Analiza Matematyczna 2 Z Element a Mi Analizy Wektorowej [Oprac Dr Marian Gewert]
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie · PDF fileLiteratura podstawowa Cykl...
-
Upload
nguyendieu -
Category
Documents
-
view
226 -
download
2
Transcript of Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie · PDF fileLiteratura podstawowa Cykl...
Analiza matematyczna i algebra liniowaWprowadzenie Ciągi liczbowe
Wojciech Kotłowski
Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiejemail: imię[email protected]
pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek 11:45-13:15
Slajdy dostępne pod adresem:http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/bioinformatyka/
26.02.2018
1 / 24
Plan wykładu
1 Ciągi liczbowe2 Granica i ciągłość funkcji3 Pochodna funkcji4 Zastosowania pochodnych5 Badanie zmienności funkcji6 Całka nieoznaczona7 Całka oznaczona
8 Równania różniczkowe
9 Liczby zespolone10 Wielomiany11 Macierze12 Wyznacznik, odwrotność macierzy13 Układy równań liniowych
Ana
liza
Alg
ebra
Ikolokw
iumII
kolokwium
2 / 24
Plan wykładu
1 Ciągi liczbowe2 Granica i ciągłość funkcji3 Pochodna funkcji4 Zastosowania pochodnych5 Badanie zmienności funkcji6 Całka nieoznaczona7 Całka oznaczona
8 Równania różniczkowe
9 Liczby zespolone10 Wielomiany11 Macierze12 Wyznacznik, odwrotność macierzy13 Układy równań liniowych
Ana
liza
Alg
ebra
Ikolokw
iumII
kolokwium
2 / 24
Zaliczenie
Brak egzaminu: wspólne zaliczenie dla ćwiczeń i wykładu.Dwa kolokwia:
1 Analiza (druga połowa kwietnia)2 Algebra (pierwsza połowa czerwca)
Dla każdego z kolokwiów 3 obowiązkowe terminy (ostatniwspólny dla obu).
Potencjalne (zapowiedziane) wejściówki.
Ostateczna ocena: średnia z obu kolokwiów.
3 / 24
Literatura podstawowa
Cykl podręczników Oficyny Wydawniczej GiS.Gewert, Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
Gewert, Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
Gewert, Skoczylas: Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory.(tylko rozdziały 2 i 3)
Gewert, Skoczylas: Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania. (tylkorozdziały 2 i 3)
Gewert, Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady,zadania. (tylko rozdział 1)
M. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra i geometria analityczna. Definicje,twierdzenia, wzory. (wcześniejsza nazwa książki to Algebra liniowa 1).
M. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra i geometria analityczna. Przykłady izadania. (wcześniejsza nazwa książki to Algebra liniowa 1).
M. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory.(tylko rozdział 1; wcześniejsza nazwa książki to Algebra liniowa 2).
M. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory.(tylko rozdział 1; wcześniejsza nazwa książki to Algebra liniowa 2).
4 / 24
Literatura dodatkowa
Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1, 2, 3. WydawnictwoNaukowe PWN.
Krysicki, Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Tom 1, 2.Wydawnictwo Naukowe PWN.
Klukowski, Nabiałek: Algebra dla studentów. WydawnictwaNaukowo-Techniczne.
Nabiałek: Zadania z algebry liniowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne.
5 / 24
Notacja
Zbiór liczb naturalnych: N = {1, 2, 3, . . .}.Zbiór liczb całkowitych: Z = {0,±1,±2, . . .}.Zbiór liczb wymiernych: Q =
{pq: p ∈ Z, q ∈ N
}.
Zbiór liczb rzeczywistych: R.Przedziały:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}a b
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}a b
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}a b
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}a b
Kwantyfikatory:∀ lub
∧„dla każdego”
∃ lub∨
„istnieje”
6 / 24
Definicje: element najmniejszy i największy
Element najmniejszy
Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru X ⊂ R, gdya ∈ X oraz ∀x∈X x ≥ a.
Zapisujemy: a = minX.
Element największy
Liczba b jest największym elementem zbioru X ⊂ R, gdyb ∈ X oraz ∀x∈X x ≤ b.
Zapisujemy: b = maxX.
Uwaga: Element największy/najmniejszy może nie istnieć!
7 / 24
Definicje: ograniczenie dolne i kres dolny
Ograniczenie dolne
Liczba a jest ograniczeniem dolnym zbioru X ⊂ R, gdy:∀x∈X x ≥ a.
Jeśli nie ma takiej liczby, to mówimy, że X nie jest ograniczony zdołu.
Kres dolny
Liczba a jest kresem dolnym zbioru X ⊂ R, gdy a jestnajwiększym ograniczeniem dolnym zbioru X:
∀x∈X x ≥ a oraz ∀ε>0 ∃x0∈X x0 < a+ ε.
Zapisujemy: a = infX.Jeśli X nie jest ograniczony z dołu, przyjmujemy infX = −∞.
8 / 24
Definicje: ograniczenie górne i kres górny
Ograniczenie górne
Liczba b jest ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R, gdy:∀x∈X x ≤ b.
