Analiti cka geometrija prostora - unizg.hrbruckler/analiticka2.pdf · Ravnine u prostoruMre zne...

Ravnine u prostoru Mrezne ravnine Pravci u prostoru Zonski racun

Analiticka geometrija prostora

Franka Miriam Bruckler


Uvod

U analitickog geometriji u ravnini se pomocu koordinata (uredenihparova realnih brojeva) proucavaju tocke ravnine i njihovi skupovi:pravci, krivulje drugog reda, . . . U trodimenzionalnom prostorupojavljuju se i dvodimenzionalni podskupovi — plohe. Najvaznijeplohe u prostoru zovu se ravnine. Objekti u prostoru opisuju sejednom ili vise jednadzbi s tri nepoznanice, koje predstavljajukoordinate tocaka pojedinog promatranog objekta. Tri osnovnevrste objekata koje cemo promatrati su tocke, pravci i ravnine.Da bismo se mogli baviti analitickom geometrijom prostora,potrebno je prvo odabrati koordinatni sustav. Ako je kao baza

odabrana desna ortonormirana baza {−→i ,−→j ,−→k } govorimo o

Kartezijevom koordinatnom sustavu u prostoru.Koordinatne osi su brojevni pravci kroz ishodiste kojima se smjeroviredom podudaraju sa smjerovima vektora odabrane baze.Koordinatne ravnine su ravnine odredene s po dvije koordinatne osi.


Kristalografska baza

U kristalografiji redovno se koriste kosokutni koordinatni sustavi uprostoru. Karakteristika kristalnih struktura je njihova periodicnostkoja se ocituje u tome da je moguce odabrati cetverostranu prizmu(jedinicnu celiju) cijim translacijama u smjerovima njenih bridovadobivamo citav kristal. Nesto preciznije, neka je jedinicna celija

cetverostrana prizma razapeta vektorima {−→a ,−→b ,−→c } (te vektore

zovemo kristalografskom bazom). Odaberimo ih tako da imajuzajednicki pocetak kojeg cemo uzeti kao ishodiste koordinatnogsustava. Duljine tih vektora (parametre kristalne resetke) a, b i cuzimamo kao jedinice duljine na koordinatnim osima. Odgovarajucikoordinatni sustav zove se kristalografski koordinatni sustav, sosima koje zovemo a-os, b-os i c-os. Tocke jedinicne celije u tomsustavu imaju koordinate unutar intervala [0, 1〉. Kutovi medu

vektorima baze oznacavaju se s α = ∠(−→b ,−→c ), β = ∠(−→a ,−→c ),

γ = ∠(−→a ,−→b ).


Udaljenost dvije tocke i poloviste duzine

Za dvije tocke T (x , y , z) i T ′(x ′y ′, z ′) njihova udaljenost jednaka

je duljini vektora−−→TT ′ =

−−→OT ′ −

−→OT = [x ′ − x , y ′ − y , z ′ − z ], a ona

je jednaka

√−−→TT ′ ·

−−→TT ′. Ako je odabrana baza ortonormirana

slijedi formula za udaljenost dvije tocke u prostoru:

d(T ,T ′) =√

(x ′ − x)2 + (y ′ − y)2 + (z ′ − z)2.

Poloviste duzine TT ′ dano je koordinatama(x+x ′

2 , y+y ′

2 , z+z ′

2

). Ta

formula vrijedi i ako odabrani koordinatni sustav nije Kartezijev.

Zadatak

Kako biste u opcem kristalografskom sustavu izracunali udaljenostdviju tocaka?


Sto predstavlja jednadzba x = 0?

x = 0 predstavlja sve tocke s apscisom nula, tj. (y , z)-koordinatnuravninu. Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!To su npr. (0, 2, 0), (−2, 3, 0), (0, 2, 5), . . . Dakle ta jednadzba nepredstavlja pravac!



x = 0 predstavlja sve tocke s apscisom nula, tj.

