(t)dt) = f(x0)

De functie y =∫ xaf(t)dt is dus een primitieve functie van y = f(x).

Deze primitieve functie is de primitieve functie van f die nul wordt voor x = a omdat:∫ a

a

f(t)dt = 0

�

Voorbeelden:

* We beschouwen de functie f : y = 2x − 3. Teken de grafiek van f en van deprimitieve functie F van f die nul wordt voor x = −1 zonder berekeningen.Oplossing: De primitieve functie F die nul wordt voor x = −1 is:∫ x

−1

(2x− 3)dx

Op de tekening zien we het verloop van F , de grafiek is een parabool. De functieF is een oppervlaktefunctie van de functie f , terwijl f de snelheidsfunctie is van F .Controleer dit nog even.

* We beschouwen de functie f : y = −12x2 + 2. Teken de grafiek van f en van de

primitieve functie F van f die nul wordt voor x = 1 zonder berekeningen.Oplossing: De primitieve functie F die nul wordt voor x = 1 is:∫ x

1

(−1

2x2 + 2)dx

Op de tekening zien we het verloop van F , de grafiek van een derdegraadsfunctie.De functie F is een oppervlaktefunctie van de functie f , terwijl f de snelheidsfunctieis van F . Controleer dit nog even.

7.6. BEREKENEN VAN EEN BEPAALDE INTEGRAAL 193

7.6 Berekenen van een bepaalde integraal

Is f continu in [a, b] en is F een primitieve functie dan geldt volgens de voorgaande stelling:

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt+ k (7.1)

Hieruit volgt datF (a) = 0 + k ⇐⇒ k = F (a)

Substitueren we deze waarde van k in 7.1

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt+ F (a)

m∫ x

a

f(t)dt = F (x)− F (a)

Om de primitieve functie te bepalen die nul wordt voor x = a bekomen we door vaneen willekeurige primitieve functie F de functiewaarde F (a) af te trekken. Zijn grafiekbekomen we dus door de grafiek van F te verschuiven langs de Y -as over F (a).~e2.

De functiewaarde in b van deze primitieve functie is:∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a)

Deze formule laat ons toe een bepaalde integraal van een functie in een interval te bere-kenen.

Om een bepaalde integraal van een functie te berekenen, berekenen we eerst een willekeu-rige primitieve functie door onbepaald te integreren en dan de functiewaarden van dezeprimitieve functie in de grenspunten van het integratie-interval te nemen.Daarom schrijven we: ∫ b

a

f(t)dt = [F (x)]ba

Voorbeeld:We keren terug naar het voorbeeld van de arbeid van een niet constante kracht en webeschouwen daarvoor de gravitatiekracht. De gravitatiekracht f op een massa m, op eenafstand x van het middelpunt van de aarde met massa M wordt gegeven door wet vanNewton:

f = kM.m

x2


k = 6, 67.10−11m3kg.sec2; M = 6, 6.1024kg is de massa van de aarde. Aan het aardopper-vlak is F = mg =⇒ g = k.M

R2 = 9, 81m/sec2.

Hieruit volgt dat de kracht op een massa m op een afstand x van het middelpunt van deaarde gelijk is aan:

f = g.R2.m

x2

De arbeid die moet verricht worden om een massa m van het aardoppervlak naar eenhoogte h boven het aardoppervlak te brengen is gelijk aan:

W =

∫ R+h

R

g.R2.m

x2dx

Anderzijds weten we dat de arbeid nodig om een massa m van rusttoestand op een snelheidv te brengen in vertikale richting gelijk is aan de kinetische energie:

W =1

2mv2

Nu kunnen we de snelheid berekenen die een lichaam moet hebben om een hoogte h tebereiken.

W =

∫ R+h

R

g.R2.m

x2dx =

1

2mv2

m

−g.R2.m[1

x]R+hR =

1

2m.v2

m

−g.R2.m(1

R + h− 1

R) =

1

2m.v2

Uit deze betrekking volgt dat

v =

√2gRh

R + h

Om een voorwerp bv. 20m hoog te brengen moet een snelheid van 19, 8m/sec of 71, 3km/u.Om een voorwerp naar het oneindige te brengen h = +∞:

−g.R2.m(− 1

R) =

1

2m.v2

mv =

√2gR = 11, 18 km/sec

Dit wordt de ontsnappingssnelheid genoemd. Het voorwerp verlaat de aarde en wordtde ruimte ingestuurd via een parabolische baan. Om het voorwerp een cirkelvormige,ellipsvormige baan te laten beschrijven om de aarde is een snelheid nodig tussen 7, 9km/secen 11, 18km/sec.

7.6. BEREKENEN VAN EEN BEPAALDE INTEGRAAL 195

OPGAVEN — 110 Gegeven: de functie f : y = 1x√x2−1

Gevraagd:

(i) Bepaal het domein van f ;

(ii) Bereken∫ −√2

−2f(x)dx;

(iii) Bereken∫ baf(x)dx met 0 < a < b;

(iv) Bepaal lima

>→1

∫ baf(x)dx;

(v) Bepaal limb→+∞∫ baf(x)dx.

111 Gegeven: de integraal A =∫ π0

cos x(x+2)2 dx

Gevraagd: Bereken de integraal B =∫ π/20

sin x cos xx+1 dx in functie van A.

112 Gegeven: de functie f : x 7→∫ x1

ln tt+1dt, ∀x > 0

Gevraagd: Bereken f(x) + f( 1x ) zonder de integraal te berekenen. Bij wijze van controle zult u vinden

dat f(2) + f( 12 ) = 1

2 ln2 2.

113 Gegeven: de integraal A =∫ π0

1−cos x3

sin x2

dxGevraagd:

(i) Bewijs dat de functie y = 1−cos x3

sin x2, x ∈]0, π] continu uitbreidbaar is in [0, π].

(ii) Bereken A.

114 (i) Toon aan dat door de substitutie x = 1−t1+t de integraal

A =∫ 1

0

ln(1 + x)1 + x2

dx

omgevormd wordt tot een uitdrukking waarin A opnieuw optreedt. Gebruik dit resultaat om dewaarde van A te vinden.

(ii) Bereken B =∫ 1

0arctan x

1+x dx door gebruik te maken van de integraal A.

115 Gegeven: de integraal In =∫ 1

0xn√

1− xdx, n ∈ NGevraagd:

(i) Bereken I0;

(ii) Vind d.m.v. partiele integratie, een recurrente betrekking tussen In en In−1, n ≥ 1;

(iii) Bewijs enkel met hetgeen voorafgaat, dat I2 = 16105 .

116 (i) Bereken A =∫ π0

sin x1+cos2 xdx;


(ii) Bewijs dat voor elke f , continu ondersteld in [0, a]:∫ a

0

f(x)dx =∫ a

0

f(a− x)dx

(iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J =∫ π0

x sin x1+cos2 xdx te berekenen.

117 Bereken A =∫ 2

1/2(1 + 1

x2 ) arctanxdx op twee manieren:

a. door partiele integratie;

b. door gebruik te maken van de substitutie x = 1t .

118 Bereken A =∫ 2

1ln2 xdx op twee manieren:

a. door partiele integratie;

b. door gebruik te maken van de substitutie lnx = t.

Hoofdstuk 8

Oppervlakte- inhouds- enlengteberekening

8.1 Oppervlakteberekening

In voorgaand hoofdstuk hebben we gezien dat we oppervlakten zullen kunnen berekenenmet de bepaalde integraal. We gaan hier oppervlakten berekenen van vlakdelen ingeslotendoor de grafiek van een functie, de x-as en twee evenwijdigen met de y-as. Ook opper-vlakten van vlakdelen ingesloten door de grafieken van twee functies en van vlakdelenbepaald door gesloten krommen zullen we behandelen.

8.1.1 Oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door de grafiekvan een functie, de x-as en twee evenwijdigen met de y-as

1. De functie heeft een constant teken.

a. De functie f is positief en continu in het gesloten en begrensd interval [a, b].Kiezen we in het euclidisch vlak een orthonormale basis, dan is de integraalvan a naar b van f ∫ b

a

f(t)dt

de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van de functie dex-as en de rechten parallel met de y-as door de punten (a, 0) en (b, 0).

197

198 HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING

Figuur 8.1: oppervlakteberekening onder de grafiek van een functie

Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van defunctie y = 1 + sinx, de rechten x = 0, x = π en de x-as is:∫ π

0

(1 + sin x)dx = [x− cosx]π0 = π + 2

b. De functie f is negatief en continu in het gesloten en begrensd interval [a, b].Kiezen we in het euclidisch vlak een orthonormale basis, dan is de integraalvan a naar b van f

−∫ b

a

f(t)dt

de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van de functie dex-as en de rechten parallel met de y-as door de punten (a, 0) en (b, 0).

Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van defunctie y = ln 1

x, de rechte x = e en de x-as is:

−∫ e

1

ln1

xdx =

∫ e

1

lnxdx = [x lnx− x]e1 = 1

2. De functie heeft een wisselend teken.De functie f is continu en wisselt van teken in het gesloten en begrensd interval [a, b].We verdelen het interval [a, b] in deelintervallen waar de functie f een constant tekenheeft. In elk van deze intervallen berekenen we de oppervlakte volgens het eerstegeval en tellen we de bekomen waarden bij elkaar op.

8.1. OPPERVLAKTEBEREKENING 199

Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van de functiey = x2 − 1, de rechten x = −2, x = 2 en de x-as.

2

∫ 2

1

(x2 − 1)dx−∫ 1

−1

(x2 − 1)dx = 2[x3

3− x]21 + [

x3

3− x]−1

1 = 4

8.1.2 De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door de gra-fieken van twee functies

1. De ene functie is kleiner dan de andere over een interval.

a. De functies f en g zijn positief en continu in een gesloten en begrensd interval[a, b] en f ` g over [a, b].We zoeken eerst de gemeenschappelijke punten van de grafieken van beidefuncties. We tekenen de grafieken en kijken in welk interval de grafieken eenvlakdeel insluiten. We noemen dit interval [a, b]. De functies f en g zijn daarcontinu en positief.