Jeśli nie ma takiej liczby, to mówimy, że X nie jest ograniczony zgóry.
Kres górny
Liczba b jest kresem górnym zbioru X ⊂ R, gdy b jestnajmniejszym ograniczeniem górnym zbioru X:
∀x∈X x ≤ b oraz ∀ε>0 ∃x0∈X x0 > b− ε.
Zapisujemy: b = supX.Jeśli X nie jest ograniczony z góry, przyjmujemy supX =∞.
9 / 24
Definicje: funkcja
Funkcja
Funkcją określoną na zbiorze X ⊂ R i przyjmującą wartości zezbioru Y ⊂ R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowix ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y . Funkcję oznaczamy:
f : X → Y.
Elementy X nazywamy argumentami funkcji.
X nazywamy dziedziną i oznaczamy Df .
Y nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji ioznaczamy Wf .
10 / 24
Definicje: funkcja „na” i różnowartościowa
Funkcja „na” (suriekcja)
Mówimy, że funkcja odwzorowuje zbiór X na zbiór Y , cooznaczamy f : X na−→ Y , gdy:
Wf = Y, tzn. ∀y∈Y ∃x∈X f(x) = y.
Funkcja różnowartościowa (iniekcja)
Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa, jeżeli:
∀x1,x2∈X[(x1 6= x2) =⇒
(f(x1) 6= f(x2)
)].
11 / 24
Definicje: bijekcja, funkcja odwrotna
Bijekcja
Funkcję f , która jest różnowartościowa i „na”, nazywamy bijekcją.
Funkcja odwrotna
Funkcja f będąca bijekcją ma funkcję odwrotną, oznaczanąf−1 : Y → X, określoną warunkiem:
f−1(y) = x ⇐⇒ y = f(x), dla dowolnych x ∈ X, y ∈ Y.
12 / 24
Definicje: złożenie funkcji
Złożenie funkcji
Niech X,Y, Z,W będą zbiorami liczb rzeczywistych, przy czymY ⊂ Z, oraz niech f : X → Y , g : Z →W . Złożeniem funkcji g if nazywamy funkcję g ◦ f : X →W określoną wzorem:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)
)dla x ∈ X.
13 / 24
Ciąg liczbowy
Definicja
Ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję odwzorowującązbiór liczba naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych.
Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tymelementem ciągu i oznaczamy an.
a1, a2, a3, . . . , an, . . . .
Ciąg oznaczamy przez (an).
Zbiór wyrazów ciągu {an : n ∈ N} oznaczamy {an}.
14 / 24
Przykłady ciągów
Elementy podane wprost:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . .
Wtedy a1 = 1, a4 = 3, itp.
Elementy podane poprzez wzór ogólny:an = 2n,
an = n+ 1.
Elementy podane rekurencyjnie:a1 = 1, an = 2an−1 + 1.
Ciąg arytmetyczny:an = an−1 + r.
Ciąg geometryczny:an = ran−1
15 / 24
Przykłady ciągów
Elementy podane wprost:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . .
Wtedy a1 = 1, a4 = 3, itp.Elementy podane poprzez wzór ogólny:
an = 2n,
an = n+ 1.
Elementy podane rekurencyjnie:a1 = 1, an = 2an−1 + 1.
Ciąg arytmetyczny:an = an−1 + r.
Ciąg geometryczny:an = ran−1
15 / 24
Przykłady ciągów
Elementy podane wprost:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . .
Wtedy a1 = 1, a4 = 3, itp.Elementy podane poprzez wzór ogólny:
an = 2n,
an = n+ 1.
Elementy podane rekurencyjnie:a1 = 1, an = 2an−1 + 1.
Ciąg arytmetyczny:an = an−1 + r.
Ciąg geometryczny:an = ran−1
15 / 24
Przykłady ciągów
Elementy podane wprost:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . .
Wtedy a1 = 1, a4 = 3, itp.Elementy podane poprzez wzór ogólny:
an = 2n,
an = n+ 1.
Elementy podane rekurencyjnie:a1 = 1, an = 2an−1 + 1.
Ciąg arytmetyczny:an = an−1 + r.
Ciąg geometryczny:an = ran−1
15 / 24
Granica ciągu
Granica właściwa
Mówimy, że ciąg (an) ma granicę właściwą a ∈ R, co zapisujemy:limn→∞
an = a,
gdy:∀ε>0 ∃n0∈N ∀n∈N
(n > n0 =⇒ |an − a| < ε
)Czasem zapisujemy też an −→
n→∞a lub krótko:
lim an = a lub an −→ a.