(y , z)-koordinatnuravninu. Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!To su npr. (0, 2, 0), (−2, 3, 0), (0, 2, 5), . . . Dakle ta jednadzba nepredstavlja pravac!



x = 0 predstavlja sve tocke s apscisom nula, tj. (y , z)-koordinatnuravninu. Sto prestavljaju jednadzbe y = 0?

z = 0? x = −2?x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!To su npr. (0, 2, 0), (−2, 3, 0), (0, 2, 5), . . . Dakle ta jednadzba nepredstavlja pravac!



x = 0 predstavlja sve tocke s apscisom nula, tj. (y , z)-koordinatnuravninu. Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0?

x = −2?x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!To su npr. (0, 2, 0), (−2, 3, 0), (0, 2, 5), . . . Dakle ta jednadzba nepredstavlja pravac!



x = 0 predstavlja sve tocke s apscisom nula, tj. (y , z)-koordinatnuravninu. Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?

x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!To su npr. (0, 2, 0), (−2, 3, 0), (0, 2, 5), . . . Dakle ta jednadzba nepredstavlja pravac!



x = 0 predstavlja sve tocke s apscisom nula, tj. (y , z)-koordinatnuravninu. Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?x + 2y = 0?

Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!To su npr. (0, 2, 0), (−2, 3, 0), (0, 2, 5), . . . Dakle ta jednadzba nepredstavlja pravac!



x = 0 predstavlja sve tocke s apscisom nula, tj. (y , z)-koordinatnuravninu. Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!

To su npr. (0, 2, 0), (−2, 3, 0), (0, 2, 5), . . . Dakle ta jednadzba nepredstavlja pravac!



x = 0 predstavlja sve tocke s apscisom nula, tj. (y , z)-koordinatnuravninu. Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!To su npr. (0, 2, 0), (−2, 3, 0), (0, 2, 5), . . . Dakle ta jednadzba nepredstavlja pravac!


Svaka linearna jednadzba s tri nepoznanice opisuje neku ravninu uprostoru kao sto svaka linearna jednadzba s dvije nepoznaniceopisuje neki pravac u ravnini. Linearna jednadzba

Ax + By + Cz + D = 0

koja povezuje tri prostorne koordinate je opca jednadzba ravnine: udanoj ravnini su tocno one tocke cije su koordinate (x , y , z)povezane jednadzbom ravnine. Sve jednadzbe koje se iz jednadzberavnine mogu dobiti njenim mnozenjem brojem razlicitim od nulepredstavljaju istu ravninu.

Ako je koordinatni sustav Kartezijev, vektor normale te ravnine jevektor s koordinatama [A,B,C ] (ili bilo koji njemu kolinearanvektor koji nije nulvektor).


Svaka linearna jednadzba s tri nepoznanice opisuje neku ravninu uprostoru kao sto svaka linearna jednadzba s dvije nepoznaniceopisuje neki pravac u ravnini. Linearna jednadzba

Ax + By + Cz + D = 0

koja povezuje tri prostorne koordinate je opca jednadzba ravnine: udanoj ravnini su tocno one tocke cije su koordinate (x , y , z)povezane jednadzbom ravnine. Sve jednadzbe koje se iz jednadzberavnine mogu dobiti njenim mnozenjem brojem razlicitim od nulepredstavljaju istu ravninu.Ako je koordinatni sustav Kartezijev, vektor normale te ravnine jevektor s koordinatama [A,B,C ] (ili bilo koji njemu kolinearanvektor koji nije nulvektor).


Zadatak

Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste?

A tocka (1, 8, 2)? Koje su koordinate vektora normaleove ravnine ako je koordinatni sustav Kartezijev?

Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?

U Kartezijevom koordinatnom sustavu ravninu mozemo zadativektorom normale (dakle, smjerom okomitim na nju) i jednomtockom. Ako znamo da je tocka (x0, y0, z0) u ravnini i da joj jevektor normale −→n = [A,B,C ], jednadzba ravnine je

A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak

Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?