De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van beide functiesis gelijk aan het verschil van de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten doorde grafiek van de functie f en de x-as in [a, b] en de grafiek van de functie g ende x-as in [a, b]. ∫ b

a

f(t)dt−∫ b

a

g(t)dt

Na toepassen van de lineariteit van de bepaalde integraal verkrijgen we:∫ b

a

(f(t)− g(t))dt =

∫ b

a

(f − g)(t)dt

Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van defuncties y = x4 − x2 + 1 en y = −1

2x4 + 2. Het vlakdeel ingesloten door beide

grafieken ligt tussen x1 = −√

1+√

73

en x2 =√

1+√

73

Tussen deze x-waarden

zijn beide functies positief en is de eerste functie kleiner dan de tweede.

Rekening houdend met de symmetrie van de grafieken t.o.v. de y-as is de op-pervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van beide functies gelijkaan:

2

∫ x2

0

2(−1

4x4 + 2− (x4 − x2 + 1))dx =

4

45(19 +

√7)

√1 +√

7

3≈ 2, 12106


Figuur 8.2: oppervlakteberekening tussen de grafieken van twee functies

b. De functies f en g hebben een wisselend teken en zijn continu in het geslotenen begrensd interval [a, b] en f ` g over [a, b].We verschuiven de grafieken van de functies langs de y-as over een constantewaarde k zodanig dat beide grafieken boven de x-as komen te liggen. Defuncties behorende bij deze grafieken zijn dan:

f + k en g + k.

Voor de berekening van de oppervlakte ingesloten door de grafieken van defuncties f + k en g + k zijn we herleid tot het eerste geval.∫ b

a

((f + k)− (g + k))(t)dt =

∫ b

a

(f − g)(t)dt

Besluit: Zijn twee functies f en g continu in een gesloten en begrensd interval[a, b] en is g kleiner dan f over [a, b] dan wordt de oppervlakte ingesloten doorde grafieken van beide functies gegeven door∫ b

a

(f − g)(t)dt

d.i. de integraal van a naar b van het verschil van de functies f en g.

Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken vande functies y = 2x2 − 1 en y = x.De gemeenschappelijke punten zijn (−1

2,−1

2) en (1, 1).

∀x ∈]− 1

2, 1[: x > 2x2 − 1.


Figuur 8.3: oppervlakteberekening tussen de grafieken van twee functies

De oppervlakte van het gemeenschappelijk deel is:∫ 1

−1/2

(x− (2x2 − 1))dx = [−2x3

3+x2

2+ x]1−1/2 =

9

8

2. De ene functie is zowel groter als kleiner dan de andere functie over een interval.De functies f en g zijn continu en het verschil f−g wisselt van teken in het geslotenen begrensd interval [a, b]. We verdelen het interval [a, b] in deelintervallen waar defunctie f − g een constant teken heeft. In elk van deze intervallen berekenen we deoppervlakte tussen de grafieken van beide functies volgens het eerste geval en tellenwe de bekomen waarden bij elkaar op. Hierbij kijken we in elk deelinterval welkefunctie de kleinste is.

Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van defuncties y = cosx en y = 2x

π+ 1. De gemeenschappelijke punten van de cosinusoıde

en de rechte zijn (−π,−1), (−π2, 0) en (0, 1). Rekening houdend met het feit dat

de grafieken van beide functies symmetrisch liggen t.o.v. het punt (−π2, 0) is de

oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafieken van beide functies gelijkaan

2

∫ 0

−π/2(cosx− (

2x

π+ 1))dx = 2[sinx− x2

π− x]0−π/2 = 2− π

2= 0, 43

Opmerking: Het kan gebeuren dat voor de berekening van de oppervlakte van hetvlakdeel begrensd door de grafieken van twee functies een vertikale integratie veeleenvoudiger is dan een horizontale integratie.Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de parabool y2 = 4x en


de rechte y = 2x− 4 is gemakkelijker te berekenen als we x opvatten als een functievan y. De parabool is dan de grafiek van de functie met voorschrift x = y2

4en de

rechte van x = y+42

. De gemeenschappelijke punten van beide grafieken zijn (4, 4)en (1,−2). In het interval [−2, 4] langs de y-as is de eerste functie kleiner dan detweede en zijn ze bovendien beide positief. De oppervlakte is:∫ 4

−2

(y + 4

2− y2

4)dy = [2y +

y2

4− y3

12]4−2 = 9.

8.1.3 De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door een krom-me

In dit geval is ofwel de vergelijking van de kromme gegeven, ofwel kiezen we het orthogo-naal coordinatenstelsel zodanig dat de vergelijking van de gegeven kromme zo eenvoudigmogelijk is. Bvb. voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel, een cirkelsectorof een ellips.

Beschikken we over de vergelijking van de kromme (gegeven of zelf opgesteld), dan makenwe eerst een schets van de kromme t.o.v. een orthogonaal coordinatenstelsel. Hierbij hou-den we rekening met symmetrieassen en punten van symmetrie van de kromme, snijpuntenmet de x-as en de y-as. We moeten de kromme beschouwen als de unie van grafieken vanfuncties zodat we door middel van integratie de oppervlakte kunnen bepalen. We illustre-ren dit met voorbeelden.

* De oppervlakte van een cirkel.We kiezen de oorsprong van het euclidisch vlak in de oorsprong zodat de vergelijkingvan de cirkel zo eenvoudig mogelijk is.

x2 + y2 = R2

Wegens de symmetrie t.o.v. de oorsprong (x en y komen allebei in het kwadraat voor)is het voldoende enkel de oppervlakte van het deel van de cirkelschijf te berekenengelegen in het eerste kwadrant. De bovenste helft van de cirkel is de grafiek van defunctie:

y =√R2 − x2.

De oppervlakte van de cirkelschijf is:

4

∫ R

0

√R2 − x2dx = 4R2

∫ π/2

0

cos2 αdα = [R2

4sin 2α +

R2

2α]π/20 = πR2


We kunnen bij de oppervlakteberekening werken met een parametervoorstelling vande cirkel: {

x = R cosαy = R sinα

De oppervlakte van de cirkelschijf is:

2

∫ R

−Rydx = 2

∫ 0

π

R sinαd(R cosα) = −2

∫ 0

π

R2 sin2 αdα = πR2.

Als x varieert van −R naar R dan varieert α van π naar 0.

* De oppervlakte van een cirkelsegment.Is de openingshoek van het cirkelsegment met straal R gelijk aan θ dan is de opper-vlakte van het cirkelsegment gelijk aan

2

∫ R

a

ydx = 2

∫ 0

θ/2

R sinαd(R cosα) = −2

∫ 0

θ/2

R2 sin2 αdα =R2

2(θ − sin θ)

* De oppervlakte van een cirkelsector.De oppervlakte van een cirkelsector met openingshoek θ is

a. In geval 0 < θ < π gelijk aan de som van de oppervlakte van het corres-ponderend cirkelsegment en de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek mettophoek θ.De oppervlakte van de driehoek is:

S =R2 sin θ

2.

De oppervlakte van de cirkelsector is:

opp.sect. =R2

2(θ − sin θ) +

R2 sin θ

2=R2θ

2.

b. In geval π < θ < 2π gelijk is aan het verschil van de oppervlakte van hetcorresponderend cirkelsegment en de oppervlakte van een gelijkbenige driehoekmet tophoek 2π − θ.

S =R2 sin(2π − θ)

2= −R

2 sin θ

2

opp.sect. =R2

2(θ − sin θ)− (−R

2 sin θ

2) =

R2θ

2.


Figuur 8.4: oppervlakte van een cirkelsector


Figuur 8.5: y2 = x2 − x4 y = x4(4 + x)

* De oppervlakte ingesloten door de kromme met vergelijking

y2 = x2 − x4.

De kromme ligt symmetrisch t.o.v. x-as en y-as. De gevraagde oppervlakte is dusgelijk aan vier keer de oppervlakte van het deel gelegen in het eerste kwadrant.

4

∫ 1

0

x√

1− x2dx = −2

∫ 0

1

2u2du = [−4

3u3]01 =

4

3.

(substitutie:√

1− x2 = u)

* De oppervlakte ingesloten door de kromme met vergelijking

y2 = x4(4 + x).

De kromme ligt symmetrisch t.o.v. de x-as omdat y in het kwadraat optreedt (res.:4096105

)

* De cycloıde is de kromme beschreven door een punt van een cirkel die rolt zonderglijden over een rechte.

De oppervlakte ingesloten door een boog van een cycloıde met parametervoorstel-ling: {

x = R(θ − sin θ)y = R(1− cos θ)

Een boog wordt beschreven tussen θ = 0 en θ = 2π. (res.: 3πR2)


Figuur 8.6: de cycloıde

* De oppervlakte ingesloten door de ellips met parametervoorstelling:{x = 3 + cos θy = 4 sin θ

(res. 4π)

* Een epicycloıde is de kromme beschreven door een punt van een cirkel met straal rdie in zijn eigen vlak rolt zonder glijden op de buitenkant van een cirkel met straalR. {

x = (R + r) cos θ − r cos R+rrθ

y = (R + r) sin θ − r sin R+rrθ

In geval R = r wordt de epicycloıde een cardioıde genoemd (hartlijn). In gevalR = 2r wordt de epicycloıde een nefroıde genoemd (nierlijn).

* Een hypocycloıde is de kromme beschreven door een punt van een cirkel met straalr die rolt zonder glijden op de binnenkant van een cirkel met straal R.{

x = (R− r) cos θ + r cos R−rrθ

y = (R− r) sin θ − r sin R−rrθ

In geval R = 4r wordt de hypocycloıde een astroıde genoemd. In geval R = 3rwordt de hypocycloıde de hypocycloıde van Steiner genoemd of ook nog de deltoıde.