16 / 24
Granica ciągu – przykład
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n∈N(n > n0 =⇒ |an − a| < ε
)
an =n
n+ 1, lim
n→∞an = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
0.5
a = 1
1.5
an
ε = 14
1 + ε
1− ε
n0 = 3
ε = 1121 + ε
1− ε
n0 = 11
17 / 24
Granica ciągu – przykład
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n∈N(n > n0 =⇒ |an − a| < ε
)
an =n
n+ 1, lim
n→∞an = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
0.5
a = 1
1.5
an
ε = 14
1 + ε
1− ε
n0 = 3
ε = 1121 + ε
1− ε
n0 = 11
17 / 24
Granica ciągu – przykład
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n∈N(n > n0 =⇒ |an − a| < ε
)
an =n
n+ 1, lim
n→∞an = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
0.5
a = 1
1.5
an
ε = 14
1 + ε
1− ε
n0 = 3
ε = 1121 + ε
1− ε
n0 = 11
17 / 24
Granica ciągu – przykład
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n∈N(n > n0 =⇒ |an − a| < ε
)
an =n
n+ 1, lim
n→∞an = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
0.5
a = 1
1.5
an
ε = 14
1 + ε
1− ε
n0 = 3
ε = 1121 + ε
1− ε
n0 = 11
17 / 24
Granica ciągu – przykład
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n∈N(n > n0 =⇒ |an − a| < ε
)
an =n
n+ 1, lim
n→∞an = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
0.5
a = 1
1.5
an
ε = 14
1 + ε
1− ε
n0 = 3
ε = 1121 + ε
1− ε
n0 = 11
17 / 24
Granica ciągu
Granica niewłaściwa
Mówimy, że ciąg (an) ma granicę niewłaściwą ∞, co zapisujemy:limn→∞
an =∞,
gdy:∀E>0 ∃n0∈N ∀n∈N (n > n0 =⇒ an > E)
Mówimy, że ciąg (an) ma granicę niewłaściwą −∞, co zapisujemy:limn→∞
an = −∞,
gdy:∀E<0 ∃n0∈N ∀n∈N (n > n0 =⇒ an < E)
18 / 24
Granica niewłaściwa ciągu – przykład
∀E<0 ∃n0∈N ∀n∈N (n > n0 =⇒ an > E)
an = n2, limn→∞
an =∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220an
E = 20
n0 = 4
E = 200
n0 = 14
19 / 24
Granica niewłaściwa ciągu – przykład
∀E<0 ∃n0∈N ∀n∈N (n > n0 =⇒ an > E)
an = n2, limn→∞
an =∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220an
E = 20
n0 = 4
E = 200
n0 = 14
19 / 24
Granica niewłaściwa ciągu – przykład
∀E<0 ∃n0∈N ∀n∈N (n > n0 =⇒ an > E)
an = n2, limn→∞
an =∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220an
E = 20
n0 = 4
E = 200
n0 = 14
19 / 24
Granica niewłaściwa ciągu – przykład
∀E<0 ∃n0∈N ∀n∈N (n > n0 =⇒ an > E)
an = n2, limn→∞
an =∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220an
E = 20
n0 = 4
E = 200
n0 = 14
19 / 24
Granica niewłaściwa ciągu – przykład
∀E<0 ∃n0∈N ∀n∈N (n > n0 =⇒ an > E)
an = n2, limn→∞
an =∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220an
E = 20
n0 = 4
E = 200
n0 = 14
19 / 24
Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Twierdzenie
Jeżeli ciągi (an) i (bn) mają granice właściwe, to:
limn→∞
(an + bn) = limn→∞
an + limn→∞
bn
limn→∞
(an − bn) = limn→∞
an − limn→∞
bn
limn→∞
(an · bn) =(
limn→∞
an
)·(
limn→∞
bn
)limn→∞
anbn
=limn→∞ anlimn→∞ bn
o ile limn→∞
bn 6= 0
limn→∞
(an)p =
(limn→∞
an
)pgdzie p ∈ Z
20 / 24
Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Twierdzenie
a+∞ =∞ dla −∞ <a ≤ ∞a · ∞ =∞ dla 0 <a ≤ ∞
a
∞= 0 dla −∞ <a <∞
a
0+=∞ dla 0 <a ≤ ∞
a∞ = 0 dla 0+ ≤a < 1
a∞ =∞ dla 1 <a ≤ ∞∞b = 0 dla −∞ ≤b < 0
∞b =∞ dla 0 <b ≤ ∞
Wyrażenia nieoznaczone:
∞−∞, 0 · ∞, 0
0,∞∞, 1∞, ∞0, 00
21 / 24
Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Twierdzenie (o trzech ciągach)
Jeżeli ciągi (an), (bn), (cn) spełniają warunki:
1 an ≤ bn ≤ cn dla każdego n ≥ n0,
2 limn→∞ an = limn→∞ cn = b,
tolimn→∞
bn = b.
22 / 24
Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Twierdzenie (o dwóch ciągach)
Jeżeli ciągi (an), (bn) spełniają warunki:
1 an ≤ bn dla każdego n ≥ n0,
2 limn→∞ an =∞,
tolimn→∞
bn =∞.
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla ciągów z granicą −∞.
23 / 24
Liczba e
Definicja
Granicę ciągu (en) o postaci:
en =
(1 +
1
n
)noznaczamy przez e.
e = 2.71828 . . ..
Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego:lnx = loge x.
24 / 24