Koje su koordinate vektora normaleove ravnine ako je koordinatni sustav Kartezijev?

Zadatak



A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak

Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)? Koje su koordinate vektora normaleove ravnine ako je koordinatni sustav Kartezijev?

Zadatak



A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste?

O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?


A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata?

O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?


A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom?

Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?


A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak


Zadatak



A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Primjer

Ravnina kroz ishodiste s vektorom normale [1, 2, 3] je opisana s1(x − 0) + 2(y − 0) + 3(z − 0) = 0, tj. x + 2y + 3z = 0.

Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?

Ravnina zadana trima tockama Ti = (xi , yi , zi ), i = 1, 2, 3 imajednadzbu ∣∣∣∣∣∣

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Kako biste mogli izvesti tu jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?


Primjer

Ravnina kroz ishodiste s vektorom normale [1, 2, 3] je opisana s1(x − 0) + 2(y − 0) + 3(z − 0) = 0, tj. x + 2y + 3z = 0.

Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?Ravnina zadana trima tockama Ti = (xi , yi , zi ), i = 1, 2, 3 imajednadzbu ∣∣∣∣∣∣

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Kako biste mogli izvesti tu jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?


Paralelnost i okomitost ravnina

Dvije ravnine u prostoru su paralelne tocno ako su im vektorinormala paralelni (tj. imaju proporcionalne koordinate), a okomiteako su im vektori normala okomiti (tj. skalarni produkt im je nula).Ako su jednadzbe ravnina Ax + By + Cz + D = 0 iA′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0, uvjet paralelnosti ravnina mozemoformulom zapisati kao

A : A′ = B : B ′ = C : C ′.

Ekvivalentno: ravnine su paralelne ako je −→n ×−→n′ =

−→0 , gdje su −→n

i−→n′ njihove normale.

Uvjet okomitosti ravnina mozemo zapisati kao −→n ·−→n′ = 0, odnosno

koordinatno (ako je sustav Kartezijev)

AA′ + BB ′ + CC ′ = 0.


Primjer

Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.


Kut izmedu ravnina

Kut izmedu ravnina definira se kao kut njihovih normala, tj.

cosϕ =−→n ·−→n′

|−→n | · |−→n′ |.

Pritom se bira ϕ ∈ [0, π〉.

Primjer

Kut izmedu ravnina x − y − z = 0 i x − y-ravnine z = 0, uz uvjetda je odabrani koordinatni sustav Kartezijev, dan je s

cosϕ =1 · 0− 1 · 0− 1 · 1√

12 + (−1)2 + (−1)2 ·√

0 + 0 + 12=−1√

3,

te je ϕ ≈ 125, 264◦.


Segmentni oblik jednadzbe ravnine

Cesto se koristi i segmentni oblik jednadzbe ravnine. Radi se oposebnom slucaju opceg oblika jednadzbe ravnine gdje se izkoeficijenata direktno vide probodista koordinatnih osi (odsjecci) iravnine. To je oblik

x

m+

y

n+

z

p= 1,

a brojevi m, n, p su redom odsjecci ravnine na koordinatnim osima(stvarne udaljenosti sjecista ravnine s osima su ma, nb i pc).

Ravnina na slici desno ima segmentni oblik

x2 + y

3 + z4 = 1. Istu ravninu mogli smo zadati

i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12. Segmentnioblik jednadzbe se u matematici ne koristi akoje ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi,no uz malu modifikaciju koristit cemo ga i zate slucajeve.




x

m+

y

n+

z

p= 1,


Ravnina na slici desno ima segmentni oblikx2 + y


i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12.