Parametervoorstelling van een astroıde:{x = R cos3 θy = R sin3 θ


Figuur 8.7: de ellips

Figuur 8.8: de epicycloıde de hypocycloıde


De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door een astroıde is

4

∫ R

0

ydx = 4

∫ 0

π/2

R sin3 θ(.R cos3 θ) = 12R2

∫ π/2

0

sin4 θ cos2 θdθ.

Na integratie vinden we voor de oppervlakte 3R2π8

= 38πR2.

OPGAVEN — 119 Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door:

a. y = 4x− x2, y = 0, x = 1, x = 3;

b. x = 1 + y2, x = 10;

c. x = 3y2 − 9, x = 0, y = 0, y = 1;

d. y = 9− x2, y = x+ 3;

e. y = tanx, x = 0, x = π4 , y = 0;

f. y2 = x2(a2 − x2);

g. 9ay2 = x(3a− x)2;

h. y = ex, y = e−x, x = 0, x = 2;

i. xy = 12, y = 0, x = 1, x = e2;

j. y = 1/(1 + x2), y = 0, x = 1, x = −1;

k. Eerste boog van y = e−ax sin ax;

l. y = xe−x2, y = 0, en de maximale ordinaat.

120 De assen van een ellips omgeschreven aan een gegeven rechthoek met zijden 2m en 2n, zijn parallelmet de zijden van die rechthoek. Voor welke omgeschreven ellips is de oppervlakte extremaal?

121 T.o.v. een orthonormale basis beschouwen we een cirkel C(o;R) en een parabolenbundel met dex-as als as en o als top. We noemen s en s′ de twee reele snijpunten van de cirkel en de parabolen vande bundel. Voor welke parabolen is de oppervlakte van het paraboolsegment oss′ extremaal?

122 Schets het vlakdeel ingesloten door de punten waarvan de coordinaten (x, y) voldoen aan

0 < x < π en 1− sinx < y < sinx.

Bereken de oppervlakte van dit gebied.

123 Bereken de oppervlakte tussen de kromme y = 15−3 cos x en de rechten x = 0, x = 2π en y = 0.

8.2. INHOUDSBEREKENING 209

124 Gegeven: De krommen met resp. vergelijkingen

y = 1 + cosx met x ∈ [0, π]

eny = 1 + cos(x− α) met x ∈ [0, π],

α is een parameter met 0 < α < π2 .

Gevraagd: Bepaal α zodat de oppervlakte tussen y = 1 + cosx, y = 1 + cos(x− α) en x = 0 gelijk is aande oppervlakte tussen y = 1 + cos(x− α), y = 1 en x = π.

125 Gegeven:

In =∫ π/2

0

xn sinxdx met n ∈ N.

Gevraagd:

(i) Stel een recurrente betrekking op tussen In en In−2 geldig voor alle n ≥ 2;

(ii) Bepaal de oppervlakte ingesloten door de krommen met vergelijking

y = π2x2 sinx en y = 4x4 sinx

in het interval [0, π/2]. Maak een ruwe schets van het integratiegebied.

Oplossingen:119

a. 22/3;

b. 36;

c. 8;

d. 125/6;

e. ln 2/2;

f. 4a3/3;

g. 8√

3a2/5;

h. (e2 + 1/e2 − 2);

i. 24;

j. π/2;

k. (1 + 1/eπ)/2a;

l. (√e− 1)/2

√e.

120 Lengte van de assen 2√

2m en 2√

2n;121 Parabolen met vergelijking y2 = ± R√

2x;

125 −π3 − 2π2 + 48π − 96.


Figuur 8.9: inhoudsberekening

8.2 Inhoudsberekening

In deze paragraaf zullen we inhouden berekenen van lichamen begrensd door twee paral-lelle vlakke doorsneden en omwentelingslichamen. Deze berekening gebeurt uiteraard ineen euclidische driedimensionale ruimte.

Is een lichaam begrensd door twee parallelle vlakken α en α′, dan moeten we de opper-vlakte kunnen bepalen van elke doorsnede van het lichaam met een vlak parallel met engelegen tussen α en α′. Elke vlakke doorsnede van het lichaam met een vlak parallel metα moet dan ook een begrensd vlakdeel zijn of de unie van begrensde vlakdelen.

Dit kunnen we vergelijken met de oppervlakteberekening waar we de oppervlakte bereke-nen van een vlakdeel begrensd door de grafiek van een functie, de x-as en twee parallellerechten A en A′ (en ook parallel met de y-as). We moeten dan de lengte kennen van elklijnstukje afgesneden door een rechte parallel met A en het vlakdeel. Deze lengte wordtons bij de oppervlakteberekening gegeven door de y-waarde bij een bepaalde x-waardedoor het voorschrift van de functie. We kennen de verandering van de lengte van dezelijnstukjes in functie van x.

Bij de inhoudsberekening krijgen we enkel de definitie van het lichaam. Is het lichaamdan begrensd door twee parallelle vlakken α en α′, dan kiezen we het orthonormaalcoordinatenstelsel zodanig, dat de x-as orthogonaal is met α. De keuze van de oorspronghangt af van de aard van het lichaam. Bij zo een keuze van de x-as is het (Y, Z)-vlak steedsparallel met α en α′. De parallelle vlakken hebben dan in de ruimte de vergelijkingenx = a en x = b. Het lichaam wordt gesneden met vlakken parallel met het (Y, Z)-vlak.Zij hebben in de ruimte een vergelijking van de gedaante x = k met a < k < b. Van zodrawe de verandering van de oppervlakte van zo een vlakke doorsnede kennen in functie


van x kunnen we de inhoud berekenen d.m.v. integratie. We noteren die veranderlijkeoppervlakte door S(x).

De inhoud van het lichaam wordt dan gegeven door de volgende integraal:

I =

∫ b

a

S(x)dx.

Voorbeelden:

* Inhoud van een prisma met hoogte h en oppervlakte grondvlak G.

G.h.

* Inhoud van een piramide met hoogte h en oppervlakte grondvlak G.

1

3G.h.

* Inhoud van een afgeknotte piramide met hoogte h en oppervlakte grondvlak G enoppervlakte bovenvlak B.

1

3(G+

√G.B +B).h.

Figuur 8.10: inhoud van een piramide inhoud van een afgeknotte piramide


* Inhoud van een lichaam met een cirkel (met straal R) als grondvlak en waarvan dedoorsnede van een loodvlak op een vaste middellijn van de cirkel met het lichaameen gelijkzijdige driehoek is.

4

3

√3R3.

Figuur 8.11: inhoud

* Inhoud van een lichaam met als grondvlak een ellips met a als halve grote as en bals halve kleine as en waarvan de doorsnede van een loodvlak op de hoofdas van deellips met het lichaam een gelijkbenige driehoek is met hoogte h.

π.ab.h

2.

* Inhoud van het gemeenschappelijk deel van twee cilinders met zelfde straal en waar-van de assen elkaar loodrecht snijden.

4

3.4.R3.

* Inhoud van een kegel met een ellipsvormige basis (geen omwentelingskegel) (de ellipsheeft grote as 2a en kleine as 2b).

1

3π.ab.h.


* We beschouwen twee vlakke doorsneden van een cilinder met een vlak loodrecht opde as van de cilinder en een vlak die een hoek van 600 maakt met het eerste vlak.De snijlijn van beide vlakken snijdt de as van de cilinder. Bereken de inhoud vanhet lichaam ingesloten door deze twee vlakke doorsneden en de cilinder.

2√

3

3.R3.

Figuur 8.12: inhoud

OPGAVEN — 126 De basis van een lichaam is een paraboolsegment y2 = 12x afgesneden door zijnlactus rectum. Een vlakke doorsnede loodrecht op de as van de parabool is een vierkant. Bereken hetvolume van het lichaam.

127 De basis van een lichaam een het vlakdeel in het eerste kwadrant begrensd door de rechte 4x+5y =20 en de coordinaatassen. De vlakke doorsneden loodrecht op de x-as zijn halve cirkels. Bereken de inhoudvan het lichaam.

128 De basis van een lichaam is een cirkel x2 + y2 = 16x, en elke vlakke doorsnede loodrecht op dex-as is een rechthoek waarvan de hoogte gelijk is aan twee keer de afstand van de vlakke doorsnede totde oorsprong. Bereken de inhoud van het lichaam.


129 De top van een kegel bevindt zich in het punt (a, 0, 0) en het grondvlak is een cirkel van het(Y.Z)-vlak en heeft vergelijking y2 + z2 − 2by = 0. Bereken de inhoud van het lichaam.

130 Langs een middellijn van een bol met een straal van 3 wordt een hol met een straal van 1 geboord.Bereken de inhoud van hetgeen van de bol overblijft.

Oplossingen:

126 216;127 10π/3;128 1024π;129 1

3πab2;

130 64π√

2/3.

8.3 Omwentelingslichamen

1. Inhoud ontstaan door een kromme.Een omwentelingslichaam ontstaat door het wentelen van een vlakke kromme omeen rechte die met de kromme in eenzelfde vlak gelegen is. De rechte wordt de asvan het lichaam genoemd. Een omwentelingslichaam wordt eveneens begrensd doortwee parallelle vlakken loodrecht op de as van het lichaam.

Voor de inhoudsberekening is het aangewezen de x-as als as te nemen. De krommedie het omwentelingslichaam beschrijft kunnen we in het (x, y)-vlak leggen. Is dekromme in dat vlak de grafiek van een functie, dan is de vergelijking van de krommevan de gedaante y = f(x).

Elke vlakke doorsnede van het lichaam loodrecht op de x-as is een cirkelschijf metstraal f(x). De oppervlakte van een vlakke doorsnede in functie van x is gelijk aanπ(f(x))2.