Segmentnioblik jednadzbe se u matematici ne koristi akoje ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi,no uz malu modifikaciju koristit cemo ga i zate slucajeve.




x

m+

y

n+

z

p= 1,


Ravnina na slici desno ima segmentni oblikx2 + y


i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12. Segmentnioblik jednadzbe se u matematici ne koristi akoje ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi,no uz malu modifikaciju koristit cemo ga i zate slucajeve.


Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine?

Udaljenost tocke do ravnine definira se kao udaljenost tocke donjene ortogonalne projekcije na ravninu, tj. do sjecista ravnine spravcom okomitim na ravninu koji prolazi kroz zadanu tocku. Akoje koordinatni sustav Kartezijev, formula za udaljenost tocke doravnine glasi

d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C 2


Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine?Udaljenost tocke do ravnine definira se kao udaljenost tocke donjene ortogonalne projekcije na ravninu, tj. do sjecista ravnine spravcom okomitim na ravninu koji prolazi kroz zadanu tocku. Akoje koordinatni sustav Kartezijev, formula za udaljenost tocke doravnine glasi

d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C 2


Kristalna resetka (primitivna) sastoji se od svih tocaka prostorakoje u kristalografskom koordinatnom sustavu imaju cjelobrojnekoordinate. Postoji sedam osnovnih tipova kristalnih resetki, a kojisu poznati pod nazivom kristalni sustavi (kubicni, tetragonski,heksagonski, trigonski, rompski, monoklinski, triklinski).U kristalografiji od zanimanja su samo odredene, tzv. mrezneravnine: to su ravnine koje prolaze kroz tri i stoga beskonacnomnogo tocaka resetke. Pritom se medusobno paralelne mrezneravnine smatraju ekvivalentnim (jer jesu ekvivalentne u smislurasta kristala). Konkretan makroskopski kristal je poliedar omedenplohama (stranama poliedra) cije ravnine pripadaju pojedinomskupu medusobno ekvivalentnih mreznih ravnina.


Promotrimo prvo dvodimenzionalnianalog kristalne resetke odreden bazom

{−→a ,−→b }. Na slici su ucrtana dva od

mogucih smjerova mreznih pravaca.Prikazani smjer pravaca ima jednadzbeu segmentnom obliku

x

mλ+

y

nλ= 1

gdje su m, n, λ ∈ Z (uz fiksirane m i n za razlicite λ dobivamorazlicite, ali medusobno paralelne, mrezne pravce). Analogno, uprostoru ce odabrani smjer ravnina u kristalnoj resetki biti opisanjednadzbama segmentnog oblika

x

mλ+

y

nλ+

z

pλ= 1

s m, n, p, λ ∈ Z.


Vidimo da su s trojkom (m, n, p) karakterizirane sve medusobnoparalelne mrezne ravnine jednog smjera. Nacelno, ta se trojka mozeodabrati proizvoljno, no uobicajena konvencija je da se (m, n, p) sebira tako da su m, n i p relativno prosti cijeli brojevi1. Ti brojevizovu se Weissovi parametri plohe na kristalu, tocnije smjera njenihmreznih ravnina. Kaze se da ploha ima Weissove parametre

ma : nb : pc.

U slucaju da je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi,dogovorno se pripadni Weissov parametar oznacava s ∞.

Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre

∞a :∞b : pc.Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre ma : nb :∞c.

1Ili pak racionalni brojevi takvi da je n = 1.



ma : nb : pc.


Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre ∞a :∞b : pc.

Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre

ma : nb :∞c.




ma : nb : pc.


Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre ∞a :∞b : pc.

Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre ma : nb :∞c.



Kako cesto nisu tocno poznate duljine od −→a ,−→b , −→c , obicno se kao

1a : 1b : 1c ploha (tzv. jedinicna ploha) odabire najveca plohakristala koja sijece sve tri kristalografske osi. Millerovi indeksi (hkl)usporeduju osni odnos jedinicne plohe s osnim odnosompromatrane plohe. Ako su Weissovi parametri plohe ma : nb : pc teako je v najmanji zajednicki visekratnik od m, n i p, onda je

h =v

m, k =

v

n, l =

v

p.

Ako je neki od Weissovih parametara ∞, on se ne uzima u obzir zaracunanje v , a odgovarajuci Millerov indeks je po definiciji jednak0. Geometrijski, za kubicni sustav Millerovi indeksi predstavljajukoordinate vektora normale na dani smjer ravnina, s tim da nisuproizvoljno odabrane.


Primjer

Promotrimo ravninu s jednadzbom x15 + y

10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su

15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer

Recimo da jedna ravnina danog smjera sijece koordinatne osiredom u tockama na udaljenostima 2a, b, 3c od ishodista. Pripadnisegmentni oblik jednadzbe te ravnine je

x

2+

y

1+

z

3= 1.

Millerovi indeksi tog smjera su (362).


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga

3a : 2b : 4c. Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksinjenog smjera su

(463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Primjer


10 + z20 = 1. Njeni


Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.

Millerovi indeksi tog smjera su

(362).


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni


Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Zadatak

Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)?

A Millerovi indeksi(010)?

Zgodno je uociti: sto je neki Millerov indeks veci u odnosu nadruga dva indeksa (dakle, odgovarajuci odsjecak na pripadnoj osi jemanji), ravnina je bliza paralelnosti koordinatnoj ravnini na koju seodnose ta dva druga indeksa. Negativni Weissovi parametri iMillerovi indeksi oznacavaju se znakom minus iznad parametraodnosno indeksa. Tako primjerice ravnina 2x − y = 3 imaWeissove parametre 1a : 2b :∞c, a Millerove indekse (210).

Napomena

Ravnine poput x + y − z = 1 i x−2 + y

−2 + z2 = 1 su doduse

paralelne, ali se kod oznacavanja putem Weissovih parametara iMillerovih indeksa razlikuju. Tako ce prva od njih imati Milleroveindekse (111), a druga (111).


Zadatak

Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A Millerovi indeksi(010)?

Zgodno je uociti: sto je neki Millerov indeks veci u odnosu nadruga dva indeksa (dakle, odgovarajuci odsjecak na pripadnoj osi jemanji), ravnina je bliza paralelnosti koordinatnoj ravnini na koju seodnose ta dva druga indeksa. Negativni Weissovi parametri iMillerovi indeksi oznacavaju se znakom minus iznad parametraodnosno indeksa. Tako primjerice ravnina 2x − y = 3 imaWeissove parametre 1a : 2b :∞c, a Millerove indekse (210).

Napomena

Ravnine poput x + y − z = 1 i x−2 + y

−2 + z2 = 1 su doduse

paralelne, ali se kod oznacavanja putem Weissovih parametara iMillerovih indeksa razlikuju. Tako ce prva od njih imati Milleroveindekse (111), a druga (111).


Razmak susjednih mreznih ravnina (ortogonalni sustavi)

dhkl = d(O,N); δ, φ i ϕ: kutoviON prema koordinatnim osima;

cos δ =dhkl

a/h,

cosφ =dhkl

b/k,

cosϕ =dhkl

c/l;

cos2 δ + cos2 φ+ cos2 ϕ = 1;1

d2hkl

=h2

a2+

k2

b2+

l2

c2

Zadatak

Neka je tetragonska jedinicna celija zadana parametrima a = 4,820A, c = 6,288 A. Koliki je razmak ravnina (211)?


Zadatak

Nadite opcu jednadzbu (230) mrezne ravnine najblize ishodistu (ada kroz njega ne prolazi) koja sve tri osi sijece u tockama resetke!

x

m+

y

n+

z

p= 1/ · v hx + ky + lz = v

Zadatak

Ako je u kristalografskom koordinatnom sustavu jednadzba mrezneravnine 2x − y = 5, izrazite njen smjer Millerovim indeksima.