De inhoud van het omwentelingslichaam ontstaan door het wentelen van de krommemet vergelijking y = f(x) om de x-as is en begrensd door de vlakken x = a en x = bis:

I = π

∫ b

a

(f(x))2dx.

8.3. OMWENTELINGSLICHAMEN 215

Voorbeelden:


Figuur 8.13: wenteling om de x-as

Figuur 8.14: wenteling om de y-as

* Inhoud van een cilinder met hoogte h en straal R.De cilinder ontstaat door het wentelen van de rechte met vergelijking y = Rom de x-as in het interval [0, h].

π

∫ h

0

R2dx = πR2[x]h0 = πR2.h.

* Inhoud van een kegel met hoogte h en straal R.De kegel ontstaat door het wentelen van de rechte met vergelijking y = R

hx om

de x-as in het interval [0, h].

π

∫ h

0

R2

h2x2dx =

πR2

h2[x3

3]h0 =

1

3πR2.h.


* Inhoud van een afgeknotte kegel met hoogte h en stralen R1 en R2.De afgeknotte kegel ontstaat door het wentelen van de rechte met vergelijkingy = R2

x2x om de x-as in het interval [x1, x2].

x2 − x1 = h

π

∫ x2

x1

R22

x22

x2dx = πR2

2

x22

[x3

3]x2x1

=π

3

R22

x22

(x32 − x3

1).

We drukken de inhoud liefst uit door middel van grootheden die onafhankelijkzijn van de ligging van het lichaam t.o.v. het gekozen coordinatenstelsel. Hierdrukken we de inhoud van de afgeknotte kegel uit in functie van de hoogte hen stralen R1 en R2.Omdat h = x2 − x1 schrijven we de inhoud als volgt:

π

3

R22

x22

(x2 − x1)(x22 + x2x1 + x2

1).

Houden we rekening met de betrekking in gelijkvormige driehoeken:

R2

R1

=x2

x1

=⇒ R1 =R2x1

x2

,

dan is de inhoud van de afgeknotte kegel gelijk aan

1

3π(R2

1 +R1.R2 +R22).h.

* Inhoud van een paraboloıde met hoogte h en hoofdparameter p: πh2.p.


* Inhoud van een ellipsoıde met grote as 2a en kleine as 2b:

4

3π.ab.b.

* Inhoud van een bolEen sfeer is het oppervlak dat ontstaat door het wentelen van de halve cirkelmet vergelijking y =

√R2 − x2 om de x-as.

Een bol is het lichaam begrensd door een sfeer.

2π

∫ R

0

(R2 − x2)dx = 2π

∫ R

0

(R2 − x2)dx = 2π[R2x− x3

3]R0 =

4

3πR3.

* Inhoud van een bolschijfEen bolzone of bolgordel is het oppervlak dat ontstaat door het wentelen vaneen cirkelboog van een halve cirkel met vergelijking y =

√R2 − x2 om de x-as.

Een bolschijf met straal R is het lichaam begrensd door een sfeer met straalR en twee parallelle vlakken die de sfeer in cirkels met strikt positieve straalsnijden. De grootste cirkel is het grondvlak en de kleinste is het bovenvlak vande bolschijf.Het zijdelings oppervlak van de bolschijf is een bolzone.


De afstand tussen grond- en bovenvlak is de hoogte h van de bolschijf en ookde hoogte van de bolzone.

De bolschijf ontstaat door het wentelen van de halve cirkel met vergelijkingy =√R2 − x2 om de x-as in het interval [x1, x2].

x2 − x1 = h

De stralen van grondvlak en bovenvlak van de bolschijf zijn resp. r1 en r2.

π∫ x2

x1(R2 − x2)dx = π[R2x− x3

3]x2x1

= π(R2(x2 − x1)− 13(x3

2 − x31))

= π.h(R2 − 13(x2

2 + x2.x1 + x21))

Tussen de stralen r1, r2 van grondvlak en bovenvlak van de bolschijf en destraal R van de bol bestaan de betrekkingen R2 = r2

1 +x21 en R2 = r2

2 +x22. We

schrijven

R2 =1

2(R2 +R2) =

1

2(r2

1 + x21 + r2

2 + x22).

We vervangen R2 op die manier in de uitdrukking van de inhoud. De inhoudvan de bolschijf kan nu als volgt geschreven worden:

I = π.h(R2 − 13(x2

2 + x2.x1 + x21))

= π.h(12(r2

1 + x21 + r2

2 + x22)− 1

3π.h(x2

2 + x2.x1 + x21))

= π.r21.h2

+ π.r22.h2

+ 16π.h.x2

2 + 16π.h.x2

1 − 13π.h.x2x1

= π.r21.h2

+ π.r22.h2

+ 16π.h(x2 − x1)

2

= π.r21.h2

+ π.r22.h2

+ 16π.h3

I = π.r21.h

2+ π.r2

2.h

2+

4

3π.(

h

2)3.


Met woorden:De inhoud van een bolschijf met hoogte h en stralen r1 en r2 is gelijk aan desom van de inhouden van twee cilinders met hoogte h

2en stralen resp. de stralen

r1 en r2 en de inhoud van de bol met straal h2.

Figuur 8.15: bolschijf — bolsegment

* Inhoud van een bolsegmentEen snijvlak van een bol verdeelt de bol in twee delen. Elk van deze delenwordt een bolsegment genoemd. We kunnen dit lichaam ook beschouwenals een limietgeval van een bolschijf waarbij een van de parallelle vlakken eenraakvlak is aan de bol. De andere vlakke doorsnede wordt het grondvlak vanhet bolsegment genoemd. Het zijdelings oppervlak van het bolsegment wordteen bolkap genoemd.

De inhoud van een bolsegment leiden we af uit de inhoud van de corresponde-rende bolschijf door r2 = 0 en r1 = r te stellen.

I = π.r2.h

2+

4

3π.(

h

2)3.


Met woorden:De inhoud van een bolsegment met hoogte h en straal r is gelijk aan de somvan de inhoud van een cilinder met hoogte h

2en straal r en de inhoud van de

bol met straal h2.

* Inhoud van een bolsector

Figuur 8.16: bolsector — bolschil

Een bolsector is het lichaam dat ontstaat door het wentelen van een cirkelsectorom een van zijn stralen. Een bolsector is de unie van een kegel met hoogte r− h eneen bolsegment met hoogte h.

Bereken zelf de inhoud.


* Inhoud van een bolschil

Een bolschil is het lichaam dat ontstaat door het wentelen van een cirkelsegmentom een middellijn van de cirkel waartoe het cirkelsegment behoort en het segmentniet snijdt.We beschouwen de bolschijf beschreven door de cirkelboog van het cirkelsegment ende afgeknotte kegel beschreven door de koorde van het cirkelsegment.

De inhoud van een bolschil is het verschil van de inhoud van de bolschijf en deinhoud van de afgeknotte kegel.

I = π.r21.h

2+ π.r2

2.h

2+

1

6π.h3 − 1

3πh(r2

1 + r22 + r1r2)

=h

6πr2

1 +h

6πr2

2 +1

6π.h3 − 1

3πhr1r2

=h

6π(r2

1 + r22 − 2r1r2) +

1

6π.h3

=h

6π((r1 − r2)2 + h2) =

h

6πk2

I = πhk2 met k de lengte van de koorde.

Met woorden:De inhoud van een bolschil is gelijk aan die van een cilinder, waarvan de hoogte eenzesde deel is van de hoogte van de bolschil en de straal van het grondvlak gelijk isaan de koorde van het cirkelsegment.


2. Inhoud ontstaan door twee krommen.

Het deel tussen twee krommen, gelegen in hetzelfde vlak met een rechte, wentelt omdie rechte. Zo ontstaat een omwentelingslichaam zie figuur 8.17.

Figuur 8.17: wenteling van 2 krommen

Voorbeelden:

* Inhoud van een ring of torus.De ring of torus ontstaat door wenteling van een cirkel met straal R om eenrechte op een afstand a > R van het middelpunt van de cirkel:

I = π ·R2.2π · a.


OPGAVEN — 131 Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat door het wentelen om de gegevenrechte:

a. y2 = x4(1− x2); x-as;

8.4. LENGTEBEREKENING VAN KROMMEN 225

b. 4x2 + 9y2 = 36; x-as;

c. Deel begrensd door x = 9− y2, x− y − 7 = 0, x = 0; y-as;

d. y = x2 − 5x+ 6, y = 0; y-as;

e. y = e−x2, y = 0, x = 0, x = 1; y-as;

f. De hartlijn: x = 2 cos θ − cos 2θ − 1, y = 2 sin θ − sin 2θ; x-as;

g. y = 2x2, 2x− y + 4 = 0; x = 2;

Oplossingen:

131 a. 4π/35; b. 16π; c. 963π/5; d. 5π/6; e. π(1− 1/e); f. 64π/3; g. 27π.

8.4 Lengteberekening van krommen

In deze paragraaf zullen we de lengte berekenen van krommen die een deel zijn van degrafiek van een functie. We veronderstellen de functie f continu in het interval [a, b]. Wenemen een eindige verdeling van [a, b] in n intervallen.

In elk deelinterval [xi−1, xi] beschouwen we het lijnstukje dat we bekomen door de cor-responderende punten pi−1 en pi van de grafiek met elkaar te verbinden. Op die manierkrijgen we bij deze eindige verdeling van het interval een gebroken lijn, waarvan we delengte gemakkelijk kunnen berekenen.

n∑i=1

√(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2.

De functie f is continu in het interval [a, b] en is de functie bovendien afleidbaar in [a, b]dan is ze dit ook in elk deelinterval van [a, b].Volgens de middelwaardestelling van de differentiaalrekening geldt:

∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : ∃ci ∈]xi−1, xi[: f(xi−1)− f(xi) = f ′(ci)(xi − xi−1)

n∑i=1

√(xi − xi−1)2 + (f ′)2(ci)(xi − xi−1)2

=n∑i=1

(xi − xi−1)√

1 + (f ′)2(ci).

Beschouwen we nu alle mogelijke eindige verdelingen van [a, b] en de daarbij behorendegebroken lijnen. De verzameling van de lengtes is een niet-ledige deelverzameling van


reele getallen die naar boven begrensd is. Deze verzameling heeft een supremum. Ditsupremum noemen we de lengte van de kromme.

L =

∫ b

a

√1 + (f ′)2(x)dx.

Voorbeelden:

* De lengte van een deel van de cosinushyperbolicus y = 12(ex + e−x);

* De lengte van een boog van de cycloıde; (8)

* De lengte van de kromme x = 3y3/2 − 1 van y = 0 tot y = 4; (24,4)

* De lengte van een deel van de parabool y2 = 12x tussen de oorsprong en het brand-punt.

* De lengte van de kromme y = x3/2 tussen x = 0 en x = 5.

* De lengte van de kromme 24xy = x4 + 48 tussen x = 2 en x = 4.

OPGAVEN — 132 Bereken de lengte van de kromme tussen de aangegeven grenzen:

a. 6xy = x4 + 3 van x = 1 tot x = 2;

b. 27y2 = 4(x− 2)3 van (2, 0) tot (11, 6√

3);

c. y = ln ex−1ex+1 van x = 2 tot x = 4;

d. y = ln(1− x2) van x = 1/4 tot x = 3/4;

e. x = et cos t, y = et sin t van t = 0 tot t = 1.

Oplossingen:

a. 17/12 b. 14 c. ln(e4 + 1)− 2 d. ln 21/5− 1/2 e.√

2(e4 − 1).

8.5. MANTELOPPERVLAKTE VAN OMWENTELINGSLICHAMEN 227

8.5 Manteloppervlakte van omwentelingslichamen

In deze paragraaf berekenen we alleen de manteloppervlakte van omwentelingslichamen.Om de formule voor de manteloppervlakte op te stellen leggen we de x-as langs de as vanhet omwentelingslichaam en de kromme die het lichaam beschrijft is de grafiek van eenfunctie y = f(x) in het (x, y)-vlak.

We veronderstellen de functie f continu in het interval [a, b] en afleidbaar in ]a, b[. Wenemen een eindige verdeling van [a, b] in n intervallen.

In elk deelinterval ]xi−1, xi[ beschouwen we het lijnstukje dat we bekomen door de cor-responderende punten pi−1 en pi van de grafiek met elkaar te verbinden. Op die manierkrijgen we bij deze eindige verdeling van het interval een gebroken lijn. Bij wenteling omde x-as beschrijft elk lijnstukje een afgeknotte kegel. We zullen de zijdelingse oppervlakteberekenen van elk van de afgeknotte kegels in elk van de deelintervallen.

Vooraleer we de manteloppervlakte van een afgeknotte kegel te berekenen, berekenen weeerst de manteloppervlakte van een kegel.

De manteloppervlakte van een kegel is gelijk aan de oppervlakte van de cirkelsector diewe bekomen door de kegel te ontwikkelen. De omtrek van het grondvlak van de kegel isgelijk aan de boog van de cirkelsector. Is R de straal van de kegel, a het apothema en hde hoogte, dan is

2πR = aα

waarbij α de openingshoek is van de cirkelsector.

De oppervlakte van de cirkelsector met straal a en openingshoek α is

a2α

2

Uit de laatste twee betrekkingen volgt dat de oppervlakte van de kegel met straal R enapothema a gelijk is aan

πRa

De manteloppervlakte van een afgeknotte kegel met stralen r1 en r2 en apothema a is gelijkaan het verschil van de manteloppervlakten van twee kegels met straal r1 en apothemaa1 en straal r2 en apothema a2, waarbij

a1 − a2 = a

De manteloppervlakte van de afgeknotte kegel is:

πr1a1 − πr2a2 = π(r1a1 − r2a2)


Uit gelijkvormige driehoeken besluiten we dat:

a1

a2

=r1r2

Volgens de eigenschappen van de breuken geldt:

a1 − a2

a2

=r1 − r2r2

⇐⇒ a

a2

=r1 − r2r2

⇐⇒ a2 =r2a

r1 − r2

Wegens de symmetrie van index 1 t.o.v. index 2 geldt:

a2 − a1

a1

=r2 − r1r1

⇐⇒ a

a1

=r1 − r2r1

⇐⇒ a1 =r1a

r1 − r2

De manteloppervlakte van de afgeknotte kegel met apothema a en stralen r1 en r2.

πa(r1 + r2)

We onderstellen dat de functie positief is in het interval [a, b]. De afgeknotte kegel dieontstaat door het wentelen om de x-as van het lijnstuk [Pi−1, Pi] heeft als apothema|pi−1pi| en als stralen f(xi−1) en f(xi).

De manteloppervlakte van zo een afgeknotte kegel is gelijk aan:

π|Pi−1Pi|.(f(xi−1) + f(xi)) = π(xi − xi−1).√

1 + (f ′)2(ci).(f(xi) + f(xi−1))

met ci ∈]xi−1, xi[ (volgens de middelwaardestelling).

De manteloppervlakte van het lichaam dat ontstaat door het wentelen om de x-as van degebroken lijn is gelijk aan:

n∑i=1

π(xi − xi−1).√

1 + (f ′)2(ci).(f(xi) + f(xi−1))

Is het aantal deelintervallen zeer groot dan kunnen we f(xi−1) + f(xi) benaderen door2f(ci) (ook wegens de continuıteit van f in [a, b]).

Voor een verdeling van het interval [a, b] met een voldoende groot aantal verdelings-punten is de manteloppervlakte van het corresponderend omwentelingslichaam (unie vanafgeknotte kegels) met goede benadering gelijk aan:

n∑i=1

π2f(ci)(xi − xi−1).√

1 + (f ′)2(ci)

8.5. MANTELOPPERVLAKTE VAN OMWENTELINGSLICHAMEN 229

Beschouwen we alle mogelijke eindige verdelingen van het interval [a, b]. De verzamelingvan de manteloppervlakten van de corresponderende omwentelingslichamen naar bovenbegrensd en bezit een kleinste bovengrens die de manteloppervlakte van het lichaam isdat ontstaat door het wentelen om de x-as van de grafiek van de functie f is in het interval[a, b].

M = 2π

∫ b

a

f(x)√

1 + (f ′)2(x)dx.

OPGAVEN — 133 Bereken de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam dat ontstaat doorwentelen om de aangegeven as:

a. y2 = 12x van x = 0 tot x = 3; x-as;

b. y2 + 4x = 2 ln y van y = 1 tot y = 3; x-as;

c. 8a2y2 = a2x2 − x4; x-as;

d. x = a cos2 θ, y = a sin2 θ; x-as;

e. y = lnx van x = 1 tot x = 7; y-as;

f. y = a cosh xa van x = −a tot x = a; x-as.

134 Bereken de oppervlakte van een bolzone met straal r en hoogte h.

135 Bereken de oppervlakte van een bolkap met straal r en hoogte h.

Oplossingen:133 a. 24π(2

√2−1)π; b. 32π/3; c. πa3/2; d. 12a2π/5; e. π(34

√2 + ln(3 + 2

√2)); f. πa2(e2− e−2 + 4)/2.

134 2πrh.De oppervlakte van de bolzone is gelijk aan het product van de omtrek van de beschrijvende cirkelvan de bol en de hoogte van de bolzone.135 2πrhDe oppervlakte van een bolkap is gelijk aan het product van de omtrek van de beschrijvende cirkelvan de bol en de hoogte van de bolkap.

opp.bolkap = 2πrh


AN II HUISTAAK 13 1. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten doorde kromme y = x.e−x

2, de x-as en de rechte x = a met a de waarde waarin de

functie een maximum bereikt.

2. De basis van een lichaam is een driehoek in het (x, y)-vlak begrensd door de rechte4x+ 5y = 20 en de x-as en y-as. Elke vlakke doorsnede met het lichaam loodrechtop de x-as is een halve cirkel. Bereken het volume van het lichaam.

3. Bereken de lengte van de kromme y = ln cos x tussen x = π6

en x = π4.

4. Bereken de oppervlakte van het lichaam ontstaan door wentelen om de grote as vaneen ellips met grote as 2a en kleine as 2b (ellipsoıde).

Oplossingen: 1. (√e− 1)/2

√e; 2. 10π/3; 3. 1

2ln(1 + 2

√2

3); 4. 2πba2

carcsin c

a+ 2πb2.

Hoofdstuk 9

Reeksontwikkeling van een reelefunctie

9.1 Reele reeksen

We hebben reeds de definitie van een reeks ontmoet verleden jaar bij de theorie van derijen. Een reele reeks is niets anders dan de rij van de partieelsommen van een bepaalderij. Dus een reeks is altijd gehecht aan een rij. Bijvoorbeeld een meetkundige reeks isgehecht aan een meetkundige rij. Is de reden van die rij gelijk aan q en de eerste termgelijk aan a, dan is de nde term van de reeks

(sn) : a, a+ aq, a+ aq + aq2, . . .

gelijk aansn = a+ aq + aq2 + . . . aqn−1.

We zullen dit nu niet langer een term noemen, maar overdrachtelijk een partieelsom vande reeks.

De reeks die behoort bij de rij (an)n∈R zullen we in het vervolg noteren als∑an.∑

an = (sn) : s1, s2, s3, . . . , sn, . . .

Deze notatie is geınspireerd op de notatie voor een som: de som van de eerste n termenvan de rij (an) is namelijk

n∑i=1

ai.