Zadatak

Spoj Rb3TlF6 kristalizira u tetagonskom sustavu (a = b = 651 pm,c = 934 pm, α = β = γ = 90◦). Neka mrezna ravnina je paralelna a-osi,b os sijece na udaljenosti od 1302 pm, a c os na udaljenosti od 2802 pmod ishodista. Odredite Millerove indekse smjera te ravnine.


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi?

y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?

Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?

Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Pravci u prostoru

Pravac u prostoru odreden je svojim smjerom (tj. bilo kojim njemuparalelnim vektorom smjera) i jednom tockom. Alternativno,pravac mozemo zadati kao presjek dvije neparalelne ravnine.Parametarske jednadzbe pravca s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ]koji prolazi tockom (x0, y0, z0) su oblika

x = x0 + ut,

y = y0 + vt,

z = z0 + wt,

t ∈ R.

Umjesto tockom i vektorom smjera, pravac moze biti zadan i sdvije tocke. U tom slucaju mu je vektor smjera vektor koji spaja tedvije tocke, a bilo koju od njih uzmemo kao (x0, y0, z0).


Skraceni zapis parametarskih jednadzbi pravca, koji bismo dobilitako da iz svake od tri jednadzbe izrazimo parametar t i onda ihizjednacimo zove se kanonski oblik jednadzbe pravca u prostoru:

x − x0

u=

y − y0

v=

z − z0

w.

Radi se o vrlo preglednom obliku jednadzbe pravca, no kad god jepotrebno rjesavati neke probleme vezane za pravac, potrebno jeprvo taj oblik prevesti u parametarski oblik. Takoder, kako je tajoblik samo skraceni zapis parametarskog oblika, moguce je da nekiod u, v i w budu nula jer izraze u formuli ne treba shvacati kaopravo dijeljenje brojeva.


Pravac moze biti zadan i kao presjek dvije ravnine prostora, tj.sustavom

Ax + By + Cz + D = 0,

A′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0.

Iz tog oblika parametarski oblik mozemo dobiti rjesavanjemsustava te dvije jednadzbe. Ako je pravac presjek dvije ravnine cijejednadzbe su dane u Kartezijevim koordinatama, njegov vektorsmjera je okomit na normale tih ravnina te vektor smjera pravcazadanog gornjim sustavom mozemo dobiti kao

−→s = [A,B,C ]× [A′,B ′,C ′].


Paralelnost i mimosmjernost pravaca

Pravci u prostoru mogu se ne sjeci bez da su paralelni. Uvjetparalelnosti pravaca je kolinearnost, tj. proporcionalnost njihovih

vektora smjera: ako su −→s = [u, v ,w ] i−→s ′ = [u′, v ′,w ′] vektori

smjera dva pravca, oni su paralelni ako je u : u′ = v : v ′ = w : w ′.

Ekvivalentno, ti pravci su paralelni ako je −→s ×−→s ′ =

−→0 . Pravci u

prostoru koji se ne sijeku i nisu paralelni zovu se mimoilazni(mimosmjerni) pravci.

Zadatak

Odredite sjeciste pravaca x0 = y+1

2 = z−32 i x−1

1 = y−21 = z−3

1 .

Zadatak

Kako rjesavanjem sustava odredenog jednadzbama dvaju pravacamozemo zakljuciti u kakvom su medusobnom polozaju ti pravci?


Opcenito, kut dvaju pravaca definira se kao kut njihovih vektorasmjera. Posebno, uvjet okomitosti pravaca je

−→s ·−→s ′ = 0,

odnosno koordinatno (u slucaju Kks-a)

uu′ + vv ′ + ww ′ = 0.

Zadatak

Kako iz kanonskog oblika jednadzbi pravca vidimo je li on paralelanosi aplikata?


Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca sravninom

Pravac s vektorom smjera −→s je okomit na ravninu s vektoromnormale −→n ako su ti vektori paralelni, a pravac je paralelan ravniniako mu je vektor smjera okomit na njezin vektor normale. Stogaimamo uvjet okomitosti pravca na ravninu

−→s ×−→n =−→0

(odnosno, koordinate od −→s i −→n su proporcionalne), a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je

−→s · −→n = 0

(tj. u Kartezijevom koordinatnom sustavu uA + vB + wC = 0).

Zadatak

Odredite uvjet paralelnosti oceg pravca s (y , z)-ravninom i uvjetparalelnosti opce ravnine s x-osi.


Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju sijece u jednoj tocki koja sezove probodiste pravca i ravnine. Odredivanje probodista pravca iravnine svodi se na rjesavanje sustava koji se sastoji odparametarskih jednadzbi pravca (ili ravnina ciji je on presjek) ijednadzbe ravnine (bilo opceg oblika bilo parametarskog).Opcenito, presjek objekata u prostoru pomocu analitickegeometrije odredujemo rjesavanjem sustava jednadzbi tih objekata;rjesenja tog sustava su koordinate tocaka presjeka.

Napomena

Sve karakterizacije paralelnosti i okomitosti pravaca i ravnina kojesu izrazene preko skalarnih i vektorskih produkata vektora vrijedeza svaki tip koordinatnih sustava, no u opcem kosokutnom sustavunije jednostavno odrediti koordinate vektora normale ravnine, kaosto i sam izracun skalarnog ili vektorskog produkta nijejednostavan.


Zadatak

Zadani su pravci

p1 ...x + 2

6=

y − 3

−4=

z − 2

1i p2 ...

x − 2

4=

y − 2

α=

z − 1

−1.

, Navedite koordinate dviju tocaka na pravcu p1.

, Odredite vrijednost parametra α ∈ R tako da se pravci p1 i p2

sijeku.

, Za taj α napisite jednadzbu ravnine u kojoj leze pravci p1 i p2.

, Navedite koordinate triju nekolinearnih tocaka u ravnini izprethodnog dijela zadatka.

, Za koje α su pravci p1 i p2 mimoilazni?

U kojim dijelovima zadatka Vam je bilo bitno pretpostaviti da jekoordinatni sustav Kartezijev?


Zonski racun

Kad u kristalografiji govorimo o skupu svih pravaca kojima jevektor smjera paralelan vektoru [u, v ,w ] govorimo o pravcimasmjera [uvw ]. Primjerice, kristalografske osi pripadaju smjerovima[100], [010] i [001]. U zonskom racunu s [uvw ] oznacavamo smjerpromatrane zone, tj. smjer pravaca koji su paralelni svimravninama jedne zone (podsjetimo se: svake dvije neparalelneravnine definiraju jednu zonu; istoj zoni pripadaju sve ravnine kojesu paralelne istom smjeru [uvw ]).Kako cemo vidjeti u sljedecem poglavlju, vektor normale naravninu smjera (hkl) je

h(−→b ×−→c ) + k(−→c ×−→a ) + l(−→a ×

−→b )


Sljedece poglavlje ce takoder opravdati sljedeca pravila u opcemslucaju, a sad ih navodimo kao ocita u slucaju kubicnih kristala:

Odredivanje indeksa zone [uvw ] definirane s dvije neparalelneplohe (hkl) i (h′k ′l ′):

[u, v ,w ] = [h, k, l ]× [h′, k ′, l ′];

Odredivanje indeksa plohe (hkl) koja je u presjeku dviju zona[uvw ] i [u′v ′w ′]:

[h, k, l ] = [u, v ,w ]× [u′, v ′,w ′];

Provjera je li ploha (hkl) u zoni [uvw ]:

[h, k , l ] · [u, v ,w ] = 0.

Analiti cka geometrija prostora - unizg.hrbruckler/analiticka2.pdf · Ravnine u prostoruMre zne...

Documents

Transcript of Analiti cka geometrija prostora - unizg.hrbruckler/analiticka2.pdf · Ravnine u prostoruMre zne...