231

232 HOOFDSTUK 9. REEKSONTWIKKELINGEN

De rij die hoort bij een reeks zullen we soms de rij van termen noemen en zijn elementende termen van de reeks. Ook dit is in overdrachtelijke zin want het zijn in feite de termenvan zijn rij van termen. Toch is deze naamgeving logischer dan de vroegere omdat we nuwerkelijk termen van een som hebben. Historisch is de naamgeving dan ook via reeksengeschied.

Het verband tussen de termen van een reeks

(sn) : s1, s2, s3, . . . , sn, . . .

behorende bij de rij(an) : a1, a2, a3, . . . , an, . . .

isan = sn − sn−1.

De reekssom van de reeks∑an is de limiet van de rij der partieelsommen, als deze

bestaat. Wij zullen daarvoor de notatie

lim+∞

sn =+∞∑n=1

an

gebruiken.

Als de reekssom bestaat zegt men ook wel dat de reeks convergent is, zoals voor gewonerijen. Men gebruikt ook de termen divergent en onbeslist in dezelfde zin als voor rijenvroeger.

Voorbeeld: Nemen we een meetkundige reeks met reden 1/2. Zo ’n meetkundige reeks isconvergent:

+∞∑n=1

(1

2

)n= 1.

Is een reeks convergent dan is de reeks eigenlijk een som van oneindig veel reele getallen.Voor de meetkundige reeks met reden 1/2:

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+ · · · = 1.

Een belangrijk kenmerk van convergente reeksen wordt gegeven door de volgende stelling.

STELLING 9.1 Is een reeks convergent dan convergeert de termenrij naar 0. Is duslim+∞

an 6= 0, voor een bepaalde rij (an), dan convergeert de geassocieerde reeks∑an niet.

9.1. REELE REEKSEN 233

Figuur 9.1: de alternerende harmonische reeks

Bewijs: We stellen de nde patieelsom van de reeks∑an voor door sn. We zien gemakkelijk

in dat an = sn − sn−1. Onderstellen we dat de reeks convergent is, dan kunnen we vanbeide leden de limiet nemen naar +∞. We bekomen:

limn→+∞

an = limn→+∞

sn − limn→+∞

sn−1

= limn→+∞

sn − limn−1→+∞

sn−1

= limn→+∞

sn − limm→+∞

sm

= 0

De tweede bewering is de contrapositie van de eerste. �

De tweede bewering van voorgaande stelling wordt vaak gebruikt om te bwijzen dat eenbepaalde reeks niet convergeert. Toch lukt dit niet altijd. Er bestaan namelijk reeksen dieniet convergeren en waarvoor de geassocieerde rij toch naar 0 convergeert. Het prototype

van zo’n reeks is de harmonische reeks∑ 1

n, die gehecht is aan de harmonische rij.

Voor een reeks gehecht aan een alternerende rij, kortweg een alternerende reeks genoemd, is het welvoldoende dat de rij der termen convergeert naar nul opdat de reeks convergent zou zijn. Bijvoorbeeldde alternerende harmonische reeks convergeert en we zullen later de limiet berekenen.

Het bewijs van die bewering is niet zo ingewikkeld. Men beschouwt de rijen van respectievelijk de onevenpartieelsommen en de even partieelsommen. Deze zijn respectievelijk stijgend en dalend (of omgekeerd,maar laat ons de gedachten nu zo vestigen) en respectievelijk naar boven en naar onder begrensd door elketerm van de andere rij. Wegens Stelling 5.3 van Analyse I convergeren beide rijen naar respectievelijk hunsupremum S1 en infimum S2. Maar S2 − S1 is de limiet van het verschil van de even partieelsommenrijen de oneven partieelsommenrij, wat ook nog gelijk is aan de limiet van de termenrij (zoals in het bewijsvan Stelling 9.1), en dus gelijk aan 0. Dus S1 = S2 en de reeks convergeert naar S1.


9.2 Machtreeksen

Beschouwen we nog eens de meetkundige reeks met reden q en eerste term gelijk aana = 1. We hebben gezien dat deze reeks convergent is zodra −1 < q < 1 en de limiet isgelijk aan 1

1−q .

Beschouwen we nu de functie y =1

1− x, dan kunnen we schrijven

1

1− x=

+∞∑n=1

xn−1

= 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · ·

Wat we dus bereikt hebben is het volgende. We hebben de functiewaarden begrepen tussen−1 en 1 van de functie y = 1

1−x geschreven als een limiet van een reeks machten van x. Hoekleiner |x|, hoe minder termen we moeten beschouwen om reeds een goede benadering tehebben voor y. Natuurlijk, het is op het eerste gezicht een beetje idioot om deze functieop zo een manier te berekenen, zelfs als we over geen rekentoestel beschikken, omdathet functievoorschrift ook rechtstreeks te berekenen is door een eenvoudige deling uit tevoeren. Toch is de formule belangrijk omdat in sommige fysische problemen termen uit denoemer moeten worden verdreven (om bijvoorbeeld gemakkelijker te kunnen integreren)en 1 + x+ x2 geeft reeds een goede benadering als |x| zeer klein is.

Bijvoorbeeld ∫ 1/2

−1/2

dx

1− x3≈

∫ 1/2

−1/2

(1 + x3 + x6)dx

≈ [x+x4

4+x7

7]1/2−1/2

≈ 1 +1

448

OPGAVEN — 136 Bereken benaderend de volgende integralen:

1.∫ √e

1

dx1− lnx

3.∫ 2/5

0

dx1− x5

2.∫ √3/3

0

dx1− arctanx

4.∫ π/6

0

dx1− sinx

De vraag is nu of we zo een formule ook voor andere functies kunnen vinden. Eerste punt:wat bedoelen we met zo een formule? Wel, het is handig gebleken dat we over machten

9.3. REEKSONTWIKKELING VAN EEN FUNCTIE 235

van x beschikten en niets meer. Eventueel zouden er nog coeficienten mogen optreden(die constanten zijn!). Dus reeksen van de vorm∑

anxn.

Bijvoorbeeld, vervangen we x door −x in de formule voor 11−x , dan bekomen we

1

1 + x= 1− x+ x2 − x3 + x4 − · · · ,

voor −1 < x < 1. Hier hebben we dus an = 1 voor oneven n en an = −1 voor even n.

Wat we ook nog kunnen aanvaarden, gezien de toepassing op bepaalde integralen hierbo-ven, is dat er machten van x− a voorkomen in plaats van machten van louter x, waarbija natuurlijk een constante is. Bijvoorbeeld kunnen we schrijven

1

2− x=

1

1− (x− 1)= 1 + (x− 1) + (x− 1)2 + (x− 1)3 + · · · ,

voor 0 < x < 2. Merk op dat we dit ook nog anders kunnen vervormen:

1

2− x=

1/2

1− x/2= 1/2

(1 + x/2 + (x/2)2 + (x/2)3 + · · ·

)voor −2 < x < 2. Het voordeel van de eerste schrijfwijze is dat ze een betere benaderinggeeft rond x = 1 (we zeggen dat de reeks sneller convergeert daar), terwijl het voordeelvan de tweede schrijfwijze is dat ze, benevens sneller convergeren rond x = 0, convergeertin een groter interval. Het hangt dus af van het probleem welke vorm we kiezen.

Welnu, een reeks van de vorm∑an(x−a)n noemen we een machtreeks. Is an = 0 vanaf

een zekere n = N , dan hebben we een veelterm van de graad N − 1. Een veelterm is duseen bijzonder geval van een machtreeks.

Wat we nu willen is dus een gegeven functie schrijven als de limiet van een machtreeks∑an(x− a)n. We zeggen dat we de functie ontwikkelen in een reeks rond a.

9.3 Reeksontwikkeling van een functie

We hebben reeds gezien dat de raaklijn in een punt een goede benadering is voor defunctiewaarden rond dat punt. Dit is in feite reeds een reeksontwikkeling met 1 term.Inderdaad, uit de stelling van Lagrange hebben we afgeleid dat, als een functie f(x)


afleidbaar is rond x = a, dan is f(b) te benaderen door f(a) + (b − a)f ′(a). Stellen web = x, dan komt er:

f(x) ≈ f(a) + f ′(a) · (x− a),

voor x “in de omgeving van” a. We noemen dit de eerste orde benadering van defunctie f(x). We vragen ons nu af of we geen betere benadering kunnen vinden door eenterm a2(x− a)2 bij te voegen, waarbij a2 een te bepalen constante is.

We onderstellen dat al onze functies onbeperkt afleidbaar zijn en dus kunnen we afleidenzoveel we willen, dat het een lieve lust is. We zoeken dus a2 zo dat

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) + a2(x− a)2,

en de benadering moet zo goed mogelijk zijn. Daartoe leiden we beide leden af:

f ′(x) ≈ f ′(a) + 2a2(x− a)

en we passen de eerste orde benadering toe op f ′(x). Dit geeft ons

f ′(x) ≈ f ′(a) + f ′′(a)(x− a),

waaruit we besluiten dat de beste algemene keuze

a2 =f ′′(a)

2

is. We voegen nu een term van derde macht in (x− a) toe, namelijk a3(x− a)3, en leidentweemaal af om te bekomen dat

a3 =f ′′′(a)

6.

Zo voortgaande zien we gemakkelijk in dat de beste keuze voor an zal zijn:

an =f (n)(a)

n!.

We kunnen dus voor willekeurige n ∈ N schrijven:

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n,

voor x in de omgeving van a. Voor elke functie afzonderlijk moet exact bepaald wordenwat die omgeving precies is. We bekomen aldus de reeks

9.3. REEKSONTWIKKELING VAN EEN FUNCTIE 237

∑ f (n)(a)

n!(x− a)n.

Deze reeks wordt de reeksontwikkeling van Taylor voor de functie f rond hetpunt a genoemd.

In de formule van Lagrange kunnen we ≈ vervangen door = op voorwaarde dat we f ′(a)vervangen door f ′(c0), voor een zekere c0 gelegen tussen x en a. Door deze formule toe tepassen op de nde afgeleide vinden we dat

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n +

f (n+1)(cn)

(n+ 1)!(x− a)n+1,

voor een zekere waarde cn gelegen tussen x en a en afhankelijk van x. De laatste termvan deze gelijkheid wordt de sluitterm van de orde n genoemd.

Het is nu meteen duidelijk dat, als voor gegeven x de rij der sluittermen(f (n+1)(cn)

(n+ 1)!(x− a)n+1

)n∈N

naar 0 convergeert, dat dan de reeksontwikkeling van f rond a in x naar f(x) convergeert.Voor elke functie afzonderlijk moet dit gecontroleerd worden. Er bestaan functies diegeen reeksontwikkeling bezitten (niet voldoende afleidbaar), maar er bestaan ook functieswaarvoor de reeksontwikkeling niet convergeert (bijvoorbeeld de meetkundige reeks metreden > 1), en, straffer nog, er bestaan zelfs functies waarvoor de reeksontwikkeling rondeen punt a wel convergeert, zelfs voor alle x ∈ R, maar voor geen enkele waarde van xnaar f(x) (uitgezonderd voor x = a zelf). Een voorbeeld van zo een functie wordt gegeven

door het voorschrift y = e−1

x2 , voor x 6= 0 en y = 0 voor x = 0. Ontwikkelen rond x = 0geeft ons de nulreeks, want alle afgeleiden in x = 0 zijn 0. Deze reeks convergeert vooralle x, maar nooit naar f(x) voor x 6= 0.

Al de functies die wij zullen beschouwen zullen in een bepaald niet-triviaal symmetrischinterval rond a convergeren naar f(x). We zullen dit niet bewijzen, doch slechts hier endaar een aanwijzing geven hoe dit gebeurt.

Vooralleer in het volgende deeltje de reeksontwikkeling van enkele belangrijke functiesneer te schrijven, geven we eerst een tweede gedaante van de reeksontwikkeling van Taylor.Daartoe vervangen we x door a+ h en we bekomen:

f(a+ h) ≈ f(a) + f ′(a)h+f ′′(a)

2h2 + · · ·+ f (n)(a)

n!hn,


en

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+f ′′(a)

2h2 + · · ·+ f (n)(a)

n!hn +

f (n+1)(cn)

(n+ 1)!hn+1.

Deze vorm drukt uit dat, als we de functiewaarde kennen in een punt a van een functief , dan kunnen we de functiewaarden benaderend berekenen in elk punt a + h door eenveelterm in h uit te rekenen (op voorwaarde dat de reeks van Taylor naar de functieconvergeert in a+h). Deze formule geeft dus de toename van de functiewaarde in termenvan een veelterm in de toename van de x-waarde.

We merken tenslotte nog op dat voor a = 0 deze reeksontwikkeling ook nog de reeksont-wikkeling van McLaurin genoemd wordt.

f(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(θx)

(n+ 1)!xn+1met0 < θ < 1.

9.4 Reeksontwikkeling van enkele belangrijke func-

ties

We geven nu de reeksontwikkeling van McLaurin van enkele belangrijke functies (zoals detitel zegt). We geven onmiddellijk de algemene vorm van de nde afgeleide. De berekeningwordt aan jou overgelaten of wordt in de klas gedaan. Het bewijs kan door middel vaninductie geschieden.

1. De functie y = (1 + x)q.

f (n)(x) = q(q − 1)(q − 2) . . . (q − n + 1)(1 + q)q−n, waaruit f (n)(0) = q(q − 1)(q −2) . . . (q − n+ 1), dus

(1 + x)q = 1 + qx+q(q − 1)

2!x2 +

q(q − 1)(q − 2)

3!x3 + · · · ,

voor −1 < x < 1.

Voor q ∈ N verkrijgen we het binomium van Newton terug. Voor q = −1 vindenwe onze formule van een meetkundige reeks weer. Vervangen we x door −x, dankrijgen we de reeksontwikkeling rond 0 van de functie y = (1− x)q.

2. De functie y = ln(1 + x).

f (n)(x) = (−1)n−1 (n−1)!(1+x)n , waaruit f (n)(0) = (−1)n−1(n− 1)!, dus

9.4. BELANGRIJKE FUNCTIES ONTWIKKELD 239

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ · · · ,

voor −1 < x ≤ 1. Dit kan ook bekomen worden door de reeksontwikkeling van1/(1 + x) termsgewijs te integreren. Merk op dat voor x = 1 we de alternerendeharmonische reeks terugvinden die dus convergeert naar ln 2.

3. De functie y = ex.

f (n)(x) = ex, waaruit f (n)(0) = 1, dus

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ · · · ,

en dat voor alle x ∈ R. Voor x = 1 bekomen we een snelle benadering voor hetgetal e.

4. De functie y = sinx.

f (n)(x) is gelijk aan sinx voor n een viervoud; aan − sinx voor n een viervoud plustwee; een cosx voor n een viervoud plus een en aan − cosx voor n een viervoudplus drie. Dus f (n)(0) is gelijk aan 0 voor n even, aan 1 voor een viervoud plus eenen gelijk aan −1 voor n een viervoud plus drie. Aldus is

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · · ,

en dit geldt voor alle x ∈ R.

De restterm van de nde orde is hier in absolute waarde gelijk aan x(n+1)

(n+1)!vermenig-

vuldigd met de absolute waarde van de sinus of cosinus van een constante cn. Dezelaatste is altijd kleiner dan 1 en dus komt het er op neer om de limiet van de rij(x(n+1)

(n+ 1)!

)n∈N

te vinden. Deze limiet is 0 omdat faculteit veel sneller naar +∞

gaat dan om het even welke macht.

5. De functie y = cosx.

Analoog aan sinx bekomen we hier:

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · · ,

geldig voor alle x ∈ R.


Vervangen we in de reeksontwikkeling van ex de onbepaalde x door ix, waarbij i het complexgetal de wortel uit −1 voorstelt, dan zien we onmiddellijk dat we de reeksontwikkeling kunnenuiteentrekken in de oneven en de even machten en we bekomen:

eix = cosx+ i sinx.

Stellen we x gelijk aan π dan bekomen we de formule van Euler die de belangrijkste eenheden uitZ, C, de goniometrie en de analyse verenigt:

eiπ = −1

Een formule om op te hangen in je living! Algemeen gebruikt men reeksontwikkelingen om reelefuncties te verruimen tot complexe.

6. De functie y = arctanx.

Deze functie kan bekomen worden door de functie1

1 + x2te integreren. Integreren

we de reeksontwikkeling term voor term (wat we mogen doen, maar dat zullen weniet bewijzen (bedenk dat we hier oneindig veel termen integreren en het is nietevident dat dit mag; neem als voorbeeld de reeksontwikkeling van ln(1 + x) inx = 1: deze convergeert, maar de reeksontwikkeling van de primitieve functie 1

1+x

convergeert niet voor x = 1)), dan bekomen we (daar 11+x2 = 1−x2 +x4−x6 + · · · )

arctanx = x− x3

3+x5

5− x7

7+ · · · ,

voor −1 ≤ x ≤ 1.

In het bijzonder verkrijgen we een benadering van π door x gelijk aan 1 te nemenen met 4 te vermenigvuldigen. De convergentie is wel zeer traag.

OPGAVEN — 137 Ontwikkel de volgende functies in een reeks van McLaurin (geef telkens enkeletermen of, als je kunt, de algemene term):

1. y =1

(1 + x)25. y = ln

1− x1 + x

2. y =1√

1− x26. y = sin2 x

3. y = arcsinx 7. y = tanx

4. y = ln(1− x) 8. y =1

5− 2x

9.5. BENADEREN VAN FUNCTIEWAARDEN 241

9.5 Benaderen van functiewaarden

De formule van Taylor geeft ons een geschikt middel om functiewaarden te benaderen doorandere te gebruiken. Natuurlijk is dit vrij nutteloos als we over een rekentoestel beschikkenen alleen geınteresseerd zijn in het resultaat. Maar ook dit rekentoestel moet gemaaktzijn door iemand die op zo een manier dit toestel programmeert. Het kan dus geenkwaad om eens te kijken hoe dit gebeurt. Je zult ook zien dat deze werkwijze van groottheoretisch belang en praktisch nut kan zijn. Een ingenieur is bijvoorbeeld geınteresseerdin het schatten van grootheden, maar hij wil weten hoe groot de nauwkeurigheid is, anderskunnen er ongelukken gebeuren. De nu volgende theorie geeft daar een gepaste oplossingvoor.

We hebben gezien dat voor de functies uit de voorgaande paragraaf we een benaderingkunnen doorvoeren met veeltermen. De fout die we maken is gelijk aan de sluitterm. Alswe deze kunnen afschatten, waarbij we liever denken een grotere fout te maken dan eenkleinere (dat is logisch, denk aan de veiligheidsfactor: als ongeveer twee ton over een brugkan rijden is het beter te denken dat dit op ±100 kg nauwkeurig is — en dus maximaal 1, 9ton toelaten — dan slechts op 1 kg nauwkeurig — en 1, 999 ton toelaten!), dan kennen weeen bovengrens voor onze fout. Voor sommige functies is dit niet zo moeilijk. We geveneen voorbeeld.

We bereken cos 1 door de eerste twee niet-nul termen in de reeksontwikkeling van McLau-rin te beschouwen. We bekomen cos 1 = 1 − 1/2 = 1/2. De fout die we maken is gelijkaan de sluitterm van de orde 3, namelijk cos c3

4!· 14. Daar | cos c3| ≤ 1, is onze fout kleiner

dan of gelijk aan 1/24 = 0, 04166 . . ..

We kunnen ons afvragen hoever we moeten gaan in de reeksontwikkeling om een fout vanmaximaal een miljoenste te hebben. De sluitterm van de orde n is gelijk aan cos cn

(n+1)!· 1n+1.

Dit is zeker kleiner dan een miljoenste als 1/(n+ 1)! dit is. Dus zodra n = 9. We moetendus tot en met de term in x8 in acht nemen, dit betekent de eerste 5 niet-nul termen.

OPGAVEN — 138 Zoek een benaderde waarde op minstens 0, 001 nauwkeurig voor√

101,√

98 doorde functie y =

√100 + x = 10

√1 + x/100 in reeks te ontwikkelen.

139 Schrijf de veelterm −x4 + 5x3− 4x2 + 5x− 2 in machten van x− 1 door te ontwikkelen in een reeksvan Taylor rond x = 1. Doe hetzelfde voor de veelterm x5 + 10x4 + 40x3 + 60x2 − 25x + 5 in machtenvan x+ 2.

140 Voor welke x mogen we sinx vervangen door x als we maximaal een fout toelaten van 0, 000036?

141 Bepaal het getal e op 10 cijfers na de komma nauwkeurig.

142 Hoever moeten we gaan in de reeksontwikkeling van arctanx om π te bekomen (voor x = 1 en danalles met 4 vermenigvuldigen) op drie cijfers na de komma nauwkeurig?

143 Bereken ln 3, e3 en cos 3 op twee cijfers na de komma nauwkeurig.


9.6 Toepassing op extrema en buigpunten

We onderstellen terug dat een functie f onbeperkt afleidbaar is over zijn domein en westellen ons de vraag of we relatieve extrema en buigpunten ook kunnen herkennen zondertekenonderzoek door te voeren, maar door alleen naar afgeleiden en hun tekens te kijken.Door middel van reeksontwikkeling kan men de volgende stelling bewijzen.

STELLING 9.2 Onderstel dat de eerste n − 1 afgeleiden van f in een punt a nul zijnen de n-de afgeleide f (n)(a) verschillend van nul. Dan geldt:

(i) Is n even, dan bereikt f een relatief extremum in a. Is f (n)(a) < 0, dan is dit eenmaximum; is f (n)(a) > 0, dan is dit een minimum.

(ii) Is n oneven, dan heeft f een buigpunt in a.

We hebben ook het volgende:

STELLING 9.3 Onderstel dat de tweede tot en met de (n− 1)de afgeleide van f in eenpunt a nul zijn en dat de n-de afgeleide f (n)(a) verschillend is van nul. Dan heeft f eenbuigpunt voor x = a als en slechts als n oneven is.

Het bewijs van deze stellingen gebruikt de sluitterm van de (n− 1)de orde. We bewijzenbijvoorbeeld (i) van Stelling 9.2. We kunnen schrijven

f(x) = f(a) +f (n)(cn−1)

n!(x− a)n. (9.1)

Daar f (n)(x) continu is (het is afleidbaar!), en niet nul in a, bestaat er een omgeving vana waarbinnen f (n)(x) hetzelfde teken als f (n)(a) houdt. In deze omgeving heeft de laatsteterm van 9.1 ook dit zelfde teken, tenminste als n even is. Is dit teken negatief, dan isdus binnen die omgeving f(x) altijd kleiner dan f(a) en de functie bereikt een relatiefmaximum. Is dit teken positief, dan is f(x) altijd groter dan f(a) in die omgeving en defunctie bereikt een relatief minimum.

De andere beweringen worden analoog bewezen.

OPGAVEN — 144 Bepaal de eventuele relatieve extrema en eventuele buigpunten van de volgendefuncties:

9.6. EXTREMA EN BUIGPUNTEN 243

1. y =x5

5− x4 8. y = x(6− x)2

2. y =x6

6− 5x4

4+ 10x2 9. y =

x2 − 1x− 2

3. y = x5 + x4 − 5x3 − x2 + 8x− 4 10. y =√

6− x2

4. y = x4 − 6x3 + 12x2−!x 11. y = (x− 4)4(x+ 3)3

5. y =x5

5− x4 12. y = x− sin2 x

6. y = sin2 x 13. y = 3√

(x− 1)(x2 + 4x+ 4)

7. y = tan 2x 14. y = x3 +48x

Inhoudsopgave

1 Exponentiele en logaritmische functies 3

1.1 Exponentiele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Rationale exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1.1 Natuurlijke exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1.2 Gehele en rationale exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1.3 Rekenregels met rationale machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Groeiprocessen – groeifactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Reele exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4 Definitie van exponentiele functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5 Eigenschappen van exponentiele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.6 Rekenregels met reele exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Definitie van een logaritmische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3 Eigenschappen van logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.4 Rekenregels met logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.5 Verband tussen verschillende logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 Eenvoudige logaritmische en exponentiele vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.1 Standaardvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.2 Vergelijkingen die na toepassing van de eigenschappen onmiddellijk te herleidenzijn tot een van de standaardvormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.3 Vergelijkingen die aanleiding geven tot een algebraısche vergelijking in loga f(x) ofef(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

245

246 INHOUDSOPGAVE

1.6 Logaritmische schaal * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.1 Logaritmische schaalverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.2 Grafieken met logaritmische schaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7 De afgeleide functie van een logaritmische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.8 Afgeleide functie van een exponentiele functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.9 Logaritmisch afleiden* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10 Limieten en continuıteit van de exponentiele en logaritmische functies . . . . . . . . . . . 50

1.10.1 De standaardlimieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10.2 Limieten waarin een exponentiele en logaritmische functie voorkomt . . . . . . . . 51

1.11 Hyperbolische functies* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11.2 Hyperbolische identiteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.12 De inverse hyperbolische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.13 Afgeleide functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.13.1 Afgeleide functies van de hyperbolische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.13.2 De afgeleide functies van de inverse functies van de hyperbolische functies . . . . . 56

1.14 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2 Goniometrische functies 59

2.1 De sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.2 De grafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.3 Kenmerken van de sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2 De cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.2 De grafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3 De functie y = a sin(bx+ c) + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4 De functie y = a sin(ωt+ ϕ0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5 De standaardlimiet lim0sin xx = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.6 De afgeleide functie van de sinusfunctie en de cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.7 Limietberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.8 De tangensfunctie en cotangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


2.10 Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.10.1 Uitgewerkte oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.11 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

INHOUDSOPGAVE 247

3 Cyclometrische functies 81

3.1 De inverse relatie van de sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 De arcussinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2.2 De grafiek van de arcussinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 De inverse relatie van de cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4 De arcuscosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.1 Definitie van de arcuscosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.2 De grafiek van de arcuscosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5 De inverse relatie van de tangensfunctie en de cotangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6 De arcustangensfunctie en de arccotangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.7 De afgeleide functie van een cyclometrische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


3.9 Vergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.9.1 Standaardvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


4 Verloop van functies 125

4.1 Verloop van functies met exponentiele of logaritmische functie . . . . . . . . . . . . . . . . 125


4.2 Verloop van functies met goniometrische of cyclometrische functie . . . . . . . . . . . . . . 132

4.2.1 Uitgewerkte oefening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 Differentialen 135

5.1 Differentialen en foutberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.1 De differentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.2 Rekenregels met differentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.3 Differentialen van de voornaamste functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.1.4 Meetkundige betekenis van de differentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.1.5 Benaderen van functiewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.1.6 Absolute, relatieve fout en procentuele fout bij metingen . . . . . . . . . . . . . . . 144

248 INHOUDSOPGAVE

6 Integralen 149

6.1 Inleidende voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2 Primitieve functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.3 Onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.3.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.3.2 Eigenschappen van de onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.3.3 Basisintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.3.3.1 Basisintegralen om rationale functies te integreren . . . . . . . . . . . . . 158

6.3.3.2 Basisintegralen om irrationale functies te integreren . . . . . . . . . . . . 158

6.3.3.3 Basisintegralen om goniometrische functies te integreren . . . . . . . . . . 159

6.3.3.4 Basisintegralen om exponentiele functies te integreren . . . . . . . . . . . 159

6.3.3.5 Basisintegralen om hyperbolische functies te integreren . . . . . . . . . . 159

6.3.4 Integratiemethodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.3.4.1 Integratie door substitutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.3.4.2 Integratie door splitsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.3.4.3 Partiele integratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.3.5 Integratie van veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.3.6 Integratie van een rationale breuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.3.7 Integratie van goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.3.8 Integratie van irrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7 Bepaalde integraal 179

7.1 Integraal van een trapfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.1.1 Verdelingen van een interval en trapfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.1.2 Integraal van een trapfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.1.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.1.2.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.1.2.3 Meetkundige interpretatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.2 Bepaalde integraal van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.2.1 Uitbreiding van het begrip van bepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.3 Eigenschappen van de bepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.3.1 Eigenschappen met betrekking tot het integratie-interval . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.3.2 Eigenschappen met betrekking tot de functie zelf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.4 Middelwaardestelling van de integraalrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.5 Bepaalde en onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.6 Berekenen van een bepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

INHOUDSOPGAVE 249

8 Oppervlakte- inhouds- en lengteberekening 197

8.1 Oppervlakteberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.1.1 Oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door de grafiek van een functie, de x-asen twee evenwijdigen met de y-as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.1.2 De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door de grafieken van twee functies . . 199

8.1.3 De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door een kromme . . . . . . . . . . . . 202

8.2 Inhoudsberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8.3 Omwentelingslichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.4 Lengteberekening van krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.5 Manteloppervlakte van omwentelingslichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9 Reeksontwikkelingen 231

9.1 Reele reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.2 Machtreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

9.3 Reeksontwikkeling van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.4 Belangrijke functies ontwikkeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.5 Benaderen van functiewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.6 Extrema en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Analyse deel II - WordPress.com · 2010. 12. 4. · Analyse deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik...

Documents

Transcript of Analyse deel II - WordPress.com · 2010. 12. 4. · Analyse deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik...